Calculo Diferencial e Integral 1
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Bachillerato Alexander Bain
NOTAS PARA EL CURSO DE
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Ciclo Escolar 2014 - 2015
Cálculo Diferencial e Integral
2
Índice
Cálculo Diferencial e Integral I
1.- Desigualdades.
Desigualdades Lineales. 6
Método de la Tabla Para Resolver Desigualdades. 7
Ejercicios. 11
2.- Funciones
Definición de Función. 12
Operaciones Elementales entre Funciones. 13
Cálculo del Dominio de una Función a partir de su Ecuación. 14
Rango de una Función. 16
Funciones Inyectivas, Suprayectivas y Biyectivas. 16
Función Inversa. 17
Cálculo del Rango de una Función a partir de su Inversa. 18
Gráfica Asociada a una Función. 19
Método Gráfico para Determinar si una Función es Inyectiva. 21
Funciones Polinomiales y Racionales. 23
Funciones Exponenciales y Logarítmicas. 24
Funciones Trigonométricas. 26
Transformaciones. 31
Funciones Definidas por Pedazos. 34
Ejercicios. 36
3.- Límites.
Definición de Límite. 40
Límites en Caso de Contradicción. 40
Límites al Infinito. 41
Límites en Caso de Indeterminación. Límites Laterales. 42
Método de Cambio de Variable. 44
Ejercicios. 46
4.- Cálculo Diferencial.
Definición de Derivada. 48
Derivada Por Los Cuatro Pasos. 48
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Fórmulas de Derivadas. 50
La Regla de La Cadena 52
Ejemplos Diversos. 57
Ejercicios. 59
5.- Optimización. Cálculo de Máximos y Mínimos de una Función.
Pasos para Encontrar los Máximos y Mínimos de una Función. 61
Aplicaciones a la Economía (Decisiones de Empresas) 64
Aplicaciones a la Economía (Decisiones de Consumidores) 67
Ejercicios. 71
6.- Análisis Marginal.
Cambios Marginales. 74
Análisis Marginal y Derivadas. 74
Ejercicios. 76
7.- Método de Aproximación de Taylor.
Polinomio de Taylor. 78
Polinomios de Taylor más Utilizados. 79
Ejercicios. 81
8.- Método de Newton – Raphson
Teorema del Valor Intermedio. 82
Fórmulas Recursivas. 83
Método de Newton- Raphson. 83
Resolución de Ecuaciones con el Método de Newton – Raphson. 86
Ejercicios. 87
9.- Interpolación de Spline.
Planteamiento de las Ecuaciones de Spline. 88
Obtención de las Ecuaciones de Spline. 88
Ejemplo. 90
Ejercicios. 92
Cálculo Diferencial e Integral
4
10.- Cálculo de Rectas Tangentes.
Ecuación Punto – Pendiente. 94
Cálculo de Rectas Tangentes. 94
11.- Graficación con Cálculo Diferencial.
Pasos a Seguir. 96
Ejemplos. 96
Cálculo Diferencial e Integral II
12.- Introducción al Cálculo Integral.
Teorema Fundamental del Cálculo. 103
La Constante. 104
Propiedades de las Integrales. 104
Integrales Directas. 105
Ejercicios. 108
13.- Técnicas de Integración. Integrales Por Sustitución y Por Partes.
Integrales Por Sustitución. 109
Integrales Por Partes. 111
Integrales Por Partes (Telescópicas) 114
Casos Especiales. 115
Ejercicios. 117
14.- Técnicas de Integración. Integrales Por Sustitución Trigonométrica y Por Fracciones
Parciales.
Integrales Por Sustitución Trigonométrica. 120
Integrales Por Fracciones Parciales. 127
Ejercicios. 133
15.- Áreas y Volúmenes de Revolución.
Teorema Fundamental del Cálculo Integral. 136
Área entre Curvas. 139
Volúmenes de Revolución. 142
Integrales Impropias. 144
Ejercicios. 147
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
16.- Aplicaciones del Cálculo Integral.
Excedente del Consumidor. 149
Cálculo de la Constante de Integración. 151
Ejercicios. 153
Tema Adicional: Integrales Trigonométricas 155
Apéndice: Fracciones. 160
Bibliografía. 162
Cálculo Diferencial e Integral
6
Desigualdades
Desigualdades Lineales
Una desigualdad es una relación de orden entre dos números (o variables) donde se
expresa que uno de esos dos elementos es mayor que el otro. Para expresar esta
relación simbólicamente utilizamos el signo <ó > . Así, 𝑎 < 𝑏 significa 𝑎 es menor que 𝑏.
Mientras que 𝑎 > 𝑏 significa que 𝑎 es mayor que 𝑏.
Normalmente utilizamos desigualdades que involucran una ecuación o una función.
Resolver una desigualdad significa encontrar todos los posibles valores de la variable que
cumplen la desigualdad. Cuando estamos utilizando funciones también podemos usar los
símbolos ≤ (menor o igual) y ≥ (mayor o igual). Un ejemplo de una desigualdad es
𝑥2 − 2𝑥 + 1 > 0
En este caso, buscamos todos los valores de 𝑥 tales que 𝑥2 − 2𝑥 + 1 sea positivo.
Para poder expresar todos los valores de la variable que satisfacen la desigualdad
debemos usar la notación de intervalos.
Recordemos que un intervalo de números reales es un segmento de la recta real, para
denotar a un intervalo podemos usar corchetes [𝑎, 𝑏] o paréntesis (𝑎, 𝑏). Si dentro del
intervalo queremos considerar a los dos extremos (en este caso son 𝑎 𝑦 𝑏), entonces
utilizamos corchetes, esto significa que el intervalo incluye a éstos dos números. Éste tipo
de intervalos se conocen como intervalos cerrados. Si dentro del intervalo no queremos
considerar a los extremos, entonces utilizamos paréntesis. Éste tipo de intervalos son
intervalos abiertos.
Entonces resolver la desigualdad significa dar un intervalo (abierto o cerrado) de valores
de la variable que al aplicarse a la ecuación, cumplen la desigualdad.
Ejercicio. Resolver la desigualdad 5𝑥 − 20 > 0
Para encontrar qué valores de 𝑥 cumplen esta desigualdad, lo único que debemos hacer
es despejar utilizando las reglas que ya conocemos.
5𝑥 − 20 > 0 ⇒ 5𝑥 > 20 ⇒ 𝑥 > 20
5 ⇒ 𝑥 > 4
Por lo tanto toda 𝑥 que sea mayor que cuatro, cumple con esta desigualdad. Por lo tanto
la solución de esta desigualdad es
5𝑥 − 20 > 0 𝑠𝑖 𝑥 ∈ (4,∞)
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Ejercicio. Resolver la desigualdad 3𝑥 − 20 ≥ 5𝑥 + 15
Para poder resolver esta desigualdad, podemos convertir esta expresión en una ecuación
que sea mayor o igual que cero
3𝑥 − 20 ≥ 5𝑥 ∓ 15 ⇒ 3𝑥 − 20 − 5𝑥 − 15 ≥ 0 ⇒ −2𝑥 − 15 ≥ 0
Ahora si, al igual que en el caso anterior, despejamos a la variable
−2𝑥 − 15 ≥ 0 ⇒ −2𝑥 ≥ 15
El siguiente paso es pasar dividiendo por −2, pero debemos recordar, que una regla de
las desigualdades es que si pasamos multiplicando o dividiendo por un número negativo,
la desigualdad se voltea. Entonces
−2𝑥 ≥ 15 ⇒ 𝑥 ≤ −15
2
Por lo tanto
3𝑥 − 20 ≥ 5𝑥 + 15 𝑠𝑖 𝑥 ∈ (−∞ ,15
2]
Método de la Tabla para Resolver Desigualdades
El método de la tabla es una herramienta muy útil para resolver desigualdades en donde
aparecen ecuaciones de segundo grado o de grado mayor (Es decir hay una variable
elevada al cuadrado o a una potencia mayor). Los pasos para utilizar el método de la
tabla son los siguientes:
1. Poner la desigualdad de tal manera que de un lado queden todas las variables y
del otro lado sea cero.
2. Factorizar la ecuación
3. Encontrar las raíces de la ecuación
4. Crear una tabla poniendo en un renglón distinto a cada polinomio que forma parte
de la ecuación ya factorizada
5. En las columnas de la tabla, colocar intervalos que tengan en los extremos a las
raíces de la función y que estén ordenados
6. En cada intersección de renglón con columna, escribir si el polinomio que está en
el renglón es positivo o negativo en el intervalo que está en la columna
7. Al final, multiplicar de manera vertical y anotar si el resultado es positivo o negativo
8. Escribir el resultado final
Cálculo Diferencial e Integral
8
Descritos así los pasos, pueden sonar complicados, por eso a continuación se ponen
varios ejemplos para que quede más claro.
Ejercicio. Resolver la desigualdad (𝑥 − 4)(𝑥 + 10) > 0
Para resolver esta desigualdad, debemos usar el método de la tabla ya que tenemos una
ecuación de segundo grado.
Notemos que ya para esta desigualdad, no debemos hacer los dos primeros pasos
porque ya la ecuación esta factorizada y despejada.
Busquemos entonces las raíces de la función
(𝑥 − 4)(𝑥 + 10) = 0 𝑠𝑖 𝑥 = 4 ó 𝑥 = −10
Ahora construyamos la tabla, usando estas raíces y como se indica en los pasos a seguir
(−∞,−10)
(−10, 4)
(4,∞)
𝑥 − 4
Negativo
Negativo
Positivo
𝑥 + 10
Negativo
Positivo
Positivo
Ahora multiplicamos verticalmente
(−∞,−10)
(−10, 4)
(4,∞)
𝑥 − 4
Negativo
Negativo
Positivo
𝑥 + 10
Negativo
Positivo
Positivo
(𝑥 − 4)(𝑥 + 10)
Positivo
Negativo
Positivo
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Por lo tanto la solución de esta desigualdad es
(𝑥 − 4)(𝑥 + 10) > 0 𝑠𝑖 𝑥 ∈ (−∞,−10) ∪ (4,∞)
Ejercicio. Resolver 𝑥2 − 2𝑥 > 3𝑥 − 4
Primero, debemos despejar la desigualdad para que nos quede de la forma mayor o igual
que cero
𝑥2 − 2𝑥 > 3𝑥 − 4 𝑠𝑖 𝑥2 − 5𝑥 + 4 > 0
Ahora, hay que factorizar esta ecuación
𝑥2 − 5𝑥 + 4 = (𝑥 − 4)(𝑥 − 1)
Entonces buscamos resolver la desigualdad (𝑥 − 4)(𝑥 − 1) > 0
Las raíces de esta ecuación, son claramente 𝑥 = 4 y 𝑥 = 1 ya que son los valores que
hacen que (𝑥 − 4)(𝑥 − 1) sea cero. Construyamos la tabla
(−∞, 1)
(1,4)
(4,∞)
𝑥 − 4
Negativo
Negativo
Positivo
𝑥 − 1
Negativo
Positivo
Positivo
(𝑥 − 1)(𝑥 − 4)
Positivo
Negativo
Positivo
Por lo tanto
𝑥2 − 2𝑥 > 3𝑥 − 4 𝑠𝑖 𝑥 ∈ (−∞, 1) ∪ (4,∞)
Cálculo Diferencial e Integral
10
Ejercicio. Resolver la siguiente desigualdad
9 − 𝑥
3𝑥 + 1< 5
Ahora, como aparece una división en la desigualdad, lo que debemos hacer es poner de
un lado del desigual un cero y luego simplificar el otro lado sumando las fracciones.
9 − 𝑥
3𝑥 + 1− 5 < 0 ⇒
9 − 𝑥 − 15𝑥 − 5
3𝑥 + 1< 0
4 − 16𝑥
3𝑥 + 1< 0
Ahora, encontramos las raíces de los polinomios que aparecen en la desigualdad. Estas
son 𝑥 = 4 𝑦 𝑥 = −1/3. Después construimos la tabla
(−∞,−1
3)
(−1
3, 4)
(4,∞)
4 − 16𝑥
Positivo
Positivo
Negativo
3𝑥 + 1
Negativo
Positivo
Positivo
4 − 16𝑥
3𝑥 + 1
Negativo
Positivo
Negativo
Por lo tanto
9 − 𝑥
3𝑥 + 1< 5 𝑠𝑖 𝑥 ∈ (−∞,−
1
3) ∪ (4,∞)
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Ejercicios
1.- Resuelve las siguientes desigualdades
a) 8𝑥 − 4 < 10
b) 9 + 𝑥 ≥ 3𝑥 + 10
c) 4 ≤3−4𝑥
4< 9
d) |𝑥 − 1| ≤ 10
e) |5−𝑥
20| ≥ 5
2.- Resuelve las siguientes desigualdades utilizando el método de la tabla.
a) 𝑥2 − 4 ≤ 12
b) 2𝑥2 + 4𝑥 > 𝑥2 + 32
c) 𝑥2 + 4𝑥 + 50 ≤ 2𝑥2 + 5𝑥 − 160
d) 𝑥3 − 100𝑥 > 0
e) 8𝑥−1
𝑥+3 ≤ 10
f) 𝑥+1
𝑥−1> 2
g) 5𝑥+1
5𝑥> 1
h) |2−𝑥
𝑥+1 | ≤ 1
i) |𝑥2 − 𝑥| ≤ 2
j) 𝑥3 − 𝑥 > 4𝑥2 − 4
Cálculo Diferencial e Integral
12
Funciones
Definición de Función
Una función 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 es una regla de correspondencia entre el conjunto A y el B donde a
cada elemento de A se le asigna exactamente un elemento del conjunto B. Al conjunto A
se le conoce como dominio de la función (Denotado como 𝐷(𝑓) ). Al conjunto B se le
conoce como contradominio de la función (Denotado como 𝐶(𝑓) ). Para expresar la
relación entre un elemento 𝑎 ∈ 𝐴 y un elemento 𝑏 ∈ 𝐵 se escribe 𝑓(𝑎) = 𝑏, esto significa
que 𝑎 𝑦 𝑏 están relacionados a través de la función f.
Hay varias maneras de escribir la regla de correspondencia entre los dos conjuntos: si el
conjunto no es muy grande, entonces se puede escribir uno por uno el elemento de B que
le corresponde a cada elemento de A. Por ejemplo si 𝐴 = { 1 , 2 , 3} y 𝐵 = { 𝑎 , 𝑏, 𝑐} una
función entre A y B podría ser tal que
𝑓(1) = 𝑏 𝑓(2) = 𝑎 𝑓(3) = 𝑐
Otra manera de describir a una función es con un diagrama. La manera como se
describiría la función anterior es la siguiente:
En los diagramas, la flecha que va del conjunto A al B representa la correspondencia que
tiene cada elemento de A con un elemento de B.
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
La manera más común de representar una función es la manera algebraica (o analítica),
es decir escribir la función como una ecuación. Esta forma no siempre se puede, para
poder usar la manera algebraica lo primero que necesitamos es que A y B sea un
conjunto de números. Si tomamos 𝐴 = { 1, 2, 3, 4, 5} y 𝐵 = { 2,3,4,5,6}, un ejemplo de una
función entre A y B representada de la forma algebraica es
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1
Para saber con qué elemento de B está relacionado cada elemento de A, simplemente
debemos evaluar la función sustituyendo la x por el elemento de A.
Las funciones con valores reales son aquellas que tienen como dominio y rango a ℝ , el
conjunto de los números reales. Como el conjunto de los números reales es un conjunto
con infinitos elementos, la única forma de expresar una función que toma valores reales
es la manera analítica. A partir de ahora nos dedicaremos a estudiar solamente las
funciones que toman valores reales.
Operaciones Elementales entre Funciones
Hay algunas operaciones básicas entre funciones. La primera es la suma, dadas dos
funciones 𝑓: ℝ → ℝ , 𝑔 ∶ ℝ → ℝ definimos la suma como
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)
Entonces la suma de funciones no es otra cosa que la suma de la correspondencia de 𝑥 a
través de 𝑓 𝑦 𝑔. Por ejemplo si
𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1 𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑥2
La suma entre 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥) es otra función , a la que llamaremos ℎ(𝑥) , definida como
ℎ(𝑥) = (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 + 1
De manera similar, podemos restar, multiplicar y dividir funciones de esta manera:
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)
(𝑓𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)
(𝑓
𝑔) (𝑥) =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥) 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑦 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑔(𝑥) ≠ 0
Es importante notar que al aplicar estas operaciones entre dos funciones estamos
obteniendo otra función con distinta ecuación algebraica. Por ejemplo el producto entre
𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥) , llamado 𝑠(𝑥) , sería
𝑠(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = 𝑥2(3𝑥 + 1) = 3𝑥3 + 𝑥2
Cálculo Diferencial e Integral
14
La operación más importante que existe entre dos funciones es la composición. Dadas
dos funciones 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥) ,la composición de 𝑔 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑓 es
(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))
Es decir, la composición entre dos funciones es evaluar una en la otra. Es importante
notar que (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) ≠ (𝑔𝑜𝑓)(𝑥) generalmente. Con las siguientes funciones calculemos
(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) 𝑦 (𝑔𝑜𝑓)(𝑥)
𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑔(𝑥) = 5𝑥 − 4
(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = (5𝑥 − 4)2 = 25𝑥2 − 40𝑥 + 16
(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 5(𝑥2) − 4 = 5𝑥2 − 4
También se puede componer una función con ella misma. Se denota 𝑓𝑛(𝑥) , donde n es el
número de veces que se compuso a la función f con ella misma. Por ejemplo 𝑓4(𝑥) =
𝑓 (𝑓(𝑓(𝑓(𝑥)))). Si 𝑓(𝑥) =𝑥+1
𝑥 calculemos 𝑓2(𝑥) :
𝑓2(𝑥) = 𝑓(𝑓(𝑥)) =
𝑥 + 1𝑥 + 1
𝑥 + 1𝑥
=
2𝑥 + 1𝑥
𝑥 + 1𝑥
= 𝑥(2𝑥 + 1)
𝑥(𝑥 + 1)= 2𝑥 + 1
𝑥 + 1
Entonces 𝑓2(𝑥) = 2𝑥+1
𝑥+1.
Cálculo Del Dominio De Una Función A Partir De Su Ecuación
No siempre el dominio de una función son todos los números reales. A veces puede ser
que sea imposible evaluar la función en ciertos números. Si tenemos la función expresada
de la manera analítica, podemos fácilmente encontrar el dominio de la función.
Una de las operaciones matemáticas más utilizadas es la división. Sin embargo, hay una
regla fundamental de la división: NO se permite dividir un número entre cero. Entonces, si
tenemos una función con una división, el valor de x que hace que el denominador se
vuelva cero no puede formar parte del dominio de la función.
Por ejemplo si 𝑓(𝑥) = 4𝑥+1
𝑥−7 , el valor de x que hace que el denominador se vuelva cero es
𝑥 = 7. Entonces 𝐷(𝑓) = { 𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≠ 7 }.
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Ejercicio. Si 𝑓(𝑥) = 𝑥−1
𝑥+1 encontrar el dominio de 𝑓2(𝑥).
𝑓2(𝑥) = 𝑓(𝑓(𝑥)) =
𝑥 − 1𝑥 + 1 − 1
𝑥 − 1𝑥 + 1
+ 1=
𝑥 − 1 − 𝑥 − 1𝑥 + 1
𝑥 − 1 + 𝑥 + 1𝑥 + 1
= (𝑥 + 1)(−2)
(𝑥 + 1)(2𝑥)= −
2
𝑥
El único valor que hace al denominador valer cero es 𝑥 = 0. Por lo tanto
𝐷(𝑓2(𝑥)) = { 𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≠ 0 }
Notemos que 𝐷(𝑓) = { 𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≠ −1} , por lo tanto, el dominio de una función y de la
composición de ella misma no tienen que ser iguales.
La raíz cuadrada de un número 𝑥 , es un número real 𝑦 tal que 𝑦2 = 𝑦𝑦 = 𝑥 (Normalmente
se denota a 𝑦 como √𝑥 ). Pero entonces, ningún número negativo puede tener raíz
cuadrada porque siempre el producto de dos números negativos es positivo. No existe
ningún número real negativo que al multiplicarlo por sí mismo de como resultado un
número negativo. Entonces, si tenemos una función que tenga una raíz cuadrada,
debemos eliminar del dominio todas las x tales que el argumento de la raíz sea negativo.
Por ejemplo si 𝑓(𝑥) = √4𝑥 − 16 busquemos todos los valores de x tales que 4𝑥 − 16 ≥
0. Sólo las x que cumplan esta propiedad pueden formar parte del dominio de la función.
4𝑥 − 16 ≥ 0 ⇒ 4𝑥 ≥ 16 ⇒ 𝑥 ≥ 4
Entonces 𝐷(𝑓) = { 𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≥ 4 }. También podemos escribir al dominio de 𝑓(𝑥) como
𝐷(𝑓) = [4 ,∞)
Ejercicio. Dar el dominio de 𝑓(𝑥) = √𝑥−10
(𝑥−15)(𝑥+10)
Para encontrar el dominio de esta función necesitamos dos cosas: Que el denominador
no sea cero para ninguna x y que además el argumento de la raíz no sea negativo.
𝑥 − 10 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥ 10
(𝑥 − 15)(𝑥 + 10) = 0 𝑠𝑖 𝑥 = 15 ó 𝑥 = −10
Como necesitamos que se cumplan ambas cosas a la vez, el denominador sólo va a ser
cero cuando x = 15 ya que x no puede valer -10 porque si lo hiciera el argumento de la
raíz sería un número negativo. Por lo tanto
𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≥ 10 𝑦 𝑥 ≠ 15 }
Cálculo Diferencial e Integral
16
Rango de una Función
El rango (o imagen) de una función son todos los elementos del contradominio tales que
existe un elemento del dominio con el que están relacionados. Se denota 𝑅(𝑓).
𝑅(𝑓) = { 𝑏 ∈ 𝐶(𝑓) | ∃ 𝑎 ∈ 𝐷(𝑓) 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑎) = 𝑏 }
No necesariamente el contradominio de una función tiene que ser igual al rango. Por
ejemplo si 𝑓(𝑥) = 1 (esta es la función constante igual a uno donde a todo número real se
le asocia el 1) el contradominio de una función con valores reales es ℝ y sin embargo
para esta función 𝑅(𝑓) = {1}. En este caso 𝐶(𝑓) ≠ 𝑅(𝑓).
Funciones Inyectivas, Suprayectivas y Biyectivas
La definición de una función nos indica que para que una regla de correspondencia sea
función, a cada elemento del dominio lo debe de relacionar con exactamente un elemento
del contradominio. Pero esta definición no dice que a un elemento del contradominio se le
tiene que asociar exactamente un elemento del dominio. Puede haber varios elementos
del dominio que a través de la función estén relacionados con el mismo elemento del
contradominio.
Decimos que una función es Inyectiva cuando para cada elemento 𝑏 ∈ 𝑅(𝑓) existe un
único elemento en el dominio, 𝑎 ∈ 𝐷(𝑓), tal que 𝑓(𝑎) = 𝑏 . En otras palabras, una función
es inyectiva si cada vez que 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑐) tenemos que 𝑎 = 𝑐 .
Un ejemplo de una función no inyectiva es 𝑓(𝑥) = 1 , la función constante igual a uno.
Esta función no es inyectiva porque 𝑓(1) = 𝑓(2) = 1 y sin embargo 1 ≠ 2.
Ejercicio. Determinar si 𝑓(𝑥) = 𝑥2 es o no inyectiva.
Lo primero que debemos hacer es encontrar 𝑅(𝑓). Para esto recordemos que el cuadrado
de un número siempre es mayor o igual a cero. No hay ningún número real que al elevarlo
al cuadrado nos dé un número negativo. Por lo tanto
𝑅(𝑓) = { 𝑦 ∈ ℝ |𝑦 ≥ 0 } = [0 ,∞)
Por otro lado, 𝐷(𝑓) = ℝ ya que todo número puede ser elevado al cuadrado. Además
sabemos que
𝑎2 = (−𝑎)2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑎 ∈ ℝ
Por lo tanto esta función no es inyectiva, porque para todos los elementos en el rango que
sean positivos hay dos valores en el dominio que al aplicarles la función van a dar a ese
elemento. Por ejemplo
𝑓(1) = 𝑓(−1) = 1 𝑓(2) = 𝑓(−2) = 4 𝑓(√2 ) = 𝑓(−√2 ) = 2
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Decimos que una función es Suprayectiva cuando 𝐶(𝑓) = 𝑅(𝑓). En el ejemplo anterior,
𝑓(𝑥) = 𝑥2, no es suprayectiva porque 𝐶(𝑓) = ℝ y 𝑅(𝑓) = [0 ,∞).
Decimos que una función es Biyectiva cuando es Inyectiva y es Suprayectiva. Saber si
una función es inyectiva o suprayectiva no siempre es tan fácil. En primer lugar porque
calcular el rango de una función no es tan fácil como calcular el dominio. La manera más
sencilla de saber si una función es inyectiva, suprayectiva o biyectiva es utilizando el
método gráfico que estudiaremos más adelante.
Función Inversa
Sea 𝑓(𝑥) una función que toma valores reales. La función 𝑔(𝑥) es la inversa de 𝑓(𝑥) si
(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑥 𝑦 (𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑥
A la función 𝑔(𝑥) normalmente se le denota como 𝑓−1(𝑥).
La función inversa se llama así porque hace exactamente lo contrario que 𝑓(𝑥). Un
ejemplo de una función inversa es la función raíz cuadrada 𝑓(𝑥) = √𝑥 . Esta función es la
inversa de 𝑔(𝑥) = 𝑥2 , porque
(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = √𝑥2 = 𝑥2/2 = 𝑥
(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = (√𝑥)2 = 𝑥2/2 = 𝑥
Esta es una prueba de que elevar al cuadrado y sacar raíz cuadrada son procesos
contrarios.
La manera más fácil de encontrar la inversa de una función es la técnica de cambio de
variable. Esta consiste en llamar 𝑦 = 𝑓(𝑥) , intercambiar las variables de tal forma que 𝑥 =
𝑓(𝑦) y despejar la 𝑦 para que nuevamente 𝑦 sea una función de 𝑥. El resultado de este
despeje es la función inversa 𝑓−1(𝑥).
Ejercicio. Encontrar la inversa de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5. Además dar 𝐷(𝑓−1).
Usaremos la técnica de cambio de variables. Sea 𝑦 = 𝑥2 − 5, ahora cambiamos los
papeles de x e y. Ahora 𝑥 = 𝑦2 − 5 . Después despejamos 𝑦.
𝑥 = 𝑦2 − 5 ⇒ 𝑥 + 5 = 𝑦2 ⇒ 𝑦 = √𝑥 + 5
Por lo tanto 𝑓−1(𝑥) = √𝑥 + 5 . Comprobemos que esta función efectivamente es la
inversa de 𝑓(𝑥)
(𝑓𝑜𝑓−1)(𝑥) = (√𝑥 + 5 )2 − 5 = 𝑥 + 5 − 5 = 𝑥
(𝑓−1 𝑜 𝑓)(𝑥) = √𝑥2 − 5 + 5 = √𝑥2 = 𝑥
Cálculo Diferencial e Integral
18
Para encontrar 𝐷(𝑓−1), necesitamos que el argumento de la raíz sea positiva o cero.
𝑥 + 5 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥ −5
Por lo tanto 𝐷(𝑓−1) = [−5 ,∞).
Ejercicio. Encontrar la inversa de 𝑓(𝑥) = 2𝑥+1
𝑥−1
Sea 𝑦 = 2𝑥+1
𝑥−1 . Cambiando las variables 𝑥 =
2𝑦+1
𝑦−1 . Despejemos y
𝑥 = 2𝑦 + 1
𝑦 − 1 ⇒ 𝑥(𝑦 − 1) = 2𝑦 + 1 ⇒ 𝑥𝑦 − 𝑥 = 2𝑦 + 1
⇒ 𝑥𝑦 − 2𝑦 = 𝑥 + 1 ⇒ 𝑦(𝑥 − 2) = 𝑥 + 1 ⇒ 𝑦 = 𝑥 + 1
𝑥 − 2
Por lo tanto 𝑓−1(𝑥) = 𝑥+1
𝑥−2 .
Cálculo del Rango de una Función a partir de su Inversa
Como ya habíamos dicho, encontrar el rango de una función no es tan fácil como calcular
su dominio. La manera más fácil de encontrar el rango de una función es a partir de su
inversa. Esto se debe a que
𝐷(𝑓) = 𝑅(𝑓−1) 𝑦 𝑅(𝑓) = 𝐷(𝑓−1)
Es decir, el dominio de una función es igual al rango de su inversa, mientras que su rango
es igual al dominio de la función inversa.
Ejercicio. Dar el dominio y rango de 𝑓(𝑥) = 3𝑥−2
𝑥−4
Para el dominio, busquemos el valor de x tal que el denominador sea cero. Este valor es
𝑥 = 4 . Por lo tanto 𝐷(𝑓) = { 𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≠ 4} .
Para encontrar el rango, busquemos la inversa de f(x).
𝑥 = 3𝑦 − 2
𝑦 − 4 ⇒ 𝑥(𝑦 − 4) = 3𝑦 − 2 ⇒ 𝑥𝑦 − 4𝑥 = 3𝑦 − 2
⇒ 𝑥𝑦 − 3𝑦 = 4𝑥 − 2 ⇒ 𝑦(𝑥 − 3) = 4𝑥 − 2 ⇒ 𝑦 = 4𝑥 − 2
𝑥 − 3
Entonces 𝑓−1(𝑥) = 4𝑥−2
𝑥−3 y 𝐷(𝑓−1) = { 𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≠ 3} . Por lo tanto
𝑅(𝑓) = { 𝑦 ∈ ℝ | 𝑦 ≠ 3}
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Ejercicio. Dar el rango de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 10.
Busquemos la función inversa de f(x). Para hacer esto, lo primero que debemos hacer es
completar el trinomio cuadrado perfecto para convertir 𝑥2 − 6𝑥 + 10 en una expresión más
simple1.
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 10 = 𝑥2 − 6𝑥 + 9 + 10 − 9 = (𝑥 − 3)2 + 1
Ahora sí, busquemos la inversa de f(x)
𝑥 = (𝑦 − 3)2 + 1 ⇒ 𝑥 − 1 = (𝑦 − 3)2 ⇒ 𝑦 − 3 = √𝑥 − 1
⇒ 𝑓−1(𝑥) = √𝑥 − 1 + 3
Para encontrar el dominio de 𝑓−1(𝑥) buscamos las x tales que
𝑥 − 1 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥ 1
Por lo tanto 𝑅(𝑓) = 𝐷(𝑓−1) = [1 ,∞)
Gráfica Asociada a una Función
La gráfica de una función es una herramienta muy útil que nos permite conocer más
fácilmente el comportamiento de la función. Para representar a una función gráficamente
se utiliza el plano cartesiano X-Y. Lo que se hace es en el eje de las X representar al
dominio de la función y en el eje de las Y representar el rango. Para hacer esto se llama a
la función 𝑦 = 𝑓(𝑥).
Recordemos que el plano cartesiano consta de parejas (𝑥, 𝑦) llamadas coordenadas.
Entonces, para representar a la función,lo que se hace es trazar las parejas que son de la
forma (𝑥 , 𝑓(𝑥)) donde 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓).
Ejercicio. Hacer una gráfica aproximada de 𝑓(𝑥) = 𝑥2
El método más sencillo para hacer una gráfica es el de tabular. Este consta de dar ciertos
valores a 𝑥 y ver los valores que toma 𝑓(𝑥). Esto nos da una idea aproximada de la
gráfica.
Pero antes de tabular, lo primero que debemos hacer es obtener el dominio y rango de la
función. En este caso
𝐷(𝑓) = ℝ 𝑅(𝑓) = [0 ,∞ )
1 Recordar que para completar el trinomio cuadrado perfecto de 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 se suma y se resta (𝑎
2)2
de tal
forma que queda (𝑥 + 𝑎
2)2 + 𝑏 − (
𝑎
2)2
Cálculo Diferencial e Integral
20
Ahora sí, tabulemos con 𝑥 = 0,1,−1, 2,−2 , 3 𝑦 − 3
𝑓(0) = 0 𝑓(1) = 𝑓(−1) = 1 𝑓(−2) = 𝑓(2) = 4 𝑓(−3) = 𝑓(3) = 9
Entonces la gráfica de 𝑓(𝑥) es aproximadamente la siguiente
Ejercicio. Hacer una gráfica aproximada de 𝑓(𝑥) = 𝑥+1
𝑥−2
Fácilmente nos damos cuenta que 𝐷(𝑓) = { 𝑥 ∈ ℝ| 𝑥 ≠ 2} . Cuando hacemos una gráfica ,
llamamos asíntotas a los valores que la función no puede tomar ,porque se estaría
dividiendo entre cero. En este caso, la asíntota vertical de la función es 𝑥 = 2 . Una
asíntota tiene la propiedad de que la función se acerca mucho a ese valor pero nunca lo
toma.
Para encontrar el rango busquemos la inversa.
𝑥 = 𝑦 + 1
𝑦 − 2 ⇒ 𝑥𝑦 − 2𝑥 = 𝑦 + 1 ⇒ 𝑥𝑦 − 𝑦 = 2𝑥 + 1 ⇒ 𝑓−1(𝑥) =
2𝑥 + 1
𝑥 − 1
Entonces 𝑅(𝑓) = { 𝑦 ∈ ℝ| 𝑦 ≠ 1} y la asíntota horizontal de la función es 𝑦 = 1.
Tabulemos con 𝑥 = 0, 1, −1, −2 , 3 𝑦 − 3
𝑓(0) = 1
−2= −
1
2 𝑓(−1) = 0 𝑓(1) =
2
−1= −2 𝑓(−2) =
−1
−4= 4
𝑓(3) = 4
1= 4 𝑓(−3) =
−2
−5= 2
5
La gráfica aproximada es
x
y
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
En esta gráfica, las líneas rectas (en azul y amarillo) representan las asíntotas de la
función.
Método Gráfico Para Determinar si una Función es Inyectiva
Recordemos que una función es inyectiva cuando para cada elemento del rango, existe
solo un elemento del dominio relacionado con él a través de la función.
El método gráfico para determinar si una función es inyectiva es muy sencillo, lo único que
debemos hacer es trazar rectas horizontales a lo largo de la gráfica y checar que esta
recta sólo toque una vez a la gráfica de la función. Si esto ocurre para cualquier línea
horizontal que tracemos entonces la función es inyectiva.
Por ejemplo, 𝑓(𝑥) = 𝑥2 no es inyectiva porque en su gráfica, todas las líneas horizontales
que tracemos tocan dos veces a la función.
x
y
x
y
Cálculo Diferencial e Integral
22
Ejercicio. Determinar si 𝑓(𝑥) = 3−𝑥
5𝑥 es o no inyectiva,
Lo primero que debemos hacer es trazar la gráfica de esta función. Para esto
necesitamos el dominio y rango primero. Claramente 𝐷(𝑓) = { 𝑥 ∈ ℝ| 𝑥 ≠ 0}. Para el
rango debemos sacar la inversa
𝑥 = 3 − 𝑦
5𝑦 ⇒ 5𝑥𝑦 = 3 − 𝑦 ⇒ 5𝑥𝑦 + 𝑦 = 3 ⇒ 𝑓−1(𝑥) =
3
5𝑥 + 1
Entonces 𝑅(𝑓) = { 𝑦 ∈ ℝ| 𝑦 ≠ −1
5}
Tabulando con 𝑥 = 1,−1 , 2, −2, 3 , −3 nos damos cuenta que la gráfica de la función es
Por lo tanto 𝑓(𝑥) es inyectiva ya que para cualquier recta horizontal que tracemos, ésta
solo intersecta a la función una sola vez.
x
y
x
y
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Funciones Polinomiales y Racionales
Una función polinomial es de la forma
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + …+ 𝑎1𝑥1 + 𝑎0
Con 𝑎𝑛 , … , 𝑎𝑜 ∈ ℝ 𝑦 𝑛 𝜖 ℕ.
Ya hemos dado varios ejemplos de funciones polinomiales, como 𝑓(𝑥) = 𝑥2. Una
característica muy importante de las funciones polinomiales es que su dominio siempre es
𝐷(𝑓) = ℝ .
Ejercicio. Determinar el rango de 𝑓(𝑥) = 𝑥3 y hacer una gráfica aproximada.
