Shape Calculus. A Spatial Mobile Calculus for 3D Shapes 1 ...
Calculus 1
description
Transcript of Calculus 1
-
LMT
Limit
Sadan ve Soldan Limit
zel Fonksiyonlarda Limit
Limit Teoremleri
Belirsizlik Durumlar
rnekler
NTE II
-
56
MATEMATK 5
BU BLM NASIL ALIMALIYIZ?
* n bilgi olarak lise II snf Matematik konusundaki trigonometri bilgisine ihtiyacnz olacak.
* Birinci blm ok iyi kavrayp bu blme geiniz.
* Tanmlar ok dikkatli okuyun.
* rnek ve zmlerini ok iyi inceleyin yazarak aln.
* Blm sonundaki deerlendirme sorularn zmeniz yararnza olacaktr.
Bu blm altnzda (bitirdiinizde),
* Bir fonksiyonun limitinin ne olduunu renip kavrayacaksnz.
* Fonksiyonun limiti varsa sadan ve soldan limitlerinin eit olduunu renecek ve kavrayacaksnz.
* zel fonksiyonlar gerek fonksiyon olarak yazp, limitlerine bakmayreneceksiniz.
* Limit teoremlerini kavrayp, zerinde ilem yapmay reneceksiniz.
* Trigonometrik fonksiyonlarn limitini kavrayp, problem zme yeteneinizi gelitireceksiniz.
* Limit hesaplarndaki belirsizlik durumlarn inceleyerek, her belirsizlik durumu iin ayr bir yoldan limit hesabn yapmay reneceksiniz.
BU BLM NELER AMALIYOR?
-
NTE II
LMT
Limit kavram ve tanm, kavram olarak eski olmasna karn, tanmlanmas vekullanlmas ok eski deildir. rnein limit nl teknii ile tanmlanmas vekullanlmas l Alman Matematikisi Eduard Heine (1821-1881) tarafndanolmutur. Limit fizik ve mhendislikte yaygn olarak kullanllr.
Limit kavramnn rencilere verilmesi, tantlmas, retilmesi ve renilmesi yle okadar da kolay deildir. Bunun iin, limitin tantlmasna nce sezgisel olarakyaklaalm. Daha sonra tam tanmn verelim.
f(x) fonksiyonu verilsin. x noktas bir a noktasna yeteri kadar yaklasn. x noktasnna noktasna reel eksen zerinde sadan ve soldan olmak zere, iki ynl yaklamvardr.
.a
Burada, x deerinin a deerine eit olmas gerekmez. Bir ok durumda, a noktas, f(x)fonksiyonunun tanm blgesinde olmayabilir. Yani, x noktas a noktasna (xa) sadanve soldan yaklarken f(x) fonksiyonu bir L saysna yaklayorsa f(x) fonksiyonununbu a noktasnda limiti vardr denir ve ksaca limit;
(x noktas a ya giderken f(x) fonksiyonunun limiti L dir, diye okunur.)
Eer x noktas , a ya yaklarken f(x) fonksiyonu bir L saysna yaklamyorsa,
f(x) fonksiyonunun limiti yoktur, diyeceiz.
Yukardaki aklamalar gsteriyor ki, f(x) fonksiyonunun x=a noktasna sadan ve soldan
yaklamlar iin , f(x) fonksiyonunun deerine eit olmas gerekir. Yani;
Aksi takdirde bu noktada limit yoktur diyeceiz.
57
MATEMATK 5
\
x - 1n
x + 1n
limxa f(x) = L ile gsterilir.
limxa- f(x) = L1 ve limxa+ f(x) = L2
L1=L2= L ise limxa f(x) = L dir.
-
rnek: y = x2 fonksiyonu iin , x noktas 2 deerine yaklarken, y deeri hangi deereyaklar? Bu durumda Reel eksen zerindeki bu 2 saysna sadan ve soldan deerlervererek yaklaalm.
x y = x2 x y = x2
1,5 2,25 2,9 8,41
1,7 2.89 2,5 6,25
1,9 3,61 2,1 4,41
1,99 3,9601 2,01 4.0401. . . .. . . .. . . .
