Calculo Plastico Rotulas Plasticas

5/20/2018 Calculo Plastico Rotulas Plasticas

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CLCULO PLSTICO DE ESTRUCTURAS

DE BARRAS: TEORA

Tercera edicin

Guillermo Rus Carlborg 1

Marzo de 2008

1Profesor Contratado Doctor. Departamento de Mecnica de Estructuras. Uni-

versidad de Granada.


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c copyright 2008: Guillermo Rus CarlborgISBN: 84-96856-48-8Depsito legal: GR-507-2008Editor: Departamento de Mecnica de Estructuras e I. H., Universidad deGranada


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G. Rus

Introduccin para el estudiante

Estas notas han sido preparadas para ayudar al estudiante a seguir laasignatura, no como sustituto de las clases, sino para complementarlas yayudar a estructurar los conocimientos, exponindose todos los conceptoscomplejos que pueden quedar diluidos en una exposicin verbal.

Mediante el estudio de este bloque de la asignatura Anlisis de Estructu-ras Ise pretende profundizar en el conocimiento de los conceptos introducidosenTeora de Estructuras, as como exponer una familia de mtodos avanzadosde clculo de estructuras. Las ventajas del clculo plstico se pueden resumiren una reduccin de costes mediante un diseo ms racional, aprovechando

su funcionamiento hiperesttico en rgimen no lineal y teniendo en cuentasus mecanismos de colapso.Para asimilar con solidez los contenidos de este bloque, es indispensable

dominar los conceptos tratados en las asignaturas de Teora de Estructuras,Mecnica de Medios Continuos, y conocer el clculo matricial de estructurasde barras. Tambin se darn por conocidos conceptos bsicos de lgebramatricial y vectorial.

Agradecimientos

Quiero agradecer a Paqui Pea su dedicacin para ilustrar este libro, aRafael Gallego su auspicio de este trabajo, y no menos a Paloma por todo elapoyo y nimo para terminarlo.

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ndice general

1. Plasticidad unidimensional 1

1.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1. Contraste entre clculo elstico y plstico . . . . . . . . 21.1.2. Contexto normativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Caso unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1. Carga monotnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2. Descarga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3. Inversin de signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.4. Relaciones bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.5. Relaciones tensin-deformacin . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.6. Endurecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Plasticidad en barras 11

2.1. Principios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.1. La rtula plstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.2. Propiedades del acero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.3. Momento plstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2. Generalizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.1. Efecto del axil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.2. Efecto del cortante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.3. Perforaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.4. Factores de reduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.5. Zonas parcialmente plastificadas . . . . . . . . . . . . . 21

2.3. Criterios para mecanismo de colapso vlido . . . . . . . . . . . 222.3.1. Condiciones de equilibrio, mecanismo y plastificacin . 222.3.2. Teorema del mnimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.3. Teorema del mximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.4. Teorema de unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4. Calculo plstico de barras continuas . . . . . . . . . . . . . . . 25

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NDICE GENERAL G. Rus

3. PTV 31

3.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.1. Prtico plstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1.2. Demostracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2. Uso del PTV para determinacin de leyes de momentos y de-formadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4. Plasticidad en estructuras de barras 414.1. Combinacin de mecanismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.1.2. Descripcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.1.3. Secciones crticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.1.4. Nmero de mecanismos independientes . . . . . . . . . 434.2. Mecanismos de colapso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2.1. Mecanismo de cimbreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2.2. Mecanismo de barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2.3. Mecanismos combinados . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2.4. Mecanismos completo, parcial y sobrecompleto . . . . . 46

5. Dimensionamiento ptimo 615.1. Simplificaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2. Formulacin general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.3. Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

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G. Rus NDICE GENERAL

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Captulo 1

Nociones sobre plasticidad

unidimensional

ndice1.1. Introduccin

1.1.1. Contraste entre clculo elstico y plstico

1.1.2. Contexto normativo

1.2. Caso unidimensional

1.2.1. Carga monotnica

1.2.2. Descarga

1.2.3. Inversin de signo

1.2.4. Relaciones bsicas

1.2.5. Relaciones tensin-deformacin

1.2.6. Endurecimiento

1.1. Introduccin

Aunque los primeros estudios sobre el comportamiento plstico de barrasson muy anteriores, las primeras publicaciones que sugirieron la posibilidadde dimensionar utilizando la ductilidad de los metales provienen de Hungraen 1914 y de Holanda en 1917, cuando se comprob que una viga biempo-trada slo colapsara cuando se produjera plastificacin en tres secciones, enlos empotramientos y en alguna seccin central. Hacia la dcada de los 40,tras varios tanteos en Alemania y en EEUU, Baker y sus colaboradores en

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Cap. 1. Plasticidad unidimensional G. Rus

Cambridge comenzaron una serie de ensayos sistemticos en prticos que da-

ran el impulso a la actual teora, que se viene aplicando en la construccinde estructuras civiles desde los aos 50.

1.1.1. Contraste entre clculo elstico y plstico

A modo de introduccin, veamos, sobre un ejemplo muy sencillo, anantes de haber afianzado los conocimientos necesarios para comprenderlocompletamente, la diferencia esencial que aporta el clculo plstico sobre elelstico. Comparemos el momento flector caracterstico de la seccin mnimoque permita a una viga soportar una carga uniforme w cuando se sustenta

sobre apoyos simples o sobre empotramientos.En el primer caso (I), se dibuja en la Fig. 1.1 que la ley de momentosque asume es parablica, y el punto donde falla elsticamente es la seccincentral con momento mximo Mp = wL

2

8 , que es el momento plstico. Lo

(I) wM(x)

wL2

8

L

Figura 1.1: a) Viga biapoyada con carga uniforme w. b) Ley de momentosde la viga.

que suceder si seguimos cargando la viga, asumiendo un comportamientoelstico-plstico perfecto, como se describir en el prximo captulo, es que seformar una rtula plstica incapaz de absorber ms momento que Mp, y seproducir una deflexin incontrolada sin incremento de carga. Esta situacindefine el mecanismo de colapso. Por ello, la carga de colapso elstico coincidecon la del plstico,

wI

e

=wI

p

=8Mp

L2Sin embargo, si las condiciones de apoyo son de tipo empotramiento (II,

Fig. 1.2), la ley de momentos en el rgimen elstico viene descrita en laFig. 1.2-b. En el instante en el que el momento mximo, que se sita enambos apoyos, alcanza el valor Mp, dichas secciones plastifican y su giroadoptar cualquier valor mientras que el momento permanecer con valorMp. En este instante se ha alcanzado el valor mximo de la carga wpara elfallo elstico,

wIIe =12Mp

L2

2


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G. Rus Clculo plstico de estructuras

wL2

12 wL2

8

w

(II)

L

w

Mp

Mp wL2

8

Mp

Figura 1.2: a) Viga empotrada con carga uniforme w. b) Ley de momentosde la viga antes de que plastifique ninguna seccin. c) Momento en el queplastifican las secciones empotradas. d) Ley de momentos de la viga consecciones plastificadas.

Esta situacin se describe en Fig. 1.2-c, y su ley de momentos ser Fig. 1.2-d. La viga descrita en Fig. 1.2-c sigue conservando el equilibrio puesto que noha alcanzado la condicin de mecanismo: slo ha pasado de hiperesttica aisosttica. Pero si seguimos incrementando el valor de w, cuando el momen-to flector en el centro del vano alcanza el valor Mp, dicha seccin tambinplastificar y la viga colapsar en forma de mecanismo con tres rtulas, dosen los extremos y una en el centro. En ese instante, el valor de la carga decolapso plstico es,

wIIp =16Mp

L2

De todo esto se deduce que, en clculo elstico, una viga biempotrada so-porta un 50 % ms de carga que una biapoyada, pueswIIe /w

Ie = 3/2, mientras

que en clculo plstico, soporta un 100 % mswIIp /wIp = 2. Esto implica que

en un diseo plstico hace falta, en proporcin, una seccin de slo 3/4de lanecesaria en un diseo elstico, dado que se aprovecha la reserva resistenteque proporciona el hiperestatismo. Adems del ahorro econmico que esto su-pone, el hecho de desaprovechar el funcionamiento aadido de los grados dehiperestatismo refleja la naturaleza ilgica del diseo basado exclusivamenteen el lmite elstico.

En otras palabras, el diseo elstico de una estructura isosttica generaun margen de seguridad inferior frente al colapso que en el caso de unahiperesttica. Esta diferencia injustificada se debe a que no se tiene en cuentaque muchas estructuras pueden seguir funcionando satisfactoriamente pasado

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este lmite.

En lo referente a las tcnicas de clculo, es necesario recordar que elprincipio de superposicin deja de ser vlido al no cumplirse la premisa decomportamiento elstico lineal.

Otro aspecto en el que la plasticidad cobra crucial importancia es el clcu-lo ssmico. En l se utiliza el concepto de ductilidad como la propiedad dedeformarse en rgimen plstico sin perder resistencia, es decir, la razn en-tre deformacin plstica de colapso y la deformacin elstica mxima. A losedificios de hormign se les exige que los empotramientos sean dctiles, demodo que en caso de sismo plastifique globalmente y se disperse la energassmica a travs de los fenmenos histerticos inherentes a la plasticidad.

1.1.2. Contexto normativo

El uso prctico del clculo plstico de estructuras tiene como referenciams cercana la normativa birtnica BS5950, publicada en 1985 despus dela BS449 de 1949, sometindose a revisin en 1990. El principal campo deaplicacin es el de prticos planos, que suelen aparecer en edificacin de unaplanta, que acapara la mitad de las construcciones.

En cuanto a la normativa aplicable en Espaa, el Eurocdigo 3 (EC3) daunas mnimas reglas en lo que refiere a la plasticidad, que se pueden resumir

en:

Art. 3.2.2 Caractersticas del acero laminado en caliente. Se establecen losvalores nominales de las caractersticas mecnicas de cada tipo de acero.

Art. 3.2.2.2 Anlisis plstico. La relacin entre resistencia ltima y el lmiteelstico ser al menos de 1,2, el alargamiento para una rotura calibradadel 15 %, y el alargamiento de rotura ser al menos 20 veces el del lmiteelstico.

