Campo  magne*co  

Il  Magne*smo  •  L’esistenza di una forza capace di attirare particelle metalliche risale all’antica città di Magnesia in Grecia. •  In quella città ricca di molte miniere di Ferro si osservarono per la prima volta fenomeni di attrazione e orientamento di particelle metalliche; da allora in poi chiamate “Magnetismo”.

•  Per molti secoli questi fenomeni vennero osservati, classificati ed usati senza nessuna relazione con altre discipline. •  Solo la scienza del XIX secolo mise in relazione il magnetismo con il passaggio di corrente e riuscì a definire l’esistenza dei campi magnetici.

Campo  magne*co  

BvqFB!!!

×=

vqFB B=

Per definire il campo magnetico B dobbiamo usare una carica elettrica in movimento •  una carica elettrica ferma in un campo magnetico non sente nessuna forza •  Se il campo è in una direzione definita e il moto della carica è nella stessa direzione questa non sente nessuna forza •  Se il campo è in una direzione (diciamo x) e la carica si avvicina a quella direzione da una direzione ortogonale (direzione y) la carica subirà una Forza (deviazione in direzione z) che è perpendicolare sia alla direzione del moto che alla direzione del campo.

•  Il verso della forza di deviazione è tale che i vettori F, v, B (in quest’ordine) formano una terna destrorsa.

Campo  magne*co  •  La carica negativa sente una forza opposta a quella della carica positiva

•  Poli magnetici opposti si attraggono, mentre poli magnetici concordi si respingono

•  Nel SI l’unità di misura è il T (Tesla) e vale

1T = 1 newton 1(coulomb)(metro/ampere)

1T = 104 Gauss

Carica  in  moto  in  un  campo  magne*co  

Bmqf

mqB

Tf

qBm

qBmv

vvrT

==

==

===

πω

π

πππ

2

21

22 2

•  Una carica elettrica che entra in un campo magnetico viene deviata perpendicolarmente sia alla direzione del suo movimento che alla direzione del campo magnetico. •  Caso semplice: velocità della carica v costante con direzione perpendicolare a B. La traiettoria sarà una circonferenza di raggio r = mv/qB. Infatti la forza di Lorentz è una forza centrale che imprime una accelerazione centripeta alla carica con velocità v qvB = mv2/r

N.B. Il periodo non dipende dalla velocità della carica. Essa incide solo sul raggio della circonferenza. Velocità più grandi avranno traiettorie con raggi più grandi Cariche con lo stesso q/m si muoveranno con lo stesso T

Carica  in  moto  in  un  campo  magne*co    Se la direzione della carica non è perpendicolare alla direzione del campo magnetico allora il moto sarà elicoidale con la componente perpendicolare a B (v| = v sin θ) che determinerà il raggio dell’elica e la componente parallela a B (v“ = v cosθ) che determinerà il passo dell’elica.

Se il campo magnetico non è uniforme il raggio dell’elica varia e se la disuniformità è sufficientemente elevata la carica può rimbalsare e tornare indietro. In alcuni casi di grande disuniformità si verifica un vero e proprio intrappolamento.

Fili  percorsi  da  corrente  

iLBF

BvviLBqvF

B

dd

dB

=

°== 90sinsinφ

Un filo percorso da corrente immerso in un campo magnetico perpendicolare alla direzione del filo risentirà di una forza deformante dovuta alla legge di Lorentz F = qvd x B

Nel caso di un tratto di filo L avremo che q = i t = i (L/vd) se questo è il valore di q la forza a cui il tratto di filo è sottoposto diventa:

Naturalmente se la direzione del filo non è perpendicolare a B FB = iL x B

Spira  percorsa  da  corrente  

θθτ sinsin2

2' iABbiaB =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

•  Una spira percorsa da corrente e immersa in un campo magnetico subisce un momento torcente.

•  Il momento torcente è il risultato della legge di Lorentz su ciascun lato della spira. Se la spira è in una qualunque posizione, non parallela al campo B, ogni ramo subirà una sollecitazione verso l’esterno, ma: 1. i lati minori avranno forze agenti sulla stessa

retta d’azione e si annulleranno, 2. mentre le forze agenti sui lati maggiori imprimeranno un momento torcente tale da allineare il vettore n con il campo B

Legge  di  Biot-­‐Savart  

204

1rdqdE ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

πε

30

4 rridsBd!! ×

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=πµ

20 sin4 r

idsdB θπµ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

Come una qualunque distribuzione di cariche statiche dq crea un campo elettrico dE , allo stesso modo, cariche in movimento ids creano un campo magnetico dB

Campo elettrico Campo magnetico

rrdqEd !!3

041

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

πε

µ0 = 4π . 10-7 [T . m/A]

B  creato  da  un  lungo  filo  percorso  da  corrente  

riBπµ20=

( )

( ) Ri

Rss

RiB

dsRsRiB

dsr

idBB

πµ

πµ

πµ

θπµ

22

2

sin2

2

0

0

21220

0 23220

0 200

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+=

+=

==

∞

∞

∞∞

∫

∫∫

Se le corrente percorre un filo abbastanza lungo il campo B è linearmente dipendente da i e inversamente dipendente da r. Il verso delle linee di campo seguono la regola ella mano destra

