Calculo III

Certamenes y Examenes de Calculo III

por Lorenzo Luengo([email protected])

recopilados en el ano 2002.

10 de junio de 2003

Certamen 1Calculo III - 521227 1

3 de mayo de 2002

1. Sea f : R2 → R la funcion definida por

f(x, y) =

{x2y

x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

a) Haga ver que f es continua en R2.b) Estudie si f es diferenciable en (0,0) y en (1,1).

(15 ptos.)

2. a) Haga ver que la funcion z = φ(x2 + y2), con φ diferenciable, satisface la ecuacion diferencialparcial

y∂z

∂x− x

∂z

∂y= 0

b) Hallar los valores de a y b tales que la derivada direccional de

f(x, y) = ax2y + bxy2

en el punto (1,1) tenga un valor maximo 8 en la direccion del vector que forma un angulo de45 con el eje x.

(30 ptos.)

3. SeaF : R2 → R(u, v) → F (u, v)

una funcion de clase C1 que satisface a a∂F∂u + b∂F

∂v 6= 0.

a) Verifique que la ecuacion F (x − az, y − bz) = 0 define a la variable z como funcion de claseC1 de las variables x, y.

b) Haga ver que las derivadas parciales ∂z∂x y ∂z

∂y satisfacen la ecuacion

a∂z

∂x+ b

∂z

∂y= 1

(30 ptos.)

4. Considere todos los triangulos rectangulos con perımetro fijo P . Determinar las dimensiones delos lados de manera que se obtenga el triangulo rectangulo de mayor area.

(25 ptos.)

1J. Aguayo/G. Avello/E. Bello/H. Palma/J. Ruiz//by LoL

1


10 de junio de 1998

1. Sea f : R2 → R, f(x, y) = ey2−x2Determinar el mayor y el menor valor de f(x, y) sobre la region

S = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 ≤ 4}

(25 Ptos.)

2. Considere la region R en el primer cuadrante acotada por el arco de circunferencia x2 + y2 = a2,la recta x = a y la recta y = a. Calcular el producto de inercia Ixy de la region R respecto de losejes coordenados.Indicacion:

Ixy =∫

R

xy d(x, y)

(25 Ptos.)

3. Evaluar∫

Dxye2x2

d(x, y), donde D es la region del primer cuadrante acotada por la hiperbolasx2 − y2 = 1, x2 − y2 = 3 y las circunferencias x2 + y2 = 9, x2 + y2 = 25.

(25 Ptos.)

4. Encontrar el volumen del solido limitado por el plano z = 0, y las superficies de ecuacion z =x2 + y2, x2 + y2 − x = 0.

(25 Ptos.)

2E. Bello//by LoL

2


7 de junio de 2000

1. a) Calcule la integral

I =∫

D

y3(x2 + y2)−3/2d(x, y)

donde D es la region determinada por las condiciones 1/2 ≤ y ≤ 1 y x2 + y2 ≤ 1.

b) Determine el volumen de la region del primer octante acotada por el cilindro x2 = 4− z y elplano 4x− 3y = 12.

(45 ptos.)

2. Determine si la integral∫

D1

(1+x2+y2)2 d(x, y) es convergente, donde D es la region del primercuadrante entre las rectas y = 0 e y = x. En caso afirmativo calcule su valor.

(30 ptos.)

3. El trabajo W realizado por un campo de fuerza ~F sobre un cuerpo que se desplaza a lo largo deuna curva C se define:

W =∫

C

~F · d~r

Calcule el trabajo realizado sobre un cuerpo que se desplaza desde el punto P , de coordenadas(4,0,0), hasta el punto Q, de coordenadas (0,0,4), sobre la curva de interseccion de las superficiesz = 4− x, x2 + y2 = 4x, bajo la influencia del campo de fuerza

~F (x, y, z) =(

x

(x− 2)2 + y2,

−y

(x− 2)2 + y2

)

(25 ptos.)

