Campi Elettromagnetici II Funzione Diadica Spaziale Di Green

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Lucio VEGNI Appunti dalle LEZIONI DI

CAMPI ELETTROMAGNETICI II

Funzione diadica spaziale di Green

Anno Accademico 2013_2014

2 Anno Accademico 2013_2014

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La funzione diadica di Green permette di esprimere il campo elettrico in funzione delle sue sorgenti. Poiché sia il campo elettrico ( )E r sia la sorgente elettrica ( )J r sono quantità vettoriali, la funzione di Green risulta essere una quantità diadica ed è definita come di seguito:

3( ) ) dʹ′ ʹ′ ʹ′= ⋅∫E r G(r,r ) J(r r

ʹ′G(r,r ) è la funzione diadica di Green.

L’equazione differenziale soddisfatta da ʹ′G(r,r ) è simile a quella soddisfatta dal campo elettrico ( )E r .


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Nel caso di mezzo bianisotropo, di eccitazione armonica e di assenza delle sorgenti magnetiche impresse l’equazione d’onda soddisfatta dal campo elettrico è:

1 2[( ) ( ) ] ( ) ( )j j jω ω ω ω−∇+ ⋅ ⋅ ∇ − − ⋅ =ξ µ ζ ε E r J r

Se il mezzo bianisotropo è lineare, per la linearità delle equazioni di Maxwell, si può applicare il principio di sovrapposizione degli effetti e scrivere per la densità di corrente impressa al seguente modo:

3( ) ( ) dδ ʹ′ ʹ′ ʹ′= − ⋅∫J r r r )I J(r r


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ove:

(δ ʹ′−r r ) è la funzione impulsiva di Dirac tridimensionale.

Sostituendo, quindi, nella definizione di funzione diadica di Green si ottiene:

1 2 3

3

[( ) ( ) ] )

( )

j j d

j d

ω ω ω

ω δ

− ʹ′ ʹ′ ʹ′∇+ ⋅ ⋅ ∇ − − ⋅ ⋅ =

ʹ′ ʹ′ ʹ′= − ⋅

∫∫

ξ µ ζ ε G(r,r ) J(r r

r r )I J(r r

Affinché l’identità tra due quantità integrali definite sullo stesso dominio tridimensionale sia soddisfatta, devono essere identicamente uguali i due integrandi:


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1 2[( ) ( ) ] )( )

j jj

ω ω ω

ωδ

− ʹ′ ʹ′∇+ ⋅ ⋅ ∇ − − ⋅ ⋅ =

ʹ′ ʹ′= − ⋅

ξ µ ζ ε G(r,r ) J(rr r )I J(r

e, quindi:

1 2[( ) ( ) ] (j j jω ω ω ωδ− ʹ′ ʹ′∇+ ⋅ ⋅ ∇ − − ⋅ = −ξ µ ζ ε G(r,r ) r r )I

Questa è la cercata equazione delle onde soddisfatta dalla funzione diadica di Green.


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In genere l’equazione delle onde soddisfatta dalla funzione diadica di Green non può essere risolta in forma analitica chiusa.

Spesso conviene, perciò, riscriverla nel dominio trasformato secondo Fourier. La trasformata di Fourier e la sua inversa sono definite come di seguito:

3

33

( , ( ,

1( , ( ,8

j

j

e d

e dπ

+∞ − ⋅−∞

+∞ ⋅−∞

⎧ ʹ′ ʹ′=⎪⎨

ʹ′ ʹ′⎪ =⎩

∫

∫

k r

k r

G k r ) G r r ) r

G r r ) G k r ) k


8

Nel dominio trasformato secondo Fourier:

1) l’operatore diadico ∇ diviene jk ,

2) la funzione impulsiva di Dirac tridimensionale diviene:

( ) 33

1(8

je dδπ

+∞ ʹ′⋅ −−∞

ʹ′− = ∫ k r rr r ) k

Pertanto, l‘equazione d’onda si trasforma nella:

1 2[( ) ( ) ] jj eω ω ω ω ʹ′− − ⋅ʹ′+ ⋅ ⋅ − + ⋅ = − k rk ξ µ k ζ ε G(k,r ) I

essendo ʹ′G(k,r ) la funzione diadica di Green spettrale.


