Calculul erorilor de fidelitate cu repartiţia Student

a) Neajunsul repartiţiei Gauss

Repartiţia Gauss este simplă, expeditivă şi uşor de interpretat. Necesită un număr mare de măsurări ( 50≥n ) în condiţii identice, ceea

ce duce la un consum mare de timp precum şi la imposibilitatea asigurării stabilităţii acestor condiţii.

Reducera numărului de măsurări (n) la valori acceptabile pentru

măsurările practice (n=5–10) are neajunsul că parametrii (µ) şi (σ) definiţi în cursul 8 cu relaţiile (13), (17), nu mai sunt valabili şi trebuie înlocuiţi cu

nXXXm n+++

=...21 (36)

1)()()( 22

22

1

−+++

=n

XXXs nδδδ L (37)

Parametrul (m) se numeşte estimarea mediei aritmetice, iar parametrul (s) se numeşte estimarea abaterii standard (sau abatere standard empirică).

Parametrii (s) şi (m) find estimări bazate pe un număr mic de măsurări, nu se mai bucură de proprietăţile lui (µ) (valoarea cea mai apropiată de valoarea adevărată) şi ( Xδ ), σδ 3±≤X . De exemplu, la n=5 şi N=99,73%, termenul (q) din relaţiile (31) şi (33), cursul 8, nu mai este q = 3 ci are valoarea q = 6,62. Rezultă că la un număr mic de măsurări (n < 10), repartiţia Gauss duce la concluzii eronate.

b) Repartiţia Student

A fost elaborată în anul 1908 de statisticianul englez William Sealy Gosset, cunoscut şi sub numele de Student.

Repartiţia Student, denumită şi repartiţia în t, este tot o repartiţie normală, însă adaptată la calculul erorilor în cazul unui număr mic de măsurări, când trebuie de operat cu estimările (s) şi (m) situaţii frecvente în aplicaţiile practice. Densitatea de probabilitate Student se defineşte cu relaţia

2/2

111)1(

2)( n

nt

nnn

n

tp

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

ϕπ

ϕ (38)

în care (n) este numărul de măsurări (n-1= numărul de grade de libertate)

iar

smX

sXt −==

δ (39)

este variabila Student. Graficul funcţiei (38) este dat în fig. 5.

Fig. 5. Densitatea de probabilitate Student

Graficul densităţii de probabilitate Student este similar cu cel al densităţii de probabilitate Gauss, fiind doar mai aplatizat.

Densitatea de probabilitate Student se bucură de aceleaşi proprietăţi în privinţa simetriei şi concentrării erorilor individuale.

Se demonstrează că la n foarte mare ( n = 50 – 100) repartiţia Student tinde ătre repartiţia Gauss. Probabilitatea ca variabila (t) să nu depăşească anumite limitele impuse a± se defineşte cu relaţia

==+<<− ∫+

−

a

a

tdtpataP )()()( 2Φ(t) (40)

în care funcţia Φ(t) se găseşte calculată în tabele. Nivelul de încredere se defineşte cu o relaţie de forma (29),cursul 8,

N% =2 Φ(t) 100 (41)

În tabelul următor se dau valorile variabilei Student (t) în fucţie de (n) pentru trei valori ale nivelului de încredere (N%)

Comparând datele din acest tabel cu cele din tabelul similar de la repartiţia Gauss:

rezultă că la 100≥n variabila Student devine egală cu variabila Gauss.

Pentru 10<n diferenţele sunt importante, mai ales la nivelul de încredere maxim (N=99,73%).

c) Calculul erorilor de fidelitate cu repartiţia Student

Eroarea maximă a unei măsurări individuale ( maxXδ ) se calculează

cu relaţia

tsX ±=maxδ t=f(n,N) (42) Exemplu de calcul: La verificarea unui condensator etalon s-au efectuat 10 măsurări în condiţii identice, obţinîndu-se:

m = C = 1000 pF; şi s = 0,23 pF Neglijând eroarea proprie a aparatului de măsură precum şi eroarea asupra lui (m), să se determine componenta de fidelitate a erorii de bază a condensatorului verificat.

Deoarece condensatorul va fi utilizat la măsurări singulare se alege nivelul de încredere

N = 99,73 (etalon)

Din tabelul variabilei Student se obţine

t = 4,09 Rezultă

%)1,0(194,023,009,4max pFpFpFtsC ≅=⋅±=±=δ

Rezultatul măsurării se scrie

C = 1000 pF ± 1 pF cu o abatere standard estimată de 0,23 pF la 10 măsurări.