3G. Avello/J. Ruiz/H. Palma/E. Bello//by LoL

3


23 de noviembre de 2000

1. Sea F la funcion definida para todo x en R por la formula

F (x) =∫ ∞

0

e−t2cos(tx)dt

a) Verifique que F es derivable.b) Use integracion por partes para que y = F (x) satisface la ecuacion diferencial

dy

dx= −1

2xy

c) Deduzca el valor de F (x).

(30 ptos.)

2. Sean R un numero real positivo, B(R) = {(x, y, z) : x2 + y2 + z2 ≤ R2} la bola cerrada de centroel origen (0,0,0) y de radio R, y para cada numero real a sea

I(a,R) =∫∫∫

B(R)

1√x2 + y2 + (z − a)2

d(x, y, z)

Determine el valor de I(a,R) en los dos casos siguientes:

a) Para R > a.b) Para a = 0.

(35 ptos.)

3. Sea g una funcion real de variable real, de dominio un intervalo abierto I de R, continua sobre I,y sea ~F : A ⊆ R3 → R3 el campo vectorial sobre un abierto A de R3 definido por

F (x, y, z) = g(x + y + z)(xi + yj + zk)

a) Demuestre que ~F = ∇f , donde f(x, y, z) = 12h(x2 + y2 + z2), y h(u) =

∫g(u)du.

(notar que h′(u) = g(u))b) Encuentre un potencial para el campo vectorial

F (x, y, z) =1

x2 + y2 + z2(xı + y + zk)

c) Sea C la helice de representacion parametricax = 3 cos(t), y = 3 sen(t), z = 6t para t ∈ [0, 2π]. Determinar el valor de la integral

∫

C

x

(x2 + y2 + z2)3dx +

y

(x2 + y2 + z2)3dy +

z

(x2 + y2 + z2)3dz

(35 ptos.)

4G. Avello/H. Palma//by LoL

4


19 de enero de 2000

1. Dado φ(x) =∫∞0

e−t( 1−cos(xt)t )dt, para x ∈ R.

a) Muestre que se puede aplicar la regla de Leibniz para calcular φ′(x).

b) Determine φ′(x) y luego por integracion , obtenga φ(x).

(25 ptos.)

2. Sea D la region solida que se encuentra en el plano xy acotada por las superficies y = x2 e y+z = 1.

a) Calcule el volumen de D.

b) Escriba la integral que calcula el volumen de D como una integral iterada en el orden dydzdx.

(25 ptos.)

3. Una esfera de radio 2 se corta mediante un plano que pasa a una unidad de su centro. Sea Del casquete esferico mas pequeno. Exprese el volumen de D como una integral triple iterada encoordenadas:

a) rectangulares,

b) cilındricas,

c) esfericas.

No evalue dichas integrales.

(25 ptos.)

4. Evalue la integral ∫ 1

0

∫ 1−x

0

√x + y(y − 2x)2dydx

(25 ptos.)

5H. Palma//by LoL

5


20 de junio de 1997

1. Sea

F (x) =∫ ∞

0

e−xt

1 + t2dt

a) Justifique el hecho que F es dos veces derivable.

b) Muestre que F satisface la ecuacion diferencial

F ′′(x) + F (x) =1x

(30 ptos.)

2. Calcule ∫∫

R

(x + y)2ex−yd(x, y)

donde R es la region acotada por x + y = 1 ; x + y = 4 ; x− y = −1 ;x− y = 1

(35 ptos.)

3. Sea D la region de R3 definida por x2 + y2 + z2 ≤ 1.Calcule ∫∫∫

D

1(x2 + y2 + z2)2

d(x, y, z)

(35 ptos.)

6GAJ/EBC/HPV/RLA/MVP/VCX/gaj//by LoL

6


6 de junio de 2001

1. Calcule el volumen de la region limitada inferiormente por el paraboloide z = x2 + y2 y superior-mente por el plano z = 4y.

(30 ptos.)

