ELECTROMAGNETISMO INGENIERÍA INDUSTRIAL

TEMA DE INVESTIGACIONELECTROMAGNETISMO

CAMPO ELECTRICO Y

POTENCIAL ELECTRICO

LIC. GILBERTO OLAN CAMPOS

INSTRUCTOR

C O N T E N I D O EDEN CANO RODRIGUEZINGENIERIA INDUSTRIAL

ELECTROMAGNETISMO INGENIERÍA INDUSTRIAL

T E M A D E I V E S T I G A C I O N

CAMPO ELECTRICO

Definición o Campo eléctrico uniforme o Campo eléctrico no uniforme o Definición mediante la Ley de Coulomb o Definición Formal

Líneas de campo eléctrico o Definición Temática o Descripción o Propiedades de Campo Eléctrico

Dipolo eléctrico o Momento de un Dipoloo Momento Dipolar De Una Distribución De Cargao Densidad volumétrica dipolar y densidades de carga ligada

Campo producido por cuerpos cargados no puntualeso Concepto de campo o Potencial debido a una carga puntual o Potencial debido a dos cargas puntuales

POTENCIAL ELECTRICO Concepto de potencial eléctrico Energía potencial eléctrica Cuerpo con carga puntual

o Esfera conductora cargada Conjunto de cuerpos con carga puntual Distribución continua de cargas

o Potencial eléctrico generado por una distribución discreta de cargas

o Potencial eléctrico generado por una distribución continua de cargas

Diferencia de potencial a) Por placas

b) por cilindros

Relación entre campo eléctrico y potencial eléctrico

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CAMPO ELECTRICO

DEFINICION CAMPO ELECTRICO La presencia de carga eléctrica en una región del espacio modifica las características de dicho espacio dando lugar a un campo eléctrico. Así pues,

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podemos considerar un campo eléctrico como una región del espacio cuyas propiedades han sido modificadas por la presencia de una carga eléctrica, de tal modo que al introducir en dicho campo eléctrico una nueva carga eléctrica, ésta experimentará una fuerza.

El campo eléctrico se representa matemáticamente mediante el vector campo eléctrico, definido como el cociente entre la fuerza eléctrica que experimenta una carga testigo y el valor de esa carga testigo (una carga testigo positiva).

La definición más intuitiva del campo eléctrico se la puede dar mediante la ley de Coulomb. Esta ley, una vez generalizada, permite expresar el campo entre distribuciones de carga en reposo relativo. Sin embargo, para cargas en movimiento se requiere una definición más formal y completa, se requiere el uso de cuadrivectores y el principio de mínima acción.

Debe tenerse presente de todas maneras que desde el punto de vista relativista, la definición de campo eléctrico es relativa y no absoluta, ya que observadores en movimiento relativo entre sí medirán campos eléctricos o "partes eléctricas" del campo electromagnético diferentes, por lo que el campo eléctrico medido dependerá del sistema de referencia escogido.

CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME

Sean A y B dos puntos situados en un campo eléctrico uniforme, estando A a una distancia d de B en la dirección del campo, tal como muestra la figura.

Una carga de prueba qse mueve de A hacia Ben un campo eléctrico uniforme E mediante un agente exterior que ejerce sobre ella una fuerza F.

Considérese una carga de prueba positiva q moviéndose sin aceleración, por efecto de algún agente externo, siguiendo la recta que une A con B.

La fuerza eléctrica sobre la carga será qE y apunta hacia abajo. Para mover la carga en la forma descrita arriba, se debe contrarrestar esa fuerza aplicando una fuerza externa F de la misma magnitud pero dirigida hacia arriba. El trabajo   realizado por el agente que proporciona esta fuerza es:

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Teniendo en cuenta que:

sustituyendo se obtiene:

Esta ecuación muestra la relación entre la diferencia de potencial y la intensidad de campo en un caso sencillo especial.

El punto B tiene un potencial más elevado que el A. Esto es razonable porque un agente exterior tendría que hacer trabajo positivo para mover la carga de prueba de A hacia B.

Una carga de prueba q se mueve de A hacia B en un campo eléctrico no uniforme E mediante un agente exterior que ejerce sobre ella una fuerza F.

CAMPO ELÉCTRICO NO UNIFORME

En el caso más general de un campo eléctrico no uniforme, este ejerce una

fuerza   sobre la carga de prueba, tal como se ve en la figura. Para evitar que la

carga acelere, debe aplicarse una fuerza   que sea exactamente igual a   para todas las posiciones del cuerpo de prueba.

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Si el agente externo hace que el cuerpo de prueba se mueva siguiendo un

corrimiento   a lo largo de la trayectoria de A a B, el elemento de trabajo

desarrollado por el agente externo es  . Para obtener el trabajo total   hecho por el agente externo al mover la carga de A a B, se suman las contribuciones al trabajo de todos los segmentos infinitesimales en que se ha dividido la trayectoria. Así se obtiene:

Como  , al sustituir en esta expresión, se obtiene que

Si se toma el punto A infinitamente alejado, y si el potencial   al infinito toma el valor de cero, esta ecuación da el potencial en el punto B, o bien, eliminando el subíndice B,

Estas dos ecuaciones permiten calcular la diferencia de potencial entre dos puntos

cualesquiera si se conoce .

