República Bolivariana de Venezuela Universidad Pedagógica Experimental

Libertador.Instituto Pedagógico de Barquisimeto

“Luis Beltrán Prieto Figueroa”Barquisimeto Estado Lara

Alumnos:José MorilloFabiana PérezRebeca MendozaProfesor: Ezequiel Crespo

DERIVADA DE UNA CONSTANTE

Vamos a estudiar el cálculo de derivadas como una operación entre funciones.

La derivada de una función f(x) se escribe f ‘(x)

La derivada de una constante es 0.

0' xfkxf 0'525 xfxf

DERIVADA DE LA IDENTIDAD

1' xfxxf

( ) ;af x x a R 1( ) af x ax 5( )f x x 4( ) 5f x x

3( )f x x 3 1( ) 3f x x 43x

3 2( )f x x2

3( )f x x2

132

( ) .3

f x x

1

32.

3x

1

3

2 1

3 x

3

2

3 x

Derivada de una suma de funciones:

Es igual a la suma de las derivadas de cada función ( )f g h f g h

435 xxxxf

0135' 24 xxxf 135 24 xx

2

2( )f x

x 2( ) 2f x x 2 1( ) ( 2).2f x x 34x

DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN

xfkxfk '' k

xf

k

xf ''

25xxf '25' xxf x25 x10

6

15xxf

6

''

15xxf

6

15 14x

2

5 14x

5435 24 xxxxf

5'4'3'5' 24 xxxxf 0142345 3 xx 4620 3 xx

DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES

( . ) . .f g f g g f

3( ) (2 1)f x x x 3 3( ) ( ) .(2 1) (2 1) .f x x x x x 2 33 (2 1) 2x x x 3 28 3x x

DERIVADA DE UN COCIENTE DE FUNCIONES

2

. .f f g g f

g g

2( )

3

xf x

x

2

(2 ) .( 3) ( 3) .2( )

( 3)

x x x xf x

x

2

2.( 3) 1.2

( 3)

x x

x

2

6

( 3)x

DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA. REGLA DE LA CADENA

xgxgfxgfxgf ''''

( ) ;af x g a R

2 3( ) ( 1)f x x 2 2 2( ) 3( 1) .( 1)f x x x 2 23( 1) .2x x 2 26 ( 1)x x

852 xxf '52528' 7 xxxf 2528 7 x 75216 x

1( ) ;af x ag g a R ‘

Deriva las siguientes funciones:

4

2) ( ) ;

(2 3)a f x

x

2 1

) ( ) ;2 1

xb g x

x

9) ( ) 3 ( 1)c h x x x

:Soluciones4

4

2) ( ) 2(2 3)

(2 3)a f x x

x

4 1( ) ( 4).2(2 3) .(2 3)f x x x 58(2 3) .2x 516(2 3)x

2 1) ( )

2 1

xb g x

x

2

2.(2 1) 2(2 1)( )

(2 1)

x xg x

x

2

4 2 4 2

(2 1)

x x

x

2

4

(2 1)x

9) ( ) 3 ( 1)c h x x x 9 8( ) 3( 1) 9( 1) .3h x x x x 9 83( 1) 27 ( 1)x x x

Derivadas de funciones definidas por la raíz cuadrada de

otra función: ( ) ( )f x g x

Se derivan de la siguiente manera: ( )f x ( )g x

2 ( )g x

EJEMPLOS:

2( ) 3 4 1f x x x ( )f x 6 4x

22 3 4 1x x

( ) 4 2g x x ( )g x 4

2 4 2x 2

4 2x

2 3 2( )

5

x xh x

2

2 35( )

3 22

5

x

h xx x

También se pueden derivar pasando la raíz a la forma potencial 21

2

2: ( )

1

xDeriva esta función f x

x

2 2

2 2( )

1 1

x xf x

x x

Separamos en dos raíces:

2 2

2 2

( 2 ) . 1 ( 1) . 2( )

( 1)

x x x xf x

x

2: ( )

xDeriva esta función f x

x

2

2

2

2 2. 1 . 2

2 2 2 11

xx x

x xx

2

2

2

1 2

2 11

x x x

x xx

2 2

2

2

1 2

2 ( 1)

1

x x

x x

x

2

2 2

1

( 1) 2 ( 1)

x

x x x

2

2 2

1. 2 .

2( )( )

x x xxf xx

2

4

2 .2

xx x

xx

2 2

4

4

2

x x

xx

2

4

3

2

x

x x

2

3

2x x

( ) xf x e

( ) gf x e

( ) .gf x e g

( ) xf x e ( ) xf x a

( ) .logxf x a a

( ) gf x a

( ) . .loggf x a g a

EJEMPLOS

2 3( ) x xf x e 2 3 2( ) .( 3 )x xf x e x x

2 3(2 3) x xx e

5 1( ) 3 xf x 5 1( ) 3 .(5 1) .log3xf x x 5 13 .5.log3x 5 15log 3.3 x

2 3( ) xf x x e 3 3 2( ) 2 . ( 3).x xf x x e e x 3 2 32 . 3x xx e x e 3 (2 3 )xxe x

1( )

x

xf x

e

2

1. ( 1)( )

( )

x x

x

e e xf x

e

2

x x x

x

e xe e

e

2

x

x

xe

e xxe

( ) logf x x (log : indica logaritmo neperiano de x)x

1( )f x

x

Si es en forma compuesta:

( ) logf x g ( )g

f xg

2( ) log(3 4 )f x x x 2

2

(3 4 )( )

3 4

x xf x

x x

( ) log( 2 )f x x( 2 )

( )2

xf x

x

2

2 22xx

1

22xx

1

2x

2

6 4

3 4

x

x x

( )f x sen x

( ) cosf x x ( ) cosf x x

( )f x sen x

( )f x sen g

( ) cos .f x g g

( ) cosf x g

( ) .f x sen g g

2( ) ( 3)f x sen x 2 2( ) cos( 3).( 3)f x x x 22 cos( 3)x x

2( )f x sen x 2( ) ( )f x sen x ( ) 2. .( )f x sen x sen x 2. cossen x x

2( ) cosf x x 2 2( ) .( )f x sen x x 2.2sen x x 22 .x sen x

3( ) cos (2 3)f x x 3( ) [cos(2 3)]f x x

2( ) 3[cos(2 3)] .[cos(2 3)]f x x x 23[cos(2 3)] .[ (2 3).(2 3) ]x sen x x 23[cos(2 3)] .[ (2 3).2]x sen x 26cos (2 3). (2 3)x sen x

DERIVADA DE LA TANGENTE

( )cos

sen xf x tg x

x

2

cos .cos ( ).( )

(cos )

x x sen x sen xf x

x

2 2

2

cos

cos

x sen x

x

2

1

cos x

21 tg x

( )dos formas

DERIVADA DE LA COTANGENTEcos

( )x

f x cotg xsen x

2

. cos .cos( )

( )

sen x sen x x xf x

sen x

2 2

2

( cos )sen x x

sen x

2

1

sen x

21 cotg x ( )dos formas

EJEMPLOS:

( ) 5f x tg x 2( ) (1 5 ).(5 )f x tg x x 25(1 5 )tg x

3( ) xf x cotg e 2 3 3( ) ( 1 ).( )x xf x cotg e e 2 3 3( 1 ). .3x xcotg e e 3 2 33 ( 1 )x xe cotg e