2. Sea T : R2 → R2, T (u, v) = (u+v2 , u−v

2 ).

a) Verifique que T satisface las condiciones de hipotesis del teorema del cambio de variables.

b) Calcule∫∫

D(x + y) cos(x2 − y2)d(x, y), donde D es la region acotada por las rectas y = −x,

y = −x + π2 , y = x, y = x + 1.

c) Estudie la convergencia de la integral∫∫

Se−x sen yd(x, y), donde S = {(x, y) : 0 ≤ x + y ≤

2π, x ≥ y }.

(40 ptos.)

3. Sea ~F el campo de fuerzas en R3 definido por ~F (x, y, z) = (y + z)ı + (zy + xy) + (x + y)k y C lacurva interseccion del cilindro x2 + y2 = 2y con el plano y = z recorrida a partir del origen.

a) Dibuje en el sistema cartesiano de R3 la curva C dandole una orientacion.

b) Calcule el trabajo realizado por esta fuerza a lo largo de la trayectoria C.

(30 ptos.)

7GAJ/EBC/HPV/JRC//by LoL

7

ExamenCalculo III - 521227 8

3 de julio de 2001

1. Muestre que la funcion w = f(

r−ss

), donde f : R→ R es una funcion real de una variable real de

clase C2, satisface la ecuacion diferencial parcial

1s

∂2w

∂r2+

1r

∂2w

∂s∂r= − 1

rs2f ′

(r − s

s

)

Indicacion: Puede hacer z = r−ss .

(20 ptos.)

2. Sea f(x, y, z) = 4x3 − 12xy + 6y2 + 4z3 − 12z + 1.

a) Determine la naturaleza de los puntos crıticos de f .

b) Determine, si existen, los valores extremos de f(x, y, z) sobre la superficie triangular S delplano XY limitada por las rectas x + y = 1, x = 0 e y = 0.

(30 ptos.)

3. Un plano corta un casquete de altura h en una esfera de radio r, 0 < h < r. Usando integralesmultiples, encuentre el volumen de dicho casquete.

(30 ptos.)

4. Considere el campo vectorial

~F (x, y, z) = (x

(x2 + y2)3/2,

y

(x2 + y2)3/2, 2z)

Calcular la integral de lınea del campo vectorial ~F a lo largo de la elipse C de ecuaciones x2+ y2

4 = 1,z = 3, recorrida una vez en sentido positivo con respecto al vector k = (0, 0, 1).

(30 ptos.)

8EBC/HPV/JRC/GAJ/.gaj//by LoL

8


3 de noviembre de 2001

1. Sea f : R3 → R, definida por: f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 y sea C la curva interseccion del planox + y + z = 1 con el cilindro x2 + y2 = 1.

a) Determinar los valores extremos de f sobre C.

b) Utilice parte a) para determinar el punto mas alejado del origen.

(25 ptos.)

2. Las longitudes a, b, c de las aristas de una caja rectangular cambian con el tiempo. En un instantedado, las medidas de las aristas son: a = 1, b = 2 y c = 3 y las razones de cambio, en ese mismoinstante, son ∂a

∂t = ∂b∂t = 1 y ∂c

∂t = −3. Determinar:

a) la razon de cambio del volumen V de la caja en ese instante.

b) la razon de cambio del area A de la caja en ese instante.

c) si las longitudes de las diagonales de la caja crecen o decrecen.

(25 ptos.)

3. Calcular la integral

I =∫∫∫

K

1(1 + x + y + z)3

d(x, y, z)

donde K = {(x, y, z) ∈ R3 : x ≥ 0, y ≥ 0z ≥ 0, x + y + z ≤ 1}

(25 ptos.)

4. Sea D la region del primer octante limitada por los planos coordenados x = 0, y = 0, z = 0, y porlas superficies y + z = 4, x2 + y2 = 16. Sea Sla superficie frontera de D, orientada por su normalexterior.Calcule el flujo

∫S

~F · ndA, donde ~F es el campo vectorial ~F (x, y, z) = 2xzı− xy− z2k

(25 ptos.)

