Caminata cuántica en la línea en el tiempo

Universidad de la RepublicaFacultad de Ciencias

CAMINATA CUÁNTICA EN LALÍNEA EN TIEMPO DISCRETO

por

ADRIANA AUYUANET LARRIEU

Tesis presentada para obtener eltitulo de Magíster en Física.

Orientador: Dr. Profesor Alejandro Romanelli

Montevideo, UruguayAbril de 2006

Toda causa tiene su efecto;todo efecto tiene su causa;

todo ocurre de acuerdo con la Ley.Azar no es más que el nombre

que se da a una Ley desconocida;hay muchos planos de causación,

pero ninguno escapa a la Ley.

El Kybalión

Lo que sabemoses una gota de agua;

lo que ignoramos,es el océano.

Isaac Newton

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Agradecimientos

En primer lugar le quiero agradecer a mi director de Tesis, AlejandroRomanelli, quien generosamente compartió conmigo sus conocimientos,me contagió su entusiasmo y me enseñó mediante el ejemplo, el valor dela perseverancia.

No tengo sucientes palabras para expresar todo mi cariño y gratituda Ricardo Pollo Siri. No sólo he contado en estos años con sus ines-timables consejos, que me han ayudado a mejorar mi desempeño comodocente, sino también encontré en él una referencia ineludible, a la horade consultar dudas académicas de cualquier índole. Y por si esto fuerapoco, el tenerlo como co-director de Tesis, además de ser un privilegio,ha sido una experiencia indescriptible...

También agradezco a Raúl Donángelo, quien con su aguda manera dever las cosas, realizó aportes importantes que enriquecieron nuestro tra-bajo.

Gonzalo Abal ha sido de inestimable ayuda; desde facilitarme distribu-ciones de Linux para instalar, papers difíciles de conseguir, ½hasta unlugar tranquilo donde poder estudiar sin que me interrumpan! Mil gra-cias.

Agradezco a Víctor Micenmacher, quien leyó con interés cada uno denuestros trabajos cuando aún estaban en preparación, nos hizo comen-tarios útiles, aportó referencias bibliográcas, y corrigió pacientementenuestra redacción en inglés.

Quiero agradecer en forma especial, a Raúl Montagne y Arturo Martí;con su guía y ayuda, realicé mi primer trabajo numérico en un tema deinvestigación original. Todo lo que aprendí con ellos, fue de ayuda in-valuable en mi posterior trabajo de investigación.

Sergio Metal Barreiro, con su generosidad característica, me enseñótrucos útiles para LaTeX, me comentó acerca de las trampas de iones, yme proporcionó referencias interesantes. Gracias, Metal.

Durante estos años de trabajo en el IFFI, he tenido la suerte de com-partir horas de trabajo y de estudio con gente excepcional, que me ha

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enseñado y/o ayudado en distintas oportunidades, y a quienes no quierodejar de agradecer: Daniel Marta, Sandra Kahan, Alfredo Arnaud, Ofe-lia Vieitez, Silvia Viola, Diego Guerra, Sebastián Torterolo, Pedro Casas,Santiago Villalba ... y mis otros hermanos de la logia bosónica.

Finalmente, les agradezco su comprensión e incondicional apoyo, a mimadre, mi hermano y mis cuatro sobrinos, a quienes no he podido dedicarel tiempo que se merecen.

Y por supuesto a Juan Carlos, que entre muchas otras cosas, me enseñóa tener conanza.

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Abstract

In this thesis the study of the main characteristics of the CQL is deep-ened, as well as new elements are introduced that allow to understandand to explain the behavior of the system.

In rst place the cause of the quadratic growth of the variance of theCQL is explained. Our approach to the study of the system, separat-ing the quantum evolution, in a master equation and terms responsibleby the eect for the quantum coherence, allowed to understand why thequantum evolution propagates faster than the classic evolution: a directrelation between the coherent evolution and the quadratic growth exists;if the evolution becomes decoherent, then the variance grows linearlywith time. In addition we show that this analysis is valid not only forthe case of Hadamard, but also for any value of the θ parameter of theoperator K that acts in the space of the chirality.

When analyzing the case in that the evolution becomes decoherent, isshowed that under certain hypotheses is possible to nd the continuouslimit of the evolution, obtaining then the well-known equation of diu-sion. The diusion coecient does not agree in general, for any value oftheta, with the value of the one of the CCL. In the case of Hadamard,the diusion coecient agrees with the classic case, D=1/2.

Next, one analyzes the introduction of decoherencia through the measure-ment process on position and chirality. Beginning with periodic measuresof position and chirality, we show that the evolution in a time scale thatinvolves many measures, can be described like a Markovian process, andthat the probability distribution satises a master equation.For this process the diusion coecient was obtained analytically, whichvaries inversely with the frequency of the measures. This analysis wasextended and the behavior of the system studied when the interval be-tween consecutive measures varies randomly.In this case, the diusion coecient depends on a characteristic time,determined by the ratio between rst and the second moment of the dis-tribution of the time intervals between measures.

This model could then be compared, with a well-known Markovian pro-cess: the Brownian movement, relating the value average of the time

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between measures, with time characteristic of the Brownian movement,γ−1.On the other hand, the initial condition of the quantum traveller was ob-served that, determines a constant in this model, that is directly relatedto the temperature in the model of the Brownian movement.

It was observed that the behavior of the quantum traveller in the lineis the same one that the one of kicked rotor in a main resonance. Thissuggested to modify the evolution operator of the system and to raise aCQLG, so that the model happens to depend on a new parameter Ω. Formost of the values of Ω, the system presents a difusive initial behavior,and then localize.When the parameter Ω takes rational values, the dynamics of the sys-tem corresponds to a resonant behavior. In particular, for this case, thequantum walk on the line usual is recovered.It is important to emphasize, that this modied version of the quantumwalk in the line, does not show a quadratic growth of the variance for allthe values of the parameter, but this happens only for a particular seriesof values: when Ω is rational. That is to say, that only in this case, thequantum evolution is faster than the classic one. For the case in that Ωis irrational, we have a new type of quantum walk in the line, with wavefunctions exponentially located.

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Resumen

En esta tesis se profundiza en el estudio de las principales característi-cas de la Caminata Cuántica en la Línea, así como también se aportannuevos elementos que permiten enteder y explicar el comportamiento delsistema.

En primer lugar se explica la causa del crecimiento cuadrático de la vari-anza de la Caminata Cuántica en la Línea. Nuestra aproximación al estu-dio del sistema, separando la evolución cuántica en una ecuación maestray términos responsables por el efecto de la coherencia cuántica, nos per-mitió entender por qué la evolución cuántica se propaga más rápido quela evolución clásica: existe una relación directa entre la evolución coher-ente y el crecimiento cuadrático; si la evolución se torna decoherente,entonces la varianza crece linealmente con el tiempo. Además se muestraque este análisis es válido no sólo para el caso de la moneda de Hadamard,sino también para cualquier valor del parámetro θ del operador K(θ) queactúa en el espacio de la quiralidad.

Al analizar el caso en que la evolución se vuelve decoherente, se muestraque bajo ciertas hipótesis es posible hallar el límite contínuo de la evolu-ción, obteniendo entonces la conocida ecuación de difusión. El coecientede difusión no coincide en general, para cualquier valor de θ, con el valorde la caminata al azar clásica. En el caso de Hadamard, el coeciente dedifusión coincide con el caso clásico, D = 1

2 .

Luego se analiza la introducción de decoherencia a través del proceso demedición en posición y quiralidad. Comenzando con medidas periódicasde posición y quiralidad, se muestra que la evolución en una escala detiempo que involucra muchas medidas, puede describirse como un procesoMarkoviano, y que la distribución de probabilidad satisface una ecuaciónmaestra.Para este proceso se obtuvo analíticamente el coeciente de difusión, elcual varía inversamente con la frecuencia de las medidas.Este análisis fue extendido y se estudió el comportamiento del sistemacuando el intervalo entre medidas consecutivas varía aleatoriamente. Eneste caso, el coeciente de difusión depende de un tiempo caracterís-tico, determinado por el cociente entre el primer y segundo momento dela distribución de los intervalos de tiempo entre medidas. Se pudo en-

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tonces comparar este modelo, con un proceso Markoviano conocido: elmovimiento Browniano, relacionando el valor promedio del tiempo entremedidas, con el tiempo característico del movimiento Browniano, γ−1.Por otra parte, se observó que la condición inicial del caminante cuán-tico, determina una constante en este modelo, que está directamenterelacionada con la temperatura en el modelo del movimiento Browniano.

Se observó que el comportamiento del caminante cuántico en la líneaes el mismo que el del kicked rotor en una resonancia principal. Estosugirió modicar el operador evolución del sistema y plantear una Cam-inata Cuántica en la línea Generalizada, de modo que el modelo pasa adepender de un nuevo parámetro Ω. Para la mayor parte de los valoresde Ω, el sistema presenta un comportamiento inicial difusivo, para luegolocalizar. Cuando el parámetro Ω toma valores racionales, la dinámicadel sistema corresponde a un comportamiento resonante. En particular,para dicho caso, se recupera la Caminata Cuántica en la línea usual.Es importante destacar, que esta versión modicada de la caminata cuán-tica en la línea, no muestra un crecimiento cuadrático de la varianza paratodos los valores del parámetro, sino que esto sucede sólo para una serieparticular de valores: cuando Ω es racional. Es decir, que sólo en dichocaso, la evolución cuántica es más rápida que la clásica.Para el caso en que Ω es irracional, se tiene un nuevo tipo de caminatacuántica en la línea , con funciones de onda exponencialmente localizadas.

Palabras clave: Caminata cuántica, Computación cuantica

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Indice General

Introducción 1

1 La Caminata cuántica unidimensional en tiempo discreto 71.1 Descripción del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Caminata cuántica como proceso Markoviano 112.1 Momentos de la distribución de posición . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1 Evolución decoherente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.2 Evolución unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.3 Caminata cuántica generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Decoherencia en la caminata al azar 193.1 Medidas periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Medidas aleatorias y movimiento Browniano . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Caminata cuántica generalizada, en el espacio de Momentos 254.1 Caminata cuántica modicada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2 Localización y resonancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3 Conexión con la localización de Anderson . . . . . . . . . . . . . . . 29

Conclusiones 33

A Obtención de la Ecuación Maestra, a partir de la evolución unitaria. 35A.1 Obtención de la ecuación del Telegrasta . . . . . . . . . . . . . . . . 37A.2 Cálculo de la varianza para tiempos largos . . . . . . . . . . . . . . . 39A.3 Cálculo del límite para tiempos largos de la varianza para el caso de

la CQL generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41A.4 Derivación de la ecuación maestra para medidas periódicas . . . . . . 43A.5 Obtención del Coeciente de Difusión - Medidas periódicas . . . . . 45A.6 La caminata cuántica generalizada y el modelo de Anderson . . . . . 47

B El Modelo del Kicked Rotor Clásico 51B.1 El Modelo del Kicked Rotor Cuántico . . . . . . . . . . . . . . . . . 52B.2 Teoría de Floquet1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52B.3 Modelo Tight-binding del Kicked Rotor. . . . . . . . . . . . . . . . . 541esta sección ha sido extractada de (1)

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INDICE GENERAL

Bibliografía 59

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Indice de Figuras

1.1 Distribución de probabilidad de la CQL. . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1 Error relativo ∆AA y ∆B

B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Error relativo entre la varianza obtenida numéricamente y su expresión

exacta para el caso de Hadamard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1 Diagrama de la evolución temporal de la CQL. . . . . . . . . . . . . 213.2 Evolución temporal de la varianza de la CQL. . . . . . . . . . . . . . 223.3 Evolución temporal de la varianza promedio de la CQL. . . . . . . . 23

4.1 Varianza en función del tiempo para Ω irracional. . . . . . . . . . . . 274.2 Distribución de probabilidad en función de k para 2πΩ = 0,1, 0,7. . . 284.3 Distribución de probabilidad en función de k para Ω = 1

11 + δ . . . . 284.4 Crecimiento cuadrático de la varianza para Ω racional. . . . . . . . . 294.5 Distribución de probabilidad en función de k para Ω = 1

11 y Ω =111 + 10−4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.6 Distribución de probabilidad de Tk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

B.1 Kicked Rotor clásico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

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INDICE DE FIGURAS

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Introducción

El estudio del quantum walk ha sido tan interesante como sorprendente, requirióexplorar una serie de tópicos cuya relación en primera aproximación puede no serevidente. Es así que en esta tesis se relacionan temas tan variados como el Movi-miento Browniano, la Criptografía, la Decoherencia, los Algoritmos Cuánticos, losProcesos Markovianos y el Caos Cuántico.

