CALCULO DIFERENCIAL
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MATEMATICAS II
DEDICATORIA
Todo el empeño que hemos puesto en este proyecto se lo dedicamos ante todo a DIOS a nuestros padres, familiares, y compañeros quienes de una u otra manera nos han apoyado para la satisfactoria culminación de este proyecto.
De igual manera a nuestros maestros, en especial al catedrático de la ciencia de Matemáticas el Ing. Civil Rafael Salcedo por proporcionarnos la guía necesaria que nos ha estimulado para alcanzar el objetivo deseado.
Página 1
MATEMATICAS II
AGRADECIMIENTO
Agradecemos de todo corazón primordialmente a nuestros familiares que contribuyeron a la realización de este proyecto.
A nuestro maestro guía por compartir e impartirnos sus conocimientos y llevarnos por senderos de sabiduría, prosperidad y poder lograr que nuestro esfuerzo obtenga el objetivo deseado.
A la Universidad Técnica de Máchala, por la oportunidad que brinda a los jóvenes paraqué puedan convertirse en profesionales que contribuyan con el desarrollo de la misma.
Página 2
MATEMATICAS II
INTEGRANTES:1.- AGUIRRE CHUCHUCA KELVIN 2.- ALCIVAR ROMERO ANYELO
3.- BALCAZAR CALERO JUAN 4.- CAJAMARCA COYAGO JUAN
5.-GANAN BLACIO KAREN 6.- HERNANDEZ TORRES TATIANA
7.- JADAN ORTEGA GEOVANNA 8.- JARAMILLO GRANDA ROSA
9.- MOSCOSO OLLAGUE WALTER 10.- NARANJO CARPIO JUAN
11.- QUEVEDO MENDOZA ALEXANDER 12.- PUTAN PUTAN MARCOS
13.- RAMIREZ SANCHEZ FLAVIO 14.- RIOFRIO JIMENEZ YURY
15.-ROMERO GRANDA ANDRES 16.- ROMERO ZAVALA HERMEL
17.- RUILOVA CUMBICOS FAUSTO 18.- SALAZAR NARVAEZ JOHANNA
19.- TORRES RAMIREZ YULIANA 20.- VARGAS SURIAGA VANESSA
Página 3
MATEMATICAS II
DERIVADA DE PRODUCTO DE DOS FUNCIONES:
La derivada de producto de dos funciones es la primera función multiplicada por la derivada de la segunda función, más la segunda función multiplicada por la derivada de la primera.
dydx
=u .v
dydx
=u . dvdx
+v dudx
Página 4
MATEMATICAS II
DERIVADA DE UN COCIENTE:
La derivada de un cociente es el denominador multiplicado por la derivada del numerador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, y todo ello dividido por el cuadrado del denominador.
dydx
=v du
dx−u dv
dxv2
Página 5
MATEMATICAS II
DERIVADA EXPONENCIAL:
Se llama función exponencial de base a, siendo a un número real positivo y distinto de 1, a la función
f:R Rx f(x) = ax
Esta función se escribe también como f(x) = exp a x y se lee «exponencial en base a de x».
Antes de dar un ejemplo de función exponencial, conviene recordar algunas propiedades de las potencias:
1. a° = 1
2. a-n = 1/an
Página 6
MATEMATICAS II
DERIVADA DE LOGARITMO NATURAL:
La derivada con logaritmo es igual a uno (1) sobre la variable (v) que se multiplica por la derivada de la variable.
En análisis matemático se llama logaritmo natural o logaritmo neperiano a la primitiva de la función:
que toma el valor 1 cuando la variable x es igual a 1,
La función logaritmo natural es la inversa de la función exponencial:
Si y= ln v
dydx
=1v
. dvdx
Página 7
MATEMATICAS II
DERIVADA DE LOGARITMO VULGAR:
Dado un número real a positivo, no nulo y distinto de 1, (a > 0; a ≠ 0; a ≠ 1), y un número N positivo y no nulo (N > 0; N ≠ 0), se llama logaritmo en base a de N al exponente x al que hay que elevar dicha base para obtener el número.
Para indicar que x es el logaritmo en base a de N se escribe:
loga N = x
y se lee «logaritmo en base a de N es igual a x».
Por lo tanto, loga N = x (notación logarítmica) equivale a decir que ax = N
(notación exponencial).
