Cálculo de CNU

Cálculo de Capitales Cálculo de Capitales NecesariosNecesarios

Octubre de 2008

Agenda

• ¿Qué es el capital necesario?

• Elementos a considerar para su cálculo

– Valor presente

– Expectativas de vida

Antes…. ¿Qué es una pensión?

• Es el retiro de los ahorros acumulados en la/las cuentas de capitalización individual y el Bono de Reconocimiento.

– Cuenta de Capitalización Individual de Cotizaciones Obligatorias (CCICO)

– Cuenta de Capitalización Individual de Depósitos Convenidos (CCIDC)

– Cuenta de Capitalización Individual de Cotizaciones Voluntarias (CCICV)

– Cuenta de Capitalización Individual de Voluntarias Colectivas (CCIVC)

¿Cómo retiro los ahorros?

• El retiro de los ahorros debe realizarse de manera tal que permitan asegurar un flujo de estable recursos, cubriendo el tiempo de sobrevida posterior a la pensión, del grupo familiar involucrado.

Modelo Simple

• Saldo (S) : fondos disponibles al momento de pensionarse

• Sobrevida (N): sobrevida del grupo familiar en años

• Pensión Anual (P) : monto de pensión anual

SaldoPensión =

Sobrevida

Representación Gráfica

• Saldo (S) : 250 millones• Sobrevida (N): 25 años

P = S / N => Pensión Anual (P) = 10 millones

¿Qué limitación tiene este modelo?

• No considera que los ahorros permanecen en el fondo y continúan rentando

• No existe forma de conocer a priori la sobrevida de un grupo familiar

• El Cálculo de Capital Necesario es una metodología que nos permite incorporar estos dos elementos en el cálculo de la pensión

¿Cómo incorporamos la rentabilidad?

• Consideremos la pensión que pagaremos el año 15 de sobrevida (10 millones)

¿Cuánto debo reservar hoy?

• Los 10 millones que pagaremos el año 15 permanecerán todo ese tiempo en el fondo

• ¿Tiene sentido reservar hoy 10 millones para pagarlos en 15 años?

• Si el fondo no rentara: SI

• Si el fondo renta: NO

• Como sabemos que el fondo renta:

NO TIENE SENTIDO RESERVAR HOY 10 MILLONES PARA PAGARLOS EN 15

AÑOS MÁS


• Tenemos que determinar una reserva hoy (C0) para pagar 10 millones el año 15

• Durante el primer año (año 0), el fondo rentó una tasa r0

• ¿Cuánto es la reserva C0 al término del primer año 0? (C1, reserva inicial para el año 1)

C1 = C0 * ( 1+ r0 )


• Aplicamos la misma lógica para el segundo año (C2, reserva inicial para el año 2)

C2 = C1 * ( 1+ r1 )

y como sabemos que C1 = C0 * ( 1+ r0 ), reemplazos en la fórmula anterior y obtenemos

C2 = C0 * ( 1+ r0 ) * ( 1+ r1 )


• Y sucesivamente para los años siguientes

C3 = C2 * ( 1+ r2 )

y como sabemos que C2 = C0 * ( 1+ r0 ) ( 1+ r1 ) , reemplazos en la fórmula anterior y obtenemos

C3 = C0 * ( 1+ r0 ) * ( 1+ r1 ) * ( 1+ r2 )


• Al inicio del año 15 tendremos una reserva C15 de

C15 = C0 * ( 1+ r0 ) * ( 1+ r1 ) * ( 1+ r2 )…. ……*( 1+ r13 ) * ( 1+ r14 )

• Como el año 15 debemos pagar la pensión de 10 millones, entonces C15 lo igualamos a ese monto


C15 = 10 = C0 * ( 1+ r0 ) * ( 1+ r1 ) * ( 1+ r2 )…. ……*( 1+ r13 ) * ( 1+ r14 )

En consecuencia, para pagar 10 millones el año 15, debo reservar

C0 =( 1+ r0 ) * ( 1+ r1 ) * ( 1+ r2 )…. ……* ( 1+ r13 ) * ( 1+ r14 )

10 millones


• Como las rentabilidades futuras no las conocemos (r0, r1, r2, r3,….., r13, r14), debemos estimarlas

• Para efectos de simplificar, vamos a estimar que todas las rentabilidades futuras son iguales a r (r = r0= r1 = r2 = r3 =…..= r13 = r14)