9HPV/JAG/GAJ/.gaj//by LoL

9

Examen de repeticionCalculo III - 521227 10

1. Sea

f(x, y) ={

x2 sen 1x + y si x 6= 0

0 si x = 0

a) Calcule ∂f∂x en cada punto (x, y), donde exista.

b) Determine si ∂f∂x es continua en (0,0).

c) Determine si f es diferenciable en el origen.

(20 ptos.)

2. Sea C la placa circular x2 + y2 ≤ 4 y f(x, y) = 3x2y2 + 2x3 + 2y3. Encuentre los valores maximosy mınimos de f sobre C.

(20 ptos.)

3. Sea R la region solida encerrada por la esfera con centro en el origen y radio 2 y sobre el conoz =

√3x2 + 3y2. Considere la integral triple

∫∫∫

R

z2dV

Sin evaluar la integral, escrıbala como integrales triples iteradas, usando coordenadas:

a) rectangulares.b) cilındricas.c) esfericas.

(20 ptos.)

4. Calcular la integral de lınea en el plano∮

γ~F , donde ~F = (ex + 3y2x2)ı + (x + 2yx3) y γ es la

curva simple cerrada cuya traza es el cuadrilatero de vertices A(1, 1), B(0, 3), C(2, 2) y D(3, 0).

(20 ptos.)

5. Sea ~F el campo de fuerza definido en el espacio por

~F (x, y, z) = (x2 − yz)ı + (y2 − zx) + (z2 − xy)k

a) Determine si es un campo conservativo.b) Sea γ la curva que se encuentra en el primer octante como interseccion de los cilindros

x2 + z2 = 1 y y2 + z2 = 1. Dandose una orientacion para esta trayectoria, calcule el trabajoW =

∫γ

~F · ds realizado por la fuerza ~F a lo largo de γ.

(20 ptos.)

10JAG/GAJ/HPV/.hpv//by LoL

10


18 de julio de 1997

1. Para la funcion f : R2 → R definida por

f(x, y) =

{xy

(x2−y2

x2+y2

)si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

a) Calcular fx(0, h) y fy(k, 0); ∀ h, k ∈ R.

b) Calcular las derivadas parciales de segundo orden fxy(0, 0) y fyx(0, 0).

c) ¿Es f de clase C2 en R2?

(20 ptos.)

2. Sea u = f(x, y), x = s + cos t, y = s + sen t, donde f es una funcion de clase C2 sobre todo elplano. Calcule ∂2u

∂s∂t .

(20 ptos.)

3. Encuentre el volumen de la region solida S del primer octante cuya cota superior es el paraboloidez = 9− x2 − 4y2, la inferior es z = 0 y los lımites laterales son y = 0 y el cilindro x2 + y2 = 2x.

(30 ptos.)

4. Sean ~F (x, y, z) = 2zı + x + 3yk y C la curva interseccion del plano z = x con el paraboloidex2 + y2 = 2z. Determine ∫

C

~F · d~r

a) Mediante calculo directo.

b) Usando teorema de Stokes.

(30 ptos.)

11JAG/EBC/HPV/MVP/RLA//by LoL

11


27 de junio de 2002

1. Sea

f(x, y) =

{x3(y+1x2−y si x2 6= y

0 si x2 = y

a) Analice la continuidad de f en (0,0).b) Calcule las derivadas parciales ∂f

∂x (0, 0) y ∂f∂y (0, 0).

c) Decida si f es diferenciable en (0,0).

(25 ptos.)

2. Para enviar por correo un paquete (caja) rectangular, la suma entre su longitud y el perımetro dela seccion transversal al lado que determina la longitud no debe exceder las 100 pulgadas. ¿Cuales la caja de mayor volumen que puede ser enviada?

(25 ptos.)