La función inversa de 𝑓(𝑥) es 𝑓−1(𝑥) = √𝑥3
, la función raíz cúbica. La raíz cúbica de un
número 𝑥 es un número real 𝑦 con la propiedad que 𝑦3 = 𝑥 . A diferencia de la raíz
cuadrada, los números negativos si tienen raíz cúbica. Esto se debe a que multiplicar un
número negativo por el mismo dos veces da como resultado un número negativo.
Entonces todos los números reales tienen raíz cúbica, por lo tanto 𝐷(𝑓−1) = ℝ y
𝑅(𝑓) = ℝ.
Tabulemos con 𝑥 = 0, 1, −1, 2 𝑦 − 2
𝑓(0 ) = 0 𝑓(1) = 1 𝑓(−1) = (−1)3 = −1
𝑓(2) = 23 = 8 𝑓(−2) = (−2)3 = −8
La gráfica aproximada de esta función es
x
y
Cálculo Diferencial e Integral
24
Las funciones racionales son una división de dos funciones polinomiales. Entonces son de
la forma
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + …+ 𝑎1𝑥
1 + 𝑎0𝑏𝑚𝑥
𝑚 + 𝑏𝑚−1𝑥𝑚−1 + …+ 𝑏1𝑥
1 + 𝑏0
El dominio de una función racional es ℝ menos todos los valores de x tales que el
denominador sea cero.
Funciones Exponenciales y Logarítmicas
La función exponencial con base 𝑎 es de la forma
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ∈ ℝ
Básicamente una función exponencial consta de elevar un mismo número a distintas
potencias. El dominio de las funciones exponenciales siempre es 𝐷(𝑓) = ℝ ya que se
puede elevar un número a cualquier potencia, incluso no importa si el valor de x es
negativo porque recordemos que
𝑎−𝑥 = 1
𝑎𝑥
En una función exponencial, mientras mayor sea el valor de x al que se le aplica la función
mayor será el valor de 𝑓(𝑥). En cambio, mientras menor sea el valor de x menor se vuelve
la función ya que el valor del denominador va aumentando cada vez mas y el numerador
siempre es uno.
La función exponencial más utilizada es
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
Donde 𝑒 es el número de Nepper que es igual a 2.718281828459… . La gráfica de esta
función es
x
y
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
La asíntota de esta función exponencial es 𝑦 = 0 ya que a medida que x es menor, el
valor de 𝑓(𝑥) va disminuyendo mucho y se vuelve casi cero.
Algo que podemos notar, es que no importando el valor que se le dé a 𝑥 , el valor de 𝑓(𝑥)
siempre va a ser positivo. Entonces 𝑅(𝑓) = {𝑦 ∈ ℝ | 𝑦 > 0} = (0 , ∞).
La función logaritmo es la inversa de la función exponencial. Un logaritmo base 𝑎 lo que
nos dice es a que potencia debemos elevar al número 𝑎 de tal forma que nos de el
número al que le aplicamos el logaritmo. De esta manera, por ejemplo, log2( 8) = 3
significa que debemos multiplicar 2 tres veces por si mismo para que el resultado sea 8.
En otras palabras este logaritmo nos dice que 23 = 8.
El logaritmo natural, que es el más utilizado de todos, es un logaritmo con base 𝑒. Se
denota como ln( 𝑎) = log𝑒(𝑎). La función logaritmo natural es
𝑓(𝑥) = ln(𝑥)
El dominio de esta función no son todos los números reales, el dominio de esta función es
𝐷(𝑓) = (0,∞) ya que este es el rango de la función exponencial y recordemos que el
rango de una función es el dominio de su inversa. De la misma manera 𝑅(𝑓) = ℝ ya que
el dominio de una función exponencial son todos los números reales. La función logaritmo
tiene una asíntota en 𝑥 = 0 porque no existe ningún numero 𝑎 ∈ ℝ tal que 𝑒𝑎 = 0.
La gráfica de la función logaritmo natural es
x
y
Cálculo Diferencial e Integral
26
Funciones Trigonométricas
Las funciones trigonométricas son muy importantes debido a que tienen muchas
características que otras funciones no tienen. Las funciones trigonométricas más
importantes e interesantes son la función seno y la función coseno. Recordemos que
𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 𝑐𝑜
ℎ𝑖𝑝 cos(𝜃) =
𝑐𝑎
ℎ𝑖𝑝
Donde 𝑐𝑜 es el cateto opuesto al ángulo 𝜃 , 𝑐𝑎 es el cateto adyacente e ℎ𝑖𝑝 es la
hipotenusa, todo esto en un triángulo rectángulo. El seno y coseno tienen la siguiente
propiedad muy importante
−1 ≤ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) ≤ 1 − 1 ≤ 𝑐𝑜𝑠(𝜃) ≤ 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝜃 ∈ ℝ
Para conocer el valor de seno y coseno de un cierto ángulo se debe partir del círculo
unitario. El círculo unitario tiene por ecuación 𝑥2 + 𝑦2 = 1, es una circunferencia con
centro en el origen y radio igual a uno. Después se toma un punto cualquiera dentro de la
circunferencia y se traza una recta que une al origen con ese punto.
Ya que se trazó esta línea, se forma de manera natural un triángulo rectángulo con
respecto al eje X. Notemos que el valor de la hipotenusa de este triángulo es uno ya que
es el radio del círculo. El valor del cateto opuesto al ángulo formado es el valor de la
coordenada y, mientras que el valor del cateto adyacente es el valor de la coordenada x.
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Entonces para estos valores de x e y
𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 𝑐𝑜
ℎ𝑖𝑝= 𝑦
1= 𝑦 cos(𝜃) =
𝑐𝑎
ℎ𝑖𝑝= 𝑥
1= 𝑥
A lo que llegamos es que el valor del seno y coseno de un ángulo 𝜃 es igual al valor de la
coordenada x o de la coordenada y del punto que al unirse con el origen forma el ángulo
𝜃. Esta relación nos permite sacar el valor de seno y coseno para varios valores
importantes2.
En (1,0) el ángulo formado entre la línea recta que une este punto con el origen es 𝜃 = 0.
Esto quiere decir que 𝑠𝑒𝑛(0) = 0 y cos(0) = 1..
En (0,1) el ángulo formado entre la línea recta que une este punto con el origen es 𝜃 =
𝜋/2. Esto quiere decir que 𝑠𝑒𝑛(𝜋/2) = 1 y cos(𝜋/2) = 0.
En (−1,0) el ángulo formado entre la línea recta que une este punto con el origen es 𝜃 =
𝜋. Esto quiere decir que 𝑠𝑒𝑛(𝜋) = 0 y cos(𝜋) = −1.
En (0,−1) el ángulo formado entre la línea recta que une este punto con el origen es 𝜃 =
3𝜋/2. Esto quiere decir que 𝑠𝑒𝑛(3𝜋/2) = −1 y cos(3𝜋/2) = 0.
A continuación se presenta una tabla con los valores más importantes de seno y coseno.
Es muy importante tener esta tabla en mente para poder graficar bien las funciones
trigonométricas.
2 Hay que recordar que los radianes son una manera de medir ángulos donde 𝜋 = 180° . Normalmente las funciones trigonométricas utilizan radianes y no grados.
Cálculo Diferencial e Integral
28
𝜃
𝑠𝑒𝑛(𝜃)
cos (𝜃)
0 0 1
𝜋/2 1 0
𝜋 0 −1
3𝜋/2 −1 0
2𝜋 0 1
Los valores de 𝑠𝑒𝑛(2𝜋) 𝑦 cos (2𝜋) son los mismos valores que 𝑠𝑒𝑛(0) 𝑦 cos (0).
La función seno es la siguiente
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
El dominio de esta función es 𝐷(𝑓) = ℝ y el rango es 𝑅(𝑓) = [−1, 1]. Usando la tabla
anterior podemos ver que la gráfica de esta función es la siguiente
La función seno tiene la propiedad de ser periódica, es decir, que se repite la forma de la
gráfica cada cierto intervalo. La periodicidad de la función seno es 2𝜋 porque cada vez
que recorremos en el eje X una longitud de 2𝜋, la gráfica de seno se repite.
x
y
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Así se ve la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) con 𝑥 ∈ (−1, 20)
La función coseno es
𝑓(𝑥) = cos (𝑥)
Igual que la función seno, 𝐷(𝑓) = ℝ 𝑦 𝑅(𝑓) = [−1, 1]. Usando los valores de la tabla
podemos observar que la gráfica de la función coseno es la siguiente
x
y
x
y
Cálculo Diferencial e Integral
30
También la función coseno es periódica, su periodo es 2𝜋. Así se ve la gráfica de 𝑓(𝑥) =
𝑐𝑜𝑠(𝑥) con 𝑥 ∈ (−1, 20)
Además de la función seno y la función coseno, hay otras funciones trigonométricas.
Pero, gracias a las identidades trigonométricas, su estudio se basa solamente en conocer
bien a la función seno y coseno.
La función tangente es
𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛(𝑥)
Para estudiar esta función, podemos usar la identidad trigonométrica tan(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos (𝑥) .
Entonces
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos (𝑥)
Aquí nos damos cuenta que el dominio de esta función no son todos los reales ya que hay
valores de x tales que cos(𝑥) = 0. Por ejemplo, en el intervalo [0, 2𝜋] , cuando 𝑥 =
𝜋
2 𝑦 𝑥 =
3𝜋
2 , cos(𝑥) = 0. Entonces 𝑓(𝑥) = tan (𝑥) tiene dos asíntotas verticales en el
intervalo [0, 2𝜋] que son 𝑥 = 𝜋
2 𝑦 𝑥 =
3𝜋
2. El numerador se hace cero en 𝑥 = 0, 𝜋 𝑦 2𝜋 ya
que en esos puntos 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 0.
Con lo anterior nos podemos dar una idea de la función tangente en el intervalo [0, 2𝜋].
Esta es la gráfica aproximada
x
y
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Transformaciones
Si 𝑓: ℝ → ℝ es una función, entonces una transformación de 𝑓(𝑥) es otra función 𝑔(𝑥)
donde
𝑔(𝑥) = 𝑎 𝑓(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 𝑐𝑜𝑛 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ
Cada uno de estos números (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ) alteran de manera distinta a la función 𝑓(𝑥). Al
multiplicar por 𝑎 lo que estamos haciendo es cambiar la amplitud de la función, estamos
estirando con respecto al eje Y a 𝑓(𝑥). Al multiplicar por 𝑏 lo que estamos haciendo es
cambiar la elongación de la función original, es decir, estamos estirando con respecto al
eje X a 𝑓(𝑥). Al sumar 𝑐 estamos desplazando horizontalmente a la función original. Al
sumar 𝑑 estamos desplazando verticalmente a la función original.
En otras palabas, al multiplicar por 𝑎 y sumar 𝑑 estamos moviendo a la función con
respecto al eje Y. Al multiplicar por 𝑏 y sumar 𝑐 estamos moviendo a la función con
respecto al eje X. Es importante aclarar que 𝑏 𝑦 𝑐 tienen un "efecto contrario" sobre la
gráfica de la función. Por ejemplo si 𝑐 = 3 estamos desplazando a la izquierda a la función
3 lugares, mientras que si 𝑐 = −3 estamos desplazando a la derecha a la función 3
lugares.
Ejercicio. Trazar la gráfica de 𝑓(𝑥) = 3𝑠𝑒𝑛(𝑥).
Podemos ver a 𝑓(𝑥) como una transformación de 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) , de tal manera que
𝑓(𝑥) = 3 𝑔(𝑥)
x
y
Cálculo Diferencial e Integral
32
Entonces lo único que se altero con respecto a la función original es la amplitud. La
función 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) se mueve en el eje Y entre -1 y 1. Entonces la función 𝑓(𝑥) =
3 𝑠𝑒𝑛(𝑥) se moverá entre -3 y 3. A continuación está la gráfica de 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) en rojo y
la de 𝑓(𝑥) = 3𝑠𝑒𝑛(𝑥) en azul:
Ejercicio. Trazar la gráfica de 𝑓(𝑥) = 4𝑒𝑥−1
Si 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥 , entonces podemos ver a 𝑓(𝑥) como
𝑓(𝑥) = 4𝑔(𝑥 − 1)
Lo que ahora se alteró es la amplitud y se desplazó horizontalmente a la función un lugar
a la derecha. Tabulando con 𝑥 = −2,−1,0,1,2 la función 𝑔(𝑥) obtenemos lo siguiente
𝑔(−2) = 1
𝑒2= .1353 𝑔(−1) =
1
𝑒= .3678 𝑔(0) = 1
𝑔(1) = 𝑒 = 2.71828 𝑔(2) = 𝑒2 = 7.3890
A partir de estos valores, podemos obtener algunos puntos de la gráfica de 𝑓(𝑥) .
𝑓(−1) = 4𝑔(−2) = .5412 𝑓(0) = 4𝑔(−1) = 1.4712 𝑓(1) = 4𝑔(0) = 4
𝑓(2) = 4𝑔(1) = 10.8731 𝑓(3) = 4𝑔(2) = 29.5562
Teniendo estos puntos podemos trazar una gráfica aproximada de 𝑓(𝑥). A continuación
están graficadas 𝑔(𝑥) en rojo y 𝑓(𝑥) en azul.
x
y
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Ejercicio. Trazar la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 10𝑥 + 30.
Siempre que tengamos un polinomio cuadrado, lo más fácil para trazar su gráfica es
completar el trinomio cuadrado perfecto.
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 10𝑥 + 30 = 𝑥2 − 10𝑥 + 25 + 30 − 25 = (𝑥 − 5)2 + 5
Entonces 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 5)2 + 5 la podemos ver como una transformación de 𝑔(𝑥) = 𝑥2
donde
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥 − 5) + 5
Es decir, la función 𝑓(𝑥) es 𝑔(𝑥) nada mas que fue desplazada 5 lugares a la derecha
(sobre el eje X) y fue desplazada 5 lugares hacia arriba (sobre el eje Y). Entonces así es
la gráfica de 𝑓(𝑥).
x
y
Cálculo Diferencial e Integral
34
Funciones Definidas Por Pedazos
Una función definida por pedazos es aquella que tiene más de una ecuación y que
depende del intervalo donde esta 𝑥 para que sepamos que ecuación usar. Un ejemplo de
una función definida por pedazos es
𝑓(𝑥) = { −𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
En este ejemplo, si el valor de 𝑥 es negativo, la función asocia a 𝑥 el valor de −𝑥 . Pero si
𝑥 es positivo , la función le asocia el valor de 𝑥2. La gráfica de esta función es la siguiente
Gracias a la gráfica podemos ver que esta función no es inyectiva y su rango es 𝑅(𝑓) =
[0,∞) por lo tanto tampoco es suprayectiva.
x
y
x
y
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Ejercicio. Hacer una gráfica de la siguiente función y decir si es inyectiva o si es
suprayectiva.
𝑓(𝑥) = { 𝑒𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
𝑥3 𝑠𝑖 𝑥 < 0
Ya sabemos cómo es la gráfica de 𝑒𝑥 𝑦 𝑑𝑒 𝑥3 , lo único que debemos hacer es recortar
esas gráficas que ya conocemos, quedarnos con la parte que necesitamos y luego juntar
ambas gráficas.
Esta es la gráfica de 𝑓(𝑥)
Analizando la gráfica podemos ver que la función es inyectiva. Como el rango de esta
función es 𝑅(𝑓) = (−∞, 0) ∪ [1,∞) entonces podemos concluir que esta función no es
suprayectiva.
Ejercicio. Hacer una gráfica aproximada de la siguiente función. Decir si es
inyectiva o si es suprayectiva.
𝑓(𝑥) =
{
𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < −1
−1 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 < 1
𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1
x
y
Cálculo Diferencial e Integral
36
Esta función es una recta con pendiente uno si x es menor que menos uno, es una
constante igual a menos uno si x está entre menos uno y uno, y es una función cuadrática
si x es mayor que uno. Así es la gráfica de esta función:
Analizando la gráfica podemos ver que esta función no es inyectiva ya que todos los
valores de 𝑥 ∈ (−1,1) están asociados con el mismo valor a través de la función (que es
menos uno).
El rango de esta función no es ℝ ya que no hay ningún valor de 𝑥 que hace que 𝑓(𝑥) este
en el intervalo (−1,1). Por lo tanto el rango de esta función es
𝑅(𝑓) = (−∞ , −1] ∪ [1,∞)
Esto quiere decir que 𝑓(𝑥) no es suprayectiva.
Ejercicios
1.- Indica si las ecuaciones presentadas a continuación son funciones o relaciones. En
caso de que sean funciones indica su dominio.
a) 𝑥2 + 𝑦2 = 10
b) 𝑦2 = 𝑥2 − 25
c) 𝑦 = √10 − 𝑥
d) 𝑦 = 10𝑥−5
𝑥+1
e) 𝑦 = 5𝑥2−𝑥𝑦
5𝑥
f) 𝑥 = 𝑦2 − 2𝑦 + 1
x
y
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
2.- Considera las siguientes funciones y contesta
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 4 ℎ(𝑥) = 1 + 𝑥
1 − 𝑥 𝑡(𝑥) = 𝑥2 + 4
a) Encuentra el dominio y rango de estas funciones
b) Calcula (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) , (𝑔 𝑜 ℎ)(𝑥) , ℎ(𝑡(𝑥))
c) Falso o Verdadero. La función 𝑡(𝑥) es la inversa de 𝑔(𝑥)
d) Encuentra el dominio de (ℎ 𝑜 ℎ)(𝑥)
e) Da las funciones inversas de 𝑓(𝑥) , 𝑔(𝑥) y ℎ(𝑥)
3.- Grafica las siguientes funciones y da su dominio y su rango. Además di si la función es
inyectiva y si es suprayectiva.
a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1
b) 𝑓(𝑥) = √𝑥
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1
e) 𝑓(𝑥) = 𝑥3
4.- Encuentra la función inversa de cada una de las siguientes funciones. Encuentra el
dominio de la función inversa. A partir de esto, encuentra el rango de la función original. Di
si la función es inyectiva y si es suprayectiva.
a) 𝑓(𝑥) = 3 − 5𝑥
b) 𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 1
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥−1
𝑥+1
d) 𝑓(𝑥) = 3𝑥
𝑥−10
Cálculo Diferencial e Integral
38
5.- Considera las siguientes funciones. Haz una gráfica aproximada de cada una.
Encuentra el dominio y rango de cada una. Di si cada función es inyectiva y si es
suprayectiva.
a) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
b) 𝑓(𝑥) = ln (𝑥)
c) 𝑓(𝑥) = 5𝑒𝑥 − 10
d) 𝑓(𝑥) = 10cos (𝑥)
e) 𝑓(𝑥) = ln(𝑥 − 10) + 5
f) 𝑓(𝑥) = tan(𝑥)
g) 𝑓(𝑥) = −2 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝜋) + 3
h) 𝑓(𝑥) = −𝑒−𝑥
i) 𝑓(𝑥) = ln (2𝑥 + 1)
j) 𝑓(𝑥) = cos (x + π
2) − 1
6.- Encuentra los intervalos del dominio donde cada una de las siguientes funciones es
positiva. (Pista: Usa el método de la tabla)
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥+1
4
b) 𝑓(𝑥) = (𝑥−1)(𝑥+3)
𝑥+4
c) 𝑓(𝑥) = (𝑥+10)(𝑥−5)
(𝑥+1)(𝑥−3)
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥2−1
𝑥2+7𝑥+12
7.- Falso o Verdadero. En caso de que sea falso justifica tu respuesta.
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥−1
2 es una función biyectiva.
b) Una función es suprayectiva cuando el dominio de la función es ℝ
c) El dominio de 𝑓(𝑥) = ln (𝑥 − 1) es 𝐷(𝑓) = { 𝑥 𝜖 ℝ | 𝑥 > 1 }
d) El dominio de la función inversa es el dominio de la función original.
e) La función inversa de 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)𝑛 es 𝑓−1(𝑥) = (𝑥 − 1)1/𝑛
f) La función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) es inyectiva en el intervalo [0 , 2𝜋]
8.- Indica el rango de cada una de las siguientes funciones. Además haz una gráfica
aproximada.
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
a) 𝑓(𝑥) = { −𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
b) 𝑓(𝑥) = { 2𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 < 0
2𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
c) 𝑓(𝑥) = { 𝑒𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
−𝑥2 − 1 𝑠𝑖 𝑥 < 0
d) 𝑓(𝑥) = { 𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 < 2
8 − 2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2
e) 𝑓(𝑥) =
{
𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1
1 𝑠𝑖 1 < 𝑥 < 5
𝑥 − 4 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 5
f) 𝑓(𝑥) = { 𝑥2 − 1 𝑠𝑖 𝑥 < 1
ln(𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1
g) 𝑓(𝑥) =
{
2 𝑠𝑖 𝑥 < 3
2𝑥 − 6 𝑠𝑖 3 ≤ 𝑥 ≤ 6
64 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 6
Cálculo Diferencial e Integral
40
Límites
Definición de Límite
Los límites nos permiten ver el comportamiento de una función cuando 𝑥 se acerca a un
cierto valor. Se pueden utilizar para cualquier valor de 𝑥 , pero normalmente se utilizan para
valores que están en el dominio que llevan a una división entre cero o valores que no
pueden ser evaluados en la función como infinito.
Entonces si lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 , esto significa que a medida que 𝑥 se acerca a 𝑎, el valor de 𝑓(𝑥)
se acerca a 𝐿. Por ejemplo, si lim𝑥→1
𝑓(𝑥) = 10, esto significa que si evaluamos la función en
valores de 𝑥 cercanos a uno (𝑥 = .8, .9 , 1.1, 1.2, 𝑒𝑡𝑐 … ) la función tomara valores
cercanos a 10.
Hay muchas formas de encontrar el valor de un límite y realmente la forma de hacerlo
depende del tipo de límite que se tenga. A continuación se estudiarán varios tipos de límites
y cómo calcular sus valores.
Límites en Caso de Indeterminación
Los límites más sencillos de resolver son cuando al momento de que 𝑥 → 𝑎 se tiene una
indeterminación de la forma lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 0
0 .En este caso lo que hay que hacer es factorizar
el denominador y numerador, simplificar y volver a calcular el límite.
Ejercicio. Encontrar lim𝑥→1
𝑥2−1
𝑥−1
Al evaluar nos queda lim𝑥→1
𝑥2−1
𝑥−1=
0
0 ! 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡.
Entonces lo que se hace es factorizar y luego evaluar otra vez.
𝑥2 − 1
𝑥 − 1= (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
𝑥 − 1= 𝑥 + 1
lim𝑥→1
𝑥 + 1 = 1 + 1 = 2
Por lo tanto
lim𝑥→1
𝑥2 − 1
𝑥 − 1 = 2
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Ejercicio. Encontrar lim𝑥→2
𝑥2−𝑥−2
𝑥2+𝑥−6
lim𝑥→2
𝑥2 − 𝑥 − 2
𝑥2 + 𝑥 − 6= 4 − 2 − 2
4 + 2 − 6= 0
0 ! 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡.
𝑥2 − 𝑥 − 2
𝑥2 + 𝑥 − 6= (𝑥 − 2)(𝑥 + 1)
(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)= 𝑥 + 1
𝑥 + 3
lim𝑥→2
𝑥 + 1
𝑥 + 3 =
2 + 1
2 + 3= 3
5
lim𝑥→2
𝑥2 − 𝑥 − 2
𝑥2 + 𝑥 − 6=3
5
Límites al Infinito
Muchas veces queremos conocer qué valores toma una función 𝑓(𝑥) a medida que el
valor de 𝑥 es grande. Para hacer esto, debemos calcular el límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende
a ser infinito, el valor más grande que existe.
Si lim𝑥→ ∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 , esto significa que mientras más grande sea 𝑥, el valor de 𝑓(𝑥) se
acercará mas a 𝐿.
Ejercicio. Calcular lim𝑥→∞
8𝑥2−4𝑥
4𝑥2−5
Al evaluar nos queda una indeterminación de tipo infinito entre infinito
lim𝑥→∞
8𝑥2 − 4𝑥
4𝑥2 − 5= ∞
∞ ! 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡.
Para resolver este límite lo que hacemos es dividir tanto numerador como denominador
entre 𝑥 elevado a la potencia mayor que aparece en la función. En este caso, la mayor
potencia es 2. Por lo tanto dividiremos denominador y numerador entre 𝑥2.
8𝑥2 − 4𝑥
4𝑥2 − 5=
8𝑥2 − 4𝑥𝑥2
4𝑥2 − 5𝑥2
= 8 −
4𝑥
4 − 5𝑥2
Una vez que ya se modificó la función, se vuelve a aplicar el límite y en donde haya una
división entre 𝑥 ,a medida que el valor de 𝑥 tienda a infinito ,el valor de esa división
tenderá a cero.
lim𝑥→∞
8 − 4𝑥
4 − 5𝑥2
= 8 − 0
4 − 0 = 8
4= 2
Cálculo Diferencial e Integral
42
Por lo tanto
lim𝑥→∞
8𝑥2 − 4𝑥
4𝑥2 − 5= 2
Ejercicio. Encontrar lim𝑥→ ∞
𝑥2+4𝑥
𝑥3−1
lim𝑥→∞
𝑥2 + 4𝑥
𝑥3 − 1 =
∞
∞ ! 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡.
𝑥2 + 4𝑥
𝑥3 − 1=
𝑥2 + 4𝑥𝑥3
𝑥3 − 1𝑥3
=
1𝑥+
4𝑥2
1 −1𝑥3
lim𝑥→∞
1𝑥 +
4𝑥2
1 −1𝑥3
= 0 + 0
1 − 0 = 0
1= 0
lim𝑥→∞
𝑥2 + 4𝑥
𝑥3 − 1 = 0
Podemos calcular límites al infinito de otro tipo de funciones, no nada más de funciones
racionales. Por ejemplo si 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 , a medida que 𝑥 va aumentando, el valor de esta
función va aumentando de manera exponencial, es decir, siempre que aumente 𝑥 va a
aumentar 𝑓(𝑥). Por lo tanto
lim𝑥→ ∞
𝑒𝑥 = ∞
Cálculo de Límites en Caso de Contradicción. Límites Laterales
Otro caso es cuando al momento de calcular un límite y evaluar, el resultado es una división
entre cero, es decir que lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑏
0 con 𝑏 ≠ 0.
Para encontrar el valor de este límite lo que debemos usar son los límites laterales. Estos
consisten en ver qué le pasa a la función a medida que 𝑥 se acerca a 𝑎 por la izquierda (es
decir cuando 𝑥 toma valores menores que 𝑎) y ver qué sucede con la función cuando 𝑥 se
acerca a 𝑎 por la derecha (cuando 𝑥 toma valores mayores que 𝑎). Si los dos límites
laterales dan como resultado el mismo número, entonces decimos que el límite existe.
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Ejercicio. Calcular lim𝑥→4
𝑥+3
𝑥−4
lim𝑥→4
𝑥 + 3
𝑥 − 4= 7
0 !
Para encontrar a qué valor tiende la función a medida que 𝑥 se acerca por la izquierda y
por la derecha lo más fácil es tabular con valores cercanos a 4.
Se busca encontrar el valor del límite cuando 𝑥 → 4−
𝑥 𝑓(𝑥)
3.9 -69
3 -6
2 -2.5
A medida que 𝑥 tiende a ser 4, la función tiende a menos infinito. Por lo tanto
lim𝑥→4−
𝑥 + 3
𝑥 − 4= −∞
Ahora hacemos el caso cuando 𝑥 → 4+
𝑥 𝑓(𝑥)
4.1 71
5 8
6 4.5
lim𝑥→ 4+
𝑥 + 3
𝑥 − 4= ∞
Como los límites laterales no son iguales entonces este límite no existe. La manera de
concluir es la siguiente.
𝐶𝑜𝑚𝑜 lim𝑥→ 4−
𝑥 + 3
𝑥 − 4 ≠ lim
𝑥→4+
𝑥 + 3
𝑥 − 4 ⇒ ∄ lim
𝑥→4
𝑥 + 3
𝑥 − 4
Ejercicio. Considerar la siguiente función y decir si lim𝑥→0
𝑓(𝑥) existe o no. Si existe,
dar su valor.
Cálculo Diferencial e Integral
44
𝑓(𝑥) = { 𝑥2 + 1 𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑒𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
Como esta es una función definida por pedazos y justo cuando 𝑥 = 0 la función cambia de
ecuación, entonces para saber si lim𝑥→0
𝑓(𝑥) existe, debemos usar límites laterales.
Al momento de calcular lim𝑥→ 0−
𝑓(𝑥) , como nos estamos acercando por valores menores
que cero, la ecuación de 𝑓(𝑥) es 𝑥2 + 1. Entonces
lim𝑥→ 0−
𝑓(𝑥) = lim𝑥→0
𝑥2 + 1 = 02 + 1 = 1
Al momento de calcular lim𝑥→ 0+
𝑓(𝑥) , como nos estamos acercando por valores mayores
que cero, la ecuación de 𝑓(𝑥) es 𝑒𝑥. Entonces
lim𝑥→ 0+
𝑓(𝑥) = lim𝑥→0
𝑒𝑥 = 𝑒0 = 1
Por lo tanto, como el valor de los límites laterales es el mismo, podemos concluir que
lim𝑥→0
𝑓(𝑥) = 1
Método De Cambio de Variable
Una de las técnicas más utilizadas para calcular límites es el cambio de variable. Este
método nos ayuda a simplificar el límite y nos lleva a uno de los casos ya estudiados.
Sobre todo lo utilizaremos al momento de calcular límites a menos infinito ya que
podemos tener problemas con los signos de la función si pensamos que es lo mismo que
calcular un límite al infinito.
Ejercicio. Calcular lim𝑥→ −∞
𝑥3−4
𝑥2+1
El método consiste en lo siguiente: Sabemos muy bien tomar límites al infinito, entonces
lo que vamos a hacer es nombrar una variable nueva que cuando 𝑥 tienda a menos
infinito, esta variable tienda a infinito. Entonces
𝑆𝑒𝑎 𝑢 = −𝑥
𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → −∞ 𝑢 → ∞
Ahora despejamos 𝑥 en términos de 𝑢 y sustituimos en el límite
lim𝑥→ −∞
𝑥3 − 4
𝑥2 + 1= lim
𝑢→ ∞
(−𝑢)3 − 4
(−𝑢)2 + 1= lim
𝑢→ ∞
−𝑢3 − 4
𝑢2 + 1
Y ahora calculamos el límite como ya lo hemos hecho
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
lim𝑢→ ∞
−𝑢3 − 4
𝑢2 + 1 = lim
𝑢→ ∞
−𝑢3 − 4𝑢3
𝑢2 + 1𝑢3
= lim𝑢→ ∞
−1 −4𝑢3
1𝑢+
1𝑢3
= −1
0= −∞
Por lo tanto lim𝑥→ −∞
𝑥3−4
𝑥2+1= −∞
Ejercicio. Encontrar lim𝑥→ −∞
𝑒𝑥
Como también este es un límite a menos infinito, usaremos el mismo cambio de variable
que en el límite anterior.
𝑆𝑒𝑎 𝑢 = −𝑥
𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → −∞ 𝑢 → ∞
lim𝑥→ −∞
𝑒𝑥 = lim𝑢→ ∞
𝑒−𝑢 = lim𝑢→ ∞
1
𝑒𝑢
Anteriormente vimos que lim𝑥→ ∞
𝑒𝑥 = ∞ por lo tanto cuando 𝑥 → ∞ , 1
𝑒𝑥 debe tender a cero.
Entonces
lim𝑥→ −∞
𝑒𝑥 = lim𝑢→ ∞
1
𝑒𝑢 = 0
Ejercicio. Sabemos que lim𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥= 1, con esta información calcular lim
𝑥→1
𝑠𝑒𝑛(2𝑥−2)
6𝑥−6
Si evaluamos el límite, llegamos a lo siguiente:
lim𝑥→1
𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 2)
6𝑥 − 6= 𝑠𝑒𝑛(0)
0= 0
0 ! 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡.
Aunque éste no es un límite a menos infinito, también podemos usar el método de cambio
de variables. Como sabemos que lim𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥= 1 , lo que vamos a hacer es convertir el
límite que queremos calcular al límite que ya sabemos su valor.
𝑆𝑒𝑎 𝑢 = 2𝑥 − 2
𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → 1 𝑢 → 0 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑢 = 2(1) − 2 = 0
Entonces
lim𝑥→1
𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 2)
6𝑥 − 6= lim
𝑥→1
𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 2)
3(2𝑥 − 2)= lim
𝑢→0
𝑠𝑒𝑛(𝑢)
3𝑢= 1
3 lim𝑢→0
𝑠𝑒𝑛(𝑢)
𝑢= 1
3(1) =
1
3
Cálculo Diferencial e Integral
46
Ejercicios
1.- Calcula los siguientes límites
a) lim𝑥→3
𝑥2−1
𝑥−3
b) lim𝑥→0
𝑥2−𝑥
𝑥
c) lim𝑥→∞
𝑥3−4𝑥
2𝑥3−5
d) lim𝑥→ ∞
𝑥−4
3𝑥2−5
2.- Se conocen los siguientes datos de una función g(x)
lim𝑥→0−
𝑔(𝑥) = ∞ lim𝑥→0+
𝑔(𝑥) = ∞ lim𝑥→∞
𝑔(𝑥) = 1
lim𝑥→−∞
𝑔(𝑥) = 1 𝑔(1) = 2 𝑔(−1) = 2
a) ¿Existe el límite a medida que 𝑥 tiende a ser cero?
b) Grafica a g(x)
3.- Considera 𝑓(𝑥) = 𝑥
𝑥2−1 y 𝑔(𝑥) =
𝑥+1
𝑥3
a) Calcula lim𝑥→1
𝑓(𝑥)
b) Falso o Verdadero. lim𝑥→∞
𝑓(𝑥) = lim𝑥→∞
𝑔(𝑥)
c) Sea ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) , calcula lim𝑥→−1
ℎ(𝑥) y lim𝑥→∞
ℎ(𝑥)
4.- Encuentra los siguientes límites. En caso de que no existan, justifica.
a) lim𝑥→ ∞
𝑒𝑥
b) lim𝑥→ − ∞
𝑒𝑥
c) lim𝑥→0
ln (𝑥)
d) lim𝑥→ ∞
ln (𝑥)
e) lim𝑥→ ∞
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
5.- Considera la siguiente función y contesta
𝑓(𝑥) = { 𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
a) Haz una gráfica aproximada de esta función
b) ¿Existe lim𝑥→0
𝑓(𝑥) ?
6.- Considera las siguientes funciones y contesta
𝑓(𝑥) = { 𝑥3 𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑒𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
𝑔(𝑥) =
{
−𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 < −1
−1 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 < 2
𝑥 + 𝑎 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2
a) Haz una gráfica aproximada de 𝑓(𝑥)
b) ¿Existe lim𝑥→0
𝑓(𝑥) ?
c) ¿Existe lim𝑥→ −1
𝑔(𝑥) ?
d) Encuentra un valor de 𝑎 ∈ ℝ tal que lim𝑥→2
𝑔(𝑥) exista.
e) Haz una gráfica aproximada de 𝑔(𝑥)
7.- Falso o Verdadero. En caso de que sea falso, justifica.
a) Si lim𝑥→ ∞
𝑓(𝑥) = 𝑏 , con 𝑏 ∈ ℝ, entonces 𝑓(𝑥) tiene una asíntota horizontal en 𝑦 = 𝑏
b) Si lim𝑥→ 𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝑏 y lim𝑥→ 𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝑐 , entonces este límite existirá solo si 𝑏 = 𝑐
c) lim𝑥→ ∞
3𝑥
5𝑥−1 = ∞
d) Si la asíntota horizontal de 𝑓(𝑥) es 𝑦 = 3 entonces lim𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 3
Cálculo Diferencial e Integral
48
Cálculo Diferencial
Definición de Derivada
El cálculo diferencial infinitesimal es el encargado de estudiar el comportamiento de la
pendiente de una función que sea derivable. La pendiente se refiere a cuanto cambia el
valor de f(x) a medida que cambia el valor de 𝑥.
𝑚 = ∆ 𝑌
∆𝑋=
𝑌2 − 𝑌1𝑋2 − 𝑋1
La pendiente que una curva o función puede tomar es conocida como Derivada. La
derivada no solamente nos da la pendiente que la curva tiene sino que también nos da la
pendiente de la recta tangente en el punto donde se está calculando la derivada.