C0 =( 1+ r0 ) * ( 1+ r1 ) * ( 1+ r2 )…. ……* ( 1+ r13 ) * ( 1+ r14 )

10 millones

C0 =( 1+ r ) * ( 1+ r ) * ( 1+ r )…. ……* ( 1+ r ) * ( 1+ r )

10 millones

C0 =( 1+ r )15

10 millones



• En términos generales, para pagar una Pensión Anual de un monto dado P en el año t, necesito reservar HOY:

Ct =( 1+ r )t

P

• Definiremos Ct como la reserva hoy para para pagar una pensión P en el año t


• Volviendo al ejemplo, debo reservar HOY para pagar una pensión anual de 10 millones desde el año 0 al año 25

• Para el año 0 debo reservar C0


• Para el año 2 debo reservar C2…..

• ……………




• Entonces la reserva total (C) que debo hacer para pagar la pensión desde el año 0 al 25, es la suma de las reservas que debo hacer para cada año de pensión

C = C0 + C1 + C2 + C3 + ….. + C23 + C24 + C25


C = C0 + C1 + C2 + C3 + ….. + C23 + C24 + C25

C = P/(1+r)0 + P/(1+r)1 + P/(1+r)2 +……

….. P/(1+r)22 + P/(1+r)23 + P/(1+r)24

C = P * ∑ 1/(1+r)t

Ct =( 1+ r )t

P

¿Qué plazo debo considerar en la reserva?

• De acuerdo a estudios realizados por las Superintedencias de Pensiones y de Seguros, se ha determinado que la reserva de se debe efectuar hasta los 110 años de vida

• Lo anterior no significa que no exista personas que vivan más de 110, si no que desde el punta de vista estadístico, son irrelevantes

¿Qué plazo debo considerar en la reserva?

C = P * ∑ 1/(1+r)t-edad

Con t variando de t=edad hasta t=110

• Por lo tanto, la formula determinar la reserva se debe considerar desde hoy hasta que el beneficiario cumpla los 110 años.

En resumen…..

C: Reserva de Capital P: Pensión Anual x: edad

• La primera aproximación que hicimos era:

• Ahora la reserva de capital es:

C = P * (110-x)

C = P * ∑ 1/(1+r)t-x

Con t variando de t=x hasta t=110

Ejemplo…..

Pensión anual de 10 millones para una persona de 70 años

Con la primera aproximación

C = P * (110-X) => C = 10 * 40 = 400 mill

Con la segunda aproximación (tasa 4%)

C = P*∑ 1/(1+r)t-70 => C = 10*19.79

= 197.93 millCon t variando de t=70 hasta t=110

¿Es suficiente esta segunda aproximación?

• ¿Qué supuesto hay involucrado?

• Considera que todas las personas viven hasta los 110 años, lo que sabemos que no es así

• ¿Cómo incorporamos la expectativa de vida en el cálculo?

Volvamos…..

Ct =( 1+ r )t

P• Reserva de capital para pagar P en el año t

• Esta reserva de capital Ct la multiplicaremos por la probabilidad de pagarla, es decir, que el pensionado este vivo el año t

Ct =( 1+ r )t

Ppt

¿Cómo cambia la reserva de capital?

C = P * ∑ 1/(1+r)t-x

Ahora es……

C = P * ∑ 1/(1+r)t-x * pt


¿Qué implicancias tiene?

• Dado que la probabilidad siempre es menor o igual a 1, significa que al incorporar la expectativa de vida, necesito reservar menos capital que en la formula anterior, por lo tanto a un mismo capital puedo pagar pensiones más altas.

• ¿Cómo calculo las probabilidades pt?

C = P * ∑ 1/(1+r)t-x * pt

Cálculo de pt

• Para el cálculo de pt debemos utilizar las tablas de mortalidad, que definen en conjunto las Superintendencias de Pensiones y de Valores y Seguros

• Existen las siguientes tablas de mortalidad

• Causantes

• Beneficiarios

• Se diferencia por sexo e invalidez

Cálculo de pt

• En consecuencia existen 6 tablas de mortalidad

• Causantes Hombres• Causante Mujeres• Beneficiarios Hombres• Beneficiarios Mujeres• Hombres Inválidos• Mujeres Inválidas

¿Qué es una tabla de mortalidad?