Soldan yaklama Sadan yaklama
2.Soldan yaklama Sadan yaklama
Yukarda grld gibi x says, reel eksen zerinde gerek sadan ve gerekse soldan 2 saysna yaklarken y deeri de her iki hlde de 4 saysna yaklamaktadr.
yleyse olduu kolayca yazlr.
Benzer olarak deeri var mdr?
x f(x) = [|x|] x f(x) = [|x|]1,9 1
0,5 0 1,5 10,6 0 1,4 10,8 0 1,1 10,9 0 1,01 10.99 0 1,001 1
Soldan yaklama Sadan yaklama
Grld gibi, soldan yaklalrsa limit deeri 0, sadan yaklalrsa limit deeri
1 olmaktadr. O hlde,
58
MATEMATK 5
x2 = 4Limx2
Limx1
[|x|]
Limx1
[|x|] deeri yoktur denir.
-
AR, f : AR bir fonksiyon olsun. aR sabit bir say olmak zere, terimleri A-{a} kmesinde olan ve a ya yaknsayan her ( xn ) dizisi iin (f( xn )) grntdizileri bir LR saysna yaklayorsa. x, a ya yaklarken (xa iin) f fonksiyonunun limiti L dir denir ve limit;
rnek: f = RR, f(x)= x2 -1 fonksiyonu veriliyor. x, 1 e giderken fonksiyonun limitini bulunuz.
Yani,
zm: 1 e soldan yaknsayan dizisi iin,
Ayrca 1 e sadan yaknsayan dizisi iin,
O halde ;
olarak yazlr.
Pratik yntem ile , limitin var olduu kesin olarak biliniyorsa
59
MATEMATK 5
\Limxa f(x) = L biiminde gsterilir.
x2 - 1Limx1
nedir?
1 - 1n
f xn = (1+ 1n)2-1 = 1+ 2n +
1n2
-1
= 1n2
+ 2n = 1n2
+ 2. 1n 0
1 + 1n
limx1-
f(x) = limx1+
f(x) = 0 olduundan
limx1
f(x) = 0
limx1
f(x) = limx1
x 2 - 1 =12 - 1 = 0
f (xn) = (1- 1n )2 - 1 = 1 - 2n +
1n2
- 1 = 1n2
- 2n =1n2
-2 1n 0
-
2 - x2, x < 0 isernek: f: R R, f(x) =
3, x 0 ise
fonksiyonu veriliyor.
zm: 0 noktasna soldan yaklarsak, f(x) = 2 - x2
0 noktasna sadan yaklarsak f(x) = 3 alrz.
O hlde;
A R, f = AR bir fonksiyon olsun veA IR olsun.
60
MATEMATK 5
lim f (x)x0
deerini bulunuz.
lim f(x)x0-
= (2 -x2) = 2-limx0-
02 = 2
lim f(x)x0+
=lim 3x0+
=3
2 3 olduundan limit yoktur.
R+ iin x -a < (delta) olduunda f(x)- L < olacak biimde bir()R+ says varsa, xa iin f nin limiti L dir, denir ve f(x) = Llim
xaeklinde gsterilir.
\ R+ iin () R+ yleki x -a
- Bu durumda |f (x) -L |
-
Paral fonksiyonlarda, paralanma noktalarnda (kritik noktalarda) sadan ve soldan limite mutlaka
baklmaldr.
rnek: f: RR f(x) =
zm:
rnek
62
MATEMATK 5
1. f (x) = f (x) = L ise f (x) = L dr.limxalimxa+
limxa-
2. f (x) f (x)limxa-
ise f (x) yoktur.limxalimxa+
3. h > 0 olmak zere, f (x) = f (a -h) ve f (x) =lim
xa+f (a+h) dir.lim
h0limh0
limxa-
4. f (x) varsa bu limit tekdir.limxa
x2 - 1, x < 0 ise2x+1, x 0 ise
f(x) nedir?limx0
f (x) = (x2 -1) =02-1 = -1limx0-
limx0-
f(x) = (2x+1) =2.0+1 =1limx0+
limx0+
- 1 1 O hldef (x) yoktur.lim
x0
ekildeki f (x) fonksiyonun x = 1noktasnda limiti var mdr? Varsanedir?