DEFINICION MEDIANTE LA LEY DE COULOMB Partiendo de la ley de Coulomb que expresa que la fuerza entre dos cargas en reposo relativo depende del cuadrado de la distancia, matemáticamente es igual a:1

Dónde:

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 es la permitividad eléctrica del vacío, constante definida en el sistema

internacional, Son las cargas que interactúan,

 es la distancia entre ambas cargas,, es el vector de posición relativa de la carga 2 respecto a la carga 1.

y   es el unitario en la dirección  . Nótese que en la fórmula se está usando , esta es la permitividad en el vacío. Para calcular la interacción en otro medio es necesario cambiar la permitividad de dicho medio. ( )

La ley anterior presuponía que la posición de una partícula en un instante dado, hace que su campo eléctrico afecte en el mismo instante a cualquier otra carga. Ese tipo de interacciones en las que el efecto sobre el resto de partículas

parece depender sólo de la posición de la partícula causante sin importar la distancia entre las partículas se denomina en física acción. Si bien la noción de acción a distancia fue aceptada inicialmente por el propio Newton, experimentos más cuidados a lo largo del siglo XIX llevaron a desechar dicha noción como no-realista. En ese contexto se pensó que el campo eléctrico no sólo era un artificio matemático sino un ente físico que se propaga a una velocidad finita (la velocidad de la luz) hasta afectar a otras partículas. Esa idea conllevaba modificar la ley de Coulomb de acuerdo con los requerimientos de la teoría de la relatividad y dotar de entidad física al campo eléctrico.1 Así, el campo eléctrico es una distorsión electromagnética que sufre el espacio debido a la presencia de una carga. Considerando esto se puede obtener una expresión del campo eléctrico cuando este sólo depende de la distancia entre las cargas:

Donde claramente se tiene que, la que es una de las definiciones más conocidas acerca del campo eléctrico. Para una distribución continua de cargas el campo eléctrico viene dado por:

DEFINICION FORMAL

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La definición más formal de campo eléctrico, válida también para cargas moviéndose a velocidades cercanas a la de la luz, surge a partir de calcular la acción de una partícula cargada en movimiento a través de un campo electromagnético.2 Este campo forma parte de un único campo electromagnético tensorial   definido por un potencial cuadrivectorial de la forma:

donde   es el potencial escalar y   es el potencial vectorial tridimensional. Así, de acuerdo al principio de mínima acción, se plantea para una partícula en movimiento en un espacio cuadridimensional:

Donde   es la carga de la partícula,   es su masa y   la velocidad de la luz. Reemplazando (1) en (2) y conociendo que  , donde   es el

diferencial de la posición definida   y   es la velocidad de la partícula, se obtiene:

El término dentro de la integral se conoce como el lagrangiano del sistema; derivando esta expresión con respecto a la velocidad se obtiene el momento de la partícula, y aplicando las ecuaciones de Euler-Lagrange se encuentra que la variación temporal de la cantidad de movimiento de la partícula es:

De donde se obtiene la fuerza total de la partícula. Los dos primeros términos son independientes de la velocidad de la partícula, mientras que el último depende de ella. Entonces a los dos primeros se les asocia el campo eléctrico y al tercero el campo magnético. Así se encuentra la definición más general para el campo eléctrico:

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La ecuación (5) brinda mucha información acerca del campo eléctrico. Por un lado, el primer término indica que un campo eléctrico es producido por la variación temporal de un potencial vectorial descrito como   donde   es el campo magnético; y por otro, el segundo representa la muy conocida descripción del campo como el gradiente de un potencial.

LINEAS DE CAMPO ELECTRICO El concepto de líneas de campo (o líneas de fuerza) fue introducido por Michael Faraday (1791-1867). Son líneas imaginarias que ayudan a visualizar cómo va variando la dirección del campo eléctrico al pasar de un punto a otro del espacio. Indican las trayectorias que seguiría la unidad de carga positiva si se la abandona libremente, por lo que las líneas de campo salen de las cargas positivas y llegan a las cargas negativas.

En física, las líneas de campo son una ayuda para visualizar un campo electrostático, magnético o cualquier otro campo vectorial estático. Esencialmente forman un mapa del campo. Se llaman líneas de campo eléctrico a aquellas líneas que, en cada uno de sus puntos, son tangentes al vector campo eléctrico. El campo eléctrico puede por tanto representarse mediante estas líneas, que indicarán la dirección del campo en cualquier punto. El campo eléctrico creado por una carga puntual es un campo central (el vector campo siempre tiene dirección radial), por lo que sus líneas de campo serán rectas que se cortan en el punto donde está situada la carga. Las líneas de campo debidas a varias cargas puntuales son líneas curvas, cuya forma depende de los valores de las cargas y de sus posiciones.

