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Prof. Rodrigo Carvalho

CÁLCULO DIFERENCIAL E

INTEGRAL


LIMITES

Uma noção intuitiva de Limite

Considere a função f(x) = 2x + 3. Quando x assume uma infinidade de valores, aproximando cada vez mais de zero, 2x + 3 assume uma infinidade de valores, cada vez mais próximos de 3. Dizemos que o limite de f(x), quando x tende a zero, é igual a 3, e escrevemos

3)(lim0

xfx


Suponhamos que f(x) seja uma função real definida em uma

reunião de intervalos, e que xo é um ponto no interior ou no extremo de um destes intervalos. Dizemos que quando podemos fazer f(x)

arbitrariamente próximo de L, tomando x suficientemente próximos de xo , mantendo . No exemplo anterior podemos fazer f(x) próximo de 3 o quanto quisermos, bastando fazer x cada vez mais próximo de zero.

R)(L Lf(x)limoxx

oxx

É importante destacar que não precisamos ter xo pertencente ao domínio de f(x) para calcularmos o limite de f(x) quando x tende a xo.


Analisando graficamente outro exemplo

.6)2(x

6)4)(x(xf(x) função a Seja

1)(lim6

xfx


Regra de L’Hospital

Quando um limite resulta em uma indeterminação aplicamos a Regra de L’Hospital, que consiste em calcular a primeira derivada das funções da razão e, após isso, substituir x por xo.

)('

)('lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xf

xoxxox

.25x-3x

2xx limCalcular

2

2

2x

Ex:

)/ou (0/0


É importante destacar que não precisamos aplicar L’Hospital quando temos um quociente de polinômios. Porém esta regra é nosso único recurso para o cálculo de muitos limites.

Exemplos:

3

2x

x

30x

x

elim b)

x

senxxlim a)

As regras de derivação para esse tipos de funções serão estudadas mais adiante.


Engenheiro(a) de Petróleo Júnior (2/2010)


Propriedades do Limite de uma função

então M,g(x)lim e Lf(x)lim Seaxax

:

cclim .Pax

1

c.Lf(x)limc.[c.f(x)]lim .Paxax

2

MLg(x)limf(x)limg)(x)][(flim .Paxaxax

3

M.Lg(x)lim.f(x)limg)(x)].[(flim .Paxaxax

4


0)(M M

L

g(x)lim

f(x)lim(x)

g

flim .P

ax

ax

ax6

nn

ax

n Lxfxf

)(lim)(lim .Pax

7

nnn

ax5 L)](lim[(x)][(f)lim .P

xf

ax


Noção de continuidade

Seja f uma função definida em um intervalo aberto I e a um elemento de I. Dizemos que f é contínua em a, se

f(a).f(x)limax

Note que para que uma função seja contínua em um ponto é necessário que esse ponto pertença ao domínio desta função.

Da definição, decorre que, se f é contínua em a, então as três condições deverão estar satisfeitas:

f(a)f(x)lim

f(x)limexiste

f(a) existe

ax

ax


Exemplos:

a) A função f(x) = 2x + 1 definida em R é contínua em 1, pois

).1(3)12(limf(x)lim1x1x

fx

b) A função definida em R é descontínua

em 1, pois

).1(43)12(limf(x)lim1x1x

fx

1 xse , 4

1 xse 1,2xf(x)


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DERIVADAS Seja f uma função definida em um intervalo aberto I, e xo um elemento de I. Chama-se derivada de f no ponto xo o limite

se existir e for finito.

o

o

xx0

x-x

)f(x-f(x)lim )(x' f

o

Notações: dx

dfouxf )('

*OBS: Se uma função f é derivável em um ponto xo do seu domínio, então f é contínua em xo. A recíproca dessa propriedade nem sempre é verdadeira.

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Exemplo: Calcule a derivada de f(x) no ponto x0, sendo:

a) f(x) = 2x e x0 = 3;

b) f(x) = x + x e x0 = 1; 2


Derivadas das funções elementares

1. Derivada da função constante

0(x)' fcf(x)

2. Derivada da função potência 1nn n.x(x)' fxf(x)

3. Derivada da função seno

xcos(x)' fsen xf(x)

4. Derivada da função cosseno

sen x(x)' f xcosf(x)


5. Derivada da função exponencial

aln .a(x)' faf(x) xx

.e(x)' fef(x) :particular Em xx

A derivada de uma função f no ponto xo é igual ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa xo.

Interpretação geométrica

)x).(x(x' fyy 000

(Equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa xo)


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Interpretação cinemática

1) A derivada da função horária do deslocamento s = s(t) no ponto t = to é igual à velocidade escalar do móvel no instante to.

2) A derivada da função horária da velocidade v = v(t) no ponto t = to é igual à aceleração escalar do móvel no instante to.


