Cálculo numérico clase n° 3 blog
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Clase III
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El error máximo de la suma es igual a la suma de los errores
máximos de los sumandos.
Error de la suma
El error máximo de una diferencia es igual a la suma de los
errores máximos del minuendo y del sustraendo.
Error de una diferencia
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Si las cantidades están multiplicadas o divididas, los errores
de las mismas deben ser convertidos en relativos y luego
sumados. Entonces por ejemplo: el error relativo de un
producto es igual a la suma de los errores relativos de los
factores.
Error de un producto o de una división
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El error relativo de expresión está dada por:
Error de un producto o de una división
Ejemplo
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Error de un producto o de una división
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Cualquier otro valor del área estará comprendido entre el
máximo y el mínimo valor.
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Los correspondientes errores residuales o desvíos del área son:
Redondeando estas cantidades a dos decimales, obtenemos el
error máximo del área es:
De manera que el valor del área será:
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A parte de los errores considerados, existen dos tipos más de
errores de carácter estrictamente matemático, que aparecen en
los procesos de cálculo aritmético.
Estos errores se los conoce como errores por truncamiento y
errores por redondeo.
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Error por truncamiento
El error por truncamiento cosiste en representar de manera
aproximada un procedimiento matemático exacto.
Los errores de truncamiento o discretización provienen, por
ejemplo, de la sustitución de una expresión continua por otra
discreta (por ejemplo al aproximar la derivada de f por una
expresión en diferencias).
Otro caso donde aparecen errores de truncamiento es al
aproximar un proceso infinito por uno finito (por ejemplo,
truncando los términos de una serie).
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Error por truncamiento
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Error por redondeoLos errores por redondeo son mucho más frecuentes que los
errores por truncamiento y se producen cuando por distintas
razones, como por ejemplo: número limitado de dígitos de la
computadora o de la calculadora, datos de entrada
aproximados, uso de tablas, etc. la maquina toma solamente un
numero finito de dígitos en el proceso de cálculo. Una
computadora típica trabaja con una cantidad reducida de
dígitos, en consecuencia la operación de redondeo ocurre con
frecuencia. El redondeo consiste en representar de manera
aproximada un número exacto.
El redondeo para aproximar un número a su verdadero valor se
puede hacer de dos maneras:
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Error por redondeoSuprimiendo directamente la fracción decimal a partir de “k”
dígitos significativos. Este procedimiento se llama redondeo
por cortadura.
Sumando uno al último digito retenido si el primer número
que se pierde es mayor que 5. Dicho de otra manera, el último
digito retenido se aumenta en 1 si el primer digito descartado
es mayor que 5, de otra manera se deja igual. Si el primer
digito descartado es 5 o es 5 seguido de ceros, entonces el
último digito retenido se aumenta en 1, solamente si es impar.
Este segundo procedimiento se conoce como redondeo
simplemente.
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Error por redondeo
Si bien es cierto que el costo computacional es mayor cuando
se utiliza el redondeo simple, ya que el tiempo de
procesamiento y la memoria utilizada es mayor, la mayoría de
las computadoras utilizan este sistema para salvar la escasa
extensión de palabra o capacidad de dígitos que tienen.
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Error por redondeo
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Error por redondeo
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Error por redondeo
Observaciones:
En general, el redondeo en las operaciones con una
cantidad de dígitos finitos conduce a resultados con
aproximaciones muy aceptables, pero hay dos
situaciones que pueden resultar críticas en la
aplicación de algunos métodos numéricos y producir
error de importancia.
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Error por redondeo Hay algunos métodos numéricos que requieren de un gran
número de iteraciones para obtener un resultado
satisfactorio, y a menudo los sucesivos cálculos dependen
de los anteriores. En consecuencia aunque un error de
redondeo individual resulte pequeño, su acumulación en las
sucesivas iteraciones puede hacer que dicho error se
transforme en un error significativo.
El error de redondeo puede resultar de mucha importancia
cuando se llevan a cabo operaciones algebraicas que
emplean números muy pequeños y muy agrandes
simultáneamente.
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Reglas de RedondeoSi bien es cierto que estas reglas no se aplican cuando se
realizan cálculos extensos con computadoras, es importante
tenerlas presente para cuando se tenga que realizar cálculos
manualmente.
