고응일 ●김경화 ●윤진의 ●이준엽 지음

CALCULUS미분적분학

총도비라.indd 1 2015-02-04 오전 9:47:59

P r e f a c e

흔히 미분적분학의 창시자는 뉴턴과 라이프니츠라고 말한다. 물론 미분적분학의 초보

적인 개념은 이미 그리스시대에 시작되었고, 중세와 르네상스시기를 거치며 천문학, 역

학 등 여러 자연과학분야에서 수많은 학자들이 면적, 부피를 구하는 문제, 접선을 구하는

문제 등에 대한 여러 개념과 방법론을 연구하였다. 하지만 보다 일반적인 방법이 나오게

된 것은 운동 방정식을 기술하기 위한 뉴턴의 유율법(流率法, Method of Fluxions)과 기하학적 방법론을 이용하여 다양한 미분적분 개념을 기호화한 라이프니츠의 미분적분법

이 나온 17세기였다. 이 둘 중 누가 미분적분학의 창시자인가를 놓고 경험론의 영국과 관

념론의 대륙수학회가 오랜 시간 논쟁하였으나, 오늘날은 둘 모두가 독립적으로 미분적분

학을 창시한 것으로 공인하고 있다. 뉴턴과 라이프니츠의 업적을 발전시켜 현재와 같이

미분과 적분에 대한 개념들에 엄밀한 정의가 내려지고 체계가 잡힌 것은 그보다 200년이

넘는 시간이 지난 19세기에 들어 코시와 바이어슈트라스가 수열의 극한과 함수의 연속성

을 엄밀히 정의하고, 데데킨트와 칸토르에 의해 실수와 무한집합의 개념이 확립된 후였다.

미분적분학은 오랜 기간에 걸쳐 확립되는 과정에서 수학뿐만 아니라 천문학, 물리학

등의 발전에 기여하였고, 20세기에 들어서서는 과학기술의 눈부신 발전을 가져왔으며 현

재는 자연과학, 공학뿐만 아니라, 사회과학 등 여러 분야에서도 필수적으로 쓰이고 있다.

이 책의 목적은 앞으로 자연과학과 공학은 물론이려니와 의학, 약학, 경제학, 경영학 등

다양한 분야를 전공할 학생들이 그 분야의 이론을 공부하는 데 있어서 바탕이 되는 수학

적 개념과 실제적 문제를 해결할 수 있는 방법론을 익히도록 하는 것이다.

이 책의 기본이 된 참고문헌 [1]은 우리나라에서 학부제가 시행되고 다양한 학생들이

전공에 관계없이 기본적인 미분적분학 개념을 익힐 필요성이 생긴 1990년대 중반에 처음

만들어졌다. 참고문헌 [1]은 처음에는 외국서적에 기반을 두었으나 이후 우리 학생들에

게 적합한 기술 방식과 표현법을 이용하여 다듬었고, 기존의 수학과 물리학 중심의 예제

에 생물과 환경에 관련된 예제와 같이 새로운 내용을 추가하여 참고문헌 [2]를 완성하였

다. 이러한 발전에도 불구하고 우리나라 교과과정의 변경과 교육환경의 변화에 의한 미

분적분학 교과서 개정의 필요성이 꾸준히 제기되었다. 이번 개편에는 학생들이 짧은 시

간에 다양한 미분적분학 개념을 쉽고 정확하게 이해할 수 있도록, 내용 전개상 필요 없는

부분을 과감히 줄이고 꼭 필요한 내용은 상세한 서술과 예제를 보강하는 등의 전면적인

개편을 하였다.

머리말머리말머리말머리말머리말머리말머리말머리말머리말머리말머리말머리말머리말머리말머리말머리말머리말머리말머리말머리말머리말머리말머리말머리말

-iii-

이 책은 한 학기 또는 두 학기용 교재로 모두 쉽게 사용할 수 있도록 구성하였다. 제1

장은 함수와 극한에 대한 기본적인 개념을 서술하였고, 제2장과 3장은 도함수와 그 응용

을, 그리고 제4장은 역함수의 개념을 활용하여 초월함수와 그 도함수에 대해 다루었다.

