Universidad Abierta y a Distancia de México

Cálculo integralUnidad 3. Métodos de integración

Julio César Hernández Cruz al115033872012, Desarrollo de software

Actividad 7. Resolución de integrales

1. Evalúa las siguientes integrales.

∫1

x3−8dx

x3−8=(x−2)( x2+2 x+4)1

( x−2)(x2+2 x+4)=

Ax−2

+Bx+C

x2+2 x+4=A( x2+2 x+4)+(Bx+C)( x−2)=Ax2+A2 x+A4+Bx2−B2 x+Cx−C2

=(A+B) x2+(A2−B2+C )x+(A4−C2)

A +B =0 A=−BA2 −B2 +C =0 C=B2−A2=B2+B2=B4

A4 −C2 =1 −B4−(B4)2=1 B=−112

A=112

C=−412

x2+2 x+4= x2+2 x+4−3+3=x2+2 x+1+3=( x+1)2+3

∫ 1x3−8

dx=112

∫ 1x−2

dx−112

∫ x( x+1)2+3

dx−412

∫ 1( x+1)2+3

dx

∫ x( x+1)2+3

dx=∫ x+1−1( x+1)2+3

dx

=112ln∣x−2∣−

112

∫ x+1(x+1)2+3

dx+112

∫ 1(x+1)2+3

dx−412

⋅1√3tan−1( x+1√3 )

=112ln∣x−2∣−

112

⋅12ln∣(x+1)2+3∣+ 1

12⋅1

√3tan−1( x+1√3 )− 4

12⋅1

√3tan−1( x+1√3 )

=112ln∣x−2∣−

124ln∣(x+1)2+3∣− 3

12⋅312

tan−1( x+1√3 )=112ln∣x−2∣−

124ln∣x2+2 x+4∣−√ 3

12tan−1( x+1√3 )+c

(1)

∫ 1+ex

1−exdx

∫ 1+e x

1−e xdx=∫ 1+e

x+e x−ex

1−exdx=∫ 1−e

x+2e x

1−e xdx=∫ dx+2∫ ex

1−exdx

u=1−e x du=−ex

=x−2 ln(1−e x)+c

(2)

∫ ln (1+ x2)dx

u=ln (1+ x2) dv=dx

du=1

1+ x22 x v=x

∫ ln (1+ x2)dx=ln(1+x2) x−∫ x2 x

1+x2dx=x ln(1+x2)−2∫

x2

1+ x2dx

x2

1+x2=x2+1−1

1+ x2=1−

1

1+x2

=x ln (1+ x2)−2 x+2tan−1(x )+c

(3)

∫ sin(√ax )dx

√ax=√a √ x u=√ax du=√a2√x

∫sin(√ax)dx=∫sin (√ax) √a2√ x

⋅2√ x √a(√a)

2 dx=2

(√a)2∫√a √ x sin (√a√ x ) √a

2√ xdx

2a∫√a√ x sin(√a √ x) √a

2√xdx=

2a∫u sin (u)du

s=u s '=du t '=sinu t=−cosu

∫ u sin u du=−ucosu+∫cos udu=−ucos u+sin u

=2a

(−√ ax cos(√ax )+sin(√ax))+c

(4)

∫(cosh x+sec x )dx

cosh ( x)=e x+e−x

2 ∫ sec x dx=ln∣sec x+ tan x∣ ∫eax=1aeax

∫(cosh x+sec x )dx=∫ ex+e−x

2dx+∫ sec x dx=∫ 1

2e x+∫ 1

2e−x+∫ sec x dx

=12e x−

12e−x+ ln∣sec x+tan x∣+c

(5)