-
zm
rnek
ekildeki f(x) fonksiyonunun x = 1 noktasnda limiti var mdr? Varsa nedir?
zm
fonksiyonun limiti vardr. Limit deeri 1 dir.
Bir fonksiyonun x = x0 noktasnda limitinin olmas iin x = x0 noktasnda tanml olmas gerekmez.
ZEL FONKSYONLARDA LMT
Btn zel tanml fonksiyonlarn limiti aratrlrken, verilen zel tanml fonksiyon
paral fonksiyon olarak yazlmal, sonra sadan ve soldan limit deerlerine baklmal.
Eer verilen noktada sadan limit deeri soldan limit deerine eit ise 0 noktada limiti
vardr denir. Aksi hlde verilen noktada limiti yoktur deriz.
63
MATEMATK 5
f(x) =3limx1+
f(x) =2limx1-
3 2 olduundan f(x) yoktur.limx1
f(x) =1limx1+
f(x) =1limx1-
f (1) = Tanmsz
f(x) =1limx1
-
rnek:
zm: f(x) = Sgn(x -2) fonksiyonunu paral fonksiyon olarak yazarsak.
x - 2 = 0
x = 2
- 1 1 olduundan x = 2 noktasnda limit deeri
yoktur denir ve diye ifade edilir.
rnek:
zm:
olur. 4 3 olduundan limit yok.
rnek
64
MATEMATK 5
Sgn(x-2) = ?limx2
-1, x< 2 isef(x) = 0, x= 2 ise
1, x> 2 ise
f(x) =-1limx2-
f(x) =1limx2+
sgn (x -2) yokturlimx2
x + 2 = ?limx2+
f(x) = 4limx2+
f(x) = 3limx2-
x- 4 = ?limx4
f (x) = x+2 = x + 2x2+ x = 2x2- x = 1olduunu dnrsek
-
zm:
rnek:
zm:
rnek:
zm:
f (x) = x- 4 fonksiyonunu paral fonksiyon olarak yazalm. -x + 4 , x < 4 isex -4 = 0 , x = 4 ise x - 4 , x > 4 ise
f(x) = - x + 4 = - 4 + 4 = 0limx4-
f(x) = 4limx4
limx4-
f(x) = ( x - 4) = 4 - 4 = 0limx4+
limx4+
65
MATEMATK 5
xx = ?limx0
- 1 , x < 0xx =limx0 Tanmsz, x = 0
1 x > 0
f(x) = 1 = 1limx0+
limx0+
f(x) = ( -1) = -1limx0-
limx0-
1 -1 olduundan xxlimx0 yoktur.
cos xlimx
2
= ?
cos x, 0 x < 2
cos x = -cos x,
2 < x
cos x = (- cos x) = -cos 2
= 0limx(
2)+
limx(
2)+
cos x = (cos x) = cos 2
= 0limx(
2)-
limx(
2)-
O hlde (cos x) = 0limx(2)
-
rnek:
zm :
rnek:
zm :
LMT TEOREMLER
A R, f: AR ve g : AR iki fonksiyon olsun.
66
MATEMATK 5
f(x) =xx - Sgn 2x - 1 ise f (x) nedir?limx0-
f (x) = - 1 - Sgn [|2. - 0.001 - 1|] = -1 - Sgn ( -0,002 -1) = -1+1 = 0limx0-
f (x) = 1 - Sgn [|2. 0.001 - 1|] =1 -1 = 0limx0+
olduundan f (x) =0limx0
2 - x x2 - 4
+Sgn 3x + 4
x + 2 = ?lim
x2+
x 2+ iken 2-x = -2+x
Sgn (3x+4) = 1
x+2 = 4 dr.
