Calculo Numerico Modulo 1
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Cálculo Numérico
Aula 1 - Apresentação
1- Conteúdo Programático
- Conceitos iniciais e Princípios Gerais do Cálculo Numérico;
- Teoria dos Erros;
- Aritmética de Ponto Flutuante;
- Método do Meio Intervalo (MMI);
- Método da Falsa Posição (MFP);
- Método de Newton-Raphson (MNR);
- Método das Secantes (MS);
- Revisão e Exercícios;
1ª Avaliação
1- Conteúdo Programático
- Método da Eliminação Gaussiana;
- Método da Fatoração LU;
- Método de Gauss-Jacobi;
- Método de Gauss-Seidel;
- Método dos Mínimos Quadrados (MMQ);
- Interpolação Polinomial;
- Revisão e Exercícios;
2ª Avaliação.
2- Bibliografia
Básica
- SPERANDIO, Décio. MENDES, João Teixeira. MONKEN, Luiz Henry. Cálculo
Numérico:Características matemáticas e computacionais dos métodos numéricos. 1a
edição. Prentice Hall;
- RUGGIERO, Márcia A. Gomes. Cálculo Numérico - Aspectos Teóricos e
Computacionais. 2a edição.Pearson Education, 1996;
- BARROSO, L., BARROSO, M.M.A, CAMPOS-FILHO, F.F. ET AL. Calculo numérico
com aplicações. Harbra, 367p. 1997.
Complementar
- SANTOS, José Dias dos. SILVA, Zanoni Carvalho da. Métodos Numéricos. 1a
edição. Editora Universitária.
4- OBJETIVO
- Propiciar ao estudante o conhecimento dos principais processos
numéricos utilizados pela análise numérica;
- Mesmo quando a solução analítica é difícil de ser obtida, as
técnicas numéricas podem ser empregadas sem maiores
dificuldades.
Ex1:
?
012 =−x
02 =− senxx
1±=x
Aula 1 - Conceitos Iniciais
1- OBJETIVO
- Propiciar ao estudante o conhecimento dos principais processos
numéricos utilizados pela análise numérica;
- Mesmo quando a solução analítica é difícil de ser obtida, as
técnicas numéricas podem ser empregadas sem maiores
dificuldades.
2 – PROBLEMA NUMÉRICO
Considera-se que um problema é numérico quando tanto os dados de
entrada como os resultados (dados de saída) são conjuntos numéricos
finitos.
Ex: Determinar as soluções da equação:
É um problema numérico, pois os dados de entrada e de saída
são conjuntos numéricos finitos.
01007055011020)( 23456 =−+−+−−= xxxxxxxf
3 – MÉTODO NUMÉRICO
É um conjunto de procedimentos utilizados para resolver um problema
numérico.
A escolha do método envolve:
a) Precisão desejada;
b) Capacidade do método em conduzir aos resultados desejados;
c) Esforço computacional.
3 – MÉTODO NUMÉRICO
Método A B
X = 2 X = 1,98 X = 1,999999
Qual é o melhor método? A ou B?
Método A B
- T = 15s T = 1 min
4 – ALGORÍTMO
É a descrição seqüencial dos passos que caracterizam um método
numérico.
5 – ITERAÇÃO
É a repetição de um processo numérico dentro do algorítmo. Envolve
os seguintes elementos:
a) Tentativa inicial;
b) Equação de recorrência;
c) Teste de parada.
a) Tentativa inicial: é a primeira aproximação para a solução desejada.
b) Equação de recorrência: é a equação característica de cada método, por
meio da qual, partindo-se da tentativa inicial, são realizadas as iterações.
c) Teste de parada: instrumento por meio do qual o procedimento iterativo é
finalizado. É uma verificação da convergência do método.
6 – ERROS
Procurando-se a solução do modelo matemático com o uso do cálculo
numérico, podem-se obter erros de diversas fontes, sendo as
principais:
a) Erros nos dados de entrada;
b) Erros no estabelecimento do modelo matemático;
c) Erros de arredondamento;
d) Erros de truncamento;
e) Erros humanos.
7 – ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
Sistema utilizado pelas máquinas para representar os números. Um
número x, na base beta, pode ser representado por:
, ouβ)...,...( 21011 nmm bbbaaaax −=n
nm
mm
m bbbaaaax −−−−− ⋅++⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅= βββββββ ...... 2
21
10
01
11
1
miai ...2,1,0, =
njb j ...2,1, =
Exemplo:
Número Representação
(1995)10
(19,95)10
(0,1995)10
(10111)2
7 – ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
As máquinas utilizam a aritmética de ponto flutuante para representar
os números e executar as operações.
Um número real, na base beta, em aritmética de ponto flutuante de t
dígitos, tem a forma geral:
Onde:
é a mantissa ou significando
E é o expoente que está entre (m, M)
(m, M) são números inteiros que dependem da máquina utilizada
Etdddd β×⋅⋅± )...,0( 321
)...,0( 321 tdddd ⋅⋅
7 – ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
Se d1 é diferente de zero, diz-se que o número está normalizado.