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Ponendo: 1 2( ) [( ) ( ) ]ω ω ω−= + ⋅ ⋅ − +W k k ξ µ k ζ ε

si ricava immediatamente che la funzione diadica di Green spettrale ʹ′G(k,r ) è pari a:

1 ) jj eω ʹ′− − ⋅ʹ′ = − k rG(k,r ) W (k

OSSERVAZIONE:

Per la natura dei tensori costitutivi dei materiali fisicamente realizzabili e del tensore k la matrice ( )W k è sempre invertibile.


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Una volta nota la funzione diadica di Green spettrale, la funzione di Green diadica spaziale è nota applicando l’integrale di antitrasformazione:

1 ( ) 33( , )

8jj e dω

π

+∞ ʹ′− ⋅ −−∞

−ʹ′ = ∫ k r rG r r ) W (k k


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Poiché:

1) 1 [ ( )]( )[ ( )]

AdjDet

− =W kW kW k

,

2) in coordinate cartesiane ciascuna delle nove componenti di [ ( )]Adj W k è un polinomio in x y zk , k , k ,

3) la sola dipendenza da r nell’integrale è di tipo esponenziale,


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Allora x y zk , k e k che compaiono in Adj[ ( )]W k possono essere

sostituiti rispettivamente da j , j , jx y z∂ ∂ ∂

− − −∂ ∂ ∂

e l’aggiunta può

essere portata fuori dal segno di integrale:

j ( ) 33

j ( )3

3

j Adj[ ( )]( , e dDet[ ( )]8

j eAdj[ ( j )] dDet[ ( )]8

+∞ ʹ′⋅ −−∞

ʹ′⋅ −+∞

−∞

ωʹ′ = − =

π

ω= − − ∇

π

∫

∫

k r r

k r r

W kG r r ) kW k

W kW k


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Osservazioni:

1) La diade Adj[ ( j )]− ∇W è un operatore differenziale diadico

che opera sull’integrale j ( )

3e dDet[ ( )]

ʹ′⋅ −+∞

−∞∫k r r

kW k

,

2) L’integrale j ( )

3e dDet[ ( )]

ʹ′⋅ −+∞

−∞∫k r r

kW k

è una quantità scalare

funzione di ed ʹ′r r ed è noto come funzione di Green scalare per lo spazio libero:

j ( )3

3j eg( , ) d

Det[ ( )]8

ʹ′⋅ −+∞

−∞

ωʹ′ = −

π ∫k r r

r r kW k


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FUNZIONE DI GREEN PER MEZZO ISOTROPO ILLIMITATO

Un mezzo isotropo è caratterizzato dai seguenti tensori costitutivi:

0

= µ⎧⎪

= ε⎨⎪ = =⎩

µ Iε Iξ ζ

La matrice ( )W k diviene: 1 2

2 2

( ) [( ) ( ) ]1 1( ) ( k )

−= +ω ⋅ ⋅ −ω +ω =

= ⋅ +ω µε = ⋅ +µ µ

W k k ξ µ k ζ ε

k k I k k I


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Si ha, inoltre:

1)

2 2 2

2

2 2 2

2 2

2 2 2

2

x y x zx

1Adj[ ( j )]x y y zk y

x z y z z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎜ ⎟

∂ ∂ ∂ ∂∂⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂

− ∇ = − +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂∂⎜ ⎟⎜ ⎟

∂ ∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

W I

2) 2 2 2 2

x y zk k k kDet[ ( )]

− − −=

µW k


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La funzione diadica di Green spaziale per un mezzo isotropo illimitato ha, quindi, la seguente espressione formale:

( ) 33

2 2 2

2

2 2 2 ( )

3 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2

[ ( )]( ,8 [ ( )]

1[ ]8

j

j

x y zx y z

j Adj e dDet

x x y x zj e dk dk dk

k x y y y z k k k k

x z y z z

ωπ

ωµπ

+∞ ʹ′⋅ −

−∞

ʹ′⋅ −+∞ +∞ +∞

−∞ −∞ −∞

ʹ′ = − =

⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂

= − − +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − − −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∫

∫ ∫ ∫

k r r

k r r

W kG r r ) kW k

I

La funzione di Green scalare per lo spazio libero è invece:

( )

3 2 2 2 2( ,8

j

x y zx y z

j eg dk dk dkk k k k

ωµπ

ʹ′⋅ −+∞ +∞ +∞

−∞ −∞ −∞ʹ′ = −

− − −∫ ∫ ∫k r r

r r )


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Al fine di semplificare formalmente l’espressione della funzione di Green scalare per lo spazio libero conviene porre la sorgente impulsiva nell’origine del sistema di riferimento (senza con questo perdere nulla in generalità essendo il mezzo illimitato):

3 2 2 2 2( ,08

j

x y zx y z

j eg dk dk dkk k k k

ωµπ

⋅+∞ +∞ +∞

−∞ −∞ −∞= −

− − −∫ ∫ ∫k r

r )

Si va, adesso, a valutare l’integrale: ( )

3 2 2 2 2

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x y zj k x k y k z

x y zx y z

e dk dk dkk k k kπ

+ ++∞ +∞ +∞

−∞ −∞ −∞−

− − −∫ ∫ ∫


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Conviene dapprima valutare l’integrale in zk :

zjk z

z2 2 2 2x y z

e dkk k k k

+∞

−∞−

− − −∫

L’integrando presenta una discontinuità in zk di tipo polare pari a:

2 2 2z x yk k k kʹ′ = ± − −


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Osservazioni:

Se 0k è reale (caso di mezzo isotropo senza perdite) i poli sono sull’asse reale o sull’asse immaginario a seconda se

2 2 20 x yk k k> − o 2 2 2

0 x yk k k< − , rispettivamente.

Se 0k è complesso (caso di mezzo isotropo con perdite) i poli sono nel piano complesso [avente come assi coordinati zRe(k ) e zIm(k )] e sono antisimmetrici rispetto all’origine.


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Per z 0> , al fine di soddisfare la condizione di radiazione all’infinito, l’integrando deve tendere esponenzialmente a zero per zIm(k ) →∞.

Si può, perciò, pensare di applicare il teorema di Cauchy dei residui scegliendo come cammino chiuso di integrazione quello chiuso dal semicerchio all’infinito superiore.

Se la condizione di radiazione all’infinito è soddisfatta è soddisfatto, anche, il lemma di Jordan e l’integrale lungo il semicerchio all’infinito è nullo.


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L’integrale si può, quindi, riscrivere come di seguito:

Per z 0< , il cammino chiuso di integrazione deve chiudersi con il semicerchio all’infinito inferiore. Si può, quindi, scrivere:

z z z

z z

s z zz z

jk z jk z jk zz z z2 2 z z z z z z z zz z

jk z jk zz z zC k kz z z z z z z z

jk z jk z

z z

e e edk dk dk(k k )(k k ) (k k )(k k )k k

e edk 2 j Lim (k k )(k k )(k k ) (k k )(k k )

e e2 j j2k k

+∞ +∞ +∞

−∞ −∞ −∞

→ ʹ′

ʹ′ ʹ′

− = − = =ʹ′ − ʹ′ + − ʹ′ ʹ′ +ʹ′ −

= = π − ʹ′ =− ʹ′ ʹ′ + − ʹ′ ʹ′ +

= π = πʹ′ ʹ′

∫ ∫ ∫

∫—

2 2 ( )( )