f(x) = L1 , g(x) = L2 ve IR ise limxalimxa
1) fg (x) = f(x) g(x) = L1 L2limxa limxa limxa
2) f (x) = f(x) = . L1 limxa
limxa
3. f .g (x) = f(x) . g(x) = L1 .L2limxa limxa limxa
4) xA iin g(x) 0 ve L2 0 ise
fg(x) =
f(x) limxa
g(x) limxa
=L1L2
limxa
x-2(x-2) (x+2)
+Sgn 3x + 4
x + 2 =lim
x2+
= 14
+ 14
= 12
-
rnekler
TEOREM
rnek:
rnek:
rnek:
rnek:
67
MATEMATK 5
a) (2x +3) = 2x+ 3limx1
limx1
limx1
= 2.1 + 3 = 5b) 3x2 - 2x + 2 = 3x2 - 2x + 2lim
x1 lim
x1limx1
limx1
= 3 x2 - 2 x + 2limx1
limx1
limx1
= 3 (1)2 - 2. (1) + 2
= 3 - 2 + 2 = 3
c) x2+4
x - 2 =
x2+4limx1
x - 2limx1
= 1+41 -2
= 5- 1
= - 5limx1
d) 3x + sgn x2- 1 + [| x - 12
|] limx2
= (3x) + sgn (x2 - 1) + [| x - 12
|]limx2
limx2
limx2
= 6 + 1 + 1 = 8
1. f(x) =| f(x)| dir.limxa
limxa
2. cf(x) = cxalim f (x)
limxa
3. a) n bir ift doal say ve f(x) 0 ise f(x)
nlimxa
= f(x)limxa
n
b) n bir tek doal say ise f(x)
nlimxa
= f(x)limxa
n dir.
4. logb f(x)limxa =logb f(x)limxa dir
x-2 = x-2 = 0limx2
limx2
3x2=
limx2
3x2 limx2 = 34 = 81
xlimx4
= lim xx4
= 2
x2 -13
limx2
= x2 -1limx2
3 = 33
-
rnek:
AR ve f : AR bir fonksiyon olsun.1. (xn), (xn) iin (f(xn)) L1 ise x iin f fonksiyonunun limiti L1 denirve
2. (xn), (xn) iin (f(xn)) L2 ise x iin f fonksiyonunun limiti L2 denir ve
rnek:
rnek:
Teorem:
rnek:
68
MATEMATK 5
(lnx) = ln lim xxe
limxe
= lne = 1
(f (x) = L1limx
biiminde gsterilir.
f (x) = L2limx -
eklinde gsterilir.
1x = 0limx
2+x1-x
= - 1 + 31- x
limx
limx
= (- 1) + 3-1+x
limx
limx
= -1 +0 = -1a < 1 ise ax = 0 dr.lim
x
13
x = 1
3x = 0lim
x lim
x
\
x +2-x +1
= -1 + 3-x + 1
Geniletilmi reel saylarda ilem ve zellikleri:a olsun1) a. = 2 ) + =
3 ) = belirsiz
4 ) - = belirsiz5 ) - a = 6 ) 0 = belirsiz7 ) 00 = belirsiz
Polinom eklindeki ifadelerde x iin limit hesabkR, nN +
f(x) = axn + bxn-1 +cxn-2 + ....+ kf (x) = a + bx +
cx2
+ ...... + kxn
= n. alim xnx
limx
Pratik kuralp(x)Q(x)
, Q (x) 0limxEer, der p(x) > der Q(x) ise limitin deeri veya - dur.Eer, der p(x) = der Q (x) ise en byk dereceli terimlerin katsay-larnn blmEer der p (x) < der Q(x) ise limitin deeri 0 dr.
-
TRGONOMETRK FONKSYONLARIN LMT
Teorem: a,b,cR olmak zere,
3- 9 aras ifadelerin anlamlar trev konusunda l Hospital kural ile daha iyi anlalacaktr.
BELRSZLK DURUMLARI
Limit hesaplamalarnda ,
69
MATEMATK 5
1. sin x = sin alimxa
2. cos x = cos alimxa
3. xsin x
= 1limx0
4. sin xx = 1limx0
5. tanxx = 1limx0
6. tan bxsin cx
= bc limx0
7. sin bxsin cx
= bc limx0
8. tan bxtan cx
= bc limx0
9. sin bxtan cx
= bc limx0
00
, , 0., - , belirsizlik durumlarn grelim
f(x)g(x)
iinf(x)lim
xa
g (x)limxa
= 00
olmas durumunda pay ve payda da (x-a) arpanlimxa
var demektir.
