0. Historia! 2

1.- A Lúa e a mazá! 3

2.- Lei de Newton da Gravitación! 4

3.1.- Enerxía Potencial Gravitatoria! 8

3.2.- Velocidad de escape! 9

3.3.- Satélites e corpos celestes! 9

4.- Campo Gravitatorio! 10

5.- Potencial Gravitatorio! 12

6.- Lei de Gauss! 12

6.1.- Aplicacions da lei de Gauss! 13

CAMPO GRAVITATORIO

1

• 0. Historia! Na antigüidade descubriuse por primeira vez a maneira en que os planetas parecían moverse no ceo e chegouse á conclusión de que todos eles, incluída a Terra, xiraban arredor do Sol. Isto mesmo foi redescuberto por Copérnico despois de que a xente o tivese esquecido. A pregunta que veu a continuación foi: Exactamente, cómo se moven arredor do Sol, é dicir, con que tipo de movemento? Ocupa o Sol o centro dunha circunferencia ou ben trazan os planetas outro tipo de curva? A que velocidade se moven?, etc. Estes descubrimentos foron máis lentos en producirse. A época posterior a Copérnico foi unha época de grandes debates sobre se en realidade a Terra tamén xiraba arredor do Sol xunto cos demais planetas ou se a Terra estaba no centro do universo, etc. Foi entón cando a un home chamado Tycho Brahe se lle ocorreu unha maneira de contestar a pregunta. Pensou, que se cadra, sería unha boa idea fixarse moi coidadosamente na posición dos planetas no ceo e, desta maneira, distinguir unhas teorías das outras. Esta é precisamente a base da ciencia moderna e representa o principio do verdadeiro coñecemento da natureza. Con esta idea, Tycho, un home rico que posuía una illa cerca de Copenhague, habilitou nela grandes circunferencias de bronce e diversos postos especiais de observación e apuntou noite tras noite a posición dos planetas.! Cando todos estes datos foron recompilados, chegaron a mans de Kepler quen, con eles, intentou analizar o tipo de traxectoria que describen os planetas arredor do Sol. Para isto empregou un método de proba e erro. En certa ocasión pensou que dera coa resposta; a súa idea era que os planetas trazaban circunferencias co Sol colocado fóra do centro. Pero Kepler deuse conta de que un planeta estaba fóra de sitio por uns oito minutos de arco e decidiu que a diferenza era demasiado grande para pensar que Tycho cometera un erro. Así pois, grazas á precisión dos experimentos de Tycho, Kepler puido continuar probando para chegar, en última instancia, a descubrir tres cousas.! Primeiro descubriu que os planetas describían elipses arredor do Sol, sendo este un dos focos das elipses. Estas son curvas coñecidas de todos porque son como un círculo esmagado. Utilizando un fío que pasa arredor dun lapis e que está suxeito a dúas chinchetas (os focos) pódese debuxar unha elipse. ! A seguinte pregunta é: De que maneira describe o planeta a elipse? Vai máis rápido cerca do sol? Vai máis a modo lonxe do Sol? Kepler tamén deu coa resposta a esta pregunta. Descubriu que se se fixa primeiro a posición dun planeta en dous momentos distintos, separados por un período de tempo determinado (digamos que de tres semanas) e posteriormente, noutro lugar da súa órbita, fíxanse outras dúas posicións do planeta separadas de novo por tres semanas, e trázanse as liñas que unen o sol co planeta (denominadas radios vectores), a área definida pola órbita do planeta e os dous radios, correspondentes á posición do planeta a tres semanas de intervalo, é a mesma, en calquera parte da órbita. En consecuencia, o planeta ten que ir máis de presa cando está próximo ao Sol e máis lento cando está lonxe, senón as dúas áreas non serían idénticas.! Algúns anos máis tarde, Kepler descubriu unha terceira regra que non se refería soamente ao movemento dun único planeta arredor do Sol, senón que relacionaba varios planetas entre si. Esta regra afirma que o tempo que tarda un planeta en dar unha volta completa arredor do Sol está en relación co tamaño da súa órbita e que este tempo varía segundo a raíz cadrada do cubo do tamaño da órbita, entendendo por tamaño da órbita o do maior dos diámetros da elipse. Kepler obtivo, pois, estas tres leis que se resumendicindo que a órbita ten forma de elipse, que áreas iguais son cubertas en tempos iguais e que o tempo que tarda un planeta en dar unha volta enteira é proporcional ao tamaño da órbita elevado a tres medios.