Art. 5.2.1.4 Anlisis global plstico. Pueden usarse los mtodos rgido-plstico o elasto-plstico, y dentro de ste ltimo se distingue el elstico-plstico y elstico-perfectamente plstico (utilizando un diagrama bili-neal de tensin-deformacin).

Art. 5.2.6.3 Anlisis plstico de prticos traslacionales. En general se uti-lizar anlisis elasto-plstico, que incluir efectos de segundo orden,pero se puede usar el rgido-plstico en prticos de hasta dos plantassin rtulas plsticas en los pilares o prticos cuyos pilares cuyas rtulasplsticas nicamente se forman en sus bases.

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Art. 5.2.7 Requisitos de los pilares para el anlisis plstico. Se requiere una

capacidad de giro mnima, lo cual se satisface automticamente en unclculo elasto-plstico. Si se hace un clculo rgido-plstico se estableceuna condicin sobre la esbeltez de los pilares.

Art. 5.3.3 Condiciones de la secciones transversales. Las secciones con r-tula plstica tendrn un eje de simetra en el plano de carga, tendrnsuficiente capacidad de giro. Se definen ciertas clases de seccin segnlos efectos locales de abolladura, a cumplir en piezas de seccin variable.

1.2. Caso unidimensional

Vamos a recordar los conceptos fundamentales del comportamiento pls-tico sobre un ejemplo unidimensional. Un estado de tensiones uniaxial esaquel en el que hay una sla tensin principal no nula, que puede ser positiva(traccin) o negativa (compresin).

1.2.1. Carga monotnica

En la Fig. 1.3-a se muestra un diagrama de tensin deformacin tpi-

co. Comenzando por un estado de reposo de origen O0, hasta la tensin Ys0,

00

e1p1

01

usys1ys0

Figura 1.3: Diagrama de tensin deformacin tpico.

llamada lmite elstico, el comportamiento, entendido como respuesta en tr-minos de tensinfrente a una deformacin, es lineal elstico, y la descarga

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sigue el mismo recorrido. Pasado este punto, el material se comporta plstica-

mente de modo irreversible. La pendiente de la curva decrece progresivamentey finalmente el material falla, alcanzando una tensin mxima Us.

1.2.2. Descarga

Si se revierte el proceso de carga una vez pasado el lmite elstico, enun punto de deformacin p1+

e1, dicha descarga se produce segn una lnea

con la misma pendiente elstica lineal, definida por el mdulo elstico. Sinembargo deja una deformacin remanente o plstica p1, pues slo se recuperala deformacin elstica e1 correspondiente a la lnea recta. Si se repite el

proceso, se comenzara por el nuevo origen O1, con una nueva ley elsticacon lmite elsticoYs1.

De aqu se deduce que la ley de comportamiento depende del recorrido ohistoria de carga.

1.2.3. Inversin de signo

Los metales suelen presentar leyes de comportamiento simtricas frente atraccin y compresin. Sin embargo, si el metal ha sido previamente sometidoa carga hasta plastificacin, la nueva ley de comportamiento puede variarsignificativamente, lo cual se denomina efecto Bauschinger. Esto se ilustra enla Fig. 1.3-b.

1.2.4. Relaciones bsicas

Puesto que la ley de comportamiento depende de la historia, no se puedeexpresar mediante una ley explcita, por lo que se recurre a una formulacinincremental como na va sistemtica de encontrar la solucin. Esta formu-lacin parte de la formulacin diferencial, en la que simplemente se recurrea tomar los diferenciales con tamaos finitos a efectos de encontrar su solu-cin numrica. Cualquiera de las variables va a evolucionar como la suma delos intervalos en los que los dividiremos, como por ejemplo la deformacin=

d. En la Fig. 1.4 el incremento de deformacin dse descompone en

una parte elstica y una plstica, de modo tal que la formulacin incrementalqueda,

d= de + dp

d= Etd= Ede =Epd

p

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d

dp de

dEt

Figura 1.4: Incrementos de tensin y deformacin.

donde E, Et y Ep son los mdulos de Young, tangencial y plstico respecti-vamente. Los dos ltimos son asimismo funcin de la historia de carga. Porotra parte,

Et =d

d Ep =

d

dp 1

Et=

1

E+

1

Ep

En el caso de carga, pasado el lmite elstico, se acumula deformacinplstica, mientras que eso no ocurre en el caso de descarga. La distincinentre estos casos se puede definir mediante el llamada criterio de carga, conlas formas alternativas,

= y d >0= y d >0

Los valoresyoyson el mximo valor que haya alcanzado en su historiael material, y son distintos para compresin y para traccin.

1.2.5. Relaciones tensin-deformacin

Existen muchos modelos disponibles para describir el comportamientoelastoplsico bajo carga monotnica, de los que los ms significativos son los

siguientes.El ms simple es el modelo elstico - perfectamente plstico, en elque el se obvia el fenmeno del endurecimiento, y viene definido por,

=

E < Ys

=

E+ =Ys

donde es un escalar positivo.

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Otros modelos simples son el elstico - endurecimiento lineal, que se

caracteriza por asumir un mdulo tangencialEtconstante,

=

E Ys

=

E+

1

Et( Ys) > Ys

o el elstico - endurecimiento exponencial,

= E Ys

= k

n

> Ys

1.2.6. Endurecimiento

Los valores de Et y de Ys dependen de la historia de carga, y se suelenrepresentar en funcin delparmetro de endurecimientoo variable interna deplasticidad, usualmente denotada por . Los ms usados son:

=

dpdp deformacin plstica equivalente

=

dp trabajo plstico

=

dp deformacin plstica

Ntese que la ltima definicin, p, no es una buena medida de la historiade carga puesto que es reversible, en el sentido de que es posible invertir elsentido de la carga hasta que p = 0y por tanto seolvidela historia de carga.

Las reglas de endurecimiento expresan la relacin entre Ys y . Los tresmodelos ms simples que representan las alternativas de comportamiento delefecto Bauschinger, se describen en la Fig. 1.5.

La regla de endurecimiento istropoespecifica que el comportamiento atraccin y compresin es simtrico,

|| = |()|

La regla de endurecimiento cinemticaespecifica que la diferencia entretensin de plastificacin en traccin Yts y compresin Y

cs es constante,

Yts () Ycs() = 2Ys0

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Figura 1.5: Reglas de endurecimiento.

En tercer lugar, la regla independienteestablece que la tensin de plas-tificacin a traccin y compresin guardan historias independientes t y c,sin afectarse entre s,

= Yts (t) >0

= Ycs(

c

)


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Captulo 2

Plasticidad en barras

ndice2.1. Principios

2.1.1. La rtula plstica

2.1.2. Propiedades del acero

2.1.3. Momento plstico

2.2. Generalizaciones

2.2.1. Efecto del axil

2.2.2. Efecto del cortante

2.2.3. Perforaciones

2.2.4. Factores de reduccin

2.2.5. Zonas parcialmente plastificadas

2.3. Criterios para mecanismo de colapso vlido

2.3.1. Condiciones de equilibrio, mecanismo y plastificacin

2.3.2. Teorema del mnimo

2.3.3. Teorema del mximo

2.3.4. Teorema de unicidad

2.4. Calculo plstico de barras continuas

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Cap. 2. Plasticidad en barras G. Rus

2.1. Principios

2.1.1. La rtula plstica

Para entrar de lleno en la concepcin del clculo plstico de prticos,vamos a ilustrar el caso de una viga biapoyada de acero blando (Fig. 2.1-a)sometida a una carga uniformew escalada por un factor de carga , que va acrecer desde cero hasta el momento del colapso. En la Fig. 2.1-b se representacualitativamente la evolucin del factor de carga conforme crece la deflexinen un punto, por ejemplo el central.

y

ys ys

c

Figura 2.1: a) Viga biapoyada con carga uniforme w. b) Evolucin del factorde carga - deflexin, y la distribucin de tensiones en la seccin central paracada instante.

Conforme la carga crece, la distribucin de tensiones en la seccin centralva pasando por diversos estadios, representados sobre la Fig. 2.1-c. La zonaplstica dentro de la viga se distribuye espacialmente segn lo indicado en laFig. 2.1-d.

Fase elstica lineal. Se produce mientras la tensin mxima en todos lospuntos de la viga no alcance la de plastificacin Ys. Durante el com-

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portamiento elstico lineal, la distribucin de tensiones a lo largo del

canto de la seccin es lineal (bajo la hiptesisde Bernouilli de seccinplana). Ello se debe a que la tensin es linealmente proporcional a laelongacin, que a su vez es proporcional al brazo hasta la fibra neutradebido al giro de la seccin que rige la deformacin a flexin. Ello im-plica que el diagrama de factor de carga - deflexin tambin es lineal,mientras < y.

Fase de plastificacin parcial. Cuando la elongacin en cualquier puntode la viga supera la correspondiente a la plastificacin, la tensin de-ja de crecer proporcionalmente, y la distribucin de tensiones toma la

forma descrita en la figura. En sta seccin se forma la rtula plstica.Esto sucede para y < < c. Si asumimos que la ley de comporta-miento (diagrama de tensin-deformacin, vase Fig.2.5-b) es bilineal,la tensin en los puntos con plastificacin es constantemente igual a Ys.

Colapso. En el momento extremo en el que todos los puntos de la seccin dela rtula plastifican, dicha seccin pierde su capacidad para seguir ab-sorbiendo ms carga y se deforma indefinidamente bajo carga constante(curva horizontal). Esto significa el colapso de la viga.

Figura 2.2: Mecanismo de colapso de una viga biapoyada.

Una vez producida la rtula plstica, la viga se comporta como en laFig. 2.2, como un verdadero mecanismo, llamado mecanismo de colapso. Esteejemplo presenta dos principios bsicos del clculo plstico:

Las estructuras fallan por medio del mecanismo de colapso.

Dicho mecanismo se produce por la aparicin de un nmero suficientede rtulas plsticascomo para que se produzca un movimiento demecanismo.