제5장과 6장은 다양한 적분법과 그 응용을 다루었다. 제7장과 8장은 수열과 멱급수 전개

를 다루었다. 제9장은 좌표계와 해석기하학을 다루었으며, 제10장은 벡터와 벡터함수의

개념을 설명하고 있다. 제11장은 다변수함수의 미분법을, 제12장은 중적분을 다루었으며

제13장에서는 11장과 12장의 개념을 활용하여 벡터해석학개론을 소개하였다. 마지막으로

제14장에서는 1계 미분방정식에 대해 다루었다. 이 책의 내용은 1년동안 미분적분학을

배우는데 부족함이 없이 다양한 내용을 포함하고 있다. 하지만 미분적분의 전반을 한 학

기에 포괄해야 하는 강의를 위하여, 대단원별로 선택하기 쉽도록 구성하였고 대단원 안

에서도 생략해야 할 내용은 가급적 단원의 끝 부분에 배치하여 일부 내용을 생략하더라

도 다른 단원의 학습에 무리가 없도록 배려하였다. 각 단원이 시작할 때마다 관련된 역사

적 사실을 간략히 소개하여 학생들이 미분적분학에 대한 흥미를 돋우게 하였다. 이 책은

다양한 분야를 전공할 학생들을 위하여 여러 분야의 예제를 포함하고 있어 수강하는 학

생의 특성에 따라 적절한 예제를 취사선택할 수 있도록 하였다. 아울러 학생들이 미분적

분학의 개념과 방법을 익힐 수 있도록 각 절마다 연습문제를 주었고, 학생들 스스로 풀어

보고 확인할 수 있도록 책 말미에 가급적 많은 해답을 첨부하였다.

이 책을 배우는 사람, 가르치는 사람 모두가 100% 만족하기는 어렵겠지만, 저자들은

우리나라 학생들에게 좋은 내용의 교재를 제공하기 위해 최선을 다했으니 이 책을 이용

하는 모든 사람에게 좋은 성과가 있기를 바란다. 이 책이 나오게끔 여러모로 협조해 주신

이화여자대학교 수학과 교수들과 편집과 출판을 맡아주신 교우사 오판근 사장님께 깊은

감사를 드린다. 무엇보다도 이 책을 공부했고 공부하게 될 학생들에게 감사와 격려의 말

을 전하고 싶다.

2015년 1월

저자 일동

-iv-

제1장 함수와 함수와 함수와 함수와 함수와 함수와 함수와 함수와 함수와 함수와 함수와 함수와 함수와 함수와 함수와 함수와 함수와 함수와 함수와 함수와 함수와 극한극한극한극한극한극한극한극한극한극한극한극한극한극한극한극한극한극한극한극한극한함수와 극한

1.1 함수와 그래프 … 21.2 함수의 극한 … 81.3 한쪽 극한과 무한대에서의 극한 … 141.4 함수의 연속성 … 18

제2장 도함수도함수도함수도함수도함수도함수도함수도함수도함수도함수도함수도함수도함수도함수도함수도함수도함수도함수도함수도함수도함수도함수

2.1 순간변화율과 미분가능성 … 242.2 도함수와 대수함수의 미분법, 연쇄법칙 … 322.3 음함수의 미분법 … 382.4 삼각함수의 도함수 … 412.5 미분과 근사값 … 46

제3장 도함수의 도함수의 도함수의 도함수의 도함수의 도함수의 도함수의 도함수의 도함수의 도함수의 도함수의 도함수의 도함수의 도함수의 도함수의 도함수의 도함수의 도함수의 도함수의 도함수의 도함수의 응용응용응용응용응용응용응용응용응용응용응용응용응용응용응용응용응용응용응용응용응용도함수의 응용

3.1 최대, 최소 … 523.2 평균값 정리 … 553.3 곡선의 증감과 오목성 … 583.4 곡선의 개형 … 673.5 뉴턴의 방법 … 693.6 로피탈의 법칙과 극한 … 72

제4장 초월함수와 초월함수와 초월함수와 초월함수와 초월함수와 초월함수와 초월함수와 초월함수와 초월함수와 초월함수와 초월함수와 초월함수와 초월함수와 초월함수와 초월함수와 초월함수와 초월함수와 초월함수와 초월함수와 초월함수와 초월함수와 도함수도함수도함수도함수도함수도함수도함수도함수도함수도함수도함수도함수도함수도함수도함수도함수도함수도함수도함수도함수도함수초월함수와 도함수

4.1 역함수 … 784.2 역삼각함수 … 814.3 로그함수 … 854.4 지수함수 … 904.5 쌍곡선함수와 역쌍곡선함수 … 96

차 차 차 차 차 차 차 차 차 차 차 차 차 차 차 차 차 차 차 차 차 차 차 례례례례례례례례례례례례례례례례례례례례례례례차 례

-v-

제5장 적분의 적분의 적분의 적분의 적분의 적분의 적분의 적분의 적분의 적분의 적분의 적분의 적분의 적분의 적분의 적분의 적분의 적분의 적분의 적분의 적분의 정의와 정의와 정의와 정의와 정의와 정의와 정의와 정의와 정의와 정의와 정의와 정의와 정의와 정의와 정의와 정의와 정의와 정의와 정의와 정의와 정의와 응용응용응용응용응용응용응용응용응용응용응용응용응용응용응용응용응용응용응용응용응용적분의 정의와 응용