3. Sea C la curva que se encuentra en el primer octante como interseccion del paraboloide z =4 − x2 − y2 y el cilindro x2 + y2 = 4y. Una partıcula se desplaza a lo largo de esta curva bajo laaccion del campo gravitatorio

~F (x, y, z) = −GmMxı + y + zk

(x2 + y2 + z2)3/2

donde G, m, M son constantes. Calcule el trabajo realizado por la fuerza.

(20 ptos.)

4. Sea ~F (x, y, z) = −GmM xı+y+zk(x2+y2+z2)3/2 , para (x, y, z) 6= θ.

a) Calcule el flujo∫

S~F · ndS del campo ~F a traves de una esfera de radio a, centrada en el

origen y orientada hacia el exterior.b) Calcule la divergencia del campo, ∇ · ~F .c) En la teorıa electromagnetica, el campo electrico creado por una carga puntual q, ubicada en

el origen es ~E = q4πε0

~F , donde ε0 es constante. Use parte a), b) y el teorema de Gauss paracalcular el flujo

∫S

~E · ndS en los siguientes casos:1) S es una esfera centrada en el origen.2) S es una esfera de centro (2,0,0) y radio 1.

3) S es el elipsoide x2

2 + y2

4 + z2

9 = 1.

(30 ptos.)

12HPV/GAJ/EBC/JRC/JAG/hpv//by LoL

12


21 de junio de 1996

1. Sea F (y) =∫∞0

e−x2cos 2xydx, y ∈ R. Pruebe que la funcion satisface la ecuacion diferencial

F ′ + 2yF = 0

2. Evalue la integral ∫ 1

0

∫ y

√3y

ex2dxdy

3. Calcular el volumen de la region de R3 interior a la esfera x2 +y2 +z2 = 1 y al cilindro x2 +y2 = y.

4. Evaluar ∫∫

S

y

(1 + x2 + y2)2(x2 + y2)1/2d(x, y)

donde S = {(x, y) : x2 + y2 ≥ 1, y ≥ 0}.

13GAJ/EBC/HPV/JAG/HMM//by LoL

13


10 de julio de 1995

1. Sean f , g : R2 → R definidas por:f(x, y) = xy

|x|+|y|+1

g(x, y) = |x|+ |y|a) Demuestre que el producto fg es diferenciable en (0,0), pero g no es diferenciable en (0,0).

b) Calcule el maximo de g en A = {(x, y)/(x− 8)2 + (y − 3)2 ≤ 1}.c) Encuentre, si existe, la aproximacion afın de f en el punto (-1,-2).

d) Pruebe que la funcion F = (f, g) es localmente inversible en cada punto de A. Justifiqueadecuadamente sus respuestas.

(40 ptos.)

2. Seanf(x, y) = e

−�

x2

a2 + y2

b2

�g(x, y) = f(x, y) sen(xy)

y sea Bn = {(x, y)/1 ≤ x2

a2 + y2

b2 ≤ n2}, donde a y b son constantes positivas.

a) Calcule∫∫

Bnf(x, y)d(x, y).

Indicacion: puede usar el cambio de variables x = ar cos θ, y = br sen θ

b) Calcule la integral∫∫

Bf(x, y)d(x, y), donde B = {(x, y)/x2

a2 + y2

b2 ≥ 1}.c) Analice la convergencia de

∫∫B

g(x, y)d(x, y).

(30 ptos.)

3. Sea ~F : R3 → R3 el campo vectorial dado por: ~F (x, y, z) = (yz,−xz, yz2), y sea S la superficiedefinida por S = {(x, y, z)/x2 + y2 = 2, 2 − x2 − y2 ≤ z ≤ 8}. Calcule, usando el teorema de ladivergencia,

∫∫S

rot(~F ) · ndA, donde n es la normal exterior a S.

(30 ptos.)