Las rtulas plsticas se definen por secciones en las que se produceplastificacin completa, con la consecuencia de que pueden girar inde-finidamente sin alteracin del momento flector que las excita en eseinstante, el cual se denomina momento plstico Mp.

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En el caso de que la ley constitutiva del material no sea bilineal y exista

endurecimiento por deformacin, la ltima fase del diagrama no es totalmentehorizontal sino que sigue ascendiendo ligeramente. Este efecto se suele ignorarquedando del lado de la seguridad. Existe sin embargo la posibilidad de queen hormign armado se produzca el efecto inverso de ablandamiento pordesagregacin a compresin del hormign.

En el ejemplo de viga biapoyada el mecanismo de colapso coincide conla formacin de la rtula plstica, pero son fenmenos distintos. Para ver ladiferencia se ilustra el caso de una viga biempotrada en la Fig. 2.3.

c

y

Figura 2.3: Mecanismo de colapso de una viga biempotrada.

Inicialmente la curva es lineal y las primeras rtulas plsticas se formanjunto a los empotramientos, dado que all son mximos los momentos flec-tores, que alcanzan el valor del momento plstico y dejan de crecer. En eseinstante se reduce el grado de hiperestatismo de la viga, pero an no es unmecanismo: existen rtulas plsticas pero no mecanismo de colapso. A causade este cambio la deflexin se produce a ms velocidad conforme crece la car-ga, cambiando la pendiente de la curva. Aumentando ms el factor de carga,sin que crezca el momento flector en los empotramientos, crece el momen-to en el centro de la viga hasta alcanzar aqu tambin el valor del momentoplstico y generarse una nueva rtula. Dicha rtula provoca que la estructurapase a ser un mecanismo y colapse finalmente.

En la Fig. 2.4 se describen otros ejemplos de colapso sobre prticos con

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distintas geometras y cargas.

Figura 2.4: Ejemplos de mecanismos de colapso.

2.1.2. Propiedades del acero

El punto fuerte del diseo plstico proviene de las propiedades de ducti-lidad de muchos materiales, de los que el acero blando es un ejemplo parti-cularmente til. Esta ductilidad se puede estudiar a partir del diagrama detensin-deformacin tpico de diversos aceros (Fig. 2.5-a). La primera simpli-ficacin que adoptaremos ser la de asumir un diagrama bilineal (Fig. 2.5-b).

Las propiedades mecnicas del acero que vamos a adoptar son las dadasen las tablas 2.6 a 2.8.

2.1.3. Momento plstico

Para formalizar el concepto de rtula plstica demostrado anteriormente,hemos de entender que es una simplificacin del comportamiento plstico delos elementos tipo barra, partiendo de la teora general plstica del primercaptulo. Veremos las hiptesis que permiten modelizar la flexin de la barrapasado el lmite elstico como un elemento unidimensional, reduciendo as sunaturaleza tridimensional.

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0.0015 0.015

300N2mm

ys

yc

ys

Figura 2.5: Diagramas de tensin-deformacin: a) tpicos, b) simplificadobilineal.

La viga de Euler-Bernoulli permite encontrar una relacin sencilla carga-deformacin (flecha) a partir de la teora de la elasticidad lineal (ley de

Hooke) gracias a la hiptesis de seccin plana y al concepto de curvatura querepresenta el comportamiento de toda la seccin. En el caso de una seccingenrica, la determinacin del momento plstico es muy simple. Partiendode la Fig. 2.9 encontramos que si en el rgimen elstico la tensin es nulaen la fibra neutra, al completarse la rtula plstica la tensin se anula en lalnea de igualdad de reas, dado que la ley de tensiones no es proporcional albrazo sino constantemente igual a Ys. En ese caso, el momento plstico es:

Mp = YsA

2(y1 y2) =YsSx Sx=

A

ydA

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Mdulo de Elasticidad E=205kN/mm2

Coeficiente de Poisson =0.30Coeficiente de dilatacin trmica lineal =1.2105 oC1Densidad =7850 kg/m3

Figura 2.6: Propiedades mecnicas del acero.

Acero Espesor hasta Tensin de diseo Tensin ltimaEC3 (mm) (N/mm2) (N/mm2)Fe 360 40 235 360

100 215 340

Fe 430 40 275 430100 255 410

Fe 510 40 355 510100 335 490

Fe E275 40 275 390100 255 370

Fe E355 40 355 490100 335 470

Figura 2.7: Propiedades mecnicas del acero segn la EC3.

donde y1, y

2 son los centros de gravedad de las reas A/2 a traccin ycompresin respectivamente, ySxes el primer momento del rea. Para auto-matizar el clculo, es conveniente dividir la seccin en polgonos de rea Aicon brazo lnea de igualdad de reas - centro de gravedad del polgono yi:

Mp=Ysi

Aiy

i

El momento plstico tambin se suele denominar momento plstico com-

pleto o total, para distinguirlo del momento plstico de inicio, que es aqulen el que comienza a plastificar la seccin, el cual viene descrito por la inerciaelstica medida desde la fibra neutra:

My =YsZ=Ys

A

y2

ddA

Finalmente existe el denominado factor de forma = MpMy

, que suele variarentre 1.15 y 1.2 para secciones en doble T, indicando la proximidad entre am-bos momentosMyy Mp. Esto nos lleva a una nueva simplificacin de la curva

17


25/76


26/76


My Mp

d

ys ys ys

y

y

Figura 2.9: Determinacin del momento plstico.

2.2. Generalizaciones

2.2.1. Efecto del axil

El caso ms simple es el de una seccin rectangular, como la dada en la(Fig. 2.11). El rea de tensiones rayada (de canto a) es la que se equilibracon el axilP =Ysba, mientras que las otras dos reas de tensiones simtricas

equilibran al momento plstico bajo axil Mp =YsS. Si se define la fraccinde rea afectada por la compresin n = a

d, se conoce cunto se reduce el

momento plstico por el axil:

S = 2b

d a

2

d + a

4

=

bd2

4 (1 n2) =S(1 n2) M

p

Mp= 1 n2

donde el primer parntesis corresponde al volumen de tensiones debido a laflexin (los dos rectngulos sin rallar), y el segundo parntesis es el brazo(centro de gravedad de ambos rectngulos respecto al eje).

En el caso de una seccin en I la influencia es incluso menor: para unaxil considerable, de un 10 % de la tensin de plastificacin, la reduccin delmomento plstico puede ser del orden de un 1 %.

2.2.2. Efecto del cortante

Esta reduccin de momento plstico es ms complicada de calcular, yaque depende del criterio de plastificacin. Pero como para valores de cortantede hasta un 60 % de la capacidad a cortante de la seccin se puede despreciareste efecto. Este caso se dar en vanos especialmente cortos.

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27/76


Mp

M

My

Mp

M

MMp

Figura 2.10: Diagrama momento-curvatura en una rtula.

2.2.3. Perforaciones

Las perforaciones utilizadas en roblones y tornillos afectan al momentoplstico si se ubican en una seccin donde se producir rtula plstica o auna distancia inferior a un canto, en cuyo caso las normas establecen factoresde reduccin precalculados. Por otra parte se recomienda que el acabado deestas perforaciones sea taladrada.

2.2.4. Factores de reduccin

Dado que el clculo plstico se entiende generalmente como un estadolmite ltimo, se requieren tres factores: el de resistencia del material, el decarga y el de comportamiento de la estructura. Es posible combinarlos en unslo factor de carga, generalmente entre 1,2 y 1,6.

20


28/76


000

000

000

000

000

111

111

111

111

111

d

ysb

a

Figura 2.11: Seccin cuadrada sometida a axil.

2.2.5. Zonas parcialmente plastificadas

Si suponemos el caso elemental de un voladizo de seccin rectangular

sometido a una carga puntual de la Fig. 2.12, donde se representa su ley demomentos, y recuperamos la ecuacin que relaciona la porcin de canto quese conserva elstico he, con el momento, vlida paraMp M Mp,

M=Ysbh

2

4

1 1

3

heh

2

podemos despejar que,

heh

=

3

1 MMp

es una parbola que se extiende entre las dos secciones x = 0 y x = L/3,definiendo la zona plstica rallada en la Fig. 2.12-c.

En general se producirn regiones plastificadas con formas parecidas, en-tre triangulares y parablicas, en funcin de la ley de momentos flectores, yen ocasiones puede ser importante conocer la extensin de la zona plstica,que en este caso alcanza un tercio del voladizo.

21


29/76


00

00

11

11

x

L

M

L3

MpMe

he

Figura 2.12: Voladizo y su zona plastificada.

2.3. Criterios para mecanismo de colapso vli-

do

Observando la Fig. 2.4 puede intuirse que en una determinada estructuraes posible definir ms de un mecanismo de colapso segn el reparto de cargas.De hecho, el primer paso para un clculo es definir cul es el mecanismo

correcto, par lo cual se pueden recurrir a los teoremas del mnimo, del mximoy de unicidad. El siguiente paso ser encontrar cul ser el factor de carga quelo excite y con ello se podr determinar el diagrama de momentos flectores.

2.3.1. Condiciones de equilibrio, mecanismo y plastifi-cacin

Equilibrio. Los momentos flectores han de representar una ley en equilibrioentre las fuerzas internas y las fuerzas aplicadas.

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30/76


Mecanismo. En el colapso, el momento flector ha de igualarse al momento

plsticoM = Mp en un nmero suficiente de secciones como paraconstituir un mecanismo en toda la estructura o una parte.

Plastificacin. En ninguna seccin el momento flector puede superar almomento plstico.

Es interesante comprobar que en clculo plstico no existen condicionesde compatibilidad en las rtulas, con lo cual el colapso de una parte dela estructura no afecta a las dems partes. Esto simplifica especialmente elclculo de vigas continuas.

2.3.2. Teorema del mnimo

En el anlisis de una estructura, una eleccin arbitraria de mecanismode colapso proporcionar una estimacin de la carga de colapso (o factor decarga) mayor o igual que la correcta.

En otras palabras, los tanteos sobre distintos mecanismos de colapso pro-porcionan acotaciones superiores de c, con lo que es un mtodo del lado dela inseguridad. Estas elecciones satisfacen al menos la condicin de meca-nismo.