Eroarea asupra mediei ( mδ ) se calculează cu relaţia

ntsm ±=δ t=f(n,N) (43)

Rezultatul măsurării se scrie în forma:

mmX δ±= (44) Relaţia (44) arată că valoarea adevărată (X) este cuprinsă între limitele de încredere mm δ± . Exemplu de calcul: Pentru măsurarea rezistenţei de izolaţie la un condesator cu polistiren destinat unui echipament obişnuit, s-au efectuat n= 5 măsurări, obţinîndu-se:

m = Riz = 300 GΩ; şi s = 20 GΩ

Să se determine eroarea de măsură şi să se scrie rezultatul.

Neglijînd eroarea mijlocului de măsură (megaohmetru) singura eroare care afectează măsurarea este eroarea asupra mediei ( mδ ). Se adoptă N = 95,5 (echipament obişnuit) Rezultă t = 2,87

Se calculează ΩΩδ GGntsm 26

52087,2

=⋅

±=±=

Rezultatul măsurării se scrie:

Riz = 300 GΩ ± 26 GΩ

Riz = 300 GΩ ± 8,7%

d) Determinarea numărului minim de măsurări

Relaţia (40) ntsm ±=δ poate fi scrisă sub forma

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≥mstn (45)

care permite calculul numărului minim de măsurări pentru un mδ impus. De exemplu, dacă în cazul de mai înainte s-ar cere mδ = 15 GΩ (adică 5%) , atunci ar trebui să se efectueze 15≥n măsurări. În cazul când estimarea abaterii standard (s) nu este cunoscută, situaţie frecvent întâlnită în practică, se fac mai întâi 5 – 8 măsurări pe baza cărora se calculează un (s) provizoriu, apoi se determină numărul de măsurări necesar (n), după care se fac măsurările pentru mδ impus.

Suportul experimental al repartiţiei Gauss Timp îndelungat experimentatorii au constatat că la măsurări repetate asupra aceleiaşi valori a măsurandului, rezultatele se concentrează în jurul valorii medii şi că erorile pozitive sunt la fel de frecvente ca şi erorile negative, că erorile mici sunt mai frecvente decât erorile mari, iar erorile mari nu depăşesc o anumită limită. Exemplu

La măsurarea unei tensiuni de 100 mV cu un voltmetru numeric s-au efectuat n = 50 măsurări, cu rezultatele trecute în tabelul următor: U (mV) 99,7 99,8 99,9 100,0 100,1 100,2 100,3 Nr. de citiri (ni) 1 4 12 19 10 3 1 Nr. clasei (k) 1 2 3 4 5 6 7

∑= iny 1 5 17 36 46 49 50 Se observă că majoritatea valorilor se grupează în jurul valorii de 100 mV.

Testarea normalităţii

În exemplul de mai sus şi exemplele de calcul prezentate (cursul 8) s-a presupus că rezultatele măsurărilor repetate asupra mărimii (X) ascultă de repartiţia normală Gauss (relaţia 21, curs 8). În caz de incertitudine trebuie testată normalitatea repartiţiei rezultatelor respective deoarece parametrii (σ) şi (µ) nu oferă nici o informaţie asupra normalităţii.

Testarea normalităţii unui şir de rezultate (n) ale măsurării unei singure valori (X) se poate face grafic sau analitic.

Metode grafice de testare a normalităţii

- Metoda histogramei - Metoda frecvenţelor cumulate

Metoda histogramei

Fig. 6. Histograma de date

Histograma pentru datele din tabelul de mai sus se construieşte astfel. - Grupul de (n) date se împarte într-un număr de (k) clase de egală

lăţime (l). În fig. 5 s-a luat l = 0,1 mV. - Se grupează cele (n) date în clasele respective (conform tabelului de

mai sus). - Se alege o scară convenabilă şi se reprezintă grafic fiecare clasă

sub forma unor dreptunghiuri având lăţimea proporţională cu (l) şi înălţimea proporţională cu numărul ( in ) de date care cad în clasa respectivă.

∑ = nni (46)

Standardele indică şi relaţii pentru calculul numărului de clase (k)

nk ≥ (47) În exemplul analizat, n = 50 şi deci k = 7.

