CAMPOS VECTORIALES
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CAMPOS VECTORIALES
DEFINICIÓN
DOMINIO .
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA
OPERACIONES
LIMITES Y CONTINUIDAD
DERIVACIÓN Y DIFERENCIACIÓN
EL OPERADOR «NABLA»
DIVERGENCIA Y ROTACIONAL
CAMPOS CONSERVATIVOS
ROSA N. LLANOS VARGAS
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CAMPOS VECTORIALES
Definición.- Sean los subconjuntos no vacíos A y B , A , una función vectorial , F, talque a cada vector de A le hace corresponder a lo más un vector de B , y = F( ).
Simbólicamente,F: A = F( )= ( …, )
Donde cada función componente es
DOMINIO .
F se llama CAMPO VECTORIAL. Los campos vectoriales reciben nombres de acuerdo a la interpretación física de los vectores que lo constituyen ,asi puede tenerse un campo de velocidades, de fuerzas, gravitatorio o eléctrico.
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Geométricamente F representa un campo de vectores.
Ejemplo . Represente gráficamente el campo vectorial definido por:
F : → / F ( x, y ) = ( − y, x )Solución
Para representar este campo vectorial se evaluará algunos puntos ( x, y ) en la función
F ( x, y ) , como por ejemplo Punto Vector (1,1) F(1,1)= ( −1,1) (-1,1) F ( −1,1) = ( −1, −1) (-1,-1) F ( −1, −1) = (1, −1) (1,-1) F (1, −1) = (1,1) .
Luego tomamos, el primer vector resultante (-1,1) teniendo como punto inicial al punto (1,1); procediendo con los otros vectores se obtiene la representación gráfica del campo FIg-.1vectorial que se muestra en la Figura 1.
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Si se requiere tener una representación con mayor cantidad de vectores de estos campos
Vectoriales computarizados, obteniéndose representaciones como las que se muestran
en las Figuras, puede recurrirse a calculadores graficadores o programas
Computacionales
OPERACIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD
Con campos vectoriales se puede calcular la suma, diferencia, producto por una función escalar, el producto escalar
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Algunas propiedades
1.
2.
3.
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DERIVACIÓN . Sea es diferenciable en a si F está definida en una Vecindad V( a, ) y existe una matriz A mxn de orden mxn , talque para todo a+h en V, Se cumple
F(a+h) = F(a) + A mxn h nx1 + g(x,h) . Donde g(x,h) 0 , si h 0
A = DF(a) , dF(a,h) = A mxn h nx1
PROPOSICIÓN. La función es diferenciable en el punto a de su dominio si Y solo si cada una de las funciones componentes de F es diferenciable en a.F= … ,
Llamada Matriz jacobiana de F
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Teorema. Si F y G son campos vectoriales definidos y diferenciables sobre un dominio común D, y si X es un elemento en D, entonces
1. D(F + G ) = DF + DG
2. D(F . G )= F . DG + (DF) . G
3. D(F x G) = F x DG + (DF) x G
4. D(φ F) = φ DF + (Dφ)F , donde φ : R → RLA COMPOSICIÓN DE CAMPOS VECTORIALESSean G : ; F : entonces
(X) = F( …,
Si U = ( …, entonces
(X) = ( …,
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TEOREMA.
A) Si G : es continua en A y si F : es continua en G(A),Entonces
B) Si G : , y si
de acumulación de Dom(FoG) , entonces
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TEOREMA. Si G : es diferenciable en D , siendo D un subconjunto abierto de y si F :
D(FoG) = DF[G(X)] DG(X) = F’ [G(X)]G’(X) D(FoG) =
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DERIVADA DIRECCIONAL : de un campo vectorial F con respecto al vector v en el punto a es el vector denotado por :
Ejemplo . Derivar y diferenciar1) F(x,y,z) = ( x sen y + cosz, x
2)F(x,y, z ) =
3) F(x , y ) = ( xcos(xy) ,
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EL OPERADOR DIFERENCIAL «NABLA» : ∇. ∇=( , de modo que si
1. GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALARf es un campo escalar , entonces
∇f = 2.LA DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL.