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DEFINICION TEMATICA

Dado un campo vectorial definido sobre una región d ℝn o sobre un abierto de una variedad diferenciable las líneas de campo son las curvas integrales de dicho campo vectorial.

Expresándolo con una ecuación, siendo F(X) un campo vectorial de R3→R3, una línea de flujo para F es una trayectoria α(t)R→R3, tal que:

F(α(t))= α'(t) 

Esto es, F produce el campo de velocidad de la trayectoria α(t).

Así dada una región física donde se ha definido un campo vectorial estático, existe una colección de curvas tales que:

(1) Todo punto de la región donde existe el campo pertenece a una y sólo una de las curvas de la colección, trivialmente eso implica que las curvas de campo no se intersecan entre sí.

(2) El vector tangente a cualquiera de las curvas coincide con el campo vectorial.

DESCRIPCION

Cada línea está dibujada de forma que el campo es tangente a la misma en cada punto de ésta y las puntas de las flechas indican la dirección del campo (Suponiendo una carga positiva). El espacio entre ellas indica el valor del campo. En las regiones en donde las líneas están muy juntas este es muy grande, mientras que donde están muy separadas es muy pequeño.

De aquí se deduce que la densidad de líneas es proporcional al campo. Así, un campo uniforme estará representado por líneas de campo igualmente espaciadas, rectas y paralelas.

Además las líneas de campo definen superficies equipotenciales perpendiculares a estas.

PROPIEDADES DE LAS LINEAS DE CAMPO

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La dirección del recorrido es el mismo que el del vector en cada punto. Pueden ser cerradas, como en el campo magnético; o abiertas, como en el

campo gravitatorio. No se pueden cortar. Si son salientes, el punto de donde proceden se llama fuente. Si son entrantes,

se llama sumidero. Si el campo es uniforme, son rectas paralelas e igualmente espaciadas. Cuando tienden a converger el campo es más intenso. Son perpendiculares a las superficies equipotenciales

CONCEPTO DE DIPOLO ELECTRICO

Un dipolo eléctrico es un sistema de dos cargas de signo opuesto e igual magnitud cercanas entre sí.

Los dipolos aparecen en cuerpos aislantes dieléctricos. A diferencia de lo que ocurre en los materiales conductores, en los aislantes los electrones no son libres. Al aplicar un campo eléctrico a un dieléctrico aislante éste se polariza dando lugar a que los dipolos eléctricos se reorienten en la dirección del campo disminuyendo la intensidad de éste.

Es el caso de la molécula de agua, aunque tiene una carga total neutra (igual número de protones que de electrones), presenta una distribución asimétrica de sus electrones, lo que la convierte en una molécula polar, alrededor del oxígeno se concentra una densidad de carga negativa, mientras que los núcleos de hidrógeno quedan desnudos, desprovistos parcialmente de sus electrones y manifiestan, por tanto, una densidad de carga positiva. Por eso en la práctica, la molécula de agua se comporta como un dipolo.

Así se establecen interacciones dipolo-dipolo entre las propias moléculas de agua, formándose enlaces o puentes de hidrógeno. La carga parcial negativa del oxígeno de una molécula ejerce atracción electrostática sobre las cargas parciales positivas de los átomos de hidrógeno de otras moléculas adyacentes.

Aunque son uniones débiles, el hecho de que alrededor de cada molécula de agua se dispongan otras cuatro moléculas unidas por puentes de hidrógeno permite que se forme en el agua (líquida o sólida) una estructura de tipo reticular, responsable

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en gran parte de su comportamiento anómalo y de la peculiaridad de sus propiedades fisicoquímicas.

MOMENTO DE UN DIPOLO

Si se coloca un dipolo en un campo eléctrico ( ) uniforme, ambas cargas (+Q y -Q), separadas una distancia 2a, experimentan fuerzas de igual magnitud y de

dirección contraria   y  , en consecuencia, la fuerza neta es cero y no hay aceleración lineal (ver figura (a)) pero hay un torque neto respecto al eje que pasa por O cuya magnitud está dada por:

Teniendo en cuenta que   y  , se obtiene:

Así, un dipolo eléctrico sumergido en un campo eléctrico externo  , experimenta un torque que tiende a alinearlo con el campo:

Los vectores respectivos se muestran en la figura (b).

Se define el momento dipolar eléctrico   como una magnitud

Vectorial con módulo igual al producto de la carga q por la distancia que las separa d, cuya dirección va de la carga negativa a la positiva:

Para valores suficientemente bajos del módulo del campo eléctrico externo, puede probarse que el momento dipolar es aproximadamente proporcional a aquél. En efecto:

Siendo   la polarizabilidad electrónica.

Debe hacerse trabajo (positivo o negativo) mediante un agente externo para cambiar la orientación del dipolo en el campo. Este trabajo queda almacenado como energía potencial U en el sistema formado por el dipolo y el dispositivo utilizado para establecer el campo externo.