Derivada por los Cuatro Pasos
Como se quiere observar cuanto cambia el valor de f(x) a medida que 𝑥 varía entonces se
van a tomar dos puntos de la función
(𝑥 , 𝑓(𝑥)) 𝑦 (𝑥 + ℎ, 𝑓(𝑥 + ℎ))
Como lo que se quiere es calcular la pendiente entonces
𝑚 =𝑌2 − 𝑌1𝑋2 − 𝑋1
= 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
𝑥 + ℎ − 𝑥=𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
Para obtener el valor más aproximado de la pendiente lo que se quiere es que estos dos
puntos que se tomaron estén muy pegados, es decir queremos que ℎ → 0. Por lo tanto la
derivada de una función es
𝑓′(𝑥) = 𝑑𝑓
𝑑𝑥= lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
Los cuatro pasos son el orden en cómo se tiene que seguir la fórmula para obtener la
derivada de una función.
1.- Obtener 𝑓(𝑥 + ℎ)
2.- Hacer 𝑓(𝑥 + ℎ) – 𝑓(𝑥), además factorizar ℎ
3.- Dividir entre ℎ
4.- Obtener el límite a medida que h tiende a ser cero
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Ejercicio. Derivar 𝑦 = 4𝑥2 − 7𝑥 + 1
1.-
𝑓(𝑥 + ℎ) = 4(𝑥 + ℎ)2 − 7(𝑥 + ℎ) + 1 = 4(𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2) − 7𝑥 − 7ℎ + 1
𝑓(𝑥 + ℎ) = 4𝑥2 + 8𝑥ℎ + 4ℎ2 − 7𝑥 − 7ℎ + 1
2.-
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 + 8𝑥ℎ + 4ℎ2 − 7𝑥 − 7ℎ + 1 − (4𝑥2 − 7𝑥 + 1 )
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) = 8𝑥ℎ + 4ℎ2 − 7ℎ = ℎ (8𝑥 + 4ℎ − 7)
3.-
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ =
ℎ (8𝑥 + 4ℎ − 7)
ℎ= 8𝑥 + 4ℎ − 7
4.-
limℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ= 8𝑥 + 4(0) − 7 = 8𝑥 − 7
Ejercicio. Derivar 𝑦 = 1 − 1
𝑥
Aquí lo recomendable es primero hacer la suma de fracciones y después ya hacer los
cuatro pasos.
𝑦 = 1 − 1
𝑥= 𝑥 − 1
𝑥
1.-
𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑥 + ℎ − 1
𝑥 + ℎ
2.- En este paso hay que recordar como sumar fracciones
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) = 𝑥 + ℎ − 1
𝑥 + ℎ−𝑥 − 1
𝑥= 𝑥(𝑥 + ℎ − 1) − (𝑥 + ℎ)(𝑥 − 1)
𝑥(𝑥 + ℎ)
= 𝑥2 + 𝑥ℎ − 𝑥 − (𝑥2 − 𝑥 + 𝑥ℎ − ℎ)
𝑥(𝑥 + ℎ)= 𝑥2 + 𝑥ℎ − 𝑥 − 𝑥2 + 𝑥 − 𝑥ℎ + ℎ
𝑥(𝑥 + ℎ)=
ℎ
𝑥(𝑥 + ℎ)
Cálculo Diferencial e Integral
50
3.-
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ=
ℎ
ℎ𝑥(𝑥 + ℎ)=
1
𝑥(𝑥 + ℎ)
4.-
limℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ=
1
𝑥(𝑥 + 0)=
1
𝑥(𝑥)=
1
𝑥2
Esta misma definición de derivada es la que se puede usar para demostrar todas las
fórmulas de derivadas que se usarán a continuación.
Fórmulas de Derivadas
1.- Derivada de Una Función Constante
Si 𝑦 = 𝑘 , entonces 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 0 ∀ 𝑘 ∈ ℝ
.
2.- Derivada de Una Función Polinomial
Si 𝑦 = 𝑎𝑥𝑛 ,entonces 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑎𝑛𝑥𝑛−1 ∀ 𝑎 ∈ ℝ
Ejercicio. Derivar 𝑦 = 3𝑥4 − √𝑥 = 3𝑥4 − 𝑥1/2
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 3(4)𝑥4−1 −
1
2𝑥12−1 = 12𝑥3 −
1
2𝑥−1/2
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 12𝑥3 −
1
2𝑥12
= 12𝑥3 − 1
2√𝑥
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
3.- Derivada de Una Función Con Producto
Si 𝑦 = 𝑎𝑏 , entonces 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑎
𝑑𝑏
𝑑𝑥+ 𝑏
𝑑𝑎
𝑑𝑥 ∀ 𝑎, 𝑏 funciones de 𝑥
Ejercicio. Derivar 𝑦 = (𝑥3 − 4𝑥)(𝑥 + 1) utilizando la fórmula anterior
𝑎 = 𝑥3 − 4𝑥 𝑑𝑎
𝑑𝑥= 3𝑥2 − 4
𝑏 = 𝑥 + 1 𝑑𝑏
𝑑𝑥= 1
𝑑𝑦
𝑑𝑥= (𝑥3 − 4𝑥)(1) + (𝑥 + 1)( 3𝑥2 − 4)
4.- Derivada de una Función con Cociente
Si 𝑦 = 𝑎
𝑏 , entonces
𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
𝑏𝑑𝑎
𝑑𝑥−𝑎
𝑑𝑏
𝑑𝑥
𝑏2 ∀ 𝑎, 𝑏 funciones de 𝑥
Ejercicio. Derivar 𝑦 = 𝑥3−4𝑥
𝑥+1
Usando la fórmula de derivada con cociente entonces tenemos
𝑎 = 𝑥3 − 4𝑥 𝑑𝑎
𝑑𝑥= 3𝑥2 − 4
𝑏 = 𝑥 + 1 𝑑𝑏
𝑑𝑥= 1
𝑑𝑦
𝑑𝑥= (𝑥 + 1)(3𝑥2 − 4) − (1)(𝑥3 − 4𝑥)
(𝑥 + 1)2
Ejercicio. Derivar 𝑦 = 𝑥5−8√𝑥
𝑥2/5
𝑎 = 𝑥5 − 8𝑥12
𝑑𝑎
𝑑𝑥= 5𝑥4 − 4𝑥−
12 = 5𝑥4 −
4
√𝑥
Cálculo Diferencial e Integral
52
𝑏 = 𝑥2/5 𝑑𝑏
𝑑𝑥 =
2
5 𝑥−3/5 =
2
5𝑥3/5
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑥2/5 (5𝑥4 −4
√𝑥) − (𝑥5 − 8√𝑥) (
25𝑥3/5
)
𝑥4/5
La Regla De La Cadena
A partir de ahora utilizaremos una propiedad importante de las derivadas que se llama la
Regla de la Cadena. Esta regla nos dice que la derivada de una composición de funciones
es la siguiente:
𝑆𝑖 ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ℎ′(𝑥) = 𝑔′(𝑓(𝑥)) 𝑓′(𝑥)
Básicamente lo que dice es que si se tienen una función y o f(x) , la derivada de esta
función no consiste en derivar únicamente el argumento principal si no también lo que
está dentro de este argumento. Por ejemplo en la función
𝑦 = 5 𝑒𝑥2−1
Podemos ver que hay una exponencial que como argumento tiene una función cuadrática.
Al derivarlo tenemos que derivar la exponencial pero también la función cuadrática. En
casi todas las derivadas que van a venir a continuación , se utilizará la regla de la cadena.
1.- Derivada de una Función Trigonométrica
Vamos a estudiar las derivadas de la función seno y coseno. Conociendo como se
derivan, podemos obtener las derivadas de otras funciones trigonométricas que se
puedan escribir en términos de senos y cosenos.
Si 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑎 , entonces 𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑𝑎
𝑑𝑥cos 𝑎 ∀ 𝑎 función de 𝑥
Aquí podemos ver que se aplica la Regla de la Cadena porque no solo hay que derivar el
seno, también hay que derivar al polinomio 𝑎 con respecto a 𝑥.
Ejercicio. Derivar 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥2 + 4)
𝑎 = 𝑥2 + 4 𝑑𝑎
𝑑𝑥= 2𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 2𝑥 cos (𝑥2 + 4)
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Si 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑎 , entonces 𝑑𝑦
𝑑𝑥= −
𝑑𝑎
𝑑𝑥sen 𝑎 ∀ 𝑎 función de 𝑥
Ejercicio. Derivar 𝑦 = cos (𝑥
𝑥−4)
En esta función 𝑎 = 𝑥
𝑥−4 , pero como hay que derivarlo y es un cociente entonces hay que
usar la fórmula de derivada de una función con cociente
𝑎 = 𝑥
𝑥 − 4
𝑏 = 𝑥 𝑑𝑏
𝑑𝑥 = 1
𝑐 = 𝑥 − 4 𝑑𝑐
𝑑𝑥= 1
𝑑𝑎
𝑑𝑥=𝑐𝑑𝑏𝑑𝑥− 𝑏
𝑑𝑐𝑑𝑥
𝑐2= 𝑥 − 4 − 𝑥
(𝑥 − 4)2=
−4
(𝑥 − 4)2
Por lo tanto
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −
−4
(𝑥 − 4)2 𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
𝑥 − 4) =
4
(𝑥 − 4)2 𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
𝑥 − 4)
Ejercicio. Derivar 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑐𝑜𝑠(𝑥3))
Esta es una función cuya operación principal es un seno que tiene un argumento coseno
que a su vez tiene un polinomio como argumento. Entonces
𝑎 = cos (𝑥3)
Para derivar 𝑎 hay que tomar ahora el argumento del coseno como 𝑏
𝑏 = 𝑥3 𝑑𝑏
𝑑𝑥= 3𝑥2
𝑑𝑎
𝑑𝑥= −
𝑑𝑏
𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑏) = −3𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑥3)
Por lo tanto
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑑𝑎
𝑑𝑥cos(𝑎) = −3𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑥3)cos (cos(𝑥3))
Cálculo Diferencial e Integral
54
Para el resto de las derivadas de funciones trigonométricas lo que hay que hacer es
primero escribirlas en términos de seno y coseno y luego derivar. Este es un recordatorio
de cómo escribir algunas funciones trigonométricas en términos de seno y coseno
tan 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥 cot 𝑥 =
cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
sec 𝑥 = 1
cos 𝑥 csc 𝑥 =
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
Ejercicio. Derivar 𝑦 = tan 𝑥
𝑦 = tan 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos𝑥
Viendo ahora a tangente como seno entre coseno, para derivarla hay que hacerle como si
se tuviera una función con cociente.
𝑎 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑎
𝑑𝑥= cos 𝑥
𝑏 = cos 𝑥 𝑑𝑏
𝑑𝑥= −𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥= cos 𝑥 (cos 𝑥) − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 (−𝑠𝑒𝑛 𝑥)
𝑐𝑜𝑠2𝑥= 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥=
1
𝑐𝑜𝑠2𝑥=
1
cos 𝑥 1
cos𝑥
= sec 𝑥 sec 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥
Por lo tanto la derivada de tangente es secante al cuadrado.
2.- Derivada De Una Función Potencia
Si 𝑦 = 𝑎𝑛 , entonces 𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 𝑛
𝑑𝑎
𝑑𝑥 𝑎𝑛−1 ∀ 𝑎 función de 𝑥
Es importante notar la diferencia entre esta derivada y la derivada de un polinomio. Una
función potencia es todo un polinomio elevado a una potencia, por ejemplo 𝑦 = (𝑥 − 2)7
es una función potencia porque todo el polinomio x-2 esta elevado a la 7. En cambio 𝑦 =
𝑥2 − 4 no es una función potencia porque este polinomio no está elevado todo a una
potencia mayor que uno.
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Ejercicio. Derivar 𝑦 = (𝑥2 − 4𝑥)20
Como hay que utilizar la Regla de la Cadena, 𝑎 va a ser el polinomio que está siendo
elevado a la 20.
𝑎 = 𝑥2 − 4𝑥 𝑑𝑎
𝑑𝑥= 2𝑥 − 4
𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 20 (2𝑥 − 4)(𝑥2 − 4𝑥)19
Ejercicio. Obtener 𝑑𝑦
𝑑𝑥 si 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛5(𝑥4 − 5)
Esto aunque parece una función trigonométrica, en realidad es una función potencia
porque la operación principal en la función es elevar el seno a la 5.
𝑎 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥4 − 5)
Ahora hay que derivar esto usando la derivada de la función seno
𝑏 = 𝑥4 − 5 𝑑𝑏
𝑑𝑥= 4𝑥3
𝑑𝑎
𝑑𝑥= 4𝑥3 cos(𝑥4 − 5)
Entonces
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 5 (4𝑥3 cos(𝑥4 − 5)) 𝑠𝑒𝑛4(𝑥4 − 5) = 20𝑥3 cos(𝑥4 − 5) 𝑠𝑒𝑛4(𝑥4 − 5)
3.- Derivada de una Función Exponencial
Si 𝑦 = 𝑒𝑎 , entonces 𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑𝑎
𝑑𝑥 𝑒𝑎 ∀ 𝑎 función de 𝑥
Hay que recordar que 𝑒 es una constante muy utilizada cuyo valor es e = 2.718281. Para
derivar una función exponencial también se usa la Regla de la Cadena
Ejercicio. Derivar 𝑦 = 𝑒tan (𝑥)
Para poder obtener la derivada de 𝑦 hay que primero derivar a tan (𝑥)
𝑎 = tan 𝑥 𝑑𝑎
𝑑𝑥= 𝑠𝑒𝑐2𝑥
Cálculo Diferencial e Integral
56
𝑑𝑦
𝑑𝑥 = (𝑠𝑒𝑐2𝑥 )𝑒tan𝑥
Ejercicio. Derivar 𝑦 = 𝑒(𝑥3−5)6
𝑎 = (𝑥3 − 5)6
Para poder derivar (𝑥3 − 5)6 hay que hacerlo usando la fórmula para las funciones
potencia
𝑏 = 𝑥3 − 5 𝑑𝑏
𝑑𝑥= 3𝑥2
𝑑𝑎
𝑑𝑥= 6(3𝑥2)(𝑥3 − 5)5 = 18𝑥2(𝑥3 − 5)5
Por lo tanto
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 18𝑥2(𝑥3 − 5)5 𝑒(𝑥
3−5)6
4.- Derivada de una Función Logaritmo Natural
El logaritmo natural es la función inversa de la función exponencial. El logaritmo natural es
un logaritmo base 𝑒. Esto quiere decir que
𝑙𝑜𝑔𝑒(𝑒) = ln(𝑒) = 1
Antes de ver como derivar una función logarítmica, hay que recordar algunas propiedades
de los logaritmos ya que permiten simplificar el álgebra al momento de derivar.
ln(𝑥𝑦) = ln(𝑥) + ln(𝑦)
𝑙𝑛 (𝑥
𝑦) = ln(𝑥) − ln (𝑦)
ln (𝑥𝑦) = 𝑦 ln (𝑥)
Ahora que ya sabemos estas propiedades, derivar se vuelve muy fácil.
Si 𝑦 = ln 𝑎 , entonces 𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
𝑑𝑎
𝑑𝑥
𝑎 ∀ 𝑎 función de 𝑥
Lo más recomendable para simplificar el álgebra cuando tenemos una función logarítmica
y la queremos derivar es primero aplicar las propiedades de los logaritmos y luego ya
derivar.
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Ejercicio. Derivar 𝑦 = 𝑙𝑛 (𝑥2
𝑥−5)
𝑦 = 𝑙𝑛 (𝑥2
𝑥 − 5) = ln(𝑥2) − ln(𝑥 − 5) = 2 ln(𝑥) − ln (𝑥 − 5)
Ahora que ya tenemos una expresión más fácil de esta función, la derivada se obtiene
muy fácilmente
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 2
1
𝑥− (
1
𝑥 − 5) =
2
𝑥−
1
𝑥 − 5
Ejercicio. Derivar 𝑦 = 𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑛3(𝑥)cos (𝑥))
𝑦 = 𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑛3(𝑥)cos (𝑥)) = ln(𝑠𝑒𝑛3(𝑥)) + ln(cos(𝑥)) = 3 ln(𝑠𝑒𝑛𝑥) + ln (𝑐𝑜𝑠𝑥)
𝑎 = ln(𝑠𝑒𝑛 𝑥) 𝑑𝑎
𝑑𝑥= cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥= cot 𝑥
𝑏 = ln (cos 𝑥) 𝑑𝑏
𝑑𝑥= −𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥 = − tan 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 3
𝑑𝑎
𝑑𝑥+𝑑𝑏
𝑑𝑥 = 3 cot 𝑥 − tan 𝑥
Ejemplos Diversos
1.- Obtener la derivada de la función 𝑦 = (𝑥2 − 4)𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥
La operación principal que hay en esta función es un producto entre un polinomio y una
función exponencial.
𝑎 = 𝑥2 − 4 𝑑𝑎
𝑑𝑥= 2𝑥
𝑏 = 𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑐
𝑑𝑥= cos𝑥
𝑑𝑏
𝑑𝑥= 𝑑𝑐
𝑑𝑥 𝑒𝑐 = cos 𝑥 𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑎
𝑑𝑏
𝑑𝑥+ 𝑏
𝑑𝑎
𝑑𝑥= (𝑥2 − 4 )cos𝑥 𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2𝑥𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥
Cálculo Diferencial e Integral
58
2.- Derivar 𝑦 = tan 𝑥
(𝑥4−5)7
En esta función la operación principal es un cociente.
𝑎 = tan 𝑥 𝑑𝑎
𝑑𝑥= 𝑠𝑒𝑐2𝑥
𝑏 = (𝑥4 − 5)7
𝑐 = 𝑥4 − 5 𝑑𝑐
𝑑𝑥= 4𝑥3
𝑑𝑏
𝑑𝑥= 7
𝑑𝑐
𝑑𝑥 𝑐6 = 7 (4𝑥3)(𝑥4 − 5)6 = 28𝑥3(𝑥4 − 5)6
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑏𝑑𝑎𝑑𝑥
− 𝑎𝑑𝑏𝑑𝑥
𝑏2= 𝑠𝑒𝑐2𝑥(𝑥4 − 5)7 − tan 𝑥(28𝑥3(𝑥4 − 5)6)
(𝑥4 − 5)14
c) Derivar 𝑦 = √𝑙𝑛 (𝑥2
𝑥−4)
𝑦 = (ln (𝑥2
𝑥 − 4))
1/2
= (2𝑙𝑛𝑥 − ln (𝑥 − 4))1/2
La operación principal en esta función es una potencia
𝑎 = 2𝑙𝑛𝑥 − ln(𝑥 − 4)
𝑑𝑎
𝑑𝑥= 2(
1
𝑥) − (
1
𝑥 − 4) =
2
𝑥−
1
𝑥 − 4
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 1
2 𝑑𝑎
𝑑𝑥 𝑎12−1 =
1
2(2
𝑥−
1
𝑥 − 4) (2𝑙𝑛𝑥 − ln(𝑥 − 4))−1/2
=
12 (
2𝑥 −
1𝑥 − 4)
(2𝑙𝑛𝑥 − ln(𝑥 − 4))1/2=
(2𝑥 −
1𝑥 − 4)
2√2𝑙𝑛𝑥 − ln(𝑥 − 4)=
2(𝑥 − 4) − 𝑥𝑥(𝑥 − 4)
2√2𝑙𝑛𝑥 − ln(𝑥 − 4)
=
𝑥 − 8𝑥(𝑥 − 4)
2√2𝑙𝑛𝑥 − ln(𝑥 − 4)=
𝑥 − 8
2𝑥(𝑥 − 4)√2𝑙𝑛𝑥 − ln(𝑥 − 4)
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Ejercicios
1.- Deriva las siguientes funciones utilizando los cuatro pasos
a) 𝑦 = 𝑥 − 4
b) 𝑦 = 5𝑥2
c) 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥
d) 𝑦 = 𝑥3 − 8𝑥
e) 𝑦 = 5
𝑥
f) 𝑦 = 1
𝑥+
1
𝑥2
2.- Utilizando las fórmulas de derivadas, encuentra la derivada de cada una de las
siguientes funciones
a) 𝑦 = √𝑥3 − 4𝑥 + 5
𝑥
b) 𝑦 = (𝑥2 − 4)(√𝑥 + 𝑥)
c) 𝑦 = 𝑥3−4𝑥+1
𝑥−4
d) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥4 − 4𝑥3 + 3𝑥2)
e) 𝑦 = sec 𝑥
f) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥2−4)
𝑥−1
g) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠4(𝑠𝑒𝑛(𝑥))
h) 𝑦 = (tan 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥)5
i) 𝑦 = 𝑒(𝑥−4)2
j) 𝑦 = 𝑒cos (𝑥4−4𝑥)
k) 𝑦 = 𝑒√𝑠𝑒𝑛(cos(𝑥))
l) 𝑦 = 𝑒4𝑥
cos (8𝑥)
m) 𝑦 = 𝑙𝑛 (𝑒𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥)
n) 𝑦 = 𝑙𝑛(𝑥3(𝑥2 − 4)5)
o) 𝑦 = 𝑙𝑛 (sec𝑥
tan𝑥)
p) 𝑦 = ln (𝑥4−4𝑥
𝑒𝑥)
q) 𝑦 = (3𝑥4 − 8𝑥)4𝑒𝑥
r) 𝑦 = 𝑒𝑥3−4𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
s) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (cos (𝑠𝑒𝑛(𝑒𝑥3−4)))
t) 𝑦 = 𝑒𝑠𝑒𝑛4𝑥
(𝑥−1)9
3.- Considera las siguientes funciones y contesta
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1
𝑥 − 1 𝑔(𝑥) =
3
2 − 𝑥 ℎ(𝑥) = √𝑥2 − 1
a) Encuentra el dominio y rango de estas funciones.
Cálculo Diferencial e Integral
60
b) Encuentra el dominio y rango de 𝑑𝑓
𝑑𝑥 , 𝑑𝑔
𝑑𝑥 , 𝑑ℎ
𝑑𝑥. ¿Es igual el dominio de una función al
dominio de su derivada? ¿Es igual el rango de una función al rango de su derivada?
c) Sea 𝑡(𝑥) = (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) . Encuentra 𝑑𝑡
𝑑𝑥 .
d) Encuentra la derivada de 𝑠(𝑥) = (𝑓2 𝑜 𝑔2)(𝑥)
4.- Verdadero o Falso. En caso de que sea falso, justifica.
a) Si 𝑓(0) = 1 entonces 𝑓′(0) = 𝑑𝑓
𝑑𝑥(0) = 1
b) Si 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑠𝑒𝑛2(𝑥) entonces
𝑑𝑓
𝑑𝑥= cos(𝑥) 𝑒𝑠𝑒𝑛(𝑥)
c) La derivada de una función 𝑓(𝑥), nos describe el comportamiento de la pendiente de
𝑓(𝑥)
d) La pendiente de 𝑓(𝑥) = √𝑥 en 𝑥 = 0 es 𝑚 = 0
e) Si 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑛 > 2 entonces 𝐷(𝑓) = 𝐷 (𝑑𝑓
𝑑𝑥)
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Optimización
Cálculo de Máximos y Mínimos de Una Función
Una de los cosas para las que más se utiliza el cálculo diferencial es para encontrar los
puntos de una función en donde se alcanzan los valores máximos o mínimos. Estos
pueden ser de gran interés por ejemplo para una empresa que desea maximizar su
utilidad y minimizar los costos de producción.
En términos de pendientes de la función, tanto los máximos como los mínimos se
alcanzan en los puntos donde la pendiente es igual a cero. En un máximo la pendiente de
los puntos que se encuentran a la izquierda del máximo es positiva y la pendiente de los
puntos que se encuentran a la derecha del máximo es negativa mientras que en un
mínimo sucede lo contrario, la pendiente de los puntos a la izquierda del mínimo es
negativa y la pendiente de los puntos que están a su derecha es positiva.
Pasos Para Encontrar los Máximos y Mínimos
1.- Derivar la función. Esto porque al derivar la función lo que obtenemos es la ecuación
que nos dice la pendiente de la función que derivamos en cualquier punto.
2.- Igualar la derivada a cero y resolver la ecuación. Al igualar la derivada a cero, estamos
haciendo que la pendiente valga cero (esta es la condición para encontrar un máximo o
un mínimo). Después resolver la ecuación, estamos encontrando justamente en qué
puntos hay un máximo o mínimo. A estos valores de 𝑥 se les conoce como Puntos
Críticos.
3.- Obtener la segunda derivada de la función. Esto nos permitirá saber si el punto crítico
es máximo o mínimo.
4.- Evaluar la segunda derivada en los puntos críticos. Si el valor de la segunda derivada
es menor que cero, entonces el punto crítico es un máximo. Si el valor de la segunda
derivada evaluado en el punto crítico es mayor que cero entonces este punto es un
mínimo. Si la segunda derivada evaluada en el punto crítico es cero entonces en ese
punto hay un punto de inflexión.
Cálculo Diferencial e Integral
62
Ejercicio. Encontrar los máximos y mínimos de 𝑓(𝑥) = 1
3𝑥3 −
5
2𝑥2 + 6𝑥 + 14
1.- Derivar
𝑑𝑓
𝑑𝑥= 3
3𝑥2 −
2(5)
2𝑥 + 6 + 0 = 𝑥2 − 5𝑥 + 6
2.- Igualar la derivada a cero y resolver la ecuación
𝑑𝑓
𝑑𝑥= 0 ⇒ 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0
Esta expresión se puede factorizar y por lo tanto se puede resolver más fácilmente
(𝑥 − 3)(𝑥 − 2) = 0
𝑥 − 3 = 0 𝑜 𝑥 − 2 = 0
𝑥 = 3 𝑥 = 2 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝐶𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠
3.- Encontrar la segunda derivada
𝑑𝑓
𝑑𝑥= 𝑥2 − 5𝑥 + 6
𝑑2𝑓
𝑑𝑥= 2𝑥 − 5
4.- Evaluar y utilizar los criterios para determinar si el punto crítico es máximo, mínimo o
punto de inflexión
𝑥 = 3 ⇒ 𝑑2𝑓
𝑑𝑥= 2(3) − 5 = 6 − 5 = 1 ⇒
𝑑2𝑓
𝑑𝑥> 0 ⇒ 𝑥 = 3 𝑒𝑠 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜
𝑥 = 2 ⇒ 𝑑2𝑓
𝑑𝑥= 2(2) − 5 = −1 ⇒
𝑑2𝑓
𝑑𝑥< 0 ⇒ 𝑥 = 2 𝑒𝑠 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Ejercicio. Encontrar los máximos y mínimos de 𝑦 = (𝑥 + 5)𝑒3𝑥
1.- Derivar
𝑑𝑦
𝑑𝑥= (𝑥 + 5)3𝑒3𝑥 + (1)𝑒3𝑥 = 𝑒3𝑥(3𝑥 + 15 + 1) = 𝑒3𝑥(3𝑥 + 16)
En esta derivada se uso la regla del producto
2.- Igualar la derivada a cero y encontrar los puntos críticos
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 0 ⇒ 𝑒3𝑥(3𝑥 + 16) = 0
Como 𝑒3𝑥 es una función exponencial que nunca va a valer cero, entonces como se tiene
una multiplicación igualada a cero una de las dos funciones que se están multiplicando
tiene que valer cero y en este caso es 3x + 16
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 0 ⇒ (3𝑥 + 16) = 0 ⇒ 𝑥 = −
16
3
Por lo tanto 𝑥 = −16
3 es un punto crítico
3.- Obtener la segunda derivada
𝑑2𝑦
𝑑𝑥= 𝑒3𝑥(3) + (3𝑥 + 16)3𝑒3𝑥 = 𝑒3𝑥(3 + 9𝑥 + 48) = 𝑒3𝑥(9𝑥 + 51)
4.- Evaluar el punto crítico y decidir si es máximo, mínimo o punto de inflexión
𝑆𝑖 𝑥 = −16
3
𝑑2𝑦
𝑑𝑥= 𝑒−16 (9 (−
16
3) + 51) > 0
Como la segunda derivada es positiva, entonces hay un mínimo en 𝑥 = −16
3
Cálculo Diferencial e Integral
64
Aplicaciones a la Economía (Decisiones de Empresas)
Una aplicación muy interesante de la obtención de máximos y mínimos de una función se
encuentra en la economía. Hay muchos ejemplos, pero, por ahora, nosotros estaremos
resolviendo problemas orientados a empresas. Lo que una empresa busca, en términos
generales, es maximizar sus utilidades (o ganancias) sujeto a que el producto que ofrece
es demandado por un cierto mercado que está dispuesto a comprar distintas cantidades
de ese producto dependiendo solamente de su precio.
Nosotros haremos el supuesto que los ingresos de la empresa dependen solamente de la
cantidad vendida y esta será igual a la cantidad demandada. Entonces los ingresos de
una empresa tienen la siguiente ecuación:
𝐼(𝑝) = 𝑝 𝑄(𝑝)
Donde 𝑄(𝑝) es la cantidad demandada que está en función del precio de venta. Por lo
tanto como los ingresos también dependen del precio de venta nada más.
Pero los ingresos de una empresa no siempre representan sus ganancias ya que producir
cada unidad que vende tiene un costo. La función de costos depende de la cantidad
producida que es igual a la cantidad demandada. Pero entonces podemos poner a los
costos en función del precio, ya que la cantidad vendida depende del precio. Esto nos
ayudará a tener un problema de una sola variable.
Las utilidades de una empresa son los ingresos menos los costos. Por lo tanto
𝑈(𝑝) = 𝐼(𝑝) − 𝐶(𝑄(𝑝))
Donde 𝑈(𝑝) es la utilidad de la empresa en función del precio y 𝐶(𝑄(𝑝)) representan los
costos que dependen de la cantidad que a su vez dependen del precio. En resumen, lo
que una empresa gana depende solamente del precio al que vende cada unidad. Esta es
la función que una empresa busca maximizar, por lo tanto, el objetivo de una empresa es
encontrar el precio que haga que sus utilidades sean mayores.
Ejercicio. La función de demanda de Chocolates a la que se enfrenta una empresa
es
𝑄(𝑝) = 1
3𝑝2 −
15
2𝑝 + 50
Suponiendo que producir cada chocolate no le cuesta a la empresa, ¿Qué precio debe
poner la empresa para maximizar sus ganancias?
Debido a que no hay costos entonces 𝑈(𝑝) = 𝐼(𝑝) , es decir, la utilidad va a ser igual a los
ingresos. Por lo tanto debemos encontrar la función de ingresos de esta empresa.
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
𝐼(𝑝) = 𝑝𝑄(𝑝) = 𝑝 (1
3𝑝2 −
15
2𝑝 + 50) =
1
3𝑝3 −
15
2𝑝2 + 50𝑝
Ahora , para encontrar el máximo de esta función , usemos los cuatro pasos vistos
anteriormente.
1.- Derivar
𝑑𝐼
𝑑𝑝 = 𝑝2 − 15𝑝 + 50
2.- Igualar la derivada a cero y encontrar los puntos críticos
𝑑𝐼
𝑑𝑝= 0 ⇒ 𝑝2 − 15𝑝 + 50 = 0 ⇒ (𝑝 − 5)(𝑝 − 10) = 0 ⇒ 𝑝 = 5 ó 𝑝 = 10
3.- Obtener la segunda derivada
𝑑2𝐼
𝑑𝑝= 2𝑝 − 15
4.- Evaluar el punto crítico y decidir si es máximo, mínimo o punto de inflexión
𝑝 = 5 ⇒ 𝑑2𝐼
𝑑𝑝 = −5 𝑝 = 10 ⇒
𝑑2𝐼
𝑑𝑝 = 5
Por lo tanto, la empresa debe vender a un precio de cinco cada chocolate para maximizar
sus ganancias.
Ejercicio. La función de demanda de paletas heladas a la que se enfrenta una
empresa es
𝑄(𝑝) = 1
3𝑝2 −
19
2𝑝 + 100
La función de costos de esta empresa en función del precio de venta por unidad es
𝐶(𝑝) = 12𝑝
Esta empresa, ¿A cuánto debe vender cada paleta para maximizar sus utilidades?
Cálculo Diferencial e Integral
66
Debemos encontrar primeramente la función de ingresos de la empresa.
𝐼(𝑝) = 𝑝 𝑄(𝑝) = 𝑝 (1
3𝑝2 −
19
2𝑝 + 100) =
1
3𝑝3 −
19
2𝑝2 + 100𝑝
La función de utilidad de la empresa es
𝑈(𝑝) = 𝐼(𝑝) − 𝐶(𝑝) =1
3𝑝3 −
19
2𝑝2 + 100𝑝 − 12 𝑝 =
1
3𝑝3 −
19
2𝑝2 + 88𝑝
A esta función es a la que le aplicamos los cuatro pasos para encontrar su máximo.
1.- Derivar
𝑑𝑈
𝑑𝑝 = 𝑝2 − 19𝑝 + 88
2.- Igualar la derivada a cero y encontrar los puntos críticos
𝑑𝑈
𝑑𝑝 = 0 ⇒ 𝑝2 − 19𝑝 + 88 = 0 ⇒ (𝑝 − 8)(𝑝 − 11) = 0 ⇒ 𝑝 = 8 ó 𝑝 = 11
3.- Obtener la segunda derivada
𝑑2𝑈
𝑑𝑝= 2𝑝 − 19
4.- Evaluar el punto crítico y decidir si es máximo, mínimo o punto de inflexión
𝑝 = 8 ⇒ 𝑑2𝑈
𝑑𝑝 = −3 𝑝 = 11 ⇒
𝑑2𝑈
𝑑𝑝= 3
Por lo tanto, si la empresa vende cada paleta helado a un precio de tres, estará
maximizando sus utilidades.
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Aplicaciones a la Economía (Decisiones de Consumidores)
Ahora, nos dedicaremos a estudiar el lado de la demanda. Trataremos de contestar las
siguientes dos preguntas: ¿Por qué un consumidor demanda un cierto producto? ¿Qué
determina la cantidad que demanda el consumidor?
La teoría económica actual señala que los consumidores demandan un cierto producto
simplemente porque reciben utilidad (bienestar) de consumir dicho producto. Es decir, una
persona consume solamente los productos que le brindan satisfacción, esto se debe a
que por cada unidad del producto la persona debe pagar un cierto precio para poderlo
consumir. Por lo tanto, un consumidor solamente estará dispuesta a gastar en lo que le
trae algún beneficio.
Nosotros haremos un modelo económico de demanda de dos bienes (𝑋 𝑒 𝑌) pensando
que el consumidor tiene solamente la restricción de que puede gastar en ellos un ingreso
fijo. Para poder modelar la demanda de un agente, pensaremos que la utilidad de este
agente se puede medir a través de una función de utilidad 𝑈(𝑥, 𝑦) que nos dice el nivel de
utilidad (bienestar) que recibe el agente por consumir una canasta de bienes (𝑥, 𝑦). Por
ejemplo, si la función de utilidad del consumidor fuera 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 y esta persona
consumiera 4 unidades de 𝑋 y 3 unidades de 𝑌 entonces, usando la función de utilidad de
esta persona, podríamos concluir que su utilidad es 𝑈(4,3) = 4(3) = 12.
La función de utilidad nos permite clasificar distintas canastas en términos del beneficio
que recibe el agente por consumirlas. Diremos que la persona prefiere una canasta 𝐴
sobre otra 𝐵 cuando la utilidad que recibe por consumir 𝐴 es mayor que la utilidad que
recibe por consumir 𝐵.
Ejercicio. Considera un agente con función de utilidad 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦2. Este agente
tiene dos posibles canastas a consumir: (1,2) 𝑜 (2,1) ¿Qué canasta prefiere
consumir esta persona?
Para ver que canasta prefiere la persona, simplemente debemos evaluar la función de
utilidad en cada canasta y ver en cual la utilidad que recibe la persona es mayor.
𝑈(1,2) = 1(22) = 4 𝑈(2,1) = 2(12) = 2
Por lo tanto, esta persona preferirá consumir la canasta (1,2) debido a que recibe una
utilidad mayor.
Hay un problema que hasta ahora no hemos considerado: Un agente no tiene recursos
ilimitados y consumir cuesta. Seguramente hay canastas de bienes que a una persona le
gustaría consumir pero la razón por la cual no lo hace tiene que ver con que las personas
cuentan con un ingreso determinado y por lo tanto, no pueden comprar lo que sea debido
a que su gasto no puede pasarse de su ingreso (estamos suponiendo que las personas
no se pueden endeudar).