Metoda frecvenţelor cumulate (curba S)

- Se împarte numărul total de date (n) în clase (k) conform metodei histogramei.

- Se notează numărul ( in ) de rezultate pe fiecare clasă care constituie frecvenţa de apariţie în clasa respectivă.

- Se trasează graficul )( kfy = , în care ∑= iny , reprezintă frecvenţa cumulată.

- Dacă graficul respectiv are forma „S”, rezultatele iX ale măsurărilor

au distribuţie normală.

În fig. 6 se observă forma clară de „S”, deci datele iX din tabel au distribuţia normală.

Calculul erorii totale şi scrierea rezultatelor Sumarea liniară Precizia rezultatului unei măsurări se evaluează după eroarea totală XΔ a acelei măsurări.

Eroarea totală XΔ conţine o componentă de justeţe jXΔ şi una de fidlotate fXΔ . Pentru calculul erorii totale XΔ metrologia tradiţională recomandă sumarea liniară

fj XXX ΔΔΔ += (48) Relaţia (48) duce la un plus de siguranţă în rezultatul măsurării. Aplicând relaţia (48) pentru calculul erorii totale XΔ aceasta rezultă (adesea) exagerat de mare, subestimînd, nejustificat, precizia respectivei măsurări.

Sumarea pătratică Pentru calculul erorii totale XΔ metrologia modernă propune sumarea pătratică

22 )()( fj XXX ΔΔΔ += (49) Deşi relaţia (49) nu este suficient de fundamentată, este justificabilă deoarce eroarea de justeţe jXΔ este formată, în principal, din erori maximale, erori care conţin şi componente aleatoare. Sumarea pătratică permite evaluari acceptabile pentru calculul erorii totale XΔ .

Aleatorizarea erorilor de justeţe (maximale) Un procedeu mai elaborat constă în aleatorizarea erorilor de justeţe şi apoi tratarea acestora ca erori întâmplătoare. Eroarea de justeţe jXΔ poate lua orice valoare în intervalul [ XΔ± ]. Ea poate fi privită ca realizarea unui eveniment a cărui probabilitate are caracteristică rectangulară (densitatea de probabilitate este constantă în interiorul intervalului [ XΔ± ] şi nulă în exteriorul acestuia). Abaterea standard pentru o astfel de caracteristică se calculează cu relaţia

3X

jΔσ = (50)

Cunoscând pe jσ , eroarea de justeţe aleatorizată poate fi calculată cu relaţia

jj qX σΔ ±=max ; q=f(N) (51) similară cu relaţia (31), cursul 8.

Interpretarea rezultatelor la trasarea graficelor

Operaţia de măsurare se încheie cu prezentarea rezultatelor şi cu interpretarea acestora la trasarea graficelor, pentru a putea fi utilizate cu maximum de folos în activitatea practică. După cum s-a arătat în cursul 8, relaţia (9), dacă Xm este valoarea măsurată iar XΔ eroarea absolută totală, rezultatul măsurării se scrie sub forma

ΔXXX m ±= (52) care informează că valoarea adevărată (X) a mărimii măsurate nu est cunoscută, ci se află în intervalul de încredere

XXXXX mm ΔΔ +<<− (53) numit şi fereastră sau incertitudine de măsurare, fig. 7.

Fig. 7. Intervalul de încredere În cazul unei funcţii de forma )( XfY = fiecare punct al curbei respective are coordonatele

ΔYYΔXX

m

m

±

± (54)

în care ΔY este eroarea totală transmisă lui Y.

Rezultă că poziţia adevărată (X,Y) a unui punct de pe curbă se va afla în interiorul unei elipse, numită elipsă de încredere, cu centrul în ( mm YX , ) şi cu axele 2 XΔ şi 2 YΔ , fig. 8.

Fig. 8. Elipsa de încredere

Dacă erorile relative X/XXr ΔΔ = şi Y/YYr ΔΔ = sunt constante, dimensiunile elipsei de încredere cresc la creşterea lui X şi Y iar curba reală )( XfY = se va afla în interiorul unei fâşii de lăţime crescătoare numită con de încredere.

Fig. 9. Conul de încredere

Există metode de normare ce permit ca axele elipselor să rămână

constante. Atunci când curba )X(Y este o curbă analitică (sau măcar se ştie că

este o curbă continuă) graficul nu va urmări obligatoriu punctele ( mm YX , ) din tabelul de date.