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Si   en la figura (a) tiene el valor inicial , el trabajo requerido para hacer girar el dipolo, está dado por:

Teniendo en cuenta la igualdad:

Como solo interesan los cambios de energía potencial, se escoge la orientación de referencia   de un valor conveniente, en este caso 90º. Así se obtiene:

lo cual se puede expresar en forma vectorial:

MOMENTO DIPOLAR DE UAN DISTRIBUCION DE CARGA

Dos cargas puntuales iguales q y de signo contrario, separadas una distancia   (colocada a lo largo del eje X) tienen un campo eléctrico dado por:

 

Dónde:

 es el ángulo formado por el vector de posición de un punto dentro del campo y el momento dipolar del par de cargas.

 es la distancia al centro del dipolo.

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Desarrollando la expresión anterior en desarrollo en serie de Taylor hasta primer orden se obtiene:

Ignorando   frente a  , teniendo en cuenta que   y que   y escribiendo rotando a ejes generales se tiene:

Densidad volumétrica dipolar y densidades de carga ligada

Si en lugar de disponer de un único dipolo disponemos de una cierta distribución dipolar de carga hemos de introducir una nueva característica del medio definida como el momento dipolar por unidad de volumen.

Esta densidad dipolar "genera" unas densidades de carga que crean un campo equivalente a las cargas libres. Se genera una densidad de carga volumétrica en toda la distribución y una carga superficial en la frontera que separa el material del exterior. Vienen dadas por las siguientes expresiones.

CAMPOS PRODUCIDOS POR CUERPOS CARGADOS NO PUNTUALES

(CONCEPTO DE CAMPO)

Es más útil, imaginar que cada uno de los cuerpos cargados modifica las propiedades del espacio que lo rodea con su sola presencia. Supongamos, que solamente está presente la carga Q, después de haber retirado la carga q del

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punto P. Se dice que la carga Q crea un campo eléctrico en el punto P. Al volver a poner la carga q en el punto P, cabe imaginar que la fuerza sobre esta carga la ejerce el campo eléctrico creado por la carga Q.

Cada punto P del espacio que rodea a la carga Q tiene una nueva propiedad, que se denomina campo eléctrico. E que escribiremos mediante una magnitud vectorial, que se define como la fuerza sobre la unidad de carga positiva imaginariamente situada en el punto P.

La unidad de medida del campo en el S.I. de Unidades es el N/C

En la figura, hemos dibujado el campo en el punto P producido por una carga Q positiva y negativa respectivamente.

Ejemplos de potencial eléctrico asociados a diferentes distribuciones de carga

Potencial debido a una carga puntual

Una carga de prueba q, se mueve, mediante un agente exterior de A hasta B en el campo producido por una carga 

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Considérense los puntos A y B y una carga puntual q tal como muestra la figura.

Según se muestra,   apunta a la derecha y  , que siempre está en la dirección del movimiento, apunta a la izquierda. Por consiguiente:

Ahora bien, al moverse la carga una trayectoria dl hacia la izquierda, lo hace en la dirección de la r decreciente porque r se mide a partir de q como origen. Así pues:

Por lo cual:

Combinando esta expresión con la de E para una carga puntual se obtiene:

Escogiendo el punto de referencia A en el infinito, esto es, haciendo que 

, considerando que   en ese sitio y eliminando el subíndice B, se obtiene:

Esta ecuación muestra claramente que las superficies equipotenciales para una carga puntual aislada son esferas concéntricas a la carga puntual.

Superficies equipotenciales producidas por una carga puntual

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Potencial debido a dos cargas puntuales

El potencial en un punto P debido a dos cargas es la suma de los potenciales debido a cada carga individual en dicho punto.

Siendo   y   las distancias entre las cargas   y   y el punto P respectivamente.

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POTENCIAL ELECTRICO

CONCEPTO DE POTENCIAL ELECTRICO El potencial eléctrico o potencial electrostático en un punto, es el trabajo que debe realizar un campo electrostático para mover una carga positiva desde dicho punto hasta el punto de referencia,1 dividido por unidad de carga de prueba. Dicho de otra forma, es el trabajo que debe realizar una fuerza externa para traer una carga positiva unitaria q desde el punto de referencia hasta el punto considerado en contra de la fuerza eléctrica a velocidad constante. Matemáticamente se expresa por:

El potencial eléctrico sólo se puede definir para un campo estático producido por cargas que ocupan una región finita del espacio. Para cargas en movimiento debe recurrirse a los potenciales de Liénard-Wiechert para representar un campo

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electromagnético que además incorpore el efecto de retardo, ya que las perturbaciones del campo eléctrico no se pueden propagar más rápido que la velocidad de la luz. Si se considera que las cargas están fuera de dicho campo, la carga no cuenta con energía y el potencial eléctrico equivale al trabajo necesario para llevar la carga desde el exterior del campo hasta el punto considerado. La unidad del Sistema Internacional es el voltio (V). Todos los puntos de un campo eléctrico que tienen el mismo potencial forman una superficie equipotencial. Una forma alternativa de ver al potencial eléctrico es que a diferencia de la energía potencial eléctrica o electrostática, él caracteriza sólo una región del espacio sin tomar en cuenta la carga que se coloca allí.

La referencia cero se suele tomar en el estado en que las cargas puntuales están muy separadas ("separadas infinitamente") y están en reposo.