Este teorema permite deducir una metodologa que vamos a aplicar a uncaso sencillo de viga como en la Fig. 2.13-a, de momento plstico Mp =78kNm. Las condiciones de equilibrio quedan aplicadas al dibujar la leyFig. 2.13-b. Puesto que la estructura tiene dos grados de hiperestatismo,el equilibrio definir la ley de momentos flectores salvo dos constantes, MAy MD.

La incgnita de trabajo va a ser la eleccin de mecanismo de colapso.Vamos a estudiar los dos ms probables, que constan de tres rtulas plsticas(nmero necesario para reducir el hiperestatismo de grado 2 a mecanismo),que son la combinacin de rtulas en los puntosA,ByD , y la combinacinA,CyD, dibujados en las Fig. 2.14-a y Fig. 2.14-b.

Al imponer la condicin de mecanismo segn el primer modo de colapso(a) MA = MB = MD = 78 (que la ley de momentos valga el momentoplstico en las tres rtulas), se obtiene que 96 = 2Mp = 156kNm, con loque = 1,625. Si repetimos el procedimiento con el segundo modo de colapso(b) MA =MC=MD = 78, en este caso = 1,5, que resulta ser el mnimo ypor tanto el mecanismo correcto.

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31/76


4m 2m 4m

20KN 30KN

MA MD

MDM

MA

3020

96104

Figura 2.13: Ejemplo de aplicacin del teorema del mnimo.

20 30

20 30

Figura 2.14: Dos modos de colapso.

2.3.3. Teorema del mximo

Una condicin de equilibrio arbitraria que satisfaga la condicin de plas-tificacin proporcionar una estimacin de la carga de colapso menor o igual

a la correcta.

Esto significa que encontrar un estado que satisfaga las condiciones deequilibrio y plastificacin pero sin asegurarse de la de mecanismo nosdeja del lado de la seguridad.

La metodologa que proporciona este teorema se ilustra sobre el mismoejemplo anterior. El caso descrito por el modo de colapso en las rtulas A,B y D genera una ley de momentos que en el punto C tiene un valor deMp +104tomando el valor absoluto, y puesto que en ese caso96= 2Mp,resulta que el momento vale 13/12Mp, que es superior a Mp y por tanto no

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se cumple el criterio de plastificacin, y por tanto el teorema del mximo. Un

caso en el que s que se cumplira sera aquel en el que la ley de momentos sedefiniera por MA = 0,MD = 0,MC=Mp, con lo que104= Mpy = 0,75.Este caso cumple con los criterios de equilibrio y de plastificacin, lo que nospermite asegurar que 0,75 c.

Vamos a definir como incgnitas de trabajo los esfuerzos que definen elestado de equilibrio, MA y MD, como se indica en la Fig. 2.13. Para que secumpla el criterio de plastificacin a la vez que haya tres rtulas pl sticas,no hay ms alternativa que imponer que en los tres extremos de la ley deflectores stos alcancen el momento plstico, MA = MC = MD = Mp. Portanto, 104 = 2Mp = 156kNm, con lo que c = 1,5, y la ley de fuerzas y

esfuerzos en colapso queda resumida en la Fig. 2.15.

Figura 2.15: Ejemplo de aplicacin del teorema del mximo.

Hemos visto que cualquier otra combinacin que cumpla la condicin deplastificacin, por ejemplo la anteriormente descrita,MA=MD = 0, MD =Mp generar un factor de carga menor.

2.3.4. Teorema de unicidad

El valor de la carga de colapso que satisface simultneamente las trescondiciones de equilibrio, mecanismo y plastificacin es nico.

= c (Unicidad)

Mecanismo c (Mnimo)EquilibrioPlastificacin

c (Mximo)

2.4. Calculo plstico de barras continuas

Comenzamos estudiando un caso muy til, que es el de una viga continuade un nmero indefinido de vanos apoyados equidistantes y uniformementecargada con qde la Fig. 2.16-a. Utilizaremos el teorema del mnimo.

25


33/76


Dado que la formacin de rtulas plsticas en cada apoyo destruye la

compatibilidad entre un vano y otro, cada uno de estos se comporta idn-ticamente a los dems, con lo que slo es necesario calcular el caso de unvano interior cualquiera y uno extremo. Otra consecuencia de esto es que elclculo plstico simple es independiente de asentamientos, efectos trmicos odefectos de montaje.

El nico mecanismo de colapso de un vano interior es obvio, como sedescribe en la Fig. 2.16-b. Por el diagrama de equilibrio de esfuerzos Fig. 2.16-c se observa que Mp =

qL2

16 o bien = 16Mp

qL2 .

q

L L

L2

L2

Mp Mp

Mp

Mp

Mp

MqL2

8

Mp

Mp

x L x

x

x

M

M

q(L2

x x22)

Mp(LxL

)

Figura 2.16: a) Ejemplo de viga continua. b) Mecanismos de colapso en unvano interior y extremo. c) Leyes de momentos flectores obtenidas a partirdel equilibrio.

El vano extremo tiene infinitos mecanismos de colapso posibles puestoque no concemos la posicin exacta x donde se formar la rtula. Apli-cando el teorema del mnimo, tendremos que minimizar (x). El diagramade equilibrio nos proporciona queM(x) = 1

2qx(L x) Mp

L (L x). Si

26


34/76


lo igualamos al plstico para generar la segunda rtula Mp =M

(x) que-

da Mp(2Lx) = 12qLx(Lx) y podemos despejar (x) = 2Mp(2Lx)qLx(Lx) .El valor ptimo de x es el que se despeja de la minimizacin d(x)

x = 0,

x= L(2 2) = 0,586L, con lo que = 11,66MpqL2

.

De aqu se deduce que el vano extremo sufre un momentoMp = qL2

11,66muy

superior al del vano interior Mp = qL2

16 , lo cual sugiere varias alternativas:

1. En primer lugar se deduce que una viga continua economiza ms queuna secuencia de vigas continuas de dos vanos.

2. Si los problemas de flecha en estado lmite de servicio son grandes, sepuede asumir que los vanos internos queden sobredimensionados.

3. Engrosar la seccin de los vanos extremos. Ha de tenerse cuidado deque el engrosamiento no se situe sobre el apoyo sino en el punto decontraflexin.

4. Reducir la luz de los vanos extremos en proporcin

1611,66

= 1,17,

relacin obtenida imponiendo que en ambos tipos de vanos se conserveMp y , y despejando las relaciones entre L, que se suponen distintasen cada tipo.

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35/76


Prctica 1

La viga continuaABCDde la figura tiene una secin uniforme. Si el colapsose produce para las cargas indicadas, indquese el valor del momento plstico.

2m 2m 2m6m4m4m

5KN/m30KN

30KN/m50KN 50KN

Solucin 1

Comenzamos estudiando independientemente cada vano.En cada uno establecemos dnde se situan las rtulas plsticas, como se

in dica en la figura (b), y despus calculamos las leyes de momentos flectores

que satisfacen el equilibrio, superponiendo los efectos de las cargas externas(asumiendo que cada vano se encuentra libre del resto de la viga y biapoyado),y los efectos de los momentos plsticos en las rtulas.

Para cada estado se deduce cul es el valor del momento plstico quecumple con el criterio de mecanismo. Dado que el momento plstico es nicopara toda la viga, plastifica el vano que tenga mayor momento flector dadaslas cargas, y ese resulta ser el tercero. El momento plstico esMp = 75kNm.

Obsrvese que en el dibujo se ha proporcionado una construccin muytil para clculo plstico, y es la distincin entre diagramas de momentoslibre (superior) y de momentos de reacciones (intermedio). La superposicin

de ambos se puede hacer de modo directo, obteniendo como suma el rearallada (inferior) en lugar de calcular el diagrama referido al eje de abscisas.Esto se denomina diagrama reactante, y simplifica el establecimiento delequilibrio.

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36/76


000000

000000

000000

111111

111111

111111

00000

00000

00000

11111

11111

11111

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

000000

000000

000000

111111

111111

111111

M

M

Mp Mp Mp

MpMp

23

Mp 13

Mp

Mp

MpMp

Mp = 75KNmMp = 45KNmMp = 50KNm

MpMp Mp Mp Mp MpMp Mp

Mp

29


37/76


30


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Captulo 3

Principio de los Trabajos

Virtuales

ndice3.1. Enunciado

3.1.1. Prtico plstico

3.1.2. Demostracin

3.2. Uso del PTV para determinacin de leyes de mo-

mentos y deformadas

3.1. Enunciado

En su forma general, el principio de los trabajos virtuales expresa quesi un cuerpo sometido a un estado de equilibrio se asocia a otro estado dedeformaciones, el trabajo virtual producto de ambos es nulo, pues se compensala componente producida por las acciones y desplazamientos externos, con lacomponente debida a los esfuerzos y deformaciones internos.

Para que se cumpla, es condicin necesaria y suficiente que el estado dedeformaciones y desplazamientos sea compatible, en el sentido de que lasdeformaciones internas sean solidarias con los desplazamientos externos. Sinembargo no es necesario que se correspondan con las fuerzas y esfuerzos, nique exista ninguna ley de comportamiento particular. Adems es necesarioque el sistema de fuerzas y esfuerzos est en equilibrio.

En el caso de que la estructura sea hiperesttica, al no requerirse en elestado de fuerzas y esfuerzos la compatibilidad, existirn infinitas solucionesen equilibrio, y cualquiera de ellas es vlida y genera los mismos resultados.

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Cap. 3. PTV G. Rus

3.1.1. Prtico plstico

Para particularizar al caso del clculo plstico, slo se va a tener en cuen-ta el caso de estructuras de nudos rgidos bajo la situacin de mecanismogenerado por las rtulas plsticas, donde las deformaciones elsticas son des-preciables.

El estado de desplazamientos (magnitudes vectoriales ique incluyen des-plazamientos y giros) y deformaciones (giros en las rtulas j) de un prticoen situacin de mecanismo se define por el conjunto (i, j), que ha de sercompatible.