5.1 부정적분 … 1025.2 정적분(리만적분) … 1045.3 미분적분학의 기본정리 … 1135.4 정적분의 응용 … 117

제6장 여러 여러 여러 여러 여러 여러 여러 여러 여러 여러 여러 여러 여러 여러 여러 여러 여러 여러 여러 여러 여러 가지 가지 가지 가지 가지 가지 가지 가지 가지 가지 가지 가지 가지 가지 가지 가지 가지 가지 가지 가지 가지 적분법적분법적분법적분법적분법적분법적분법적분법적분법적분법적분법적분법적분법적분법적분법적분법적분법적분법적분법적분법적분법여러 가지 적분법

6.1 치환적분법 … 1286.2 부분적분법 … 1336.3 삼각함수의 적분 … 1376.4 삼각치환 … 1436.5 부분분수에 의한 유리함수의 적분 … 1486.6 그 밖의 치환 … 1536.7 특이적분 … 156

제7장 수열과 수열과 수열과 수열과 수열과 수열과 수열과 수열과 수열과 수열과 수열과 수열과 수열과 수열과 수열과 수열과 수열과 수열과 수열과 수열과 수열과 무한급수무한급수무한급수무한급수무한급수무한급수무한급수무한급수무한급수무한급수무한급수무한급수무한급수무한급수무한급수무한급수무한급수무한급수무한급수무한급수무한급수수열과 무한급수

7.1 수열 … 1627.2 무한급수 … 1677.3 적분판정법 … 1717.4 비교판정법 … 1757.5 비판정법과 근판정법 … 1787.6 교대급수와 절대수렴 … 182

제8장 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 함수의 전개전개전개전개전개전개전개전개전개전개전개전개전개전개전개전개전개전개전개전개전개함수의 전개

8.1 멱급수 … 1888.2 함수의 멱급수 전개 … 1918.3 테일러 정리 … 197

-vi-

제9장 해석기하해석기하해석기하해석기하해석기하해석기하해석기하해석기하해석기하해석기하해석기하해석기하해석기하해석기하해석기하해석기하해석기하해석기하해석기하해석기하해석기하해석기하

9.1 평면해석기하(원, 타원, 포물선, 쌍곡선) … 2089.2 이차곡선, 원추곡선 … 2229.3 극좌표 … 2279.4 삼차원공간의 좌표 … 2379.5 이차곡면 … 241

제10장 벡터와 벡터와 벡터와 벡터와 벡터와 벡터와 벡터와 벡터와 벡터와 벡터와 벡터와 벡터와 벡터와 벡터와 벡터와 벡터와 벡터와 벡터와 벡터와 벡터와 벡터와 벡터함수벡터함수벡터함수벡터함수벡터함수벡터함수벡터함수벡터함수벡터함수벡터함수벡터함수벡터함수벡터함수벡터함수벡터함수벡터함수벡터함수벡터함수벡터함수벡터함수벡터함수벡터와 벡터함수

10.1 벡터의 내적과 외적 … 25010.2 직선과 평면의 방정식 … 25810.3 매개방정식 … 26410.4 곡선의 기울기와 호의 길이 … 27010.5 벡터함수의 미분과 적분 … 28210.6 접벡터, 법벡터와 곡률 … 29010.7 가속도의 성분 … 297

제11장 다변수함수의 다변수함수의 다변수함수의 다변수함수의 다변수함수의 다변수함수의 다변수함수의 다변수함수의 다변수함수의 다변수함수의 다변수함수의 다변수함수의 다변수함수의 다변수함수의 다변수함수의 다변수함수의 다변수함수의 다변수함수의 다변수함수의 다변수함수의 다변수함수의 미분미분미분미분미분미분미분미분미분미분미분미분미분미분미분미분미분미분미분미분미분다변수함수의 미분

11.1 다변수함수와 연속성 … 30411.2 편도함수의 정의 … 31111.3 전미분, 미분가능성 … 31611.4 연쇄법칙 … 32111.5 그래디언트, 방향도함수, 접평면 … 32711.6 고계편도함수 … 33311.7 이변함수의 극대, 극소, 안장점 … 336