Dalla legge di Biot-Savart dovremo fare l’integrale di ciascun elemento di corrente rispetto a P e per simmetria si ricava

B  creato  da  un  filo  circolare  percorso  da  corrente  

20

20

490sin

4 Rids

RidsdB

πµ

πµ

=°

=

φπµ

φπµ

φπµ φφ

RiB

dRid

RiRB

4

440

00

200

=

=== ∫∫

Applicando la legge di Biot-Savart si può ricavare il B indotto da qualunque configurazione di correnti (basta fare gli opportuni integrali). Nel caso di un arco di circonferenza il valore di B si ottiene in una forma molto semplice:

Si noti che l’angolo fra la direzione fra ds e r in curve circolari è per definizione 90°. L’integrale in ds è connesso con l’arco φ dalla relazione ds = R dφ quindi:

Ricordarsi di usare i radianti nel fare questo integrale

Per una circonferenza φ = 2π quindi B = µ0 i/2R

Fili  paralleli  percorsi  da  corrente  

diLiF ab

ab πµ20=

i

i

L

Ba

Fab

a b

d

Due fili paralleli percorsi da corrente si attraggono o si respingono secondo la legge

La corrente che passa nel filo a crea un campo a distanza d pari a B = µ0ia/2πd. La corrente del filo b risente di questo campo e per la legge di Lorentz subisce una forza Fab che lo dirige verso il filo a l’intensità di questa forza dipende da

Fab = ibL x Ba Fili paralleli percorsi da corrente se hanno lo stesso verso si attraggono, mentre fili che hanno versi di correnti contrarie si respingono.

Definizione  di  Ampere  

l’Ampere è la corrente necessaria s permettere che due fili paralleli posti ad 1 metro di distanza possano attrarsi con la forza di 2 x10-7 N

Legge  di  Ampere  in  casi  semplici  

rRiB

RrirB

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

=

20

2

2

0

2

)2(

πµ

ππ

µπ

•  Nel caso di un filo rettilineo il campo magnetico B esterno al filo è dato da

∫B . ds = ∫B cos q ds = B ∫ds = B (2πr) Pertanto per la legge di ampere B 2πr = µ0i •  Nel caso si volesse trovare il valore del campo B interno ad un filo percorso da corrente avremo ancora:

∫B . ds = B (2πr) mentre la corrente racchiusa sarà: ic = i (πr2/πR2)

e la legge di Ampere sarà:

Linea chiusa

r

ds B

i

θ = 0

ds

B

r

R

Caso  del  solenoide  

BhdsBdsBdsBdsBsdBa

d

d

c

c

b

b

a=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅ ∫∫∫∫∫

!!

Un filo percorso da corrente elicoidalmente avvolto in N spire dello stesso diametro formano un solenoide. In un tale sistema, se il diametro è molto minore della lunghezza, il campo magnetico B interno al solenoide è uniforme ed intenso, mentre il campo esterno è molto debole (nullo nel caso ideale).

Calcolo di B per un solenoide ideale:

e la corrente interna alla linea descritta varrà ic = i (nh) quindi si avrà:

B = µo i n

Toroide  

riNB 120

πµ

=

•  Un toroide è un solenoide racchiuso su se stesso, in questo modo il campo B è confinato all’interno di una regione limitata e non ci sono effetti dovuti alla terminazione dell’avvolgimento. •  Considerazioni di carattere simmetrico ci suggeriscono che le linee del campo B all’interno del toro sono circolari e non sono uniformi. Le linee sono più intense verso la parte interna che verso la parte esterna del toro.

•  La linea chiusa (usata per il teorema di Ampere) è presa all’interno del toro a distanza r dal centro di massima simmetria cosi che B (2πr) = µ0 i N

Dipolo  magne*co  

( ) 2322

20

2)(

zRiRzB+

=µ

30

2)(

zNiAzB

πµ

=

30

2)(

zzB µ

πµ!!

=

•  Il campo creato da una singola spira, o un numero piccolo di spire, il dispositivo non ha sufficiente simmetria per essere calcolato con la legge di Ampere. •  Il campo magnetico in un punto sull’asse della spira di raggio R dovrà essere calcolato utilizzando la legge di Biot-Savart •  Per punti lontani dalla spira (z>>R) il campo sarà funzione di 1/z3 e se consideriamo anche il numero delle spire il campo B avrà la forma

Dove NiA è il momento di dipolo magnetico µ

Calcolo  del  dipolo  magne*co   3

0

4 rrsidBd!!! ×

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=πµ

20

" 4cosrdsidB

παµ

=

dszRiRdB 23220

" )(4 +=

πµ

In base alla legge di Biot-Savart il campo elementare dB è perpendicolare al piano individuato da ds (perpendicolare alla slide) e al vettore posizione r. Tale vettore avrà le sue componenti di cui ci interessa solo quella una parallela perché quella perpendicolare si annulla nell’integrale B =∫dB” quindi: dB = dB“ cosα ovvero

Ma r = √R2+z2 e cosα = R / r quindi il campo elementare dB” avrà la forma

2322

20

23220

"

)(4)(

)(4

zRiRzB

dszRiRdBB

+=

+== ∫∫

πµ

πµ