CAMBIAMENTO DI VARIABILI IN INTEGRALI DOPPI E TRIPLI.
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CAMBIAMENTO DIVARIABILI IN INTEGRALI
DOPPI E TRIPLI.
Argomenti della lezioneArgomenti della lezione
Cambiamento di Cambiamento di variabili per integrali variabili per integrali doppi e tripli doppi e tripli
Applicazioni al calcolo Applicazioni al calcolo di aree, volumi, di aree, volumi, baricentri, momentibaricentri, momenti
CAMBIAMENTO DIVARIABILI IN INTEGRALI
DOPPI E TRIPLI.
Il teorema sul cambiamento di Il teorema sul cambiamento di variabili negli integrali multipli,variabili negli integrali multipli,in particolare doppi e tripli, è unoin particolare doppi e tripli, è unodei teoremi più sofisticati del dei teoremi più sofisticati del Calcolo. Noi ci limiteremo ad Calcolo. Noi ci limiteremo ad enunciarlo e a mostrarne enunciarlo e a mostrarne l’applicazione nei casi più comunil’applicazione nei casi più comuni
Abbiamo già introdotto la nozioneAbbiamo già introdotto la nozionedi funzione localmente invertibile.di funzione localmente invertibile.Ripetiamo e precisiamo meglio Ripetiamo e precisiamo meglio questa nozionequesta nozione
Abbiamo affermato che se Abbiamo affermato che se
tra i quali f è biiettiva; dunque f(U) = V
f : A Rm Rm, A aperto, è di classeC1(A), e se det J(f)(x0) ≠ 0 allora f è localmente invertibile; cioè esistonointorni aperti U di x0 e V di y0 = f(x0)
x
Sappiamo che se una trasformazione è regolare, essa ha il determinatejacobiano non nullo in ogni punto deldominio e quindi f(A) è aperto anche se f non è necessariamente iniettivasu A. Una siffatta f è adatta a definireun cambiamento di variabili. Si puòdimostrare poi che i punti singolarinon costituiscono un insieme molto“pesante” (ha misura nulla secondoLebesgue: Teorema di Sard)
Inoltre l’inversa locale tra gli intorniaperti V e U è di classe C1(V), e la sua matrice jacobiana è l’inversa dellamatrice jacobiana di f.
Con queste precisazioni, possiamoenunciare il teorema sul cambiamentodi variabili negli integrali multipli
Teorema(cambiamento di variabili )
Sia h : U Rm V Rm, U, V aperti,
regolare e di classe C1(U), sia E U
un compatto PJ-misurabile e f:h(E)Rintegrabile. Allora è integrabile f•h
su E e si ha
f (y)dy f (h(x)) | det h (x)E
h(E) | dx
Per brevità di notazione abbiamo indicato y=h(x), e scritto h’(x) alposto della matrice jacobiana.È chiaro che questa trasformazione di coordinate è conveniente se l’integrazione su E è più agevole diquella su h(E); per esempio E èun rettangolo e la nuova funzioneda integrare non è troppo complicata
Esempio:
Si voglia calcolare
(x y)dxdyE
con E = {(x,y): 0<x≤y≤2x, 1≤xy≤2}
Posto u= x y e v = y/x , la Trasformazione h così individuata manda l’insieme E del piano xy
nel rettangolo J= [1,2][1,2] delpiano uv. La trasformazione inversa di h è
g(u,v) : x uv
y uv
che ha determinate jacobiano
det g’(u,v) = 1/2v > 0
Dunque
(x y)dxdyE
( u
v uvJ
) 12v
dudv
A conti fatti si trova 1/3 (4 - 2).Il dominio è divenuto un rettangolo e la funzione non si è troppo complicata
A parte i cambiamenti di variabiliche possono essere suggeriti dallanatura del problema (tipo di dominioo particolarità della funzione), come abbiamo visto nell’esempio precedente, i tipi di trasformazionidi coordinate più comuni, sonoquelli che già abbiamo introdottoin una lezione precedente:il cambiamento di coordinate polario (polari ellittiche) nel piano; il
cambiamento di coordinate cilindriche(o cilindrico ellittiche) e il cambiamento di coordinate sferiche(o ellissoidali) nello spazio.Precisamente
COORDINATE POLARI
Sono le coordinate così individuate
x cosy sen
0, 0 2
Sappiamo che questa trasformazione ha un solo puntosingolare: l’origine (0,0)T
Infatti il determinante jacobiano è
det J(x y) =