14JAG/RAD/GAJ/HMM/MWC/rad.//by LoL

14


6 de julio de 1999

1. Sea f : D ⊂ R3 → R, definida por f(x, y, z) = F (x + zy , y + z

x ), donde F es una funcion real declase C1 en R2 y suponga que ∂f

∂z (x, y, z) 6= 0, ∀(x, y, z) ∈ D y D = {(x, y, z) ∈ R3 : x 6= 0, y 6= 0}.a) Exprese f como la compuesta de dos funciones de clase C1.b) Verifique que la ecuacion f(x, y, z) = 0 define implıcitamente a z como funcion de clase C1

de las variables x, y.c) Compruebe que

x∂z

∂x+ y

∂z

∂y= z − xy

(35 ptos.)

2. a) Al calcular por doble integracion el volumen V situado debajo del paraboloide z = x2 + y2 ylimitado inferiormente por una cierta region S del plano xy, se ha llegado a la siguiente sumade integrales iteradas

V =

1∫

0

y∫

0

(x2 + y2)dxdy +

2∫

1

2−y∫

0

(x2 + y2)dxdy

Dibujar la region S y expresar V mediante una integral iterada en la que el orden de inte-gracion este invertido. Efectuar, tambien la integracion y calcular V .

b) Sea F la funcion definida por

F (x) =∫ 1

0

ln(x2 + y2)dy

Analice la continuidad y derivabilidad de F en ]0,+∞[, y determine F ′(x)

(35 ptos.)

3. Calcular la siguiente integral de lınea

K =∫

C

(y − z)dx + (z − x)dy + (x− y)dz

donde C es la elipse x2 + y2 = a2, xa + z

h = 1 (a > 0, h > 0) recorrida en sentido antihorario,mirado desde el semieje positivo OX

a) Usando la definicion de integral de lınea.

(20 ptos.)

b) Aplicando el Teorema de Stokes

(10 ptos.)

15EBC/HPV/JRC/GAJ/gaj//by LoL

15


19 de julio de 1996

1. a) Estudie la diferenciabilidad en (0,0) de la funcion

g(x, y) =

{x2−y2

x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

b) Verifique que la funcionu(t, x) = e−a2k2t sen(kx)

con a y k constantes, satisface la ecuacion del calor

∂u

∂t= a2 ∂2u

∂x2

c) Hallar el valor maximo de la funcion

f(x, y, z) = x + 2y + 3z

sobre la curva de interseccion del plano x− y + z = 1 y el cilindro x2 + y2 = 1.

(35 ptos.)

2. a) Evaluar ∫∫

D

(x + 2y)dA

donde D es la region acotada por las parabolas y = 2x2 e y = 1 + x ∗ 2.

b) Determine el volumen de solido que se encuentra bajo el paraboloide z = x2 + y2, sobre elplano xy y dentro del cilindro x2 + y2 = 2x.

(35 ptos.)

3. Use el teorema de Stokes para evaluar∫∫

S

∇× ~F · dS

donde ~F (x, y, z) = yzı + xz + xk y S es la superficie sobre la esfera x2 + y2 + z2 = 4 y dentro delcilindro x2 + y2 = 1.

(30 ptos.)

16GAJ/EBC/HPV/JAG/HMM//by LoL

16


Sin fecha

1. Sea f : R → R, definida por f(x, y) = ey2−x2. Determinar el menor y mayor valor de f sobre la

region S = (x, y) : x2 + y2 ≤ 4.

(25 ptos.)

2. Sea φ : R+ × R+ → R, definida en las variables independientes x e y por

φ(x, y) =∫ x2y

√π

sen(x2t)t

dt

Decidir si ( 4√

π, 1) es punto crıtico de φ.

(25 ptos.)

3. Evaluar la integral

I =∫

D

xy2ex2d(x, y)

donde D es la region del primer cuadrante acotada por las hiperbolas

x2 − y2 = 1x2 − y2 = 3

y las circunferenciasx2 + y2 = 9x2 + y2 = 25

(25 ptos.)

4. Encontrar el volumen del solido limitado por las superficies

z = −1z = x2 + y2

x2 + y2 − x = 0

(25 ptos.)