Cálculo Diferencial e Integral
68
En el modelo de demanda que estamos describiendo, pensaremos que el agente cuenta
con un ingreso 𝐼 > 0 fijo y que el gasto del agente no puede pasarse de 𝐼. Supondremos
que cada unidad del bien 𝑋 cuesta 𝑃𝑋 y que cada unidad del bien 𝑌 cuesta 𝑃𝑌. De esta
manera, el gasto de un agente por consumir una canasta (𝑥, 𝑦) es 𝑃𝑋𝑥 + 𝑃𝑌𝑦. Y como el
gasto debe ser igual al ingreso, obtenemos la siguiente ecuación
𝑃𝑋𝑥 + 𝑃𝑌𝑦 = 𝐼
Esta ecuación es conocida como la Restricción Presupuestal del consumidor. Un
consumidor lo que busca es elegir que canasta (𝑥, 𝑦) consumir para maximizar su utilidad
pero sujeto a su restricción presupuestal. La mejor canasta (que resulta de resolver el
problema de maximización descrito anteriormente) es lo que conocemos como la
demanda.
Ejercicio. Martín recibe utilidad por consumir café y helados. Las unidades de café
que consume serán representadas por la variable 𝑋 mientras que las unidades de
helado que consume serán representadas por la variable 𝑌. La función de utilidad
de Martín por consumir estos bienes es 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦. Actualmente, Martín no
trabaja pero recibe 1000 pesos de sus papás para consumir estos productos. El
precio de cada café es de 20 pesos y el de cada helado es de 10 pesos (es decir
𝑃𝑋 = 20 𝑃𝑌 = 10). ¿Cuántas unidades de café y de helados demanda Martín si
busca maximizar su utilidad?
Lo primero que debemos hacer para resolver este problema es escribir la restricción
presupuestal de Martín. Debido a que 𝑃𝑋 = 20 𝑃𝑌 = 10 su restricción es la siguiente
20𝑥 + 10𝑦 = 1000
Ahora, lo que hacemos es despejar 𝑦 de esta restricción. Obtenemos lo siguiente
𝑦 = 1000 − 20𝑥
10= 100 − 2𝑥
Después, sustituimos lo despejado en la función de utilidad de Martín.
𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦 = 𝑥2(100 − 2𝑥) = 100𝑥2 − 2𝑥3
Entonces, utilizando la restricción presupuestal, hemos logrado expresar la utilidad de
Martín solamente en términos de la cantidad de café que consume. Ahora seguimos los
pasos de máximos y mínimos sobre la función de utilidad.
1.- Derivar
𝑑𝑈
𝑑𝑥= 200𝑥 − 6𝑥2
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
2.- Igualar la derivada a cero y encontrar los puntos críticos
200𝑥 − 6𝑥2 = 0 ⇒ 𝑥(200 − 6𝑥) = 0 ⇒ 𝑥 = 0 ó 𝑥 = 100
3
3.- Obtener la segunda derivada
𝑑2𝑈
𝑑𝑥= 200 − 12𝑥
4.- Evaluar el punto crítico y decidir si es máximo, mínimo o punto de inflexión
𝑥 = 0 ⇒ 𝑑2𝑈
𝑑𝑥> 0 𝑥 =
100
3 ⇒
𝑑2𝑈
𝑑𝑥< 0
Por lo tanto, si Martín demanda 𝑥 = 100
3 unidades de café estará maximizando su utilidad.
Resultó que si demanda 𝑥 = 0 su utilidad se minimiza, lo cual tiene todo el sentido pues
estamos suponiendo que Martín recibe utilidad por demandar café. Para saber cuánto
demanda de helado debemos usar la restricción presupuestal despejada.
𝑦 = 100 − 2𝑥 = 100 − 2(100
3) =
100
3
En conclusión, Martín demandará 100
3 unidades de café y
100
3 unidades de helado para
maximizar su utilidad.
Ejercicio. Julia recibe utilidad por consumir dos bienes: 𝑋 𝑒 𝑌. La función de utilidad
de Julia es 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦. Julia cuenta con un ingreso de 2500 pesos para consumir
estos bienes. El precio del bien 𝑌 es 𝑃𝑌 = 1 mientras que el precio del bien 𝑋 es
𝑃𝑋 > 0. Encuentra la demanda de Julia por el bien 𝑋 en función de su precio. A
medida que el precio de 𝑋 es mayor ¿Qué sucede con la cantidad que Julia
demanda?
La restricción presupuestal de Julia es la siguiente
𝑃𝑋𝑥 + 𝑃𝑌𝑦 = 𝑃𝑋𝑥 + 𝑦 = 2500
Despejamos 𝑦 de esta restricción
𝑦 = 2500 − 𝑃𝑋𝑥
Cálculo Diferencial e Integral
70
La utilidad de Julia solamente en términos de 𝑋 es la siguiente
𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 = 𝑥(2500 − 𝑃𝑋𝑥) = 2500𝑥 − 𝑃𝑋𝑥2
Ahora usamos los pasos de máximos y mínimos para encontrar el valor de 𝑥 que
maximiza la utilidad de Julia.
1.- Derivar
𝑑𝑈
𝑑𝑥= 2500 − 2𝑃𝑋𝑥
2.- Igualar la derivada a cero y encontrar los puntos críticos
2500 − 2𝑃𝑋𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 = 2500
2𝑃𝑋= 1250
𝑃𝑋
3.- Obtener la segunda derivada
𝑑2𝑈
𝑑𝑥= −2𝑃𝑋
4.- Evaluar el punto crítico y decidir si es máximo, mínimo o punto de inflexión
𝑥 =1250
𝑃𝑋 ⇒
𝑑2𝑈
𝑑𝑥< 0
Por lo tanto la cantidad que Julia demanda de 𝑋 en función del precio de compra es la
siguiente
𝑥 = 1250
𝑃𝑋
Esta función es conocida como la Curva de Demanda. Debido a que el precio del bien
está dividiendo, mientras más grande sea el precio de 𝑋 Julia demandará menos de este
bien. En Economía este resultado es conocido como la Ley de la Demanda (es decir, la
Ley de la Demanda dice que para algunos tipos de bienes, siempre que el precio del bien
suba, la demanda bajará).
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Ejercicios
1.- Encuentra los máximos, mínimos y puntos de inflexión de las siguientes funciones
a) 𝑓(𝑥) = (3𝑥 − 2)(𝑥 + 4)
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 −3
2𝑥2 − 6𝑥 + 12
c) 𝑓(𝑥) = 1
3𝑥3 +
3
2𝑥2 − 70𝑥 + 50
d) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 15)𝑒5𝑥
2.- Se conoce la siguiente información sobre una función g(x)
lim𝑥→ ∞
𝑔(𝑥) = 1 lim𝑥→ −∞
𝑔(𝑥) = 1 𝑔(0) = 2 𝑔(5) = −2 𝑔(2) = 1
𝑔′(0) = 0 𝑔′(5) = 0 𝑔′′(0) < 0 𝑔′′(5) > 0 𝑔′(2) = 0 𝑔′′(2) = 0
a) Escribe las coordenadas de los puntos de 𝑔(𝑥) donde se encuentran los máximos y
mínimos
b) Haz una gráfica de 𝑔(𝑥)
3.- Falso o Verdadero. En caso de que sea Falso justifica
a) Si una función 𝑓(𝑥) tiene un máximo, entonces tiene un mínimo
b) Si 𝑓(4) = 20 , 𝑓′(4) = 0 𝑦 𝑓′′(4) = 100 entonces 𝑓(𝑥) tiene un mínimo en x = 4 y el
valor mínimo de f(x) es 100
c) Si una función 𝑓(𝑥) tiene dos máximos, entonces tiene un mínimo
d) Una función puede no tener máximos ni mínimos
e) Si 𝑔(−5) = 0 𝑦 𝑔′′(−5) > 0 entonces 𝑔(𝑥) tiene un mínimo en 𝑥 = −5
4.- Una persona quiere construir una caja (sin tapa) a partir de un cuadrado cuyos lados
miden 100 cm recortando en cada esquina otro cuadrado de tamaño 𝑥. Encuentra el valor
de 𝑥 que maximiza el volumen de la caja.
Cálculo Diferencial e Integral
72
5.- Un club deportivo tiene que poner el precio de su mensualidad (𝑝) de acuerdo al
número de socios que tiene (𝑞). La función de mensualidad es 𝑝 = 1
3𝑞2 − 150𝑞 + 20000
a) Encuentra la función de Ingreso de este club
b) Encuentra la cantidad de socios que maximizan el Ingreso del club
c) ¿Cuál es el ingreso del club si el número de socios es el encontrado en el inciso
anterior? ¿Cuánto debe pagar cada socio para poder estar en el club?
6.- La ecuación de demanda de calculadoras es 𝑝 = 1
3𝑞3 − 20𝑞2 + 375 donde 𝑝 es el
precio de las calculadoras que depende del número de calculadoras que se venden
(𝑞).Con esta información contesta las siguientes preguntas
a) Encuentra la función de ingreso de una empresa que se dedica a vender calculadoras
b) ¿Cuántas calculadoras debe vender y a qué precio para maximizar su ingreso?
Ahora sabemos que a esta empresa producir cada calculadora que vende le cuesta $75
c) Encuentra la función de costo y de utilidad (ganancia) de esta empresa
d) ¿Cuántas calculadoras debe vender la empresa para maximizar su utilidad?
e) ¿El precio al que debe vender las calculadoras la empresa para maximizar su utilidad
es el mismo precio al que las debe vender si quiere maximizar su ingreso?
f) Con la cantidad encontrada en el inciso d, muestra cual es el ingreso, costo y utilidad de
la empresa y compáralo con el ingreso, costo y utilidad si se toma la cantidad encontrada
en el inciso (b)
7.- Mauricio recibe utilidad por comprar refresco (𝑋) y papas (𝑌). El precio de cada
refresco es de 10 pesos al igual que el precio de cada bolsa de papas. La función de
utilidad de Mauricio es la siguiente
𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑥3𝑦
Actualmente, Mauricio cuenta con un ingreso de 400 pesos.
a) Encuentra la restricción presupuestal de Mauricio.
b) Encuentra la cantidad de refresco y papas que comprará Mauricio para maximizar su
utilidad
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
c) Actualmente, el gobierno se preocupa por el excesivo consumo de refresco. Por eso, le
puso un impuesto al consumo de refresco de tal forma que cada botella cuesta ahora 15
pesos. Encuentra ahora la cantidad de refresco que Mauricio consumirá. ¿Esta medida
fue efectiva para reducir el consumo de refresco?
8.- Guadalupe recibe utilidad por consumir café (𝑋) y dulces (𝑌). La función de utilidad de
Guadalupe es 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦. El precio de cada dulce es 𝑃𝑌 = 1 mientras que el precio
de cada café es 𝑃𝑋 > 0. Guadalupe cuenta con un ingreso de 600 pesos.
a) Escribe la restricción presupuestal de Guadalupe
b) Encuentra la demanda de café de Guadalupe en términos de 𝑃𝑋
c) La demanda encontrada ¿Cumple con la Ley de la Demanda?
d) Falso o Verdadero. Sin importar cuanto cueste cada café, Guadalupe siempre
demandará 200 dulces.
9.- Gabriel recibe utilidad por viajar (reflejado en su demanda por boletos de avión) y por
consumir chocolates. Sea 𝑋 la cantidad de boletos de avión que Gabriel demanda e 𝑌 la
cantidad de chocolate que consume. La función de utilidad de Gabriel es 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦. El
precio de cada chocolate es 𝑃𝑌 = 1 mientras que el precio de cada boleto de avión es
𝑃𝑋 > 0. Gabriel cuenta con un ingreso de 𝐼 > 0 pesos.
a) Escribe la restricción presupuestal de Gabriel.
b) Encuentra la demanda de boletos de avión de Gabriel en términos de 𝐼 𝑦 𝑃𝑋. ¿Qué
sucede con la demanda de boletos de avión de Gabriel a medida que tiene más ingreso?
c) Supón que Gabriel tiene un ingreso de 200,000 pesos y que cada boleto de avión
cuesta 10,000 pesos. Encuentra la demanda de Gabriel de boletos de avión.
Debido a la escasez del petróleo, el precio de la turbosina ha aumentado
considerablemente. Esto ha afectado el precio de los boletos de avión que ahora es de
12,000 pesos.
d) Encuentra la cantidad de boletos de avión que Gabriel demanda ahora. ¿Este aumento
en el precio de cada boleto de avión afecta la utilidad de Gabriel?
Supón que el gobierno quiere ayudar a Gabriel dándole un subsidio al ingreso (es decir, le
va a dar más ingreso).
e) ¿De cuánto debe ser el subsidio para que Gabriel demande los mismos boletos de
avión encontrados en el inciso (c)? Recuerda que ahora 𝑃𝑋 = 12000.
Cálculo Diferencial e Integral
74
Análisis Marginal
Cambios Marginales
Muchas veces al momento de estar analizando a una función, algo que nos interesa es
saber qué le ocurre al valor de la función si movemos a 𝑥 ligeramente. Cambiar poco el
valor de 𝑥 es conocido como cambio marginal. Un cambio, será marginal siempre y
cuando no movamos a 𝑥 más de una unidad a la derecha o a la izquierda. Es decir, si
llamamos 𝑥0 a la posición inicial de 𝑥 y 𝑥1 a la posición final, un cambio será marginal
siempre y cuando |𝑥1 − 𝑥0| ≤ 1.
Observar que le pasa al valor de la función al hacer un cambio marginal en la variable 𝑥
es conocido como análisis marginal. El análisis marginal nos permite estimar el
comportamiento de la función en distintos valores de 𝑥.
Análisis Marginal y Derivadas
Al hacer análisis marginal a una función 𝑓(𝑥), lo que estamos buscando es ∆𝑓(𝑥) , es
decir, el cambio en la función. Al cambiar 𝑥 de 𝑥0 a 𝑥1 podemos ver a ∆𝑓(𝑥) como
∆𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥0)
Por otra parte, recordemos que la definición de pendiente es la siguiente
𝑚 = ∆𝑦
∆𝑥= 𝑦1 − 𝑦0𝑥1 − 𝑥0
Como 𝑦 = 𝑓(𝑥), entonces en este caso
𝑚 = ∆𝑓(𝑥)
∆𝑥= 𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥0)
𝑥1 − 𝑥0
Pero, como estamos hablando de funciones, a la pendiente la conocemos como derivada.
Entonces
𝑑𝑓
𝑑𝑥(𝑥0) =
𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥0)
𝑥1 − 𝑥0
Como estamos interesados en cambios marginales, haciendo que 𝑥1 − 𝑥0 = 1 tenemos
que
∆𝑓(𝑥) = 𝑑𝑓
𝑑𝑥(𝑥0)
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Es decir, como cambia una función al mover 𝑥 marginalmente es igual a la derivada de la
función evaluada en el valor inicial de 𝑥.
El análisis marginal es muy utilizado en problemas de economía porque nos permite
saber, por ejemplo, que le sucede a la utilidad de la empresa si aumentara en una unidad
su precio. O, por ejemplo, nos permitiría saber que le sucede a los costos si se contrata a
un trabajador más, entre otras cosas.
Ejercicio. La función de costos de una empresa en función de sus trabajadores es
𝐶(𝑁 ) = 100𝑁3 − 20𝑁2 + 4000𝑁 + 10000
Donde 𝑁 es el número total de trabajadores en la empresa y 𝐶(𝑁 ) son los costos totales.
Actualmente la empresa cuenta con 100 trabajadores ( 𝑁 = 100). ¿Recomendarías que la
empresa contratara a un trabajador más?
Para saber si recomendamos a la empresa contratar a un trabajador más debemos
observar que sucede con los costos, si al tener un empleado más los costos suben,
entonces a la empresa no le conviene contratar un empleado más. Para esto usaremos
análisis marginal.
Lo primero que debemos hacer es encontrar la derivada del costo con respecto a los
empleados
𝑑𝐶
𝑑𝑁= 300𝑁2 − 40𝑁 + 4000
Entonces, si 𝑁 = 100
∆𝐶(𝑁) =𝑑𝐶
𝑑𝑁(100) = 300(100)2 − 40(100) + 4000 = 3000000
Esto quiere decir que si se contratara a un empleado más, los costos subirían
aproximadamente 3000000. Por lo tanto, no le conviene a la empresa contratar un
empleado más.
Ejercicio. La función de demanda de paletas heladas depende solamente de la
temperatura ambiental. Esta función es
𝑃(𝑡) = 𝑒𝑡2/100
Donde 𝑃(𝑡) representa el número de paletas vendidas y 𝑡 la temperatura ambiental en
grados centígrados. Si actualmente la temperatura ambiental es de 24°𝐶, ¿Aumentará la
venta de paletas si la temperatura subiera un grado?
Cálculo Diferencial e Integral
76
Derivemos con respecto a la temperatura la cantidad de paletas vendidas
𝑑𝑃
𝑑𝑡=
2𝑡
100𝑒𝑡
2/100 = 𝑡
50𝑒𝑡
2/100
Si 𝑡 = 24 , entonces
∆𝑃(𝑡) = 𝑑𝑃
𝑑𝑡(24) =
24
50𝑒(24)
2/100 = 152.32
Esto quiere decir que si aumentara la temperatura en un grado centígrado, la venta de
paletas subiría aproximadamente 153 paletas.
Ejercicios
1.- Después de mucho tiempo de investigación se ha descubierto que la función que
predice la temperatura dependiendo la hora del día es 𝑇(ℎ) = −10𝑠𝑒𝑛(24ℎ) + 15 donde T
es la temperatura en grados centígrados y h es la hora del día (comenzando con 0 como
las 12 de la noche).
a) Encuentra la temperatura a las 0, 6, 12 y 18 horas del día
b) Si ahora son las 7 horas ¿Cuánto esperamos que la temperatura cambie para las 8?
c) Si ahora son las 22 horas ¿Cuál sería la temperatura esperada para las 23 horas?
2.- La función de utilidad (ganancia) de una empresa es 𝑈(𝑛) = 10𝑛4 − 30𝑛3 + 100𝑛 ,
donde U es la utilidad y n es el número de empleados que la empresa tiene. Actualmente
la empresa tiene 10 empleados
a) Si la empresa desea tener un empleado más, ¿Cuánto aumentaría su utilidad?
b) Debido a la recesión, el dueño ha decidido despedir a un empleado, ¿le recomendarías
que lo hiciera?
3.- La función de costo de una empresa que se dedica a producir relojes es
𝐶 (𝑟) = 1
3𝑟3 − 150𝑟2 + 20000𝑟 + 12500 donde C es el costo total y r es el número de
relojes que produce.
a) Si ahorita se producen 80 relojes, ¿Producir un reloj más aumenta el costo para la
empresa? ¿Conviene producir 81 relojes?
b) Si ahora se producen 150 relojes ¿Producir un reloj más aumenta el costo para la
empresa?¿Conviene producir 151 relojes?
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
c) Encuentra la cantidad de relojes que debe producir que es óptima
Ahora considera la función de costo medio de esta empresa
d) Si la empresa produce actualmente 80 relojes, ¿Cuánto aumenta su costo medio si se
produce uno más?
e) Si se producen 210 relojes ¿Conviene aumentar la producción en una unidad más?
f) ¿Cuál es el costo medio y total si se producen la cantidad de relojes encontrada en el
inciso c?
4.- Si la función de utilidad (ganancias) de una empresa es 𝑈(𝑞) donde 𝑞 es la cantidad
que produce la empresa, definimos la utilidad marginal como sigue
𝑢𝑚𝑔 = 𝑑𝑈
𝑑𝑞
Si la función de costos de la empresa es 𝐶(𝑞) entonces, el costo marginal se define como
sigue
𝑐𝑚𝑔 = 𝑑𝐶
𝑑𝑞
Considera las siguientes funciones de utilidad y costos para una cierta empresa:
𝑈(𝑞) = 𝑞3 + 2𝑞 − 𝐶(𝑞) 𝐶(𝑞) = 𝑞3 + 𝑞2
a) Encuentra la utilidad marginal y el costo marginal de esta empresa
b) Encuentra para que valores de 𝑞, la utilidad marginal de la empresa es decreciente
(Sugerencia: Básicamente debes resolver la siguiente desigualdad 𝑢𝑚𝑔 < 0)
c) Supón que la empresa produce actualmente 60 unidades ¿Recomendarías que la
empresa produzca menos? Justifica tu respuesta usando los incisos anteriores.
Cálculo Diferencial e Integral
78
Método de Aproximación de Taylor
Polinomio de Taylor
El método de aproximación de Taylor es un procedimiento que nos permite conocer el
valor de una función evaluada en 𝑥 ,a partir de saber el valor de la función evaluada en
otro punto 𝑥0. Normalmente, pedimos que 𝑥0 tenga la característica de que 𝑓(𝑥0) sea un
valor fácil de obtener.
Si buscamos conocer el valor de 𝑓(𝑥) para alguna 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) y ya conocemos el valor de
𝑓(𝑥0), entonces
𝑓(𝑥) ≈ 𝑇(𝑥) = 𝑓(𝑥0) + 𝑓′(𝑥0) ( 𝑥 − 𝑥0) +
1
2𝑓′′(𝑥0) (𝑥 − 𝑥0)
2 + 1
6𝑓′′′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0)
3
A la función 𝑇(𝑥) se le conoce como polinomio de Taylor.
Ejercicio. Obtener el valor de (2.3)3 usando el método de aproximación de
Taylor.
Lo primero que debemos hacer es plantear una función que nos permita calcular (2.3)3 .
Esta , claramente, es 𝑓(𝑥) = 𝑥3. Entonces lo que estamos buscando es el valor de
𝑓(2.3). Un valor que sea fácil de elevar al cubo y cerca de 𝑥 = 2.3 es 𝑥0 = 2. Usando 𝑥0 =
2 , calculemos lo necesario para poder aproximar el valor de 𝑓(2.3) usando a 𝑇(𝑥).
𝑓(𝑥) = 𝑥3 ⇒ 𝑓(𝑥0) = 𝑓(2) = 8
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 ⇒ 𝑓′(𝑥0) = 𝑓′(2) = 3(4) = 12
𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 ⇒ 𝑓′′(𝑥0) = 𝑓′′(2) = 12
𝑓′′′(𝑥) = 6 ⇒ 𝑓′′′(𝑥0) = 𝑓′′′(2) = 6
Siguiendo la fórmula tenemos que
𝑓(2.3) ≈ 8 + 12(2.3 − 2) + 1
2(12)(2.3 − 2)2 +
1
6(6)(2.3 − 2)3
𝑓(2.3) ≈ 8 + 12(. 3) + 6(. 09) + (. 027) = 12.167
Entonces 𝑓(2.3) ≈ 12.167
Ejercicio. Considera 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)𝑒𝑥 . Encontrar el valor aproximado de 𝑓(.1)
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Un valor fácil de conocer y cercano a 𝑓(.1) es el de 𝑓(0), por lo tanto utilizaremos 𝑥0 = 0.
𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)𝑒𝑥 ⇒ 𝑓(0) = 1
𝑓′(𝑥) = (𝑥 + 1)𝑒𝑥 + 𝑒𝑥 ⇒ 𝑓′(0) = 1 + 1 = 2
𝑓′′(𝑥) = (𝑥 + 1)𝑒𝑥 + 2𝑒𝑥 ⇒ 𝑓′′(0) = 1 + 2 = 3
𝑓′′′(𝑥) = (𝑥 + 1)𝑒𝑥 + 3𝑒𝑥 ⇒ 𝑓′′′(0) = 4
Siguiendo la fórmula tenemos que
𝑓(. 1) ≈ 1 + 2(. 1 − 0) + 1
2(3)(. 1 − 0)2 +
1
6(4)(.1 − 0)3
𝑓(. 1) ≈ 1 + 2(. 1) + (1.5)(. 01) + (. 6667)(. 001) = 1.2156667
Entonces
𝑓(. 1) ≈ 1.2156667
Polinomios de Taylor más Utilizados
Ahora obtendremos el polinomio de Taylor para dos funciones en particular , 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 y
𝑓(𝑥) = 1
1−𝑥 . Para ambos usaremos 𝑥0 = 0.
Empecemos con 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 ⇒ 𝑓(0) = 1
𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥 ⇒ 𝑓′(0) = 1
𝑓′′(𝑥) = 𝑒𝑥 ⇒ 𝑓′′(0) = 1
𝑓′′′(𝑥) = 𝑒𝑥 ⇒ 𝑓′′′(0) = 1
Entonces
𝑇(𝑥) = 1 + 1(𝑥 − 0) + 1
2(1)(𝑥 − 0)2 +
1
6(1)(𝑥 − 0)3
𝑇(𝑥) = 1 + 𝑥 +𝑥2
2+ 𝑥3
6
Ahora encontremos el polinomio de 𝑓(𝑥) = 1
1−𝑥
Cálculo Diferencial e Integral
80
𝑓(𝑥) = 1
1 − 𝑥 ⇒ 𝑓(0) = 1
𝑓′(𝑥) = 1
(1 − 𝑥)2 ⇒ 𝑓′(0) = 1
𝑓′′(𝑥) = 2
(1 − 𝑥)3 ⇒ 𝑓′′(0) = 2
𝑓′′′(𝑥) = 6
(1 − 𝑥)4 ⇒ 𝑓′′′(0) = 6
Entonces
𝑇(𝑥) = 1 + 1(𝑥 − 0) + 1
2(2)(𝑥 − 0)2 +
1
6(6)(𝑥 − 0)3
𝑇(𝑥) = 1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3
Ejercicio. Encontrar el valor de 𝑒 .2.
La función asociada a este problema es 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 . Usando la fórmula encontrada
anteriormente entonces
𝑇(𝑥) = 1 + 𝑥 +𝑥2
2+ 𝑥3
6
𝑓(. 2) ≈ 𝑇(. 2) = 1 + .2 + (.2)2
2+ (.2)3
6= 1 + .2 + .02 + .0013
Por lo tanto 𝑒 .2 ≈ 1.2213
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Ejercicios
1.- Encuentra un valor aproximado de las siguientes expresiones usando el método de
aproximación de Taylor
a) 1.13
b) 3.42
c) 1
1.4
d) √5
e) √101
f) ln(1.1)
2.- Considera las siguientes funciones. Utilizando el método de aproximación de Taylor
encuentra el valor de las funciones al ser evaluadas en 𝑥
a) 𝑓(𝑥) = √𝑥 𝑥 = 1.4
b) 𝑔(𝑥) = 8𝑥3 𝑥 = 5.5
c) ℎ(𝑥) = 1
𝑥2 𝑥 = 4.1
d) 𝑡(𝑥) = (1 + 𝑥)5 𝑥 = .1
3.- Demuestra que la aproximación de Taylor cuando 𝑥0 = 0 de 𝑓(𝑥) = 1
1−𝑥 es
1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3
4.- Demuestra que la aproximación de Taylor cuando 𝑥0 = 0 de 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 es
1 + 𝑥 + 𝑥2
2+ 𝑥3
6
Cálculo Diferencial e Integral
82
Método de Newton - Raphson
Teorema del Valor Intermedio
Recordemos que si tenemos una función, las raíces son aquellos valores que hacen que
la función evaluada en ellos valga cero. Por ejemplo si tenemos 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 una raíz de
este polinomio es x = 1 porque 𝑓(1) = 12 − 1 = 0. Encontrar las raíces de un polinomio es
muy útil y tiene muchas aplicaciones (Por ejemplo nos permite encontrar los puntos
críticos de una función al igualar su derivada a cero).
El teorema del valor intermedio es un resultado muy importante en cálculo porque nos
permite conocer la existencia o no de una raíz en un cierto intervalo. El teorema dice lo
siguiente:
Si 𝑓: ℝ → ℝ es una función continua en un intervalo [𝑎, 𝑏] tal que 𝑓(𝑎) > 0 𝑦 𝑓(𝑏) < 0 ó
𝑓(𝑎) < 0 𝑦 𝑓(𝑏) > 0, entonces ∃ 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] tal que 𝑓(𝑐) = 0.
Lo que éste teorema dice es que si tenemos una función que al principio de un cierto
intervalo es positiva (o negativa) y al final del intervalo es negativa (o positiva) entonces a
la fuerza tuvo que haber pasado por el cero para poder pasar de ser positiva a negativa o
viceversa.
Ejercicio. Si 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 7 ¿Tiene esta función una raíz en el intervalo [1,2] ?
Lo único que debemos hacer es evaluar en los extremos del intervalo y usar el teorema
anterior.
𝑓(1) = 1 − 7 = −6 𝑓(2) = 8 − 7 = 1
Como 𝑓(1) < 0 𝑦 𝑓(2) > 0 entonces podemos asegurar que esta función tiene una raíz
en el intervalo [1,2] .
Algo que debemos notar, es que este teorema sólo nos sirve para saber si existe o no una
raíz, pero no nos dice el valor de la raíz. Para encontrar su valor se deben de utilizar otros
caminos como el método de Newton - Raphson.
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Fórmulas Recursivas
Una fórmula es recursiva cuando para calcular el n-ésimo término se necesita del anterior
o de términos anteriores. Por ejemplo la sucesión de Fibonacci es recursiva porque
𝑓𝑛 = 𝑓𝑛−1 + 𝑓𝑛−2 𝑐𝑜𝑛 𝑓0 = 1 𝑦 𝑓1 = 1
En este ejemplo 𝑓2 = 𝑓1 + 𝑓0 = 1 + 1 = 2, por lo tanto si así seguimos calculando
𝑓3 = 𝑓2 + 𝑓1 = 2 + 1 = 3
𝑓4 = 𝑓3 + 𝑓2 = 3 + 2 = 5
𝑓5 = 𝑓4 + 𝑓3 = 5 + 3 = 8
Y así sucesivamente se sigue calculando hasta encontrar el término que se quiere.
Una fórmula recursiva se dice que converge cuando a partir de cierto término el siguiente
se parece mucho al anterior y los siguientes términos también. Por ejemplo si se tienen
los siguientes términos de una fórmula recursiva
𝑠1 = 1.7 𝑠2 = 1.6 𝑠3 = 1.55…. 𝑠20 = 1.49211 𝑠21 = 1.492111 𝑠22 = 1.492110…
Esta sucesión converge a partir del término 20 porque el 21 y los que siguen ya se
parecen al término 20. La sucesión de Fibonacci NO converge porque los términos van
siempre creciendo y no se empiezan nunca a parecer entre ellos.
Método de Newton - Raphson
El Método de Newton - Raphson es una fórmula recursiva que nos permite calcular las
raíces de una función. Si tenemos una función 𝑓(𝑥) y queremos encontrar los valores de
𝑥 tales que 𝑓(𝑥) = 0, el método de Newton - Raphson dice que
𝑋𝑛 = 𝑋𝑛−1 − 𝑓(𝑋𝑛−1)
𝑓′(𝑋𝑛−1)
Entonces, un valor más aproximado de la raíz de un polinomio se puede obtener
restándole al valor anterior (𝑋𝑛−1) la función evaluada en el valor anterior entre la
derivada de la función evaluada en el valor anterior. Es importante notar que hay que
escoger un valor inicial llamado X0 para empezar a calcular los términos que siguen.
Pero no hay que escoger un valor inicial cualquiera si no que hay que escoger uno que
este cerca de la raíz para que así esta fórmula recursiva converja, es decir , que a partir
de cierto término las Xn se empiecen a parecer.
Para encontrar cerca de qué valores es posible que haya una raíz lo que se hace es
empezar a evaluar en distintos valores y si se encuentran dos valores consecutivos uno
Cálculo Diferencial e Integral
84
en donde la función evaluada es positiva y otro donde es negativa entonces podemos
asegurar que entre estos valores existe una 𝑥 tales que 𝑓(𝑥) = 0.
Ejercicio. Utilizando el Método de Newton - Raphson encontrar una raíz de la
siguiente función usando 𝑥0 = 2
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5
Entonces como se va a utilizar el Método de Newton - Raphson lo primero que hay que
encontrar es la derivada de la función
𝑓′(𝑥) = 2𝑥
Ahora aplicamos la fórmula hasta que empiece a converger
𝑋𝑛 = 𝑋𝑛−1 − 𝑓(𝑋𝑛−1)
𝑓′(𝑋𝑛−1)
𝑥1 = 𝑥0 −𝑓(𝑥0)
𝑓′(𝑥0)= 2 −
𝑓(2)
𝑓′(2)= 2 −
22 − 5
2(2)= 2.25
𝑥2 = 𝑥1 −𝑓(𝑥1)
𝑓′(𝑥1)= 2.25 −
𝑓(2.25)
𝑓′(2.25)= 2.25 −
2.252 − 5
2(2.25)= 2.2361
𝑥3 = 𝑥1 −𝑓(𝑥2)
𝑓′(𝑥2)= 2.2361 −
𝑓(2.2361)
𝑓′(2.2361)= 2.2361 −
2.23612 − 5
2(2.2361)= 2.23606
𝑥4 = 𝑥3 −𝑓(𝑥3)
𝑓′(𝑥3)= 2.23606 −
𝑓(2.23606)
𝑓′(2.23606)= 2.23606 −
2.236062 − 5
2(2.23606)= 2.236067
𝑥5 = 2.236067
𝑥6 = 2.236067
Entonces vemos que a partir de 𝑥4, el resultado empieza a ser el mismo. Por lo tanto la
raíz de 𝑓(𝑥) es 𝑥 = 2.236067 (es decir, 𝑓(2.236067) = 0)
Ejercicio. Demuestra que la siguiente función tiene una raíz entre x = 1 y x =2.
Después usando el Método de Newton - Raphson encuentra una raíz de f(x) con
X0 = 2
𝑓(𝑥) = 𝑥6 − 4𝑥5 + 𝑥4 − 11𝑥3 + 28𝑥2 − 7𝑥 + 28
Para demostrar que f(x) tiene una raíz entre x = 1 y x = 2 lo que hacemos primero es
evaluar
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
𝑓(1) = 16 − 4 + 1 − 11 + 28 − 7 + 28 = 36
𝑓(2) = 26 − 4(25) + 24 − 11(23) + 28(22) − 7(2) + 28 = −10
Como 𝑓(1) > 0 𝑦 𝑓(2) < 0 dado que f(x) es un polinomio podemos asegurar que entre x
= 1 y x= 2 existe un valor c tal que f(c) = 0
Ahora hay que encontrar ese valor de c usando el Método de Newton - Raphson
empezando con x = 2. Entonces hay que encontrar la derivada de f(x)
𝑓′(𝑥) = 6𝑥5 − 20𝑥4 + 4𝑥3 − 33𝑥2 + 56𝑥 − 7
𝑥1 = 𝑥0 −𝑓(𝑥0)
𝑓′(𝑥0)= 2 −
𝑓(2)
𝑓′(2)= 2 −
−10
−123= 1.9187
𝑥2 = 𝑥1 −𝑓(𝑥1)
𝑓′(𝑥1)= 1.9187 −
𝑓(1.9187)
𝑓′(1.9187)= 1.9130
𝑥3 = 𝑥2 −𝑓(𝑥2)
𝑓′(𝑥2)= 1.9130 −
𝑓(1.9130)
𝑓′(1.9130)= 1.9129
𝑥4 = 𝑥3 −𝑓(𝑥3)
𝑓′(3)= 1.9129 −
𝑓(1.9129)
𝑓′(1.9129)= 1.9129
𝑥5 = 𝑥4 −𝑓(𝑥4)
𝑓′(𝑥4)= 1.9129 −
𝑓(1.9129)
𝑓′(1.9129)= 1.9129
Entonces como se está empezando a repetir el resultado x = 1.9129 es raíz de f(x)
Ejercicio. Demostrar que 𝑓(𝑥) = −cos (𝑥)𝑒𝑥 tiene una raíz en el intervalo [1,2].
Después encontrar la raíz de esta función con 𝑥0 = 1.
𝑓(1) = − cos 1 𝑒1 = −1.4686
𝑓(𝜋) = − cos(2) 𝑒2 = 3.075
Como 𝑓(0) < 0 𝑦 𝑓(𝜋) > 0 entonces esta función tiene una raíz en el intervalo [1,2].