제12장 중적분중적분중적분중적분중적분중적분중적분중적분중적분중적분중적분중적분중적분중적분중적분중적분중적분중적분중적분중적분중적분중적분

12.1 이중적분 … 34412.2 면적, 체적 … 349

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12.3 극좌표와 이중적분 … 35312.4 표면적 … 35912.5 삼중적분 … 36212.6 원주와 구면좌표계에서의 삼중적분 … 365

제13장 벡터 벡터 벡터 벡터 벡터 벡터 벡터 벡터 벡터 벡터 벡터 벡터 벡터 벡터 벡터 벡터 벡터 벡터 벡터 벡터 벡터 해석해석해석해석해석해석해석해석해석해석해석해석해석해석해석해석해석해석해석해석해석벡터 해석

13.1 벡터장 … 37213.2 선적분 … 37513.3 면적분 … 38013.4 그린정리 … 38513.5 발산정리 … 38813.6 스토크스정리 … 393

제14장 미분방정식미분방정식미분방정식미분방정식미분방정식미분방정식미분방정식미분방정식미분방정식미분방정식미분방정식미분방정식미분방정식미분방정식미분방정식미분방정식미분방정식미분방정식미분방정식미분방정식미분방정식미분방정식

14.1 미분방정식과 일반해 … 39814.2 변수분리형 미분방정식 … 40114.3 완전미분방정식 … 40514.4 1계 선형미분방정식 … 411

￭ 참고문헌 / 414￭ 부록

1. 적분표(적분상수제외) … 4162. 극곡선 … 4193. 연습문제 해답 … 420

￭ 찾아보기 / 437

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제1장함수의 극한

극한의 개념에 대한 사고는 아주 오래전부터 시작되었다. 고대 그리스인 아르키메데

스는 반지름이 1인 원에 내접하는 정다각형의 변의 수를 점점 더 많게 하여 정다각형

의 둘레의 “극한”으로 2π의 근사값을 찾았다. 중세를 거쳐 르네상스기에 이르기까지 넓이를 구하기 위해 여러 형태의 극한을 사용하였다. 뉴턴과 라이프니츠도 극한에 대

한 직관적 이해를 바탕으로 매우 복잡한 극한을 계산하기도 하였으나, 극한 개념을 정

의하지는 않았다. 극한에 대한 직관적 개념 밖에 없어서 뉴턴과 라이프니츠 이후 200

여 년간 미분적분학이 매우 느리게 발전하였다.

프랑스 수학자 코시(Augustin-Louis Cauchy, 1789-1857)가 미분적분학을 현재의

형태와 매우 비슷하게 만들었으나, 1821년에 나온 에 수록된 극한의 정의에는 여전히 직관적 개념인 “변수가 고정된 값에 한없이(indefinitely) 접근한다”는 것을 포함하였다. 현재와 같은 모양으로 －를 사용하여 극한을 엄밀하게 정의한 것은 독일 수학자 바이어슈트라스(Karl Weierstrass, 1815-1897)이다.

이 장에서는 미분적분학을 배우는데 가장 기본적으로 필요한 개념인 함수 개념, 극

한 개념, 그리고 함수의 연속성을 다룬다.

1.1 함수와 그래프

1.2 함수의 극한

1.3 한쪽 극한과 무한대에서의 극한

1.4 함수의 연속성

2 ❙ 제1장 함수의 극한

1.1 함수와 그래프

중세까지 함수 개념은 아주 막연하게만 인식되었고, 17세기 후반부에 미분적분학이 개발

됨에 따라 함수 개념을 명확히 할 필요를 점진적으로 느꼈다. “함수(function)”란 단어는 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716)가 1692년의 논문에서 처음 사용하였

다. 그러나 그의 함수에 대한 개념은 현대에 비해 매우 막연한 것이었다. 스위스 수학자 오

일러(Leonhard Euler, 1707-1783)가 함수값에 대한 기호로 를 처음 사용하였다.

현대와 같은 개념으로 함수를 정의한 것은 19세기 중반 디리클레(P.G.Lejeune Dirichlet,

1805-1859)에 의해서였다. 그는 함수는 정의역과 규칙으로 이루어졌으며, 정의역은 실

수들의 집합이고 규칙은 정의역 안의 각 수에 단 한 개의 수를 할당한다고 하였다.

오늘날은 보다 더 일반적으로 한 집합 의 각 원소에 집합 의 원소 단 한 개가 대

응되면, 이 대응 관계를 함수라고 한다. 예를 들면, 각 생물 종은 고유한 염색체 수를 갖

고 있다(병적인 경우는 제외). 따라서 각 생물 종에 그들의 염색체 수를 대응시키는 것은

함수가 된다. 여기서 는 생물 종들의 집합이고, 는 자연수들의 집합이다.