TRABAJO ELECTRICO Y ENERGIA POTENCIAL ELCTRICA

La Energía potencial electrostática o Energía potencial eléctrica es un tipo de energía potencial (medida en julios) que resulta de la fuerza de Coulomb y está asociada a la configuración particular de un conjunto de cargas puntuales en un sistema definido. No se debe confundir con el potencial eléctrico (medido en voltios). El término "Energía potencial eléctrica" se suele emplear para describir la energía potencial en sistemas con campos eléctricos que varían con el tiempo, mientras que el término "Energía potencial electrostática" hace referencia a la energía potencial en sistemas con campos eléctricos constantes en el tiempo.

Considérese una carga eléctrica puntual   en presencia de un campo eléctrico  . La carga experimentará una fuerza eléctrica:

Esta fuerza realizará un trabajo para trasladar la carga de un punto A a otro B, de tal forma que para producir un pequeño desplazamiento   la fuerza eléctrica hará un trabajo diferencial   expresado como:

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Por lo tanto, integrando la expresión se obtiene el trabajo total realizado por el campo eléctrico:

Figura 1

Un caso particular de la fórmula anterior, es el de un campo eléctrico definido creado por una carga puntual estática Q. Sea una carga puntual   que recorre una determinada trayectoria A -B en las inmediaciones de una carga   tal y como muestra la figura 1. Siendo   el desplazamiento infinitesimal de la carga   en la dirección radial, el trabajo diferencial   se puede expresar así:

(4)

Para calcular el trabajo total, se integra entre la posición inicial A, distante   de la carga   y la posición final B, distante   de la carga  :

(5)

De la expresión (5) se concluye que el trabajo   no depende de la trayectoria seguida por la partícula, sólo depende de la posición inicial y final, lo cual implica

que la fuerza eléctrica   es una fuerza conservativa. Por lo tanto se puede definir una energía potencial que permite calcular el trabajo más fácilmente:

(6)

El trabajo realizado por la fuerza eléctrica para desplazar una partícula entre A y B será:

(7)

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Usualmente, el nivel cero de energía potencial se suele establecer en el infinito, es

decir, si y sólo si   (esto tiene que ver con la elección de la constante de integración en la fórmula del potencial).

CUERPO CON CARGA PUNTUAL

Una carga puntual es una carga eléctrica hipotética, de magnitud finita, contenida en un punto geométrico carente de toda dimensión, en otras palabras una carga puntual consiste en dos cuerpos con carga que son muy pequeños en comparación con la distancia que los separa. Esta suposición resulta muy práctica al resolver problemas de electrostática, pues los efectos derivados de una distribución de cargas en un espacio finito se anulan y el problema se simplifica enormemente.

Ya que el punto no tiene volumen, superficie ni longitud, la densidad (lineal, de superficie o volumétrica) de una carga puntual de magnitud finita es infinita; así que las cargas puntuales no existen en realidad. De cualquier modo,para resolver un problema donde las dimensiones reales del espacio en que está(n) contenida(s) la(s) carga(s) son despreciables comparándolas con otras dimensiones dadas por el problema, resulta muy útil considerar las cargas como puntuales. Éste es el caso del electrón, cuyo radio es inmensamente pequeño comparado con las distancias de las órbitas atómicas, por ejemplo...

En el caso de que la carga esté contenida dentro de una geometría esférica, ha sido demostrado que dicha carga se comporta exactamente como una carga puntual localizada en el centro de la esfera.

Para una carga puntual q en presencia de un campo eléctrico E producido por otra carga puntual Q, la energía potencial eléctrica se define como el negativo del trabajo hecho por la fuerza electrostática para llevar la carga desde la posición de referencia rref hasta la posición r: matemáticamente esto es una integral de línea.2 El campo eléctrico es conservativo, y, para una carga puntual, es radial, por lo que el trabajo es independiente de la trayectoria y es igual a la diferencia de energía potencial entre los puntos extremos del movimiento. Matemáticamente:

donde:

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r = posición en un espacio tridimensional, usando coordenadas

cartesianas r = (x, y, z), r = |r| es el módulo del vector de posición,  es el trabajo hecho para llevar la carga desde la posición de

referencia rref hasta r, F = Fuerza producida sobre q por Q, E = Campo eléctrico producido por Q.

Normalmente UE se considera cero cuando rref es infinito:

por lo que

Como E y por lo tanto F, y r, son radiales desde Q, F y dr deben ser anti paralelos por lo que

usando la Ley de Coulomb:

podemos evaluar la integral:

Normalmente la constante ke llamada Constante de Coulomb se usa en estas expresiones. En unidades del Sistema Internacional, la constante de Coulomb es

,

siendo   la constante dieléctrica.

ESFERA CONDUCTORA CARGADA

Sea Q la carga total almacenada en la esfera conductora. Por tratarse de un material conductor las cargas están situadas en la superficie de la esfera siendo neutro su interior.