A) 00
biimindeki belirsizlikler.
Pay x - a). f1 (x) payda da (x -a) . g1 (x ) eklinde arpanlarna ayrlrsa
-
hline gelir. Eer yine hlinde ise ayn yol ile pay ve payda arpanlarna ayrlr.
rnek:
rnek:
rnek:
durumunda pay ve payda en yksek dereceli x parantezine alnp ksaltmalar yaplr velimit hesabna geilir.
rnek:
70
MATEMATK 5
f (x)limxa
g (x)limxa
=(x -a) f1 (x)limxa (x- a) g1(x)limxa
=f1 (x)limxag1(x)limxa
00
x2 - 4x - 2
= 4 - 42 - 2
= 00
belirsiz.limx2
(x -2) (x + 2)x - 2
= x + 2 = 4limx2
limx2
x2 - x - 2x + 1
=-1 2 - -1 - 2
-1 +1 = 1 + 1 - 2
0 = 0
0 belirsiz.lim
x-1
(x +1) (x - 2)x + 1
= x - 2 = -1 - 2 = - 3limx-1
limx-1
y3 - x3
y2 - x2 =
y3 - y3
y2 -y2 = 0
0 lim
xy
(y -x) y2 + yx + x2
(y- x) (y + x) =
y2 + yx +x2y + x =
y2+y2+y2
2y lim
xy lim
xy
=3y2
2y = 3
2 y
B) biimindeki belirsizlikler.
f (x)g (x)
iin f (x)lim
x
g (x)limx
= limx
x2+xx2 - x
= x2+xx2 - x
= o hlde,limx
x2+xx2 - x
= x2 1 + 1x
x2 1 - 1x lim
x=
1 + 1xlimx1 - 1xlimx
=1 + 1xlimxlimx1 - 1xlimxlimx
= 1+01- 0
= 1limx
1x = 0 limx
-
rnek:
rnek:
C) - BMNDEK BELRSZLK
rnek:
zm
71
MATEMATK 5
3x4- 7x2+33x2 - 5x + 7
= o hlde,limx
x4 3 - 7x2
+ 3x4
x2 3 - 5x +7x2
=x2. 3 - 7
x2 + 3
x4 lim
x
3 - 5x +7x2
limx
limx
=3x2 - 7
x2 + 3
x4 lim
xlimx
limx
3- limx
5x +
7x2
limx
limx
= - 0 + 03 - 0 + 0
=3
=
x2+ 1x -1
=- limx-
x2 1 + 1x2
x . 1- 1x =
- 1+01-0
= - limx-
f (x) - g (x) iin f(x) - g (x)limx
= - durumunda f (x)limx
limx
ifadesi, elenii olan f (x) + g (x) ifadesi ile arplp blnrse 00
veya belirsiz-
lii ile karlalr. Bundan sonra, nceki yntemlerle limit bulunmaya allr.
x - x ifadesini bulunuz.limx
x - x = - o hlde,limx
limx
(x - x ) (x + x )(x + x)
= x2 - x
x + x = bulimx limx durumdan sonra nceki
yntemlerle
x2( 1 - 1x )
x (1 - x-12 )
= 1-0
1-0 = lim
x
-+ -+ -+
-
rnek:
zm:
rnek:
zm:
D) 0. BMNDEK BELRSZLKLER
rnek:
zm:
72
MATEMATK 5
2x2-1
- 1x - 1
ifadesini bulunuz.limx1
2x2-1
- 1x - 1
= - O hlde,limx1
limx1
2x2-1
- 1x - 1
( x +1) 2 - x - 1
x2-1 = - x + 1
x2-1 = 0
0 lim
x1 lim
x1 lim
x1
- (x - 1)(x - 1) (x + 1)
= -1x + 1
= - 12
limx1
limx1
x - 2x - 1 deerini bulunuz.limx
x - 2x - 1 = - o hlde elenii ile arpp blelim.limx
limx
x - 2x - 1 x + 2x - 1
x + 2x - 1 =lim
x
= x2 - 2x +1
x + 2x - 1 = bulunur.limx
x2 1- 2x +
1x2
x 1 + 2x -1x2
= x = lim
x lim
x
f (x) . g(x) iin f (x) . g (x) = 0. olmas durumunda bu belirsizliklimxa
limxa
limxa
f (x) . g (x) =g (x)
1f (x)
ya da f (x)
1g (x)
hlinde yazlrsa ya da
00
limxa
limxa
limxa
belirsizlikleri hline dntrrz.