위의 정의에서 함수를 라 할 때, 에서 로의 함수 를

： → ↦

로 나타낸다. 이때 를 함수 의 정의역(domain), 를 공역(codomain)이라 하며, 를

독립변수(independent variable), 를 종속변수(dependent variable),

＝ ：∈를 함수 의 치역(range)이라 부른다.

함수 ： →가 주어졌을 때, ∈에 대응하는 의 원소 ＝ 를 에서의 의 상(image of at ), 에 의한 의 상 또는 에서의 의 함수값(value of

at )이라 하며, 이때 를 에 의한 의 원상(preimage of under )이라 한다.

의 에 의한 원상들의 집합은

－ ＝∈ ＝ 이다.

예제 1-1 함수 ： －→ 이 ＝으로 정의될 때 － 을 구하여라.

정의 두 집합 와 에 대해, 의 각 원소 에 의 한 원소 가 대응되면, 이

대응 관계를 에서 로의 함수(a function from into )라고 한다.

1.1 함수와 그래프 ❙ 3

그림 1-1

풀이 － ＝∈ － ＝

이고, ＝

을 만족시키는 실수는 ±

이므로,

－ －

이다. ▐

가 실수들의 집합일 때 함수

：→의 그래프는 모든 ∈에 대해 를 좌표로 갖는 평면상의

점들의 집합이다. 예를 들어 위 예제

1-1의 그래프는 그림 1-1과 같다.

함수 ：→에 대하여 공역과 치역이 일치할 때, 즉 ＝일 때 는 전사함수(onto 또는 surjective function)

라고 한다. 임의의 두 원소 ∈에 대해서

≠ ⇒ ≠

를 만족할 때, 를 단사함수(injective function) 또는 일대일함수(one-to-one function)

라고 한다. 함수 ：→가 전사이고 동시에 단사이면 를 전단사함수(one-to-one and onto 또는 bijective function) 또는 일대일대응(one-to-one correspondence)이라고

한다. 이때 와 는 일대일 대응된다고 한다.

예제 1-2 다음 함수들이 괄호안의 관계로 정의될 때 전사, 단사, 또는 전단사함수인가

를 구별하여라.

(1) ： －→ ＝ (2) ： －→ ＝ (3) ： －→ － ＝＋풀이 (1)은 전사이나 단사함수는 아니다.

(2)는 전사도 단사도 아닌 함수이다.

(3)은 전단사함수이다. ▐

함수 ：→ ＝ 가 전단사함수일 때, 의 각 원소 를 ＝ 를 만족시키는 유일한 의 원소 에 대응시키는 는 에서 로의 함수이다. 이 함수 를

의 역함수(inverse function)라 하고, 보통 －로 표시한다. 즉 －는 에서 로의 함수이며, ＝－ 이면 ＝ 이고 그 역도 성립한다.

4 ❙ 제1장 함수의 극한

그림 1-2

함수 ：→가 주어졌을 때, 정의역 의 각 원소 에 대하여 ＝ (는 상수)

일 때, 이 함수 를 상수함수(constant function)라고 한다. 또, 함수 ：→에서 의 각 원소 에 대하여

＝가 성립하면, 이 함수 를 항등함수(identity function)라 하고, 보통 로 표시한다.

함수 ：→에서 －＝ ∈

인 관계가 성립할 때, 함수 를 우함수(even function)라 하고,

－＝－ ∈인 관계가 성립할 때, 함수 를 기함수(odd function)라고 한다.

예 1 함수 ＝ 는 －＝ 이므로 우함수이고, 함수 ＝은 －＝－ 이므로 기함수이다.

함수 ：→에 대하여, 와 가 모두 실수들의 집합이고, ∈에 대하여 가 에 관한 식으로 나타내질 수 있을 때는, 흔히 ：→를 생략하고

＝ 또는 ＝에 관한 식으로 나타낸다. 이때 이 함수의 정의역은 가 정의될 수 있는 모든 실수들의 집합으

로 한다. 이것을 최대 정의역의 법칙(rule of maximum domain)이라고 한다. 예를 들

어, 함수 ＝－ 또는 함수 ＝－ 의 정의역은 [－5, 5]이다.두 함수 ：→ ：→에 대하여

：→ ＝ 로 정의된 함수 를 와 의 합성함수(composite function)라 하고, ∘ 로 나타낸다.

1.1 함수와 그래프 ❙ 5

예제 1-3 ＝ ＝－

일 때, ∘ 를 구하여라.