Notación logarítmica
Notación exponencial
Página 8
MATEMATICAS II
log 2 8 = 3log 1/2 4 = -2log 7 7³ = 3
2³ = 8(1/2)-2 = 2 ² = 47³ = 7³
Consecuencias de la definición de logaritmo
1. El logaritmo de 1, en cualquier base, es 0: loga 1 = 0, ya que a° = 1
2. El logaritmo de un número igual a la base es 1: loga a = 1, ya que a¹ = a
3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: loga am = m, ya que am = am
4. No existe el logaritmo en cualquier base de un número negativo o cero.
5. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0< N<1, es negativo si la base a del logaritmo es a>1.
Así, por ejemplo, log 3 1/9 = -2, ya que 3-2 = 1/9
6. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0< N<1, es positivo si la base a del logaritmo es a<1.
Página 9
MATEMATICAS II
Por ejemplo, log 1/3 1/9 = 2, ya que (1/3) ² = 1/9
7. El logaritmo de un número N>1 es positivo si la base es a>1.
Así, log3 9 = 2; ya que 3 ² = 9
8. El logaritmo de un número N>1 es negativo si la base es a<1.
Así, log 1/5 25 = -2, ya que (1/5)-2 = 25
Página 10
MATEMATICAS II
EJEMPLOS:
1. DERIVADA DEL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES.
dydx
=u .v
dydx
=u . dvdx
+v dudx
Página 11
MATEMATICAS II
1) Y=(3+2 X )4(3−5 X )5
PASOS A SEGUIR
Identificamos la función U (3+2 X )4 y luego la función V (3−5 X )5
Empezamos a derivar la función U
U=(3+2 X )3
dudx
=4(3+2 X )3. (2)
dudx
=8 (3+2 X)3
Página 12
MATEMATICAS II
Luego derivamos la función V
V=(3−5 X)5
dvdx
=5¿
dvdx
=−25¿
Se procede a remplazar las funciones y sus derivadas en la formula antes dada.
Y=(3+2 X )4(3−5 X )5
dydx
=(3+2x )4 .¿
dydx
=−25(3+2x )4(3+2 x)4+8(3+2 x)3(3−5 x)5
Página 13
MATEMATICAS II
dydx
¿(3−5 x)4 (3+2 x)3 [−25 (3+2 x )+8(3−5 x) ]
dydx
=(3−5 x )4 (3+2 x )3(−75−50 x+24−40 x)
dydx
=(3−5 x )4 (3+2 x )3 (−90 x−51 )
dydx
=3 (3−5 x )4 (3+2 x )3 (−30 x−17 )
2) Y=(x2+2x−7)3(2 x−3)4(1−3 x)5(1+7 x)4
U¿(x2+2 x−7)3(2 x−3)4
dudx
=(x2+2 x−7)3 ∙ 4 (2 x−3)3(2)+(2 x−3)4 ∙ 3 ( x2+2x−7 )2(2 x−2)
Página 14
MATEMATICAS II
dudx
=(x2+2 x−7)3 ∙8(2x−3)3+(2x−3)4 ∙3 ( x2+2 x−7 )2( x+1)
dudx
=2(x2+2x−7)2(2 x−3)3 [4 (x2+2 x−7)+3(2x−3)(x+1)]
dudx
=2 ( x2+2 x−7 )2 (2 x−4 )3(4 x2+8x−28+6 x2+6 x−9 x−9)
dudx
=2 ( x2+2 x−7 )2 (2 x−3 )3(10 x2+5 x−37).
V=(1−3 x )5(1+7x )4
dvdx
=(1−3 x )5∙ 4 (1+7 x )3 (7 )+(1+7 x )4 ∙5 (1−3 x )4 ∙(−3)
dvdx
=(1−3x )4(1+7 x )3 [(1−3 x)4 ∙7+5(1−7 x)(−3) ]
dvdx
=(1−3x )4(1+7 x )3
Página 15
MATEMATICAS II
dvdx
=(1−3 x )4 (1+7 x )3(13−21 x)
Y=(x2+2 x−7)3(2 x−3)4(1−3 x)5(1+7 x)4
dydx
=¿(x2+2x-7)3(2x-3)4(1-3x)4(1+7x)3(13-21x)+ (1-3x)5 (1+7x)4.2 (x2+2x-7)2
(2x- 3)3(10x2+5x-37)
dydx
=¿(x2+2x-7)2(2x-3)3(1-3x)4(1+7x)3¿(x2+2x-7)(2x-3)(13-21x)+2
(1-3x)(1+7x)(10x2+5x-37)¿
dydx
=¿(x2+2x-7)2(2x-3)3(1-3x)4(1+7x)3(42x4+5x3+141x2-78x-340x3-150x2+1268x-74)
dydx
=¿(x2+2x-7)2(2x-3)3(1-3x)4(1+7x)3 (42x4-335x3-9x2-74).