Extracto do Carácter da lei física, de Richard Feynman

CAMPO GRAVITATORIO

2

• 1.- A Lúa e a mazá Cando Newton tiña 23 años, mentres traballaba sobre a gravidade, dixo que a Lúa é un obxecto que cae cara á Terra como calquera outro - como por exemplo, una mazá caendo dunha árbore do seu xardín -. Imaxinemos a Lúa en calquera punto A da súa órbita. Se estivese libre de toda forza, percorrería unha liña recta AB tanxente á órbita en A. Polo contrario, segue o arco AP. Se O é o centro da Terra, a Lúa caeu a distancia BP cara a O, aínda cando a súa distancia radial r non varíe. Calculemos canto cae a Lúa en 1s e comparémolo coa distancia caída por un obxecto lanzado horizontalmente nas proximidades da Terra.

Consideremos o triángulo ONP, no cal temos

ON =r- y NP= x OP=r

r − y( )2 + x2 = r2

x2 = 2ry − y2

Como y << r para calquer valor pequeno de i , podemos escribir

Se θ e pequeno, a lonxitude do arco AP é case igual á distancia AB, pudindo escribir

y =s2

2r

y= 2rx2

Substituíndo os datos da distancia Terra - Lúa e do período lunar, que Newton coñecía

r = 3,8.108 m T= 27,3días= 2,4.106 s

obtivo que durante 1 s, a Lúa percorrerá unha distancia sobre a súa órbita de

s= 2,4.106

2r.3,8.108- 1000m

! Durante ese tempo cae unha distancia vertical

y= 7,6.108

106= 1,3.10- 3m

! Por outra parte, para un obxecto próximo á superficie da Terra, lanzado horizontalmente, o desprazamento vertical vén dado por

y1= 2

1gt2 = 4,9m

CAMPO GRAVITATORIO

3

! A relación entre os espazos percorridos é

y1y = 2,7 $ 10-4 = 3700

1 =6021

! Newton sabía que o radio da órbita da Lúa era unhas 60 veces o da Terra, e polo tanto considerou que a Lúa era atraída cunha forza que varía coa inversa do cadrado da distancia. Newton non publicou o seu traballo até que demostrou que un corpo na superficie da Terra era atraído cunha forza que variaba coa inversa do cadrado da distancia, supoñendo que toda a masa estaba no centro; isto non ocorre até 20 años máis tarde.

• 2.- Lei de Newton da Gravitación! Se a Lúa non vai en liña recta, que pasa entón? Newton respondeu: é necesaria unha forza para modificar dalgunha maneira a velocidade. Se resulta que cambia de dirección, entón é que a forza debe ser aplicada lateralmente. Se un planeta describe unha circunferencia arredor do sol, non é necesaria forza algunha para facer que se mova tanxencialmente. Pero ten que existir una forza que faga curvar a traxectoria de tal forma que o planeta non se escapa senón que se inclina cara ao Sol. A forza que exerce o Sol sobre o planeta diríxese sempre cara ao Sol.

FS-T

T

Sol FS- T = mt $ an = mt $~2 $ RAplicando a ecuación fundamental da dinámica,

Se a órbita é circular e tendo en conta a 2ª lei de Kpler, a velocidade angular e constante e polo tanto o tempo que tarda en describir unha órbita e constante(periodo)

! Pola lei de acción e reacción, se o Sol exerce una forza sobre a Terra, a Terra exerce una forza sobre o Sol, do mesmo valor numérico, dada pola ecuación

FT- S = ms~2R = ms T2

4r2R = ms K R3

4r2R = ms R2

Kt , ondeKt = K4r2

A constante é distinta porque o centro de xiro é distinto en cada caso, un é o Sol e outro a Terra.