풀이 ∘ ＝ ＝－＝－

. ▐

기호 는 보다 작거나 같은 최대정수를 나타낸다. 예를 들어,

＝ ＝ ＝ ＝ －＝－이다. 보다 작거나 같은 최대정수를 값으로 갖는 함수 ＝ 와 같이 정의역이 구간으로 나누어지고 각 구간에서 함수값이 일정한 함수를 계단함수(step function)라고 한

다. 함수 ＝ 의 그래프는 그림 1-3과 같다.

그림 1-3

⊂ 이고, 함수 ：→이 다음과 같이 정의되었다고 하자. ＝ ∈ ∉

이와 같은 함수 를 의 특성함수(characteristic function of A)라고 하고, 보통

로 나타낸다.

예 2 두 분자 와 가 만나서 분자 를 만들어내는 화학반응

＋ →에서 반응속도를 생각해 보자. 반응이 일어나는 속도는 얼마나 자주 와 분자가 충돌

하느냐에 달려있다. 질량작용의 법칙(law of mass action)에 따르면 이 반응속도는 각

6 ❙ 제1장 함수의 극한

분자의 농도의 곱에 비례한다. 농도란 일정한 부피에 대한 분자수를 의미한다. 반응속도

를 , 와 의 농도를 각각 , 로 나타내면, 질량작용의 법칙에 의해

＝ 로 나타내진다. 여기서 는 양의 상수이다.

와 각각 일정한 양을 용기에 넣고 용기를 막은 후 반응이 일어나도록 한다. 와 를

각각 와 의 초기 농도라고 하고 가 생성물 의 농도를 나타낼 때, ＝ 라고 하면,

＝－ ≤ ≤ ＝－ ≤ ≤

가 된다. 의 농도는 와 의 농도를 넘을 수 없으므로, ≤ ≤ 이다.

여기서 는 와 중에서 작은 값을 나타낸다. 반응속도 을 의 함수로 표

시하면 ＝－－가 되고 정의역은 이다.

연습문제 1.1 Exercises

1. 해양 생태계에서 식물성 플랑크톤은 동물성 플랑크톤 또는 잡식동물에 먹히거나 부

패한다. 동물성 플랑크톤은 잡식동물 또는 육식동물에 먹히거나 부패한다. 잡식동

물이나 육식동물은 서로 먹히거나 부패한다. ＝{식물성 플랑크톤, 동물성 플랑크톤, 잡식동물, 육식동물}이라 하고, ∈에 를 먹는 의 원소를 대응시킬 때 이 대응관계는 에서 로의 함수가 되는가? 이유를 밝히며 답하여라.

2. 다음에서 가 의 함수라고 할 수 있는 것은 어느 것인가?

① 는 맥박수, 는 특정 환자의 체온(와 는 여러번 잰다.)② 는 삼각형, 는 삼각형의 넓이

3. 초파리의 성 관련 돌연변이 수는 -레이 투사량이 (Kilo-Roentgen)을 넘지

않으면, -레이 투사량에 거의 비례하여 증가한다. 가 로 측정된 -레이 투

사량, 가 돌연변이율(%)을 나타낸다고 하자. 투사량이 0일 때는 돌연변이가 일어

나지 않고, 을 투사하면 돌연변이율이 8.4%이다. 그래프를 그리고 를 의 함

수로 나타내어라. 또 이 함수의 정의역과 치역은 무엇인가?

1.1 함수와 그래프 ❙ 7

4. 어떤 특정 뱀 암놈의 전체길이 는 매우 정확하게 꼬리길이 에 대한 일차 함수라

고 보고되었다. 정의역은 [30mm, 200mm]이고, 다음 두 점이 주어졌다.

＝ ＝＝ ＝

를 의 함수로 나타내어라.

5. 어떤 종류의 사과나무 한 그루에서 1년에 200 kg에서 1,000평에 심은 사과나무 1그

루당 1 kg씩 뺀 것만큼의 사과를 수확할 수 있다고 한다. 이때 1,000평의 땅에 이

종류의 사과나무 그루가 있을 때 연간 사과 수확량을 나타내는 함수 를 구하여라.

6. 자연수의 집합은 , 정수의 집합은 로 나타내고 다음과 같이 정의된 함수를 식으

로 나타내어라.

⒜ 임의의 자연수에 그 수 다음에 오는 자연수를 대응시킨다.⒝ 임의의 0이 아닌 정수에 그 수의 역수에 자신을 더한 수를 대응시킨다.