2 2( ) 2

z z

i

z z

z z

jk z jk z

z zCz z z z z z

jk z jk z

k kz z z

e edk dkk k k k k k

e ej Lim jk k k

π π

+∞

−∞

ʹ′−

ʹ′→−

− = − =ʹ′ ʹ′ ʹ′− − +

= =ʹ′ ʹ′−

∫ ∫—


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Osservazione:

Per z 0< il verso di percorrenza del cammino di integrazione lungo l’asse zRe(k ) è opposto rispetto al verso di percorrenza del cammino di integrazione lungo l’asse zRe(k ) per z 0> .


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Essendo z 0< si può porre:

z

zkj

z

zkj

z2z

2z

zjk

kej

kejdk

kke zzz

ʹ′π=

ʹ′π=

−ʹ′−

ʹ′ʹ′−∞+

∞−∫

Quindi, in definitiva si ha:

zk

ejdkkk

e

z

zkj

z2z

2z

zjk zz∀

ʹ′π=

−ʹ′−

ʹ′∞+

∞−∫

Rimane allora da valutare:

∫ ∫∞+

∞−

∞+

∞−

ʹ′++

ʹ′πyx

z

)zkykxk(j

2 dkdkk

e)2(2

j zyx


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Rimane allora da valutare:

∫ ∫∞+

∞−

∞+

∞−

ʹ′++

ʹ′πyx

z

)zkykxk(j

2 dkdkk

e)2(2

j zyx


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Per garantire la condizione di radiazione all’infinito si deve avere per tutti i valori di

x yk e k : z

z

Im[k ] 0Re[k ] 0

>⎧⎨

>⎩

Ora, conviene porre:

t t tk cos( ) k sin( )ˆ ˆcos( ) sin( )ˆ ˆ

= α + α⎧⎨

= ρ ϕ +ρ ϕ⎩

k x yρ x y

per cui: x y t t

x y t t

dk dk k dk d

k x k y k cos( )

= α⎧⎪⎨

+ = ⋅ = ρ α −ϕ⎪⎩ k ρ

essendo t0 k0 2≤ ≤ +∞⎧

⎨≤ α ≤ π⎩

, 2 2z 0 tk k kʹ′ = + −


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Di conseguenza, si ha: x y z

t z

j(k x k y k z )

x y2z

2 jk cos( ) jk ztt2 0 0z

j e dk dkk2(2 )

kj dk e dk2(2 )

ʹ′+ ++∞ +∞

−∞ −∞

+∞ π ʹ′+ ρ α−ϕ +

=ʹ′π

= αʹ′π

∫ ∫

∫ ∫

Poiché:

t2 jk cos( )0 t0

1 e d J (k )2

π + ρ α−ϕ α = ρπ ∫

si può far comparire la funzione di Bessel di prima specie di ordine zero:

∫∫ ∫+∞ ʹ′++∞ π

ϕ−αρ+ʹ′+ ρʹ′π

=ααʹ′π 0

tzkj

t0z

t0

2

0

)(Cosjkt

zkj

z

t2 dke)k(J

kk

4jdedkde

kk

)2(2j ztz


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Poiché vale pure l’identità di Weyl-Bessel:

0z

jk rjk zt

0 t t0 z

k ej J (k )e dkk r

−+∞ ʹ′+ρ =ʹ′∫

si ottiene la tanto desiderata espressione in forma analitica chiusa per la funzione di Green scalare propria di un mezzo isotropo illimitato:

0jk reg( ,0 j4 r

+= ωµ

πr )


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Tornando indietro di un passo logico, confrontando tra di loro le varie espressioni integrali si ottiene anche la seguente identità:

x y z 0j(k x k y k z ) jk r

x yz

j e edk dk2 k r

ʹ′+ + ++∞ +∞

−∞ −∞=

ʹ′π ∫ ∫

che rappresenta lo sviluppo in onde piane di un’onda sferica.


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