Cálculo integral

Evidencia de aprendizaje. Cálculo de una integral

Unidad 3. Métodos de integración

Julio César Hernández Cruz

al11503387

2012, Desarrollo de software

1. Nombre, fecha de nacimiento y edad

Julio César Hernández Cruz, 26 de mayo de 1985, 26 años

2. Sean a y b dos constantes definidas por

1. a = la suma de los dígitos que forma tu fecha de nacimiento.

2. b = la suma de los dos dígitos que forman tu edad

a 26 de mayo 2+6=8b 27 años 2+7=9

3. Sustituir los valores a y b en la integral original antes de empezarla a evaluar.

[∫18

sec8 x tan 9 x+(8+9) x

√8−9 x− x2−

x2+82 x−9

93 x3+(9−8) x2

+2 x+[8

9 ]⋅ 9 x2−9⋅8 x+7

8⋅9 x2−e8 x+9 ]

∫sin8 x cos9x dx

4. Resuelve la siguiente integral mediante los métodos necesarios abordados en la unidad 3.

[∫1a

seca x tanb x+(a+b) x

√a−bx− x2−

x2+a2 x−b

b3 x3+(b−a) x2

+2 x+[ ab ]⋅b x

2−ba x+7

ab x 2−ea x+b ]

∫ sina x cosb x dx

[∫18

sec8 x tan 9 x+(8+9) x

√8−9 x− x2−

x2+82 x−9

93 x3+(9−8) x2

+2 x+[ 8

9 ]⋅9 x2−9⋅8 x+7

8⋅9 x2−e8 x+9 ]

∫sin8x cos9x dx

[∫18

sec8 x tan9 x+17 x

√8−9 x−x2−

x2+64 x−9

729 x3+ x2+2 x+[ 8

9 ]⋅9 x2−72 x+7

72 x2−e8 x+9 ]∫sin8 x cos9x dx

∫ sec8 x tan9 x dxIntegrales que contienen tangentes y secantes

∫ tanm x secn x dx

1) n=2k secn x en factores manteniendo en un factor potencia 22) sec2 x=1+ tan2 x3) ∫ tanm x sec2k x dx=∫ tan m x(sec2 x)k−1 sec x dx=∫ tanm x(1+ tan2 x)k−1 sec x dx

4) =∫[1+u2]k−1um du u=tan x du=sec2 x

∫ tan9 x sec8 x dx=∫ tan9 x (sec2 x)3sec2 x dx=tan9 x (1+ tan2 x)3 sec2dx

∫(1+u2)

3u9du=∫(1+3u2+3u4

+u6)u9du=∫ u9

+3u11+3u13

+u15du

=u10

10+

3u12

12+

3u14

14+u16

16=56 tan10 x+140tan12 x+120 tan14x+ tan16x

560+c

∫17 x

√8−9 x− x2dx

Dejo de momento fuera 17u=8−9x−x2 du=−2 x−9x=x−3 x+3 x−9+9=(−2 x−9)+3 x+9

∫ x

√8−9 x−x 2dx=∫ −2 x−9

√8−9 x− x2dx+3∫ x

√8−9 x−x2dx+9∫ 1

√8−9 x− x2dx

2∫ x

√8−9 x−x2dx=−∫ −2 x−9

√8−9 x−x2dx−9∫ 1

√8−9 x−x2dx

9 x2

=92x (9

2)2

=814

2∫ x

√8−9 x− x2dx=−√8−9 x− x2

12

−9∫ 1

√8−9 x− x2−814

+814

dx

2∫ x

√8−9 x−x2dx=−2√8−9 x− x2

−9∫ 1

√ 1134

−(x2+9 x+

814 )dx

2∫ x

√8−9 x− x2dx=−2√8−9 x−x2

−9∫ 1

√(√1132 )

2

−(x+ 92)

2dx

∫ 1

√a2−x2

dx=arcsinxa

2∫ x

√8−9 x− x2dx=−2√8−9 x−x2

−9⋅arcsin(2 x+9

2√113

2)