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Potencial en el exterior de la corteza: El potencial en el exterior de la corteza es equivalente al creado por una carga puntual de carga Q en el centro de la esfera.

donde   es la distancia entre el centro de la corteza y el punto en el que medimos el potencial eléctrico.

Potencial en el interior de la corteza: El campo eléctrico en el interior de una esfera conductora es cero, de modo que el potencial permanece constante al valor que alcanza en su superficie.

Donde   es el radio de la esfera.

CONJUNTO DE CUERPOS CON CARGA PUNTUAL

El potencial eléctrico (voltaje) producido por cualquier número de cargas puntuales en cualquier punto del espacio, se puede calcular a partir de laexpresión de carga puntual mediante su simple suma, ya que el voltaje es una cantidad escalar. El potencial de una distribución de cargas continua se puede obtener sumando las contribuciones de cada punto de la fuente de cargas.

El cálculo del potencial es inherentemente más simple que la suma vectorial requerida en el cálculo del campo eléctrico.

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El campo eléctrico exterior a una distribución de cargas simétrica esféricamente, es idéntico al de una carga puntual, según se puede mostrar por la ley de Gauss. De modo que el potencial exterior a una distribución de cargas esférica es idéntico al de una carga puntual.

El campo eléctrico de múltiples cargas puntuales se puede obtener, tomando la suma vectorial de los campos eléctricos de las cargas individuales.

El campo eléctrico de múltiples cargas puntuales se puede obtener, tomando la suma vectorial de los campos eléctricos de las cargas individuales.

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Después de calcular los campos de cargas individuales puntuales, se deben encontrar sus componentes y sumarlas, para obtener las componentes del campo resultante. El campo eléctrico resultante se puede poner en forma polar. Debido a las ambigüedades, se debe tener cuidado al establecer el cuadrante correcto del ángulo.

DISTRIBUCION CONTINUA DE CARGAS

La carga eléctrica no se presenta siempre como una carga puntual. En la mayoría de ocasiones la carga (aunque de naturaleza discreta) se presenta como una distribución continua de la carga a lo largo de una línea, en una superficie o en un volumen. Así, nos referimos a hilos y planos cargados o incluso sistemas más complejos como nubes atmosféricas o distribuciones de carga en una molécula.

En el caso de una distribución continua de carga, el campo eléctrico que se produce en un punto cualquiera, se puede calcular dividiendo la carga en elementos muy pequeños, dq, hasta poder considerarlos puntuales y así poder hacer uso del cálculo integral. De esta forma el principio de superposición se aplica sin más que sustituir el sumatorio por una integral y qi por dq:

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El cálculo de estas integrales suele ser complicado, pero si la distribución tiene una gran simetría se puede hacer consideraciones que permiten conocer como es el campo de una manera sencilla.

Considera una esfera homogénea de radio R y carga q, la simetría de la distribución de carga sugiere que las componentes del vector campo en la dirección perpendicular al radio se anulan dos a dos entre los elementos dq simétricos respecto al radio. De este modo el campo en cada punto debe ser radial y depender solo de la distancia al centro de la esfera.

El cálculo de la integral conduce a que el campo creado por una distribución esférica es:

Es decir, el campo eléctrico producido por una esfera cargada, en dos puntos exteriores a ella r ≥ R , es igual al que produciría si toda su carga estuviera concentrada en su centro.

El potencial eléctrico (voltaje) en cualquier punto del espacio producido por una distribución continua de cargas, se puede calcular a partir de la expresión de carga puntual por medio de la integración, puesto que el voltaje es una cantidad escalar.

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La distribución continua de cargas, requiere un número infinito de elementos de carga para caracterizarlo, y la suma infinita que se necesita, es exactamente lo que hace una integral. Para realmente llevar a cabo la integral, el elemento de carga se expresa en términos de la geometría de la distribución, con el uso de alguna densidad de carga.

POTENCIAL ELÉCTRICO GENERADO POR UNA DISTRIBUCIÓN DISCRETA DE CARGAS

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El potencial en un punto cualquier debido a un grupo de cargas punto se obtiene calculando el potencial   debido a cada carga, como si las otras cargas no existieran, y sumando las cantidades así obtenidas, o sea:

siendo   el valor de la enésima carga y   la distancia de la misma al punto en cuestión. La suma que se efectúa es una suma algebraica y no una suma vectorial. En esto estriba la ventaja de cálculo del potencial sobre la de intensidad del campo eléctrico. Las superficies equipotenciales cortan perpendicularmente a las líneas de campo. En el gráfico se representa la intersección de las superficies equipotenciales con el plano XY.

La ecuación de las líneas equipotenciales es:

POTENCIAL ELÉCTRICO GENERADO POR UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGA

Si la distribución de carga es continua y no una colección de puntos, la suma debe reemplazarse por una integral:

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siendo dq un elemento diferencial de la distribución de carga, r su distancia al punto en el cual se calcula V y dV el potencial que dq produce en ese punto.