Para empezar, consideremos el Movimiento Browniano, el cual (como es bien sa-bido), consiste en el movimiento irregular de pequeñas partículas inmersas en unuido, causado por los sucesivos choques de dichas partículas con las moléculas deluido que las rodean.El primero en observar este efecto fue Jan Ingenhousz, un físico, químico e ingenierodanés en el año 1785, quien encontró que el polvo no de carbón de leña otandosobre una supercie de alcohol, presentaba rápidos vimientos aleatorios. Sin embargoeste fenómeno se asocia con el botánico escocés Robert Brown, quien publicó en 1828el resultado de sus estudios sobre el movimiento de pequeñas partículas de polen,polvo y hollín suspendidas en un uido.En 1900 Bachelier obtuvo una ecuación de difusión para los procesos aleatorios ypor lo tanto una teoría del Movimiento Browniano, en su tesis de doctorado sobrelas uctuaciones de las acciones de mercado. Este trabajo no fue reconocido por lacomunidad cientíca pues no abordaba ningún aspecto físico.Hubo que esperar hasta el año 1905, cuando Einstein publicó el modelo para el Mo-vimiento Browniano, conocido hoy como random walk (caminata al azar), o másfamiliarmente: drunkards walk (paseo del borracho).Coloquialmente hablando, si dejamos un borracho libre a su suerte, a priori no sesabe en qué dirección dará su próximo paso, aunque es claro que cada paso es inde-pendiente del anterior. Lo único que podemos considerar, es la probabilidad de querecorra una distancia determinada en un tiempo dado. Dicho problema fue resueltoanalíticamente por Markov, y este tipo de problemas se conoce como Procesos Mar-kovianos.Einstein aplicó este desarrollo en su modelo de Movimiento Browniano.Si particularizamos este modelo al caso unidimensional, tenemos la caminata al azaren una línea. La característica más importante de este modelo en relación con el temade la presente Tesis, es que el desplazamiento cuadrático medio del caminante en lalínea (cantidad que nos da una idea de cuan lejos está el caminante de su posicióninicial), es proporcional a la raíz cuadrada del tiempo de evolución, resultado que esconsecuencia de la naturaleza aleatoria del proceso.

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INDICE DE FIGURAS

El éxito del random walk en la teoría del Movimiento Browniano, animó a muchosinvestigadores a utilizar el random walk como herramienta en diferentes campos deestudio, en los cuales estuvieran involucrados procesos estocásticos.Ejemplos de esto abarcan temas tan amplios como la economía, donde la dinámica delos índices de mercado más importantes de Estados Unidos, como NYSE y Nasdaqson analizados mediante un random walk (2), la teoría de juegos, donde se usa comoestrategia para completar juegos fácilmente, un random walk ambicioso (3), la bio-logía, donde se modela el movimiento de moléculas proteicas de escala nanométrica(4) y en informática, donde se utiliza el random walk en los algoritmos de búsqueda.

Pero si como mencionamos antes, el random walk es una herramienta utilizada en losalgoritmos de búsqueda de la computación clásica, es razonable pensar que su aná-logo cuántico, el quatum random walk, sería la herramienta idónea para desarrollaralgoritmos de búsqueda clásicos. Pero por qué son necesarios los algoritmos cuánticosy la computación cuántica?

En 1980, Paul Benio, un físico que trabajaba en el Argonne National Labo-ratory, comprendió que un proceso cuántico puede realizar los mismos cálculos queuna computadora clásica (5). Un poco después, en 1981, Richard Feynman mostróque la computación clásica no puede simular un proceso cuántico; en sus propias(traducidas) palabras: La naturaleza no es clásica, y si queremos hacer una simula-ción de la naturaleza, deberíamos hacerla mediante la mecánica cuántica.Fue David Deutsch quien se dio cuenta de otra carcterística importante de la com-putación cuántica: esta permitiría realizar cálculos mucho más rápido que la compu-tadora clásica, lo cual nos lleva directamente a otro tema importante: la Criptografía.

Sin entrar en detalles técnicos innecesarios, alcanza con mencionar que los algoritmosmodernos de encriptado se basan en el hecho de que para decodicar un mensaje, esnecesario factorizar un número como producto de dos números primos. Si el númeroa factorizar es grande, por ejemplo un entero de 100 dígitos, y suponemos una ope-ración de bit cada 10−6 segundos, la factorización podría llevar 74 años. En la jergade la teoría computacional, se dice que resolver dicho problema requiere un tiempoexponencial.Sin embargo, en 1994, Peter Shor (6) encontró la manera de factorizar un número entiempo polinomial (es decir, en mucho menos tiempo que el explicado anteriormen-te), mediante un algoritmo de computación cuántica.Evidentemente esto aumentó el interés en el desarrollo de la computación cuánticay generó gran preocupación en bancos, instituciones nancieras, militares, guberna-mentales, y en general en todos aquellos sistemas que dependen de la privacidad.Luego, en 1996, L.K. Grover (7) ideó un algoritmo de búsqueda en una base de datosno estructurada (es decir, una base no ordenada, en la cual conocer la ubicaciónde uno de los elementos no provee información para encontrar otro), que se ha de-mostrado no sólo es más eciente que cualquier algoritmo clásico, sino también quecualquier algoritmo cuántico (8).Si se realiza una búsqueda clásica en una base de datos que no está ordenada, en

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INDICE DE FIGURAS

promedio se debe consultar dicha base la mitad de las veces; si la base de datos tiene1.000.000 de elementos, esto obligaría a realizar 500.000 consultas. El algoritmo deGrover requiere un número de consultas que es proporcional a la raíz cuadrada delnúmero de elementos de la base de datos: en este ejemplo, el algoritmo de Groversólo necesita hacer 1000 consultas para encontrar el elemento buscado!Estos primeros algoritmos cuánticos incrementaron el interés en el estudio de la ca-minata cuántica.En 1992 se publicó el trabajo de Aharonov et al. (9), donde se realizó el estudio delanálogo cuántico de la caminata al azar clásica: el Quantum random walk, términoacuñado por dichos autores.Se comenzó entonces a estudiar el comportamiento del quantum walk en aquellasplataformas donde el random walk es utilizado en los algoritmos clásicos: los árbo-les de decisión (10) y los grafos (11), luego se comenzó a estudiar su evolución envarias dimensiones (12). En el año 2002, se publica una implementación del algoritmode búsqueda utilizando el quantum walk (13).

Otro aspecto a tener en cuenta, es el gran avance tecnológico producido en losúltimos 20 años. El número de transistores en los procesadores, ha crecido exponen-cialmente, según informa Intel, y la miniaturización de los transistores ha avanzadoa pasos agigantados.En 1965, Gordon Moore, uno de los fundadores de Intel, realizó una observaciónempírica que se ha mantenido válida durante los últimos 40 años: El número detransistores en un chip, se duplica cada 18 meses.Esta observación, conocida como la Ley de Moore, es posible que no sea válida pormucho tiempo más, ya que pronto los transistores alcanzarán niveles de miniaturi-zación atómicos y con ello la máxima densidad de transistores posible. Por lo tantoen relativamente poco tiempo, se alcanzarían los límites físicos del procesamientoclásico de la información, y nos veríamos obligados a lidiar con el mundo cuántico ysus particularidades, entre las cuales encontramos la decoherencia y el caos cuántico.

Entendemos la decoherencia como la formación irreversible de correlaciones cuán-ticas entre un sistema y su entorno (14). Si las correlaciones son sucientementefuertes, desaparece el comportamiento cuántico y el sistema pasa a ser descripto clá-sicamenteEsto nos sugiere que en la computadora cuántica, la decoherencia jugará un papelfundamental. En primer lugar, debemos tener en mente que la computadora cuánticarealizará cálculos en forma paralela, utilizando la superposición de estados caracte-rística del mundo cuántico. Será necesario preservar dicha superposición mientras lacomputadora realiza los cálculos, por lo cual deberá evitarse la decoherencia.Sin embargo, una vez nalizados los cálculos, la computadora debe dar un resultadoexpresado en su forma clásica, lo cual se logrará realizando una medida del estadonal, es decir, provocando la decoherencia en dicho estado. En esta instancia, la de-coherencia será necesaria (15).

Al interpretar la decoherencia como resultado de la interacción del sistema cuán-tico con su entorno, es lógico pensar que un camino para eliminarla, consistirá en

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INDICE DE FIGURAS

aislar el sistema de su entorno; sin embargo, se ha mostrado la existencia de sistemascuánticos que sin interactuar con un entorno desarrollan decoherencia intrínseca (16).La aparición de la decoherencia en estos casos se debe al comportamiento caótico deuna parte del sistema, con lo que aparece un nuevo ingrediente a tener en cuenta: elcaos cuántico.

Es bien sabido que los sistemas físicos clásicos no lineales, tienen generalmen-te una dinámica caótica; la dinámica de los sistemas cuánticos correspondientes: elcaos cuántico, ha mostrado un comportamiento mucho más complejo.Uno de los primeros sistemas caóticos investigados a nivel cuántico ha sido el Quan-tum Kicked Rotor (el rotor impulsado cuántico) (17) 1

Es importante destacar que en este sistema fue que se descubrió el fenómeno de lalocalización dinámica del caos cuántico: mientras claásicamente presenta un creci-miento difusivo ilimitado de la energía cinética en el tiempo, en el caso cuánticoluego de una etapa inicial difusiva, la dinámica del sistema pasa a estar exponen-cialmente localizada en la representación de Floquet (18; 19), debido a los efectos deinterferencia cuántica.Las primeras observaciones experimentales de la localización dinámica fueron realiza-das en los años 70, en el estudio de la ionización de átomos hidrogenoides en camposde microondas (20). Luego en los 90, se observó la localización dinámica en trampasde iones (21), y en este contexto es particularmente interesante ya que actualmenteel mecanismo de trampas de iones fríos es considerado como una de las propuestasmás promisorias para la realización de la computadora cuántica (22).

Una vez establecidas las relaciones entre los temas anteriores y nuestro traba-jo, sólo queda presentar la Tesis propiamente dicha: Caminata Cuántica en la líneaen tiempo discreto.

En el Capítulo 1, se explica brevemente la caminata cuántica en la línea en tiem-po discreto (de ahora en adelante CQL) y se enumeran las principales característicasconocidas de la CQL al momento de empezar nuestra investigación.

En el Capítulo 2, se estudia la CQL como proceso Markoviano, separando laevolución cuántica en términos Markovianos y términos de interferencia. Este traba-jo (23), nos permitió explicar el ya conocido crecimiento cuadrático de la varianza dela posición con el tiempo, como consecuencia directa de la evolución de las coheren-cias cuánticas. También mostramos que en presencia de decoherencia, se reobtiene elresultado de la caminata al azar clásica.

En el Capítulo 3, se desarrolla el estudio de la introducción de decoherencia(24), a través de medidas en posición y quiralidad. Se observa que este mecanismolleva a que el sistema tenga un comportamiento difusivo clásico. En particular, elcoeciente de difusión es proporcional a la varianza del caminante cuántico (inicial-

1Una breve explicación del modelo se da en el apendice

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INDICE DE FIGURAS

mente localizado), antes de realizarse la primera medida.

En el Capítulo 4, se investiga un modelo más general de la CQL, donde se tra-baja en el espacio de momentos. Se muestra (25) que este modelo más general, alevolucionar en el tiempo presenta dos estados distintos: una difusión Markoviana,seguida de una dinámica localizada. Este modelo puede ser mapeado con el modelolocalizado unidimensional de Anderson, y cuando su parámetro de escala toma valo-res racionales, muestra un comportamiento resonante, y se reobtiene la CQL usual.

En el Capítulo 5 se sintetizan los resultados obtenidos y se desarrollan las con-clusiones.

Los desarrollos analíticos correspondientes a los capítulos 2, 3 y 4, fueron ubi-cados en el Apéndice A. En el Apéndice B, se encuentra una breve descripción delmodelo del Kicked Rotor, la Teoría de Floquet y el Tight-Binding Model del KickedRotor.

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INDICE DE FIGURAS

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Capítulo 1

La Caminata cuánticaunidimensional en tiempo discreto

1.1 Descripción del modeloConsidere una partícula que puede moverse libremente a lo largo de una serie desitios interconectados. En el caso clásico, para que la partícula se desplace a lo largode la línea, se debe elegir antes la dirección en la cual se realizará el desplazamiento.Esa decisión se toma de acuerdo al valor de cierta variable aleatoria; para ser másgrácos: podemos por ejemplo, lanzar una moneda y el resultado indicará hacia quélado se deberá mover la partícula.Para estudiar el caso cuántico, consideremos Hs el espacio de Hilbert asociado ala posición de la partícula. Si suponemos que los sitios de nuestra línea están se-parados una distancia unidad, podemos escribir una base de Hs, como los estados|n〉 : n ∈ N. Para desplazar la partícula en la línea, agregamos un nuevo gradode libertad, la quiralidad, que puede tomar dos valores: left o right, |L〉 o |R〉,respectivamente. Es claro que este nuevo grado de libertad lo podemos asociar consu análogo clásico: la moneda, el cual determinará el movimiento subsiguiente de lapartícula.En cada paso de tiempo, se realiza una transformación unitaria de la quiralidad (loque es equivalente a lanzar la moneda) y la partícula se mueve de acuerdo a su estadonal de quiralidad.El espacio de Hilbert de este sistema, es el producto tensorial Hs ⊗ Hc donde Hs

es el espacio de Hilbert asociado al movimiento en la línea, y Hc el asociado a laquiralidad.En nuestro caso, estamos interesados en las propiedades de la distribución de probabi-lidad, y como ha sido mostrado (26; 27; 28), es suciente considerar transformacionesunitarias que puedan expresarse mediante un sólo parámetro angular real, θ.A los efectos de expresar dicha transformación, realicemos algunas deniciones:

• T− y T+ son los operadores en Hs que trasladan al caminante un sitio en lalínea a la izquierda y a la derecha respectivamente.

• |L〉〈L| y |R〉〈R| son los operadores en Hc que proyectan la quiralidad.