Regras de Derivação

1. Derivada da soma

)(')('(x)' f)()(uf(x) xvxuxvx

2. Derivada do produto

)(').()().('(x)' f)().(uf(x) xvxuxvxuxvx

(x).c.v'(x)' fc.v(x)f(x) :particular Em

(x).u'n.[u(x)](x)' f[u(x)]f(x) :iaConsequênc 1-nn


3. Derivada do quociente

2[v(x)]

(x)u(x).v'(x).v(x)u'(x)' f

v(x)

u(x)f(x)

Consequências:

a) Derivada da função tangente

xsec(x)' f xtf(x) 2 g

b) Derivada da função cotangente

xcossec(x)' f xcotgf(x) 2


Exemplo: Calcule a derivada das funções a seguir:

xtg

7x4xg(x) b)

2

xsen .3f(x) a) 2x

x)2.cos3.sen xsen x(ln .3(x)' f :Resp. x

1) x1).(sec x(sec

x7x).sec(4x x7).tg(8x(x)' g :Resp.

22


Derivada da função composta (Regra da cadeia)

(x)' f (f(x)).g'(x)' Fg(f(x))F(x)

Exemplos:

?dx

dy ; 2xxb)y

?dx

dy ; )sen(xa)y

3

2


4. Derivada da função logarítmica

aln x.

1(x)' fxlogf(x) a

x

1(x)' fln xf(x) :particular Em

Outras derivadas:

2x1

1(x)' fsen x arcf(x)

2x1

1(x)' f xcos arcf(x)

21

1(x)' f x tgarcf(x)

x


Derivadas sucessivas

2.3x5x4xf(x) que talR, em definida f, função a Seja 23


Estudo da variação das funções

1. Crescimento

Seja f(x) uma função Real, definida num intervalo I.

constante é f0)('

edecrescent é f0)('

crescente é f0)('

xf

xf

xf

2. Concavidade

baixo para voltadaeconcavidad temf0)(''

cima para voltadaeconcavidad temf0)(''

xf

xf


3. Pontos extremos, críticos ou extremantes

Seja xo um ponto pertencente ao domínio de f. Se xo é raiz da primeira derivada de f(x), ou seja, f’(xo)=0, então xo é um possível extremante de f. A análise para a verificação se xo é ponto de máximo ou mínimo, depende da substituição de xo na fórmula da segunda derivada de f.

o

o

o

xsobre concluídoser pode nada0)(''

f de local mínimo de ponto é x0)(''

f de local máximo de ponto é x0)(''

o

o

o

xf

xf

xf

A reta tangente ao gráfico de f em xo é paralela ao eixo x.


4. Ponto de inflexão

Seja f uma função contínua no intervalo I = [a;b] e derivável num ponto xo de I. Po é ponto de inflexão de f se Po é o ponto no qual a concavidade “troca de sinal”.

inflexão. de ponto um de abscissa é xentão 0,)(x''' f e 0)(x'' f Se ooo

Ex: Analise o crescimento, a concavidade, extremantes e ponto de inflexão de da função . xxxxf 5)( 23


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INTEGRAIS Integral indefinida

Uma função F para a qual F ’(x) = f(x) para qualquer x no domínio de f, é chamada de primitiva ou antiderivada de f.

O processo de obter uma função a partir de sua derivada é chamado de antiderivação ou integração indefinida.

5.x(x)F' pois 5,xf(x) de primitiva uma é 25x3

xF(x) :Ex 22

3

Propriedade: Se F é uma primitiva de uma função contínua f, então qualquer outra primitiva de f tem a forma G(x) = F(x) + c, onde c é uma constante.


Se f é uma função contínua, então a sua integral indefinida é dada por

cF(x)dx f(x)

A ligação que existe entre derivadas e primitivas permite usar regras já conhecidas de derivação para obter regras correspondentes para a integração. Assim temos o que chamamos de integrais imediatas, as quais são apresentadas na tabela a seguir.


Integrais imediatas


Algumas técnicas de integração

1) Integração por substituição

Ex: Calcule:

dx7x sen 7.a)

dx x .eb)2x

dx 3 .7)(3xc) 15


2) Integração por partes

du vu.vdvu

Ex: Calcule:

dxea x.x)

dx x cos 7).(3x)b


Integral definida

A integral definida de uma função f(x) é uma integral restrita a valores em um intervalo específico [a;b].

b

adx f(x):Notação

Interpretação geométrica

A integral definida de uma função f(x) contínua e positiva, para x variando de a até b, fornece a área limitada pelo gráfico de f(x), o eixo x e as retas x = a e x = b.

Ex: Calcule a área imitada pelo gráfico de e as retas y =0, x = 1 e x = 4.

95)( 2 xxxf


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43 Quanto vale a área da região limitada pelo eixo das abscissas, as retas x = 0 e , e o gráfico da função de R em R cuja lei é f(x) = cos(2x)? 3

x

4

34)

4

13)

4

3)

4

1)

2

1)

E

D

C

B

A


Suponha que f e g sejam definidas e contínuas em [a, b], tais que Então a área da região limitada pelos gráficos de f e g e pelas retas x = a e x = b é dada por

Área de regiões entre curvas:

].,[),()( baxxgxf

b

a

dx g(x)][f(x)A


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