Campo Magnetico en El Interior de Un Solenoide

1 PRACTICA 9 “CAMPO MAGNETICO EN EL INTERIOR DE UN SOLENOIDE”

Marco teórico

El solenoide suele utilizarse para crear un campo magnético uniforme, al igual que el capacitor

de placas paralelas crea un campo eléctrico uniforme. En los timbres de las puertas y en los

altavoces, el solenoide a menudo proporciona el campo magnético que acelera a un material

magnético.

Otra definición del solenoide es también que es un alambre largo devanado en una hélice

fuertemente apretada y conductor de una corriente 𝑖. La hélice es muy larga en comparación

con su diámetro.

En la figura se muestra la sección de un solenoide "extendido". En los puntos cercanos a una

sola vuelta del solenoide, el observador no puede percibir que el alambre tiene la forma de

arco. El alambre se comporta magnéticamente casi como un alambre recto largo, y las líneas de

𝐵 debidas a esta sola vuelta son casi círculos concéntricos.

El campo del solenoide es la suma vectorial de los campos creados por todas las espiras que

forman el solenoide.

Por lo que la figura anterior sugiere que los campos tienden a cancelarse entre alambres

contiguos. También sugiere que, en los puntos dentro del solenoide y razonablemente alejados

de los alambres, 𝐵 es paralelo al eje del solenoide. En el caso límite de alambres cuadrados

empaquetados en forma compacta, el solenoide se convierte esencialmente en una lámina de

corriente cilíndrica, y las necesidades de simetría obligan entonces a que sea rigurosamente

cierto el hecho de que 𝐵 sea paralelo al eje del solenoide. Suponiendo que sucede lo explicado

anteriormente entonces para puntos como 𝑃 en la figura, el campo creado por la parte superior

de las espiras del solenoide apunta a la izquierda y tiende a cancelar al campo generado por la

parte inferior de las espiras del solenoide, que apunta hacia la derecha.


Cuando el solenoide se vuelve más y más ideal, lo cual ocurre, cuando se aproxima a la

configuración de una lámina de corriente cilíndrica e infinitamente larga, el campo 𝐵 en los

puntos de afuera tiende a cero.

La siguiente figura muestra las líneas de 𝐵 para un solenoide real, que está lejos de ser ideal,

puesto que la longitud es ligeramente mayor que el diámetro. Aun aquí, el espaciamiento de las

líneas de 𝐵 en el plano central muestra que el campo externo es mucho más débil que el campo

interno.

Aplicando la ley de Ampere:

∮ 𝐵 ∗ 𝑑𝑠 = 𝜇0𝑖

A la trayectoria rectangular 𝑎𝑏𝑐𝑑 en el solenoide ideal de la siguiente figura:


Escribimos la integral ∮ 𝐵 ∗ 𝑑𝑠 como la suma de cuatro integrales, una por cada segmento de la

trayectoria:

∮ 𝐵 ∗ 𝑑𝑠 = ∫ 𝐵 ∗ 𝑑𝑠𝑏

𝑎

+ ∫ 𝐵 ∗ 𝑑𝑠𝑐

𝑏

+ ∫ 𝐵 ∗ 𝑑𝑠 + ∫ 𝐵 ∗ 𝑑𝑠𝑎

𝑑

𝑑

𝑐

… 1

La primera integral a la derecha es 𝐵ℎ, donde 𝐵 es la magnitud de campo magnético dentro del

solenoide y ℎ es la longitud arbitraria de la trayectoria desde a hasta b. Nótese que la

trayectoria 𝑎𝑏, si bien paralela al eje del solenoide, no necesariamente coincide con él.

Resultará que 𝐵 adentro del solenoide es constante en su sección transversal e independiente

de la distancia desde el eje.