1x . x
2 -1 limitini bulunuz.limx
1x x
2 -1 1x x2 -1 = 0. o hlde,lim
xlimx
1x x
2 -1 =x2 1- 1
x2
x = 1 -1 = limx limx
-
zm: x - 11+ x
=-1 - 1
1 + (-1)+ =
-20+
= - x - 11 + x
x - 11 + x
limx(-1)-
limx (-1)+
limx(-1)+
x - 11 + x
=-1 - 1
1+ (-1)- =
-20-
= + limit yok.limx (-1)-
LMTE AT RNEKLER
zm:
73
MATEMATK 5
1) 1x deeri var mdr?limx0
1x = + ,
1x = - limx0- limx0+
1x =
1x
1x yoklimx0 limx0-
limx0+
2) 1 + x2x
= ?limx0+
zm: x > 0 2x = 2x; 1+ x
2x = 1+ 1
2 = 3
2limx0+
3) 1+ x2x
= ?limx0-
zm: x < 0 ise 2x = - 2x
1+ x2x
= 1+ x-2x
= 1- 12
= 12
limx0-
4) x - 11 + x
deeri var mdr?limx -1
5) x2
x deeri var mdr?limx 0
zm: x2 x =x x limx 0 limx0
x > 0 ise x = x x < 0 ise x = - x dr.
o hlde, xx = 1limx0+
xx = -1limx0-
xx
xx = olduundan limit yok.limx0-
limx0+
olduundan
-
74
MATEMATK 5
6) Sgn x + (2x-1) deeri var mdr?limx0
zm: Sgn x + 2x - 1 = Sgn [|0+|] + 2. 0 -1limx0+
=0 - 1 = -1 Sgn x + 2x - 1 = Sgn [|0-|] + 2 0 - 1lim
x0-
= Sgn (-1) + (-1)
= - 1 - 1 = - 2 - 1 - 2 o hlde limit yok.
7)x-2x-2
+Sgn x ifadesini hesaplaynz.limx2+
zm: (x - 2)x - 2
+ Sgn x = (1 + Sgn x)limx2+
limx2+
= 1 + Sgn (2+) = 1+ 1 = 2
8) 1+21x deeri var mdr?lim
x0
zm: 1 +21x = 1+ 2
10+ = 1 + 2 = 1+ = lim
x0+
1 +21x = 1+ 2- = 1 + 1
2 = 1 limit yoktur.lim
x0-
9) x2 - 6x + 9
x2 - 2x - 3 ifadesini hesaplaynz.lim
x 3
10) x - 12x - 2
ifadesini hesaplaynzlimx 1
zm: 1 - 12 - 2
= 00
= belirsiz.
x - 12 . ( x - 1)
= 12
= 12
= 2 2
limx 1
limx 1
zm: 32 - 6.3 +9
32 - 2.3 -3 = 0
0 belirsiz.
(x - 3) (x - 3)(x - 3) (x +1)
= x - 3x + 1
= 0 4
= 0limx 3
limx3
-
75
MATEMATK 5
11) 3+x - 2x2-1
ifadesini hesaplaynz.limx 1
zm: 3+x - 2x2 -1
= 00
belirsiz.limx 1
( 3+x - 2) ( 3+x + 2)
(x2 -1) ( 3+x +2) = 3 + x - 4
(x2 - 1) ( 3 + x + 2 lim
x 1limx 1
=(x -1)
(x - 1) (x + 1) ( 3+x +2) = 1
(x + 1) ( 3+x + 2) = 1
2 (2+2) = 1
8limx 1
limx 1
12) 2x2- 3x+1
5x4-2x + 1 ifadesini hesaplaynzlim
x
zm: 2x2- 3x+15x4-2x + 1
= belirsizlimx
x2 2 - 3x +
1x2
x4 5 - 2x3
+ 1x4
= 2-0+02 5-0+0
= 2 = 0limx
13) xcos x deeri var mdr?limx2
zm: xcos x =2
cos (2)+
=
2
0+ = +lim
x(2
)+
xcos x =2
cos (2)- =
2
0- = -lim
x(2
)-
xcos x yoktur.limx(2
)
15) cos xx deeri var mdr?limx0
zm: cos xx =cos (0+)
0+ = 1
0+ = lim
x0+
cos xx yoktur.limx0
cos xx =cos 0-
0- = 1
0- = - lim
x0-
-
ZET
Bu blmde, aadaki durumlar rencilere verilmeye allmtr:
1. Limitin tarihesi, limite sezgisel yaklam ve limitin tanm verilmitir.
2. Limitde sadan ve soldan yaklamann ne olduu anlatlarak rneklerlepekitirilmitir.
3. Limitin var olup olmadn anlamak iin - (Epsilon- Delta) teknii rencilere tantlmtr.
4. Sadan ve soldan limitin tanm verilerek ve gerekli uyarlarda bulunduktansonra rneklere geilmitir.
5. zel fonksiyonlarn limitinin nasl alnaca rencilere anlatlm, ilgilirneklerle limit konusu aklk kazanmtr.
6. Limit teoremleri verilip, pekitirmek iin rneklere bavurulmutur.
7. Limitte belirsizlik durumlar verilip, ilgili rneklerle baz belirsizlik durumlar iin limit alnmtr.
76
MATEMATK 5
-
DEERLENDRME TEST 2
A) 4 B) -3 C) -2 D) 1
A) -2 B) -1 C) 0 D) 1
A) -1 B) 0 C) 1 D) 2
4) ekildeki f (x) fonksiyonun grafii verilmitir.Buna gre x = 1 noktas iin ne sylenir?
a) x = 1 noktasnda limit yoktur.
b) x = 1 noktasnda limit vardr.
c) x = 1 noktasnda limit vardr ve 2 dir.
d)
A) 0 B) 1 C) 2 D) limiti yoktur.
77
MATEMATK 5
1) 5-3x2
deeri aadakilerden hangisidir?limx3+
2) f (x) = sgn (x2 - 3x - 4) + 1 ise f (x) deeri aadakilerden hangisidir?limx4-
3) f : R R f (x) = x2+ 1, x < 0 ise 2x + 1 , x 0 ise f (x) deeri aadakilerden hangisidir?lim
x0
f(x) = 3limx1-
5) sin x deeri aadakilerden hangisidir?limx
2
6) 3x2+5
x - 3 deeri aadakilerden hangisidir?lim
x
A) e B) 12
C) 0 D)
7) ( x -x) deeri aadakilerden hangisidir?limx
A) 0 B) - 1 C) 1 D) -
y
-
DEERLENDRME TESTNN ZMLER
Doru cevap B
2)
Doru cevap C
Doru cevap C
Doru cevap A
Doru cevap B
sin x 0 < x < 2
5) sin x = -sin x
2 < x <
=lim
x2
sin x = sin x = sin 2
= 1limx
2
78
MATEMATK 5
1) [|5 - 3+
2|] = - 3lim
x3+
x4+ x2 - 3x - 4 < 0 dr.Sgn x2 - 3x - 4 = - 1 f (x) = - 1 + 1 = 0limx4-
3) x2 + 1 = 1limx0-
2x + 1 = 1limx0+
4) f (x) = 2limx1-
2 3 limit yok. f (x) = 3lim
x1+
-
Doru cevap D
Doru cevap D
79
MATEMATK 5
6) I. Yol der 3x2 + 5 > der (x-3) olduundan 3x
2 + 5x -3
= limx
II. Yolx2 3+ 5
x2
x 1 - 3x
= 3+0
1-0 = lim
x
7) - biiminde,
( x - x) . ( x +x)
x +x = x - x
2 x +x
= biiminde belirsiz.limxlimx
x2 1x -1
x 1x
+1 =
0-10+1
= - limx
-
80
MATEMATK 5