Página 16
MATEMATICAS II
3) Y= ( 35
X2−1)2 ( 23
X+1)3 ( 34
X−3)4
U= ( 35
X2−1)2 ( 23
X+1)3
dudx
=(35
x2−1)2.3 ( 23
x+1)2( 23 ) + 2( 3
5x2−1)( 6
5x )( 2
3x+1)3
dudx
=(35
x2−1)( 23
x+1)2 [3( 35
x2−1)( 23 )+. 2( 2
3x+1)( 6
5x)]
dudx
=(35
x2−1)( 23
x+1)2[2( 35
x2−1)+ 125 ( 2
3X−1)]
dudx
=(35
x2−1)( 23
x+1)2[( 6 x2
5−2)+(24 x2
18−12
5x)]
dudx
=(35
x2−1)( 23
x+1)2[( 6 x2−105 )+( 24 x2+36 x
15 )]Página 17
MATEMATICAS II
dudx
=(35
x2−1)( 23
x+1)2[18 x2−30+24 x2+36 x15 ]
dudx
=(35
x2−1)( 23
x+1)2[ 42 x2+36 x−3015 ]
dudx
=(35
x2−1)( 23
x+1)2( 14 x2+12 x−1015 )
V= ( 34
X−3)4
dvdx
=¿4( 34
x−3)3( 34 )
dvdx
=3 .( 34
x−3)3
Página 18
MATEMATICAS II
Y= ( 35
X2−1)2 ( 23
X+1)3 ( 34
X−3)4
dydx
=( 35
X2−1)2 ( 23
X+1)3 3 .( 34
x−3)3 +( 34
X−3)4( 35
x2−1)( 23
x+1)2[ 42 x2+36 x−3015 ]
dydx
=( 35
x2−1)(23
x+1)2
( 34
x−3)3[(3
5X2−1)( 2
3x+1) .3+( 3
4x−3) .2( 42 x2+36 x−30
15 )]dydx
=( 35
x2−1)(23
x+1)2
( 34
x−3)3[( 3
5X2−1)(1
3x+1)+(3
2x−3)( 42 x2+36 x−30
15 )]
DERIVADA DE UN COCIENTE:
Página 19
MATEMATICAS II
1.-) y=( 3
5X
23+ 7
8X
14 −10)
34
( 37
X78−5
8X
83+ 3
4 )1115
PASOS A SEGUIR:
Identificamos cual es la función U ( 35
X23+ 7
8X
14 −10)
34 y
Luego la función V ( 37
X78− 5
8X
83+ 3
4 )1115
Empezamos a derivar la función U
Página 20
MATEMATICAS II
u=( 35
x23 +7
8x
14−10)
34
dudx
=34 ( 3
5x
23 + 7
8x
14 −10)
−14 ( 2
3x
−13 + 7
32x
−34 )
Empezamos a derivar la función V
v=( 37
x78− 5
8x
83 + 3
4 )1115
dvdx
=1115 ( 3
7x
78−5
8x
89 + 3
4 )−415 ( 3
8x
−18 −5
9x
−19 )
Página 21
MATEMATICAS II
Se procede a remplazar las funciones y sus derivadas en la formula antes dada.