La segunda y cuarta integrales de la ecuación 1 son cero, porque en cada elemento de estas

trayectorias 𝐵 está en ángulo recto con la trayectoria (para los puntos dentro del solenoide) o

bien es cero (para los puntos fuera de él). En cualquier caso, 𝐵 ∗ 𝑑𝑠 es cero, y las integrales se

anulan. La tercera integral, que incluye la parte del rectángulo que se encuentra fuera del

solenoide, es cero porque hemos aceptado que 𝐵 es cero en todos los puntos externos de un

solenoide ideal.

Para toda la trayectoria rectangular, ∮ 𝐵 ∗ 𝑑𝑠 tiene el valor 𝐵ℎ. La corriente neta 𝑖 que pasa por

el anillo amperiano rectangular no es la misma que la corriente 𝑖0 en el solenoide porque el

devanado atraviesa el anillo más de una vez.

Si 𝑛 es el número de espiras por unidad de longitud: entonces la corriente total, que está fuera

de la página dentro del anillo amperiano rectangular de la figura mostrada anteriormente, es:

𝑖 = 𝑖0𝑛ℎ

La ley de Ampere se convierte entonces en:

𝐵ℎ = 𝜇0𝑖0𝑛ℎ

O sea:

𝐵 = 𝜇0𝑖0𝑛

La ecuación anterior muestra que el campo magnético adentro de un solenoide depende

únicamente de la corriente 𝑖0 y del número de espiras 𝑛 por unidad de longitud. Si bien se ha

deducido la ecuación para un solenoide ideal infinitamente largo, se cumple bastante bien con

los solenoides reales en los puntos internos cerca del centro del solenoide. Para un solenoide

ideal, la ecuación indica que 𝐵 no depende del diámetro o de la longitud del solenoide y que 𝐵

es constante en la sección transversal del solenoide. Por lo que el solenoide es una manera

práctica de crear un campo magnético uniforme.


Objetivos.

Determinar la constante de permeabilidad magnética en el interior de un solenoide.

Observar la variación del campo magnético que se produce en el solenoide al variar la

intensidad de corriente.

Observar cualitativamente la diferencia que existe entre dos equipos diferentes (uno

nuevo y uno viejo) al realizar el mismo experimento.

Material.

Equipo 1

1 solenoide de 300 espiras.

1 teslámetro.

1 plataforma movible.

1 reóstato de 100 Ω.

1 prensa.

1 sonda de hall axial (largo).

1 base para la sonda de hall.

1 prensa.

Equipo 2

Aparato medidor de campo magnético (Teslámetro).

Sonda de Hall Axial (largo).

Instrumento de bobina móvil.

Reóstato 100 Ω.

Interruptor de navaja.

Una carátula de 0 –1 amp.

Dos cables caimán-caimán.

Cinco cables banana-banana.

Cuatro cables banana-caimán.

Dos prensas.

Dos abrazaderas redondas.

Bobina patrón de cuatro capas (8 salidas).


Diseño del dispositivo.


Hipótesis.

La intensidad del campo magnético, que ese genera en el interior de un solenoide, es

directamente proporcional al cuadrado de la intensidad de corriente que se aplica en el interior

del solenoide.

PRIMERA PARTE DE LA PRÁCTICA.

Desarrollo experimental primer experimento (equipo moderno)

Los valores obtenidos en el laboratorio son los siguientes:

𝒊 (𝑨) 𝑩 (𝒎𝑻)

0.1 0.24

0.19 0.46

0.29 0.69

0.4 0.91

0.5 1.16

0.6 1.36

0.7 1.56

0.8 1.8

0.9 2.01

1 2.23

1.1 2.48

1.2 2.68

1.31 2.91

1.39 3.1

1.5 3.38

1.6 3.59

1.7 3.79

1.8 4.01

1.9 4.24

2.01 4.48

Donde:

𝐼 (𝐴) = Intensidad de corriente que se aplica en el interior del solenoide.

𝐵 (𝑚𝑇) = Campo magnético generado en el interior de un solenoide.