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1. LA CAMINATA CUÁNTICA UNIDIMENSIONAL EN TIEMPO DISCRETO

• K(θ) es el operador que actúa sobre la quiralidad (tira la moneda),

• I es el operador identidad en Hs.Con las deniciones previas, podemos escribir el operador unitario U(θ) que haráevolucionar al caminante cuántico:

U(θ) = T− ⊗ |L〉〈L|+ T+ ⊗ |R〉〈R| I ⊗K(θ) , (1.1)El producto tensorial en la expresión anterior, separa los dos grados de libertad delsistema: el espacio y la quiralidad.El operador U(θ) actúa de la siguiente manera: primero, el término I ⊗K(θ) rea-liza una transformación unitaria de la quiralidad, sin tocar la parte espacial.Luego, el término T− ⊗ |L〉〈L|+ T+ ⊗ |R〉〈R| realiza una traslación en la línea, deacuerdo a los valores de la quiralidad. Como ejemplo y a modo de jar ideas: si luegode la transformación unitaria de la quiralidad, ésta se encuentra en el estado |L〉〈L|(|R〉〈R|), se realiza una traslación hacia la izquierda (derecha) mediante el operadorT− (T+).Este comportamiento es totalmente análogo al caso clásico, por lo cual nos permiteasociar el operador unitario en el espacio de la quiralidad con la moneda de la cami-nata clásica.Sin embargo, las características cuánticas de nuestro sistema, permiten un compor-tamiento más interesante: en el caso general, luego de la transformación unitaria dela quiralidad, ésta queda en un estado que es superposición de los estados |L〉〈L| y|R〉〈R|, por lo cual el caminante se trasladará conjuntamente a izquierda y derecha,quedando en una superposición de estados de posición.Como es usual, la evolución en un paso de tiempo se escribe,

|Ψ(t+ 1)〉 = U(θ)|Ψ(t)〉. (1.2)En principio, K(θ) es una transformación unitaria general. En nuestro caso, y sinpérdida de generalidad, seleccionaremos un operador en el espacio de quiralidad,dentro de la familia de operadores dependientes de un parámetro θ ∈ [0, π], de modoque,

K(θ) = σze−iθσy , (1.3)

siendo σy y σz las matrices de Pauli usuales que actuarán en Hc. Con esta denicióny usando el conocido resultado de la exponencial de las matrices de Pauli, obtenemos:

K(θ) =

cos θ sin θ

sinθ − cos θ

(1.4)

Para el caso en que θ = π4 , obtenemos la conocida moneda de Hadamard.

Es necesario señalar, que en general la caminata cuántica presenta una distri-bución de probabilidad en la posición que es asimétrica respecto al origen. Hay dosmaneras de eliminar esta asimetría: una de ellas es elegir convenientemente la condi-ción inicial, y la otra es elegir un operador en el espacio de quiralidad que indepen-dientemente del estado inicial produzca una evolución simétrica.

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1.1 Descripción del modelo

-500 0 5000

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

P(n)

(a)

-500 0 500n

0

0,005

0,01

0,015

0,02(b)

Figura 1.1: Distribución de probabilidad de la CQL. En el panel (a), se muestra el caso asimétricocon condiciones iniciales (1, 0). En el panel (b) el caso simétrico con condiciones iniciales (1, i) 1√

2.

Como es sabido, la varianza de la caminata al azar clásica en la línea, simétrica,varía linealmente con el tiempo, es decir: luego de T pasos, se tiene

σ2cl ∼ T (1.5)

Esto implica que la distancia al origen, es del orden de

σcl ∼√T (1.6)

Sin embargo, se ha mostrado (29) que la varianza de la CQL es proporcional altiempo al cuadrado,

σ2q ∼ T 2 (1.7)

lo cual implica que la distancia esperada al origen es del orden de

σq ∼ T, (1.8)

y por lo tanto el caminante cuántico se desplaza en la línea cuadráticamente másrápido que el caminante clásico.

9

1. LA CAMINATA CUÁNTICA UNIDIMENSIONAL EN TIEMPO DISCRETO

10

Capítulo 2

Caminata cuántica como procesoMarkoviano

Como se ha señalado en la introducción, una de las características sorprendentes dela CQL, es su mayor velocidad de propagación en la línea comparado con su análogoclásico. En este capítulo, explicaremos la causa de dicha diferencia.

En un trabajo anterior, Romanelli et. al (30), mostraron, cómo una evoluciónmecánico cuántica puede ser separada en términos Markovianos, y términos de in-terferencia. Veremos que dicho análisis es útil para comprender el comportamientode sistemas cuánticos en los cuales la decoherencia juega un papel central, y que esapropiado para describir la evolución de sistemas cuánticos que tienen contraparteclásica difusiva.Comenzaremos escribiendo el vector de onda,

|Ψ(t)〉 =∞∑

m=−∞

(am(t)bm(t)

)|m〉, (2.1)

donde hemos asociado la componente superior con la quiralidad left y la inferiorcon la quiralidad right. Los estados |m〉 son autoestados del operador posicióncorrespondiente al lugar m en la línea. La evolución unitaria anteriormente denida,puede escribirse como el siguiente mapa,

ai(t+ 1) = ai+1(t) cos θ + bi+1(t) sin θbi(t+ 1) = ai−1(t) sin θ − bi−1(t) cos θ . (2.2)

En el caso en que θ = π/4, este mapa describe la caminata de Hadamard en la línea.Cuando θ = 0 o θ = π/2, la evolución en la línea es trivial, por lo que no considera-remos dichos casos.Denimos la distribución de posición left, como PmL(t) ≡ |am(t)|2, y la distri-bución right como PmR(t) ≡ |bm(t)|2. Podemos entonces denir la distribuciónde probabilidad de la posición, Pm(t) ≡ PmL(t) + PmR(t). Dichas distribuciones se

11

2. CAMINATA CUÁNTICA COMO PROCESO MARKOVIANO

relacionan mediante el mapa

Pi,L(t+ 1) = Pi+1,L(t) cos2 θ + Pi+1,R(t) sin2 θ + βi+1(t) sin 2θ

Pi,R(t+ 1) = Pi−1,L(t) sin2 θ + Pi−1,R(t) cos2 θ − βi−1(t) sin 2θ (2.3)

donde βi ≡ < [aib∗i ] corresponden a términos de interferencia.

Las ecuaciones anteriores se pueden escribir de la siguiente manera1,

Pis(t+ 1) =∞∑

j=−∞l=L,R

Tij,slPjl(t) + βis(t) sin 2θ (2.4)

donde s y l toman los dos valores posibles de la quiralidad, L,R βiL = βi+1 yβiR = −βi−1.Denimos las probabilidades de transición Tij,sl,

Tii+1,LL = Tii−1,RR = cos2 θ

Tii+1,LR = Tii−1,RL = sin2 θ

Tij,ls = 0 en otro caso (2.5)

Es fácil ver que estas probabilidades de transición están bien denidas, ya que cum-plen con los requerimientos necesarios:

Tij,sl ≥ 0∑

i,s

Tij,sl =∑

j,l

Tij,sl = 1 (2.6)

Con estas consideraciones, se hace evidente que si los términos de interferenciaβis(t) en las ecuaciones (A.3) pueden ser despreciados, la evolución temporal de laprobabilidad de ocupación es descrita mediante un proceso Markoviano en el cual laprobabilidad de transición (i, s) → (j, l) en el tiempo ∆t = 1, está dada por Tij,sl.Como es característico de un proceso Markoviano, las nuevas posición y quiralidaddependen sólo de los valores previos de posición y quiralidad. Como la quiralidades una dimensión auxiliar que se introdujo a los efectos de implementar el quantumwalk, nos centraremos en la evolución de la distribución de probabilidad de la posiciónde la partícula, Pi = PiL + PiR, que se obtiene de las ecuaciones (2.2),

Pi(t+ 1) = [Pi+1(t) + Pi−1(t)] cos2 θ − Pi(t− 1) cos 2θ+ [βi+1(t)− βi−1(t)] sin 2θ. (2.7)

Si los términos de interferencia son despreciados en las ecuaciones (2.7), la evoluciónresultante es Markoviana en dos pasos de tiempo; esto es, la posición en un instantede tiempo dado, está determinada por la posición en los dos pasos de tiempo ante-riores.En el caso general, la ecuación (2.7) no tiene equivalente en el contínuo, aún en au-sencia de los términos de interferencia.

1El desarrollo completo se encuentra en el Apéndice A.

12

2.1 Momentos de la distribución de posición

Sin embargo, hay dos casos especiales, para los cuales es posible obtener límite con-tínuo (31).

Primer caso: tomamos los incrementos espaciales (∆x) y los incrementos tempo-rales (∆t) de tal forma que la velocidad v = ∆x

∆t y el cociente sin2 θ∆t se mantienen

constantes cuando ∆t→ 0. Se obtiene así la ecuación del Telegrasta (32),

∂P

∂t= D

[∂2P

∂x2− ∂2P

∂t2

](2.8)

Segundo caso: mantenemos v2∆t constante cuando ∆t → 0, y dejamos que θ tomecualquier valor. Se obtiene entonces la conocida ecuación de difusión,

∂P

∂t= D

∂2P

∂x2(2.9)

En las dos ecuaciones anteriores, D es el coeciente de difusión,

D(θ) =cot2 θ

2. (2.10)

Esta expresión se reduce al valor clásico, D = 1/2, para el caso de la caminata deHadamard.En las ecuaciones (2.8 y 2.9), no se tuvieron en cuenta los términos de interferencia;si se desea incluirlos, simplemente hay que sumar el término 2 cot θ ∂β

∂x en el ladoderecho de ambas ecuaciones.

2.1 Momentos de la distribución de posiciónLa evolución de la varianza, σ2 = M2 − M2

1 , de la distribución de probabilidadPi(t) es una característica distintiva de la CQL. Como hemos comentado antes (33),ésta crece cuadráticamente con el tiempo en el caso cuántico, mientras que sólo lohace linealmente con el tiempo en el caso clásico. Para analizar este comportamiento,calculamos la evolución temporal de la varianza en forma analítica a partir del cálculodel primer y segundo momentos según su denición:

M1 =∞∑

i=−∞i Pi

M2 =∞∑

i=−∞i2Pi. (2.11)

Obtenemos entonces a partir de la ecuación (2.7), la ecuación de evolución de dichosmomentos,

M1(t+ 1) = 2 cos2 θM1(t) − cos 2θM1(t− 1)− 2 sin 2θ∑

i

βi(t)

M2(t+ 1) = 2 cos2 θ [1 +M2(t)] − cos 2θM2(t− 1)− 4 sin 2θ∑

i

iβi(t). (2.12)

13


Escribiendo estas ecuaciones en términos de diferenciales se obtiene,d2M1

dt2+ 2 tan2 θ

dM1

dt+ 4 tan θ

∑

i

βi(t) = 0

d2M2

dt2+ 2 tan2 θ

dM2

dt+ 8 tan θ

∑

i

iβi(t) = 2. (2.13)

Analizando estas expresiones, se pueden reconocer dos tipos de evolución diferentesegún sean tenidos en cuenta o no, los términos de interferencia, como veremos en loque sigue.

2.1.1 Evolución decoherenteSi las sumatorias en las ecuaciones (2.13) pueden ser despreciadas, la evolución delos momentos de la distribución de posición está dada por

d2M1

dt2+ 2 tan2 θ

dM1

dt= 0

d2M2

dt2+ 2 tan2 θ

dM2

dt= 2. (2.14)

La solución general de dichas ecuaciones es de la formaM1(t) = C11 + C12e

−2t tan2 θ

M2(t) = C22 +1

tan2 θt+ C21e

−2t tan2 θ (2.15)

donde C11, C12, C21 y C22 son constantes. Para tiempos mayores que τ = cot2 θ, lasexponenciales pueden despreciarse, y por lo tanto la varianza crece linealmente conel tiempo, con una pendiente dada por la ecuación (2.10),

σ2 ≈ D(θ) t. (2.16)Es importante señalar que este resultado es el esperado para el caso de una caminataal azar en la línea clásica. Más adelante, discutiremos acerca de este resultado.

2.1.2 Evolución unitariaSi los términos de interferencia no son eliminados en la ecuación (2.13), el proceso noes Markoviano, sino unitario. La solución para un θ arbitrario es bastante engorrosa,por lo cual sin pérdida de generalidad nos centraremos en el caso particular de la ca-minata de Hadamard, tomando θ = π/4 en el mapa (2.2). Siguiendo el razonamientode (26), usando análisis de Fourier, se obtienen las soluciones para las amplitudesai(t) y bi(t). Para el caso particular de las siguientes condiciones iniciales: aj(0) = δj0y bj(0) = 0, estas soluciones son

aj(t) =1 + (−1)j+t

2

∫ π

−π

dk

2π

[1 +

cos (k)√1 + cos2 k

]e−i(wkt+kj),

bj(t) =1 + (−1)j+t

2

∫ π

−π

dk

2π

[eik√

1 + cos2 k

]e−i(wkt+kj) (2.17)

14


0 100 200 300-1

-0,5

0

0,5

1 ∆

A/A

0 100 200 300tiempo

-0,3

0

0,3

∆B

/B

Figura 2.1: Error relativo entre el valor asintótico y el valor para tiempos nitos de las expresionesen las ecs.(2.18) y (2.19).

donde hemos denido sinwk = sin k√2. Con estas soluciones, se puede obtener una

expresión para la varianza en el límite de tiempo largo. Las sumatorias en (2.13) sonevaluadas usando la expansión de Fourier de la función δ, obteniéndose el siguienteresultado:

∞∑

j=−∞βj(t) = A (2.18)

∞∑

j=−∞jβj(t) = −At+B, (2.19)

donde A =(2−√2

)/4 y B = 1− 5

√2/8. Si bien estos resultados fueron obtenidos

para el límite de tiempos largos, ellos describen correctamente para tiempo nitoel comportamiento promedio. Esto ha sido vericado numéricamente, calculando lasdiferencias relativas:

∆A/A ≡∑

j

βj −A

/A

∆B/B ≡∑

j

jβj +At−B

/(−At+B)

como funciones del tiempo, como se puede ver en la gura 2.1.