Recprocamente, el estado de fuerzas (magnitudes vectoriales Fi que in-

cluyen fuerzas y momentos) y esfuerzos (valores de la ley de momentos en lasrtulasMj) viene definido por (Fi, Mj), que tiene que estar en equilibrio.La ecuacin del Principio de los Trabajos Virtuales tomando como es-

tado virtual el de desplazamientos y deformaciones genera una ecuacin deequilibrio de expresin,

ni=1

{Hiui + Vivi + Mii } =r

j=1

Mjj

Recprocamente, tomando como estado virtual el de fuerzas y esfuerzos,la expresin del Principio de los Trabajos Virtuales proporciona una ecuacin

de compatibilidad,ni=1

{Hiui+ Vi vi+ Mii} =r

j=1

Mjj

3.1.2. Demostracin

Se deducir en primer lugar el principio de los trabajos virtuales para unpunto y para una barra, y posteriormente se generalizar a una estructuracompleta, compuesta por una suma de nnudos y b barras.

Principio de los Trabajos Virtuales de un punto material

Sea un punto materialien el espacio, sometido a un conjunto de ffuerzasy momentos tales que el punto est en equilibrio,

{Fi1, Fi2, . . . , Fif; Mi1, Mi2, . . . , M if}Sea a continuacin un estado auxiliar, que se denomina estado virtualy

que se denotar con un asterisco de superndice, que consiste en un posibledesplazamiento y giro del punto,{; }.

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F1F2

Fn M1 M2

Figura 3.1: Estado real de fuerzas en equilibrio (izquierda) y estado virtualde desplazamientos (derecha).

El trabajo que las fuerzas aplicadas haran si se desplazaran esa cantidades el producto escalar de las fuerzas y momentos por desplazamientos y girosrespectivamente. ste se denominatrabajo virtual,w, pues tiene dimensionesde trabajo, pero no es real, y se puede desarrollar como:

w =

fk=1

(Fik + Mik ) =

Fi1 cos i1+ Fi2

cos i2+ + Fif cos if+Mi1

+ Mi2

+ + Mif

Es elemental comprobar que dicho trabajo es nulo si para valores arbitra-rios de y las fuerzas estn en equilibrio:

Fi1cos i1+ Fi2cos i2+ + Fincos if = 0Mi1+ Mi2+ + Mif = 0

Por tanto, el Principio de los Trabajos Virtuales para un punto materialestablece que:

{Fi1, Fi2, . . . , Fif; Mi1, Mi2, . . . , M if}en equilibrio {; } w= 0

Principio de los Trabajos Virtuales para una barra

Se define en primer lugar un estado real de fuerzas en equilibrio, dibujadoen la figura 3.2.

Sobre la misma barra, se define un estado virtual de desplazamientos,denotado con un asterisco (). El que un estado sea real y el otro virtual sepuede intercambiar sin prdida de generalidad.

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Cap. 3. PTV G. Rus

0

0

0

1

1

1

01

Px

i

j

NijQiiMij

NjiQji Mji

i

j

vijuij

uv

uji

vji

Py

ji

ij

Figura 3.2: Estado real de fuerzas en equilibrio (izquierda) y estado virtualde desplazamientos (derecha) en una barra.

El estado virtual es compatible, es decir,

u(0) =uij u(L) =uji

v(0) =vij v(L) =vji

as como e(x) = du

dx y(x) = d

2v

dx2.

En una barra el comportamiento longitudinal (que abarca los esfuerzos yfuerzas axiles y las componentes de desplazamientos y deformaciones longi-tudinales) est desacoplado del transversal (que abarca momentos flectoresy cortantes, as como flecha transversal y giros). Esto permite calcular elPTV a comportamiento longitudinal slo, despus transversal y finalmentesuperponerlos.

Para la componente longitudinal la barra es biarticulada sometida a fuer-zas longitudinalespx(x), que por tanto desarrolla slo esfuerzos axilesN(x).El equilibrio en una rebanada diferencial de ancho dxconduce a la ecuacin,

p(x) + dN(x)dx

= 0

La componente longitudinal del estado virtual consiste en un posible des-plazamiento longitudinal de cada seccin de la barra, u(x). Multiplicandola ecuacin de equilibrio en la rebanada por una funcin arbitraria, parala que elegimos este desplazamiento virtual, se obtiene un trabajo virtualdiferencial, que ser nulo,

px(x)u(x) +

dN(x)dx

u(x) = 0

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N+ dN

Q + dQM + dM

QM

N

px

py

dx

Figura 3.3: Equilibrio de una rebanada.

Integrando para toda la barra se obtiene:

L0

pxudx +

L0

dNdx

udx= 0

Realizando una integracin por partes en el segundo sumando se llega a:

L0

pxudx + uNL0

L0

Ndu

dxdx = 0

y reordenando,

u(L)N(L) u(0)N(0) + L0

pxudx=

L0

Ndu

dxdx

Teniendo finalmente en cuenta que por equilibrioN(0) =NijyN(L) =Njiydenominando al alargamiento virtual de la rebanada e =du/dx, se obtiene

el Principio de los Trabajos Virtuales para una barra a axil,

Njiuji Nijuij+ L0

pxu dx=

L0

Ne dx

Para la componente transversal se procede de manera similar. Partiendode las ecuaciones de equilibrio vertical y de momentos en la rebanada,

dQdx

+py = 0 dM

dx + Q= 0

d

2Mdx2

py = 0

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Cap. 3. PTV G. Rus

y multiplicndolo por una funcin arbitraria, para la que tomamos un des-

plazamiento transversal virtual, e integrando a todo el elemento, L0

d2Mdx2

v dx L0

pyv dx= 0

Integrando por partes dos veces en el primer trmino se obtiene finalmente,

Qjivji+ Qijvij+ Mjiji+ Mijij+ L0

py(x)v(x) dx=

L0

M(x)(x) dx

siendo = d2v

dx2. Esta expresin implica que el trabajo interno del momento

flector con la curvatura es igual al trabajo externo de las fuerzas que producenflexin con los desplazamientos y giros virtuales.

Las dos ecuaciones deducidas se cumplen de forma independiente, luegola suma de ambas tambin se cumplir:

Nijuij+ Qijvij+ Mijij+Njiuji Qjivji + Mjiji+

+

L0

(pxu +pyv

) dx=

L0

(Ne + M) dx

ste es el principio de los trabajos virtuales para barras planas. La ecuacin

anterior expresa que el trabajo de las fuerzas externas con los desplazamientosvirtuales es igual al trabajo de los esfuerzos internas con las deformacionesvirtuales.

Los dos miembros de la ecuacin representan un trabajo virtual, el iz-quierdo el trabajo virtual de las fuerzas externas wext, y el derecho el tra-bajo virtual interno w int, de modo que el principio podra resumirse en laecuacin,

wext =wint

Principio de los Trabajos Virtuales para una estructura

A continuacin se va a extender el teorema anterior a toda la estructura,para lo que no hay ms que sumar los trabajos interno y externo descritospara todas las barras k= 1..by todos los nudos i= 1..nsimultneamente.

bk=1

wk,ext +ni=1

wi,ext =bk=1

wk,int +ni=1

wi,int

En cuanto a cada nudo i, si distinguimos entre las fuerzas internas de cadabarra que confluye al nudo k i, cambiados de signo por la segunda ley de

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Newton entre nudo y barra, y una resultante que las equilibra externamente,

en dicho nudo se puede escribir el Principio de los Trabajos Virtuales como,

wi,ext =Hiu

i + Viv

i + Mi

i =ki

(Fik i + Miki ) =wi,int

Sustituyendo las expresiones del PTV de cada barra y nudo en la suma-toria queda:

bk=1

Nijuij+ Qijvij+ Mijij+Njiuji Qjivji + Mjiji+bk=1

L0

(pkxuk +pkyv

k) dx +ni=1

(Hiu

i + Viv

i + Mi

i ) =

bk=1

L0

(Nkek + Mkk) dx +ni=1

ki

(Fik i + Miki )

Para transformar la expresin resultante en otra ms til comenzamospor sustituir la notacin de las fuerzas por su versin vectorial, con cuidado

de respetar los criterios de signos:

Nijuij+ Qijvij = Fij ijNjiuji Qjivji = Fji ji

y por recordar que en un nudo la definicin de desplazamiento o giro enun nudo es unvoca:

i =

ij =

ik =

il =. . .

i =

ij =

ik =

il =. . .

A continuacin se puede redefinir el sumatorio, en lugar de k = 1..bdescomponindolo en nudos i = 1..n y en cada nudo a las barras que a lconfluyenk i. As, el primer sumatorio se puede expresar como:

bk=1

Fij ij+ Mijij+ Fji ji + Mjiji

=

ni=1

ki

{Fik i + Miki }

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Cap. 3. PTV G. Rus

Sustituyendo esta expresin en la de partida se anulan el primer con el

ltimo sumando, y reordenando se obtiene:

ni=1

{Hiui + Vivi + Mii } +bk=1

L0

(pkxuk +pkyv

k) dx=

bk=1

L0

(Nkek + Mkk) dx

expresin completa de Principio de los Trabajos Virtuales para estructurasde nudos rgidos planas.

Esta expresin implica que el trabajo de las fuerzas sobre los nudos y ba-rras con los desplazamientos virtuales (miembro izquierdo) iguala al trabajode los esfuerzos con la deformacin virtual de las barras (miembro derecho).

De las hiptesis realizadas para la demostracin se han de destacar lassiguientes consecuencias:

El sistema de fuerzas y esfuerzos F = (Hi, Vi, Mi, pkx, pky;Nk, Mk, Qk)

debe estar en equilibrio.

El sistema = (ui , v

i ,

i , uk, vk; ek, k) de desplazamientos y de-

formaciones virtuales ha de ser compatible.

No se ha utilizado ninguna condicin referente a la ley de comporta-miento, con lo que el PTV es vlido cualquiera que sea sta.

De la reversibilidad en la eleccin de estado virtual y real se deducen dosformas de aplicar el PTV:

1. Si F real y virtualel PTV es una ecuacin de equilibrio.2. Si F virtual y real el PTV es una ecuacin de compatibilidad.La adecuada eleccin de los estados virtuales permitir la obtencin de

las ecuaciones de equilibrio y/o compatibilidad necesarias en las aplicaciones.