Ahora encontremos la derivada de esta función
𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝑒𝑥cos (𝑥)
Usemos el método de Newton - Raphson
𝑥1 = 𝑥0 − 𝑓(𝑥0)
𝑓′(𝑥0)= 1 −
𝑓(1)
𝑓′(1)= 2.794
Cálculo Diferencial e Integral
86
𝑥2 = 𝑥1 − 𝑓(𝑥1)
𝑓′(𝑥1)= 2.794 −
𝑓(2.794)
𝑓′(2.794)= 2.059
𝑥3 = 𝑥2 − 𝑓(𝑥2)
𝑓′(𝑥2)= 2.059 −
𝑓(2.059)
𝑓′(2.059)= 1.7121
𝑥4 = 𝑥3 − 𝑓(𝑥3)
𝑓′(𝑥3)= 1.7121 −
𝑓(1.7121)
𝑓′(1.7121)= 1.5875
𝑥5 = 𝑥4 − 𝑓(𝑥4)
𝑓′(𝑥4)= 1.5875 −
𝑓(1.5875)
𝑓′(1.5875)= 1.5711
𝑥6 = 𝑥5 − 𝑓(𝑥5)
𝑓′(𝑥5)= 1.5711 −
𝑓(1.5711)
𝑓′(1.5711)= 1.5707
Por lo tanto la raíz de 𝑓(𝑥) es 𝑥 = 1.5707
Resolución de Ecuaciones con el Método de Newton - Raphson
Muchas ocasiones nos interesa conocer la intersección entre dos funciones 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥),
es decir, encontrar los valores de 𝑥 ∈ ℝ tales que 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). La manera más fácil de
hacer esto es planteando la siguiente función
𝑆𝑒𝑎 ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)
Y ahora lo que hacemos es buscar las raíces de ℎ(𝑥) . Y por ser raíces de esta función,
ocurre lo siguiente
ℎ(𝑥) = 0 ⇒ 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = 0 ⇒ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)
Por lo tanto, las raíces de ℎ(𝑥) son los valores de 𝑥 donde 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥) se intersectan.
Ejercicio. Sean 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 𝑔(𝑥) = 2𝑥2 − 𝑥 + 5. Probar que estas funciones se
intersectan en algún punto del intervalo [2,3] . Utilizando el método de Newton -
Raphson y 𝑥0 = 2 , encontrar la intersección de estas funciones.
Encontremos a la función ℎ(𝑥)
ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 − (2𝑥2 − 𝑥 + 5) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 5
ℎ(2) = 8 − 2(4) − 5 = −5
ℎ(3) = 27 − 2(9) − 5 = 4
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Como ℎ(2) < 0 𝑦 ℎ(3) > 0 esto quiere decir que existe un valor 𝑐 ∈ [2,3] tal que ℎ(𝑐) =
0 y por lo tanto 𝑓(𝑐) = 𝑔(𝑐). Busquemos el valor de esa 𝑐 con el método de Newton -
Raphson.
ℎ′(𝑥) = 3𝑥2 − 4𝑥
𝑥1 = 𝑥0 − ℎ(𝑥0)
ℎ′(𝑥0)= 2 −
ℎ(2)
ℎ′(2)= 3.25
𝑥2 = 𝑥1 − ℎ(𝑥1)
ℎ′(𝑥1)= 3.25 −
ℎ(3.25)
ℎ′(3.25)= 2.811
𝑥3 = 𝑥2 − ℎ(𝑥2)
ℎ′(𝑥2)= 2.811 −
ℎ(2.811)
ℎ′(2.811)= 2.6979
𝑥4 = 𝑥3 − ℎ(𝑥3)
ℎ′(𝑥3)= 2.6979 −
ℎ(2.6979)
ℎ′(2.6979)= 2.6906
Por lo tanto en 𝑥 = 2.6909 , ℎ(2.6909) = 0 y 𝑓(2.6909) = 𝑔(2.6909).
Ejercicios
1.- Considera las siguientes funciones. Primero, demuestra que existe una raíz entre los
dos valores de 𝑥 que se te dan. Si es que existe entonces usando el método de Newton -
Raphson encuentra el valor de la raíz de la función usando como 𝑥0 el primer valor de 𝑥
que se te da.
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 17 𝑟𝑎í𝑧 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑥 = 2 𝑦 𝑥 = 3
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥3 − 7𝑥2 − 5𝑥 + 10 𝑟𝑎í𝑧 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑥 = 2 𝑦 𝑥 = 3
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 5𝑥2 + 4 𝑟𝑎í𝑧 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 1
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥5 − 100 𝑐𝑜𝑛 𝑥 = 2 𝑦 𝑥 = 2.7
2.- Encuentra una solución usando el Método de Newton – Raphson para
𝑒𝑥 = 8𝑥2
Cálculo Diferencial e Integral
88
Interpolación de Spline
El método de interpolación de Spline nos sirve para poder modelar el comportamiento que
existe entre dos variables. Se usa cuando tenemos algunos datos recolectados que
relacionan a dos variables y se quiere obtener una ecuación que deje a una variable en
función de la otra.
Planteamiento de las Ecuaciones de Spline
Supongamos que tenemos dos variables 𝑋 𝑒 𝑌 y tres muestras de datos relacionando a
estas variables (𝑥𝑜 , 𝑦0) , (𝑥1 , 𝑦1) , (𝑥2 , 𝑦2) con 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2. Para poder encontrar una
ecuación que pase por estos puntos, el método de interpolación de Spline dice que entre
cada par de puntos pasa un polinomio de tercer grado de la forma 𝐴𝑥3 +𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥 + 𝐷.
En este caso que tenemos tres puntos, vamos a tener dos polinomios de tercer grado,
uno que va de (𝑥𝑜 , 𝑦0) a (𝑥1 , 𝑦1) y otro que va de (𝑥1 , 𝑦1) a (𝑥2 , 𝑦2).
Entonces, la función que nos permite modelar en comportamiento entre las dos variables
es
𝑓(𝑥) = { 𝐴𝑥3 + 𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥 + 𝐷 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [𝑥0 , 𝑥1)
𝐸𝑥3 + 𝐹𝑥2 + 𝐺𝑥 + 𝐻 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [𝑥1 , 𝑥2]
Obtención de las Ecuaciones de Spline
Ahora, debemos encontrar los valores de 𝐴, 𝐵 , 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺 𝑦 𝐻 , para esto hacemos lo
siguiente:
1. Evaluar el polinomio en los dos puntos por donde queremos que pase e igualarlos
a la coordenada de 𝑌, es decir
𝐴(𝑥0)3 + 𝐵(𝑥0)
2 + 𝐶(𝑥0) + 𝐷 = 𝑦0
𝐴(𝑥1)3 + 𝐵(𝑥1)
2 + 𝐶(𝑥1) + 𝐷 = 𝑦1
𝐸(𝑥1)3 + 𝐹(𝑥1)
2 + 𝐺(𝑥1) + 𝐻 = 𝑦1
𝐸(𝑥2)3 + 𝐹(𝑥2)
2 + 𝐺(𝑥2) + 𝐻 = 𝑦2
2. Como queremos que en el punto (𝑥1 , 𝑦1) los dos polinomios sean iguales,
entonces también queremos que sus derivadas lo sean. Por lo tanto hay que
derivar cada polinomio, evaluarlos en 𝑥1 e igualarlos.
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
𝑓′(𝑥) = { 3𝐴𝑥2 + 2𝐵𝑥 + 𝐶 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [𝑥0 , 𝑥1)
3𝐸𝑥2 + 2𝐹𝑥 + 𝐺 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [𝑥1 , 𝑥2]
Ahora, evaluamos en 𝑥1 e igualamos los polinomios.
3𝐴(𝑥1)2 + 2𝐵(𝑥1) + 𝐶 = 3𝐸(𝑥1)
2 + 2𝐹(𝑥1) + 𝐺
Despejando, nos queda la quinta ecuación de Spline
𝐴(𝑥1)2 + 2𝐵(𝑥1) + 𝐶 − 3𝐸(𝑥1)
2 − 2𝐹(𝑥1) − 𝐺 = 0
3. También necesitamos que en (𝑥1 , 𝑦1) la segunda derivada de los polinomios sean
iguales. Entonces hacemos lo mismo que en paso anterior, pero con la segunda
derivada.
𝑓′′(𝑥) = { 6𝐴𝑥 + 2𝐵 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [𝑥0 , 𝑥1)
6𝐸𝑥 + 2𝐹 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [𝑥1 , 𝑥2]
6𝐴(𝑥1) + 2𝐵 = 6𝐸(𝑥1) + 2𝐹
6𝐴(𝑥1) + 2𝐵 − 6𝐸(𝑥1) − 2𝐹 = 0
4. Por último, vamos a igualar la segunda derivada a cero en los puntos (𝑥𝑜 , 𝑦0) , y
en (𝑥2 , 𝑦2). La séptima ecuación de Spline entonces es
6𝐴(𝑥0) + 2𝐵 = 0
La octava ecuación de Spline entonces es
6𝐸(𝑥2) + 6𝐹 = 0
Ahora que ya tenemos todas las ecuaciones de Spline, construimos un sistema de
ecuaciones con 8 incógnitas (𝐴, 𝐵 , 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺 𝑦 𝐻) y 8 ecuaciones (las obtenidas
anteriormente). Resolvemos el sistema y ya obtenemos todas las ecuaciones de Spline.
Cálculo Diferencial e Integral
90
Ejemplo
La venta de paletas heladas depende directamente de la temperatura ambiental, se sabe
que cuando la temperatura es de 20°𝐶 se venden 100 paletas. Cuando la temperatura es
de 25° 𝐶 se venden 150 paletas y cuando es de 30° 𝐶 se venden 300 paletas. Encontrar
usando el método de interpolación de Spline una ecuación que estime el número de
paletas que se venderán en función de la temperatura. ¿Aproximadamente cuántas
paletas se venderán si la temperatura es de 27°𝐶 ?
Los tres puntos que tenemos para usar este método es (20, 100), (25, 150), (30,300).
Donde la primer coordenada es la temperatura y la segunda es la cantidad de paletas
heladas vendidas. Esta es entonces la función que buscamos
𝑓(𝑥) = { 𝐴𝑥3 +𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥 + 𝐷 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [20,25)
𝐸𝑥3 + 𝐹𝑥2 + 𝐺𝑥 + 𝐻 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [25,30]
Ahora, usando los pasos vistos anteriormente encontremos las ecuaciones de Spline.
𝐴(203) + 𝐵(202) + 𝐶(20 ) + 𝐷 = 100 ⇒ 8000𝐴 + 400𝐵 + 20𝐶 + 𝐷 = 100
𝐴(253) + 𝐵(252) + 𝐶(25 ) + 𝐷 = 150 ⇒ 15625𝐴 + 625𝐵 + 25𝐶 + 𝐷 = 150
𝐸(253) + 𝐹(252) + 𝐺(25 ) + 𝐻 = 150 ⇒ 15625𝐸 + 625𝐹 + 25𝐺 +𝐻 = 150
𝐸(303) + 𝐹(302) + 𝐺(30 ) + 𝐻 = 300 ⇒ 27000𝐸 + 900𝐹 + 30𝐺 +𝐻 = 300
𝑓′(𝑥) = { 3𝐴𝑥2 + 2𝐵𝑥 + 𝐶 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [20,25)
3𝐸𝑥2 + 2𝐹𝑥 + 𝐺 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [25,30]
3𝐴(252) + 2𝐵(25) + 𝐶 = 3𝐸(252) + 2𝐹(25) + 𝐺
⇒ 1875𝐴 + 50𝐵 + 𝐶 − 1875 𝐸 − 2𝐹 − 𝐺 = 0
𝑓′′(𝑥) = { 6𝐴𝑥 + 2𝐵 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [20,25)
6𝐸𝑥 + 2𝐹 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [25,30]
6𝐴(25) + 2𝐵 = 6𝐸(25) + 2𝐹 ⇒ 150𝐴 + 2𝐵 − 150𝐸 − 2𝐹 = 0
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
6𝐴(20) + 2𝐵 = 0 ⇒ 120𝐴 + 2𝐵 = 0
6𝐸(30) + 2𝐹 = 0 ⇒ 180𝐸 + 2𝐹 = 0
Ahora que ya tenemos todas las ecuaciones, debemos resolver el sistema. Para hacer
esto, el método más fácil es usando matrices. Tenemos este sistema
8000𝐴 + 400𝐵 + 20𝐶 + 𝐷 = 100
15625𝐴 + 625𝐵 + 25𝐶 + 𝐷 = 150
15625𝐸 + 625𝐹 + 25𝐺 + 𝐻 = 150
27000𝐸 + 900𝐹 + 30𝐺 + 𝐻 = 300
1875𝐴 + 50𝐵 + 𝐶 − 1875 𝐸 − 2𝐹 − 𝐺 = 0
150𝐴 + 2𝐵 − 150𝐸 − 2𝐹 = 0
120𝐴 + 2𝐵 = 0
180𝐸 + 2𝐹 = 0
Representándolo en forma matricial queda de la siguiente manera
(
8000 400 2015625 625 250 0 0
1 0 0 0 01 0 0 0 00 15625 625 0 0
0 0 01875 50 11501200
220
000
0 15625 625 0 00 −1875 −50 −1 0000
−1500180
−2 0 00 0 02 0 0 )
(
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻)
=
(
1001501503000000 )
Para resolver el sistema, hay que encontrar la inversa de la matriz de coeficientes
(utilizando Excel o un programa similar) y luego multiplicarla por la matriz de resultados.
Una vez que hicimos esto nos queda lo siguiente:
(
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻)
=
(
. 2−12245−1600−.218−5054650 )
Cálculo Diferencial e Integral
92
Por lo tanto la función que buscamos es la siguiente
𝑓(𝑥) = { . 2𝑥3 − 12𝑥2 + 245𝑥 − 1600 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [20,25)
−.2𝑥3 + 18𝑥2 − 505𝑥 + 4650 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [25,30]
Donde 𝑓(𝑥) es el número de paletas heladas vendidas y 𝑥 es la temperatura.
Para contestar ¿Aproximadamente cuántas paletas se venderán si la temperatura es de
27°𝐶 ? lo único que debemos hacer es evaluar esta función en 𝑥 = 27
𝑓(27) = −.2(273) + 18(272) − 505(27) + 4650 = 200.4
Entonces si la temperatura fuera de 27 ° 𝐶, aproximadamente se venderían 201 paletas.
Ejercicios
1.- En una tienda de café, se ha observado la cantidad demandada de café americano
para distintos precios. A continuación se muestra una tabla con estos datos:
Precio Cafés Vendidos
15 130
18 124
25 89
La tienda de café quiere estimar una función de demanda que para cada precio de venta
le estime el número de cafés que vendería. Esta función la estimará usando Interpolación
de Spline.
a) Plantea la función de demanda de cafés y plantea las ecuaciones de Spline necesarias
para encontrar esta función de demanda.
b) Encuentra todas las incógnitas del modelo.
c) ¿Cuántos cafés vendería esta tienda si el precio es de 20?
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
2.- En un aeropuerto, el número de personas formada en migración depende de la hora
del día. A continuación se muestra una tabla con información sobre esto:
Hora (En Formato 24 horas) Número de Personas en la Fila
0 25
10 147
16 290
19 570
La oficina de Migración de este aeropuerto, quiere estimar el número de personas que
estarán formadas a cualquier hora, debido a que por cada 10 personas formadas debe
haber un agente migratorio que las atienda. Para hacer esto, utilizará el método de
Interpolación de Spline.
a) Plantea la función que permite estimar el número de personas formadas y plantea las
ecuaciones de Spline necesarias.
b) Encuentra todas las incógnitas del modelo
c) ¿Cuántos agentes migratorios deberían de estar atendiendo a las 21: 00?
d) Si actualmente son las 17: 00 ¿Esperamos que el número de personas aumente o
disminuye dentro de una hora? (Utiliza Análisis Marginal para contestar esta pregunta).
Cálculo Diferencial e Integral
94
Cálculo de Rectas Tangentes
La Ecuación Punto - Pendiente
Hay varias maneras de expresar la ecuación de una recta. La más utilizada es la ecuación
pendiente - ordenada que es de la forma
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Donde 𝑚 representa la pendiente de la recta y 𝑏 el número donde la recta corta al eje 𝑌.
Una versión distinta de esta misma ecuación es la punto - pendiente , que es de la
siguiente manera
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0)
Donde 𝑚 es la pendiente de la recta y (𝑥0, 𝑦0) es cualquier punto por donde pasa la recta.
Esta es la ecuación que estaremos utilizando para calcular rectas tangentes.
Cálculo de Rectas Tangentes
La recta tangente a una función 𝑓(𝑥) en el punto (𝑥0, 𝑓(𝑥0)) es una recta que tiene la
propiedad de que solamente en (𝑥0, 𝑓(𝑥0)) se intersecta con la función. Para poder
encontrar la ecuación de una recta tangente lo único que debemos haces es encontrar el
punto (𝑥0, 𝑓(𝑥0)) evaluando 𝑥0 en la función y luego encontrar la pendiente de 𝑓(𝑥) en 𝑥0.
Y para encontrar la pendiente debemos derivar la función y luego evaluar la derivada en
𝑥0.
Ejercicio. Sea 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥2−2𝑥 , encontrar la ecuación de la recta tangente a esta
función cuando 𝑥 = 0.
Lo primero que debemos hacer es evaluar la función en cero
𝑓(0 ) = 𝑒0 = 1
Por lo tanto la tangente pasa por el punto (0,1). Ahora busquemos la pendiente de la recta
𝑓′(𝑥) = (2𝑥 − 2)𝑒𝑥2−2𝑥
𝑓′(0) = (−2)𝑒0 = −2
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Ahora usando la ecuación de la recta de la forma punto - pendiente, encontraremos a la
tangente
𝑦 − 1 = −2(𝑥 − 0)
𝑦 = −2𝑥 + 1
Ejercicio. Sea 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑛(𝑥)) , encontrar la tangente a esta función cuando 𝑥 =𝜋
2.
Evaluemos la función en 𝑥 =𝜋
2
𝑓 (𝜋
2) = ln(𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
2)) = ln(1) = 0
Por lo tanto la tangente pasa por el punto (𝜋
2, 0).
𝑓′(𝑥) = cos (𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)= cot (𝑥)
𝑓′(0) = cot(0 ) = 0
La ecuación de la tangente es
𝑦 − 0 = 0(𝑥 −𝜋
2)
𝑦 = 0
Cálculo Diferencial e Integral
96
Graficación con Cálculo Diferencial
Ahora que ya sabemos usar derivadas y algunas de sus aplicaciones, las podemos utilizar
para graficar funciones más complicadas.
Pasos a Seguir
Para poder graficar una función usando cálculo diferencial, hay que obtener lo siguiente
de la función
1. Dominio y Rango
2. Raíces de la Función
3. Límites al Infinito
4. Máximos y Mínimos
5. Intervalos donde la función es creciente y donde es decreciente
6. Tabular con algunos valores de 𝑥
Ejemplos
Graficar 𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 2𝑥 − 5)𝑒2𝑥
Usaremos los pasos que están arriba ya que esta es una función más complicada que las
que ya hemos graficado.
1. Dominio y Rango
𝐷(𝑓) = ℝ
Para encontrar el rango de esta función, no podemos utilizar el método de cambio de
variable , entonces por ahora no obtendremos el rango.
2. Raíces de la Función
𝑓(𝑥) = 0 ⇒ ( 𝑥2 − 2𝑥 − 5)𝑒2𝑥 ⇒ 𝑥2 − 2𝑥 − 5 = 0
Usemos la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado
𝑥 = 2 ± √4 − 4(−5)
2=2 ± √24
2= 2 ± 2√6
2= 1 ± √6
Las raíces de esta función son 𝑥 = 1 + √6 y 𝑥 = 1 − √6
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
3. Límites al infinito
lim𝑥→ ∞
(𝑥2 − 2𝑥 − 5)𝑒2𝑥 = ∞
Para encontrar el límite a menos infinito, necesitamos usar el método de cambio de
variable
𝑆𝑒𝑎 𝑢 = −𝑥
𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → −∞ 𝑢 → ∞
lim𝑥→ −∞
(𝑥2 − 2𝑥 − 5)𝑒2𝑥 = lim𝑢→ ∞
((−𝑢)2 − 2(−𝑢) − 5)𝑒−2𝑢
= lim𝑢→ ∞
(𝑢2 + 2𝑢 − 5)𝑒−2𝑢 = lim𝑢→ ∞
𝑢2 + 2𝑢 − 5
𝑒2𝑢= 0
Este límite es cero ya que al tender 𝑢 a infinito, el denominador crece más rápido que el
numerador (por ser una exponencial).
Esto quiere decir que 𝑦 = 0 es una asíntota horizontal de esta función.
4. Máximos y Mínimos
𝑓′(𝑥) = (2𝑥2 − 2𝑥 − 12)𝑒2𝑥
𝑓′(𝑥) = 0 ⇒ (2𝑥2 − 2𝑥 − 12)𝑒2𝑥 = 0 ⇒ 2𝑥2 − 2𝑥 − 12 = 0
⇒ 𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0 ⇒ (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) = 0 ⇒ 𝑥 = 3 ó 𝑥 = −2
Estos son los puntos críticos.
𝑓′′(𝑥) = (4𝑥2 − 26)𝑒2𝑥
𝑥 = 3 ⇒ 𝑓′′(3) = (27 − 26)𝑒6 > 0 ⇒ 𝑥 = 3 𝑒𝑠 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜
𝑥 = −2 ⇒ 𝑓′′(−2) = (−10)𝑒−4 < 0 ⇒ 𝑥 = −2 𝑒𝑠 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜
Ya que sabemos que el mínimo de la función es 𝑥 = 3 entonces podemos obtener el
rango.
𝑓(−2) = −2𝑒6
Por lo tanto
𝑅(𝑓) = [−2𝑒6 ,∞)
Cálculo Diferencial e Integral
98
5. Intervalos donde la función es creciente y donde es decreciente
Para obtener esto, usaremos el método de la tabla. Recordemos que para saber cuándo
una función es creciente y cuando es decreciente, debemos utilizar la derivada.
𝑓′(𝑥) = (2𝑥2 − 2𝑥 − 12)𝑒2𝑥 = 2(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)𝑒2𝑥
(−∞ , −2)
(−2, 3)
(3,∞)
𝑥 − 3
Negativo
Negativo
Positivo
𝑥 + 2
Negativo
Positivo
Positivo
𝑒2𝑥
Positivo
Positivo
Positivo
2(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)𝑒2𝑥
Positivo
Negativo
Positivo
Por lo tanto
𝑓(𝑥) 𝑒𝑠 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖 𝑥 ∈ (−∞,−2) ∪ (3,∞)
𝑓(𝑥) 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖 𝑥 ∈ (−2,3)
6. Tabular con algunos valores de 𝑥
𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 2𝑥 − 5)𝑒2𝑥
𝑓(0) = −5
𝑓(−2) = (4 − 4 − 5)𝑒−4 = −5
𝑒4= −.092
𝑓(3) = (9 − 6 − 5)𝑒6 = −2𝑒6 = −806.86
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
𝑓(1) = (1 − 2 − 5)𝑒2 = −6𝑒2 = −44.33
Con toda la información que ya obtuvimos, entonces podemos hacer una gráfica muy
aproximada de esta función.
Graficar 𝑓(𝑥) = 𝑥2+4𝑥+3
𝑥2+4
1. Dominio y Rango
𝐷(𝑓) = ℝ
x
y
Cálculo Diferencial e Integral
100
Esto porque no hay ningún valor de 𝑥 que hace que el denominador sea cero. El rango, al
igual que en el ejercicio anterior, lo obtendremos cuando saquemos los máximos y
mínimos de la función.
2. Raíces de la función
𝑓(𝑥) = 0 ⇒ 𝑥2 + 4𝑥 + 3
𝑥2 + 4= 0 ⇒ 𝑥2 + 4𝑥 + 3 = 0
⇒ (𝑥 + 3)(𝑥 + 1) = 0 ⇒ 𝑥 = −3 ó 𝑥 = −1
3. Límites al infinito
lim𝑥→ ∞
𝑥2 + 4𝑥 + 3
𝑥2 + 4= lim
𝑥→ ∞
1 +4𝑥+3𝑥2
1 +4𝑥2
= 1
lim𝑥→ −∞
𝑥2 + 4𝑥 + 3
𝑥2 + 4= lim
𝑢→ ∞
(−𝑢)2 + 4(−𝑢) + 3
(−𝑢)2 + 4= lim
𝑢→ ∞
𝑢2 − 4𝑢 + 3
𝑢2 + 4
= lim𝑢→ ∞
1 −4𝑢 +
3𝑢2
1 +4𝑢2
= 1
Esto quiere decir que 𝑦 = 1 es una asíntota horizontal de esta función
4. Máximos y Mínimos
𝑑𝑓
𝑑𝑥= −4𝑥2 + 2𝑥 + 16
(𝑥2 + 4)2
𝑑𝑓
𝑑𝑥= 0 ⇒
−4𝑥2 + 2𝑥 + 16
(𝑥2 + 4)2= 0 ⇒ −4𝑥2 + 2𝑥 + 16 = 0
𝑥 = −2 ± √4 − 4(−4)(16)
−8 =
1 ± √65
4
Los puntos críticos son 𝑥 = 1+√65
4 𝑦 𝑥 =
1−√65
4
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
𝑑2𝑓
𝑑𝑥= 8𝑥3 − 6𝑥2 + 64𝑥 + 8
(𝑥2 + 4)4
𝑥 = 1 + √65
4 ⇒
𝑑2𝑓
𝑑𝑥< 0 ⇒ 𝑥 =
1 + √65
4 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜
𝑥 = 1 − √65
4 ⇒
𝑑2𝑓
𝑑𝑥> 0 ⇒ 𝑥 =
1 − √65
4 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜
Entonces el rango de esta función es
𝑅(𝑓) = [1 − √65
4 ,1 + √65
4]
5. Intervalos donde la función es creciente y donde es decreciente
(−∞,1 − √65
4)
(1 − √65
4,1 + √65
4)
(1 + √65
4,∞)
−4𝑥2 + 2𝑥 + 16
Negativo
Positivo
Negativo
(𝑥2 + 4)2
Positivo
Positivo
Positivo
−4𝑥2 + 2𝑥 + 16
(𝑥2 + 4)2
Negativo
Positivo
Negativo
Entonces
𝑓(𝑥) 𝑒𝑠 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖 𝑥 ∈ (1 − √65
4,1 + √65
4)
𝑓(𝑥) 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖 𝑥 ∈ (−∞,1 − √65
4) ∪ (
1 + √65
4, ∞)
Cálculo Diferencial e Integral
102
6. Tabular con algunos valores de 𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 + 3
𝑥2 + 4
𝑓(0) = 3
4
𝑓 (1 + √65
4) = 1.858
𝑓 (1 − √65
4) = −.133
Esta es la gráfica de 𝑓(𝑥)
x
y
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Introducción Al Cálculo Integral
La integral es una operación matemática que se aplica a las funciones para conocer el
área formada entre la curva y un eje. Normalmente se quiere conocer el área que hay
entre la función y el eje 𝑋.
La integral la componen tres partes: ∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 , el operador de la integral que se
representa con el símbolo ∫ , la función a integrar 𝑓(𝑥) y otro operador que se llama
diferencial dx que nos dice cuál es la variable de interés, es decir, la que vamos a integrar.
Para poder integrar más que utilizar fórmulas se usan técnicas que nos permiten convertir
una integral complicada a una que nosotros conocemos para que así podamos resolver la
integral más fácilmente. Durante el semestre veremos cuatro técnicas: Integración por
Sustitución, Integración por Partes, Integración por Sustitución Trigonométrica e
Integración por Fracciones Parciales. Pero para poder entender mejor estas cuatro
técnicas primero hay que conocer algunas fórmulas de integrales y las propiedades que
tiene esta operación.
Teorema Fundamental del Cálculo
Si tenemos una función 𝑓(𝑥) tal que 𝑓(𝑥) = ∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥 (es decir tenemos una función 𝑓(𝑥)
que es la integral de otra función 𝑔(𝑥)) entonces
𝑑𝑓
𝑑𝑥= 𝑔(𝑥)
Por otro lado si tenemos una función 𝑓(𝑥) tal que 𝑓(𝑥) = 𝑑𝑔
𝑑𝑥 (la función 𝑓(𝑥) es la
derivada de otra función 𝑔(𝑥)) entonces
∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑔(𝑥)
Lo que el Teorema Fundamental del Cálculo nos dice es que derivar e integrar son
procesos contrarios. Si derivamos una función y queremos regresar a la función original lo
que hay que hacer es integrarla. Si integramos una función y queremos regresar a la
función original lo que hay que hacer es derivarla.
Cálculo Diferencial e Integral
104
Como mencionamos, la integral nos permite conocer el área bajo la curva. Normalmente
queremos conocer el área que se forma entre dos valores de 𝑥 (a y b), es decir, en un
intervalo [a,b]. Para indicar el área formada entre la curva y el eje 𝑥 en un intervalo [a,b]
usamos esta notación
∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
Si estamos buscando el área formada en un intervalo se le llama una Integral Definida. En
caso contrario se le conoce como Integral Indefinida.
La Constante
Recordemos que si 𝑦 = 𝑘 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℝ entonces 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 0, es decir la derivada de cualquier
constante es cero. Entonces las derivadas "eliminan" constantes porque si una función
tiene una constante entonces al derivarla esta se vuelve cero y por lo tanto ya no la
consideramos. Dado que las integrales son el proceso contrario a las derivadas, las
integrales agregan constantes. Por eso es que cuando acabamos de integrar le
agregamos una C, donde C es una constante.
∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶
Normalmente no nos interesa saber el valor de la constante que le agregamos. Sólo va a
ser importante cuando se hable sobre las aplicaciones del Cálculo Integral.
Propiedades de las Integrales
Hay tres propiedades importantes de las integrales
1.- La integral de una suma de funciones es lo mismo que la suma de las integrales
∫𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
2.- Si tenemos una constante c que no depende de la variable de interés entonces la
podemos sacar de la integral.
∫𝑐 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑐 ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥
3.- Para Integrales Definidas tenemos que
∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑏
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Integrales Directas
Gracias al Teorema Fundamental del Cálculo podemos conocer algunas fórmulas de
integración sin necesidad de aplicar ninguna técnica. Estas son muy importantes porque
cuando apliquemos una técnica lo que vamos a hacer es convertir una función que no
sabemos integrar a una de estas fórmulas que si sabemos integrar. Estas fórmulas son lo
contrario de las fórmulas de derivadas (debido a que integrar es lo contrario a derivar).
Sea a una función que depende de 𝑥 y C una constante, entonces
∫𝑑𝑎
𝑑𝑥cos(𝑎) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑎) + 𝐶
∫−𝑑𝑎
𝑑𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑎) 𝑑𝑥 = cos(𝑎) + 𝐶
∫𝑑𝑎
𝑑𝑥𝑒𝑎𝑑𝑥 = 𝑒𝑎 + 𝐶
∫𝑑𝑎
𝑑𝑥 1
𝑎 𝑑𝑥 = ln(𝑎) + 𝐶
∫𝑥𝑛𝑑𝑥 = 𝑥𝑛+1
𝑛 + 1+ 𝐶 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑛 ∈ ℝ 𝑦 𝑛 ≠ −1 3
Ejercicio. Encontrar el valor de las siguientes integrales.
a) ∫𝑥4 + 5𝑥3 − 4 𝑑𝑥
Aplicando las propiedades de las integrales entonces
∫𝑥4 + 5𝑥3 − 4 𝑑𝑥 = ∫𝑥4𝑑𝑥 + 5∫𝑥3𝑑𝑥 − 4 ∫𝑥0 𝑑𝑥
Ahora hay que aplicar las fórmulas en este caso la última
∫𝑥4𝑑𝑥 + 5∫𝑥3𝑑𝑥 − 4 ∫1 𝑑𝑥 = 𝑥5
5+ 5
𝑥4
4− 4𝑥 + 𝐶
Entonces
3 Si n = -1 entonces ∫𝑥−1𝑑𝑥 = ∫
1
𝑥𝑑𝑥 = ln(𝑥) + 𝐶 . Recordemos que la derivada de 𝑦 = ln 𝑥 es
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
1
𝑥
Cálculo Diferencial e Integral
106
∫𝑥4 + 5𝑥3 − 4 𝑑𝑥 =𝑥5
5+ 5
𝑥4
4− 4𝑥 + 𝐶
b) ∫4𝑥3 − √𝑥 + 1
𝑥3 𝑑𝑥
Primero hay que utilizar las leyes de los exponentes y las propiedades de las integrales
para simplificar la operación.
∫4𝑥3 − √𝑥 + 1
𝑥3 𝑑𝑥 = ∫4𝑥3 − 𝑥1/2 + 𝑥−3𝑑𝑥 = 4∫𝑥3 𝑑𝑥 − ∫𝑥1/2𝑑𝑥 + ∫𝑥−3𝑑𝑥
4∫𝑥3 𝑑𝑥 − ∫𝑥1/2𝑑𝑥 + ∫𝑥−3𝑑𝑥 = 4𝑥3+1
3 + 1− 𝑥12+1
12+ 1
+ 𝑥−3+1
−3 + 1+ 𝐶
= 4𝑥4
4− 𝑥3/2
32
+ 𝑥−2
−2+ 𝐶 = 𝑥4 −
2𝑥3/2
3− 𝑥−2
2+ 𝐶
Entonces
∫4𝑥3 −√𝑥 + 1
𝑥3 𝑑𝑥 = 𝑥4 −
2𝑥3/2
3− 𝑥−2
2+ 𝐶
c) ∫7𝑒5𝑥𝑑𝑥
Aplicando las propiedades de las integrales podemos sacar el 7 de la integral
∫7𝑒5𝑥𝑑𝑥 = 7 ∫ 𝑒5𝑥𝑑𝑥
Ahora la fórmula de una integral de una función exponencial dice lo siguiente
∫𝑑𝑎
𝑑𝑥𝑒𝑎𝑑𝑥 = 𝑒𝑎 + 𝐶
Entonces para poder integrar 7 ∫ 𝑒5𝑥𝑑𝑥 necesitamos que la derivada de 5x este dentro
de la integral. La derivada de 5x es 5, entonces para que aparezca dentro de la integral
haremos el siguiente truco
7 ∫ 𝑒5𝑥𝑑𝑥 = 7∫1 𝑒5𝑥𝑑𝑥 = 7∫5
5𝑒5𝑥𝑑𝑥 =
7
5 ∫5𝑒5𝑥𝑑𝑥
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Ahora si tenemos la derivada de 5𝑥 dentro de la integral por lo que aplicando la fórmula
tenemos que
7
5 ∫5𝑒5𝑥𝑑𝑥 =
7
5 𝑒5𝑥 + 𝐶
d) ∫ 𝑠𝑒𝑛(4𝑥)𝑑𝑥
Recordemos que la fórmula para integrar una función seno es la siguiente
∫−𝑑𝑎
𝑑𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑎) 𝑑𝑥 = cos(𝑎) + 𝐶
Para poder integrar ∫ 𝑠𝑒𝑛(4𝑥)𝑑𝑥 necesitamos que dentro de la integral este la derivada
de 4𝑥 y que esa derivada sea negativa. Aplicando el mismo truco, entonces
∫𝑠𝑒𝑛(4𝑥)𝑑𝑥 = ∫1 𝑠𝑒𝑛(4𝑥)𝑑𝑥 = ∫−4
−4 𝑠𝑒𝑛(4𝑥)𝑑𝑥 =
−1
4 ∫−4 𝑠𝑒𝑛(4𝑥)𝑑𝑥
Ahora ya aplicamos la fórmula para obtener el resultado
∫𝑠𝑒𝑛(4𝑥)𝑑𝑥 = −1
4 ∫−4 𝑠𝑒𝑛(4𝑥)𝑑𝑥 =
−1
4cos(4𝑥) + 𝐶
e) ∫ 𝑒𝑥2𝑑𝑥
Esta integral ya está un poco más complicada pero apliquemos el mismo truco. Ahora
necesitamos que la derivada de 𝑥2 aparezca dentro de la integral, es decir, queremos que
2𝑥 esté dentro de la integral.
∫𝑒𝑥2𝑑𝑥 = ∫1 𝑒𝑥
2𝑑𝑥 = ∫
2𝑥
2𝑥 𝑒𝑥
2𝑑𝑥 =
1
2𝑥∫2𝑥 𝑒𝑥
2𝑑𝑥
Al parecer hasta aquí todo está muy bien hecho pero en realidad está mal. ¿Dónde está el
error? Efectivamente logramos aparecer un 2𝑥 dentro de la integral pero lo que está mal
es que sacamos un 1
2𝑥 de la integral que no es una constante porque depende de 𝑥. Solo
podemos sacar de la integral un valor que no depende de 𝑥. Por lo tanto esta integral no
la podemos resolver usando este truco. Aquí ya es necesario aplicar una técnica de
integración para poder resolver esta integral.
Desafortunadamente no todas las integrales se pueden resolver usando fórmulas, primero
es necesario aplicarles una técnica para poderlas resolver. Esto es lo que estaremos
estudiando durante el resto del texto.