POTENCIAL ELÉCTRICO GENERADO POR UN PLANO INFINITO

Un plano infinito con densidad de carga de superficie   crea un campo eléctrico saliente en la dirección perpendicular al plano de valor constante

Si x es la dirección perpendicular al plano y éste se encuentra en x=0 el potencial eléctrico en todo punto x es igual a:

Donde se ha considerado como condición de contorno V(x)=0 en x=0

DIFERENCIA DE POTENCIAL ELECTRICO POR PLACAS Y CILINDROS

Detalle de un circuito integrado SMD.

Circuito electrónico sobre una placa para prototipos o protoboard

La electrónica es la rama de la física y especialización de la ingeniería, que estudia y emplea sistemas cuyo funcionamiento se basa en la conducción y el control del flujo de los electrones u otras partículas cargadas eléctricamente.

Utiliza una gran variedad de conocimientos, materiales y dispositivos, desde los semiconductores hasta las válvulas termoiónicas. El diseño y la gran

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construcción de circuitos electrónicos para resolver problemas prácticos forma parte de la electrónica y de los campos de la ingeniería electrónica, electromecánica y la informática en el diseño de software para su control. El estudio de nuevos dispositivos semiconductores y su tecnología se suele considerar una rama de la física, más concretamente en la rama de ingeniería de materiales.

Considérese una carga de prueba positiva   en presencia de un campo eléctrico y que se traslada desde el punto A al punto B conservándose siempre en equilibrio. Si se mide el trabajo que debe hacer el agente que mueve la carga, la diferencia de potencial eléctrico se define como:

El trabajo   puede ser positivo, negativo o nulo. En estos casos el potencial eléctrico en B será respectivamente mayor, menor o igual que el potencial eléctrico en A. La unidad en el SI para la diferencia de potencial que se deduce de la ecuación anterior es Joule/Coulomb y se representa mediante una nueva unidad, el voltio, esto es: 1 voltio = 1 joule/coulomb.

Un electronvoltio (eV) es la energía adquirida para un electrón al moverse a través de una diferencia de potencial de 1 V, 1 eV = 1,6x10 -19 J. Algunas veces se necesitan unidades mayores de energía, y se usan los kiloelectronvoltios (keV), megaelectronvoltios (MeV) y los gigaelectronvoltios (GeV). (1 keV=103 eV, 1 MeV = 106 eV, y 1 GeV = 109eV).

Aplicando esta definición a la teoría de circuitos y desde un punto de vista más intuitivo, se puede decir que el potencial eléctrico en un punto de un circuito representa la energía que posee cada unidad de carga al paso por dicho punto. Así, si dicha unidad de carga recorre un circuito constituyéndose en corriente eléctrica, ésta irá perdiendo su energía (potencial o voltaje) a medida que atraviesa los diferentes componentes del mismo. Obviamente, la energía perdida por cada unidad de carga se manifestará como trabajo realizado en dicho circuito (calentamiento en una resistencia, luz en una lámpara, movimiento en un motor, etc.). Por el contrario, esta energía perdida se recupera al paso por fuentes generadoras de tensión. Es conveniente distinguir entre potencial eléctrico en un punto (energía por unidad de carga situada en ese punto) y corriente eléctrica (número de cargas que atraviesan dicho punto por segundo).

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Usualmente se escoge el punto A a una gran distancia (en rigor el infinito) de toda carga y el potencial eléctrico   a esta distancia infinita recibe arbitrariamente el valor cero. Esto permite definir el potencial eléctrico en un punto poniendo   y eliminando los índices:

siendo   el trabajo que debe hacer un agente exterior para mover la carga de prueba   desde el infinito al punto en cuestión.

Obsérvese que la igualdad planteada depende de que se da arbitrariamente el valor cero al potencial   en la posición de referencia (el infinito) el cual hubiera podido escogerse de cualquier otro valor así como también se hubiera podido seleccionar cualquier otro punto de referencia.

También es de hacer notar que según la expresión que define el potencial eléctrico en un punto, el potencial en un punto cercano a una carga positiva aislada es positivo porque debe hacerse trabajo positivo mediante un agente exterior para llevar al punto una carga de prueba (positiva) desde el infinito. Similarmente, el potencial cerca de una carga negativa aislada es negativo porque un agente exterior debe ejercer una fuerza (trabajo negativo en este caso) para sostener a la carga de prueba (positiva) cuando esta (la carga positiva) viene desde el infinito.

Por último, el potencial eléctrico queda definido como un escalar porque   y   son escalares.

Tanto   como   son independientes de la trayectoria que se siga al mover la carga de prueba desde el punto A hasta el punto B. Si no fuera así, el punto B no tendría un potencial eléctrico único con respecto al punto A y el concepto de potencial sería de utilidad restringida.

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Una carga de prueba se mueve desde A hasta B en el campo de carga q siguiendo una de dos trayectorias. Las flechas muestran a E en tres puntos de la trayectoria II

Es posible demostrar que las diferencias de potencial son independientes de la trayectoria para el caso especial representado en la figura. Para mayor simplicidad se han escogido los puntos A y B en una recta radial.

Una carga de prueba puede trasladarse desde A hacia B siguiendo la trayectoria I sobre una recta radial o la trayectoria II completamente arbitraria.