15


Utilizando las ecuaciones (2.12), la evolución del primer y segundo momentospuede ser expresada mediante los mapas

M1(t+ 1) = M1(t)− 2AM2(t+ 1) = M2(t) + 4At+ (1− 4B). (2.20)

Las soluciones de esos mapas son

M1(t) = −2At+ C

M2(t) = 2At2 + (1− 4B − 2A)t+ C ′, (2.21)

siendo C y C ′ constantes arbitrarias. Entonces la varianza es

σ2 ≈ 2A(1− 2A) t2. (2.22)

Llegado a este punto del análisis, es importante enfatizar que de las ecuaciones (2.18)y (2.22) se evidencia una relación directa entre la evolución coherente y el crecimientotemporal cuadrático a tiempos largos. En una evolución decoherente, A y B puedendespreciarse, y entonces la varianza es lineal en el tiempo.

2.1.3 Caminata cuántica generalizadaLos resultados anteriores fueron obtenidos para un valor particular del parámetro(θ = π/4); ahora desarrollaremos un método analítico alternativo que es válido parael quantum walk generalizado, es decir, para cualquier valor de θ. Comenzaremosreordenando el mapa original (4.4) de manera de desacoplar ambas componentes dela quiralidad. Se obtienen así dos ecuaciones independientes

ai(t+ 2)− ai(t) = cos θ [ai+1(t+ 1)− ai−1(t+ 1)]bi(t+ 2)− bi(t) = cos θ [bi+1(t+ 1)− bi−1(t+ 1)] . (2.23)

Considerando tiempos largos, las diferencias pueden ser aproximadas por derivadastemporales, obteniéndose entonces

2∂ξi∂t

= cos θ [ξi+1(t)− ξi−1(t)] , (2.24)

donde ξi representa cualquiera de las componentes de la quiralidad, ai o bi. Rede-niendo el tiempo t′ = −t cosθ, entonces la ecuación (2.24) se escribe como

2∂ξi∂t′

= ξi−1(t′)− ξi+1(t′), (2.25)

siendo ésta la relación de recursión que verican las funciones de Bessel. Por lo tantopodemos escribir la solución general de la siguiente manera,

ξi(t) =+∞∑−∞

(−1)i−lξl(0)Ji−l(t cos θ), (2.26)

16


donde ξl(0) son las condiciones iniciales. Estas condiciones iniciales no son necesaria-mente las mismas que las que deben ser usadas en el mapa discreto (2.23), ya quela aproximación de una diferencia mediante una derivada, no es válida para tiemposcortos. Es necesario tener en cuenta, que la solución (2.26) con las condiciones inicia-les apropiadas nos da una buena descripción de la dinámica del mapa discreto (2.23)para tiempos largos, donde tiempos largos signica muchas aplicaciones del mapadiscreto. Además, la ecuación (2.26) brinda como información adicional, el hecho quela velocidad de propagación de la distribución de probabilidad para tiempos largos,viene dada por cos θ.Otra característica de la ecuación (2.26), es que tiene la misma forma que la de laevolución temporal de las amplitudes del kicked rotor en una resonancia principal 1.(34; 35). Especícamente si K es el parámetro de fuerza adimensionado del kickedrotor, como fue denido en (36), la evolución temporal para dichas amplitudes vienedada por la ecuación (2.26), luego de la siguiente sustitución:

cos θ → K

4πpp integer. (2.27)

A partir de la ecuación (2.26) obtenemos analíticamente la varianza, escribiendopreviamente la distribución de probabilidad,

Pi(t) =∑

l,l′(−1)−(l+l′)

[al(0)a∗l′(0) + bl(0)b∗l′(0)

]Ji−l(t cos θ) Ji−l′(t cos θ), (2.28)

el primer momento

M1(t) = −t cos θ∑

l

<[al(0)a∗l−1(0) + bl(0)b∗l−1(0)

]+M1(0) (2.29)

y el segundo momento

M2(t) =t2 cos2 θ

2

1 +

∑

l

<[al(0)a∗l−2(0) + bl(0)b∗l−2(0)

]

− t cos θ∑

l

(2l − 1)<[al(0)a∗l−1(0) + bl(0)b∗l−1(0)

]+M2(0), (2.30)

donde M1(0) y M2(0) son los momentos de la distribución inicial. Es claro entoncesque la varianza crece cuadráticamente con el tiempo para condiciones iniciales arbi-trarias, y para cualquier valor del parámetro θ.

En la gura 2.2 mostramos la evolución temporal de la diferencia relativa ∆σ2/σ2,donde ∆σ2 ≡ σ2

ap− σ2 es la diferencia entre la varianza aproximada,σ2ap obtenida de

las ecuaciones (2.29)y (2.30) y la varianza exacta σ2 obtenida del mapa de Hadamardoriginal (4.4).

1En el Apéndice B hay una breve presentación del modelo del Kicked Rotor

17


0 100 200 300time

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

∆σ2 /σ

2

Figura 2.2: Error relativo entre la varianza obtenida de las expresiones aproximadas (2.29) y(2.30), y el valor exacto σ2 en el caso del mapa original de Hadamard ec.(4.4). Las condicionesiniciales usadas en ecs.(2.29) y (2.30) son

ąa0b0

ć= 0,70206

ą11

ć,

ąa±2

b±2

ć= −0,0593

ą11

ćy cero en otro

caso. Para el cálculo de σ2, la partícula está inicialmente en el origen con quiralidadą

a0b0

ć=

ą10

ć.

18

Capítulo 3

Decoherencia en la caminata alazar

La relación entre la descripción cuántica y clásica de los fenómenos físicos, es untema de gran discusión. En general se asume que la interacción de un sistema cuán-tico con su entorno, induce decoherencia, lo cual genera en el sistema la apariciónde la descripción clásica. Como hemos mencionado en el capítulo 1, se ha estudiadoel fenómeno de decoherencia en la CQL; mediante métodos numéricos se ha vistoque la CQL es muy sensible a la decoherencia, y que incluso ésta puede eliminar elcrecimiento cuadrático de la varianza (37). También se ha investigado el efecto demedir la quiralidad, y se han llegado a resultados similares (38; 39); por otro lado, unmecanismo diferente de decoherencia, el ruido unitario, mostró un comportamientocuántico a tiempos cortos, que se transforma en clásico para tiempos largos (40).

En este capítulo estudiaremos primero, el efecto de medidas periódicas en po-sición y quiralidad sobre la CQL, y luego generalizaremos para el caso en que losintervalos de tiempo entre medidas consecutivas están aleatoriamente distribuidos,lo cual nos permitirá vincular la CQL con el conocido movimiento Browniano.

3.1 Medidas periódicasTomemos como condición inicial, al caminante al azar ubicado en el autoestadode la posición |0〉, con quiralidad (1, i)/

√2. Esta condición inicial da lugar a una

evolución simétrica, con Pn(t) = P−n(t) (41). Realizaremos conjuntamente medidasen la posición y la quiralidad del caminante, cada T pasos. De las formas posibles demedir la quiralidad, elegimos medirla en forma tal que la quiralidad es proyectadapor el operador de Pauli σy en la dirección →y . Con esta elección, los estados (1, i)/

√2

y (1,−i)/√2 son autoestados del operador de medida, y es preservado el caráctersimétrico de la evolución.La función de onda evoluciona de acuerdo al mapa unitario (2.2) durante los primerosT pasos. En el tiempo t = T se miden por primera vez la posición y la quiralidad.La probabilidad que el resultado de la medida en la posición sea n, es decir que la

19

3. DECOHERENCIA EN LA CAMINATA AL AZAR

función de onda colapse en el estado de posición |n〉, esqn ≡ Pn(T ) . (3.1)

La distribución de probabilidad qn depende del estado inicial de la quiralidad. Sinembargo, para el proceso de medida en la quiralidad que hemos descrito, es evidenteque esta distribución se repite a si misma luego de cada medida, aunque centrada endiferentes autoestados de posición.Luego de esta primer medida, se repite el proceso; prosigue la evolución unitaria, yse realizan medidas en los tiempos t = 2T, 3T, . . . τT .Este procedimiento se esquematiza en la gura 3.1, donde se muestra la evoluciónpara el caso T = 2.

En el caso de intervalos de tiempo arbitrarios T entre medidas consecutivas, ladistribución de probabilidad Pn, satisface la ecuación maestra

Pn(t+ T ) =n+T∑

j=n−T

qn−jPj(t), (3.2)

donde las probabilidades de transición del sitio j al n, qn−j son las denidas en laecuación (3.1).Calculamos ahora usando la ecuación (3.2), el primer y segundo momentos, M1(t)y M2(t). Llegamos entonces a las siguientes expresiones:

M1(t+ T ) = M1(t) +M1q(T ) (3.3)M2(t+ T ) = M2(t) + 2M1(t)M1q(T ) +M2q(T ) (3.4)

dondeM1q(T ) =n=T∑

n=−T

nqn yM2q(T ) =n=T∑

n=−T

n2qn son el primer y segundo momentos

asociados a la evolución unitaria entre medidas.La varianza verica,

σ2(t+ T ) = σ2(t) + σ2q (T ), (3.5)

donde σ2q (T ) = M2q(T ) − M2

1q(T ) es la varianza asociada a la evolución unitariaentre medidas. A partir de la ecuación (3.5) obtenemos el coeciente de difusiónen el caso de medidas repetidas, Dmr = 1

2∆σ2

∆t , en un tiempo ∆t = τT que incluyevarios procesos de medida:

Dmr =σ2

q (T )2T

(3.6)

Por otro lado, ya sabemos que la evolución libre del caminante cuántico crece cua-dráticamente con el tiempo, por lo que

σ2q (T ) = CT 2. (3.7)

Para T À 1, C es una constante que está determinada por las condiciones iniciales,de modo que sustituyendo en la ecuación anterior, vemos que el coeciente de difusióndepende linealmente del intervalo de tiempo entre medidas,

Dmr =12CT. (3.8)

20

3.1 Medidas periódicas

P0(2)

P-2(2)

evolución cuántica

medida medida



0

1

2

3

4

-1

-3

-2

posición

tiempo 0 1 2 3 4 5 6

2 = 1 2 = 2 2 = 3

P2(2)

Figura 3.1: Diagrama de evolución temporal para el caminante cuántico, asumiendo medidas conun período T = 2. El estado inicial de la posición del sistema es n = 0.

21


0 50 100 150 200Time

0

200

400

600

800

1000

Var

ianc

e

Figura 3.2: Evolución temporal de la varianza del caminante cuántico. Se gracan dos frecuenciasde medidas, correspondientes a T = 10 y T = 20. Los tramos parabólicos corresponden a la evolucióncuántica libre entre medidas. La pendiente justo antes de una medida, es proporcional al coecientede difusión dado por la ecuación (3.8).

Estos resultados fueron vericados mediante simulación numérica. En la gura 3.2,se muestra la varianza calculada en un conjunto de 104 trayectorias. Claramente seobserva la dependencia lineal del coeciente de difusión con el intervalo de tiempoT .

3.2 Medidas aleatorias y movimiento BrownianoGeneralizaremos ahora el procedimiento anterior para el caso en que los intervalosde tiempo entre medidas consecutivas están aleatoriamente distribuidos.En este caso, el coeciente de difusión viene dado por la expresión

D =CT 2

2T, (3.9)

donde T es el promedio de los intervalos de tiempo entre medidas, y T 2 el promediode su cuadrado. En la gura 3.3 se gracó la evolución de la varianza promediocon el tiempo, cuando la distribución de los intervalos de tiempo entre medidas esuniforme en el intervalo [1,10]. Para este caso, T = 5,5 y T 2 = 38,5 y el coecientede difusión concuerda con el caso periódico, ecuación (3.9), para T = 7.

Esta difusión es análoga a la encontrada en el caso del movimiento Brownianoclásico, el cual describe una partícula pesada inmersa en un uido de moléculas livia-nas que chocan con la partícula aleatoriamente. Esas colisiones pueden ser asociadas

22

3.2 Medidas aleatorias y movimiento Browniano

0 20 40 60 80 100Time

0

50

100

150

200

250

300

Var

ianc

e

PSfrag replacementsTiempo

Varianza

Figura 3.3: Evolución temporal de la varianza promedio de la distribución de posición del cami-nante cuántico. El estado inicial de la posición es n = 0. Los intervalos entre medidas son aleatorios,y uniformemente distribuidos en el intervalo [1,10] (línea completa). La línea a trazos, correspondeal caso periódico con T = 7

al proceso de medida cuántico, mientras que el movimiento libre entre las colisio-nes, puede asociarse a la evolución unitaria entre medidas. Para profundizar en estaanalogía, consideremos la ecuación de Langevin para el movimiento Browniano uni-dimensional de una partícula (42),

dv

dt+ γv = f(t), (3.10)

donde v es la velocidad de la partícula, γ el coeciente de viscosidad, y f(t) lafuerza impulsiva por unidad de masa, originada por las colisiones aleatorias con lasmoléculas que la rodean. Se asume que el promedio temporal de f(t) es cero, yque sus correlaciones satisfacen el teorema de Fluctuación-Disipación. Cuando existeequilibrio térmico con las moléculas que la rodean, y si inicialmente x = x2 = 0, laevolución temporal de la varianza de la posición de la partícula para el movimientoBrowniano es

σ2 =2Cγ

[t− γ−1 (1− exp(−γt))] , (3.11)

donde C es una constante determinada por las condiciones iniciales, que están re-lacionadas a la temperatura en el movimiento Browniano. Veamos ahora cómo seaplica este modelo a la caminata cuántica decoherente que estamos describiendo.La inversa del coeciente de disipasión, γ−1, dene el tiempo característico en el quela varianza tiene una transición entre un crecimiento cuadrático y un crecimientolineal.