Cálculo Diferencial e Integral
108
Ejercicios
1.- Resuelve las siguientes integrales.
a) ∫8𝑥2 − 9𝑥 + 1𝑑𝑥
b) ∫𝑥3/4 − 15𝑥4 + 8𝑥𝑑𝑥
c) ∫√𝑥 − 2 √𝑥3
𝑑𝑥
d) ∫ 𝑠𝑒𝑛(8𝑥)𝑑𝑥
e) ∫ 𝑒4𝑥 + cos(7𝑥)𝑑𝑥
2.- Una integral doble, es el equivalente (en integrales) a la segunda derivada, es decir
una integral doble es la integral de la integral de una función 𝑓(𝑥). La integral doble se
denota de la siguiente manera
∬𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑥
Calcula las siguientes integrales dobles:
a) ∬𝑥2 − 4𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑥
b) ∬𝑠𝑒𝑛(3𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑥
c) ∬√𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑥
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Técnicas de Integración
Integrales Por Sustitución y Por Partes
Integrales Por Sustitución
La primera técnica que vamos a estudiar es la de Sustitución: esta consiste en que, a
través de un cambio de variables, lleguemos a una integral directa (por fórmula). No
siempre se puede aplicar esta técnica, es importante verificar que la técnica que se va a
usar para integrar sea la correcta porque si no, en vez de llegar a una integral directa (que
son las más fáciles) llegaremos a una integral mucho más complicada. Para saber
cuándo se puede integrar por sustitución hay que revisar que se cumpla lo siguiente:
1.- La técnica es posible si al ver la integral como dos partes, una de ellas es la derivada
de la otra parte. Ejemplo:
∫𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑥) 𝑑𝑥
Esta si se puede por sustitución porque al derivar 𝑠𝑒𝑛(𝑥) nos queda 𝑐𝑜𝑠(𝑥). En cambio
∫𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥
No se puede por sustitución porque ni al derivar 𝑥 nos queda 𝑠𝑒𝑛(𝑥), y si derivamos
𝑠𝑒𝑛(𝑥) no nos queda 𝑥.
2.- También es posible usar esta técnica si existen polinomios de grados subsecuentes.
Pero esta NO es la única condición, se deben de cumplir otras reglas:
a) El polinomio de grado mayor debe estar en el argumento de la función, es decir que
esté operando a una función trigonométrica, potencia o raíz. Ejemplo
∫𝑥 𝑒𝑥2 𝑑𝑥
Si se puede porque hay polinomios de grados subsecuentes y el de grado mayor está
operando con la función exponencial.
b) En caso de que haya división, el de grado mayor debe estar en el denominador. Por
ejemplo si consideramos la siguiente integral
∫𝑥2
𝑥 + 1 𝑑𝑥
No se puede integrar por sustitución porque aunque hay polinomios de grados
subsecuentes, el de grado mayor está en el numerador.
Cálculo Diferencial e Integral
110
c) Algo muy importante que debe pasar es que la derivada del polinomio de grado mayor
se parezca en términos al de grado menor. Por ejemplo:
∫𝑥2 cos(𝑥3 − 𝑥)𝑑𝑥
Esta NO se puede por sustitución porque si derivamos 𝑥3 − 𝑥 nos queda una expresión
con dos términos mientras que en la integral sólo tenemos uno.
Los pasos para integrar por sustitución una vez que verificamos que si se puede usar esta
técnica son estos:
1.- Plantear un cambio de variables, tomando como 𝑢 al polinomio de grado mayor o a la
parte que al derivarla nos da la otra parte de la integra.
2.- Derivar 𝑢
3.- Sustituir 𝑢 y 𝑑𝑢
𝑑𝑥 en la integral. Es muy importante que después de hacer esta
sustitución la única variable que quede dentro de la integral sea 𝑢 y que el diferencial diga
𝑑𝑢.
4.- Comparar esta integral con las fórmulas de integrales directas e integrar.
5.- Hacer el cambio de variables de regreso
Ejercicio. Resolver las siguientes integrales utilizando la técnica de sustitución. En
caso de no ser posible, indicar la razón.
a) ∫𝑥2𝑒𝑥3 𝑑𝑥
Esta integral se puede hacer por sustitución porque hay polinomios de grados
subsecuentes, el de grado mayor está en el argumento de la función y si se deriva, se
parece en términos al otro polinomio.
𝑢 = 𝑥3 𝑑𝑢
𝑑𝑥= 3𝑥2 𝑑𝑢 = 3𝑥2 𝑑𝑥
1
3𝑑𝑢 = 𝑥2 𝑑𝑥
∫𝑥2𝑒𝑥3 𝑑𝑥 = ∫𝑒𝑥
3𝑥2𝑑𝑥 = ∫𝑒𝑢
1
3𝑑𝑢 =
1
3 ∫ 𝑒𝑢 𝑑𝑢 =
1
3 𝑒𝑢 + 𝐶 =
1
3𝑒𝑥
3+ 𝐶
b) ∫ tan(𝑥) 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)𝑑𝑥
Esta integral se puede por sustitución porque al derivar 𝑡𝑎𝑛(𝑥) nos queda 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)
𝑢 = tan(𝑥) 𝑑𝑢
𝑑𝑥= 𝑠𝑒𝑐2(𝑥) 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐2(𝑥) 𝑑𝑥
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
∫tan(𝑥) 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑢 𝑑𝑢 = 𝑢2
2+ 𝐶 =
𝑡𝑎𝑛2(𝑥)
2+ 𝐶
c) ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(2𝑥) 𝑑𝑥
Esta integral no se puede por sustitución ya que al derivar 𝑠𝑒𝑛(𝑥) no nos da 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) y
tampoco al derivar 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) nos queda 𝑠𝑒𝑛(𝑥). Y no hay polinomios de grados
subsecuentes.
d) ∫1
(𝑥+1)ln (𝑥+1)𝑑𝑥
Esta integral si la podemos resolver por sustitución ya que 1
𝑥+1 es la derivada de ln(𝑥 + 1).
𝑢 = ln(𝑥 + 1) 𝑑𝑢
𝑑𝑥=
1
𝑥 + 1 𝑑𝑢 =
1
𝑥 + 1𝑑𝑥
∫1
(𝑥 + 1)ln (𝑥 + 1)𝑑𝑥 = ∫
1
𝑢𝑑𝑢 = ln(𝑢) + 𝐶 = ln(𝑙𝑛(𝑥 + 1)) + 𝐶
Integrales Por Partes
Esta técnica consiste en tomar dos partes de la integral, derivar una e integrar la otra para
convertir a esta integral en una más fácil. Para poder integrar por partes hay que seguir
una fórmula:
∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑢𝑣 − ∫𝑣 𝑑𝑢
Donde 𝑢 es la parte que se va a derivar, y 𝑑𝑣 es la parte que se va a integrar. Para saber
si una integral la vamos a hacer por partes, primero hay que fijarnos que no se pueda
hacer por otra técnica. Una vez que ya sabemos esto, hay que escoger una 𝑢 y una 𝑑𝑣,
para esto hay que fijarnos en lo siguiente:
1.- Para escoger𝑢 , debemos tomar en cuenta que lo que queremos es simplificar la
integral. Es por esto que generalmente tomamos como 𝑢 a los polinomios, porque al
derivarlos le bajamos un grado. Si no hay polinomios tomamos a 𝑢 como algo que no
sepamos integrar pero si derivar. Ejemplos:
∫𝑥3 𝑒𝑥 𝑑𝑥
Cálculo Diferencial e Integral
112
Aquí 𝑢 seria 𝑥3 porque al derivarla le bajaríamos un grado al polinomio y en la nueva
integral que nos quedaría después de usar la fórmula de por partes tendríamos una 𝑥2 en
vez de una 𝑥3. Pero, por ejemplo en la siguiente integral
∫ ln(𝑥) 𝑑𝑥
No hay polinomios, entonces a 𝑢 la tomaríamos como 𝑙𝑛(𝑥) porque lo sabemos derivar y
no sabemos cual es su integral.
2.- Para escoger a 𝑑𝑣, si ya escogimos a 𝑢 tomamos todo lo que esta en la integral que no
esta en 𝑢. Es decir siempre todos los componentes de la integral tienen que quedar en 𝑢
o en 𝑑𝑣, no puede haber algo que no quede en una de estas. Generalmente tomamos 𝑑𝑣
algo que integrarlo no sea difícil, es decir una integral directa.
Una vez que ya tenemos a 𝑢 y a 𝑑𝑣 seleccionadas, estos son los pasos que se deben
seguir para integrar por partes:
1.- Derivar 𝑢 e integrar 𝑑𝑣
2.- Seguir la fórmula
3.- Ver si la parte de ∫ 𝑣 𝑑𝑢 es ya una integral directa. En caso de que lo sea, integrarla,
pero si no volver a integrar por partes. Es decir de esa nueva integral volver a tomar una 𝑢
y una 𝑑𝑣 y volver a seguir la fórmula. Esto se debe de hacer hasta que ∫ 𝑣 𝑑𝑢 contenga a
una integral directa.
Ejercicio. Resolver las siguiente integrales utilizando la técnica de por Partes.
a) ∫𝑥2 𝑒𝑥 𝑑𝑥
Aquí tomaremos 𝑢 como 𝑥2 porque es un polinomio y al derivarlo le bajaremos un grado a
la nueva integral y 𝑑𝑣 como 𝑒𝑥 porque es una integral directa.
𝑢 = 𝑥2 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥
𝑢𝑣 − ∫𝑣𝑑𝑢 = 𝑥2𝑒𝑥 − 2∫𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥
La nueva integral que nos quedó no es una integral directa, así que tenemos que volver a
integrar por partes ahora tomando como 𝑢 a 𝑥, y como 𝑑𝑣 a 𝑒𝑥.
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
𝑢 = 𝑥 𝑑𝑢 = 1
𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 𝑣 = 𝑒𝑥
𝑥2𝑒𝑥 − 2∫𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2𝑒𝑥 − 2 [𝑥𝑒𝑥 −∫𝑒𝑥𝑑𝑥]
𝑥2𝑒𝑥 − 2𝑥𝑒𝑥 + ∫𝑒𝑥𝑑𝑥
Y esta última integral que nos quedó ya es directa. Por lo tanto
∫𝑥2𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2𝑒𝑥 − 2𝑥𝑒𝑥 + 𝑒𝑥 + 𝐶
b) ∫ ln(𝑥) 𝑑𝑥
Como ya explicamos anteriormente, 𝑢 = ln (𝑥) debido a que sabemos derivar esta función.
Debemos tomar a una parte de la integral como 𝑑𝑣, entonces tomaremos 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 ya que
el diferencial es lo único que queda dentro de la integral.
𝑢 = ln(𝑥) 𝑑𝑢 = 1
𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 𝑣 = ∫1𝑑𝑥 = 𝑥
𝑢𝑣 − ∫𝑣𝑑𝑢 = 𝑥𝑙𝑛(𝑥) −∫𝑥1
𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛(𝑥) − ∫𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛(𝑥) − 𝑥 + 𝐶
c) ∫𝑥3𝑒𝑥2𝑑𝑥
Esta es una integral más complicada. La razón es la siguiente: no podemos tomar 𝑢 =
𝑒𝑥3 pues estaríamos violando la regla de que 𝑢 debe ser un polinomio siempre que
aparezcan (en este caso es 𝑥3). Pero, no podemos tomar 𝑢 = 𝑥3 ya que en este caso 𝑑𝑣
sería 𝑒𝑥2 y no sabemos integrarla (pues no es directa).
Cuando nos encontramos en una situación parecida a esta, lo que se debe de hacer es un
cambio de variable. Se toma 𝑧 = 𝑥2 debido a que 𝑒𝑧 es una integral directa. Pero, como
vamos a sustituir, también debemos sustituir la derivada de 𝑧. Entonces
𝑧 = 𝑥2 𝑑𝑧 = 2𝑥𝑑𝑥 1
2𝑑𝑧 = 𝑥𝑑𝑥
∫𝑥3𝑒𝑥2𝑑𝑥 = ∫𝑥2𝑥𝑒𝑥
2𝑑𝑥 =
1
2∫𝑧𝑒𝑧𝑑𝑧
Cálculo Diferencial e Integral
114
Ahora, debemos resolver ∫ 𝑧𝑒𝑧𝑑𝑧 que ya es una integral que se puede hacer por partes.
Tomamos 𝑢 = 𝑧 𝑦 𝑑𝑣 = 𝑒𝑧.
𝑢 = 𝑧 𝑑𝑢 = 1𝑑𝑧
𝑑𝑣 = 𝑒𝑧𝑑𝑧 𝑣 = 𝑒𝑧
𝑢𝑣 − ∫𝑣𝑑𝑢 = 𝑧𝑒𝑧 −∫𝑒𝑧𝑑𝑧 = 𝑧𝑒𝑧 − 𝑒𝑧 + 𝐶
Por lo tanto, haciendo el cambio de variables de regreso, el valor de la integral es
∫𝑥3𝑒𝑥2𝑑𝑥 = 𝑥2𝑒𝑥
2− 𝑒𝑥
2+ 𝐶
Integrales por Partes (Telescópicas)
Existe una manera más fácil de hacer una integral por partes si se cumplen ciertas
condiciones, estas se llaman Integrales Telescópicas. Para poder hacer esta técnica es
importante que la integral tenga las siguientes características:
1.- Debe tener un polinomio no importando el grado de este.
2.- Debe haber una función cíclica con argumento lineal. Una función cíclica es aquella
que al derivarla o integrarla eventualmente va a volver a aparecer la misma función.
Nosotros vamos a ver tres: la función seno, coseno y la función exponencial base e.
Una vez que ya sabemos que podemos usar la técnica de integrales telescópicas, estos
son los pasos a seguir:
1.- Derivar 𝑢 hasta que sea cero
2.- Integrar 𝑑𝑣 el mismo número de veces que derivamos
3.- Hacer ∑ (−1)𝑗+1(𝑈𝑗)(𝑉𝑗+1)𝑛𝑗=1 donde n es el número de veces que se derivo
𝑢
Ejercicio. Obtener ∫𝑥3 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑑𝑥.
Esta es una integral telescópica debido a que 𝑥3 es un polinomio y 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) es una función
cíclica con argumento lineal.
Ahora seguimos los pasos:
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
𝑢 = 𝑥3 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
𝑢′ = 3𝑥2 𝑣 = −1
2cos(2𝑥)
𝑢′′ = 6𝑥 ∫ 𝑣 = −1
4sen(2𝑥)
𝑢′′′ = 6 ∬ 𝑣 = 1
8cos(2𝑥)
𝑢′′′′ = 0 ∭ 𝑣 = 1
16sen(2𝑥)
Entonces ∫𝑥3 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑑𝑥 es
−1
2𝑥3 cos(2𝑥) +
1
43𝑥2sen(2𝑥) +
1
86𝑥 cos(2𝑥) −
1
166 sen(2𝑥) + 𝐶
Casos Especiales
Ahora vamos a ver algunas integrales un poco más difíciles que se resuelven utilizando
integración por partes.
a) ∫ 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑒3𝑥 𝑑𝑥
Al analizar esta integral vemos que no se puede por sustitución porque no hay polinomios
de grados subsecuentes ni al derivar una parte obtenemos la otra parte, no hay estructura
de sustitución trigonométrica ni hay manera en que lleguemos a ella ni hay fracciones por
lo tanto no se puede por fracciones parciales. Entonces la única que nos queda es por
partes, pero no se puede telescópica porque no hay un polinomio ni una parte que se
puede volver cero al derivarla.
Entonces da igual si tomamos u como la función seno, o la exponencial
𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 𝑢 = 2cos (2𝑥)
𝑑𝑣 = 𝑒3𝑥 𝑣 = 1
3𝑒3𝑥
∫𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑒𝑥𝑑𝑥 =1
3𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑒𝑥 −∫
2
3cos (2𝑥)𝑒𝑥𝑑𝑥
Ahora llegamos a otra integral y esta la tenemos que integrar por partes otra vez
Cálculo Diferencial e Integral
116
𝑢 = cos(2𝑥) 𝑢′ = −2𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
𝑑𝑣 = 𝑒3𝑥 𝑣 = 1
3𝑒𝑥
1
3𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑒𝑥 −
2
3∫cos(2𝑥) 𝑒𝑥𝑑𝑥 =
1
3 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑒𝑥 −
2
3[1
3cos(2𝑥) 𝑒𝑥 +
2
3∫𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑒𝑥𝑑𝑥]
= 1
3𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑒𝑥 −
2
9cos(2𝑥) 𝑒𝑥 −
4
9∫𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑒𝑥𝑑𝑥
Aquí vemos que volvemos a llegar a la misma integral que queríamos resolver al principio,
si siguiéramos integrando por partes llegaríamos a lo mismo y no llegaríamos al resultado.
Entonces se hace esto:
∫𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑒𝑥𝑑𝑥 = 1
3𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑒𝑥 −
2
9cos(2𝑥) 𝑒𝑥 −
4
9∫𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑒𝑥𝑑𝑥 + 𝐶
9
9∫𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑒𝑥𝑑𝑥 =
1
3𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑒𝑥 −
2
9cos(2𝑥) 𝑒𝑥 −
4
9∫𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑒𝑥𝑑𝑥 + 𝐶
13
9∫𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑒𝑥𝑑𝑥 =
1
3𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑒𝑥 −
2
9cos(2𝑥) 𝑒𝑥 + 𝐶
∫𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑒𝑥𝑑𝑥 = 9
13[1
3𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑒𝑥 −
2
9cos(2𝑥) 𝑒𝑥] + 𝐶
b) ∫𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑑𝑥
Al analizar esta integral no tenemos ninguna fórmula ni técnica que nos diga como
integrar una función inversa trigonométrica. Así que en estos casos cuando no sabemos
que hacer lo más fácil es hacer una sustitución.
𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 𝑥 = 1
2𝑠𝑒𝑛(𝑢)
𝑑𝑥
𝑑𝑢= 1
2cos(𝑢) 𝑑𝑥 =
1
2cos(𝑢) 𝑑𝑢
∫𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑑𝑥 = 1
2∫𝑢 cos(𝑢) 𝑑𝑢
Ahora que analizamos esta nueva integral nos damos cuenta que se puede integrar por
partes.
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
𝑎 = 𝑢 𝑎′ = 1
𝑑𝑏 = cos(𝑢) 𝑏 = 𝑠𝑒𝑛(𝑢)
1
2∫𝑢 cos(𝑢) 𝑑𝑢 =
1
2[𝑢 𝑠𝑒𝑛(𝑢) −∫𝑠𝑒𝑛(𝑢)𝑑𝑢] =
1
2[𝑢 𝑠𝑒𝑛(𝑢) + cos (𝑢)] + 𝐶
Ahora el único problema es que no sabemos cuanto vale cos(u) , pero usando un poco de
trigonometría podemos llegar a saber cuanto vale.
cos(𝑢) = √1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝑢) = √1 − 4𝑥2
Entonces
∫𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑑𝑥 = 1
2[𝑢 𝑠𝑒𝑛(𝑢) + cos (𝑢)] + 𝐶 =
1
2[2𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + √1 − 4𝑥2] + 𝐶
Ejercicios
1.- Resuelve las siguientes integrales utilizando Sustitución. En caso de que no se pueda
utilizar esta técnica, justifica.
a) ∫ 3𝑥𝑒𝑥2𝑑𝑥
b) ∫ 45𝑥4 cos(−5𝑥5) 𝑑𝑥
c) ∫𝑥3
𝑥4−5𝑥𝑑𝑥
d) ∫2𝑥𝑙𝑛(𝑥2+1)
𝑥2+1𝑑𝑥
e) ∫(9𝑥2 + 3)𝑠𝑒𝑛(2𝑥3 + 2𝑥)𝑑𝑥
f) ∫ 𝑠𝑒𝑛(8𝑥) cos(8𝑥) 𝑑𝑥
g) ∫𝑥
(4𝑥2−1)5𝑑𝑥
h) ∫𝑙𝑛5(𝑥+1)
6𝑥+6𝑑𝑥
i) ∫ 𝑠𝑒𝑛(6𝑥) cos(𝑥) 𝑑𝑥
j) ∫ cos(2𝑥) 𝑠𝑒𝑛7(2𝑥)𝑑𝑥
Cálculo Diferencial e Integral
118
k) ∫ cos (3𝑥)𝑒𝑠𝑒𝑛(3𝑥)𝑑𝑥
l) ∫4𝑥−2
(7𝑥2−7𝑥)100𝑑𝑥
2.- Probar, utilizando Sustitución las siguientes integrales
a)
∫𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥)𝑑𝑥 = −1
𝑎cos(𝑎𝑥) + 𝐶 𝑠𝑖 𝑎 ≠ 0
b)
∫𝑎𝑥𝑒𝑏𝑥2𝑑𝑥 =
𝑎
2𝑏𝑒𝑏𝑥
2+ 𝐶
¿Para qué valores de 𝑎 𝑦 𝑏 esta identidad no es cierta?
3.- Prueba la siguiente integral
∫sec(𝑥) 𝑑𝑥 = ln(𝑠𝑒𝑐(𝑥) + 𝑡𝑎𝑛(𝑥)) + 𝐶
(Pista: Multiplica y divide por sec(𝑥) + tan (𝑥) y usa Sustitución)
4.- Resuelve las siguientes integrales Por Partes. En caso de que no se pueda usar esta
técnica, justifica.
a) ∫3𝑥2𝑒𝑥 𝑑𝑥
b) ∫𝑥𝑐𝑜𝑠(5𝑥)𝑑𝑥
c) ∫ ln(𝑥) 𝑑𝑥
d) ∫ 𝑥3𝑒5𝑥𝑑𝑥
e) ∫𝑥𝑙𝑛(𝑥)𝑑𝑥
f) ∫ 𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑥3)𝑑𝑥
g) ∫ 𝑒√𝑥 𝑑𝑥 (Pista: Haz una sustitución)
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
h) ∫ 𝑠𝑒𝑛(6𝑥)𝑒2𝑥𝑑𝑥
i) ∫ 𝑥5𝑒−𝑥3𝑑𝑥
j) ∫ 𝑥3 ln(𝑥) 𝑑𝑥
k) ∫1
𝑥2+1𝑑𝑥
l) ∫ cos (√𝑥) 𝑑𝑥 (Pista: Haz una sustitución)
m) ∫ cos (2𝑥)𝑒3𝑥𝑑𝑥
n) ∫ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥
o) ∫ 𝑠𝑒𝑛(7𝑥)𝑒5𝑥𝑑𝑥
5.- Falso o Verdadero. Debes justificar tu respuesta.
a) Todas las integrales que se resuelven Por Partes son Telescópicas.
b) Un ejemplo de una función cíclica es 𝑓(𝑥) = ln (𝑥)
c) En ∫𝑥2 ln(𝑥) 𝑑𝑥 se toma 𝑢 = 𝑥2 y 𝑑𝑣 = ln (𝑥)
d) Una integral es telescópica sólo cuando hay una función cíclica en el integrando.
Cálculo Diferencial e Integral
120
Técnicas de Integración
Integrales Por Sustitución Trigonométrica y Por Fracciones Parciales
Integrales Por Sustitución Trigonométrica
Esta técnica es muy parecida a la de sustitución pero no siempre se puede hacer, se tiene
que presentar una cierta estructura y dependiendo de esta, cambia la función
trigonométrica que se va a sustituir. Estas son las estructuras que permiten que se use
esta técnica:
Estructura
Sustitución
𝑎2 − 𝑥2
𝑠𝑒𝑛(𝜃)
𝑥2 − 𝑎2
sec (𝜃)
𝑥2 + 𝑎2
tan (𝜃)
Pero antes de ver cómo integrar por sustitución trigonométrica, hay que repasar algunas
identidades trigonométricas y derivadas. Estas son las identidades trigonométricas más
utilizadas en esta técnica pero no son las únicas:
𝑠𝑒𝑛2(𝜃) + 𝑐𝑜𝑠2(𝜃) = 1
1 + 𝑡𝑎𝑛2(𝜃) = 𝑠𝑒𝑐2(𝜃)
tan(𝜃) = 𝑠𝑒𝑛(𝜃)
𝑐𝑜𝑠(𝜃) 𝑐𝑜𝑡(𝜃) =
𝑐𝑜𝑠(𝜃)
𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑠𝑒𝑐(𝜃) =
1
𝑐𝑜𝑠(𝜃) 𝑐𝑠𝑐(𝜃) =
1
𝑠𝑒𝑛(𝜃)
Además hay que recordar las derivadas de algunas funciones trigonométricas, estas son
las más usadas:
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑑𝑦
𝑑𝜃= 𝑐𝑜𝑠(𝜃)
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
𝑦 = 𝑡𝑎𝑛(𝜃) 𝑑𝑦
𝑑𝜃= 𝑠𝑒𝑐2(𝜃)
𝑦 = 𝑠𝑒𝑐(𝜃) 𝑑𝑦
𝑑𝜃= 𝑡𝑎𝑛(𝜃)𝑠𝑒𝑐(𝜃)
Los pasos para hacer una integral por sustitución trigonométrica son los siguientes:
1.- Localizar la estructura que se va a sustituir, a veces no es tan evidente por lo que hay
que completar un cuadrado o hacer un cambio de variables para verla más clara.
2.- Despejar la fórmula de Pitágoras para que se parezca a la estructura que está en la
integral y con eso formar el triángulo que se usará en la sustitución.
3.- Sustituir en la función trigonométrica los elementos del triángulo formado tomando en
cuenta el cateto opuesto, adyacente y la hipotenusa.
4.- Una vez que se tiene la función trigonométrica con la que se va sustituir, despejar la
variable que está en el diferencial y derivar.
5.- Hacer la sustitución en la integral tomando en cuenta que una vez que se hace la
sustitución no deben de quedar más que funciones trigonométricas y un diferencial d𝜃
6.- Modificar la integral utilizando las identidades trigonométricas hasta llegar a una
integral trigonométrica directa.
7.- Integrar y hacer el cambio de variables de regreso.
Ejercicio. Resolver las siguientes integrales utilizando Sustitución Trigonométrica.
𝑎) ∫𝑑𝑥
√9 − 𝑥2
Esta integral tiene la estructura 𝑎2 − 𝑥2 por lo que haremos la sustitución con seno. Lo
primero que debemos formar es el triángulo que va a tener los datos de la integral.
Entonces:
𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 𝑐𝑜
ℎ𝑖𝑝
De la fórmula de Pitágoras dejamos del mismo lado los dos elementos que aparecen en la
fórmula del seno y una vez despejados los igualamos a la estructura que tenemos en la
integral y así sacamos el valor de los catetos y de la hipotenusa.
Cálculo Diferencial e Integral
122
𝑐𝑜2 + 𝑐𝑎2 = ℎ𝑖𝑝2
ℎ𝑖𝑝2 − 𝑐𝑜2 = 𝑐𝑎2
ℎ𝑖𝑝2 − 𝑐𝑜2 = 9 − 𝑥2
ℎ𝑖𝑝 = 3 𝑐𝑜 = 𝑥 𝑐𝑎 = √9 − 𝑥2
𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 𝑥
3
𝑥 = 3𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑑𝑥 = 3 𝑐𝑜𝑠(𝜃) 𝑑𝜃
∫𝑑𝑥
√9 − 𝑥2 = ∫
3 cos(𝜃) 𝑑𝜃
√9 − (3𝑠𝑒𝑛(𝜃))2
3∫𝑐𝑜𝑠(𝜃) 𝑑𝜃
√9 − 9𝑠𝑒𝑛2(𝜃) = 3 ∫
𝑐𝑜𝑠(𝜃) 𝑑𝜃
√9(1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝜃))
3∫𝑐𝑜𝑠(𝜃) 𝑑𝜃
√9 𝑐𝑜𝑠2(𝜃) = 3∫
𝑐𝑜𝑠(𝜃) 𝑑𝜃
3 𝑐𝑜𝑠(𝜃) = ∫ 1 𝑑𝜃 = 𝜃 + 𝐶
Aquí ya terminamos de integrar pero hace falta hacer la sustitución de regreso porque no
teníamos una integral en términos de 𝜃. En este caso como nos quedo 𝜃 hay que utilizar
la función inversa de seno. Esta es la función 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 𝑐𝑜
ℎ𝑖𝑝 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
𝑐𝑜
ℎ𝑖𝑝)
Ahora sustituimos esta función con los elementos de la integral que se encuentran en los
lados del triángulo que formamos al principio:
ℎ𝑖𝑝 = 3 𝑐𝑜 = 𝑥 𝑐𝑎 = √9 − 𝑥2
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (𝑥
3)
Por lo tanto
∫𝑑𝑥
√9 − 𝑥2 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
3) + 𝐶
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
b) ∫𝑑𝑥
√𝑥2+2𝑥+5
Así como esta, ésta integral no se ve tan clara la estructura de sustitución trigonométrica,
pero se puede convertir a una de las formas necesarias para poder aplicar la técnica. Y
esto se hace primero completando el trinomio cuadrado perfecto y haciendo una
sustitución.
𝑥2 + 2𝑥 + 5 = 𝑥2 + 2𝑥 + 1 + 4 = (𝑥 + 1)2 + 4
𝑆𝑒𝑎 𝑢 = 𝑥 + 1 𝑑𝑢 = 1 𝑑𝑥
∫𝑑𝑥
√𝑥2 + 2𝑥 + 1 = ∫
𝑑𝑢
√𝑢2 + 4
Aquí ya se ve claramente la estructura de𝑥2 + 𝑎2, así que ya podemos empezar a integrar
haciendo la sustitución con tangente.
𝑡𝑎𝑛(𝜃) = 𝑐𝑜
𝑐𝑎 𝑐𝑜2 + 𝑐𝑎2 = ℎ𝑖𝑝2
𝑐𝑜2 + 𝑐𝑎2 = 𝑢2 + 4
𝑐𝑜 = 𝑢 𝑐𝑎 = 2 ℎ𝑖𝑝 = √𝑢2 + 4
𝑡𝑎𝑛(𝜃) = 𝑢
2 𝑢 = 2 𝑡𝑎𝑛(𝜃) 𝑑𝑢 = 2𝑠𝑒𝑐2(𝜃) 𝑑𝜃
∫𝑑𝑢
√𝑢2 + 4 = ∫
2𝑠𝑒𝑐2(𝜃) 𝑑𝜃
√(2𝑡𝑎𝑛2(𝜃))2 + 4
2∫𝑠𝑒𝑐2(𝜃) 𝑑𝜃
√4 𝑡𝑎𝑛2(𝜃) + 4 = 2∫
𝑠𝑒𝑐2(𝜃) 𝑑𝜃
√4(1 + 𝑡𝑎𝑛2(𝜃))
2∫𝑠𝑒𝑐2(𝜃)𝑑𝜃
√4𝑠𝑒𝑐2(𝜃) = 2∫
𝑠𝑒𝑐2(𝜃)𝑑𝜃
2sec (𝜃)= ∫ sec(𝜃) 𝑑𝜃 = ln(𝑡𝑎𝑛(𝜃) + 𝑠𝑒𝑐(𝜃)) + 𝐶
ln(𝑡𝑎𝑛(𝜃) + 𝑠𝑒𝑐(𝜃)) + 𝐶 = ln(𝑢
2+ √𝑢2 + 4
2) + 𝐶 = 𝑙𝑛 (
𝑥 + 1
2+√(𝑥 + 1)2 + 4
2) + 𝐶
∫𝑑𝑥
√𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 𝑙𝑛 (
𝑥 + 1
2+√(𝑥 + 1)2 + 4
2) + 𝐶
Cálculo Diferencial e Integral
124
c) ∫𝑒𝑥 𝑑𝑥
√𝑒2𝑥−16
En esta integral es recomendable hacer un cambio de variables para simplificar la integral,
sustituyendo 𝑢 por 𝑒𝑥 (no olvidar derivar u al hacer la sustitución).
𝑢 = 𝑒𝑥 𝑑𝑢 = 𝑒𝑥𝑑𝑥
∫𝑒𝑥𝑑𝑥
√𝑒2𝑥 − 16 = ∫
𝑑𝑢
√𝑢2 − 16
Aquí ya podemos ver que tenemos una estructura de la forma 𝑥2 − 𝑎2, así que la
sustitución la haremos con secante.
sec(𝜃) = ℎ𝑖𝑝
𝑐𝑎 ℎ𝑖𝑝2 − 𝑐𝑎2 = 𝑐𝑜2
ℎ𝑖𝑝2 − 𝑐𝑎2 = 𝑢2 − 16
ℎ𝑖𝑝 = 𝑢 𝑐𝑎 = 4 𝑐𝑜 = √𝑢2 − 16
𝑠𝑒𝑐(𝜃) = 𝑢
4 𝑢 = 4𝑠𝑒𝑐(𝜃) 𝑑𝑢 = 4 𝑡𝑎𝑛(𝜃)𝑠𝑒𝑐(𝜃) 𝑑𝜃
∫𝑑𝑢
√𝑢2 − 16= ∫
4 𝑡𝑎𝑛(𝜃)𝑠𝑒𝑐(𝜃) 𝑑𝜃
√16𝑠𝑒𝑐2(𝜃) − 16
4∫ 𝑡𝑎𝑛(𝜃)𝑠𝑒𝑐(𝜃) 𝑑𝜃
√16(𝑠𝑒𝑐2(𝜃) − 1) = 4∫
𝑡𝑎𝑛(𝜃)𝑠𝑒𝑐(𝜃) 𝑑𝜃
√16𝑡𝑎𝑛2(𝜃)
4∫𝑡𝑎𝑛(𝜃)𝑠𝑒𝑐(𝜃) 𝑑𝜃
4tan (𝜃)= ∫ sec(𝜃)𝑑𝜃 = ln(tan(𝜃) + sec(𝜃)) + 𝐶
ln(tan(𝜃) + sec(𝜃)) + 𝐶 = 𝑙𝑛 (√𝑢2 − 16
4 +
𝑢
4) + 𝐶 = 𝑙𝑛 (
√𝑒2𝑥 − 16
4+ 𝑒𝑥
4) + 𝐶
∫𝑒𝑥𝑑𝑥
√𝑒2𝑥 − 16 = 𝑙𝑛 (
√𝑒2𝑥 − 16
4+ 𝑒𝑥
4) + 𝐶
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
d) ∫√1 − 𝑥2𝑑𝑥
Esta integral claramente es por sustitución trigonométrica porque tiene la estructura 𝑎2 −
𝑥2 y se hace la sustitución con seno
𝑠𝑒𝑛(𝜃) =𝑐𝑜
ℎ𝑖𝑝 ℎ𝑖𝑝2 − 𝑐𝑜2 = 𝑐𝑎2
ℎ𝑖𝑝 = 1 𝑐𝑜 = 𝑥 𝑐𝑎 = √1 − 𝑥2
𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 𝑥 𝑑𝑥 = cos(𝜃)𝑑𝜃
∫√1 − 𝑥2 𝑑𝑥 = ∫√1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝜃)𝑑𝜃
∫√1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝜃) cos(𝜃) 𝑑𝜃 = ∫√𝑐𝑜𝑠2(𝜃) cos(𝜃) 𝑑𝜃 = ∫ 𝑐𝑜𝑠2(𝜃)𝑑𝜃
Hay varias formas de resolver la integral de coseno cuadrado, vamos a ver dos formas de
hacerlo.