Los valores obtenidos a partir de la tabla son:

∑ 𝑥 = 20.99

∑ 𝑥2 = 28.728

∑ 𝑦 = 47.08

∑ 𝑦2 = 143.6708

∑ 𝑥𝑦 = 64.2434

Mientras que la grafica de dispersión es la siguiente:

En la grafica se puede observar que hay una tendencia casi lineal, esto indica una alta

correlación en los datos por lo cual no es necesario usar una transformación para la variable

independiente.

Por mínimos cuadrados los parámetros físicos obtenidos son los siguientes:

𝑏 = 0.03037 𝑚𝑇

𝑚 = 2.2140 𝑚𝑇

𝐴

𝑟 = 0.9999

y = 2.214x + 0.0304R² = 0.9999

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

B (

mT)

i (A)

Gráfico de dispersión de i (A), B (mT)


Calculo de 𝝁𝟎𝒆𝒙𝒑

Se tiene la ecuación de la recta:

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

Por lo tanto la ley física es:

𝐵 = 𝑚𝑖 + 𝑏

𝐵 = 2.2140 𝑚𝑇

𝐴 (𝑖) + 0.03037 𝑚𝑇

De la teoría sabemos que:

𝐵 = 𝑛𝜇0𝑖

Al comparar con la ley física, la pendiente es igual a:

𝑚 = 𝑛𝜇0

Despejando a 𝜇0:

𝜇0 =𝑚

𝑛

𝜇0 =𝑚

#𝑛𝐿

Sustituyendo:

𝜇0 =2.2140𝑥10−3 𝑇

𝐴300

0.17𝑚

𝝁𝟎𝒆𝒙𝒑 = 𝟏. 𝟐𝟓𝟒𝟔𝒙𝟏𝟎−𝟔𝑻𝒎

𝑨


Calculo del error experimental

Se tiene que:

𝐸𝑒𝑥𝑝 = ‖𝜇𝑡𝑒𝑜−𝜇𝑒𝑥𝑝

𝜇𝑡𝑒𝑜‖ ∗ 100%

𝐸𝑒𝑥𝑝 = ‖1.2566𝑥10−6 − 1.2546𝑥10−6

1.2566𝑥10−6‖ ∗ 100%

𝑬𝒆𝒙𝒑 = 𝟎. 𝟏𝟔%

Calculo de 𝜹𝝁

𝜇 =𝑚

𝑛

𝛿𝜇 = (1

𝑛) (𝛿𝑚)

𝛿𝑚 = 𝑆𝑛−2√𝑛

𝑛 ∑ 𝑋2 − (∑ 𝑥)2

𝑆𝑛−2 = √∑ (𝑌𝑖 − )2𝑛

𝑖=1

𝑛 − 2= √

0.004 × 10−3

18= 4.7 × 10−4𝑇

√𝑛

𝑛 ∑ 𝑋2 − (∑ 𝑥)2= 0.386𝐴

𝛿𝑚 = (4.7 × 10−4𝑇)(0.386𝐴) = 1.81 × 10−4𝑇

𝐴

𝛿𝜇 = (1

1764.7) (1.81 × 10−4)

𝜹𝝁 = 𝟏. 𝟎𝟐𝟔 × 𝟏𝟎−𝟕𝑻𝒎

𝑨


Desarrollo experimental primer experimento (equipo antiguo).

𝒊 (𝑨) 𝑩 (𝒎𝑻)

0.05 0.27

0.1 0.49

0.15 0.73

0.2 0.96

0.25 1.23

0.3 1.5

0.35 1.74

0.4 1.8

0.45 2.16

0.5 2.42

0.55 2.57

0.6 2.79

0.65 3

0.7 3.2

0.75 3.4

0.8 3.59

0.85 3.9

0.9 4.03

0.95 4.25

1 4.4

Donde:

𝐼 (𝐴) = Intensidad de corriente que se aplica en el interior del solenoide.