F(X,Y,Z) = (
∇. F = ∇. F = Div(F)
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La notación de producto escalar utilizada para la divergencia proviene de considerar a como un operador diferencial en el siguiente sentido:
De donde,
+ +
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INTERPRETACION .
La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante Y el flujo saliente de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control ; por tanto, si el campo tiene «fuentes» y « sumideros», la Divergencia de dicho campo será diferente de cero.
Si F representa el flujo de un fluido, su divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido.
a) Si div(F) < 0 , el campo se está comprimiendo, posee «sumideros»b) Si div(F) >0 , el campo se está expandiendo , posee «fuentes»c) Si div(F) =0 , el campo es incompresible
Conforme el fluido se mueve el volumen (área) de control se comprime , expandeO queda igual .
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3. EL ROTACIONAL• En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es una
operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
• El rotacional de un campo vectorial se define como la capacidad de un vector de rotar alrededor de un punto.
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• Si F = Pi+Qj + Rk es un campo vectorial de y existen todas las derivadas parciales de P , Q , R entonces el rotacional de F es el campo vectorial definido por:
+
Por otro lado si se considera tambien se tendrá
=+ = rotF
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PROPIEDADES DEL OPERADOR « ∇»Sean F y G dos campos vectoriales y un campo escalar1. ∇x (F ± G) = ∇x F ± ∇xG2. ∇x (k F) = k ∇x F, k3. ∇x ( F) = (∇x F + ()4. ∇. ( F) = (∇. F + ()5. Div(F x G ) = G. rotF - F. rotG ; es decir:
∇. (F x G )= G. (∇ x F ) – F . (∇ x G)
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EL OPERADOR LAPLACIANO
1) Sea f :
Luego,= (se llama «Operador Laplaciano»
2)Si F: es un campo vectorial talque F(x,y,z )=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)), entonces
= (, , )
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CAMPOS CONSERVATIVOS.
El campo vectorial F es conservativo si existe una función escalar f tal que Se llama «función potencial»Si F ( x,y) = ( P(x,y) , Q( x, y )) es conservativo si
Si F(x, y, z ) = ( P(x,y,z) , Q(x,y,z) , R(x,y,z) ) es conservativo si rot (F) = 0
comprobar si Fes conservativo y hallar la función potencial en caso de serlo.
1) F(x,y ) =
2)F(x,y)= xzi + xyz j -
3) F(x,y,z) = (2xy , , 2zy)
Solución 1)
Luego F es conservativo
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Debe hallarse la función potencial , existe un campo escalar f , talque , es decir
Integrando 1) con respecto a x , se tiene,
f(x,y)=
f(x,y)= Derivando miembro a miembro 3) con respecto a y, e igualando a 2), resulta,
Simplificando, queda
Integrando ambos miembros con respecto a y , se obtiene; g(y) = Reemplazando 4) en 3)
f(x,y)= + C , es la función potencial.
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Ejemplo 2. Si F = xzi + xyz j - ; hallar rot F
Solución
= = +
= (-2y - xy) i - (0 – x ) j + (yz – 0 ) k
El campo no es conservativo
Ejemplo 3.F(x,y,z)= (2xy, , 2zy)
Rot(F)= +
= ( 2x , 0 , 0 )
Luego el campo no es conservativo
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Ejemplo 3. determinar si el campo vectorial definido por F(x,y,z)= (2xy , +2yz, ) es un campo conservativoSoluciónEl campo es conservativo si rot(F = 0 . Rot(F) = = ( 2y-2y , 0 , 2x-2x )= ( 0 , 0 , 0) ; entonces el campo es conservativo.Existe una función escalar f tal que
Integrando ambos miembros de 1) con respecto a x, resultaf(x,y,z) =
Derivando f con respecto a y e igualando con 2)
Integrando ambos miembros de la última ecuación con respecto a y, resulta h(y,z) =
Derivando con respecto a z e igualando a 3), se tiene,
h(y,z)= + C ; luego de reemplazar en 4) , tendremos la función potencial
f(x,y,z) =
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