FT- S = FS- T & mt R2

Ks = ms R2Kt & mtKs = msKt & ms

Ks = mt

Kt = G

CAMPO GRAVITATORIO

4

T2 = K R3 Aplicando a 3ª lei de Kepler

FS- T = mt T24r2

R = mt K R34r2

R = mt R2Ks , dondeKs = K

4r2

ω =2πT

velocidade angular

FS−T = mTω2R = mT

2πT

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

2

R = mT4π2

T2 R

O cociente entre a constante e a masa do centro de xiro é independente do centro de xiro e o seu valor é unha constante denominada constante de gravitación universal, G, e seu valor é 6,67.10-11 Nm2/Kg2. A forza que exerce o Sol sobre a Terra vén dada pola ecuación

FS- T = G R2

msmt

en forma vectorial

FS- T = - G R2

msmt tr, donde tr é o vector unitario que une o sol coa terra

o signo menos indícanos que a forza é de atracción.

! A gran xenialidade de Newton foi estender a forza de atracción entre corpos cósmicos a todos os corpos con masa. Dous corpos, polo feito de ter masa, sofren una forza de atracción dada pola ecuación de Newton.

F =-G r2Mm tr

! “Que un corpo poda actuar sobre outro a unha certa distancia a través do vacio, sen mediación de nenghuna outra cosa a través da cual se pode transportar su acción e forza de un a outro, é para mín un absurdo tan enorme qe non creo qué ningun home que teña a facultade de pensar competentemente en materias filosóficas, poda xamais caer en él” Carta de Newton a un amigo.! A demostración experimental dá atracción de masas foi realizada por Cavendish, mediante unha balanza de torsión e que lle sirviu para calcular a densidade media dá terra. Utilizando o experimento de Cavendish obtívose experimentalmente o valor de G

!

A forza entre planetas dada pola ecuación de Newton é unha forza central, vai sempre dirixida cara ao corpo que exerce a forza e, polo tanto, ten a mesma dirección que o vector de posición; en consecuencia, o momento da forza é cero e o momento angular consérvase.

M= r# F = dtdL= 0& L = cte

CAMPO GRAVITATORIO

5

! O momento angular é constante en módulo, dirección e sentido. Ao ser constante en dirección e sentido implica que a traxectoria é plana. A conservación do momento angular en módulo implica a 2ª lei de Kepler: o radio vector do planeta varre áreas iguais en tempos iguais.

! A área varrida por un planeta no seu desprazamento é dA, que resulta ser aproximadamente igual á área do triángulo SPP´

dA = área SPP =

12

r ⋅ rdθ =12

r2dθ

o arco aproxímase a corda para ángulos pequenos

Definimos velocidade areolar dun planeta como a área varrida por unidade de tempo tendo en conta a relación entre o momento angular e a velocidade angular.

dtdA = 2

1r2 dtdi = 2

1mL

A eclíptica e o plano que conten a órbita da terra ó redor do sol, e tamén a traxectoria aparentedo sol o longo dun ano respecto do fondo das estrelas.

! A eclíptica intersecta co ecuador celeste en dous puntos opostos chamados equinoccios. Cando o sol aparece polos equinoccios a duración do día e igual ca da noite. A luz e perpendicular a terra. O punto da eclíptica máis o norte respecto do ecuador celeste denominase solsticio de verán no hemisferio norte e solsticio de inverno no hemisferio sur; e o punto máis o sur recibe ás denominacións opostas.! Denominase oblicuidade da eclíptica á inclinación que presenta o eixe de rotación da terra con respecto ó plano da eclíptica. É precisamente a falta da perpendicularidade entre o eixe de rotación propio da terra e o plano da eclíptica a responsable das estacións.! As leis do movemento en xeral e a de gravitación en particular, estableceronse de modo ideal para masas puntuais. Unha masa puntual é unha masa que se representa por un punto sen dimensiones, carecendo por iso de tamaño. Pero os corpos reais non son masas puntuais e se teñen un tamaño distinto de cero. Esta circunstancia introduce certos matices no comportamento dos obxectos que xirán sobre se mesmos, como lle sucede a Terra. Nun caso así a diferenza entre a atracción do lado mais cercano ao Sol e o mais lexano se traduce nun lento movemento polo