1. En el redondeo se conservan las “k” cifras significativas
con que se va a trabajar. El último digito que se conserva
se aumenta en uno si el primer digito descartado es mayor
que 5. De lo contrario se deja igual. Si el primer digito
descartado es 5 o es 5 seguido de ceros, entonces el último
digito retenido se aumenta en 1, solamente si el dígito es
impar.
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Reglas de Redondeo1. 1.- El último digito que se conserva se aumenta en uno si
el primer digito descartado es mayor que 5.
Ejemplo: tomamos k=4;
dígitos
retenid
os
dígitos
descartad
os
Último
dígito
retenido
Primer
dígito
descartado
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Reglas de Redondeo1. 2.- El último digito que se conserva se deja igual si el
primer digito descartado es menor que 5.
Ejemplo: tomamos k=4;
dígitos
retenid
os
dígitos
descartad
os
Último
dígito
retenido
Primer
dígito
descartado
![Page 21: Cálculo numérico clase n° 3 blog](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052601/559558721a28ab18618b45c1/html5/thumbnails/21.jpg)
Reglas de Redondeo1. 3. a.- Si el primer digito descartado es 5 ó es 5 seguido de
ceros, entonces el último dígito retenido se aumenta en 1,
solamente si el dígito es impar.
Ejemplo: tomamos k=4;
dígitos
retenid
os
dígitos
descartad
os
Último
dígito
retenido
Primer
dígito
descartado
![Page 22: Cálculo numérico clase n° 3 blog](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052601/559558721a28ab18618b45c1/html5/thumbnails/22.jpg)
Reglas de Redondeo1. 3. b.- Si el primer digito descartado es 5 ó es 5 seguido de
ceros, entonces el último dígito retenido queda igual, si el
dígito es par.
Ejemplo: tomamos k=4;
dígitos
retenid
os
dígitos
descartad
os
Último
dígito
retenido
Primer
dígito
descartado
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Reglas de RedondeoEjemplos:
3 cifras significativas
4 cifras significativas
2 cifras significativas
5 cifras significativas
2 cifras significativas
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Reglas de Redondeo2. En la suma y en la resta el redondeo se hace de manera
que el último dígito retenido en el resultado corresponda
al último dígito más significativo de los números que se
están sumando o restando. Un dígito de la columna de las
centésimas es más significativo que un dígito de la
columna de las milésimas.
Por ejemplo:
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Reglas de Redondeo2. En la suma y en la resta el redondeo se hace de manera
que el último dígito retenido en el resultado corresponda
al último dígito más significativo de los números que se
están sumando o restando. Un dígito de la columna de las
centésimas es más significativo que un dígito de la
columna de las milésimas.
Por ejemplo:
el último dígito del
primer número es 4
el último dígito del
segundo número es 8
![Page 26: Cálculo numérico clase n° 3 blog](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052601/559558721a28ab18618b45c1/html5/thumbnails/26.jpg)
Reglas de Redondeo2. En la suma y en la resta el redondeo se hace de manera
que el último dígito retenido en el resultado corresponda
al último dígito más significativo de los números que se
están sumando o restando. Un dígito de la columna de las
centésimas es más significativo que un dígito de la
columna de las milésimas.
Por ejemplo:
el último dígito del
primer número es 4
el último dígito del
segundo número es 8
el número de cifras
significativas que
se debe conservar
es 3
![Page 27: Cálculo numérico clase n° 3 blog](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052601/559558721a28ab18618b45c1/html5/thumbnails/27.jpg)
Reglas de Redondeo3. Para la multiplicación y para la división el redondeo es tal
que la cantidad de cifras significativas del resultado es
igual al número más pequeño de cifras significativas que
contiene la cantidad en la operación.
Por ejemplo:
![Page 28: Cálculo numérico clase n° 3 blog](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052601/559558721a28ab18618b45c1/html5/thumbnails/28.jpg)
Reglas de Redondeo4. Para combinación de operaciones aritméticas, existen dos
casos generales.
![Page 29: Cálculo numérico clase n° 3 blog](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022052601/559558721a28ab18618b45c1/html5/thumbnails/29.jpg)