17GAJ/JRC/HPV/RLA/EBC/hpv//by LoL

17


Periodo lectivo extraordinario de verano11 de enero de 2001

1. Considere la funcion:

f(x, y) =

{xy(x2−y2)

x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

a) Calcule la derivada parcial ∂f∂x (x, y), en todo punto donde exista.

b) Encuentre ∂2f∂y∂x (0, 0).

c) Estudie la continuidad y diferenciabilidad de f en el punto (0, 0).

d) Indique porque es posible aproximar cerca del punto (1, 2) la diferencia f(x, y)− f(1, 2) poruna aplicacion lineal y encuentre dicha aplicacion.

(35 ptos.)

2. Sea v = v(r, s), de clase C2 y considere el cambio de variables r = x + ct, s = x − ct, donde c esuna constante real. Se define la funcion u mediante la igualdad u(x, t) = v(x + ct, x− ct).

a) Calcule las derivadas parciales ∂2u∂2x y ∂2u

∂2t , en termino de la derivadas parciales de la funcionv.

b) Muestre que ∂2u∂2t − c2 ∂2u

∂2x = 0 ⇔ −4 ∂2v∂r∂s = 0.

(30 ptos.)

3. Sea f(x, y) = 4x2 + 9y2 − x2y2.

a) Encuentre lo puntos crıticos de f en R2 y determine su naturaleza.

b) Determine la direccion de mayor crecimiento de f en el punto (1, 1).

c) Encuentre los extremos absolutos de f en el conjunto R = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 4}.

(35 ptos.)

18HPV/GAJ//by LoL

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Test 1Calculo III - 521227 19

1-2002

1. Haga un esbozo del grafico del siguiente conjunto e indique interior, adherencia, frontera y puntosde acumulacion.

A = {(x, y) : x2 < y ≤ |x|}

2. Estudie la continuidad de

f(x, y) ={ y sin xy

x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

19by LoL

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1-2002.

Sean f y g las funciones definidas por

f(x, y) =

{x+y3

x2+y2 + 3x− 2y si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

g(x, y) =

{x2y2

x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

Determine

1. los lımites de f y g en (0, 0).

2. las derivadas parciales de f y g en (0, 0).

3. si f y g son diferenciables en (0, 0).

4. si g es de clase C1 en (R)2.

20by LoL

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1-2002

1. Sean f y g funciones de una variable dos veces derivables y sea

u(x, t) = f(x + ct) + g(x− ct)

donde c es una constante. Demuestre que u(x, t) satisface la ecuacion de la onda

∂2u

∂t2= c2 ∂2u

∂x2

2. Considere la funcion f(x, y) = ((x− y)2, x2

y ), y 6= 0.

a) Pruebe que f admite una inversa local diferenciable en vecindades V0 de (1, 1).

b) Sea f−1 : V0 → R2, (u, v) → (x, y) = (g(u, v), h(u, v)) la inversa local de f , calcular la razonde cambio de h en (4, 1) en la direccion del vector 2ı− .

21by LoL

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17 de abril de 2001

1. Muestre que el sistemax2 − y2 + u2 + 2v2 = 5x2 + y2 − u2 − v2 = −4

define implıcitamente a u(x, y), v(x, y), con u(0, 1) = 2, v(0, 1) = −1. Encuentre las diferencialesDu(0, 1) y Dv(0, 1) y la derivada de segundo orden ∂2v

∂x2 (0, 1).

2. Sea z = z(x, y) una funcion de clase C2 y considere el cambio de variables x = u + v, y = uv.Obtenga en terminos de las variables x e y, y en forma simplificada, una expresion para ∂2z

∂u2 + ∂2z∂v2

22HPV/JRC/EBC/GAJ//by LoL

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1. Evaluar ∫∫

R

sen√

x2 + y2 d(x, y)

donde R = {(x, y) ∈ R2/π ≤ x2 + y2 ≤ 4π2}.2. Evaluar ∫∫

R

ln(y2 − x2) d(x, y)

donde R = {(x, y) ∈ R2/1 ≤ y − x ≤ 2, 1 ≤ y + x ≤ 3}.