L = r # p= r #mv= mr # v , en modulo L = mrv= mr dtds = mr2 dt

di

s= ri

CAMPO GRAVITATORIO

6

que o eixo de rotación da Terra describe a sua vez unha circunferencia que completa cada 26.800 anos. O feito do que o eixe de rotación de noso planeta varie lentamente a dirección na que apunta é o que se chama “precesión dos equinocios”, nome que fai referencia o retraso da fecha do comenzo o terminación das estacións climáticas causado por iso.

! 3.- Traballo

! A forza exercida pola Terra sobre un corpo que estea situado a una distancia r vén dada pola ecuación de Newton

! Ten simetría esférica, é dicir, a Terra exerce a mesma forza sobre o corpo situado en calquera punto da esfera de radio r, e é non direccional -non ten funcións trigonométricas-. En consecuencia, a forza gravitatoria é una forza conservativa. Entón o traballo para levar un corpo de masa m desde un punto A a outro B, baixo a acción da forza gravitatoria exercida polo corpo de masa M, é independente do camiño que una os dous puntos.

Por esa razón se elixen dúas esferas concéntricas coa masa M, y que pasen polos puntos A e B. A traxectoria elixida é a seguinte: Dende o punto A seguindo a superficie esférica externa até o punto C , e dende C até B polo radio.

M

F

!

O traballo para levar o corpo m desde o punto A até o punto B é igual á suma dos traballos para levar o corpo desde A até C e desde C até B.

WA,B = WA,C + WC,B

! O traballo para levar a masa m desde o punto A até o punto C é nulo, porque a forza e o camiño percorrido son perpendiculares (a forza é de dirección radial e o camiño percorrido é tanxente coa superficie). !

WA,B = WC,B = F $ dlC

B# = - G r2

MmC

B# tr $ dl = - G r2

Mm$ (- dl

C

B# ) =

tr ydl son antiparalelos & tr $ dl = - dl

G r2Mm

C

B# dl = - G r2

MmdrA

B# = G r

MmA

B= G rB

Mm- G rAMm

os l ímites de integración para l e r son opostos

WA,B = rBGMm- rA

GMm

F = - G r2Mm tr, esta forza é do tipo

F x,y,z,n^ h = r2a tr onde a = f(n), n magnitude activa

CAMPO GRAVITATORIO

7

Si rA >rB rA

1 < rB1

&WA,B >0

Cando o corpo m se achega ao corpo M, o traballo é positivo. O traballo é realizado polo propio campo.

Si rA <rB rA

1 > rB1

&WA,B <0

Cando o corpo se afasta, o traballo é negativo. Temos que realizar un traballo en contra do campo.

! 3.1.- Enerxía Potencial Gravitatoria! Como a forza gravitatoria é conservativa, deriva dun campo escalar a través do gradiente.

e o traballo vén dado por

WA,B = F $ dl

A

B# = - grdU $ dl

A

B# = - dr

dUA

B# $ dl = - U A

B = - (UB - UA)

O campo escalar U ten unidades de enerxía e denomínase Enerxía Potencial Gravitatoria. O traballo para levar un corpo desde o punto A até outro B é igual a menos a variación da enerxía potencial gravitatoria.

! Para calcular a enerxía gravitatoria nun punto do espazo, temos que elixir unha orixe de enerxías. O punto de referencia é o infinito, ao que lle asignamos o valor cero da enerxía gravitatoria.

WA,B = rBGMm- rA

GMm= - (UB - UA)

rBGMm- 3

GMm= - (UB - 0)

U = - rGMm

Si A= 3& UA = 0

! A enerxía potencial gravitatoria é igual ao traballo para traer o corpo desde o infinito até o punto cambiado de signo. Tamen podese definir como o traballo para levar o corpo desde o punto até o infinito.

! A enerxía gravitatoria é negativa; este resultado é lóxico, xa que a forza gravitatoria é de atracción e os dous corpos constitúen un sistema ligado.

