CÁLCULO III Aula 2 – Aplicações ao Movimento e Comprimento De Arco.
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CÁLCULO III
Aula 2 – Aplicações ao Movimento e Comprimento De Arco
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
Conteúdo Programático
1. Introdução
2. Aplicações ao Movimento
3. Exemplos
4. Comprimento de Arco
5. Exemplos
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
CÁLCULO III
INTRODUÇÃOInterpretação física da derivada
Aplicações ao Movimento e Comprimento de Arco – Aula 2
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Vamos considerar uma partícula em movimento no espaço (R2 ou em R3).
Observe que quando t varia, a extremidade livre do vetor σ(t) descreve a trajetória C da partícula.
A função σ(t) é dita função posição do movimento.
Suponhamos que a partícula esteja em P no tempo t e em Q no tempo t+Δt. Veja que Δσ = σ(t+Δt) - σ(t) representa o deslocamento da partícula de P para Q, no intervalo Δt.
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A partir da função posição podemos falar dos conceitos físicos → vetor velocidade, velocidade escalar e vetor aceleração.
DEFINIÇÃO 1Considere a função posição σ(t). A sua derivada σ’(t) é chamada vetor velocidade.
Notação: V(t) → vetor velocidade da partícula
APLICAÇÕES AO MOVIMENTO
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Observação:
O vetor velocidade é sempre tangente à trajetória no ponto em que a partícula se encontra.
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DEFINIÇÃO 2
O comprimento do vetor velocidade,||σ’(t)||, é chamado de velocidade escala.
Notação: v(t) → velocidade escalar
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DEFINIÇÃO 3O vetor aceleração da partícula é dado pela derivada do vetor velocidade → V’(t) ou σ’’(t)
Notação: a(t) → vetor aceleração da partícula
Observação:
O vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade.
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CONCLUSÃO
Quando
'V t t
é derivável, o vetor velocidade dapartícula é dado por
t
Quando V t é derivável, a aceleração da
partícula édada por
'a t V t
A velocidade escalar v(t) é dada por ||σ’(t)|| v(t) = ||σ’(t)||
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EXEMPLO 1
Determinar o vetor velocidade, vetor aceleração e a velocidade escalar de uma partícula que se move segundo a função abaixo:
cos2 2t t i sen t j k
Mostre que o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição e que o vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade.
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Cálculo do vetor velocidade da partícula
'
2 2 2cos2
V t t
V t sen t i t j
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Cálculo do vetor aceleração da partícula
'
4cos2 4 2
a t V t
a t t i sen t j
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Cálculo do vetor velocidade escalar da partícula
2 2
2 2
2 2 2cos24 2 4cos 2 2
v t V t
V t sen t t
sen t t
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Veja que dois vetores são perpendiculares se o seu produto escalar é nulo.
Mostre que o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição e que o vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade.
cos2 2 2 2 2cos2 0
2 2 .cos2 2cos2 . 2 0 0
t V t
t i sen t j k sen t i t j k
sent t t t sen t
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2 2 2cos2 0 4cos2 4 2
8 2 .cos2 8cos2 . 2 0 0
V t a t
sen t i t j k t i sen t j
sent t t t sen t
Portanto, o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição e o vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade.
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EXEMPLO 2
Dois carros A e B percorrem, respectivamente, as estradas E1 e E2, e têm seus movimentos descritos pelas funções
e
(a)Determine o ponto P onde as estradas se cruzam. (b) Os carros colidem no ponto P?
(c) Qual a velocidade que os carros chegam ao ponto de encontro?
21 ,t t
2 ,7 10t t
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Dois carros A e B percorrem, respectivamente, as estradas E1 e E2, e têm seus movimentos descritos pelas funções
(a)Determine o ponto P onde as estradas se cruzam.
21 ,t t
2 ,7 10t t
Primeiro devemos observar que σ1 = (t,t2) tem x(t) = t e y(t) = t2, portanto a equação cartesiana será y = x2.
Com o raciocínio análogo σ2 = (t,7t - 10), x(t) = t e y(t) = 7x – 10, portanto a equação cartesiana será y = 7x – 10.
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Encontramos o ponto onde as estradas se cruzam resolvendo o sistema formado por y= x2 e y= 7x -10.
Igualando as duas equações x2 = 7x -10, e resolvendo a equação do segundo grau encontramos como raízes os números reais 5 e 2.
Concluímos, então que temos dois pontos de encontro entre y(t) = t2 e y = 7x – 10 que são as coordenadas (5,25) e (5,4).
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Dois carros A e B percorrem, respectivamente, as estradas E1 e E2, e têm seus movimentos descritos pelas funções
e
(b) Os carros colidem no ponto P?
Para saber se os carros colidem, basta verificar em que tempo cada um deles passa no ponto de interseção (item a).
Para σ1 = (t,t2) temos x(t) = t = 5 e para σ2 = (t,7t - 10), temos x(t) = t=5. Logo os carros colidem.
21 ,t t
2 ,7 10t t
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Dois carros A e B percorrem, respectivamente, as estradas E1 e E2, e têm seus movimentos descritos pelas funções
e
(c) Qual a velocidade que os carros chegam ao ponto de encontro?
21 ,t t
2 ,7 10t t
Precisamos calcular a velocidade escalar v(t) = || σ`(t)|| e v(t) = ’(t).
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Para o carro A temos:
222 41212,1)`()( tttttv
Com t = 5 →
101541)( 2 tv
Para o carro B temos:
50401717,1)`()( 22 ttv
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COMPRIMENTO DE ARCO
Considere a curva definida por e , como a trajetória descrita por uma partícula que se move com velocidade escalar .
t bat ,
v(t) = =|| σ`(t)||
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Queremos encontrar o comprimento dessa curva quanto t varia de a até b.
DEFINIÇÃOSeja C uma curva definida pela função vetorial σ(t), t variando no intervalos [a,b] de classe C1.
O comprimento da curva C é definido por
dttCLb
a `
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OBSERVAÇÃO
Se C é uma curva em R2 então podemos escrever L(C) da seguinte forma:
dttytxCLb
a 22 ``
Se C é uma curva em R3 então podemos escrever L(C) da seguinte forma:
dttztytxCLb
a 222 ```
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EXEMPLO 1
),,(coscos)( ttsentktjtsenitt
2,0t
, .
)1,cos,()`( ttsent
Cálculo da derivada da função dada.
Vamos calcular o comprimento da curva (hélice circular).
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cut
dtdt
dtttsen
dttsentCL
.222.22
211
1cos
1cos
2
0
2
0
2
0
2
0
22
2
0
222
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EXEMPLO 2
Vamos calcular o comprimento da curva
1,0)2,,()(
tteet tt
Cálculo da derivada da função dada.
)2,,()`( tt eet
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cue
e
eeeeee
dteedtee
dtee
dteeCL
tt
tttt
tt
tt
.1
2
2
001110
1
0
1
0
2
1
0
22
1
0
222
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EXEMPLO 3
Vamos calcular o comprimento da curva
31),,()( 23
tttt
Cálculo da derivada da função dada.
)2,3()`( 2 ttt
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dttt
dttt
dttt
dtttCL
2/123
1
3
1
22
3
1
24
3
1
222
49
49
49
23
Vamos chamar de u e derivar
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cu
t
uduu
dutdttdtdutu
.13138585271
49271
32
181
181
181849
3
1
32
2/32/13
1
2
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RESUMINDO
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