∫ x

√8−9 x−x2dx=

−2√8−9 x−x 2−9⋅arcsin(2 x+9

√113 )2

∫ 17 x

√8−9 x− x2dx=

17(−2√8−9 x−x 2−9⋅arcsin( 2 x+9√113 ))2

+c

∫ x2+64 x−9

729 x3+ x2

+2 xdx

x2+64 x−9

729 x3+ x2

+2 x=Ax

+Bx+C

729 x2+ x+2

x2+64 x−9=A729x2+Ax+A2+Bx2+Cxx2+64 x−9=( A729+B) x2+(A+C) x+A2

A729+B=1 B=1−729(−92)=

65632

A+C=64 C=64−A C=64+92=1372

A2=−9 A=−92

∫ x2+64 x−9

729 x3+x2

+2 xdx=−∫

92xdx+

65632

∫ x729 x2

+ x+2dx+

1372

∫ 1729 x2

+x+2dx

u=729x2+ x+2 du=1458 x+1

∫ x

729 x2+ x+2dx=∫ x+1457 x−1457 x+1−1

729 x2+ x+2dx=∫ 1458 x+1

729 x2+ x+2dx−1457∫ x

729 x2+x+2dx−∫ 1

729 x2+ x+2dx

1458∫x

729 x2+ x+2

dx=∫1458 x+1

729 x2+x+2

dx−∫1

729x2+ x+ 2

dx

1458∫x

729 x2+ x+2dx=∫

1458 x+1729 x2+x+2

dx−∫1

729x 2+ x+ 2dx

∫x

729x 2+ x+2dx=

11458

∫1458 x+1

729 x2+ x+2dx−

11458

∫1

729 x2+ x+2dx

=−92∫

1xdx+ 6563

21

1458∫1458 x+1

729 x2+x+2dx− 6563

21

1458∫1

729 x2+ x+2dx+ 137

2 ∫ 1729 x2+x+2

dx

=−92

ln x+65632916

ln(729 x2+x+2)+

1931832916

∫ 1729 x2

+x+2dx

729 x2+x+2=729[x2+x

729+

2729 ]=729[x2+

x729

+2

729+

114582 −

114582 ]=729[(x+ 1

1458)2

+583214582 −

114582 ]

=729[(x+ 11458)

2

+583114582 ]

=−92

ln x+65632916

ln(729 x2+ x+2)+

1931832916

⋅1

729⋅

1√58311458

arctan(1458 x+1√5831 )

=−92

ln x+65632916

ln(729 x 2+ x+2)+

19318314582 ⋅

1458√5831

arctan( 1458x+1√5831 )

=−92ln x+

65632916

ln (729 x2+ x+2)+193183

1458√5831arctan( 1458 x+1√5831 )+c

[ 89 ]⋅9 x2

−72 x+772 x2

−e8 x+9

∫dx

72 x2−e8 x+9

=∫dx

72( x2−e8

72x+

972)

=∫dx

72(x2−e8

72x+( e

8

144)2

+972

−( e8

144)2

)

=∫dx

72((x− e8

144)2

−(√e16−2592144 )

2

)=

172

⋅1

2(√e16−2592144 )

ln( x−e8

144−

√e16−2592144

x−e8

144+

√e16−2592144

)=

1

√e16−2592ln(144 x−e8−√ e16−2592

144 x−e8+√ e16−2592)∫ x2 dx

ax 2+bx+c

=xa−b

2a 2 ln (ax2+bx+c)+

b 2−2ac

2a2 ∫ dx

ax 2+b x+c

89

9∫x2

72 x2−e8 x+9

dx=8 x72

+8e8

2⋅722 ln (72 x2−e8 x+9)+

8(−e8)

2−2⋅72⋅9

2(72)2 ⋅

1

√e16−2592

ln(144 x−e8−√e16−2592

144 x−e8+√e16

−2592 )−

89

72∫ x72 x2

−e8 x+9dx

∫ x72 x2

−e8 x+9dx= 1

72∫x

x2−e8

72x+

18

dx

u=x2−e8

72x+ 1

8du=2 x− e

8

72

∫ x

x2−e8

72x+

18

dx=∫2 x−x−

e8

72+e8

72

x2−e8

72x+

18

dx=∫2 x−

e8

72

x2−e8

72x+

18

dx−∫ x

x2−e8

72x+

18

dx+e8∫ 172 x2−e8 x+9

dx

2∫x

x2−e8

72x+

18

dx=∫2 x− e

8

72

x2−e8

72x+

18

dx+e8∫1

72x2−e8 x+9

dx

=−49 [ln(−x2

+e8

72x−

18)]−4

9e8 1

√e16−2592

ln(144 x−e8−√e16

−2592

144 x−e8+√e16

−2592 )89

7∫ dx72 x2

−e8 x+9=

569

1

√e16−2592

ln(144 x−e8−

√e16−2592

144 x−e16+√e16

−2592)

∫ sin8 xcos9 xdx

1) Forma ∫sinm x cosn x dx

2) Si n=2k+1 cosn x en factores3) cos2 x=1−sin2 x4) ∫sinm x(cos2k+1 x)k cos x dx=∫ sinm x(1−sin2 x)k cos x dx

5) ∫(1−u2)k um du

∫sin8 x cos9 x dx=∫sin8 x cos8 xcos x dx=∫(1−sin2 x)4sin8 x cos x dx

∫(1−u2)

4u8du=∫(1−4u2+6u4

−4u6+u8

)u8du=∫ u8−4u10

+6u12−4 u14

+u16du

=u9

9−

411u11

+613u13

−415u15

+u17

17

=19sin9 x−

411sin11 x+

613sin13 x−

415sin15 x+

117sin17 x+c