7/27/2019 Clculo integral, Sustitucin trigonomtrica.

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Universidad Abierta y a Distancia de Mxico

Clculo integral

Unidad 3. Mtodos de integracin

Julio Csar Hernndez Cruz

al11503387

2012, Desarrollo de software

Actividad 4. Ejercicios de sustituciones trigonomtricas

1. calcula la integral mediante sustitucin trigonomtrica para cada caso y dibuja el rectngulo asociado.

a)

1x

2x29dx x=3sec dx=3sec tand

3sec tand(3sec)2(3sec)

232= 3sec tan d

9sec23

2(sec21)= 3sec tan d

9sec2 32 tan2

=3sec tand

9sec2(3)( tan)=

1

91

sec d=1

9cos d=1

9 sin

sec=x

3sin= x

29x

= x299 x

+c

b)

1x

2

25x2

dx x=5sin dx=5cosd

5cos d

(5sin)2

52

(5sin)2= 5cosd

5

2

sin

2

52

(1sin2

)= 5cosd

52sin

252cos2= 1

25sin2

d=1

25 csc2 d=cot

25

sin=x

5cot=

25x2

x

=25 x225 x

+c

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c)

1x

3x2+4dx x=2tan dx=2sec2d

2sec2 d

(2tan)3(2tan)2+22= 2sec

2d

23tan

322( tan2+1)

= 2sec2d

23tan

3

2

2sec

2

= secd23tan

3

=1

8 cscd

tan2

=1

8cot 2cscd=1

8(csc21)cscd

=1

8[ csc2csc dcscd]

u=csc du=cot csc dv=csc2 v=cot

=1

8[csccotcot (cotcsc)+lncsc +cot]

=1

8csc cot

1

8cot 2csc+1

8lncsc+cot

2

8cot

2

csc

=

1

8csc

cot

+

1

8ln

csc

+cot

1

8cot 2csc =csccot+lncsc+cot

16

tan=x

2cot =

2

xcsc= x

2+4x

1x

3x2+4dx=

2x2+4

x2

+ln2+x2+4

x 16

=2 x2+4+ x2 ln (2+ x2+4)x2 ln( x)

16 x2

+c

d)

x

(x2+4)5

2

dx= x(x2+4)

5dx x=2tan dx=2sec2d

22tansec2d

(22 tan2+22)5= 2

2tansec2d

(22 sec2)5

= 22tansec2d25sec

5

tand8sec

3=

1

8 tan

sec

1

sec2

d=1

8 sincos2 d

=cos3

24

tan=x

2cos=

2

x2+4

=

8

(x2+4)3

2

24= 1

3 (x2+4)32+c

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e)

1x26x+13

dx= 1x26x+9+4

dx= 1(x3)2+4

dx

x3=2tan x=2tan+3 dx=2sec2 d

2sec2d

22 tan2+22= 2sec

2d

22 sec2=sec d =ln(sec x+tan x)

tan=x

3

2sec=

(

x

3

)

2

+4

2

=ln( x26 x+13+ x32 )+c