23


Podemos estudiar claramente dos límites:Para tiempos cortos, la probabilidad de una colisión es pequeña y la varianza crececuadráticamente

σ2 ' Ct2(t¿ γ−1

), (3.12)

Esta expresión es completamente análoga a la ecuación (3.7), obtenida previamentepara el caso de medidas periódicas.Para tiempos largos, hay muchas colisiones, por lo cual los efectos disipativos sevuelven dominantes y la varianza crece linealmente con el tiempo,

σ2 ' 2Cγt

(tÀ γ−1

), (3.13)

la partícula es frenada, y sufre un proceso difusivo con coeciente de difusión

D =C

γ. (3.14)

Esto puede ser comparado con el caminante cuántico a tiempos largos, es decir,luego de muchas medidas de posición y quiralidad. De la ecuación (3.8) se obtiene larelación entre el período T de las medidas y el tiempo característico del movimientoBrowniano,

T =2γ. (3.15)

Deducimos entonces que las medidas repetidas pueden ser vistas como un proceso di-sipativo, y que el caminante cuántico con decoherencia producida por dichas medidas,puede describirse mediante un modelo completamente clásico. Además, parece no serimportante el mecanismo particular mediante el cual se introduce la decoherencia,en tanto que sea considerada la escala de tiempo adecuada.

24

Capítulo 4

Caminata cuántica generalizada,en el espacio de Momentos

Una preocupación directamente relacionada con la computación cuántica, ha sido laposibilidad de construir y preservar estados cuánticos, donde el control de los efectoscaóticos es esencial (43).Como hemos comentado en la introducción, una de las motivaciones que ha determi-nado el auge del estudio del quantum walk, es su potencial uso en los algoritmos dela computación cuántica. Surge entonces de forma natural, la pregunta de bajo quécondiciones este sistema difunde, y en qué casos presenta localización dinámica.

Nuevamente es necesario hacer referencia al trabajo de Romanelli et. al (23). Allíprimeramente se muestra que la ecuación de Schrödinger se puede separar en térmi-nos Markovianos y términos de interferencia cuántica. A partir de esto, mostraroncómo el comportamiento localizado o difusivo de un sistema, es resultado de unacompetencia entre dichos términos en la ecuación de evolución.

Hemos visto en los capítulos anteriores, que la CQL tiene un operador evoluciónanálogo al del kicked rotor, el cual sabemos presenta localización dinámica. Estonos llevó a vincular ambos sistemas y de ese modo presentar una forma general dela caminata cuántica, dependiente de un parámetro, de la cual la CQL que hemosvenido estudiando, es un caso particular para ciertos valores de dicho parámetro.

4.1 Caminata cuántica modicadaConsideraremos ahora una nueva generalización de la caminata cuántica aleatoria enla línea.Mantenemos la ley de evolución para la quiralidad, utilizando como en los capítulosanteriores, el operador evolución de Hadamard, H = (σx +σz)/

√2. La evolución del

caminante estará dada por el operador U = SσzH, de manera que

|Ψ(t+ τ)〉 = U |Ψ(t)〉. (4.1)

En los desarrollos anteriores, los lugares |k〉 fueron asociados con los autoestados deposición pero ellos también pueden ser interpretados como autoestados del opera-

25

4. CAMINATA CUÁNTICA GENERALIZADA, EN EL ESPACIO DE MOMENTOS

dor momento, P |k〉 = ~k|k〉, dando lugar a una caminata cuántica en el espacio demomentos. De hecho, esto se ha supuesto en propuestas de implementación de lacaminata cuántica, usando ondas clásicas (44).Si interpretamos los lugares del lattice como autoestados del operador momento,nos permite establecer una conexión entre la caminata cuántica y el kicked rotator.

Modicamos la caminata cuántica descripta en la ecuación (4.1) considerandoque entre dos aplicaciones consecutivas del operador U , el caminante al azar se tras-lada con momento constante. Esta evolución se representa mediante un corrimientode fase que depende del lugar, relacionado con la energía cinética P 2/2m, de modoque la nueva evolución tiene la siguiente forma:

|Ψ(t+ τ)〉 = e−i2πΩP 2/~2U |Ψ(t)〉, (4.2)

donde Ω = ~τ4πm ym es la masa de la partícula. El vector de onda puede ser expresado

como un espinor:

|Ψ(t)〉 =∞∑

k=−∞

(ak(t)bk(t)

)|k〉, (4.3)

con la componente superior asociada con la quiralidad izquierda, y la componenteinferior con la quiralidad derecha.La evolución unitaria implicada por la ecuación (4.2) puede escribirse como el mapa

ak(t+ τ) =1√2

[ak+1(t) + bk+1(t) ] e−i2πΩk2

bk(t+ τ) =1√2

[ak−1(t) − bk−1(t)] e−i2πΩk2. (4.4)

Mediante simple inspección, vemos que si Ω toma valores enteros, entonces recupe-ramos la caminata usual de Hadamard.Del mismo modo como fue hecho anteriormente, obtenemos la evolución de la dis-tribución de momentos,Fk(t) ≡ |ak(t)|2 + |bk(t)|2 a partir de las ecuaciones (4.4),

Fk(t+ τ) =12

[Fk+1(t) + Fk−1(t)] + βk+1(t)− βk−1(t), (4.5)

donde βk(t) ≡ < [ak(t)b∗k(t)], son los términos de interferencia. Si despreciamos lostérminos de interferencia, obtenemos la ecuación de difusión, como hemos discutidoantes.Las ecuaciones (4.4) denen una dinámica muy interesante que abarca desde la di-fusión cuántica a la localización cuántica. Para valores especiales (enteros) de Ω seobtiene una dinámica resonante, en la cual la varianza de la distribución,

σ2 =∑

k

k2Fk(t)−[∑

k

k Fk(t)

]2

crece cuadráticamente con el tiempo. Cuando Ω toma valores enteros, se recuperala caminata cuántica usual. Como es típico de los sistemas cercanos a la resonancia,pequeñas variaciones del parámetro Ω, pueden dar lugar a dinámicas muy distintas,como se muestra en la gura 4.1.

26

4.2 Localización y resonancias

0 50 100 150 200Time

0

50

100

150

200

0 50 100 150 200Time

0

50

100

150

200

Var

ianc

e

0.1

0 50 100 150 200Time

0

50

100

150

200

0 50 100 150 200Time

0

50

100

150

200

Var

ianc

e

0 50 100 150 200Time

0

50

100

150

200

0 50 100 150 200Time

0

50

100

150

200

Var

ianc

e

0.2

0 50 100 150 200Time

0

50

100

150

200

0 50 100 150 200Time

0

50

100

150

200

Var

ianc

e

0.3

0 50 100 150 200Time

0

50

100

150

200

0 50 100 150 200Time

0

50

100

150

200

Var

ianc

e

Figura 4.1: Varianza σ2 como función del tiempo parar varios valores irracionales del parámetroΩ, 2πΩ = 0,1, 0,2, 0,3 (líneas nas). La condición inicial es |Ψ(0)〉 = 1√

2(1, i)|0〉. La línea a trazos

representa la difusión lineal clásica. La línea gruesa, aproximadamente parabólica corresponde alcaso racional Ω = 1/9.

4.2 Localización y resonancias

Se encontraron dos comportamientos claramente diferentes dependiendo del carácterracional o irracional de Ω.Cuando Ω es irracional se observa un estado inicial de difusión cuántica, con el coe-ciente de difusión predicho por la ecuación de difusión (como vimos en el capítulo2), seguido luego de un tiempo característico por una dinámica localizada, en la cualla varianza deja de crecer debido a la interferencia.El carácter exponencial de esta localización es mostrado en la gura 4.2, donde semuestra la distribución Fk(t) luego de 2000 pasos de tiempo, cuando ya apareció lalocalización dinámica.En la gura 4.3, se observa la pérdida de localización cuando hacemos variar elparámetro Ω de la siguiente manera: consideramos Ω = Ωr + δ con Ωr racional yδ ¿ 1. Cuando δ toma valores no muy chicos, Ω puede considerarse irracional,mientras que al decrecer, Ω va acercándose a un racional.Para valores de δ no muy chicos, vemos que la distribución está exponencialmentelocalizada. En la medida que δ va decreciendo gradualmente, la localización expo-nencial se transforma en una distribución casi uniforme.

Cuando Ω es racional, la varianza crece cuadráticamente con el tiempo, como semuestra en las guras 4.1 y 4.4. En este caso, la frecuencia de transición caracterís-tica entre los autoestados del operador momento es conmensurable con la frecuenciadel caminante cuántico. Esta es la condición para el comportamiento resonante.

27


-200 -100 0 100 200k

10-30

10-24

10-18

10-12

10-6

100

F k

0.1

10-30

10-24

10-18

10-12

10-6

100

F k

0.7

Figura 4.2: Distribución de probabilidad de momento Fk(t) at t = 2000, como función del índicede momento k para 2πΩ = 0,1, 0,7. La línea a trazos es el ajuste exponencial para 2πΩ = 0,1 Lacondición inicial es la misma que en la Fig. 4.1. La escala vertical es logarítmica.

-300 -200 -100 0 100 200 300k

10-30

10-24

10-18

10-12

10-6

Fk

δ=10−4

-300 -200 -100 0 100 200 300k

10-30

10-24

10-18

10-12

10-6

Fk

δ=10−5

-300 -200 -100 0 100 200 300k

10-30

10-24

10-18

10-12

10-6

Fk

-300 -200 -100 0 100 200 300k

10-30

10-24

10-18

10-12

10-6

Fk

-300 -200 -100 0 100 200 300k

10-30

10-24

10-18

10-12

10-6

Fk

δ=10−7

-300 -200 -100 0 100 200 300k

10-30

10-24

10-18

10-12

10-6

Fk

-300 -200 -100 0 100 200 300k

10-30

10-24

10-18

10-12

10-6

Fk

δ=10−9

-300 -200 -100 0 100 200 300k

10-30

10-24

10-18

10-12

10-6

Fk

-300 -200 -100 0 100 200 300k

10-30

10-24

10-18

10-12

10-6

Fk

-300 -200 -100 0 100 200 300k

10-30

10-24

10-18

10-12

10-6

Fk

-300 -200 -100 0 100 200 300k

10-30

10-24

10-18

10-12

10-6

Fk

-300 -200 -100 0 100 200 300k

10-30

10-24

10-18

10-12

10-6

Fk

-300 -200 -100 0 100 200 300k

10-30

10-24

10-18

10-12

10-6

Fk

Figura 4.3: Distribución de probabilidad de momento Fk(t) en t = 2000, en escala logarítmica,como función del índice de momento k para Ω = 1

11+ δ , con δ = 10−4, 10−5, 10−6 y 10−9. La línea

a trazos es el ajuste exponencial para δ = 10−4. La condición inicial es la misma que en la Fig. 4.1.

28

4.3 Conexión con la localización de Anderson

0 200 400 600 800 1000Time

0

20000

40000

60000

80000

Var

ianc

e

1/5

0 200 400 600 800 1000Time

0

20000

40000

60000

80000

Var

ianc

e

1/9

0 200 400 600 800 1000Time

0

20000

40000

60000

80000

Var

ianc

e

1/7

0 200 400 600 800 1000Time

0

20000

40000

60000

80000

Var

ianc

e

1/3

3/5

PSfrag replacementsTiempoVarianza

Figura 4.4: Crecimiento cuadrático de la varianza en función del tiempo para variosvalores racionales del parámetro Ω = 1/3, 1/5, 3/5, 1/7, 1/9.

Si Ω es un número racional no entero, Ω = pq , estamos en presencia de reso-

nancias secundarias. La varianza todavía muestra un crecimiento cuadrático, peroeste es más lento que el crecimiento asociado a las resonancias principales. Esto sedebe a que mientras en las resonancias principales, todas las fases se suman cons-tructivamente, en las resonancias secundarias, hay como máximo q fases diferentesque se repiten a sí mismas periódicamente en el tiempo. Estas fases determinan eltiempo requerido para que el comportamiento coherente inuya en la dinámica. Enla gura 4.5 (a), se muestra la distribución de probabilidad luego de 2000 pasos detiempo de la resonancia secundaria Ω = 1

11 . Se aprecia un fenómeno de interferenciaconstructiva cuando los momentos son múltiplos del denominador q = 11, es decir,k = ...,−22,−11, 0, 11, 22, ...La gura 4.5 (b) muestra que la distribución para Ω = 1

11 + 10−4 luego del mismonúmero de pasos, está claramente localizada.Este sistema es muy sensible a pequeñas variaciones de Ω próximo a un valor ra-cional. Si bien en ambos casos, Ω es racional, en el segundo, el tiempo en el cualel sistema se vuelve sensible a su carácter racional es mucho mayor que el tiempoconsiderado en la gura.

4.3 Conexión con la localización de AndersonComo hemos mostrado, el mapa 4.4 origina el mismo comportamiento cualitativo queel del quantum kicked rotor. Por otra parte, el Hamiltoniano del kicked rotor ha sidomapeado (45; 46) en un modelo de Anderson en un lattice unidimensional (47; 48).De esta manera, se realizó una conexión de la localización dinámica exponencial en el

29


-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 600

0.05

0.1

Fk

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60k

0

0.2

0.4

(a)

(b)

Figura 4.5: En el panel superior, distribución de probabilidad del momento Fk comofunción del momento k para Ω = 1

11 . En el panel inferior, la misma distribución paraΩ = 1

11 + 10−4. En ambos paneles la distribución se calculó para t=2000τ .

espacio de momentos, con las funciones de onda espacialmente localizadas, las cualesson de particular interés en la física del estado sólido.