y=( 3
5X
23+ 7
8X
14 −10)
34
( 37
X78−5
8X
83+ 3
4 )1115
dydx
=( 3
7x
89−5
8x
89 + 3
4 )1115 3
4 ( 35
x23 + 7
8x
14 −10)
−14 ( 2
5x
−13 + 7
32x
−34 )−( 3
5x
23 + 7
8x
14 −10)
34 11
15 ( 37
x78−5
8x
83 + 3
4 )−415 ( 3
8x
−18 −5
9x
−19 )
[( 37
x78− 5
8x
89 + 3
4 )1115 ]
2
dydx
=( 37
x89−5
8x
89 + 3
4 )−415 ( 3
5x
23 + 7
8x
14 −10)
−14 [3
4 ( 37
x89−5
8x
89 + 3
4 )(25
x−13 + 7
32x
−34 )−11
15 ( 35
x23 + 7
8x
14 −10)( 3
8x
−18 −5
9x
−19 )]
[(37
x78−5
8x
89 + 3
4 )1115 ]
2
Página 22
MATEMATICAS II
dydx
=( 37
x89−5
8x
89 + 3
4 )−415 ( 3
5x
23 + 7
8x
14 −10)
−14 [ 9
70x
1324 + 9
28x
18−3
6x
59− 105
1024x
536 + 9
40x
−13 + 63
512x
−34 − 33
200x
1324+ 33
155x
59− 77
320x
18 + 77
216x
536+ 33
12x
−18 −110
27x
−19 ]
( 37
x78−5
8x
89 + 3
4 )2215
dydx
=
−511400
x1324−109
640x
18 + 41
720x
59+ 7021
27648x
536 + 9
40 x13
+ 63
512 x34
+ 33
12 x18
− 110
27 x19
( 37 x
89−
58 x
89+
34 )
2615 (3
5 x23 +
78 x
14−10)
14
2.-) y= x2−x+1x2+x+1
dydx
=( x2+x+1 ) (2 x−1 )−( x2−x+1 ) (2 x+1 )
( x2+x+1 )2
Página 23
MATEMATICAS II
dydx
=( x2+x+1 ) [ (2 x−1 )−(2 x+1 ) ]
( x2+x+1 )2
dydx
=2 x−1−2x−1( x2+x+1 )
dydx
= −2( x2+x+1 )
3.-) y= √u+1√u−1
u¿√u+1
dudx
=12
u−12
dudx
= 12√u
Página 24
MATEMATICAS II
V¿√u−1
dvdx
=12
u−12
dvdx
= 12√u
y= √u+1√u−1
dydx
=¿¿
dydx
=
√u – 1−√u−12√u
(√u−1)2
Página 25
MATEMATICAS II
dydx
= −22√u (u−1 )2
dydx
= −22√u (u−1 )2
dydx
= −1√u (u−1 )2
DERIVADA DE UNA FUNCION EXPONENCIAL
1) Y = ev
PASOS A SEGUIR:
Identificamos las funciones la variable (V) Derivamos la variable ( V )
Página 26
MATEMATICAS II
v=4 x2−5dydx
=8 x
Derivamos la función Y
Y = ev
dydx
=8 xe4 x2−5
2) Y= e2 x+3
e7 x−2
u=e2 x+3
dudx
=e2 x+3 .2
Página 27
MATEMATICAS II
v=e7 x−2
dvdx
=e7 x−2.7
dydx
=2 (e7 x−2 ) . (e2 x+5 )−(e2x+3 ) (e7 x−2 ) .7
(e7 x−2 )2
dydx
=− (e2 x+3 ) (5 )
e7 x−2
3) y= ex2
ex
u=ex2 u= ev ' v '=x2
dv '=2 x
Página 28
MATEMATICAS II
v=ex
dvdx
=ex.1
y= ex2
ex
dydx
= ex2
. ex−ex .2 x ex2
e2 x
dydx
=ex ex2
[1−2 x ]e2 x
dydx
=ex2
[ 1−2 x ]ex
DERIVADA DE UNA FUNCION EXPONENCIAL
Página 29
MATEMATICAS II
y=av
PASOS A SEGUIR
dydx
=av . ln a . dvdx
1) y=3−x +1x−1
a=3
v= x+1x−1
dvdx
= 2( x−1 )2
dydx
=3x+1x−1 ln 2 2
( x−1 )2
Página 30
MATEMATICAS II
2.-) y=−3− x2
a=2
v=x2−5 x+1
dvdx
=2 x−5
dydx
=2x2−5+5 . ln 3 . (2 x−5 )
3.-) y=−7e5x2−3 x+1
a=7
Página 31
MATEMATICAS II
v=e5 x2−3 x+1 (10 x−3 )
dvdx
=−7e5 x2−3 x+1
ln7 (10x−3)e5x2−3 x+1
4.-) 63 x+ex
dydx
=3+ex (1 )
dydx
=63 x+e x
. ln 6.3+¿ex ¿
DERIVADA DE LOGARITMO NATURAL
Página 32
MATEMATICAS II
1.-) y=ln (x+2)3(x−3)4
(x−1)2(x+1)5
y=3 ln ( x+2 )+4 ln ( x−3 )−2 ln ( x−1 )−5 ln(x+1)
dydx
= 3(x+2)
.1+ 4(x−3)
.1− 2(x−1)
.1− 5( x+1 )
.1
dydx =
3 ( x−3 ) ( x−1 ) ( x+1 )+4 ( x+2 ) ( x−1 ) ( x+1 )−2 ( x+2 ) (x−3 ) (x+1 )−5(x+2)(x−3)(x−1)( x+2 ) ( x−3 ) ( x+1 )(x−1)
dydx
=3 x3−9 x2−3 x+9+4 x3+8x2−4 x−8−x2+7 x+6−x3+2x2+5 x−6( x+2 ) ( x−3 ) ( x+1 )(x−1)
dydx
= 6 x3+5 x+1(x+2 ) ( x−3 ) ( x+1 )( x−1)
R .