7. 함수 ＝ 에 대하여 다음 문장이 옳으면 ○표, 틀리면 ×표를 하여라.⒜ 는 단사함수이다. ⒝ 는 전사함수이다. ⒞ 의 역함수는 － ＝이다.

8. 다음 에서 로의 함수에 대해 정의역, 치역으로 했을 때 역함수를 갖는

것을 말하여라. 역함수를 갖는 경우 역함수를 구하고, 역함수의 정의역을 밝혀라.

⒜ ＝ ⒝ ＝ ⒞ ＝ ⒟ ＝＋

9. 함수 ＝＋ 은 우함수인가, 기함수인가 또는 둘 다 아닌가를 결정하여라.

10. 다음 각 함수의 정의역과 치역을 구하여라.

⒜ ＝ ⒝ ＝⒞ ＝－

⒟ ＝－

11. 다음 함수가 정의되는 최대 정의역을 구하여라.

⒜ ＝＋ ＋

⒝ ＝＋

12. ＝－＋, ＝

일 때 합성함수 ∘ 와 ∘ 를 각각 구하여라.

8 ❙ 제1장 함수의 극한

그림 1-4

13. 함수 가

＝＋ ＝ ＝일 때 ∘ ∘ ＝∘ ∘임을 보여라.

14. 여우와 토끼가 어떤 생태적 지위(地位, ecological niche)에서 공존한다. 토끼의 수 은 당근의 수 에 의해 결정되는데, 함수 ＝＋＋을 따른다고 한다. 토끼를 잡아먹는 여우의 수는 함수 ＝＋ 로 주어진다. 여우의 수를 나타내는 함수 를 당근 수의 함수로 나타내어라.

15. 대기 공학자가 어떤 특정 도시의 공기 오염도는, 이 그 도시 중심부의 평균 자동

차 수를 나타낼 때, ＝＋ ppm(parts per million)으로 나타내진다고 예측하였다. 또한 교통 공학자는 년 후에 그 도시 중심부의 평균 자동차 수가

＝＋ 일 것이라고 예견하였다. 년 후에 공기 오염도를 나타내는 함수 ∘을 구하여라.

16. 한 변의 길이가 인 정사각형의 금속판 5개를 잘라내고 납땜질하여 뚜껑이 없는

정육면체 모양의 용기를 만든다. 금속판 의 값은 5원이고 납땜질하는데

60원이 든다. 용기를 만드는데 드는 전체 비용 를 정의역을 표시하여 의 함수로

나타내어라.

1.2 함수의 극한

근세수학은 가장 훌륭한 수학적 도구인 극한개념이 발견됨으로써 찬란한 업적을 이루

게 되었고, 극한개념의 진보는 코시(Cauchy,

1789～1857)에 의해서 이루어졌다. 코시는 어떤 변수의 값들이 임의의 주어진 수보다도 작아

질 때 그 변수를 “무한소 상태”라고 정의하여 엄밀한 극한개념으로의 길을 열었다. －를 써서 극한을 엄밀하게 정의한 것은 바이어슈트라

스(Weierstrass, 1815～1897)이다.이제 극한의 개념을 함수의 극한을 통하여 알

아보자.

1.2 함수의 극한 ❙ 9

변수 가 에 충분히 가까워질 때 의 값이 일정한 수 에 가까워지면, →일

때 의 극한값은 이라고 한다. 즉 － 가 충분히 작을 때 － 을 아주 작게 만들 수 있다는 뜻이다. 이것을 lim

→ ＝로 나타낸다.

이것을 －를 써서 정확하게 정의하면 다음과 같다.

예 3 lim→ ＋ 임을 보이기 위해서 임의의 ＞ 에 대해서

＜ － ＜일 때 ＋ ＜ 을 만족하는 양수 를 찾으면 된다. ＜ － ＜일 때 － ＝ 이므로 우측 표와 같이 ＝

으로 잡으면 된다는 것을 알 수 있다.

예 3에서 살펴본 것처럼 ≠일 때 ＝

, 일 때 임의

의 양수를 로 잡으면 다음 정리가 성립함을 알 수 있다.

정리 1-1 실수 에 대하여 lim→ ＋ ＋이다.

예제 1-3 lim→

＝ 임을 보여라. 단, 이다.풀이 임의의 ＞ 가 주어졌다고 하자. ＜ － ＜일 때 － ＜이 되는 ＞

를 찾으면 된다. 이때 ≥ 을 만족하도록 ≤ 라 가정하자. －＝ － ⋅ ＋ 이므로 － ＝ ＋

－ 이다. ＋ ≥ 이므로

－ ≤－

이다. 따라서 ＝ 으로 놓으면, ＜ － ＜

일 때 － ≤－ ＜

이다. ▐

정의 lim→

＝의 정의는 임의로 주어진 양수 에 대하여 양수 가 존재해서 ＜ － ＜일 때 － ＜이 성립하는 것이다. 이것을 기호로 나타내면 다음과 같다.

lim→ ＝ ⇔ ∀＞ ∃＞ such that＜ － ＜ ⇒ － ＜

10 ❙ 제1장 함수의 극한

정리 1-2 lim→ ＝이면 lim

→ ＝ 이다.

