UFG - UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOISCAMPUS CATALODEPARTAMENTO DE MATEMTICACURSO DE LICENCIATURA EM MATEMTICAPOLO DE GUAS LINDAS DE GOISDISCIPLINA: CLCULO IIALUNO: JORGE RAMOS NUNESATIVIDADES DA SEMANA I

Mximo e MnimoO vdeo inicia apresentando a importncia de aperfeioar na soluo de problemas de otimizao, o que consiste em maximizar e ou minimizar o valor de certa grandeza a ela relacionada. Quanto definio diz que seja uma funo f definida no domnio D. Dizemos que o mximo absoluto de uma funo f em um intervalo D o maior valor possvel de f(x) quando x varia em todo o intervalo D. Analogamente, o mnimo absoluto de uma funo tem um intervalo D o menor valor de f (x) quando x percorre todo o intervalo D. Um mximo ou mnimo absoluto s vezes chamado de mximo ou mnimo global. Os valores mximos e mnimos de f so chamados de valores extremos de f.

Mximo e Mnimo LocalDefinio de Mximo Local: Dizemos que o nmero f(c) um valor mximo local (ou mximo relativo) em x = c se f(x) f(c) para todo x em algum intervalo aberto de D contendo c. Definio de Mnimo Local: Analogicamente, dizemos que o nmero f(c) um valor mnimo local (ou mnimo relativo) em x = c se f(x) > f(c) para todo x em algum intervalo aberto de D contendo c.Observao: Todo mximo global um mximo local, mas nem todo mximo local um mximo global. Da mesma forma, todo mnimo global um mnimo local, mas nem todo mnimo local um mnimo global. Veja as definies acima no grfico abaixo: C1 Mximo local/AbsolutoC2 Mnimo LocalC3 - Mximo localC4- Mnimo Local/AbsolutoC3C1C2C4a b x y

Quanto determinao dos valores de mximo e de mnimo locais preciso perceber que uma funo f com valor mximo em c e mnimo em d. Parece que nos pontos de mximo e de mnimo as retas tangentes so horizontais ao eixo x e, portanto, cada uma tem inclinao 0. Sabemos que a derivada a inclinao da reta tangente, assim parece que f(c) = 0 e f(d)=0. O teorema de Fermat afirma que isso sempre verdadeiro para as funes diferenciveis. Assim podemos concluir que para o teorema de Fermat se uma funo f tiver um mximo ou mnimo local em x = c e se for derivvel nesse ponto, ento f(c) =0.Veja o grfico abaixo para maior compreenso:(c,f(c))(d,f(d))cd

Observao: Vale ressaltar que o teorema de Fermat no se aplica para funes que no possuem derivada em algum ponto. Por exemplo, a funo modular y | x | tem mnimo absoluto em x 0, mas no tem reta tangente horizontal nesse ponto. Portanto, conclumos que num ponto de mximo ou mnimo local, x c ou no existe f(c) ou, caso exista, o valor de f(c) deve ser igual zero. Veja a definio abaixo:Definio: um ponto crtico de uma funo f um nmero c, no domnio de f, tal que f(c) 0 ou f(c) no existe. Se uma funo f tiver um mximo ou mnimo local em x = c, ento c um ponto crtico de f.Devemos ter cuidado ao usar o teorema de Fermat porque o mesmo no afirma que num ponto crtico de uma funo f existir um mximo ou mnimo absoluto. Exemplo: se f(x)=|x|, ento f(0)=0 ponto crtico, o valor mnimo, mas f(0) no existe. Veja o grfico abaixo:yxY=|x|0

Para finalizarmos acerca da busca pelos valores de mximo e mnimo absolutos de uma funo contnua f definida num intervalo [a, b], observamos que ou esses pontos mximos ou mnimos locais de f, ou so extremos do intervalo da funo f.

Mtodo do intervalo fechado: Para encontrar os valores mximo e mnimo absolutos de uma funo contnua f em um intervalo fechado [a, b], devemos seguir os passos a seguir:1 Encontre os valores f(x) para todo ponto critico x no intervalo aberto (a, b);2 Calcule os valores f(a) e f(b);3 O maior valor encontrado nas etapas 1 e 2 o mximo absoluto de f. Ao passo que o menor desses valores o valor mnimo absoluto.Vejam agora alguns exemplos de aplicabilidade do mximo e mnimo absoluto, primeiramente devemos encontrar a funo que nos leva soluo do problema, calcular sua derivada, obtendo uma funo dependendo somente de uma varivel. Em seguida, igualamos a zero, obtendo uma equao. Agora s calcular seu valor e obteremos o valor de mximo ou de mnimo.

Exemplo 1: Deseja-se confeccionar uma trave para um campo de futebol com uma viga de 18m de comprimento. Encontre as dimenses para que a rea do gol seja mxima.Vamos esboar um desenho de uma trave genrica:xy

Pelos dados fornecidos pelo enunciado do problema, temos que:2x + y=18Y=18 2x(2.1)

A rea do gol dada pela frmula da rea do retngulo formado:A = x * y(2.2)

Substitumos a (2.1) na (2.2), obtendo:A = x(18-2x)A = 18x 2x2(2.3)

Calculamos, agora, a derivada da funo A(x):A = (18.1) 2.2xA = 18 4x

Igualando a zero, obtermos uma equao linear que nos leva ao clculo de mximo:18 4x = 04x = 18x = :(2)x = : (2)x = 4,5

Encontramos a altura x da trave. Para encontrarmos sua altura, substitumos o valor de x na (2.1):Y = 18 2xy = 18 2 * 4,5y = 18 9y = 9

Exemplo 2: Um fabricante de caixas de papelo pretende fazer caixas sem tampas a partir de folhas quadradas de carto com rea igual a 576cm2, cortando quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando os lados para cima. Determinar o lado do quadrado que deve ser cortado para se obter uma caixa com o maior volume possvel.Interpretando o enunciado, podemos esboar:x24 - 2xx

Como a rea total de 576cm2, o lado da folha :A = lA = 576l = 576 cml =l = 24 cm

O volume da caixa ser dado por:v = Ab.hv = l * xv = (24 2x) * xv = (24 2x) * (24 2x) * xv = (576 48x 48x + 4x) * xv = (576 96x + 4x) * xv = 4x3 96x +576x

Calculamos agora a derivada da funo V(x):V = 4x3 96x + 576xV= 3*43-1 2*96x + 576*1V = 12x 192x +576

Igualamos a zero, obtendo a equao quadrtica:V = 12x 192x +57612x 192x +576 = 0

Dividimos a equao por 12, obtemos:12 192 +576 = 0 : 12 16 + 48 = 0

1 = 122 = 4

Encontramos dois valores para x, mas vejam que somente x2 satisfaz o problema, j que se temos o lado da folha igual a l = 24 2x, se substituirmos x1, obteremos um lado nulo.

Ento a caixa dever ter as dimenses de:Lado:l = 24-2xl = 24 (2*4)l = 24 8l = 16 cmAltura:h = xh = 4cm

Referencias Bibliogrficas

LCMAquino. Clculo I - Mximo e Mnimo de Funes. Disponvel em: . Acesso em: 30 de maio de 2015.

KILHIAN, Kleber. Aplicao de Derivada para Determinao de Mximos e Mnimos. 2010. Disponvel em: . Acesso em: 30 maio 2015.

STEWART, James. Clculo I. 7. ed. So Paulo: Cengage Learning Edies Ltda, 2012. EZ2 Translate.