• Nos indica el porcentaje de la población de una edad determinada que muere a esa edad

• Por ejemplo, de todas las personas de 70 años cuántos mueren teniendo 70 años

• A dicho valor le llamaremos el q70

• Así se obtiene una tabla para para todas las edades qx

Tabla de MortalidadEdad qx

20 0,000532847 21 0,000569311 22 0,000608271 23 0,000649897 24 0,000694371 25 0,000747944

98 0,278723463 99 0,290358745

100 0,302470436 101 0,315205839 102 0,328313256 103 0,341965728 104 0,356185919 105 0,370997438 106 0,386424874 107 0,402493840 108 0,419231013 109 0,436664178 110 1,000000000

Gráficamente qx (Causantes)

Tablas de Mortalidad

• La tabla anterior corresponde a los valores para el año 2008

• Las tablas de mortalidad son dinámicas, esto significa que la probabilidad de morir a los 60 años el año 2008 no es la misma de morir a los 60 años el año 2020

• El modelo de tablas de mortalidad incluye el aumento en la expectativa de vida de la población

Evolución qx para 60 años(Causante Hombre)

Comparación Tabla 2008, 2020 y 2040(Causantes Hombres)

¿Qué significa lo anterior?

• Significa que todos aquellos que tiene la misma edad “actuarial” en un año dado, tienen la misma tabla de mortalidad

• La tabla de mortalidad de las personas 60 años “actuariales” el año 2008 es distinta a la de las personas de 60 años “actuariales” el año 2020

Tabla de Mortalidad DinámicaCausantes Hombres 2.004

Edad Ax qx 20 0,0166 0,000532847 21 0,0166 0,000569311 22 0,0166 0,000608271 23 0,0166 0,000649897 24 0,0166 0,000694371 25 0,015 0,000747944 26 0,015 0,000799128

60 0,0093 0,008569178 61 0,0093 0,009414724 62 0,0093 0,010346090 63 0,0093 0,011379720 64 0,0093 0,012533073 65 0,0088 0,013929636 66 0,0088 0,015416168 67 0,0088 0,017008919 68 0,0088 0,018736030 69 0,0088 0,020599505

104 0 0,356185919 105 0 0,370997438 106 0 0,386424874 107 0 0,402493840 108 0 0,419231013 109 0 0,436664178 110 0 1,000000000

• Para cada tipo de tabla existe una tabla base con un factor de mejoramiento (Ax) que permite calcular los qx para lo años siguientes, por medio de la fórmula:

• qx año y = qx año base (1-Ax) y-año base

• Ejemplo tabla causante hombre, la tabla base es al año 2004:

• Determinar el qx de 60 años el año 2020

• q60 año 2020 = q60 año 2004 (1-A60) 2020-2004

• q60 año 2020 = 0,008569178 (1-0,0093)16

• q60 año 2020 = poner valor

• Con la fórmula anterior construimos la tabla general completa de mortalidad para causante hombre

Tabla de Mortalidad Dinámica(Causante Hombre)

Edad 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 qx

20 0,00049834 0,00049006 0,00048193 0,00047393 0,00046606 0,00045833 0,00045072 0,00044324 0,00043588 0,00042864 0,00042153 0,00049834

21 0,00053244 0,0005236 0,00051491 0,00050636 0,00049796 0,00048969 0,00048156 0,00047357 0,00046571 0,00045798 0,00045037 0,00052360

22 0,00056888 0,00055943 0,00055015 0,00054101 0,00053203 0,0005232 0,00051452 0,00050598 0,00049758 0,00048932 0,00048119 0,00055015

23 0,00060781 0,00059772 0,00058779 0,00057804 0,00056844 0,00055901 0,00054973 0,0005406 0,00053163 0,0005228 0,00051412 0,00057804

24 0,0006494 0,00063862 0,00062802 0,00061759 0,00060734 0,00059726 0,00058735 0,0005776 0,00056801 0,00055858 0,00054931 0,00060734

25 0,00070407 0,00069351 0,0006831 0,00067286 0,00066276 0,00065282 0,00064303 0,00063338 0,00062388 0,00061453 0,00060531 0,00065282

26 0,00075225 0,00074096 0,00072985 0,0007189 0,00070812 0,0006975 0,00068703 0,00067673 0,00066658 0,00065658 0,00064673 0,00068703

27 0,00080373 0,00079167 0,0007798 0,0007681 0,00075658 0,00074523 0,00073405 0,00072304 0,00071219 0,00070151 0,00069099 0,00072304

