CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II (60 hs) MAC128

Professor Luis Paulo

Sala c-111-a Instituto de Matemática

1- Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem:

1.1 Equações Separáveis;

1.2 Equações Lineares homogêneas e não homogêneas;

1.3 Modelos Matemáticos.

2- Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes:

2.1 Equações Homogêneas e não-Homogêneas;

2.3 Método dos Coeficientes a Determinar;

2.4 Modelos Matemáticos.

3-Curvas e Vetores no Plano:

3.1 Definição de Funções Vetoriais;

3.2 Equações Paramétricas das principais curvas: reta, parábola, elipse, hiperbola e círculo;

3.3 Derivadas de Funções Vetoriais: vetor velocidade e vetor aceleração;

3.4 Comprimento do Arco.

4-Vetores no Espaço Tridimensional e Geometria Analítica Sólida:

4.1 Coordenadas e Vetores no Espaço Tridimensional;

4.2 Retas e Planos;

4.3 Cilindros e Superfícies de Revolução;

4.4 Superfícies Quádricas

5 - Funções de R2 em R :

5.1 Definição de Funções de Duas Variáveis;

5.2 Limites, Continuidade e a Regra da Cadeia;

5.3 Curvas de Nível;

5.4 Derivadas Direcionais e Gradiente;

5.5 Plano Tangente e Reta Normal à Superfície;

5.6 Diferencial.

6 - Funções de R3 em R:

6.1 Extensão de 5.1, 5.2;

6.2 Definição de Superfície de Nível;

6.3 Plano Tangente à Superfície de Nível.

7 - Máximos e Mínimos de Funções de R2 em R:

7.1 Definição de valor máximo absoluto, valor mínimo absoluto, valor máximo relativo, valor mínimo relativo, ponto crítico;

7.2 Teste de Derivada Segunda para determinar Máximos e Mínimos Relativos;

7.3 Máximos e Mínimos Condicionados - Multiplicadores de Lagrange.

8 - Máximos e Mínimos de Funções de R3 em R :

8.1 Extensão das Definições de 7.1

8.2 Máximos e Mínimos Condicionados. Multiplicadores de Lagrange.

Bibliografia

Stewart. Cálculo. Volume II. Thomson, Caps. 9,10,13,14,17.

Boyce e DiPrima. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. LTC, caps. 1,2 e 3.

Pinto e Morgado. Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis. UFRJ, CAPS. 1,2,3 e 4.

Mariani. MAPLE Fundamentos e Aplicações. LTC, CAPS. 9,10,19 e 20.

Notas ao capítulo 1

Gráfico das curvas integrais relativas à equação de velocidade de um corpo em queda livre

http://www.im.ufrj.br/~lpbraga/graf_queda_curva.pdf

Gráfico do campo de direções relativo à equação de velocidade de um corpo em queda livre

http://www.im.ufrj.br/~lpbraga/graf_queda_campo.pdf

1a Lista de Exercícios

Determine o campo de direções para cada uma das equações diferenciais abaixoa) y´ =3 + 2yb) y´= - 1 –2yc) y´= y2 d) y´= y(y – 2)2

Uma gota de chuva esférica evapora a uma taxa proporcional à sua área de superfície. Escreva uma equação diferencial para o volume de uma gota de chuva em função do tempo.

Resolva as equações diferenciais abaixo e faça o gráfico de suas curvas integrais

a) dy/dt = -y + 5b) dy/dt = 2y –5

A população de ratos do campo no exemplo dado em aula satisfaz à equação:

dp/dt = 0,5p – 450

a) Encontre o instante em que a população é extinta se p(0)=850b) Encontre a população inicial se a população é extinta em 1 ano.

Resolva as equações diferenciais abaixo e faça os gráficos de suas curvas integrais e do campo de direções.

a) y´ + 3y = t + e-2 t

b) y´ - 2y = t2e2 t

RESPOSTAS

a)http://www.im.ufrj.br/~lpbraga/resp1a.pdf b) http://www.im.ufrj.br/~lpbraga/resp1b.pdfc) http://www.im.ufrj.br/~lpbraga/resp1c.pdfd) http://www.im.ufrj.br/~lpbraga/resp1d.pdf

dV/ dt = -k V2/3 para algum k>0

a) y = 5 + (y0 – 5) e -t http://www.im.ufrj.br/~lpbraga/resp3a.pdf

b) y= 5/2 +[y0 –(5/2)] e 2t

http://www.im.ufrj.br/~lpbraga/resp3b.pdf

a) T = 2 ln 18 b) p0= 900[1 – e –6]

a) y = ce –3 t +( t/3) – (1/9) + e –2t http://www.im.ufrj.br/~lpbraga/resp5a.pdf

b) y = ce 2 t + t3 e 2 t /3 http://www.im.ufrj.br/~lpbraga/resp5b.pdf

2a Lista de Exercícios

1 Encontre a solução do problema de valor inicial para a equação:ty´ + 2y = t2 – t + 1 ; y(1) = ½

2 Encontre a solução geral (explícita ou implícita) para a equação:y´ = x2 / (1-y2) . Resolva o problema de valor inicial para y(0)=0.Faça o gráfico do campo de direções e esboce o gráficos das curvas integrais.

3 Resolva as equações:

a) y´ + y2 sen x = 0b) y´ = x2/y

4 Em um instante t=0, um tanque contém, Q0 lb de sal dissolvido em 100 gal. Há uma entrada de água salgada com teor de ¼ lb de sal por galão, a uma taxa de 3 galões por minuto. E, há uma saída de água do tanque, bem misturada, à mesma taxa de entrada – 3 galões por minuto. a) Formule a equação diferencial , cuja solução dá a quantidade de sal no tanque a cada

instante de tempo.b) Resolva a equação para Q0= 50 libras

c) Faça o gráfico das curvas integrais para outros valores iniciais. Interprete.

5 Um jovem, sem capital inicial, investe k reais por ano a uma taxa anual de rendimento r. Suponha que os investimentos são feitos continuamente e que o rendimento é composto continuamente.a) Determine a quantia S(t) acumulada em qualquer instante tb) Se r= 7,5%, determine k de modo que esteja disponível R$ 1 milhão para a aposentadoria

após 40 anos.c) Se k= R$ 2000/ano, determine a taxa de rendimento r que precisa ser aplicada para se ter

R$1 milhão após 40 anos.