Entre la caminata cuántica modicada y el kicked rotor existe una gran simi-litud; el operador de Floquet del kicked rotor involucra un operador un operadorgolpe, e−iK cos θ, donde K determina la intensidad del golpe, y θ la posición angu-lar del rotor, seguida por una evolución libre durante un paso de tiempo, dada por:e−iP 2/2~. En el caso de la caminata cuántica modicada, el operador golpe es reem-plazado por la traslación condicional y la rotación de la quiralidad de Hadamard:U = SσzH.

Con la nalidad de mostrar que la localización en el espacio de momentos pue-de interpretarse como una forma de localización de Anderson, relacionaremos losautoestados de Floquet de la caminata cuántica generalizada con los estados expo-nencialmente localizados del modelo de Anderson.El Hamiltoniano correspondiente a la caminata cuántica generalizada es periódicoen el tiempo, por lo que es aplicable la teoría de Floquet (1; 49).Consideremos |Ψw〉 un autoestado de Floquet del operador e−i2πΩP 2/~2 U , tal que

e−i2πΩP 2/~2 U |Ψw〉 = e−iw|Ψw〉,siendo e−iw la cuasienergía asociada. Podemos entonces escribir

|Ψw〉 = e−iwt|Φw(t)〉,con la condición de periodicidad

|Φw(t+ τ)〉 = |Φw(t)〉.(La dependencia temporal de los estados de Floquet es trivial, por lo que la elimina-remos en lo que sigue).

30

4.3 Conexión con la localización de Anderson

Para el caso de los autoestados de Floquet, el mapa 4.4 se reduce al siguiente conjuntode ecuaciones:

fkak = ak+1 + bk+1

fkbk = ak−1 − bk−1, (4.6)

con fk =√

2ei(2πΩk2−w). Luego de desacoplar las ecuaciones anteriores y de realizarel siguiente cambio de variable,

(αk

βk

)= ikfk

(ak

bk

), (4.7)

obtenemos

gkαk = αk+1 + αk−1

gkβk = βk+1 + βk−1, (4.8)

donde se ha denido

gk ≡ i(fk+1 − f∗k )gk ≡ i(fk−1 − f∗k ). (4.9)

Estas ecuaciones sugieren una relación con el modelo de Lloyd (50), el cual es uncaso especial del modelo unidimensional de Anderson (48) en el caso de interaccióncon vecinos próximos, el cual ha sido resuelto analíticamente (1). (La diferencia connuestro modelo es que gk y gk en las ecuaciones tienen parte imaginaria distinta decero)Es evidente que las ecuaciones para ambos componentes del espinor son las mismas,por lo cual nos centraremos en la primera para mostrar que puede ser escrita comouna ecuación de Anderson

Tkαk +∑

l 6=k

Wklαl = 0, (4.10)

donde Tk es el término correspondiente a la energía cinética en el lugar k, y Wkl esel término de interacción.Es sabido (1), que si las funciones Tk son pseudo-aleatorias y los términos Wkm

decrecen sucientemente rápido con la distancia |k − m|, la función de onda estáexponencialmente localizada.Usando recursivamente la ecuación 4.8, podemos expresarla como una ecuación concoecientes reales de la forma 4.10, siendo

Tk = g2(k) [g2(k − 1) + g2(k + 1)] + g2(k + 1)g2(k − 1)[(g1(k))2 + g2(k)2

], (4.11)

con g1(k) y g2(k) partes real e imaginaria respectivamente de g(k).

El término potencial Wkl es

31


Wkl =

g2(l − 2) g2(l − 3) l = k + 2

−g2(l − 2) [g1(l)g2(l − 1) + g2(l)g1(l − 1)] l = k + 1

−g2(l + 2) [g1(l)g2(l + 1) + g2(l)g1(l + 1)] l = k − 1

g2(l + 2) g2(l + 3) l = k − 2

0 en otro caso.

(4.12)

-10 0 10T

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

P(T)

Figura 4.6: Distribución de probabilidad de Tk.

Como vemos en la gura 4.6, para valores irracionales de Ω, el término Tk tieneun comportamiento pseudo-aleatorio, y su distribución de probabilidad presenta unpico concentrado en una región, como es requerido para la existencia de localización.

32

Resumen, conclusiones yperspectivas

En los capítulos precedentes hemos profundizado en el estudio de las principales ca-racterísticas de la CQL, así como también aportamos nuevos elementos para entendery explicar el comportamiento de dicho sistema.

Primeramente, estuvimos interesados en explicar el crecimiento cuadrático dela varianza de la CQL. Previo a nuestros trabajos, se sabía que la CQL, con mone-da de Hadamard presentaba un crecimiento cuadrático de la varianza con el tiempo,el cual se vio numéricamente, era independiente de las condiciones iniciales.Nuestra aproximación al estudio del sistema, separando la evolución cuántica, en unaecuación maestra y términos responsables por el efecto de la coherencia cuántica, nospermitió entender por qué la evolución cuántica se propaga más rápido que la evolu-ción clásica. En el capítulo 2 hemos mostrado que existe una relación directa entre laevolución coherente y el crecimiento cuadrático: si la evolución se torna decoherente,entonces la varianza crece linealmente con el tiempo.Por otro lado, hemos mostrado que este análisis es válido no sólo para el caso de lamoneda de Hadamard, sino también para cualquier valor del parámetro θ del opera-dor K(θ) que actúa en el espacio de la quiralidad.

Al estudiar el caso en que la evolución se vuelve decoherente, mostramos quebajo ciertas hipótesis es posible hallar el límite contínuo de la evolución, obteniendoentonces la conocida ecuación de difusión. El coeciente de difusión no coincide engeneral, para cualquier valor de θ, con el valor de la caminata al azar clásica. En elcaso de Hadamard, el coeciente de difusión coincide con el caso clásico, D = 1

2 .

Luego de haber establecido el papel central que juega la decoherencia en la pérdi-da del carácter cuadrático de la evolución, analizamos concretamente la introducciónde decoherencia a través del proceso de medición en posición y quiralidad.Comenzando con medidas periódicas de posición y quiralidad, mostramos que laevolución en una escala de tiempo que involucra muchas medidas, puede describirsecomo un proceso Markoviano, y que la distribución de probabilidad satisface unaecuación maestra.Obtuvimos para este proceso, analíticamente, el coeciente de difusión, el cual varíainversamente con la frecuencia de las medidas.Este análisis se extendió, y estudiamos el comportamiento del sistema cuando el

33


intervalo entre medidas consecutivas variaba aleatoriamente. En este caso, el coe-ciente de difusión depende de un tiempo característico, determinado por el cocienteentre el primer y segundo momento de la distribución de los intervalos de tiempoentre medidas.Pudimos entonces comparar nuestro modelo, con un proceso Markoviano conocido:el movimiento Browniano, relacionando el valor promedio del tiempo entre medidas,con el tiempo característico del movimiento Browniano, γ−1. Por otra parte, obser-vamos que la condición inicial del caminante cuántico, determina una constante ennuestro modelo, que está directamente relacionada con la temperatura en el modelodel movimiento Browniano.Hemos esbozado una vinculación entre ambos modelos; esta línea de investigaciónha quedado abierta, y mucho trabajo por hacer en ese sentido.

Como vimos en el capítulo 3, el comportamiento de la CQL a tiempos largos,es el mismo que el del kicked rotor en una resonancia principal. Esto nos llevó aplantearnos un CQL generalizado, modicando el operador evolución del sistema, demodo que la CQL pasa a depender de un nuevo parámetro Ω.Para la mayor parte de los valores de Ω, el sistema presenta un comportamientoinicial difusivo, para luego localizar. Cuando el parámetro Ω toma valores racionales,la dinámica del sistema corresponde a un comportamiento resonante. En particular,para dicho caso, se recupera la CQL usual.Debemos destacar, que esta versión modicada de la CQL, no muestra un crecimientocuadrático de la varianza para todos los valores del parámetro, sino que esto sucedesólo para una serie particular de valores: cuando Ω es racional. Es decir, que sólo endicho caso, la evolución cuántica es más rápida que la clásica.Para el caso en que Ω es irracional, tenemos un nuevo tipo de CQL, con funcionesde onda exponencialmente localizadas.Esto abre un gran abanico de posibilidades: una de las preguntas que surgen, es sila localización dinámica puede ser utilizada para controlar la dispersión de la fun-ción de onda. Por otra parte, como los estados de localización dinámica son robustosfrente a decoherencia moderada (51; 52), cabe preguntarse si pueden ser usados parapreservar la información cuántica de la decoherencia proveniente del medio ambiente.

Hemos mencionado reiteradas veces en este trabajo, la relación entre el qua-tum walk y los algoritmos de búsqueda cuánticos. Durante el transcurso de nuestrainvestigación, aparecieron en forma reiterada referencias al algoritmo de Grover. Porotra lado, como vimos en el capítulo anterior, la resonancia cuántica constituye unfenómeno físico importante, que determina el comportamiento excepcional (varianzaproporcional al tiempo) de la CQL.Eso nos llevó a construir un algoritmo de búsqueda cuántico en tiempo contínuo, uti-lizando el mecanismo de resonancias cuánticas (53), que es equivalente al de Grover.En denitiva, han quedado varias líneas de investigación abiertas, varias preguntaspendientes y mucho trabajo por hacer para responder dichas preguntas.

34

Apéndice A

Obtención de la Ecuación Maestra,a partir de la evolución unitaria.

Partimos del mapa del Quantum Random Walk,

ai (tn+1) = ai+1 (tn) cos θ + bi+1 (tn) sin θbi (tn+1) = ai−1 (tn) sen θ − bi−1 (tn) cos θ (A.1)

Denimos la probabilidad izquierda, Pm,L (t) ≡ |am (t)|2, y la probabilidad dere-cha, Pm,R (t) ≡ |bm (t)|2 .Podemos entonces escribir:

Pi,L (tn+1) = |ai (tn+1)|2 == |ai+1 (tn)|2 cos2 θ + |bi+1 (tn)|2 sin2 θ + 2<(

ai+1 (tn) b∗i+1 (tn))sin θ cos θ,

o en forma más explícita,

Pi,L (tn+1) = Pi+1,L (tn) cos2 θ + Pi+1,R (tn) sin2 θ + βi+1 sin (2θ)

El mismo procedimiento se aplica a la probabilidad derecha, Pi,R, obteniendo elsiguiente mapa:

Pi,L (tn+1) = Pi+1,L (tn) cos2 θ + Pi+1,R (tn) sin2 θ + βi+1 sin (2θ)Pi,R (tn+1) = Pi−1,L (tn) sen2 θ + Pi−1,R (tn) cos2 θ − βi−1 sin (2θ) , (A.2)

donde los términos de interferencia han sido renombrados como βi ≡ < [aib∗i ] con

<(z) parte real de z.

Deno la probabilidad de transición, Tij,sl ≡

Tii+1,LL = Tii−1,RR = cos2 θTii+1,LR = Tii−1,RL = sin2 θTij,ls = 0, en otro caso.

Entonces,∞∑

i=−∞s=L,R

Tij,ls =∑

s=L,R

Tii+1,sl = Tii+1,Ll+Tii−1,Rl =Tii+1,LL + Tii−1,RL = cos2 θ + sin2 θ = 1Tii+1,LR + Tii−1,RR = sin2 θ + cos2 θ = 1.

35

A. OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN MAESTRA, A PARTIR DE LA EVOLUCIÓN UNITARIA.

Por lo tanto, la probabilidad de transición satisface:∞∑

i=−∞s=L,R

Tij,sl =∞∑

j=−∞l=L,R

Tij,sl = 1,

y las ecuaciones A.2 se pueden escribir como

Pis(t+ 1) =∞∑

j=−∞l=L,R

Tij,slPjl(t) + βis(t) sin 2θ (A.3)

36


Usamos derivadas discretas:∂Pi

∂t=

12

[Pi(tn + 1)− Pi(tn − 1)]

∂2Pi

∂t2= Pi(tn + 1)− 2Pi(tn) + Pi(tn − 1)

∂2Pi

∂x2= Pi+1(tn)− 2Pi(tn) + Pi−1(tn)

Reescribiendo la ecuación (A.1) de manera conveniente:

Pi(tn+1)−Pi(tn−1) = cos2 θ [Pi+1(tn) + Pi−1(tn)− 2Pi(tn−1)]+[βi+1(tn)− βi−1(tn)] sin 2θ,

y sustituyendo las expresiones de las derivadas discretas, obtenemos

∂Pi

∂t=

cotg2 θ

2

[∂2Pi

∂x2− ∂2Pi

∂t2

]+ [βi+1(tn)− βi−1(tn)] cotg θ (A.2)

38

A.2 Cálculo de la varianza para tiempos largos

A.2 Cálculo de la varianza para tiempos largosVamos ahora a desarrollar el cálculo de los resultados utilizados en el capítulo 2.