𝐵 (𝑚𝑇) = Campo magnético generado en el interior de un solenoide.


Los valores obtenidos a partir de la tabla son:

∑ 𝑥 = 10.5

∑ 𝑥2 = 7.175

∑ 𝑦 = 48.43

∑ 𝑦2 = 149.2705

∑ 𝑥𝑦 = 32.7115

Mientras que la grafica de dispersión es la siguiente:

Al igual que en la grafica para el equipo nuevo, en esta grafica se observa que hay una

tendencia lineal en los valores graficados, por lo cual no es necesario usar una transformación

para la variable independiente.

Por mínimos cuadrados los parámetros físicos obtenidos son los siguientes:

𝑏 = 0.1207 𝑚𝑇

𝑚 = 4.3824 𝑚𝑇

𝐴

𝑟 = 0.9989

y = 4.3824x + 0.1207R² = 0.9979

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

B (

mT)

i (A)

Gráfico de despersion de i (A), B (mT)


Calculo de 𝝁𝟎𝒆𝒙𝒑




𝐵 = 𝑚𝑖 + 𝑏

𝐵 = 4.3824 𝑚𝑇

𝐴 (𝑖) + 0.1207 𝑚𝑇




𝑚 = 𝑛𝜇0

Despejando a 𝜇0:

𝜇0 =𝑚

𝑛

𝜇0 =𝑚

#𝑛𝐿

Sustituyendo:

𝜇0 =4.3824𝑥10−3 𝑇

𝐴88 × 40.08𝑚

𝝁𝟎𝒆𝒙𝒑 = 𝟗. 𝟗𝟔𝒙𝟏𝟎−𝟕𝑇𝑚

𝐴



Se tiene que:


𝜇𝑡𝑒𝑜‖ ∗ 100%

𝐸𝑒𝑥𝑝 = ‖1.2566𝑥10−6 − 9.96𝑥10−7

1.2566𝑥10−6‖ ∗ 100%

𝑬𝒆𝒙𝒑 = 𝟐𝟎. 𝟑𝟐%

Calculo de la 𝜹𝝁

𝜇 =𝑚

𝑛

𝛿𝜇 = (1

𝑛) (𝛿𝑚)

𝛿𝑚 = 𝑆𝑛−2√𝑛

𝑛 ∑ 𝑋2 − (∑ 𝑥)2

𝑆𝑛−2 = √∑ (𝑌𝑖 − )2𝑛

𝑖=1

𝑛 − 2= √

0.068 × 10−3

18= 1.94 × 10−3𝑇

√𝑛

𝑛 ∑ 𝑋2 − (∑ 𝑥)2= 0.775

1

𝐴

𝛿𝑚 = (1.94 × 10−3𝑇)(0.775𝐴−1) = 1.5 × 10−3𝑇

𝐴

𝛿𝜇 = (1

4400) (1.5 × 10−3)

𝜹𝝁 = 𝟑. 𝟒𝟐 × 𝟏𝟎−𝟕𝑻𝒎

𝑨


SEGUNDA PARTE DE LA PRÁCTICA.

Medición de campo magnético para intensidad de corriente constante.

𝑩𝒐𝒓𝒏𝒆𝒔 𝑩𝟏(mT)

A 0.22

B 0.22

C 0.22

D 0.21

𝐵1 = 0.2175 𝑚𝑇

𝑩𝒐𝒓𝒏𝒆𝒔 𝑩𝟐

AB 0.43

AC 0.44

AD 0.44

BC 0.44

BD 0.44

CD 0.43

𝐵2 = 0.4367 𝑚𝑇

𝑩𝒐𝒓𝒏𝒆𝒔 𝑩𝟑

ABC 0.68

ABD 0.68

ACD 0.66

BCD 0.66

𝐵3 = 0.67 𝑚𝑇

𝑩𝒐𝒓𝒏𝒆𝒔 𝑩𝟒

ABCD 0.88

𝐵4 = 0.88 𝑚𝑇

De donde:

𝐵𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠: Bornes contenidos en la orilla del solenoide.