La trayectoria II puede considerarse equivalente a una trayectoria quebrada formada por secciones de arco y secciones radiales alternadas. Puesto que estas secciones se pueden hacer tan pequeñas como se desee, la trayectoria quebrada puede aproximarse a la trayectoria II tanto como se quiera. En la trayectoria II el agente externo hace trabajo solamente a lo largo de las secciones radiales,

porque a lo largo de los arcos, la fuerza   y el corrimiento   son perpendiculares

y en tales casos   es nulo. La suma del trabajo hecho en los segmentos radiales que constituyen la trayectoria II es el mismo que el trabajo efectuado en la trayectoria I, porque cada trayectoria está compuesta del mismo conjunto de segmentos radiales. Como la trayectoria II es arbitraria, se ha demostrado que el trabajo realizado es el mismo para todas las trayectorias que unen A con B.

Aun cuando esta prueba sólo es válida para el caso especial ilustrado en la figura, la diferencia de potencial es independiente de la trayectoria para dos puntos cualesquiera en cualquier campo eléctrico. Se desprende de ello el carácter conservativo de la interacción electrostática el cual está asociado a la naturaleza central de las fuerzas electrostáticas.

Para un par de placas paralelas en las cuales se cumple que  , donde d es la distancia entre las placas paralelas y E es el campo eléctrico constante en la región entre las placas.

RELACION ENTRE CAMPO ELECTRICO Y POTENCIAL ELECTRICO

La diferencia de potencial (ddp) es el impulso que necesita una carga eléctrica para que pueda fluir por el conductor de un circuito eléctrico, esta corriente cesará cuando ambos puntos igualen su potencial eléctrico.

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Si la energía (E) que el generador cede al circuito durante su funcionamiento es directamente proporcional a su dpp (V) y a la carga, q (C), que pone en movimiento.  

Por lo tanto la d.d.p o diferencia de potencial es:

Su unidad en el S.I. es el voltio V:

Después de ver el campo, E, y el potencial, V, son dos formas distintas de caracterizar el campo eléctrico, interesa fijarse en la relación entre ambos conceptos. La relación matemática entre ambos conceptos se expresa diciendo que el campo es igual al gradiente (negativo) del potencial, y esto, limitando el análisis a una sola componente espacial, x, se reduce a:

Expresión que supone que la magnitud de la componente del campo eléctrico en la dirección adoptada, x, equivale al ritmo de variación del potencial eléctrico con la distancia. El signo menos indica que la orientación del campo es la que coincide con el sentido hacia el que el potencial decrece.

En la figura de la izquierda se visualiza esta relación en el caso del campo creado por una carga puntual de signo positivo. En este caso, las líneas de fuerza del campo eléctrico forman un haz que emerge de la carga en todas las direcciones y se dirige hacia el exterior. Junto con ellas, se han dibujado también tres superficies esféricas (1, 2 y 3) con centro en la carga. Son superficies equipotenciales, ya

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que, como el valor del potencial eléctrico depende únicamente de la carga y de la distancia, en todos los puntos que pertenecen a cada una de estas superficies, el potencial tiene un valor constante. El dibujo completo muestra que, tal como predice la relación escrita un poco más arriba, las líneas del campo eléctrico atraviesan a dichas superficies equipotenciales perpendicularmente y se dirigen desde donde el potencial el mayor (superficie 1) hacia donde es menor (superficie 3).

Este tipo de representación, que dibuja las líneas de fuerza del campo y superficies equipotenciales, es muy instructivo, porque, después de calcular el potencial el cada punto circundante a cualquier distribución de carga, ayuda a prever la dirección y el sentido de las líneas de fuerza del campo, y viceversa. Como ejemplo, se muestran a la derecha las líneas del campo eléctrico (en color rojo) y las superficies equipotenciales (en azul) de un dipolo eléctrico, formado por dos cargas puntuales de signos opuestos (la positiva representada de color rojo y la negativa de color verde).

Un caso de especial interés es el condensador plano. Entre sus placas el campo eléctrico es prácticamente uniforme y por eso sus líneas de fuerza son casi paralelas. Dichas líneas se dirigen desde la zona donde el potencial el mayor (la placa con carga positiva) hacia donde es menor (la placa con carga negativa). A su camino atraviesan las superficies equipotenciales, en este caso planos

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paralelos a las placas, siendo mayor el potencial cuanto más cerca se esté de la placa positiva (superficie 1) y menor cuanto más cerca ese esté de la negativa (superficie 3).

En este caso especial, la intensidad del campo eléctrico uniforme existente entre las placas y la tensión, V, o diferencia de potencial entre ellas, se relacionan mediante la sencilla expresión:

En este documento se deducen, mediante desarrollos sencillos, las dos expresiones que aparecen en esta página. Quienes estén interesados, pueden consultar en este otro documento el desarrollo de la relación entre el campo y el potencial eléctrico creados por una carga puntual, considerando las tres dimensiones del espacio.

Edén Cano Rodríguez

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26 de abril del 2015Carretera a Chichicapa No. 520 Santo Domingo

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