Camino 1
∫𝑐𝑜𝑠2(𝜃)𝑑𝜃 = ∫1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝜃)𝑑𝜃 = 𝜃 − ∫ 𝑠𝑒𝑛2(𝜃)𝑑𝜃
Ahora para integrar seno cuadrado lo hacemos por partes
𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑑𝑢 = cos(𝜃)𝑑𝜃
𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑣 = −cos (𝜃)
𝜃 − ∫ 𝑠𝑒𝑛2(𝜃)𝑑𝜃 = 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛(𝜃) cos(𝜃) − ∫𝑐𝑜𝑠2(𝜃)𝑑𝜃
Entonces usamos el mismo truco que en el inciso (a) de la sección de casos especiales
de Integrales Por Partes:
∫𝑐𝑜𝑠2(𝜃) = 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛(𝜃) cos(𝜃) − ∫𝑐𝑜𝑠2(𝜃)𝑑𝜃
2∫𝑐𝑜𝑠2(𝜃) = 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛(𝜃) cos(𝜃)
Cálculo Diferencial e Integral
126
∫𝑐𝑜𝑠2(𝜃) =1
2[𝜃 + 𝑠𝑒𝑛(𝜃) cos(𝜃)] + 𝐶
Camino 2
Ahora aplicamos primero por partes
𝑢 = cos(𝜃) 𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑑𝜃
𝑑𝑣 = cos(𝜃) 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛(𝜃)
∫cos 2(𝜃) 𝑑𝜃 = cos(𝜃) 𝑠𝑒𝑛(𝜃) +∫𝑠𝑒𝑛2(𝜃) 𝑑𝜃
Utilizamos una propiedad que podemos deducir de una identidad trigonométrica
𝑠𝑒𝑛2(𝜃) + 𝑐𝑜𝑠2(𝜃) = 1
∫𝑠𝑒𝑛2(𝜃)𝑑𝜃 + ∫ 𝑐𝑜𝑠2(𝜃)𝑑𝜃 = 𝜃
Despejamos seno cuadrado
∫𝑠𝑒𝑛2(𝜃) 𝑑𝜃 = 𝜃 − ∫𝑐𝑜𝑠2(𝜃) 𝑑𝜃
Igualando y aplicando el mismo truco que en el camino 1 nos queda que
∫𝑐𝑜𝑠2(𝜃) =1
2[𝜃 + 𝑠𝑒𝑛(𝜃) cos(𝜃)] + 𝐶
Por lo tanto ya conociendo la integral de coseno cuadrado y recordando los lados del
triángulo que construimos podemos encontrar ahora si la integral que estábamos
buscando
∫√1 − 𝑥2 𝑑𝑥 = ∫𝑐𝑜𝑠2(𝜃) =1
2[𝜃 + 𝑠𝑒𝑛(𝜃) cos(𝜃)] + 𝐶
ℎ𝑖𝑝 = 1 𝑐𝑜 = 𝑥 𝑐𝑎 = √1 − 𝑥2
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝜃) cos(𝜃) = 𝑥√1 − 𝑥2
∫√1 − 𝑥2 𝑑𝑥 = 1
2[𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑥√1 − 𝑥2] + 𝐶
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Integrales Por Fracciones Parciales
Para poder entender mejor esta técnica, hay que recordar un poco sobre el álgebra de
fracciones. Este es un ejemplo de cómo se suman fracciones cuando los denominadores
tienen variables:
𝑥 − 1
𝑥 + 1+
3
𝑥 − 1+2𝑥
𝑥 =
𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 − 1) + 3𝑥(𝑥 + 1) + 2𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 2𝑥3 − 2𝑥
𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) =
3𝑥3 + 𝑥2 + 2𝑥
𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
Este ejemplo es cuando los denominadores no se parecen pero cuando hay un
denominador que se repite en otra fracción o es este mismo elevado a una potencia, se
toma solamente el que esta elevado a la potencia mayor. Esto porque se busca obtener el
mínimo común múltiplo. Ejemplo:
𝑥
(𝑥 − 1)2+
3
𝑥 − 1+
1
(𝑥 + 2)2+
𝑥
𝑥 + 2= 𝑥(𝑥 + 2)2 + 3(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)2 + (𝑥 + 1)2 + 𝑥(𝑥 + 2)(𝑥 + 1)2
(𝑥 − 1)2(𝑥 + 2)2
De lo que se trata la técnica de fracciones parciales es descomponer una fracción
complicada que se quiere integrar, en fracciones más fáciles. Se busca encontrar las
fracciones que al momento de sumarlas nos dieron como resultado la fracción que
queremos integrar. Cuando aplicamos esta técnica llegamos a fracciones mucho más
fáciles que la original y normalmente tenemos que usar otra técnica de integración para
poder integrar esas nuevas fracciones.
Los pasos para integrar por fracciones parciales son:
1.- Analizar la fracción, observar el denominador y plantear TODAS las posibles
fracciones que pudieron haber formado al momento de sumarse a esta fracción.
2.- Una vez planteadas, hacer el álgebra correspondiente y llegar a un sistema de
ecuaciones para poder saber los valores que va a tomar el numerador de cada fracción
parcial.
3.- Descomponer a la integral como la suma de las integrales de cada fracción parcial.
4.- Integrar cada fracción parcial y sumar todos los resultados.
Cálculo Diferencial e Integral
128
Ejercicio. Resolver las siguientes integrales utilizando Fracciones Parciales.
a) ∫4𝑥3−𝑥2+3𝑥−2
𝑥(𝑥2+1)(𝑥+1) 𝑑𝑥
Analizando el denominador, como tiene 3 múltiplos los cuales cada uno de ellos es
distinto, suponemos que cada uno viene de una fracción parcial distinta. Ahora, no
sabemos que iba en el numerador de cada fracción así que lo planteamos como
incógnitas. El grado del numerador va directamente relacionado con el grado del
denominador, el grado del numerador es el grado del denominador menos uno. Es decir si
en el denominador tenemos un polinomio de grado 3, el numerador va a ser de grado 2.
A partir de ahorita vamos a dejar la integral de un lado y solo nos vamos a concentrar por
lo pronto en la fracción. Entonces:
4𝑥3 − 𝑥2 + 3𝑥 − 2
𝑥(𝑥2 + 1)(𝑥 + 1)= 𝐴
𝑥+𝐵𝑥 + 𝐶
𝑥2 + 1 +
𝐷
𝑥 + 1
𝐴
𝑥 +
𝐵𝑥 + 𝐶
𝑥2 + 1 +
𝐷
𝑥 + 1= 𝐴(𝑥2 + 1)(𝑥 + 1) + (𝐵𝑥 + 𝐶)𝑥(𝑥 + 1) + 𝐷𝑥(𝑥2 + 1)
𝑥(𝑥2 + 1)(𝑥 + 1)
Como realmente nos interesa saber qué pasa con el numerador porque el denominador
va a ser siempre el mismo, podemos solo escribir y hacer el álgebra con el numerador.
𝐴(𝑥2 + 1)(𝑥 + 1) + (𝐵𝑥 + 𝐶)𝑥(𝑥 + 1) + 𝐷𝑥(𝑥2 + 1)
𝐴(𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1) + (𝐵𝑥 + 𝐶)(𝑥2 + 𝑥) + 𝐷(𝑥3 + 𝑥)
𝐴(𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1) + 𝐵(𝑥3 + 𝑥2) + 𝐶(𝑥2 + 𝑥) + 𝐷(𝑥3 + 𝑥)
Ahora vamos a agrupar los coeficientes que acompañan a cada variable del mismo grado.
𝑥3(𝐴 + 𝐵 + 𝐷) + 𝑥2(𝐴 + 𝐵 + 𝐶) + 𝑥(𝐴 + 𝐶 + 𝐷) + 𝐴
Entonces la fracción completa nos queda:
𝑥3(𝐴 + 𝐵 + 𝐷) + 𝑥2(𝐴 + 𝐵 + 𝐶) + 𝑥(𝐴 + 𝐶 + 𝐷) + 𝐴
𝑥(𝑥2 + 1)(𝑥 + 1)
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Y como queremos que esta fracción sea igual a la fracción que se quiere integrar,
entonces igualamos los coeficientes a lado de cada variable, a los coeficientes en la
fracción original. Así llegamos a un sistema de ecuaciones.
𝐴 + 𝐵 + 𝐷 = 4
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = −1
𝐴 + 𝐶 + 𝐷 = 3
𝐴 = −2
Se puede seguir el método que sea para resolver este sistema de ecuaciones. Una vez
que se resuelve llegamos a que
𝐴 = −2 𝐵 = 1 𝐶 = 0 𝐷 = 5
Entonces
4𝑥3 − 𝑥2 + 3𝑥 − 2
𝑥(𝑥2 + 1)(𝑥 + 1)= −2
𝑥+
𝑥
𝑥2 + 1 +
5
𝑥 + 1
Una vez que tenemos las fracciones parciales, volvemos a la integral que teníamos.
∫4𝑥3 − 𝑥2 + 3𝑥 − 2
𝑥(𝑥2 + 1)(𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = ∫
−2
𝑥+
𝑥
𝑥2 + 1 +
5
𝑥 + 1 𝑑𝑥
∫−2
𝑥 𝑑𝑥 + ∫
𝑥
𝑥2 + 1 𝑑𝑥 + ∫
5
𝑥 + 1 𝑑𝑥
−2∫1
𝑥 𝑑𝑥 + ∫
𝑥
𝑥2 + 1 𝑑𝑥 + 5∫
1
𝑥 + 1 𝑑𝑥
Al analizar estas integrales nos damos cuenta que la primera y la tercera son integrales
directas porque al derivar el denominador tenemos el numerador (esta es la definición de
la integral que da como resultado logaritmo natural). Pero el problema está en la segunda
la cual no es tan directa. Al verla nos damos cuenta que esta integral se hace por
sustitución porque hay polinomios de grados subsecuentes y si derivamos el denominador
nos da algo muy parecido en términos al numerador.
Cálculo Diferencial e Integral
130
∫𝑥
𝑥2 + 1 𝑑𝑥
𝑢 = 𝑥2 + 1 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 1
2𝑑𝑢 = 𝑥𝑑𝑥
1
2∫𝑑𝑢
𝑢= 1
2ln(𝑢) + 𝐶 =
1
2ln(𝑥2 + 1) + 𝐶
Por lo tanto
−2∫1
𝑥 𝑑𝑥 + ∫
𝑥
𝑥2 + 1 𝑑𝑥 + 5∫
1
𝑥 + 1 𝑑𝑥 = −2 ln(𝑥) +
1
2ln(𝑥2 + 1) + 5 ln(𝑥 + 1) + 𝐶
∫4𝑥3 − 𝑥2 + 3𝑥 − 2
𝑥(𝑥2 + 1)(𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = − 2 ln(𝑥) +
1
2ln(𝑥2 + 1) + 5 ln(𝑥 + 1) + 𝐶
b) ∫3𝑥3+6𝑥2+18𝑥+29
(𝑥2+4)(𝑥+3)2𝑑𝑥
Al analizar el denominador de esta fracción, nos damos cuenta que existe un binomio al
cuadrado, esto quiere decir que posiblemente existe una fracción parcial con denominador
𝑥 + 3 y otra con denominador (𝑥 + 3)2, así que tenemos que plantear esta posibilidad.
3𝑥3 + 6𝑥2 + 18𝑥 + 29
(𝑥2 + 4)(𝑥 + 3)2 =
𝐴𝑥 + 𝐵
(𝑥2 + 4)+
𝐶
𝑥 + 3+
𝐷
(𝑥 + 3)2
Aquí hay que notar que aunque en la tercera fracción hay un cuadrado, como el polinomio
es de grado uno por eso el numerador es de grado cero.
𝐴𝑥 + 𝐵
(𝑥2 + 4)+
𝐶
𝑥 + 3+
𝐷
(𝑥 + 3)2
(𝐴𝑥 + 𝐵)(𝑥 + 3)2 + 𝐶(𝑥2 + 4)(𝑥 + 3) + 𝐷(𝑥2 + 4)
(𝑥2 + 4)(𝑥 + 3)2
(𝐴𝑥 + 𝐵)(𝑥2 + 6𝑥 + 9) + 𝐶(𝑥3 + 3𝑥2 + 4𝑥 + 12) + 𝐷(𝑥2 + 4)
(𝑥2 + 4)(𝑥 + 3)2
𝐴(𝑥3 + 6𝑥2 + 9𝑥) + 𝐵(𝑥2 + 6𝑥 + 9) + 𝐶(𝑥3 + 3𝑥2 + 4𝑥 + 12) + 𝐷(𝑥2 + 4)
(𝑥2 + 4)(𝑥 + 3)2
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
𝑥3(𝐴 + 𝐶) + 𝑥2(6𝐴 + 𝐵 + 3𝐶 + 𝐷) + 𝑥(9𝐴 + 6𝐵 + 4𝐶) + 9𝐵 + 12𝐶 + 4𝐷
(𝑥2 + 4)(𝑥 + 3)2
𝐴 + 𝐶 = 3
6𝐴 + 𝐵 + 3𝐶 + 𝐷 = 6
9𝐴 + 6𝐵 + 4𝐶 = 18
9𝐵 + 12𝐶 + 4𝐷 = 29
Resolviendo el sistema nos queda:
𝐴 = 0 𝐵 = 1 𝐶 = 3 𝐷 = −4
Por lo tanto
3𝑥3 + 6𝑥2 + 18𝑥 + 29
(𝑥2 + 4)(𝑥 + 3)2 =
1
(𝑥2 + 4)+
3
𝑥 + 3−
4
(𝑥 + 3)2
∫3𝑥3 + 6𝑥2 + 18𝑥 + 29
(𝑥2 + 4)(𝑥 + 3)2 𝑑𝑥 = ∫
1
(𝑥2 + 4)𝑑𝑥 + 3∫
1
𝑥 + 3𝑑𝑥 − 4∫
1
(𝑥 + 3)2𝑑𝑥
Al analizar esta integral vemos que la segunda fracción parcial es una integral directa
porque al derivar el denominador nos da exactamente el numerador. Pero ni la primera ni
la tercera son integrales directas. La primera fracción no tiene grados subsecuentes pero
si una estructura 𝑥2 + 𝑎2 por lo tanto la tenemos que integrar por sustitución
trigonométrica. Y la tercera integral no tiene estructura de sustitución trigonométrica pero
si hay polinomios de grados subsecuentes así que se puede por sustitución.
∫1
(𝑥 + 3)2𝑑𝑥
𝑢 = 𝑥 + 3 𝑑𝑢 = 1 𝑑𝑥
∫𝑑𝑢
𝑢2= ∫𝑢−2𝑑𝑢 =
𝑢−1
−1+ 𝐶 = −
1
𝑢+ 𝐶 = −
1
𝑥 + 3+ 𝐶
Cálculo Diferencial e Integral
132
∫1
(𝑥2 + 4)𝑑𝑥
tan(𝜃) = 𝑐𝑜
𝑐𝑎 𝑐𝑜2 + 𝑐𝑎2 = 𝑥2 + 4 𝑐𝑜 = 𝑥 𝑐𝑎 = 2 ℎ𝑖𝑝 = √𝑥2 + 4
tan(𝜃) = 𝑥
2 𝑥 = 2 tan(𝜃) 𝑑𝑥 = 2𝑠𝑒𝑐2(𝜃)𝑑𝜃
∫2𝑠𝑒𝑐2(𝜃)𝑑𝜃
4𝑡𝑎𝑛2(𝜃) + 4 = 2 ∫
𝑠𝑒𝑐2(𝜃)𝑑𝜃
4𝑠𝑒𝑐2(𝜃)= 1
2∫1 𝑑𝜃 =
1
2𝜃 + 𝐶
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (𝑥
2)
∫1
(𝑥2 + 4)𝑑𝑥 =
1
2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
𝑥
2) + 𝐶
Por lo tanto
∫1
(𝑥2 + 4)𝑑𝑥 + 3∫
1
𝑥 + 3𝑑𝑥 − 4∫
1
(𝑥 + 3)2𝑑𝑥
= 1
2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
𝑥
2) + 3 ln(𝑥 + 3) −
4
𝑥 + 3+ 𝐶
Esto implica que
∫3𝑥3 + 6𝑥2 + 18𝑥 + 29
(𝑥2 + 4)(𝑥 + 3)2𝑑𝑥 =
1
2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
𝑥
2) + 3 ln(𝑥 + 3) −
4
𝑥 + 3+ 𝐶
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Ejercicios
1.- Resuelve las siguientes integrales usando Sustitución Trigonométrica
a) ∫𝑑𝑥
𝑥2+1
b) ∫𝑑𝑥
√1−𝑥2
c) ∫(1 − 𝑥2)3/2𝑑𝑥
d) ∫𝑑𝑥
𝑥√𝑥2−1
e) ∫𝑑𝑥
𝑥2+4𝑥+13
f) ∫cos(𝑥)𝑑𝑥
9−𝑠𝑒𝑛2(𝑥)
g) ∫𝑑𝑥
√𝑥2+2𝑥+2
h) ∫𝑒2𝑥
(𝑒2𝑥+1)3/2 𝑑𝑥
i) ∫√𝑥2 − 1 𝑑𝑥
j) ∫√1 − 𝑥2 𝑑𝑥
k) ∫𝑥
(1−𝑥2)3/2𝑑𝑥
l) ∫ 𝑒𝑥√1 − 𝑒2𝑥𝑑𝑥
m) ∫𝑑𝑥
√𝑥2+4𝑥−12
n) ∫𝑒𝑥𝑑𝑥
𝑒2𝑥+6𝑒𝑥+18
2.- Demuestra utilizando sustitución trigonométrica lo siguiente
∫𝑑𝑥
𝑥2 + 𝑎2 =
1
𝑎arctan (
𝑥
𝑎) + 𝐶
Cálculo Diferencial e Integral
134
3.- Verdadero o Falso. En caso de que sea falso justifica
a) Para resolver ∫𝑥2𝑒𝑥3𝑑𝑥 hay que utilizar Sustitución Trigonométrica
b) Si dentro de la integral tenemos la estructura 𝑎2 − 𝑥2 entonces nuestra sustitución va a
ser 𝑥 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛(𝜃)
c) Esta identidad es cierta 𝑠𝑒𝑐2(𝜃) + 1 = 𝑡𝑎𝑛2(𝜃)
d) En ∫𝑑𝑥
9−𝑥2 hay que sustituir usando seno
e) ∫ √𝑥2 + 2𝑥 + 1𝑑𝑥 no se puede resolver con Sustitución Trigonométrica
4.- Resuelve las siguientes integrales usando Fracciones Parciales
a) ∫7𝑥2−12𝑥+4
𝑥(𝑥−1)(𝑥−2)𝑑𝑥
b) ∫3𝑥2−34𝑥+15
𝑥(𝑥−3)(2𝑥−1)𝑑𝑥
c) ∫−𝑥2+𝑥−2
(𝑥+1)(𝑥2+1)𝑑𝑥
d) ∫𝑥3−5𝑥
(𝑥2+1)(𝑥2+4)𝑑𝑥
e) ∫6𝑥2−19𝑥+20
(𝑥+1)(𝑥−2)2𝑑𝑥
f) ∫2𝑥2+4𝑥+6
(𝑥+1)3𝑑𝑥
g) ∫4𝑥2−𝑥+3
(𝑥+1)(𝑥2+1)𝑑𝑥
h) ∫6𝑥2+22
(𝑥2+1)(𝑥2+9)𝑑𝑥
i) ∫−𝑥2+5𝑥+2
(𝑥+4)(𝑥2+1)𝑑𝑥
j) ∫4𝑥3−4𝑥2+15𝑥−5
(𝑥2+4)(𝑥−1)3𝑑𝑥
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
5.- Resuelve las siguientes integrales utilizando la técnica apropiada (Sustitución, Por
Partes, Sustitución Trigonométrica, Fracciones Parciales)
a) ∫√(𝑥 − 1)2 − 1 𝑑𝑥
b) ∫𝑥5ln (𝑥) 𝑑𝑥
c) ∫𝑥3𝑒5𝑥4+12𝑑𝑥
d) ∫𝑥5 cos(7𝑥3) 𝑑𝑥
e) ∫𝑑𝑥
(𝑥−5)𝑙𝑛4(𝑥−5)
f) ∫5 𝑑𝑥
(𝑥−4)(𝑥+5)
g)∫ cot(5𝑥)𝑑𝑥
h) ∫𝑒𝑥𝑑𝑥
𝑒2𝑥+16
i) ∫6𝑥2+4
(𝑥3+2𝑥)2
j) ∫𝑥3+2𝑥
(6𝑥2+4)2 𝑑𝑥
k) ∫ cos (2𝑥)𝑒𝑥𝑑𝑥
l) ∫ 𝑡𝑎𝑛4(2𝑥)𝑠𝑒𝑐2(2𝑥)𝑑𝑥
m) ∫𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥
n) ∫𝑥+4
𝑥2+ 16 𝑑𝑥
o) ∫𝑑𝑥
(𝑥+1)(𝑥−7)(𝑥+4)
p) ∫(3𝑥 + 1)(3𝑥2 + 2𝑥)50𝑑𝑥
q) ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑥) 𝑙𝑛4(tan(𝑥))𝑑𝑥
r) ∫𝑥2
9−𝑥2𝑑𝑥
s) ∫ arccos(7𝑥) 𝑑𝑥
Cálculo Diferencial e Integral
136
Áreas y Volúmenes de Revolución
Teorema Fundamental del Cálculo Integral
Hay ocasiones que queremos conocer el área formada entre la curva y el eje 𝑥 pero que
este acotada por dos valores (a y b, llamados límites de integración). El Teorema
Fundamental del Cálculo Integral nos permite saber el valor de esta área.
Supongamos que queremos calcular ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎 . Si 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 entonces
∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
Lo que nos dice este teorema es que si queremos conocer el área formada entre la curva
𝑓(𝑥) y el eje en un intervalo [𝑎, 𝑏] entonces lo que debemos hacer es integrar la función
sin límites de integración y al resultado evaluarlo en b y restarle el resultado de la integral
evaluado en a.
Ejemplos
a) Calcular ∫ 3𝑥2 + 4𝑥 𝑑𝑥5
0
Usando el Teorema Fundamental del Cálculo Integral entonces lo primero que hay que
hacer es integrar la función sin límites de integración
𝐹(𝑥) = ∫3𝑥2 + 4𝑥 𝑑𝑥 = 3∫𝑥2𝑑𝑥 + 4∫𝑥 𝑑𝑥 = 3
3𝑥3 +
4
2𝑥2 + 𝐶 = 𝑥3 + 2𝑥2 + 𝐶
𝐹(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 + 𝐶
Ahora evaluamos en 𝑥 = 5 𝑦 𝑥 = 0
𝐹(5) = 53 + 2(52) + 𝐶 = 125 + 50 + 𝐶 = 175 + 𝐶
𝐹(0) = 03 − 2(02) + 𝐶 = 0 + 𝐶 = 𝐶
∫3𝑥2 + 4𝑥 𝑑𝑥
5
0
= 𝐹(5) − 𝐹(0) = 175 + 𝐶 − (𝐶) = 175
Por lo tanto el área formada entre 𝑦 = 3𝑥2 + 4𝑥 y el eje 𝑥 en el intervalo [0,5] es 175 u2
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Podemos tener un pequeño problema, que entre los límites de integración la función que
estamos integrando tenga una raíz. El resultado de una integral nos puede dar negativo si
el área que se está calculando está por debajo del eje, entonces si tenemos una raíz la
función va a estar por debajo del eje antes o después de la raíz. Pero si esto ocurre una
parte de la integral nos va a dar negativa y otra positiva lo cual va a provocar que se
anulen dándonos como resultado un área menor a la que realmente es. Es por esto que si
tenemos una raíz debemos separar en dos integrales y aplicar valor absoluto. A
continuación se darán algunos ejemplos.
b) Calcular ∫ 3𝑥2 − 12 𝑑𝑥5
0
Primero hay que integrar sin los límites de integración
𝐹(𝑥) = ∫3𝑥2 − 12 𝑑𝑥 = 𝑥3 − 12𝑥 + 𝐶
Ahora calculemos el área usando el Teorema Fundamental del Cálculo Integral
𝐹(5) = 53 − 12(5) + 𝐶 = 125 − 60 + 𝐶 = 65 + 𝐶
𝐹(0) = 03 − 12(0) + 𝐶 = 𝐶
∫3𝑥2 − 12 𝑑𝑥
5
0
= 𝐹(5) − 𝐹(0) = 65 + 𝐶 − (𝐶) = 65
Pero este resultado está mal porque 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 12 tiene una raíz en x = 2 y está
dentro de los límites de integración (𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 5) . Entonces lo que realmente hay que
hacer es lo siguiente
∫3𝑥2 − 12 𝑑𝑥
5
0
= |∫3𝑥2 − 12 𝑑𝑥
2
0
| + |∫3𝑥2 − 12 𝑑𝑥
5
2
|
Entonces debemos calcular 𝐹(2)
𝐹(2) = 23 − 12(2) + 𝐶 = 8 − 24 + 𝐶 = −16 + 𝐶
|∫ 3𝑥2 − 12 𝑑𝑥
2
0
| = |𝐹(2) − 𝐹(0)| = |−16 + 𝐶 − (𝐶)| = |−16| = 16
|∫3𝑥2 − 12 𝑑𝑥
5
2
| = |𝐹(5) − 𝐹(2)| = |65 + 𝐶 − (−16 + 𝐶)| = |81| = 81
Entonces ∫ 3𝑥2 − 12 𝑑𝑥5
0= 16 + 81 = 97 𝑢2
Cálculo Diferencial e Integral
138
c) Obtener ∫ 𝑥3 − 𝑥2
−1𝑑𝑥
Lo primero que hay que ver es si 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 tiene raíces entre x = -1 y x = 2.
𝑥3 − 𝑥 = 0 ⇒ 𝑥(𝑥2 − 1) = 0 ⇒ 𝑥 = 0 𝑜 𝑥2 − 1 = 0
⇒ 𝑥 = 0 𝑜 𝑥 = √1 ⇒ 𝑥 = 0 𝑜 𝑥 = 1 𝑜 𝑥 = −1
Las raíces de 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 son x = 0, x = 1, x = -1. Dos de estas tres raíces están dentro
de los límites de integración4. Entonces
∫𝑥3 − 𝑥 𝑑𝑥
2
−1
= | ∫ 𝑥3 − 𝑥 𝑑𝑥
0
−1
| + |∫𝑥3 − 𝑥 𝑑𝑥
1
0
| + |∫𝑥3 − 𝑥 𝑑𝑥
2
1
|
𝐹(𝑥) = ∫𝑥3 − 𝑥 𝑑𝑥 = 1
4𝑥4 −
1
2𝑥2 + 𝐶
Necesitamos conocer el valor de 𝐹(−1), 𝐹(0), 𝐹(1) 𝑦 𝐹(2)
𝐹(−1) = 1
4(−14) −
1
2(−12) + 𝐶 =
1
4−1
2+ 𝐶 =
1
4−2
4+ 𝐶 = −
1
4+ 𝐶
𝐹(0) = 𝐶
𝐹(1) = 1
4(14) −
1
2(12) + 𝐶 = −
1
4+ 𝐶
𝐹(2) =1
4(24) −
1
2(22) + 𝐶 =
16
4−4
2+ 𝐶 = 4 − 2 + 𝐶 = 2 + 𝐶
| ∫ 𝑥3 − 𝑥 𝑑𝑥
0
−1
| = |𝐹(0) − 𝐹(−1)| = |𝐶 − (−1
4+ 𝐶)| = |
1
4| =
1
4
|∫𝑥3 − 𝑥 𝑑𝑥
1
0
| = |𝐹(1) − 𝐹(0)| = |−1
4+ 𝐶 − (𝐶)| = |−
1
4| =
1
4
|∫𝑥3 − 𝑥 𝑑𝑥
2
1
| = |𝐹(2) − 𝐹(1)| = |2 + 𝐶 − (−1
4+ 𝐶)| = |
8
4− 1
4| = |
7
4| =
7
4
Finalmente
4 x = -1 no nos interesa porque estamos buscando el área que se forma a partir de x = -1 hasta x = 2
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
∫𝑥3 − 𝑥 𝑑𝑥
2
−1
= 1
4+ 1
4+ 7
4= 9
4 𝑢2
Área entre Curvas
Otra aplicación importante del Cálculo Integral es conocer el área formada entre dos
curvas. Esto es lo que se hace para calcular el área formada entre 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥) en el
intervalo [a,b]
Caso 1
Si 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] entonces
𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎𝑠 = ∫ 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
Caso 2
Si 𝑔(𝑥) > 𝑓(𝑥) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] entonces
𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎𝑠 = ∫𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
Caso 3
Si existe 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑐] 𝑦 𝑔(𝑥) > 𝑓(𝑥)
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑥 ∈ [𝑐, 𝑏] entonces
𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎𝑠 = ∫𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑐
𝑎
+ ∫𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑐
Caso 4
Si existe 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑔(𝑥) > 𝑓(𝑥) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑐] 𝑦 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥)
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑥 ∈ [𝑐, 𝑏] entonces
𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎𝑠 = ∫𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑐
𝑎
+ ∫𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑐
Estos son los cuatro casos más comunes cuando estamos calculando el área formada
entre dos curvas. Los últimos dos casos se dan cuando las curvas se intersectan en un
punto dentro de los límites de integración (𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑛𝑎 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]). Entonces
siempre que nos pidan conocer el área dos curvas hay que revisar primero si la
intersección de las curvas esta o no dentro de los límites de integración.
Cálculo Diferencial e Integral
140
Ejemplos
a) Calcular el área formada entre 𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2 en el intervalo [0,1]
Lo primero que hay que ver es si 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) en el intervalo [0, 1]
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑥2 = 𝑥 + 2 ⇒ 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 ⇒ (𝑥 − 2)(𝑥 + 1) = 0
⇒ 𝑥 = 2 𝑜 𝑥 = −1
Las intersecciones entre 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥) se dan cuando 𝑥 = 2 y en 𝑥 = −1. En este caso
ninguna de las dos está entre 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 1. Ahora hay que ver que curva está por
encima de la otra. Hay muchas formas de hacerlo, la más fácil es hacer una gráfica pero
otra forma es evaluando.
𝑓(0 ) = 02 = 0 𝑓(1) = 12 = 1
𝑔(0) = 0 + 2 = 2 𝑔(1) = 1 + 2 = 3
Como 𝑔(0) > 𝑓(0) , 𝑔(1) > 𝑓(1) y NO se intersectan en [0,1] entonces podemos
asegurar que 𝑔(𝑥) > 𝑓(𝑥) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑥 ∈ [0,1] lo cual quiere decir que el área entre las
curvas la vamos a calcular usando el caso 2.
𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎𝑠 = ∫𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
1
0
∫𝑥 + 2 − 𝑥2 𝑑𝑥
1
0
A partir de aquí usamos el Teorema Fundamental del Cálculo Integral
𝐹(𝑥) = ∫𝑥 + 2 − 𝑥2𝑑𝑥 = 1
2𝑥2 + 2𝑥 −
1
3𝑥3 + 𝐶
𝐹(1) = 1
2(12) + 2(1) −
1
3(13) + 𝐶 =
1
2+ 2 −
1
3+ 𝐶 =
7
6+ 𝐶
𝐹(0) = 𝐶
Entonces
𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎𝑠 = ∫𝑥 + 2 − 𝑥2 𝑑𝑥 =
1
0
𝐹(1) − 𝐹(0) = 7
6+ 𝐶 − (𝐶) =
7
6 𝑢2
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
b) Obtener el área formada entre 𝑓(𝑥) = √𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) = 1
2 𝑥 en el intervalo [0,5]
Hay que encontrar los puntos donde 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) y ver si están dentro del intervalo [0,5]
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⇒ √𝑥 = 1
2 𝑥 ⇒ 𝑥1/2 =
1
2𝑥 ⇒ 𝑥 =
1
4 𝑥2
⇒ 4𝑥 = 𝑥2 ⇒ 𝑥2 − 4𝑥 = 0 ⇒ 𝑥(𝑥 − 4) = 0 ⇒ 𝑥 = 0 𝑜 𝑥 = 4
Entonces en x = 0 y en x = 4 las curvas se intersectan. Ahora lo que debemos saber es
que curva está por encima en el intervalo [0,4] y que curva está por encima en el intervalo
[4,5].
𝑓(0) = √0 = 0 𝑓(3) = √3 = 1.7320 𝑓(4) = √4 = 2 𝑓(5) = √5 = 2.2360
𝑔(0) = 1
2(0) = 0 𝑔(3) =
1
2(3) = 1.5 𝑔(4) =
1
2(4) = 2 𝑔(5) =
1
2(5) = 2.5
Como 𝑓(3) > 𝑔(3) y estas curvas NO se intersectan en el intervalo [0,4] más que en
x = 0 y en x= 4 entonces podemos asegurar que 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑥 ∈ [0,4].
Como 𝑔(5) > 𝑓(5) y estas curvas NO se intersectan en el intervalo [4,5] más que en
x= 4 entonces podemos asegurar que 𝑔(𝑥) > 𝑓(𝑥) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑥 ∈ [4,5]. Por lo tanto
estamos en el caso 3.
𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎𝑠 = ∫𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
4
0
+ ∫𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
5
4
𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎𝑠 = ∫𝑥1/2 − 1
2𝑥 𝑑𝑥
4
0
+ ∫1
2𝑥 − 𝑥1/2𝑑𝑥
5
4
Dividiremos este cálculo en dos partes. En ambas aplicaremos el Teorema Fundamental
del Cálculo Integral. Primero calcularemos ∫ 𝑥1/2 − 1
2𝑥 𝑑𝑥
4
0
𝐹(𝑥) = ∫𝑥1/2 − 1
2𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥3/2
32
− 𝑥2
4+ 𝐶 =
2
3𝑥3/2 −
1
4𝑥2 + 𝐶
𝐹(0) = 𝐶
𝐹(4) = 2
3(4
32) −
1
4(42) + 𝐶 =
16
3− 16
4+ 𝐶 =
4
3+ 𝐶
∫𝑥1/2 − 1
2𝑥 𝑑𝑥
4
0
= 𝐹(4) − 𝐹(0) = 4
3+ 𝐶 − (𝐶) =
4
3
Cálculo Diferencial e Integral
142
Ahora calculemos ∫ 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑑𝑥5
4
𝐺(𝑥) = ∫1
2𝑥 − 𝑥1/2𝑑𝑥 =
𝑥2
4 −
𝑥3/2
32
+ 𝐶 = 1
4𝑥2 −
2
3𝑥3/2 + 𝐶
𝐺(4) = 1
4(42) −
2
3(4
32) + 𝐶 =
16
4−16
3+ 𝐶 = −
4
3+ 𝐶
𝐺(5) = 1
4(52) −
2
3(5
32) + 𝐶 =
25
4−2√125
3+ 𝐶
∫1
2𝑥 − 𝑥1/2
5
4
𝑑𝑥 = 𝐺(5) − 𝐺(4) =25
4−2√125
3+ 𝐶 − (−
4
3+ 𝐶) =
91
12−2√125
3
Por lo tanto
𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎𝑠 = ∫ 𝑥1/2 − 1
2𝑥 𝑑𝑥
4
0
+ ∫1
2𝑥 − 𝑥1/2𝑑𝑥
5
4
=4
3+91
12−2√125
3= 117
12−2√125
3
Volúmenes de Revolución
Otra aplicación de las integrales es que nos permite calcular el volumen creado al rotar el
área que se crea entre la curva y el eje 360 grados. Supongamos que queremos conocer
el volumen creado por una función f(x) al girar el área creada entre la función y el eje X en
el intervalo [𝑎, 𝑏], entonces la fórmula para calcular éste volumen es
𝑉(𝑥) = ∫ 𝜋 [𝑓(𝑥)]2𝑑𝑥
𝑏
𝑎
Ejemplos
a) Obtener el volumen de revolución creado por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 en el intervalo [1,4]
Lo primero que debemos hacer es calcular [𝑓(𝑥)]2
[𝑓(𝑥)]2 = [𝑥2 + 2𝑥]2 = 𝑥4 + 4𝑥3 + 4𝑥2
𝑉(𝑥) = 𝜋 ∫[𝑥2 + 2𝑥]2𝑑𝑥 =
4
1
𝜋 ∫𝑥4 + 4𝑥3 + 4𝑥2 𝑑𝑥
4
1
Usaremos el Teorema Fundamental del Cálculo Integral
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
𝐹(𝑥) = ∫𝑥4 + 4𝑥3 + 4𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑥5
5+ 4𝑥4
4+ 4𝑥3
3+ 𝐶 =
1
5𝑥5 + 𝑥4 +
4
3𝑥3 + 𝐶
𝐹(1) = 1
5+ 1 +
4
3+ 𝐶 =
38
15+ 𝐶
𝐹(4) = 1
5(45) + 44 +
4
3(43) + 𝐶 =
1024
5+ 256 +
256
3+ 𝐶 =
8192
15+ 𝐶
Entonces
𝑉(𝑥) = 𝜋 ∫𝑥4 + 4𝑥3 + 4𝑥2 𝑑𝑥
4
1
= 𝜋[𝐹(4) − 𝐹(1)] = 𝜋 [8192
15+ 𝐶 − (
38
15+ 𝐶)]
𝑉(𝑥) = 8160 𝜋
15 𝑢3
b) Obtener el volumen de revolución creado por 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑒𝑥 en el intervalo [1,2]
Hay que calcular primero [𝑓(𝑥)]2
[𝑓(𝑥)]2 = [𝑥 𝑒𝑥]2 = 𝑥2 𝑒2𝑥
𝑉(𝑥) = 𝜋 ∫𝑥2 𝑒2𝑥𝑑𝑥
2
1
Hay que usar el Teorema Fundamental del Cálculo Integral e Integración Por Partes para
poder obtener F(x)
𝐹(𝑥) = ∫𝑥2 𝑒2𝑥𝑑𝑥 = 1
2𝑥2𝑒2𝑥 −
1
2𝑥𝑒2𝑥 +
1
4𝑒2𝑥 + 𝐶
𝐹(1) = 1
2𝑒2 −
1
2𝑒2 +
1
4𝑒2 + 𝐶 =
1
4𝑒2 + 𝐶
𝐹(2) = 1
2(22)𝑒4 −
1
2(2)𝑒4 +
1
4𝑒4 = 2𝑒4 − 𝑒4 +
1
4𝑒4 =
5
4𝑒4 + 𝐶
𝑉(𝑥) = 𝜋 ∫𝑥2 𝑒2𝑥𝑑𝑥
2
1
= 𝜋[𝐹(2) − 𝐹(1)] = 𝜋 [5
4𝑒4 + 𝐶 − (
1
4𝑒2 + 𝐶)]
𝑉(𝑥) = 5𝜋
4 𝑒4 −
𝜋
4 𝑒2 𝑢3
Cálculo Diferencial e Integral
144
Integrales Impropias
Hay ocasiones donde queremos conocer el área formada entre la curva y el eje pero no
en un intervalo [𝑎, 𝑏] si no en un intervalo donde el infinito está relacionado. Hay tres tipos
de intervalos donde está el infinito [𝑎 ,∞), (−∞, 𝑏] 𝑦 (−∞ ,∞). El último nos dirá el área
formada entre la curva y todo el eje X.