Principio de los Trabajos Virtuales para clculo plstico

En toda la demostracin no se ha utilizado la ley de comportamiento, porlo que el Principio de los Trabajos Virtuales se cumple indiferentemente questa sea elstica o plstica.

Si estamos en el caso de un mecanismo de colapso, las deformaciones detipo giro concentradas en las rtulas sern muy superiores a las deformacioneselsticaseydonde no hay rtulas. Por ello, la ley(x)se podrn aproximar

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por una funcin de valor nulo en todo punto x excepto en el punto de la rtula,

donde tendr el valor de su giro . La leye(x)ser ntegramente despreciablefrente a lo anterior. Por ello, la integral del trabajo interno se reducir a lasuma para las rrtulas de toda la estructura,

bk=1

L0

(Nkek + Mkk) dx=r

j=1

Mjj

Si hacemos la hiptesis simplificatoria de que no existen fuerzas distri-buidas px =py = 0, e introducimos la presencia de rtulas plsticas:

ni=1

{Hiui + Vivi + Mii } =r

j=1

Mjj

Es necesario tener en cuenta que el trabajo absorbido por una rtula sersiempre positivo, puesto que el momento que opone el giro siempre se dar ensu misma direccin. Por ello, los sumandos del miembro derecto extendidossobre rtulas con momento Mp, se pueden expresar en valores absolutos yolvidar el signo del giro.

3.2. Uso del PTV para determinacin de leyesde momentos y deformadas

El Principio de los Trabajos Virtuales en su forma de ecuacin de equili-brio, es decir, utilizando un estado real de fuerzas y esfuerzos con un estadovirtual de deformaciones y desplazamientos compatible, genera una ecuacinde equilibrio que puede proporcionar la ley de momentos. Recprocamen-te, con un estado virtual de fuerzas y esfuerzos equilibrado, establece unaecuacin de compatibilidad entre deformaciones y desplazemientos reales quepermite calcular las rotaciones de la deformada.

Como ejemplo del segundo caso, vamos a calcular la relacin elementalentre la deformada y la rotacin de mecanismo en el nudo 2. Tomando elestado real deformado Fig. 3.4-a y definiendo un estado virtual como enFig. 3.4-b, podemos definir,

P= M22 2 =

H

Como ejemplo del primer caso vamos a tratar de calcular la relacin entrela carga aplicada Py el momento plstico Mp para un prtico dado en su

39


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Cap. 3. PTV G. Rus

21

34

H

M2 =H 2P = 1

Figura 3.4: Estados real y virtual para el establecimiento de una ecuacin decompatibilidad por el PTV.

P

M2 M3

M4M1

Figura 3.5: Estados para establecer con el PTV una ecuacin de equilibrio.

mecanismo de colapso. Dado el estado real de esfuerzos de la Fig. 3.5-a y elvirtual Fig. 3.5-b, se puede obtener la ecuacin,

P =P H = M1 + M2 + M3 + M4Mi=Mp

P =4Mp

H

40


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Captulo 4

Plasticidad en estructuras de

barras

ndice4.1. Combinacin de mecanismos

4.1.1. Introduccin

4.1.2. Descripcin

4.1.3. Secciones crticas

4.1.4. Nmero de mecanismos independientes

4.2. Mecanismos de colapso

4.2.1. Mecanismo de cimbreo

4.2.2. Mecanismo de barra

4.2.3. Mecanismos combinados

4.2.4. Mecanismos completo, parcial y sobrecompleto

4.1. Combinacin de mecanismos

4.1.1. Introduccin

Cuando el clculo plstico se extiende de barras a prticos, el mecanismode colapso deja de ser obvio, y normalmente es necesario tantear varias posi-bilidades. Estudiemos el procedimiento sobre un ejemplo sencillo como el dela Fig. 4.1. El procedimiento que seguiremos es el del teorema del mnimo,por el que estudiaremos todos los mecanismos que cumplan las condicionesde mecanismo (M =Mpen un nmero suficiente de rtulas) y de equilibrio,

41


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Cap. 4. Plasticidad en estructuras de barras G. Rus

que determinaremos utilizando el Principio de los Trabajos Virtuales . De

todos ellos, el mecanismo que proporcione un factor de carga mnimo, serel que se produzca.

Figura 4.1: Ejemplo de prtico sencillo. Calclese el factor de carga ante elcolapso sabiendo que el momento plstico es de 20 kNm, as como la ley demomentos flectores.

4.1.2. Descripcin

El procedimiento a seguir para calcular plsticamente una estructura sebasa en los teoremas del mnimo y del mximo en combinacin con el Prin-cipio de los Trabajos Virtuales .

La secuencia consistir en comenzar describiendo todos los mecanismosindependientes y calcular para cada uno de ellos su factor de carga, utilizandoel Principio de los Trabajos Virtuales como ecuacin de equilibrio. El teoremadel mnimo dice que, puesto que estas estimaciones cumplen con el equilibrio,las predicciones estarn del lado de la seguridad.

Aunque estudiemos todos los mecanismos independientes, es posible queel mecanismo para el cual el factor de carga sea el mnimo absoluto, no seauno de los estudiados, sino una combinacin de ellos. Para realizar las com-probaciones de equilibrio sobre dichas combinaciones, el Principio de los Tra-bajos Virtuales proporciona una tcnica sencilla, pues no hace falta ms quecombinar las ecuaciones del Principio de los Trabajos Virtuales de equilibriootbenidas anteriormente sumndolas, ponderadas de modo que se anulen losgiros en algunos nudos (puesto que stos sern los casos ms desfavorables,o los mecanismos ms probables).

42


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Por ltimo se aplica el teorema del mximo, que consistir en calcular

la ley de momentos completa para el mecanismo seleccionado y comprobarque en ningn punto se sobrepase el momento plstico. Si sto es as, noshabremos asegurado de que dicho mecanismo es el que se producir en larealidad.

4.1.3. Secciones crticas

En primer lugar sabemos que los nicos puntos de la estructura donde sepueden formar rtulas plsticas son los A,B ,C,DyE, donde hay cambiosde pendiente o valores extremos en la ley de momentos flectores. En el caso

de que no haya cargas distribuidas, las leyes de momentos se compondrnde segmentos rectos, con lo que los extremos slo pueden aparecer en lospuntos de aplicacin de cargas o en los extremos de las barras, mientras quesi hay cargas distribuidas, a estas posibles secciones crticas hay que aadirlos puntos donde las leyes de flectores presenten extremos. Recurdese cmoestos casos se dan en el ejemplo dedicado a barras.

4.1.4. Nmero de mecanismos independientes

El nmero de mecanismos independientes es igual al nmero de ecuaciones

de equilibrio que se pueden plantear independientemente, y ser igual alnmero de secciones crticas o extremos locales de la ley de momentos menosel grado de hiperestatismo,

No mecanismos independientes= Secciones crticas GHT

Las secciones crticas o extremos en la ley de flectores se pueden produciren los lugares donde hay cargas puntuales, en los vientres de las leyes curvas,y en los extremos de cada barra.

El grado de hiperestatismo total (GHT) de una estructura de nudos rgi-dos se puede calcular por el mtodo del rbol, que consiste en contar cuntoscortes hay que hacer en la estructura para que no aparezcan bucles cerrados.El grado de hiperestatismo ser igual al nmero de estos cortes multiplicadopor tres. Posteriormente se reducir segn las rtulas y apoyos no empotra-dos.

El nmero de mecanismos independientes coincide con el nmero de ecua-ciones de equilibrio independientes que se pueden plantear, con objeto dedeterminar las leyes de esfuerzos.

Ntese que hay casos particulares en los que esta frmula puede dar lugara confusin. Hay estructuras cuyo grado de traslacionalidad no se obtiene

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correctamente con la frmula GT = 2n

b

rL, dando un nmero negativo

debido a que se est teniendo en cuenta demasiadas veces el criterio de inex-tensibilidad de barras, con lo cual hay que corregir el NMI aumentndolaen este nmero. Estudiese el caso de una viga biempotrada con una cargaen el centro, que tendr un NMI = 1real, o el caso de una Tcon sus tresextremos empotrados y cargas puntuales en medio de las tres barras, quetiene un NMI = 4real. Considrese que estas estructuras son exactamentelas mismas si se sustituye uno de los empotramientos horizontales por unadeslizadera horizontal, con lo cual la frmula anterior s que proporcionarel NMI real.

4.2. Mecanismos de colapso

Sobre el ejemplo de la Fig. 4.1 veremos cules son los mecanismos que seproducen. No pretenden ser una exposicin generalizada, sino una muestrade los ms usuales.

4.2.1. Mecanismo de cimbreo

En este movimiento, descrito en la Fig. 4.2, dado que asumimos la hip-tesis de pequeos desplazamientos, la viga superior se desplaza como slido

rgido lateralmente, sin sufrir ningn descenso la carga vertical.

5 10

Figura 4.2: Mecanismo de cimbreo (a).

El Principio de los Trabajos Virtuales nos proporciona:

5 5= 20 (+ + + ) = 3,2Ntese que en mecanismos de colapso, el momento en la rtula plstica

siempre se produce en la direccin de giro de dicha rtula, resultando que lasrtulas plsticas siempre dan trabajos virtuales positivos.

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4.2.2. Mecanismo de barra

En pequeos desplazamientos virtuales los puntos B y D no se acercanni alejan (Fig. 4.3), con lo que los puntales no flectan y la carga horizontalno observa desplazamiento:

5 10

2

Figura 4.3: Mecanismo de barra (b).

10 4= 20 (+ 2+ ) = 2

4.2.3. Mecanismos combinadosEl nmero de mecanismos independientes para la estructura del ejemplo

es de dos, que es la diferencia de cinco secciones crticas ( A E) menostres grados de hiperestatismo. Esto significa que los mecanismos que se hanidentificado hasta aqu son los dos independientes. Pero en general hay in-finitos mecanismos de colapso posibles, que sern combinaciones lineales delos anteriores, y no sabemos cul es el crtico. Sin embargo no es necesariocomprobar los infinitos mecanismos, sino slo aquellos en los que el nmerode rtulas que se forman sea el mnimo necesario para que se produzca elcolapso.