La trasformazione è biiettiva traR2\(0,0)T, e {(,): >0, 0 < < 2π}
Cioè vi è corrispondenza biunivocatra tutto il piano x y privato dell’origine e una striscia infinitanel piano . Se indichiamo conh-1(x,y) la trasformazione che a ,
fa corrispondere x,y abbiamo
f (x,y)dxdy
f (cos ,h1(E)
E
sen)dd
Se il dominio E è un’ellisse o partedi essa di semiassi a e b, è conveniente usare le coordinatepolari ellittiche x = a cos , y = b sen . Il determinanteJacobiano è a b
Mostriamo come ciò sia utile nel calcolo dell’area di un ellisse o delvolume di un ellissoide
Sia E = {(x,y):x2/a2 + y2/b2 = 1}
m(E) dxdy ab
h1(E)
E dd
Si trova facilmente m(E) = πab
Calcolo del volume di un ellissoide
E = {(x,y):x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1}
Si trova, dopo qualche calcolo nondifficile, m(E) = (4/3)π abc
Ricordiamo che il calcolo in coordinate cartesiane presentavainvece qualche difficoltà
COORDINATE CILINDRICHE
Sono le coordinate così individuate
x cosy senz u 0, 0 2 , u R
Il determinante jacobiano di questa trasformazione è . L’assez è fatto di punti singolari
La trasformazione è biunivoca tral’aperto dato da R3\{asse z} dello spazio x y z e l’aperto > 0, 0 < < 2π, u R, dello spazio u. Si può combinare questa trasformazione con quella delle coordinate ellittiche
COORDINATE SFERICHE
Sono le coordinate così descritte
x sen cosy sen cosz cos
, , 0 0 0 2
Il determinante jacobiano di questa trasformazione è 2 sen . L’asse z è fatto tutto di punti singolari.
La trasformazione è biunivoca tral’aperto dato da R3\{semipiano x z, con x≤ 0} dello spazio x y z e l’aperto > 0, 0 < < π, 0 < < 2π, dello spazio . Si può combinare que-sta trasformazione con quella delle coordinate ellittiche
Mostriamo come ciò sia facilissimocon questa trasformazione calcolareil volume dell’ellissoide
E = {(x,y):x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1}
Si trova facilmente, come noto, (4/3)π abc
dxdydz 2d send d0
2
0
0
1
E abc
APPLICAZIONI ALAPPLICAZIONI ALCALCOLO DI CALCOLO DI
AREE, VOLUMI, AREE, VOLUMI, BARICENTRI,BARICENTRI,
MOMENTIMOMENTI
Già abbiamo applicato le trasformazioni di coordinate per calcolare alcune aree e volumi notevoli. Vogliamo ora presentarealcuni ulteriori esempi
Si calcolino i seguenti integralidoppi
1) Calcolare
x 2
y 2
E
dxdy
dove E è la semicorona circolare con y ≥ 0 compresa tra i cerchi di raggi 2 e 3 e centro nell’origine
2) Calcolare
arctg
yxE
dxdy
dove E è la parte di piano compresafra la spirale d’Archimede d’equazione = 2 , per 0≤ ≤ π,e l’asse x.
3) Calcolare
(x 2 y 2)dxdy
E
dove E è la parte di piano compresafra l’asse x, la circonferenza di raggio 1 e centro l’origine e la circonferenza di raggio 1 e centroin (1,0)T
Si calcolino i seguenti volumi
1) Volume della porzione di semisfera per z ≥ 0, che si proiettaSul piano x y sulla circonferenza didiametro r e centro in (r/2,0)T
2) Volume della porzione di cilindrocircolare d’equazione z = √1-x2 , che si proietta sul piano x y sul triangolo rettangolo di vertici (0,0)T,(1,0)T, (0,1)T
3) Volume della porzione di superficie paraboloidica d’equazione2 p z = x2 + y2 che si proietta sulpiano x y in un cerchio con centronell’origine a raggio r
BARICENTRI
Il baricentro d’una lamina pianaE è dato dal punto di coordinate
x
xdxdyE
m(E), y
ydxdyE
m(E)
Si calcolino i seguenti baricentri
1) Di un triangolo rettangolo
2) Di un settore circolare
3) Di una semiellissi
4) Di un segmento di parabola
MOMENTI D’INERZIA
Il momento d’inerzia di un solidodi densità unitaria rispetto a un asseassunto come asse z, solido che occupa la regione dello spazio E,è dato da
M (x 2
y 2)dxdydzE
Si calcolino i seguenti momentid’inerzia
1) Di un parallelepipedo rettangolo,rispetto ad uno spigolo
2) Di un cilindro rotondo, rispetto all’asse
3) Di un ellissoide, rispetto ad un asse