2.-) y=( x−2 )(x+4)(x−5 )(x+3)
Página 33
MATEMATICAS II
lny=ln(x−2 )(x+4)( x−5 )(x+3)
lny=ln ( x−2 )+ln ( x+4 )−ln ( x−5 )− ln (x+3)
1y∗dy
dx= 1
(x−2)+ 1
(x+4 )− 1
(x−5)− 1
(x+3)
1y∗dy
dx=
( x+4 ) (x−5 ) (x+3 )+( x−2 ) ( x−5 ) ( x+3 )− (x−2 ) ( x+4 ) ( x+3 )−( x−2 ) ( x+4 )(x−5)( x−2 ) ( x+4 ) (x−5 )(x+3)
1y∗dy
dx= x3+2 x2−23 x−60+ x3−4 x2−11 x+30− x3−5 x2+2 x+24−x3+3 x2+18 x−40
(x−2 ) ( x+4 ) ( x−5 )(x+3)
1y∗dy
dx= −4 x2−14 x−46
( x−2 ) ( x+4 ) ( x−5 )(x+3)
Página 34
MATEMATICAS II
dydx
= −2(2x2+7 x+23)(x−2 ) ( x+4 ) ( x−5 )(x+3)
∗y
dydx
=
−2(2x2+7 x+23)( x−2 ) ( x+4 ) ( x−5 ) ( x+3 )
∗( x−2 )(x+4)
( x−5 )(x+3)
dydx
=−2(2 x2+7 x+23)(x−5)2(x+3)2 R .
4.-) y=(x+1)2(2 x+3)3
lny=ln(x+1)2(2x+3)3
1y
× dydx
=2 ln ( x+1 )+3 ln (2 x+3)
1y
× dydx
=2 × 1(x+1)
+3× 1(2x+3 )
× 2
Página 35
MATEMATICAS II
1y
× dydx
= 2(x+1)
+ 6(2 x+3)
1y × dy
dx =2 (2 x+3 )+6(x+1)
( x+1 )(2 x+3)
1y
× dydx
=4 x+6+6 x+6( x+1 )(2 x+3)
1y
× dydx
= 10 x+12( x+1 )(2 x+3)
dydx
= 2(5 x+6)(x+1)(2 x+3)
∗ y
dydx
= 2(5 x+6)(x+1 )(2 x+3)
∗(x+1)2(2 x+3)3
dydx
=2 (5 x+6 ) ( x+1 ) (2 x+3 )2 R .
Página 36
MATEMATICAS II
DERIVADA DEL LOGARITMO VULGAR
Si y= log v
dydx
=
log ev
∗dv
dx
EJERCICIOS
Página 37
MATEMATICAS II
Y=log (x2−5)5
v=(x2−5)5 dydx
=
logev
∗dv
dx
dvdx
=5(x2−5)4∗(2 x) dydx
= loge(x2−5)5∗10 x (x2−5)4
dvdx
=10 x (x2−5)4 dydx
=10 x loge(x2−5)
y=log ( ex )
Página 38
MATEMATICAS II
dydx
= log ex
(ex )ex
dydx
=log e
y= log (e x)x
dydx
=log ex (x )−1
dydx
=log (ex )−1 ( x )−2+( x )−1 logex
ex
dydx
=−log(ex )(x )2
+ log ex
Página 39
MATEMATICAS II
Página 40
MATEMATICAS II
1.- DERIVADA DE PRODUCTO DE DOS FUINCIONES:
2.- DERIVADA DE UN COCIENTE:
y=uv
dydx
=v du
dx−u dv
dxv2
Y=u . v
dydx
=u . dvdx
+v . dudx
Página 41
MATEMATICAS II
3.- DERIVADA EXPONENCIAL:
y=ev
dydx
=ev . dvdx
4.-DERIVADA CON EXPONENTE:
y=av
dydx
=av lna dvdx
Página 42
MATEMATICAS II
5.-DERIVADA CON LOGARITMO NATURAL:
y=ln v
dydx
=1v
. dvdx
6.-DERIVADA CON LOGARITMO VULGAR:
y=log . v
dydx
= log ev
. dvdx
Página 43
MATEMATICAS II
Página 44