Con el objeto de que todo mecanismo tenga un slo grado de libertad ,es necesario que el movimiento obtenido en la Fig. 4.4 por combinacin de losanteriores no forme rtula en el punto B o D. En el primer caso se obtiene elmecanismo (c)como (c) = (a) + (b). En el segundo se obtiene el mecanismo(d) = (a) (b).

Dado que el mecanismo(d)se mueve de un modo antinatural consideran-do las fuerzas, podemos intuir que su factor de carga ser excesivamente alto,por lo que no consideraremos este caso y nos quedaremos con el mecanismo(c):

45


53/76


105

2

2

510

22

Figura 4.4: Mecanismos combinados (c) (izquierda) y (d) (derecha).

5 5+ 10 4= 20 (+ 2+ 2+ ) = 1,846

Por el teorema del mnimo, habiendo estudiado todos los mecanismosprobables, se deduce que ste ltimo (c) ser el real (crtico). La ley demomentos flectores se compone de los tramos rectos descritos en la Fig. 4.5entre los que queda por determinarMB. El modo ms rpido de despejaresta incgnita es mediante el Principio de los Trabajos Virtuales haciendo

uso de un estado virtual como el indicado, donde se ha introducido una rtulaficticia en B:

MB

MB MB

9.23KN

18.46KN

222

Figura 4.5: Diagrama de momentos flectores y estado virtual auxiliar parasu determinacin con el Principio de los Trabajos Virtuales.

18,46 4= MB + 20 (2+ ) MB = 13,85

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4.2.4. Mecanismos completo, parcial y sobrecompleto

Para saber cuntos mecanismos combinados hay que estudiar, es necesa-rio conocer los posibles nmeros de rtulas que provocan el colapso de unaestructura. El total de los mecanismos de colapso se puede clasificar en trestipos, atendiendo al nmero de rtulas plsticas que intervienen en ellos:

Se denomina mecanismo de colapso completoal que genera un esta-do de equilibrio estticamente determinado y contiene una rtula msque el grado de hiperestatismo de la estructura. ste es el caso de losmecanismos de cimbreo y combinado del ejemplo anterior.

Un mecanismo de colapso es sobrecompleto si se forman ms rtu-las plsticas que las necesarias para el colapso. Un caso as tiene msde un grado de libertad y no se debe analizar, puesto que ser el re-sultado de varios mecanismos simultneos que han de ser analizadosindependientemente.

Un mecanismo de colapso es parcial si se forman menos rtulas pls-ticas que las necesarias para el colapso completo. ste es el caso delmecanismo de barra en el ejemplo anterior.

Es evidente que en el caso particular de que una estructura sea isosttica,la aparicin de una sola rtula determina el colapso completo.

Cuando un prtico sufre colapso parcial, la ley de esfuerzos flectores noes nica. An as, se satisface el teorema de unicidad.

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55/76


Prctica 2

Veamos sobre el ejemplo siguiente la aplicacin de la combinacin de meca-nismos para conocer la carga de colapso.

Solucin 2

El nmero de mecanismos independientes se deduce a partir del conocimiento

de que la ley de momentos tiene 5 extremos, y el grado de hiperestatismode la estructura es 3, con lo que existen 2 mecanismos independientes. Sepueden definir los dados en la figura.

2

32

Aplicando el Principio de los Trabajos Virtuales a cada uno de los casosse obtiene el valor de Pque origina el mecanismo. Para el mecanismo (a),

Mp

+

3

2+

1

2

= 2P L Pa =3Mp

2L

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mientras que para el mecanismo (b),

Mp(4) = 2P L Pb =2MpL

Si no hubiera ms mecanismos posibles, la carga de colapso sera Pa, perose pueden imaginar como posibles mecanismos las combinaciones de ambostales que Ano plastifique o B no lo haga.

32

32

32

32

2

2

La carga de colapso del primer caso se puede obtener sumando la primeraecuacin de equilibrio a la segunda, con cuidado de compensar los signos, con

lo que los giros de la rtula Ase anulan,

Mp

+

3

2+

3

2+

= 2P L+ 2P L Pc =5Mp

4L

y la segunda combinacin consiste en restarle a la primera la segunda multi-plicada por 1/2, con objeto de que los giros en B se anulen,

Mp

1

2+

3

2+

3

2+

1

2

= 2P L P L Pd =4Mp

L

Se deduce que el mecanismo crtico es el (c), con una carga mnima decolapso de P = 5Mp4L

. Para comprobar que no hemos olvidado ningn me-canismo calcularemos la ley de momentos y comprobaremos que en ningnpunto se excede el momento plstico.

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Mp

Mp

Mp

2

MpMp

Prctica 3

Calculemos el factor de carga ante colapso para el prtico de la figura, cuyospilares tienen un momento plstico de 20 kNm y las vigas 36 kNm.

3m

6m 6m

10KN

5KN/m

Solucin 3

Este caso tiene la peculiaridad de que la carga no est en los nudos sinodistribuida, con lo cual no sabemos a priori en qu puntos exactamente seproducirn las rtulas plsticas. Puesto que tenemos varios vanos, es dema-siado complicado trabajar con leyes exactas, por lo que se proceder portanteos a acotar sus valores. El nico mtodo prctico para refinar este va-lor, una vez acotado, es el uso de programas de clculo que usen la teoraelasto-plstica, capaces de hacer muchas ms operaciones que nosotros.

En primer lugar asumiremos que las rtulas plsticas de los vanos se vana formar en sus puntos centrales. De este modo, los mecanismos razonables

50


58/76


son los descritos en las figuras.

6m

10KN

3m3m

3m

10KN

5KN/m5KN/m

10KN

10KN

5KN/m

5KN/m

10KN

5KN/m

Para plantear el problema recurriremos al teorema del mnimo, en el cualtenemos que estudiar todos los mecanismos de colapso probables, plantear lacondicin de mecanismo y despejar para cada uno el factor de carga.

El nmero de mecanismos independientes se deduce a partir del conoci-miento de que la ley de momentos tiene 7 extremos (5 alrededor de nudos, y2 en los mximos de las parbolas), y el grado de hiperestatismo de la estruc-tura es 3, con lo que existen 4 mecanismos independientes. Se pueden definirlos dados en las siguientes cinco figuras (se ha omitido el relacionado con elnudo central, definido por tres rtulas plsticas alrededor de las tres barrasque a l convergen, y que no viene excitado). Antes de continuar, cuando una

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59/76


rtula plstica se forma en la unin de dos barras de distinta capacidad, se

producir en el extremo de aquella que sea ms debil. En el caso de que seantres las barras convergentes, puede producirse en cualquiera de ellas: aquellaen la que el momento flector antes alcance el plstico asociado a esa barra.

Mecanismo de barra (a) La aplicacin del PTV para el establecimientode ecuaciones de equilibrio requiere de su versin para fuerzas distribuidas,

ni=1

{Hiui + Vivi + Mii } +bk=1

L0

(pkxuk +pkyv

k) dx=r

j=1

Mjj

donde la ley de desplazamientosvk es una funcin compuesta de segmentosdefinida a partir de . Por tanto el primer trmino no nulo de trabajo virtualexterno proviene de la integral del esfuerzo constante (5, que se saca de laintegral por constante), multiplicada por la integral de la ley triangular dedesplazamientos (de base 6m y altura 3, dando un rea de 9m).

5 9= 20+ 36 3 = 2,844

Mecanismo de cimbreo (b)

10 3= 20 3 = 2,0Mecanismo combinado (c)

5 9+ 10 3 = 20 2+ 36 3 = 1,973

Mecanismo combinado (d)

5 9+ 10 3 = 20 3+ 36 3 = 2,240

Mecanismo combinado (e)

2 5 9+ 10 3= 20 2+ 36 6 = 2,133

De esto se deduce que el mecanismo combinado (c) es el crtico, con unfactor de carga frente a colapso de 1.973. Se producen cuatro rtulas plsticas,lo que suma uno ms que el grado de hiperestatismo, que es tres.

El segundo paso para completar este problema es aplicar el teorema delmximo, en el que estableciendo las condiciones de equilibrio y plastificacinsobre la estimacin anterior acotaremos inferiormente el factor de carga. Para

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1 2 3

4

5 76

establecer la plastificacin se proceder a calcular el diagrama de momentos

flectores mediante ecuaciones de equilibrio, y acotarlo en las secciones crticas1 a 7. Para calcular esos siete valores, siendo el grado de hiperestatismo 3,podemos establecer 7-3=4 ecuaciones de equilibrio, de las cuales una ya seha utilizado para determinar el mecanismo de colapso, lo cual nos deja tresecuaciones de equilibrio, que obtendremos utilizando el PTV.

Usando el mecanismo virtual (1)

9,867 9= M1 + 3 36 M1 = 19,2 kNm

M5

5= 9.867KN/m

36 2036

19.73KN19.73KN

9.867KN/m

M6

2016M1

Por equilibrio de momentos del nudo central

M5 = 36 20 = 16 kN m

Usando el mecanismo virtual (2)

9,867 9= (16 + 20)+ 2M6 M6 = 26,4 kN m

53


61/76


36

36

2020

16

19.2

26.4Mmax

El diagrama de momentos resultante se puede calcular y representar en lafigura. Se puede observar que el momento plstico de 36 kNm se excede en elvano de la viga izquierda, por lo que no se cumple el criterio de plastificacin,y podemos decir por el teorema del mximo que = 1,973 es superior alcrtico. . Calculando la viga como una viga biapoyada con carga distribuida9.867 kN/m y con momentos flectores 19.2 kNm a la izquierda y 36 kNm ala derecha, se puede calcular que el momento flector mximo se produce a2.0675 m del extremo izquierdo y tiene un valor de 40.29 kNm. Tomando estaeleccin de distribucin de tensiones, y buscando el nuevo factor de carga talque se cumpla el criterio de plastificacin,

= 1,973 36

40,29= 1,763

podemos concluir que dicho factor de carga es inferior al crtico y por tantouna cota inferior, es decir,

1,973 c 1,763

Si esta acotacin no es lo suficientemente precisa, se puede repetir elclculo posicionando la rtula en el lugar predicho anteriormente, y obtenerdos nuevas cotas superior e inferior ms ajustadas.