28 0,00085873 0,00084585 0,00083316 0,00082066 0,00080835 0,00079623 0,00078428 0,00077252 0,00076093 0,00074952 0,00073827 0,00076093

29 0,00091749 0,00090373 0,00089018 0,00087682 0,00086367 0,00085072 0,00083795 0,00082539 0,000813 0,00080081 0,0007888 0,00080081

30 0,00099289 0,00097939 0,00096607 0,00095293 0,00093997 0,00092719 0,00091458 0,00090214 0,00088987 0,00087777 0,00086583 0,00086583

2088 2089 2090 2091 2092 2093 2094 2095 2096 2097 2098

100 0,30247044 0,30247044 0,30247044 0,30247044 0,30247044 0,30247044 0,30247044 0,30247044 0,30247044 0,30247044 0,30247044 0,30247044

101 0,31520584 0,31520584 0,31520584 0,31520584 0,31520584 0,31520584 0,31520584 0,31520584 0,31520584 0,31520584 0,31520584 0,31520584

102 0,32831326 0,32831326 0,32831326 0,32831326 0,32831326 0,32831326 0,32831326 0,32831326 0,32831326 0,32831326 0,32831326 0,32831326

103 0,34196573 0,34196573 0,34196573 0,34196573 0,34196573 0,34196573 0,34196573 0,34196573 0,34196573 0,34196573 0,34196573 0,34196573

104 0,35618592 0,35618592 0,35618592 0,35618592 0,35618592 0,35618592 0,35618592 0,35618592 0,35618592 0,35618592 0,35618592 0,35618592

105 0,37099744 0,37099744 0,37099744 0,37099744 0,37099744 0,37099744 0,37099744 0,37099744 0,37099744 0,37099744 0,37099744 0,37099744

106 0,38642487 0,38642487 0,38642487 0,38642487 0,38642487 0,38642487 0,38642487 0,38642487 0,38642487 0,38642487 0,38642487 0,38642487

107 0,40249384 0,40249384 0,40249384 0,40249384 0,40249384 0,40249384 0,40249384 0,40249384 0,40249384 0,40249384 0,40249384 0,40249384

108 0,41923101 0,41923101 0,41923101 0,41923101 0,41923101 0,41923101 0,41923101 0,41923101 0,41923101 0,41923101 0,41923101 0,41923101

109 0,43666418 0,43666418 0,43666418 0,43666418 0,43666418 0,43666418 0,43666418 0,43666418 0,43666418 0,43666418 0,43666418 0,43666418

110 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1,00000000

• Se ingresa a la tabla por edad actuarial y año (ejemplo 20 años actuariales el 2008)

Tabla de Mortalidad Dinámica

• De esta forma construimos la tabla de mortalidad específica para un causante hombre de 20 años actuariales el año 2008

• Cada vez que calculamos un CNU, debemos construir la tabla de mortalidad específica (qx) para cada miembro del grupo familiar

• Para esto escogemos la tabla de mortalidad general a aplicar a cada uno:• Causante o Beneficiario• Inválido o Normal• Hombre o Mujer

Cálculo de Edad Actuarial

• La edad actuarial corresponde a la edad que se cumple en una ventana de +/- seis meses a la fecha de cálculo.

• Por ejemplo:• Fecha de nacimiento: 12/11/1966• Fecha de cálculo: 28/08/2008• Ventana: 28/02/2008 a 28/02/2009• En esa ventana de tiempo cumple 42 años• Edad actuarial 42 años

¿Cómo calculamos el px?

• Recordemos….

• Ct reserva de capital hoy para pagar pensión P el a la edad t

• pt probabilidad de pagar la pensión a la edad t

• r rentabilidad estimada del fondo

Ct =( 1+ r )t-x

Ppt


• A partir de las tablas de mortalidad…Tabla Específica

Edad Año qxX Y qx yX+1 Y+1 qx+1 y+1X+2 Y+2 qx+2 y+2X+3 Y+3 qx+3 y+3X+4 Y+4 qx+4 y+4X+5 Y+5 qx+5 y+5X+6 Y+6 qx+6 y+6X+7 Y+7 qx+7 y+7X+8 Y+8 qx+8 y+8X+9 Y+9 qx+9 y+9X+10 Y+10 qx+10 y+10X+11 Y+11 qx+11 y+11X+12 Y+12 qx+12 y+12X+13 Y+13 qx+13 y+13