Si queremos conocer el área formada entre una función f(x) y el eje X en el intervalo
[𝑎 ,∞) usamos la siguiente notación
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
𝑎
Pero como los límites de integración deben ser números reales y el infinito no es un
número, entonces se hace lo siguiente
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
𝑎
= lim𝑏→ ∞
∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
Si queremos conocer el área formada función f(x) y el eje X en el intervalo (−∞, 𝑏]
hacemos lo siguiente
∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
−∞
= lim𝑎→ −∞
∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
En el caso de querer conocer el área formada entre f(x) y el eje X en el intervalo (−∞ ,∞)
tenemos que la integral en dos tomando cualquier número 𝑐 ∈ ℝ. Además hacemos el
mismo cambio de los límites de integración
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
−∞
= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑐
−∞
+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
𝑐
= lim𝑎→ −∞
∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑐
𝑎
+ lim𝑏→∞
∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑐
Entonces para poder calcular integrales impropias5 necesitamos saber algunos límites
importantes relacionados con el infinito. Al final de esta nota esta una lista con límites al
infinito de algunas funciones que estaremos utilizando.
5 Que reciben este nombre cuando queremos conocer el área formada en un intervalo donde está el infinito
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Como estamos obteniendo el área en un intervalo donde está el infinito nos puede
suceder que el resultado nos dé infinito (Recordemos que los límites al infinito nos pueden
dar un número real o infinito), es decir que el área formada entre la curva y el eje sea
infinita. Si esto sucede entonces decimos que el área diverge, es decir, que es infinita.
Ejemplos
a) Calcular el área formada por 𝑓(𝑥) = 1
𝑥3en el intervalo [1,∞)
Lo primero que debemos hacer es aplicar el límite al infinito
∫1
𝑥3𝑑𝑥
∞
1
= lim𝑏→ ∞
∫1
𝑥3𝑑𝑥
𝑏
1
Ahora usamos el Teorema Fundamental del Cálculo Integral
𝐹(𝑥) = ∫1
𝑥3 𝑑𝑥 = ∫𝑥−3𝑑𝑥 =
𝑥−2
−2+ 𝐶 =
−1
2𝑥2+ 𝐶
𝐹(1) = −1
2(12)+ 𝐶 =
−1
2+ 𝐶
𝐹(𝑏) = −1
2𝑏2+ 𝐶
Entonces
lim𝑏→ ∞
∫1
𝑥3𝑑𝑥
𝑏
1
= limb→ ∞
[F(b) − F(1)] = limb→ ∞
[−1
2𝑏2+ 𝐶 − (
−1
2+ 𝐶)] = lim
b→ ∞
−1
2b2+ 1
2= 1
2
Por lo tanto
∫1
𝑥3𝑑𝑥
∞
1
= 1
2 𝑢2
b) Calcular ∫𝑑𝑥
1+𝑥2
∞
−∞
Vamos a usar el cero para dividir esta integral en dos partes
∫𝑑𝑥
1 + 𝑥2
∞
−∞
= ∫𝑑𝑥
1 + 𝑥2
0
−∞
+ ∫𝑑𝑥
1 + 𝑥2
∞
0
= lim𝑎→ −∞
∫𝑑𝑥
1 + 𝑥2
0
𝑎
+ lim𝑏→ ∞
∫𝑑𝑥
1 + 𝑥2
𝑏
0
Cálculo Diferencial e Integral
146
Ahora usamos el Teorema Fundamental del Cálculo Integral e Integración por Sustitución
Trigonométrica
𝐹(𝑥) = ∫𝑑𝑥
1 + 𝑥2 = arctan(𝑥) + 𝐶
lim𝑎→ −∞
∫𝑑𝑥
1 + 𝑥2
0
𝑎
= lim𝑎→−∞
[𝐹(0) − 𝐹(𝑎)] = lim𝑎→ −∞
[arctan(0) − arctan (𝑎)] = 𝜋
2
Nótese que arctan(0) = 0 𝑦 lim𝑎→ −∞
arctan(𝑎) = −𝜋
2
lim𝑏→ ∞
∫𝑑𝑥
1 + 𝑥2
𝑏
0
= lim𝑏→∞
[𝐹(𝑏) − 𝐹(0)] = lim𝑏→ ∞
[arctan(𝑏) − arctan (0)] = 𝜋
2
Nótese que lim𝑏→∞
arctan(𝑏) = 𝜋
2 . Por lo tanto
∫𝑑𝑥
1 + 𝑥2
∞
−∞
= lim𝑎→ −∞
∫𝑑𝑥
1 + 𝑥2
0
𝑎
+ lim𝑏→ ∞
∫𝑑𝑥
1 + 𝑥2
𝑏
0
=𝜋
2+ 𝜋
2= 𝜋
Esto quiere decir que toda el área formada entre 𝑓(𝑥) = 1
1+𝑥2 y el eje X es 𝜋 𝑢2
Límites Al Infinito
lim𝑥→ ∞
1
𝑥𝑝= 0 𝑠𝑖 𝑝 > 0 lim
𝑥→ ∞
1
𝑥𝑝= ∞ 𝑠𝑖 𝑝 < 0
lim𝑥→ ∞
arctan(𝑥) = 𝜋
2 lim
𝑥→ −∞arctan(𝑥) = −
𝜋
2
lim𝑥→ ∞
𝑒𝑎𝑥 = ∞ 𝑠𝑖 𝑎 > 0 lim𝑥→ −∞
𝑒𝑎𝑥 = 0 𝑠𝑖 𝑎 < 0
lim𝑥→ ∞
ln(𝑥) = ∞ lim𝑥→∞
(1 +1
𝑥)𝑥
= 𝑒
lim𝑥→ ∞
𝑎𝑥 = 0 𝑠𝑖 − 1 < 𝑎 < 1 lim𝑥→ ∞
arcsec(𝑥) = 𝜋
2
lim𝑥→ ∞
arccsc(𝑥) = 0 lim𝑥→ ∞
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥 = ∞
lim𝑥→ ∞
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥 = ∞ lim𝑥→ ∞
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥= 0
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Ejercicios
1.- Calcula las siguientes áreas.
a) ∫ 𝑥24
0𝑑𝑥
b) ∫ 𝑥2 + 𝑥5
1𝑑𝑥
c) ∫ 𝑥3 − 𝑥0
−5𝑑𝑥
d) ∫ 7𝑥31
−1𝑑𝑥
e) ∫ 𝑥4 + 𝑥210
−10𝑑𝑥
f) ∫ √𝑥1
0𝑑𝑥
g) ∫ 𝑥2 − 2𝑥3
−1𝑑𝑥
2.- Dos propiedades interesantes de las integrales definidas son las siguientes
∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑐
𝑎
+ ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑐
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ
∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑎
= 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑎 ∈ ℝ
Utiliza estas dos propiedades para probar la siguiente propiedad de las integrales
∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= −∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑏
3.- Calcula el área formada entre las curvas en el intervalo indicado. (Sugerencia: Grafica
las dos funciones sobre el mismo eje para ver qué función está por arriba)
a) 𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥2 𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2 𝑒𝑛 [0,5]
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 𝑦 𝑔(𝑥) = 8 𝑒𝑛 [0,2]
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 𝑦 𝑔(𝑥) = 8 𝑒𝑛 [0,5]
Cálculo Diferencial e Integral
148
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1 𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1 𝑒𝑛 [−1, 1]
e) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) = 12 − 3𝑥 𝑒𝑛 [0,5]
f) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑦 𝑔(𝑥) = 50 − 𝑥2 𝑒𝑛 [−5,5]
g) (𝑥) = 𝑥2 𝑦 𝑔(𝑥) = 50 − 𝑥2 𝑒𝑛 [−5, 10]
4.- Calcula las siguientes integrales impropias.
a)
∫5
𝑥2𝑑𝑥
∞
1
b)
∫10
(𝑥 + 1)5𝑑𝑥
∞
0
c)
∫1
(𝑥 + 4)10𝑑𝑥
∞
2
5.- Encuentra el valor de 𝐴 tal que
∫3
𝑥3𝑑𝑥
∞
𝐴
= 1
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Aplicaciones Del Cálculo Integral
Excedente del Consumidor
Como ya se estudió previamente, la curva de demanda de un consumidor nos dice para
cada precio 𝑃 la cantidad 𝑄 que el agente demanda de un cierto bien. También sabemos
que los consumidores demandan bienes porque reciben utilidad de consumirlos. Ya se
introdujo también la famosa Ley de la Demanda, la cual dice que una persona demandará
menos de un bien a medida que el precio de este es mayor. Una de las razones por las
cuales los economistas justifican esta Ley es la siguiente: Consumir nos da bienestar pero
a medida que consumimos más del mismo bien, la utilidad que recibimos por consumir las
últimas unidades demandadas no es igual a la utilidad que recibimos por las primeras
unidades que consumimos. Por ejemplo, si una persona con mucha sed consume una
botella de agua, el beneficio que recibe por esta botella es mucho. Pero si sigue
consumiendo botellas de agua, debido a que la primera botella le quito la sed, las
siguientes aunque le den utilidad le dan menos que la primera botella. Este hecho se
conoce como Beneficios Marginales Decrecientes.
Entonces, los consumidores estarían dispuestos a pagar un precio mayor por consumir
las primeras unidades del bien que demandan y a medida que consumen más, estarían
dispuestas a pagar menos. Pero esto no sucede cuando se compra un bien, normalmente
cada unidad del bien cuesta lo mismo. Debido a esto, los consumidores se están
“ahorrando” ingreso que estaban dispuestos a pagar por consumir las primeras unidades
del bien que no están pagando. Por ejemplo, una persona que tiene mucha sed está
dispuesta a pagar más por la primera botella de agua que por la segunda. Supongamos
que la persona está dispuesta a pagar 50 pesos para quitarse la sed. Pero, en realidad
cada botella a esta persona le cuesta 10 pesos. Entonces, podemos decir que esta
persona se está quedando con 40 pesos que estaba dispuesta a gastar pero no lo está
haciendo. Este “ahorro” que un consumidor hace se conoce como Excedente del
Consumidor.
Podemos calcular el Excedente del Consumidor fácilmente si conocemos la demanda del
consumidor que denotamos como 𝑄(𝑃). Suponiendo que el precio que el agente paga por
cada unidad del bien es 𝑃∗, entonces el excedente del consumidor se calcula de la
siguiente manera:
𝐸𝑥𝐶 = ∫ 𝑄(𝑃)𝑑𝑃
∞
𝑃∗
Cálculo Diferencial e Integral
150
Ejercicio. La demanda de cafés que Alfredo consume solamente depende del
precio de cada unidad de café. La función de demanda de Alfredo es la siguiente
𝑄(𝑃) = 1000
𝑃2
Donde 𝑄 es la cantidad de cafés que Alfredo consume y 𝑃 es el precio de cada café.
Suponiendo que cada café cuesta 10 pesos, calcular el excedente del consumidor e
interpretar su valor.
En este caso, como cada café cuesta diez pesos, entonces 𝑃∗ = 10. Ahora, para calcular
el excedente del consumidor simplemente debemos seguir la fórmula mostrada
anteriormente.
𝐸𝑥𝐶 = ∫ 𝑄(𝑃)𝑑𝑃
∞
𝑃∗
= ∫1000
𝑃2𝑑𝑃
∞
10
Ahora debemos seguir los pasos para resolver una integral impropia.
∫1000
𝑃2𝑑𝑃
∞
10
= 1000 lim𝑏→ ∞
∫𝑃−2𝑑𝑃
𝑏
10
𝐹(𝑃) = ∫𝑃−2𝑑𝑃 = −𝑃−1 + 𝐶 = −1
𝑃+ 𝐶
Por lo tanto
𝐸𝑥𝐶 = 1000 lim𝑏→ ∞
∫𝑃−2𝑑𝑃
𝑏
10
= 1000 lim𝑏→ ∞
[𝐹(𝑏) − 𝐹(10)] = 1000 lim𝑏→∞
[−1
𝑏+1
10]
𝐸𝑥𝐶 = 1000 [1
10] = 100
Entonces el Excedente del Consumidor es de 100 pesos. Esto quiere decir que Alfredo
estaba dispuesto a gastar 100 pesos más en cafés, pero que debido a que el precio de
cada café era de 10 pesos, no tuvo que gastar esos cien pesos y se los está ahorrando.
Ejercicio. La demanda de Francisco por garrafones de agua es la siguiente
𝑄(𝑃) = 2600
(𝑃 + 1)2
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Donde 𝑄 representa los garrafones que Francisco compra y 𝑃 el precio de cada garrafón.
La compañía de agua cobra 25 pesos por cada garrafón pero aparte cobra 200 pesos por
llevarle a Francisco los garrafones a su casa. ¿Francisco estará dispuesto a comprarle los
garrafones de agua a esta compañía de agua?
Para resolver esta pregunta, debemos calcular el excedente del consumidor de Francisco
cuando el precio de cada garrafón es de 25 pesos. Recordemos que esto refleja el dinero
que Francisco estaba dispuesto a gastar en garrafones pero que se está ahorrando por
pagar un precio menor al que estaba dispuesto. Por lo tanto, si el excedente es mayor a
200 (la tarifa que le quieren cobrar), Francisco si contratará a esta empresa de agua. Pero
si el excedente es menor a 200, Francisco no estará dispuesto a contratar a esta
empresa.
𝐸𝑥𝐶 = ∫2600
(𝑃 + 1)2𝑑𝑃
∞
25
= 2600 lim𝑏→ ∞
∫1
(𝑃 + 1)2𝑑𝑃
∞
25
𝐹(𝑃) = ∫1
(𝑃 + 1)2𝑑𝑃 = −
1
𝑃 + 1+ 𝐶
𝐸𝑥𝐶 = 2600 lim𝑏→ ∞
[𝐹(𝑏) − 𝐹(25)] = 2600 [−1
𝑏 + 1+1
26] = 100
Como el excedente del consumidor para Francisco es 100 pesos, Francisco no estará
dispuesto a pagar los 200 pesos de cuota para que esta compañía le lleve los garrafones
a su casa.
Cálculo de la Constante de Integración
Hasta ahorita, al momento de integrar agregamos una constante de integración cuyo valor
es desconocido. Realmente el valor de esta constante no es importante en problemas
teóricos e incluso no es necesaria al momento de calcular un área definida (recordemos
que las constantes de integración se cancelan al momento de hacer 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)).
Solo en los problemas aplicados es cuando necesitamos conocer el valor de la constante
de integración. Y para que lo podamos saber, es importante conocer una condición sobre
la función integrada. A continuación se harán un ejercicio mostrando como es esta
condición y como se utiliza para encontrar el valor de la constante de integración.
Ejercicio. La función de utilidad marginal de una empresa es
𝑢𝑚𝑔(𝑞) = 12𝑞3 − 20𝑞
Cálculo Diferencial e Integral
152
Donde 𝑞 representa las ventas de la empresa. Esta empresa sabe que cuando vende 2
unidades sus utilidades son de 100 pesos (Es decir 𝑈(2) = 100). Encontrar las utilidades
de la empresa cuando vende 10 unidades.
Lo que se debe de hacer para resolver este problema es encontrar el valor de 𝑈(10)
donde 𝑈(𝑞) representa las utilidades de la empresa en función de la cantidad que vende.
Nosotros conocemos 𝑢𝑚𝑔(𝑞), no conocemos la función de utilidad.
Pero, recordemos que
𝑢𝑚𝑔(𝑞) = 𝑑𝑈
𝑑𝑞
Y por lo tanto
𝑈(𝑞) = ∫𝑢𝑚𝑔(𝑞) 𝑑𝑞
Entonces
𝑈(𝑞) = ∫𝑢𝑚𝑔(𝑞) 𝑑𝑞 = ∫12𝑞3 − 20𝑞 𝑑𝑞 = 4𝑞4 − 10𝑞2 + 𝐶
Ahora, es necesario que encontremos el valor de 𝐶 puesto que nosotros queremos
encontrar el valor de 𝑈(10) y esto no puede estar en función de algo que desconocemos.
Para encontrar el valor de 𝐶, utilizamos la condición que sabemos sobre la función. En
este caso sabemos que las utilidades son 100 cuando la empresa vende 2 unidades.
Como la función de utilidad es 𝑈(𝑞) = 4𝑞4 − 10𝑞2 + 𝐶 y 𝑈(2) = 100 entonces debe pasar
lo siguiente
𝑈(2) = 4(24) − 10(22) + 𝐶 = 100
Despejando 𝐶 obtenemos lo siguiente
44 + 𝐶 = 100 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝐶 = 56
Esto implica que la función de utilidad de la empresa es
𝑈(𝑞) = 4𝑞3 − 10𝑞2 + 56
Y por lo tanto 𝑈(10) = 4(1000) − 10(100) + 56 = 3056.
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Ejercicios
1.- El tiempo 𝑇 que tarda un automóvil en recorrer una avenida depende de muchos
factores como tráfico, tamaño de la avenida, etc… Para una avenida en particular, la
probabilidad de que un automóvil se tarde más de 𝑀 minutos en recorrer la avenida se
puede calcular de la siguiente manera
𝑃[ 𝑇 > 𝑀] = ∫2
𝑇3𝑑𝑇
∞
𝑀
a) Encuentra la probabilidad de que el automóvil se tarde más de 20 minutos en recorrer
la avenida.
b) Encuentra la probabilidad de que el automóvil se tarde menos de 10 minutos en
recorrer la avenida.
2.- La función de supervivencia de una enfermedad depende del número de días que la
persona tenga la enfermedad:
𝑆(𝑇) = 4𝑇
(𝑇2 + 1)2
Donde 𝑇 es el número de días que la persona está enferma. La probabilidad de que la
persona tenga más de 𝐷 días la enfermedad se puede calcular de la siguiente forma
𝑃[𝑇 > 𝐷] = ∫ 𝑆(𝑇) 𝑑𝑇
∞
𝐷
Encuentra la probabilidad de que la persona esté más de 3 días enferma.
3.- Para una empresa, el excedente de ventas es la diferencia del precio de venta de su
producto menos el costo de producir esa unidad que está vendiendo. La función de
producción de una cierta empresa es la siguiente
𝑄 = 𝑃(𝑃2 + 10)2
En este caso, si 𝑃𝑉 es el precio al que la empresa vende cada unidad, entonces el
excedente de ventas lo podemos calcular de la siguiente manera
𝐸 = ∫ 𝑄 𝑑𝑃
𝑃𝑉
0
Encuentra el excedente de ventas de la empresa si 𝑃𝑉 = 10. ¿Si el precio de venta
aumenta, también aumentará el excedente de ventas?
Cálculo Diferencial e Integral
154
4.- En un cierto parque de diversiones, el parque cobra un cierto precio 𝑃 (en decenas)
para que una persona se pueda subir a cada una de sus atracciones. Además, el parque
cobra una cierta entrada. La función de demanda de atracciones de una cierta persona es
𝑄 = 15
𝑃 + 1
Donde 𝑄 es la cantidad de atracciones a las cuales la persona está dispuesta a pagar por
subirse. Si el precio de cada atracción es de 15 (𝑃 = 1.5) ¿Qué es lo máximo que esta
persona está dispuesta a pagar por entrar al parque?
5.- El número de meses 𝑇 que pueden pasar para que una cierta persona tenga un
accidente es una variable de interés para las aseguradoras. La probabilidad de que pasen
más de 𝑁 meses sin que esta persona tenga un accidente se puede calcular de la
siguiente forma
𝑃[𝑇 > 𝑁] = ∫5
𝑇6𝑑𝑇
∞
𝑁
Por otro lado, si ya sabemos que pasaron 𝑀 meses sin que esta persona tuviera un
accidente, podemos calcular cuántos meses esperamos que la persona siga sin tener un
accidente de la siguiente forma
𝐸[𝑇] = 1
𝑃[𝑇 > 𝑀] ∫
5
𝑇5𝑑𝑇
∞
𝑀
Si ya sabemos que ya pasaron 5 meses sin que esta persona tuviera algún accidente,
¿Cuántos meses más esperamos que esta persona siga sin accidentarse?
6.- La función de costo marginal de una empresa es la siguiente
𝑐𝑚𝑔(𝑄) = 3𝑄2 −1
𝑄3
Donde 𝑄 es la cantidad que produce esta empresa. Se sabe que los costos de la empresa
cuando producen 10 unidades son de 3000 pesos.
a) Encuentra la función de costos de esta empresa.
b) Encuentra los costos de la empresa cuando producen 20 unidades.
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Tema Adicional: Integrales Trigonométricas
Hay ocasiones cuando usamos la técnica de sustitución o de sustitución trigonométrica
que llegamos a que debemos integrar una función de esta forma:
∫𝑠𝑒𝑛𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑚(𝑥)𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑚 𝑦 𝑛 ∈ ℕ
Estas pueden llegar a ser un poco complicadas de integrar si no conocemos como
resolverlas. Cuando tengamos que integrar una función de éste estilo lo que trataremos
de hacer es convertir esta integral a una donde podamos usar la técnica de sustitución.
Para esto hay que conocer algunas identidades trigonométricas importantes:
𝑠𝑒𝑛2(𝜃) + 𝑐𝑜𝑠2(𝜃) = 1
1 + 𝑡𝑎𝑛2(𝜃) = 𝑠𝑒𝑐2(𝜃) 1 + 𝑐𝑜𝑡2(𝜃) = 𝑐𝑠𝑐2(𝜃)
𝑠𝑒𝑛(2𝜃) = 2 𝑠𝑒𝑛(𝜃) cos(𝜃) cos(2𝜃) = 𝑐𝑜𝑠2(𝜃) − 𝑠𝑒𝑛2(𝜃)
𝑠𝑒𝑛2(𝜃) = 1 − cos (2𝜃)
2 𝑐𝑜𝑠2(𝜃) =
1 + cos (2𝜃)
2
𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 𝛽) = 𝑠𝑒𝑛(𝛼) cos(𝛽) + 𝑠𝑒𝑛(𝛽) cos(𝛼)
cos(𝛼 + 𝛽) = cos(𝛼) cos(𝛽) − 𝑠𝑒𝑛(𝛼)𝑠𝑒𝑛(𝛽)
Además ahora si hay que conocer todas las derivadas de funciones trigonométricas
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑑𝑦
𝑑𝜃= 𝑐𝑜𝑠(𝜃)
𝑦 = cos(𝜃) 𝑑𝑦
𝑑𝜃= −𝑠𝑒𝑛(𝜃)
𝑦 = 𝑡𝑎𝑛(𝜃) 𝑑𝑦
𝑑𝜃= 𝑠𝑒𝑐2(𝜃)
𝑦 = cot(𝜃) 𝑑𝑦
𝑑𝜃= −𝑐𝑠𝑐2(𝜃)
𝑦 = 𝑠𝑒𝑐(𝜃) 𝑑𝑦
𝑑𝜃= 𝑡𝑎𝑛(𝜃)𝑠𝑒𝑐(𝜃)
𝑦 = csc(𝜃) 𝑑𝑦
𝑑𝜃= − cot(𝜃) csc (𝜃)
Cálculo Diferencial e Integral
156
Ya conociendo todo esto ahora si podemos empezar a integrar funciones de este estilo.
a) ∫ 𝑠𝑒𝑛3(𝑥)𝑑𝑥
Como no tenemos una identidad que relaciones seno cúbico entonces lo vamos a dividir
en dos y aplicar una identidad de la siguiente manera:
∫𝑠𝑒𝑛3(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑠𝑒𝑛2(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)(1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑥))𝑑𝑥
= ∫𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑑𝑥
La primera integral es directa, la segunda si derivamos 𝑐𝑜𝑠(𝑥) obtenemos −𝑠𝑒𝑛(𝑥) que es
la otra parte de la integral. Por lo tanto la segunda hay que hacerla por sustitución
𝑢 = cos(𝑥) 𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 − 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥
∫𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑑𝑥 = ∫−𝑢2𝑑𝑢 = − ∫𝑢2𝑑𝑢 = −𝑢3
3+ 𝐶 = −
𝑐𝑜𝑠3(𝑥)
3+ 𝐶
Por lo tanto
∫𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑑𝑥 = − cos(𝑥) +𝑐𝑜𝑠3(𝑥)
3+ 𝐶
∫𝑠𝑒𝑛3(𝑥)𝑑𝑥 = −cos(𝑥) +𝑐𝑜𝑠3(𝑥)
3+ 𝐶
b) ∫ 𝑠𝑒𝑛3(𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑑𝑥
Aquí a diferencia de la integral anterior además del seno cúbico tenemos un coseno
cuadrado. Pero aplicaremos un truco parecido para poder aplicar una identidad
trigonométrica
∫𝑠𝑒𝑛3(𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑠𝑒𝑛2(𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑠𝑒𝑛(𝑥)[1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑥)]𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑑𝑥
= ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠4(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠4(𝑥)𝑑𝑥
Ahora ambas integrales se pueden por sustitución. Las haremos simultáneamente
𝑢 = cos(𝑥) 𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 − 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
∫𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠4(𝑥)𝑑𝑥 = ∫−𝑢2𝑑𝑢 − ∫−𝑢4𝑑𝑢
∫−𝑢2𝑑𝑢 − ∫−𝑢4𝑑𝑢 = − ∫𝑢2𝑑𝑢 + ∫𝑢4𝑑𝑢 = −𝑢3
3 +
𝑢5
5+ 𝐶
∫𝑠𝑒𝑛3(𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠3(𝑥)
3 +
𝑐𝑜𝑠5
5+ 𝐶
c) ∫ 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝑥) 𝑑𝑥
En esta integral no podemos aplicar el truco de cambiar 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) por 1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑥). Esto
sucede si lo hacemos
∫𝑠𝑒𝑛2(𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑑𝑥 = ∫[1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑥)]𝑐𝑜𝑠2(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑜𝑠4(𝑥)𝑑𝑥
Si aplicamos ese truco llegamos a que tenemos que integrar coseno cuadrado y coseno
cuarto donde no podemos aplicar sustitución porque la derivada de coseno no aparece en
ninguna de las dos integrales. Entonces no podemos usar esta identidad pero podemos
usar la siguiente
𝑠𝑒𝑛2(𝜃) = 1 − cos(2𝜃)
2 𝑐𝑜𝑠2(𝜃) =
1 + cos (2𝜃)
2
Entonces
∫𝑠𝑒𝑛2(𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ [1 − cos(2𝑥)
2] [1 + cos (2𝑥)
2] 𝑑𝑥 =
1
4∫1 − 𝑐𝑜𝑠2(2𝑥)𝑑𝑥
= 1
4∫𝑑𝑥 −
1
4∫𝑐𝑜𝑠2(2𝑥)𝑑𝑥
Ahora sabemos que 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) = 1+cos (2𝑥)
2 pero no sabemos nada de 𝑐𝑜𝑠2(2𝑥) por lo tanto
primero hay que hacer una sustitución.
𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥 1
2𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
1
4∫𝑐𝑜𝑠2(2𝑥)𝑑𝑥 =
1
8∫𝑐𝑜𝑠2(𝑢)𝑑𝑢 =
1
8∫1 + cos (2𝑢)
2𝑑𝑢
= 1
16∫𝑑𝑢 +
1
16∫cos(2𝑢) 𝑑𝑢 =
1
16𝑢 +
1
32𝑠𝑒𝑛(2𝑢) + 𝐶
= 1
16(2𝑥) +
1
32 𝑠𝑒𝑛(4𝑥) + 𝐶 =
1
8𝑥 +
1
32𝑠𝑒𝑛(4𝑥) + 𝐶
Cálculo Diferencial e Integral
158
Entonces
1
4∫𝑑𝑥 −
1
4∫𝑐𝑜𝑠2(2𝑥)𝑑𝑥 =
1
4𝑥 − [
1
8𝑥 +
1
32𝑠𝑒𝑛(4𝑥)] + 𝐶
∫𝑠𝑒𝑛2(𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑑𝑥 = 1
8𝑥 −
1
32𝑠𝑒𝑛(4𝑥) + 𝐶
d) ∫ 𝑠𝑒𝑐3(𝑥)𝑡𝑎𝑛3(𝑥)𝑑𝑥
Necesitamos utilizar una identidad trigonométrica para poder simplificar esta integral.
Usaremos esta identidad 1 + 𝑡𝑎𝑛2(𝜃) = 𝑠𝑒𝑐2(𝜃)
∫𝑠𝑒𝑐3(𝑥)𝑡𝑎𝑛3(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐3(𝑥) tan(𝑥) 𝑡𝑎𝑛2(𝑥)𝑑𝑥
= ∫𝑠𝑒𝑐3(𝑥) tan(𝑥) [𝑠𝑒𝑐2(𝑥) − 1]𝑑𝑥 = ∫𝑠𝑒𝑐5(𝑥) tan(𝑥) − 𝑠𝑒𝑐3(𝑥) tan(𝑥) 𝑑𝑥
= ∫𝑠𝑒𝑐5(𝑥) tan(𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑐3(𝑥) tan(𝑥) 𝑑𝑥
Aquí ya podemos aplicar sustitución porque la derivada de secante (es tangente por
secante) está dentro de la integral.
𝑢 = sec(𝑥) 𝑑𝑢 = sec(𝑥) tan(𝑥) 𝑑𝑥
∫𝑠𝑒𝑐5(𝑥) tan(𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑐3(𝑥) tan(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐4(𝑥) sec(𝑥) tan(𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑐2(𝑥) sec(𝑥) tan(𝑥) 𝑑𝑥
= ∫𝑢4𝑑𝑢 − ∫𝑢2𝑑𝑢 = 𝑢5
5− 𝑢2
2+ 𝐶 =
𝑠𝑒𝑐5(𝑥)
5− 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)
2+ 𝐶
Por lo tanto
∫𝑠𝑒𝑐3(𝑥)𝑡𝑎𝑛3(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐5(𝑥)
5− 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)
2+ 𝐶
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Ejercicios
1.- Resuelve las siguientes integrales trigonométricas.
a)
∫𝑐𝑜𝑠3(𝑥)𝑑𝑥
b)
∫𝑠𝑒𝑛3(𝑥)𝑐𝑜𝑠7(𝑥)𝑑𝑥
c)
∫𝑠𝑒𝑛5(3𝑥)𝑐𝑜𝑠3(3𝑥)𝑑𝑥
d)
∫𝑥𝑠𝑒𝑛3(6𝑥2)𝑑𝑥
e)
∫𝑠𝑒𝑛2(7𝑥)𝑐𝑜𝑠2(7𝑥)𝑑𝑥
f)
∫𝑠𝑒𝑐3(8𝑥)𝑡𝑎𝑛3(8𝑥)𝑑𝑥
Cálculo Diferencial e Integral
160
Apéndice: Fracciones
Definición
El conjunto de los números racionales, denotado con ℚ , es el conjunto de todas las
posibles divisiones de números enteros. Es decir
ℚ = { 𝑎
𝑏| 𝑎 ∈ ℤ 𝑦 𝑏 ∈ ℤ }
A los elementos de este conjunto se les conoce como fracciones propias.
Pero también, puede haber otro tipo de fracciones, llamadas algebraicas, donde en vez de
ser divisiones de números enteros, son divisiones de polinomios que dependen de una
variable. Un ejemplo de una fracción algebraica sería
𝑥 + 1
5𝑥 − 4
En este ejemplo, y como en cualquier fracción algebraica, no solamente hay números sino
que también hay variables. A la ecuación que se encuentra en la parte de arriba se le
llama Numerador, y a la de abajo Denominador.
Suma y Resta de Fracciones Algebraicas
Dadas dos fracciones algebraicas, podemos pensar en la suma o resta entre ambas. Para
hacer cualquiera de las dos operaciones, debemos obtener el mínimo común múltiplo que
simplemente es la multiplicación de todos los elementos del denominador de cada
fracción. Luego, dividimos el mínimo común múltiplo entre el denominador de cada
fracción y lo multiplicamos por el numerador. Hacemos esto con cada fracción que
queramos sumar o restar y los resultados los sumamos o restamos. Después
simplificamos para llegar a una nueva expresión más sencilla.
Ejercicio. Obtener 𝑥+1
𝑥−1+
2𝑥
𝑥+4
El mínimo común múltiplo de estas dos fracciones es (𝑥 − 1)(𝑥 + 4) , ya que es el
resultado de multiplicar los dos denominadores de cada fracción. Ahora
𝑥 + 1
𝑥 − 1+
2𝑥
𝑥 + 4 = (𝑥 + 1)(𝑥 + 4) + 2𝑥(𝑥 − 1)
(𝑥 − 1)(𝑥 + 4)= 𝑥2 + 4𝑥 + 𝑥 + 4 + 2𝑥2 − 2𝑥
(𝑥 − 1)(𝑥 + 4)
𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑥 + 1
𝑥 − 1+
2𝑥
𝑥 + 4 =
3𝑥2 + 3𝑥 + 4
(𝑥 − 1)(𝑥 + 4)
Alberto Ramírez de Aguilar Wille
Ejercicio. Obtener 3
𝑥−
𝑥+2
𝑥−1+
1
𝑥+4
En este caso, el mínimo común múltiplo es 𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 + 4)
3
𝑥−𝑥 + 2
𝑥 − 1+
1
𝑥 + 4= 3(𝑥 − 1)(𝑥 + 4) + 𝑥(𝑥 + 2)(𝑥 + 4) + 𝑥(𝑥 − 1)
𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 + 4)
=3(𝑥2 + 3𝑥 − 4) + 𝑥(𝑥2 + 6𝑥 + 8) + 𝑥2 − 𝑥
𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 + 4)= 3𝑥2 + 9𝑥 − 12 + 𝑥3 + 6𝑥2 + 8𝑥 − 𝑥2 − 𝑥
𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 + 4)
𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 3
𝑥−𝑥 + 2
𝑥 − 1+
1
𝑥 + 4= 𝑥3 + 8𝑥2 + 16𝑥 − 12
𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 + 4)
Multiplicación y División de Fracciones Algebraicas
Para multiplicar dos fracciones algebraicas, simplemente lo que debemos de hacer es
multiplicar denominador por denominador y numerador por numerador, en otras palabras,
multiplicar piso por piso.
Ejercicio. Multiplicar (𝑥−1)(𝑥+2)
(𝑥−4)(𝑥+3) por
(𝑥−4)
(𝑥−1)(𝑥+7)
Entonces, para obtener este producto , multiplicamos piso por piso
((𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
(𝑥 − 4)(𝑥 + 3)) (
(𝑥 − 4)
(𝑥 − 1)(𝑥 + 7)) =
(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)(𝑥 − 4)
(𝑥 − 4)(𝑥 + 3)(𝑥 − 1)(𝑥 − 7)
= 𝑥 + 2
(𝑥 + 3)(𝑥 − 7)
Para dividir, utilizamos la llamada "Ley del Sándwich" que significa multiplicar el
denominador de una fracción por el numerador de la otra y luego dividir.
Ejercicio. Dividir 𝑥−1
(𝑥+3)(𝑥+5) entre
𝑥−1
𝑥+2
Hay que usar la regla descrita anteriormente
(𝑥 − 1
(𝑥 + 3)(𝑥 − 5)) ÷ (
𝑥 − 1
𝑥 + 2) =
(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
(𝑥 + 3)(𝑥 − 5)(𝑥 − 1)=
𝑥 + 2
(𝑥 + 3)(𝑥 − 5)