𝐵: Campo magnético producido en el interior del solenoide.


Promedios densidad de espiras.

Borne Espiras

A 1087.5

B 1087.5

C 1100

D 1087.5

1 = 1090.625

Borne Espiras

AB 2175

AC 2187.5

AD 2175

BC 2187.5

BD 2175

CD 2187.5

2 = 2181.25

Borne Espiras

ABC 3275

ABD 3262.5

ACD 3275

BCD 3275

3 = 3271.85

Borne Espiras

ABCD 4362.5

4 = 4362.5

De donde:

𝐵𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠: Bornes contenidos en la orilla del solenoide.

𝐸𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎𝑠: Densidad de espiras.


Tabla de datos 3

(𝒎𝑻)

1090.625 0.2175

2181.25 0.4367

3271.875 0.67

4362.5 0.88

∑ 𝑥 = 1.090 × 104

∑ 𝑥2 = 3.57 × 107

∑ 𝑦 = 2.2042

∑ 𝑦2 = 1.4613

∑ 𝑥𝑦 = 7220.91

𝑏 = −4.15 × 10−3 𝑚𝑇

𝑚 = 2.03 × 10−4 𝑚𝑇. 𝑚

𝑟 = 0.9998

y = 0.0002x - 0.0042R² = 0.9996

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1000 2000 3000 4000 5000

n

M (mT)

Gráfico de dispersión para los datos de la tabla 3


En esta grafica se observa que hay una tendencia lineal en los valores graficados, por lo cual no

es necesario usar una transformación para la variable independiente.

Ley física.




𝐵 = 𝑚𝑛 + 𝑏

𝐵 = 2.03 × 10−4 𝑚𝑇. 𝑚 (𝑛) − 4.15 × 10−3 𝑚𝑇




𝑚 = 𝑖𝜇0

Despejando a 𝜇0:

𝜇0 =𝑚

𝑖

Sustituyendo:

𝜇0 =2.0310−7𝑇

0.2𝐴𝑚

𝝁𝟎𝒆𝒙𝒑 = 𝟏. 𝟎𝟏𝟓𝒙𝟏𝟎−𝟔𝑇𝑚

𝐴



Se tiene que:


𝜇𝑡𝑒𝑜‖ ∗ 100%

𝐸𝑒𝑥𝑝 = ‖1.2566𝑥10−6 − 1.015𝑥10−6

1.2566𝑥10−6‖ ∗ 100%

𝑬𝒆𝒙𝒑 = 𝟏𝟗. 𝟐𝟐%

Conclusiones

La practica 9 llamada campo magnético en el interior de un solenoide tuvo como objetivos el

determinar la constante de permeabilidad magnética en el interior de un solenoide, poder

observar la variación del campo magnético que se produce en el solenoide al variar la

intensidad de corriente y finalmente el observar cualitativamente la diferencia que existe entre

dos equipos diferentes (uno nuevo y uno viejo) al realizar el mismo experimento.

En lo que corresponde a la primer parte de la práctica, tanto para el equipo nuevo como el

viejo, se realizo lo siguiente:

Primero se trazo una grafica de dispersión de los datos obtenidos en el laboratorio, después de

obtuvieron los parámetros físicos y obteniendo la siguiente ley física para el equipo nuevo:

𝐵 = 2.2140 𝑚𝑇

𝐴 (𝑖) + 0.03037 𝑚𝑇

Y para el equipo viejo:

𝐵 = 4.3824 𝑚𝑇

𝐴 (𝑖) + 0.1207 𝑚𝑇

Después se comparo la ecuación de la recta con la siguiente ecuación 𝐵 = 𝑛𝜇0𝑖 obteniendo que