∞∑

j=−∞βj(t) = A (A.1)

∞∑

j=−∞jβj(t) = −At+B, (A.2)

Recordamos que βi ≡ < [aib∗i ] y que

aj(t) =1 + (−1)j+t

2

∫ π

−π

dk

2π[f(k)] e−i(wkt+kj) (A.3)

bj(t) =1 + (−1)j+t

2

∫ π

−π

dk

2π[g(k)] e−i(wkt+kj), (A.4)

deniendo, f(k) ≡ 1 +cos (k)√1 + cos2 k

y g(k) ≡ eik√1 + cos2 k

, entonces:

∞∑

j=−∞βj(t) =

∞∑

j=−∞

(1 + (−1)j+t)2

4

∫ π

−π

f(k)2π

e−i(wkt+kj)dk

∫ π

−π

g∗(k′)2π

ei(wk′ t+k′j)dk′

=∫ π

−π

f(k)2π

e−iwktdk

∫ π

−π

g∗(k′)2π

eiwk′ tdk′∞∑

j=−∞

(1 + (−1)j+t)2

4ei(k

′j−kj)

Por otro lado,∞∑

j=−∞

(1 + (−1)j+t)2

4ei(k

′j−kj) =12

∞∑

j=−∞ei(k

′j−kj) + (−1)t∞∑

j=−∞(−1)jei(k

′j−kj)

y usando que:

12π

∞∑

j=−∞ei(k

′−k)j = δ(k′ − k

), (A.5)

(−1)t∞∑

j=−∞(−1)jei(k

′j−kj) = 0 (A.6)

entonces,∞∑

j=−∞βj(t) =

∫ π

−π

f(k)2π

e−i(wkt+kj)dk

∫ π

−π

g∗(k′)2

eiwk′ tδ(k − k′

)dk′

=14π

∫ π

−πf(k)g∗(k)dk =

14π

[∫ π

−π

cos2(k)1 + cos2(k)

dk

]

=

(12−√

24

)(A.7)

39


Calculemos ahora la segunda sumatoria:∞∑

j=−∞jβj(t) =

∫ π

−π

f(k)4π

e−iwkt

∫ π

−πg∗(k′)ei(wk′ t)i

dδ (k − k′)d (k − k′)

dkdk′

=∫ π

−π

f(k)4π

e−iwkt

∫ k−π

k+πg∗(k − x)eiwk−xti

dδ (x)dx

(−dx)dk

=∫ π

−π

f(k)4π

e−iwkt(−i) ddx

[g∗(k − x)eiwk−xt

]x=0

dk

=i

4π

∫ π

−πf(k)

dg∗(k)dk

dk − t

4π

∫ π

−πf(k)

dωk

dkg∗(k)dk (A.8)

Teniendo en cuenta que :sinωk =

sin k√2, (A.9)

entonces: dωk

dk=

cos k√1 + cos2 k

, y sustituyendo en la segunda integral se obtiene:

t

4π

∫ π

−πf(k)

dωk

dkg∗(k)dk = t

(12−√

24

). (A.10)

Queda ahora el cálculo de la primer integral:

i

4π

∫ π

−πf(k)

dg∗(k)dk

dk =14π

∫ π

−π

(1 +

cos k√1 + cos2 k

)−i sin k + 2 cos k(√

1 + cos2k)3

dk

=14π

[2

∫ π

−π

cos2 k(1 + cos2 k)2

]=

14√

2(A.11)

Por lo tanto,∞∑

j=−∞jβj(t) =

14√

2− t

(12−√

24

)(A.12)

40

A.3 Cálculo del límite para tiempos largos de la varianza para el caso de la CQL generalizada

A.3 Cálculo del límite para tiempos largos de la varianzapara el caso de la CQL generalizada

Partimos del mapa:

ai(n+ 1) = ai+1(n) cos θ + bi+1(n) sin θ (A.1)bi(n+ 1) = ai−1(n) sin θ − bi−1(n) cos θ , (A.2)

despejando de ec.(A.1):

bi+1(n) =1

sin θ[ai(n+ 1)− cos θ ai+1(n)]

entonces:

bi(n+ 1) =1

sin θ[ai−1(n+ 2)− cos θ ai(n+ 1)]

bi−1(n) =1

sin θ[ai−2(n+ 1)− cos θ ai−1(n)] .

Las expresiones anteriores las sustituimos en ec.(A.2), obteniendo:1

sin θ[ai−1(n+ 2)− cos θ ai(n+ 1)] = sin θ ai−1(n)− cos θ

sin θ[ai−2(n+ 1)− cos θ ai−1(n)] ,

haciendo algunas operaciones,

ai−1(n+ 2)− cos θ ai(n+ 1) = sin2 θ ai−1(n)− cos θ ai−2(n+ 1) + cos2 θ ai−1(n) ,

que nos lleva a:

ai−1(n+ 2)− ai−1(n) = cos θ [ai(n+ 1)− ai−2(n+ 1)] (A.3)

En esta última ecuación podemos sustituir diferencias por derivadas:

2dai−1(n+ 1)

dt= cos θ [ai(n+ 1)− ai−2(n+ 1)] ,

y tomando en cuenta que los índices i y n son ambos mudos:

2dai(t)dt

= cos θ [ai+1(t)− ai−1(t)] (A.4)

Redeniendo el tiempo, t′ ≡ − cos θt, en la ec.(A.4) ,

2dai(t′)dt′

=[ai−1(t′)− ai+1(t′)

], (A.5)

obtenemos una ecuación diferencial cuya solución es conocida: las funciones de Bessel.Por lo tanto,

ai(t) =∞∑

l=−∞ClJl+i(− cos θ t)

= (−1)i∞∑

l=−∞ClJl+i(cos θ t) (A.6)

41


En esta expresión, nos queda expresar las constantes indeterminadas Cl en funciónde los valores iniciales:

ai(0) =∞∑

l=−∞(−1)iClJl+i(0) =

∞∑

l=−∞(−1)iClδl−i

entonces,Ci = (−1)iai(0).

Obtenemos entonces la exprexión nal,

ai(t) =∞∑

l=−∞(−1)i−lal(0)Ji−l(cos θ t) (A.7)

42

A.4 Derivación de la ecuación maestra para medidas periódicas

A.4 Derivación de la ecuación maestra para medidas pe-riódicas

Para calcular la evolución temporal de la varianza en el caso de medidas periódicas enposición y quiralidad, consideramos la evolución unitaria de un ensemble de sistemaspreparados con las mismas condiciones iniciales ( quiralidad ( 1√

2, i 1√

2) y posición

m = 0). Dejamos evolucionar a cada miembro del ensemble durante k pasos, deacuerdo al mapa unitario (A.1); luego se mide la posición y la quiralidad de cadacaminante cuántico del ensemble: una cierta fracción qm colapsará al estado |m〉,con |m| ≤ k + 1. Si se repite el procedimiento de medida τ veces, tendremos ciertafracción qm en el estado |m〉, con |m| ≤ τk + 1.Para jar ideas, consideremos el caso en que realizamos una medida cada dos pasos detiempo, es decir, k = 2 y las condiciones iniciales son las mencionadas anteriormente.Luego de la primera medida, la distribución de probabilidad será,

P(t = 2) = [. . . , 0, 0, q−2, 0, q0, 0, q2, 0, 0 . . .]t , (A.8)

Los tres valores no nulos de la primera medida, generan los trayectos posibles a loslugares m ∈ [−4, 4] en t = 4, cuando se realiza la segunda medida.La distribución de probabilidad luego de la segunda medida es:

P(t = 4) =

...0

2q0q20

q20 + 2q−2q2

02q0q2

0...

(A.9)

La distribución (A.9), se puede obtener de la aplicación de la siguiente matriz a ladistribución A.8:

M =

. . . ... p2... ... ... ... ...

. . . p0 p1 p2 0 0 0 0 . . .p−2 p−1 p0 p1 p2 0 0 0 . . .. . . p−2 p−1 p0 p1 p2 0 0 . . .. . . 0 p−2 p−1 p0 p1 p2 0 . . .. . . 0 0 p−2 p−1 p0 p1 p2 . . .. . . 0 0 0 p−2 p−1 p0 p1 p2

. . . 0 0 0 0 p−2 p−1 p0 . . .... ... ... ... ... p−2

... . . .

, (A.10)

es decir, P(t = 4) =MP(t = 2).Las las y las columnas de la matriz anterior suman 1, como es requerido por toda

43


matriz de transición.La forma general de dicha matriz es

Mmn =qn−m si |m− n| ≤ k0 en otro caso. (A.11)

La matriz M es (2k + 1) diagonal, siendo k el período de las medidas.Por lo tanto, se deduce que la distribución de probabilidad verica la siguiente ecua-ción maestra:

Pn (t+ T ) =n+T∑

j=n−T

qn−jPj(t), (A.12)

donde qn−j son las probabilidades de transición del lugar j al lugar n.

44

A.5 Obtención del Coeciente de Difusión - Medidas periódicas

A.5 Obtención del Coeciente de Difusión - Medidas pe-riódicas

Queremos calcular D, con D = 12

∆σ2

∆t .Para ello debemos calcular el primer y segundo momento de la distribución:

M1(t) ≡∑

j

jPj(t)

M2(t) ≡∑

j

j2Pj(t).

Teniendo en cuenta la ecuación maestra (A.12), podemos escribir la siguiente igual-dad:

M1(t+ T ) =∑

j

jPj(t+ T ) =∑

j

j+k∑

l=j−k

pj−lPl(t)

Realizando el siguiente cambio de variable: j − l = u, nos queda que:

M1(t+ T ) =∑

j

jk∑

u=−k

p−uPj+u(t) =k∑

u=−k

p−u

∑

j

jPj+u(t)

=k∑

u=−k

p−u

∑

i

(i− u)Pi(t) =< i > (t) +k∑

m=−k

mpm,

donde hemos utilizado quek∑

u=−k

pu = 1, y posteriormente realizado el cambio de

variable u = −m.Teniendo en cuenta que

M1q(T ) =k∑

m=−k

mpm, (A.13)

es el primer momento de la evolución cuántica entre medidas concluimos que:

M1(t+ T ) = M1(t) +M1q(T ) (A.14)

45


Realizaremos ahora un razonamiento análogo para calcular el segundo momento:

M2(t+ T ) =∑

j

j2Pj(t) =∑

j

j2∑

l=j−k

pj−lPl(t),

que luego del cambio de variable j − l = u queda,

M2(t+ T ) =k∑

u=−k

p−u

∑

j

j2Pj+u =k∑

u=−k

p−u

∑m

(m− u)2Pm

=k∑

u=−k

p−u

[∑m

m2Pm + 2u∑m

mPm + u2

]

y agregando queM2q =k∑

m=−k

m2Pm, es el segundo momento de la evolución unitaria

entre medidas, obtenemos:

M2(t+ T ) = M2q(T ) +M2(t) + 2M1(t)M1q(T )

Habiendo entonces obtenido expresiones para los dos momentos, podemos ahoracalcular explícitamente la varianza:

σ2(t+ T ) = M2(t+ T )−M21 (t+ T ) = σ2(t) + σ2

q (T ),

donde σ2q (T ) = M2q(T )−M2

1q(T ) es la varianza asociada a la evolución unitaria entremedidas. Obtenemos entonces de la ecuación anterior el coeciente de difusión:

D =12σ2

q (T )T

Teniendo en cuenta que σ2q crece cuadráticamente con el tiempo, obtenemos la ex-

presión buscada:D =

12CT,

donde C es una constante que depende de las condiciones iniciales.

46

A.6 La caminata cuántica generalizada y el modelo de Anderson

A.6 La caminata cuántica generalizada y el modelo deAnderson

Partimos de los estados de Floquet

|ψ(t)〉 = e−iwα(N)|uα(N)〉,con |uα(N)〉 base de Floquet que cumple

|uα(N+1)〉 = |uα(N)〉.

Podemos entonces escribir

|ψ(N + 1)〉 = e−iwα |ψ(N)〉 (A.15)

y escribiendo explícitamente el estado |ψ(N)〉 como espinor,∑n

(anα(N + 1)bnα(N + 1)

)|n〉 =

∑n

(anα(N)bnα(N)

)|n〉e−iwα

entonces, (anα(N + 1)bnα(N + 1)

)= e−iwα

(anα(N)bnα(N)

).

Después de un período se vuelve al mismo estado con la diferencia de una fase globalcaracterística del estado de Floquet particular.En lo que sigue eliminamos el subíndice α por claridad:

(an(N + 1)bn(N + 1)

)= e−iw

(an(N)bn(N)

).

y sustituyendo en el mapa 4.4

an(N + 1) =1√2

[an+1(N) + bn+1(N) ] e−i2πΩn2= e−iwan(N)

bn(N + 1) =1√2

[an−1(N) − bn−1(N)] e−i2πΩn2= e−iwbn(N).