Dacă punctele ( mm YX , ) sunt în zigzag (traseul punctat din fig. 10)

graficul va urma o linie continuă, oarecum medie între punctele respective (linia plină din fig. 10), care trebuie să intersecteze, obligatoriu, toate elipsele de încredere ale punctelor ridicate experimental.

Fig. 10 Graficul unei funcţii )X(Y

Din acest motiv pentru utilizator este de preferat ca graficul să fie însoţit şi de tabelul de date pe baza cărora a fost construit.

Observaţii

1. O problemă importantă ce apare la trasarea unui grafic este

alegerea corectă a scării (numărul de mm – unitate de măsură, mm-Volt, de exemplu).

O scară prea contractată va conduce la erori mari în datele extrase (prin măsurare pe hârtie) din graficul respectiv. O scară dilatată nu contribuie la ameliorarea preciziei de extragere. Se consideră că scara este bine aleasă dacă eroarea de extragere nu depăşeşte (dar nici nu este inferioară) eroarea globală ( XΔ , YΔ ) provenită din măsurarea primară a lui X şi Y.

2. Problema trasării graficului )X(Y se simplifică mult iar precizia la trasare creşte sensibil dacă în loc de a măsura separat X şi Y se utilizează un înregistrator de tip X-Y.

3. Există şi situaţii ca, de exemplu, la trasarea caracteristicilor de colector la tranzistoare când metoda punct cu punct la trasarea lui

)X(Y nici nu se poate aplica (din cauza încălzirilor locale din tranzistor). În aceste situaţii se foloseşte caracteriscopul.

Alegerea aparatelor şi metodelor de măsură

Criterii de alegere a preciziei aparatelor de măsură

a) Cazul măsurării unei mărimi oarecare

Dacă mărimea de măsurat variază în limite reduse, cum este de exemplu tensiunea reţelei, se va alege un aparat de măsurat care la valoarea respectivă a măsurandului dă eroarea minimă la un cost minim.

b) Cazul etalonării şi verificării unor aparate de măsură

La etalonarea sau verificarea unui aparat de măsurat, aparatul etalon trebuie să aibă precizia de cel puţin 3-5 ori mai bună decît a celui de verificat. De exemplu, cu un aparat de măsurat de clasă 0,5 se pot verifica aparate de măsurat de clasă 1,5 şi 2,5 sau mai slabe.

c) Cazul verificării componentelor pasive

Din rândul acestora sunt considerate numai rezistoarele deoarece sunt

piesele cele mai numeroase în montajele electronice, iar metoda acestora poate fi extinsă şi la componentele C şi L.

Rezistoarele au înscrise (în cifre sau în codul culorilor) valoarea

nominală (de exemplu, 100 Ω) şi toleranţa (de exemplu, %1± ) , fig. 11a. Toleranţa (sau eroarea tolerată) indică limitele între care se poate afla valoarea măsurată a rezistorului respectiv. Cum valoarea măsurată este afectată de o eroare de măsură XΔ± , fig. 11b, rezultă că rezistorul măsurat poate fi acceptat ca bun numai dacă intervalul de încredere ( XΔ± ) al valorii măsurate cade în interiorul „ferestrei” de toleranţe a grupului din care face parte rezistorul măsurat. În caz contrar rezistorul trebuie refuzat.

Fig. 11

Pot exista şi rezistoare a căror valoare adevărată cade în interiorul ferestrei de toleranţe dar care trebuie refuzate dacă intervalul de încredere oferit de mijlocul de măsură cade în afara ferestrei menţionate. Rezultă că aparatul de măsură ales pentru astfel de măsurări trebuie să asigure o eroare de măsurare mult mai mică decât intervalul de toleranţă al obiectului de măsură. Un raport de 5/1 şi chiar de 10/1 este necesar.

Fig. 12

Observaţie Pentru a se înţelege relaţia dintre toleranţă şi eroarea de măsurare , în fig.12 se prezintă rezultatul măsurării a 5 rezistoare având toleranţe de

%5± , cu un ohmetru având precizia de măsurare de %1± . Se observă că numai rezistoarele 3 şi 4 sunt acceptabile iar 1, 2 şi 5, nu, deoarece intervalele de încredere ale acestora depăşesc limitele ferestrei de toleranţe. Dacă s-ar face măsurarea cu un ohmetru având precizia de măsurare

%5,0± ar putea fi acceptat şi rezistorul 5.