𝑚 = 𝑛𝜇0 , despejando la constante de permeabilidad magnética se obtuvo que 𝜇0 =𝑚

𝑛 , al

sustituir se encontraron los respectivos valores para la constante de permeabilidad magnética,

tanto para el equipo nuevo como para el viejo, el valor de 𝜇0 para el equipo nuevo es:

𝜇0𝑒𝑥𝑝 = 1.2546𝑥10−6𝑇𝑚

𝐴


Mientras que para el equipo viejo el valor obtenido es el siguiente:

𝜇0𝑒𝑥𝑝 = 9.96𝑥10−7𝑇𝑚

𝐴

Asimismo el error experimental para el equipo nuevo es:

𝐸𝑒𝑥𝑝 = 0.16%

Y para el equipo viejo:

𝐸𝑒𝑥𝑝 = 20.32%

Finalmente en esta primera parte de la práctica se calculo el valor de 𝛿𝜇 y se obtuvo para el

equipo nuevo el siguiente valor:

𝛿𝜇 = 1.026 × 10−7𝑇𝑚

𝐴

Entretanto para el equipo viejo se obtuvo que:

𝛿𝜇 = 3.42 × 10−7𝑇𝑚

𝐴

Los resultados obtenidos de la primer parte de la práctica, dejan entrever que ambos

experimentos se realizaron bajo unas condiciones bastante aceptables, porque los resultados

de los errores experimentales son relativamente pequeños especialmente para el equipo viejo,

probablemente los errores cometidos en el experimento se deban a errores de calibración en el

equipo utilizado, por la interacción del campo magnético en el solenoide o bien por la persona

que sostenía tanto la sonda de Hall como el solenoide lo anterior solo ocurre en el caso del

equipo viejo, porque en el equipo nuevo una plataforma movible sostenía el solenoide.

Para la segunda parte de la práctica primero se obtuvieron los valores experimentales para el

campo magnético generado a una intensidad de corriente constante que fue de 0.2 𝐴, estos

valores se obtuvieron por medio de diferentes conexiones para los bornes del solenoide. De

igual manera se obtuvieron valores experimentales para la densidad de espiras del solenoide.

Una vez con esos valores se calcularon promedios para cada una de las combinaciones de

bornes del solenoide, tanto para el campo magnético como para la densidad de espiras,

posteriormente se realizo una tabla con los promedios obtenidos, teniendo a la densidad de

espiras como la variable independiente y al campo magnético como la variable dependiente.

Con esos valores se hizo una grafica de dispersión y se obtuvieron sus correspondientes

parámetros físicos.


Después se comparo la ecuación de la recta con la siguiente ecuación 𝐵 = 𝑛𝜇0𝑖 obteniendo que

𝑚 = 𝑛𝜇0 , despejando la constante de permeabilidad magnética se obtuvo que 𝜇0 =𝑚

𝑛 , al

sustituir se encontraron los respectivos valores para la constante de permeabilidad magnética

que es:

𝜇0𝑒𝑥𝑝 = 1.015𝑥10−6𝑇𝑚

𝐴

Asimismo el error experimental es:

𝐸𝑒𝑥𝑝 = 19.22%

Sin más que mencionar esas han sido las conclusiones acerca de la practica 9 correspondiente

al tema de campo magnético en el interior de un solenoide, no sin antes decir que la practica

fue muy interesante y contribuyo en demasía a incrementar el conocimiento en torno al campo

magnético.

Bibliografía

Serway, Jewett, Física para Ciencias e Ingenierías Volumen II, 6 edición, Edit. Thomson,

México 2005.

Tipler, Mosca, Física Para La Ciencia y la Tecnología Volumen II, 5 edición, Edit. Reverte,

España 2005.

Resnick, Halliday, Krane, Física, 4ta edición, Edit. CECSA, México D.F., 1998.

Campo Magnetico en El Interior de Un Solenoide

Documents

Transcript of Campo Magnetico en El Interior de Un Solenoide