F = - grdU

CAMPO GRAVITATORIO

8

Si rA >rB rA1 < rB

1& - rA

1 >- rB1& UA >UB

a forza gravitatoria diríxese cara a enerxías decrecentes

F

! 3.2.- Velocidad de escapeUn corpo situado na superficie da Terra ten una enerxía gravitatoria dada pola ecuación

! Se o corpo está en repouso, a enerxía do corpo será igual á enerxía gravitatoria, polo tanto, terá enerxía negativa e atópase nun pozo de potencial.

E = T+ UT = - RT

GMTm

Se lle comunicamos enerxía cinética, a enerxía total vai crecendo e cando sexa cero - iguálase a enerxía cinética coa gravitatoria- o corpo escapa á atracción gravitatoria terrestre e chega ao infinito. Para vencer a atracción gravitatoria, necesita unha enerxía cinética polo menos igual á enerxía potencial.

E=0

Es

EC

U(R)

! ! ! ! ! !

Esta é a velocidade que ten que ter o corpo para escapar da atracción terrestre, coñecida co nome de velocidade de escape.

! 3.3.- Satélites e corpos celestesA expresión Uef denomínase enerxía efectiva e consta de dos termos, un a enerxía potencial gravitatoria e outro a enerxiá cinética correspondente ao movemento azimutal.

UT = - RT

GMTm

CAMPO GRAVITATORIO

9

E

R

A

B C

D

E

E

E1

2

3

4E

Uef =

L2

2mr 2− G

Mmr

• 4.- Campo Gravitatorio! A magnitude activa que crea o campo gravitatorio é a masa. Calquera masa orixina unha perturbación en todos os puntos do espazo que a rodea. Esta perturbación ponse de manifesto cando ao colocar unha masa testemuña nun punto do espazo, sobre ela aparece una forza que vén dada pola lei de Gravitación de Newton. !! Definimos Intensidade de campo gravitatorio como o cociente entre a forza que exerce a masa m sobre a masa testemuña, e o valor da masa testemuña.

g= mo

Fm,mo

g= mo

- r2GMmo tr

= - r2GM tr

! O campo gravitatorio verifica o principio de superposición. Se temos un conxunto de masas o campo total é a suma de cada un deles.

g= gi/ = g1+ g2+ ...+ gn

CAMPO GRAVITATORIO

10

Se o corpo ten unha enerxía negativa E1 curta a gráfica no punto A, a traxectoria do corpo sería unha circunferencia.Se o corpo ten enerxía negativa E2 curta a gráfica nos puntos B e C, a traxectoria do corpo sería unha elipse, onde B sería o perigeo e C o apoxeo.Se o corpo ten unha enerxía positiva E4 se aproxíma ata unha distancia mínima D do centro de forzas e posteriormente se afasta, a traxectoria sería unha hiperbola.

! Como a magnitude activa é un escalar, a masa, as liñas de campo gravitatorio son abertas e diríxense cara a ela, é decir, a masa é un sumidoiro

! !

M

! 4.1.- Variacions do campo gravitatorio coa altura e a latitude

! a) Variación coa altura: na superficie da Terra, a gravidade ten una intensidade aproximadamente constante que vén dada pola expresión

!go = - RT

2GMT tr

Porén, diferenzas de altura provocan pequenas variacións na intensidade ao variar a distancia ao centro da Terra. Se nos atopamos a unha altura h, pequena comparada co radio da Terra,

g= (RT + h)2GMT =

RT2(1+ RT

h )2GMT = RT

2GMT 1+ RT

hb l

- 2= go 1+ RT

hb l

- 2

! facendo un desenvolvemento en serie do cadrado

g= go 1- RT

2hb l

b) Variación coa latitude

! A Terra xira cunha velocidade angular constante segundo o eixe NS. Un corpo situado a una latitude i do ecuador, que forza exercerá sobre a superficie terrestre? Que aceleración observará?