Si denimosf(n) = 2πΩn2 − w,

las ecuaciones anteriores las podemos escribir de la siguiente manera

an+1(N) + bn+1(N) =√

2eif(n)an(N) (A.16)an−1(N)− bn−1(N) =

√2eif(n)bn(N) (A.17)

como el mapa anterior es válido para todos los lugares n, las ec.(A.16) y ec.(A.17)las podemos escribir como:

an(N) + bn(N) =√

2eif(n−1)an−1(N) (A.18)an(N)− bn(N) =

√2eif(n+1)bn+1(N) (A.19)

47


despejando an(N) de ec.(A.19) y an−1(N) de ec.(A.17) y sustituyéndolas en ec.(A.18)obtenemos

2bn(N) +√

2eif(n+1)bn+1(N) =√

2eif(n−1)bn−1(N) + 2ei(f(n−1)+f(n))bn(N)

Mediante un procedimiento análogo llegamos a una ecuación similar para los coe-cientes an

2an(N) +√

2eif(n+1)an+1(N) =√

2eif(n−1)an−1(N) + 2ei(f(n−1)+f(n))an(N)

Realizando el siguiente cambio de variable(αk

βk

)= ikeifk

(ak

bk

), (A.20)

en las ecuaciones anteriores, se obtiene√

2αn+1 = −√

2αn−1 + 2i(eif(n−1) − e−if(n))αn√2βn+1 = −

√2βn−1 + 2i(eif(n−1) − e−if(n))βn,

que con las deniciones usuales del seno quedan:

αn+1 + αn−1 = −2√

2ei2πΩ(n+ 12) sin

(2πΩ

(n2 + n+

12

)− w

)

βn+1 + βn−1 = −2√

2ei2πΩ(−n+ 12) sin

(2πΩ

(n2 − n+

12

)− w

)

Claramente ambas ecuaciones tienen el mismo comportamiento, basta solo cambiarn por −n en una de ellas para obtener la otra.Si denimos

g1(k) = 2√

2 cos[2πΩ

(k +

12

)]sen

[2πΩ

(k2 + k +

12

)− w

]

g2(k) = 2√

2 sen[2πΩ

(k +

12

)]sen

[2πΩ

(k2 + k +

12

)− w

]

(A.21)

y sustituimos en las anteriores, tenemos

αk+1 + αk−1 = (g1(k) + ig2(k))αk (A.22)

y su ecuación conjugada

α∗k+1 + α∗k−1 = (g1(k)− ig2(k))α∗k. (A.23)

Sumando y restando ec.(A.22) y ec.(A.23) se obtiene:

αk+1,R + αk−1,R = g1(k)αk,R − g2(k)αk,I (A.24)αk+1,I + αk−1,I = g1(k)αk,I − g2(k)αk,R, (A.25)

48

A.6 La caminata cuántica generalizada y el modelo de Anderson

donde hemos denido las partes real e imaginarias de αk:

<e [αk] = αk,R

=m [αk] = αk,I .

De la ecuación (A.25) despejamos αk,R y teniendo en cuenta que el índice k es mudo,podemos escribir la misma ecuación para cualquier valor de k

αk,R = −g1(k)g2(k)

αk,I +1

g2(k)(αk+1,I + αk−1,I)

αk+1,R = −g1(k + 1)g2(k + 1)

αk+1,I +1

g2(k + 1)(αk+2,I + αk,I)

αk−1,R = −g1(k − 1)g2(k − 1)

αk−1,I +1

g2(k − 1)(αk,I + αk−2,I)

Si sustituimos estas expresiones en ecuación (A.24), se obtiene

1g2(k + 1)

αk+2,I +[

1g2(k + 1)

+1

g2(k − 1)+g1(k)2

g2(k)+ g2(k)

]αk,I+

1g2(k − 1)

αk−2,I −(g1(k + 1)g2(k + 1)

+g1(k)g2(k)

)αk+1,I −

(g1(k − 1)g2(k − 1)

+g1(k)g2(k)

)αk−1,I = 0 (A.26)

Si realizamos ahora el mismo procedimiento pero despejamos αkI de la ecuación(A.24) y sustituimos en (A.25), llegamos nuevamente a la ecuación (A.26). Por lotanto, la parte real e imaginaria de (A.22) satisfacen la misma ecuación.

Tomando común denominador en (A.26), ésta se escribe

g2(k)g2(k − 1)αk+2,I + g2(k + 1)g2(k)αk−2,I−[g2(k)g2(k − 1) + g2(k + 1)g2(k) + g2(k + 1)g1(k)2g2(k − 1) + g2(k + 1)g2(k)2g2(k − 1)

]αk,I +

g2(k − 1) [g1(k + 1)g2(k) + g2(k + 1)g1(k)]αk+1,I −g2(k + 1) [g1(k − 1)g2(k) + g1(k)g2(k − 1)]αk−1,I = 0

Llegado a este paso, sólo nos falta mostrar que esta ecuación puede ser escrita comola ecuación de Anderson,

Tkαk +∑

l 6=k

Wklαl = 0. (A.27)

Esto es fácil de ver, haciendo las siguientes identicaciones:

Tk = g2(k) [g2(k − 1) + g2(k + 1)] + g2(k + 1)g2(k − 1)[(g1(k))2 + (g2(k)2

],

49


Wkl =

g2(l − 2) g2(l − 3) l = k + 2

−g2(l − 2) [g1(l)g2(l − 1) + g2(l)g1(l − 1)] l = k + 1

−g2(l + 2) [g1lg2(l + 1) + g2(l)g1(l + 1)] l = k − 1

g2(l + 2) g2(l + 3) l = k − 2

0 en otro caso,donde g1(k) y g2(k) partes real e imaginaria respectivamente de g(k)

50

Apéndice B

El Modelo del Kicked RotorClásico

El Kicked Rotor consiste en una barra de momento de inercia I, que gira sin fricciónalrededor de uno de sus extremos, y es sometida a golpes periódicos en su extremolibre. El sistema no está sometido a la atracción gravitatoria, el período de los golpeses T y la intensidad de los golpes es K.

El Hamiltoniano del sistema es

H =p2

2I+K cos θδT (t),

donde

δT (t) =∞∑

q=−∞δ(t− qT ) =

2T

∞∑

k=1

cos2πktT

+1T,

con q y k enteros.

θ

Golpe periódico

Figura B.1: Kicked Rotor clásico.

51

B. EL MODELO DEL KICKED ROTOR CLÁSICO

B.1 El Modelo del Kicked Rotor CuánticoYa se ha mencionado en la introducción la importancia histórica de este modelo; lascaracterísticas del mismo, se encuentran detalladas en (34).Para estudiar la evolución dinámica del Kicked Rotor Cuántico, partimos de su Ha-miltoniano:

H =p2

2I+K cos θδT (t),

sólo que en el contexto cuántico, las variables θ y p deben interpretarse como opera-dores.El estado del sistema se representa mediante el ket |ψ(θ, t)〉, y la evolución temporalde dicho estado, se obtiene mediante la ecuación de Schrõdinger,

i~∂|ψ(θ, t)〉

∂t= H|ψ(θ, t)〉, (B-1.1)

la cual en la representación posición toma la siguiente forma:

i~∂ψn

∂t= −~

2

2I∂2ψ(θ, t)

θ2+K cos(θ)δT (t)ψ(θ, t), (B-1.2)

donde ψ(θ, t) es la amplitud de probabilidad de encontrar al rotor a un ángulo θ, enel tiempo t.Por conveniencia, se trabaja con una versión adimensionada de la ecuación anterior,introduciendo los siguientes parámetros adimensionados:

ξ =~TI

k =K

~

La ecuación de Schrödinger B-1.2 queda entonces,

i∂ψ(θ, τ)∂τ

= −ξ2∂2ψ(θ, τ)∂θ2

+ k cos θδTψ(θ, τ),

donde δT (τ) =∑

q δ(τ − q).

B.2 Teoría de Floquet1

Esta teoría es útil para resolver la ecuación de Schrödinger en el caso de sistemascuyo Hamiltoniano es periódico en el tiempo.Consideremos la ecuación de Schrödinger:

i~∂

∂t|Ψ(t)〉 = H(t)|Ψ(t)〉. (B-2.3)

1esta sección ha sido extractada de (1)

52

B.2 Teoría de Floquet1

El Hamiltoniano H(t) es periódico y se puede escribir de la forma:

H(t) = H0 + εV G(t), (B-2.4)

donde H0 es independiente del tiempo, ε es un parámetro pequeño, V es un operadorenergía potencial, y G(t) es una función del tiempo periódica, G(t) = G(t+ T0), deperíodo T0. Con estas consideraciones, el Hamiltoniano H(t) es periódico.Asumamos que la ecuación de Schrödinger tiene soluciones de la forma:

|χα(t)〉 = exp(−iΩα

~t)|Φα(t)〉 (B-2.5)

siendo |Φα(t)〉 = |Φα(t + T0)〉 el αésimo estado de Floquet, y Ωα el parámetro deFloquet correspondiente. Es fácil ver que si denimos

H ′(t) = H(t)− i~∂

∂t, (B-2.6)

el nuevo Hamiltoniano es un operador hermítico con autovalores Ωα y autovectores|Φα(t)〉, en otras palabras:

H ′(t)|Φα(t)〉 = Ωα|Φα(t)〉. (B-2.7)

Ahora expresamos el estado |ψ(t)〉 en función de los estados de Floquet |Φα(t)〉.Asumimos que los estados de Floquet forman una base ortonormal completa, ya queson autoestados de un operador hermítico. Escribimos entonces:

|ψ(t)〉 =∑α

Aαexp(−iΩα

~t)|Φα(t)〉, (B-2.8)

donde los coecientes Aα se determinan a partir de las condiciones iniciales:

Aα = 〈Φα|ψ(0)〉. (B-2.9)

Sustituyendo entonces en la expresión eq.(B-2.8),

|ψ(t)〉 =∑α

exp(−iΩα

~t)|Φα(t)〉〈Φα|ψ(0)〉. (B-2.10)

Si hacemos uso de la periodicidad de los estados |Φα(t)〉, podemos escribir el estadoluego de un período T0,

|ψ(T0)〉 =∑α

exp(−iΩα

~T0)|Φα(t)〉〈Φα|ψ(0)〉 (B-2.11)

Es conveniente escribir la ecuación anterior en término de los autoestados de H0, |n〉:H0|n〉 = En|n〉. Teniendo en cuenta que

ψn(t) ≡ 〈n|ψ(t)〉 (B-2.12)

y que,〈n|H(t)|m〉 = Enδm,n + ε〈n|V |m〉G(t), (B-2.13)

53


la ecuación de Schrödinger se puede escribir:

i~∂

∂tψn(t) =

∑m

〈n|H(t)|m〉ψm(t) (B-2.14)

Estas ecuaciones, constituyen un conjunto de ecuaciones diferenciales para los estadosψn(t) las cuales pueden ser resueltas en general sólo mediante métodos numéricos.Podemos ahora escribir la ec.(B-2.11) de la siguiente forma:

ψn(T0) =∑m

Umn(T0)ψm(0), (B-2.15)

con,Umn(T0) =

∑α

exp(−iΩα

~T0)〈n|Φα(0)〉〈Φα(0)|m〉. (B-2.16)

La matriz de Floquet, Umn(T0) es unitaria y puede determinarse a partir de la so-lución de la ec.(B-2.14) evaluada en t = T0. Los autovalores de la matriz Umn(T0)son exp(−iΩα

~ T0) y sus autovectores, los estados de Floquet, 〈n|Φα(0)〉. A partir dela matriz Umn(T0), se puede determinar el estado ψn(t) en cualquier tiempo discretoT = NT0, con N entero, mediante el mapa:

ψn(NT0) =∑m

(UN (T0))n,mψm(0) (B-2.17)

B.3 Modelo Tight-binding del Kicked Rotor.Comenzamos nuevamente con la ecuación de Schrödinger,

i∂ψ(θ, τ)∂τ

= −ξ2∂2ψ(θ, τ)∂θ2

+ k cos θδTψ(θ, τ),

La ecuación anterior, en forma más abstracta se escribe

i∂

∂τ|ψ(τ)〉 = (H0 + V δT (τ))|ψ(τ)〉, (B-3.18)

donde 〈n|H0|n′〉 = ξ2n

2δn,n′ y 〈θ|V |θ′〉 = k cos θδ(θ − θ′).

Si se resuelve la ecuación B-3.18 en el intervalo comprendido entre el momento inme-diatamente anterior al n-ésimo golpe, y el inmediatamente anterior al (n+1)-ésimogolpe, encontramos

|ψ(N + 1)〉− = e−i bH0e−ibV |ψ(N)〉−,siendo |ψ(N)〉− el estado del sistema inmediatamente antes del n-ésimo golpe.

Asumiendo que una posible solución es un autoestado de Floquet;

|ψ(N)〉− = e−iwαN |uα(N)〉−,

54

B.3 Modelo Tight-binding del Kicked Rotor.

con wα = ΩαT~ y |uα(N + 1)〉− = |uα(N)〉−.

Entonces escribimos el estado anterior al n+1-ésimo golpe de la siguiente manera:

|uα(N)〉− = e−i( bH0−wα)e−ibV |uα(N)〉−.A continuación introducimos dos operadores hermíticos Tα y W denidos mediante:

e−i( bH0−wα) =(1− iTα)

(1 + iTα)

e−ibV =(1− iW )

(1 + iW )

entonces

Tα = tan(12(H0 − wα))

W = tan(12V ).

Introduciendo el estado

|vα(N)〉− =1

(1 + iW )|uα(N)〉−,

obtenemos(Tα + W )|vα(N)〉− = 0. (B-3.19)

Si se evalúa la ecuación anterior en la base del momento angular |n〉 se obtiene:

Tn(α)vn(α) +∑

m=−∞m6=n

Wn,mvm(α) = εvn(α), (B-3.20)

donde

Tn(α) = 〈n|Tα|n〉 = tan(14ξn2 − 2wα)

Wn,m = 〈n|W |m〉ε = −〈n|W |n〉vn(α) = 〈n|vα(N)〉

(45) mostró que los Tn están sólo levemente más correlacionados que una secuenciade números aleatorios con la misma distribución. Entonces, la secuencia de valoresTn parece ser pseudo-aleatoria.Por otro lado los elementos Wn,m para |m− n| grandes, caen exponencialmente.

En el desarrollo que se acaba de realizar se ha escrito la ecuación para los esta-dos de Floquet del kicked rotor mediante un modelo que se encuentra habitualmenteen física del estado sólido. Este modelo, describe el movimiento de un electrón enun lattice unidimensional. En la ecuación (B-3.19), el momento angular del rotor,equivale al lugar en el lattice en el problema de estado sólido.

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Caminata cuántica en la línea en el tiempo

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