23GAJ/EBC/RLA/HPV/JRC///by LoL

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8 de junio de 1999

1. Sea S la regiondel plano limitada por las curvas y = x2, x = y2. Pruebe que

0 ≤∫

S

e−(x2+y2)d(x, y) ≤ 13

2. Calcular ∫

S

ex sen y

y

S la region del plano limitada por las curvas y = ex

2 , y = ex, y = π2 , y = π.

24by LoL

24


30 de abril de 2002

1. Sea f(x, y, z) = x2 + y3 − xy + z2 − 2z, definida en todo R3. Encuentre la naturaleza de todos suspuntos crıticos y utilice le criterio del Hessiano para estudiar su naturaleza.

25by LoL

25


15 de mayo de 2002

1. Sea

F (x) =∫ x4

0

arc tgt

x4dt

Calcular F ′(x) para x > 0

2. Sea

F (x) =∫ +∞

0

exp(−t2) sen(xt)dt

para x ∈ R. Muestre que

F ′(x) =∫ +∞

0

t exp(−t2) cos(xt)dt

para x ∈ R.

26by LoL

26


1. Calcular la integral ∫∫

R

(x + y)dA

donde R es la region dentro de la circunferencia x2 + y2 = 4 y acotada por las curvas y = 0 ey =

√3x.

27by LoL

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10 de junio de 2002

1. Calcular la integral curvilınea

I =∫

C

2xydx + x2dy

cuando C es la curva que une el origen O(0, 0) con el punto A(2, 1) en los siguientes casos:

a) C es el segmento orientado que va de O hasta A.

b) C es el arco de parabola que pasa por ambos puntos y es simetrica respecto del eje y.

c) C es el arco de parabola que pasa por ambos puntos y es simetrica respecto del eje x.

d) C es la lınea quebrada OBA, siendo B(2, 0)

e) C es la lınea quebrada ODA, siendo D(0, 1)

28by LoL

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07 de junio de 2002

1. a) Sea f : D ⊆ R2 → R una funcion continua.Sabiendo que ∫∫

D

f(x, y)d(x, y) =∫ 1

0

∫ √2−y2

y

f(x, y)dxdy

Esbozar la region de integracion D e intercambiar el orden de integracion.

b) Evaluar

J =∫ 1

0

∫ 1

√y

cos x3dxdy

2. CalculeK =

∫∫∫

S

e

qx2

a2 + y2

b2+ z2

c2 d(x, y, z)

donde S = {(x, y, z) : x2

a2 + y2

b2 + z2

c2 ≤ 1}.Indicacion: Puede considerar el cambio de variables definido por

x = aρ sen φ cos θy = bρ sen φ sen θz = cρ cos θ

En tal caso puede admitir que ∣∣∣∣∂(x, y, z)∂(ρ, θ, φ)

∣∣∣∣ = abcρ2 sen φ

3. Calcular la integral doble

J =∫∫

E

x2y2d(x, y)

siendo E la region del plano situada entre las rectas y = x, y = 4x y las hiperbolas xy = 1, xy = 2.

29GAJ/JAG/EBC/JRC/HPV/gaj//by LoL

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Indice alfabetico

Certamen 111/01/2001 Plev, 1803/05/2002, 1

Certamen 221/06/1996, 1320/06/1997, 610/06/1998, 219/01/2000, 507/06/2000, 323/11/2000, 406/06/2001, 707/06/2002, 29Sin fecha, 17

Examen10/07/1995, 1419/07/1996, 1618/07/1997, 1106/07/1999, 1503/07/2001, 803/11/2001, 927/06/2002, 12

Examen de repeticionSin fecha, 10

Test 11-2002, 19

Test 21-2002, 20

Test 31-2002, 2117/04/2001, 22

Test 430/04/2002, 25

Test 515/05/2002, 26

Test 6

08/06/1999, 24Sin fecha, 27

Test 710/06/2002, 28Sin fecha, 23

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Calculo III

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Transcript of Calculo III