N+ Fccosi - P = 0N = P - Fccosi = mg- m~2rcosi, sustitu índo r polo seu valor r = RTcosi

N = mg- m~2RTcos2i, e a aceleración éar = g- ~2RTcos2i

si i = 0 N = mg- m~2RT y ar = g- ~2RT

si i = 90 N = mg y ar = g !

Nos polos, a forza coincide co peso e a aceleración coa aceleración da gravidade.

CAMPO GRAVITATORIO

11

• 5.- Potencial Gravitatorio! O campo gravitatorio é un campo conservativo, ten simetría esférica -calquera punto dunha esfera ten o mesmo módulo de campo, e é non direccional- na expresión do campo non aparecen funcións trigonométricas-; polo tanto, verifica que

g= - grdV= - dr

dV , V campo escalar

e a circulación entre dous puntos é independente do camiño elixido para unilos.

g $ dlA

B# = - r2

GM tr $ dlA

B# = - r2

GM drA

B# = G r

MA

B= G rB

M - G rAM

g $ dlA

B# = - grdV$ dl

A

B# = - dr

dV$ dl

A

B# = - V A

B = - VB - VA^ h

Igualando ambas expresións

- VB - VA^ h = G rBM - G rA

M

Para calcular o potencial nun punto, temos que elixir unha orixe de potenciais. O punto que se elixe é o infinito.

Si A/ 3& rA $ 3 y VA = 0

V= - G rM

Os puntos con igual radio teñen o mesmo valor do potencial. As superficies equipotenciais son esferas concéntricas coa masa.

! Relación entre U enerxía potencial e V potencial gravitatorio

U = - G rMm

V= - G rM

dividindo obtemosU = mV

O potencial gravitatorio é igual á enerxía gravitatoria por unidade de masa.

• 6.- Lei de Gauss! Imos calcular o fluxo do campo gravitatorio a través dunha superficie fechada queengloba unha masa m.

CAMPO GRAVITATORIO

12

Imos considerar unha superficie ds.

O fluxo a través desa superficie defínese como

dz = g $ dssubstituíndo a expresión do campo gravitatorio

dz = - G r2

m tr $ ds= - G r2mdscosa

ds cosa é a proxección do vector superficie na dirección de r, e representa a superficie efectiva que se observa desde o punto onde se atopa a masa m. Definimos ángulo sólido, o ángulo baixo o que se ve a superficie ds cosa , como

dX = r2

dscosa

O fluxo a través da superficie ds, será

dz = - GmdX

O fluxo para toda la superficie fechada S é a suma de todos os fluxos elementais, é dicir,

z = - GmdX

X# = - Gm dX

X#

O ángulo sólido baixo o que se ve a superficie é o mesmo para calquera superficie fechada, por iso eliximos como superficie de referencia unha esfera. O ángulo sólido baixo o que se ve una esfera é 4r

z = - 4rGm

! Se fóra da superficie fechada temos unha masa, inflúe no fluxo? Non, porque as liñas de campo gravitatorio entran, pero tamén saen, e o fluxo neto sería cero.

! 6.1.- Aplicacions da lei de Gauss! A lei de Gauss permítenos calcular o campo gravitatorio creado por masas que teñan simetría, por exemplo, unha esfera. As expresións anteriores son válidas para unha masa puntual, pero estendémolas a corpos celestes. Isto é posible pola lei de Gauss.

! Para unha esfera con r > R

CAMPO GRAVITATORIO

13

z = g $ dss# = g $ ds $ cosa

s# = - g $ ds

s# = - g ds

s# = - g4rr2

por simetr ía cosa= - 1 y g é constante en todolos puntos da esferaAplicando a lei de Gauss,z = - 4rGm= - g4rr2

g= G r2m

O campo gravitatorio creado por unha esfera de masa m, é igual ao creado por unha masa puntual m situado no centro da esfera.

con r < R

! O procedemento é o mesmo que no caso anterior; a diferenza é que a masa non é a total do corpo, senón unha parte, a comprendida até r!

z = - 4rGm= - g4rr2,m= t V= t34rr3

Gt34rr3 = gr2 & g= Gt3

4rr

! Dentro da esfera, o campo gravitatorio crece linealmente.

!

CAMPO GRAVITATORIO

14