Um número não poderá ser representado na máquina se o expoente E
estiver fora dos limites m e M.
Um sistema de ponto flutuante depende das seguintes variáveis:
),,,( MmtF β
Exemplo:
Número Representação
-279,15
10,093
0,000007
718235,82
)4,4,3,10( −F
Aula 2 – Raízes de FunçõesMétodo do Meio Intervalo
Método da Falsa Posição
Solução de Equações Polinomiais, Algébricas e Transcendentais
Uma equação desse tipo é representada por:
(1)
Tipos de equações:
(a)
(b)
(c)
(polinomial)
(transcendental)
(algébrica)
0)( =xf
0100104 35 =−+− xxx
01)( =−⋅ xtgx
0202
13
=−+
xx
As soluções da Equação (1) são chamadas de raízes ou zeros da
função.
“É o ponto onde a função f(x) intercepta o eixo x”
Métodos Numéricos para o cálculo de Raízes Reais e Simples
Considere
(a) Esboçando o gráfico da função f.
(b) Obtendo valores da função f verificando se para dois valores
consecutivos os seus sinais são opostos.
uma raíz real. Como podemos localizar ?
Ex:
Intervalos
α α
2][2,010)( 4 =−−= xxxf
2][1,75;
1,5]-[-1,75;
1- MÉTODO DO MEIO INTERVALO (MMI)
É um método para localização de raízes.
Consiste em obter um intervalo que contém a raiz
Algoritmo
1) Determina-se o ponto médio mk do intervalo:
da equação (1),
dividi-lo ao meio sucessivamente, mantendo a raiz enquadrada, até
aproximar-se suficientemente dela.
2
)( 11 −− += kkk
bam
α
1- MÉTODO DO MEIO INTERVALO (MMI)
Algoritmo
2) Calcula-se f(mk). Se f(mk) = 0 então mk é a raíz.
Caso contrário, toma-se novo valor (ak, bk).
3) O processo é repetido até que a raiz seja encontrada tomando
como referência um erro previamente estabelecido.
),( kk ba
0)()( 1 <⋅ −kk afmf
0)()( 1 >⋅ −kk afmf
),( 1 kk ma −
),( 1−kk bm
2- MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO (MFP)
O MFP toma a média aritmética ponderada entre a e b com pesos
módulo de f(b) e de f(a), ao invés de tomar a média aritmética.
)()(
)()(
)()(
)()(
afbf
afbbfa
afbf
afbbfaxk −
⋅−⋅=+
⋅+⋅=
Aula 3 – Raízes de FunçõesMétodo de Newton-Raphson
Método das Secantes
3- MÉTODO DE NEWTON RAPHSON (MNR)
Dada a equação f(x)=0, e partindo-se da forma geral para ,
queremos obter A(x), tal que
O que esse método faz, na tentativa de garantir e acelerar a
convergência, é escolher para a equação de recorrência a função
tal que . )(xφ )(xφ ′)(xφ
0)( =′ αφ)()()( xfxAxx ⋅+=φ
)()()()(1)( xfxAxfxAx ′⋅+⋅′+=′φ
3- MÉTODO DE NEWTON RAPHSON (MNR)
, como
, como
)()()( xfxAxx ⋅+=φ
)()()()(1)( xfxAxfxAx ′⋅+⋅′+=′φ
)()()()(1)( αααααφ fAfA ′⋅+⋅′+=′
)()(1)( αααφ fA ′⋅+=′
0)( =αf
0)( =′ αφ
0)()(1)( =′⋅+=′ αααφ fA
)(
1)(
αα
fA
′−=
)(
1)(
xfxA
′−=
3- MÉTODO DE NEWTON RAPHSON (MNR)
Então, dada uma função f(x), a equação de recorrência será:
A raiz pode ser determinada por:
Neste método há a garantia de convergência, desde que a
aproximação inicial for suficientemente próxima da raiz.
)(
)()(
xf
xfxx
′−=φ
)(
)(1
k
kkk xf
xfxx
′−=+
4- MÉTODO DAS SECANTES (MS)
Podemos substituir a derivada da função pelo coeficiente das
diferenças:
Baseia-se no MNR, entretanto, não é necessário o cálculo da
derivada da função.
Onde:
são duas aproximações para a raiz.
1
1)()()(
−
−
−−≅′
kk
kk
xx
xfxfxf
1−− kk xx
4- MÉTODO DAS SECANTES (MS)
Nese caso, a equação de recorrência fica:
1
1)()()(
)(
−
−
−−−=
kk
kk
kkk
xxxfxf
xfxxφ
)()()(
)()( 1
1−
−
−×−
−= kkkk
kkk xx
xfxf
xfxxφ
)()(
)()()(
1
111
−
−−+ −
⋅−⋅==kk
kkkkkk xfxf
xfxxfxxxφ