증명 임의의 ＞ 가 주어졌다고 하자. lim→ ＝이므로 양수 가 존재해서

＜ － ＜ 이면 － ＜ 이다. 그런데 부등식 － ≤ 에 의해 － ≤ － 이므로,

－ ＜이면 － ＜이다. 따라서 lim

→ ＝ 이다. ▐

다음은 극한값을 구하는 데 유용하게 쓰이는 정리들이다. 증명은 해석학개론 교재에서

볼 수 있다.

정리 1-3 (극한법칙) lim→ ＝ lim

→ ＝일 때

(1) lim→ ± ＝± (2) lim

→ ＝

(3) 가 상수일 때 lim→

＝ (4) ≠ 일 때, lim→ ＝

예제 1-5 lim→ ＋＋

을 구하여라.

풀이 정리 1-1과 1-3(1, 2, 3)에 의하여 lim→ ＋＝＋⋅＝,

lim→ ＋＝＋＝이고, 분모의 극한이 0이 아니므로, 정리 1-3(4)에 의하

여 lim→ ＋＋ ＝

이다. ▐

정리 1-4 lim→

＝ lim→ ＝ 이면, lim

→ ＝ 이다.

예제 1-6 lim→

＋＝＋임을 보여라.풀이 ＝＋, ＝ 로 놓으면 ＋＝ 이다. 정리 1-1과 정리 1-3의

(1), (2)에 의해 lim→＋ ＋이고, 예제 1-4에 의해 lim

→ ＋ 임

을 알 수 있다. 그러므로 정리 1-4에 의해 lim→

＋＝＋이다. ▐

정리 1-5 임의의 실수 에 대하여 lim→

＝ .

1.2 함수의 극한 ❙ 11

증명 － ＝ － ⋅

＋ 인데, 모든 에 대해 ≤ , ≤ 이므로(예제 1-8의 그림 1-6 참고)

－ ≤ ⋅－

⋅ － 이다. 따라서 임의의 ＞ 에 대해 ＝으로 잡으면

＜ － ＜일 때 － ＜이므로 lim

→ ＝ 이다. ▐

예 4 ＝ ＋ 이므로 정리 1-4와 1-5에 의하여

lim→ lim

→

.

함수의 극한에 대해 다음의 정리들이 흔히 쓰인다.

정리 1-6 lim→ ＝ , lim

→ ＝일 때, 적당한 ＞에 대하여 ＜－ ＜인

모든 에 대하여 ≤ 이면, ≤ 이다.

참고 정리 1-6에서 인 경우에도 일 수 있다.

정리 1-7 (조임 정리, Squeeze Theorem) 적당한 ＞에 대하여 ＜ － ＜인 모든 에 대하여 ≤ ≤ 라고 하자. 이때 lim

→ ＝lim

→ ＝이면, lim

→

가 존재하고 lim→

＝이다.

그림 1-5

12 ❙ 제1장 함수의 극한

그림 1-6

예제 1-7 lim→

을 구하여라.

풀이 lim→

이 존재하지 않으므로 lim→

lim

→⋅lim

→

을 사용할 수

없다. 그러나 모든 실수 에 대해 － ≤ ≤ 이므로 － ≤

≤

이다. lim→ ＝이므로 정리 1-7(조임 정리)에 의해 lim

→

＝이다. ▐

예제 1-8 lim→

＝임을 증명하여라.

풀이 그림 1-6에서 ∆의 넓이＝ ,

부채꼴 의 넓이＝ , ∆의 넓

이＝ 이므로 이들의 넓이를 비교하면,

＜＜

일 때 다음 부등식이 성립한다.

＜ ＜＜ .따라서

＜ ＜

또, 일 때는 ＜ ＜

＝－이므로

＝ ＜ ＝

＜따라서

＜ ＜

이면, ＜ ＜

한편 lim→ ＝이므로 조임 정리에 의하여 lim

→

＝이다. ▐

연습문제 1.2 Exercises

1. 함수의 극한에 관한 정리를 써서 다음을 구하여라.

⒜ lim→ －＋ ⒝ lim

→ ＋－