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62/76


Prctica 4

Calclese el momento plstico necesario para que colapse la estructura y eldiagrama de momentos flectores resultante para el prtico de la figura, en elque las columnas tienen un momento plstico distinto del de las vigas.

1

2 3 6 7 8

910

4520KN

40KN 60KN

Mp Mp Mp

2M p 2Mp

6m

3m 3m 3m 3m

Solucin 4

La particularidad de este caso es que se pueden presentar mecanismos decolapso parcial, segn los cuales parte de la estructura continua en rgimenelstico. El nmero de secciones crticas es diez, numerados en el enunciado,seis para los nudos, otros dos en los centros de los vanos superiores, donde haycargas aplicadas, y dos ms porque el nudo central superior puede generartres rtulas distintas. Puesto que el grado de hiperestatismo de la estructuraes seis, el nmero de mecanismos independientes es cuatro. De ellos dos sonincompletos, y vamos a estudiar los tres probables y sus combinaciones msplausibles. Procediendo de modo similar al caso anterior, utilizamos el PTVpara establecer ecuaciones de equilibrio necesarias para definir la carga decolapso para los distintos modos.

Mecanismo parcial izquierdo (a)

120= 7Mp Mp = 17,2 kNm

Mecanismo parcial derecho (b)

180= 7Mp Mp = 25,7 kNm

55


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20

40 60

40 60

20

20

6040 40 60

20

2040 60

2040 60

Mecanismo de cimbreo (c)

120= 6Mp Mp = 20,0 kN m

Mecanismo combinado 1 (d)

300= 12Mp Mp= 25,0 kN m

Mecanismo combinado 2 (e)

240= 11Mp Mp= 21,8 kN m

Mecanismo combinado 3 (f)

420= 17Mp Mp= 24,7 kN m

Por tanto se deduce que el mecanismo de colapso es aquel que requiereun mximo momento plstico, es decir el mecanismo parcial derecho, con

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64/76


20

40 60

25.751.4

51.4

Mp = 25,7 kN m. Los datos conocidos quedan resumidos en la siguientefigura.

Debido a que parte de la estructura se conserva en rgimen elstico, re-sulta problemtico encontrar la ley de momentos flectores, pues el nmero deecuaciones de equilibrio disponibles para encontrar los nueve valores definito-rios de la ley de momentos (en las secciones crticas), es deN SCGHT = 4(ya que por cada estado virtual independiente podremos escribir del PTVuna ecuacin de equilibrio independiente), de las que una ya se ha usadopara determinar Mp. El resto de las ecuaciones necesarias son de compatibi-lidad y comportamiento, que a su vez depende de la historia de carga. Puestoque el mecanismo parcial slo nos especifica los momentos (Mp) en tres delas secciones (donde se forman las rtulas), quedan10 3 = 7incgnitas por

determinar. La diferencia7 3 = 4 nos da el nmero de momentos que nopodemos conocer por equilibrio. Slo podemos decir de ellos que, de acuerdoal criterio de plastificacin, no superarn el valor de Mp.

Pero podemos hacer una estimacin fijndonos en que el mecanismo decolapso ms cercano al real, el (d), involucra a las secciones 1, 2, 4, 7, 8, 9y 10, por lo que podemos estimar que los momentos en esos lugares sernmuy prximos a los plsticos. Es decir, que podemos asignar cuatro valoresde modo aproximado, como por ejemplo, M2 = 25,7kNm,M4= 51,4kNm,M9 = 25,7 kN m y M10 = 25,7 kN m. Si eligiramos otras combinacionesobtendramos otras leyes de momentos flectores que acabaran acotando losvalores reales.

Las otras tres ecuaciones de equilibrio son,

PTV usando el estado virtual de la viga superior izquierda

40 3= (27,5 + 51,4 + 2M3) M3= 47,15 kN m

Equilibrio en el nudo central superior

M5 = 0 kN m

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51.4

40KN

M3

25.7

PTV usando el estado virtual de cimbreo

2040 60

25.7 25.7M5 = 0

M1 M9M10

20 6= (27,5 + 0 + 27,5 + M1+ M9+ M10) M1 = 17,1 kN m

Con ello, la ley de momentos flectores resulta como en la figura, y sus va-lores son bastante aproximados a los obtenidos por un mtodo computacionalelasto-plstico, que es el nico mtodo prctico para aproximarse mejor a lasolucin exacta.

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66/76


25.7 25.7

25.725.717.1

51.4

51.447.1

59


67/76


60


68/76

Captulo 5

Dimensionamiento ptimo

ndice5.1. Simplificaciones

5.2. Formulacin general

5.3. Teoremas

Una cuestin de gran inters para aprovechar del mejor modo los recursosnaturales y humanos disponibles, que se puede interpretar como reducir cos-

tes, es optimizar la estructura. Esta optimizacin se puede definir de muchosmodos, pero uno muy usual es la minimizacin de su coste econmico.

A continuacin se describe un mtodo para la determinacin de este p-timo bajo una serie de simplificaciones que pueden mostrar una cierta dis-crepancia con la realidad y predecir economas mayores a las reales. Todoel proceso se realiza asumiendo una topologa prefijada de la estructura, esdecir, se prescribe el nmero, posicin y conexin de las barras que formanla estructura, y se deja como variable a optimizar la seccin de cada una.

5.1. SimplificacionesEl primer problema es establecer el criterio de optimalidad. El coste de

una estructura es una compleja interaccin entre el coste de los materialesbsicos con el coste de su manipulacin, montaje y gestin. Muchos de estosfactores no son ponderables fuera de la oficina del fabricante y proyectista.Para salvar esto se hace la hiptesis simplificatoria de que el coste total esuna funcin lineal del material utilizado (peso), con una componente directa(pendiente) y una indirecta (constante). Esto viene corroborado por unabuena correlacin al comparar peso y coste de los elementos comerciales.

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Cap. 5. Dimensionamiento ptimo G. Rus

Por otra parte vamos a suponer una disponibilidad de dimensiones de ba-

rras con un espectro continuo, aunque entre los elementos comerciales puedehaber saltos de hasta un 10 %entre un tamao y el siguiente.

En tercer lugar, se desprecia el efecto de esfuerzos axiles y cortantes en lacapacidad del momento plsticoMp y se supone una correlacin lineal entresu valor y la cantidad de material de la barra. En general, aunque existencorrelaciones que se aproximan a P = M0,6p , esta ltima simplificacin in-duce a errores del orden del 1% si la razn de momentos es de 2:1, lo cualdaremos por admisible.

De estas hiptesis se puede reducir el problema de optimizacin al de laminimizacin del peso P, que se puede a su vez representar para un nico

elemento como una funcin del momento plstico del tipo,

P=a+ bMp

En el caso de que tengamos varias barras con sus respectivos momentosplsticos, el peso ser,

P =ab

j=1

Lj+ bb

j=1

LjMpj

y puesto que el primer sumando es una constante de la estructura, la mini-mizacin de Pes equivalente a la minimizacin de una cantidad Z,

Z=b

j=1

LjMpj

5.2. Formulacin general

Las condiciones que la estructura ptima ha de cumplir son las de equili-brio, mecanismo y plastificacin. El procedimiento general consistir en bus-car todos los mecanismos de colapso posibles y establecer mediante el PTVlas ecuaciones de equilibrio que los definen. Si en el PTV imponemos quelas cargas externas sean las reales y el momento plstico en cada estado seainferior igual al momento plstico real requerido (Mpj Mj), cada una deesas ecuaciones, para que cumplan la condicin de plastificacin, tendrn laforma de desigualdad, dado que las combinaciones de momentos plsticosptimos sern superiores a las establecidas por cada mecanismo de colapsoindividualmente.

62


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Esto lleva a definir el problema de optimizacin bajo rgimen plstico

como la minimizacin,

minMpj

Z=b

j=1

LjMpj

sujeto a las condiciones,

bj=1

IjMpj ni=1

Hiu

Ii + Viv

Ii + Mi

Ii

b

j=1

IIj Mpj

n

i=1HiuIIi + VivIIi + MiIIi

...

Esta es una formulacin tpica de problemas de optimizacin con restric-ciones, para las que existen tcnicas computacionales muy bien adaptadasllamadas de programacin lineal, para cuya solucn existen paquetes comer-ciales estndar as como de libre distribucin.

Esta formulacin se ilustra con el primer ejemplo al final de este captulo.

5.3. Teoremas

Existe un procedimiento debido a Foulkes (1954) que trata de sistematizaralgunas cuestiones de la formulacin antedicha, aprovechando la estructurade las desigualdades obtenidas por el Principio de los Trabajos Virtuales, yse basan el el concepto de mecanismo compatible en peso.

Se pueden combinar dos a dos las ecuaciones de equilibrio obtenidas por elPrincipio de los Trabajos Virtuales mediante la definicin de un giro indepen-diente correspondiente a cada mecanismo de colapso, I y II y su posteriorsuma queda,

b

j=1

IjMIpj+

IIj M

IIpj

n

i=1HiuIi + VivIi + MiIi + HiuIIi + VivIIi + MiIIi

Se define un mecanismocompatible en pesocomo aquel compuesto pordos estados de modo que se puede encontrar una combinacin de I y II,tal que los coeficientes que afectan a Mpj sean los mismos que afectan a lafamilia Z =

bj=1 LjMpj . Grficamente, un mecanismo compatible en peso

representa una interseccin de dos ecuaciones de equilibrio cuyo vrtice escapaz de albergar la pendiente de la familia Z =

bj=1 LjMpj , o, en otras

palabras, definen un vrtice tangente a la familia de curvas de peso, y portanto candidato a ser el ptimo.

63


71/76

Cap. 5. Dimensionamiento ptimo G. Rus

Teorema de Foulkes de existencia Si el diseo de un prtico se especifi-

ca mediante n valores diferen

Calculo Plastico Rotulas Plasticas

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