Hasta los 110 años

Tabla Específica 72 años el 2008Edad Año qx

72 2009 0,02597927 73 2010 0,02817935 74 2011 0,03060069 75 2012 0,03345470 76 2013 0,03643552 77 2014 0,03970752 78 2015 0,04334507 79 2016 0,04737493 80 2017 0,05183112 81 2018 0,05853015 82 2019 0,06596586 83 2020 0,07391240 84 2021 0,08264633 85 2022 0,09201798

106 2043 0,38642487 107 2044 0,40249384 108 2045 0,41923101 109 2046 0,43666418 110 2047 1,00000000


• ¿Si tengo 60 años, cual es la probabilidad de estar vivo a los 61?

• Si estoy vivo a los 60 la probabilidad de estar vivo a los 60 es 1

• Si estoy vivo a los 60 ¿cuál es la probabilidad de estar vivo a los 61?

• Se deben cumplir dos condiciones:

• Estar vivo a los 60

• No morirse a los 60

• p (vivo a los 60) * p (no morir a los 60)


• En términos generales:

• Pt = Pt-1 * P (no morir en t-1)

• Y así sucesivamente:

• Pt-1 = Pt-2 * P (no morir en t-2)

• Pt-2 = Pt-3 * P (no morir en t-3)

• P (no morir en t) = (1-qt) (lo obtenemos de la tabla)

• Por lo tanto tenemos

• Pt = Pt-1 * (1-qt-1) = Pt-2 (1-qt-2) * (1-qt-1)


• Volvamos al ejemplo…. Si está vivo a los 60 años, ¿cuál es la probabilidad de estar vivo a los 70 años?

• p70 = p60 *(1-q60)*(1-q61)*(1-q62 )*(1-q63 )* (1-q64)*(1-q65 )*(1-q66 )*(1-q67 )*(1-q68 )*(1-

q69 )

• Como sabemos a que a los 60 está vivo tenemos que p60 es igual a 1

• Por lo tanto

• p70 = 1 *(1-q60)*(1-q61)*(1-q62 )*(1-q63 )* (1-q64)*(1-q65 )*(1-q66 )*(1-q67 )*(1-q68 )*(1-q69 )

¿Cómo cambia la reserva de capital?

Por lo tanto ya tenemos completa nuestra fórmula

C = P * ∑ 1/(1+r)t-x * pt

Con t variando de t=x hasta t=110,

x es la edad

En resumen…..

• Veremos una metodología que permite implementar los cálculos anteriores en una forma estructurada

• Hasta aquí tenemos determinado como calcular el CNU para una persona. Veremos como debemos determinar el CNU de un grupo familiar.

Metodología de Cálculo

• Introduciremos los siguientes conceptos que son utilizados por esta metodología de cálculo para determinar los capitales necesarios :

• Lx Dx Nx (x: edad)

• Comenzamos con Lx

• Es la probabilidad de una persona específica de estar vivo a la edad x

• A continuación veremos como lo calculamos

• x se refiera a la edad a la fecha de cálculo y t es una edad cualquiera entre x y 110

Cálculo de Lx

Edad (x) Año q(x) L(x) 88 2008 0,126988601 1,00000000 89 2009 0,138651292 90 2010 0,150991942 91 2011 0,164077881 92 2012 0,177926719 93 2013 0,192384360 94 2014 0,207575829 95 2015 0,223266185 96 2016 0,239916432 97 2017 0,256997090 98 2018 0,277944051 99 2019 0,289923511

100 2020 0,302470436 101 2021 0,315205839 102 2022 0,328313256 103 2023 0,341965728 104 2024 0,356185919 105 2025 0,370997438 106 2026 0,386424874 107 2027 0,402493840 108 2028 0,419231013 109 2029 0,436664178 110 2030 1,000000000

• Como sabemos que tiene 88 años el año 2008 y que está vivo L88 es 1, ya que la probabilidad de estar vivo es 1 si está vivo

• Como vimos antes, la probabilidad de estar vivo a los 89 años el año 2009 es la probabilidad de estar vivo a los 88 el año 2008 y no morirse a los 88 años el año 2008:

• L89 = L88 * (1-q88)• Así sucesivamente se construye la

tabla de Lx

• L90 = L89 * (1-q89)

• L91 = L90 * (1-q90)……

• L110 = L109 * (1-q109)

• L111 = L110 * (1-q110) = L111 = L110 * (1-1) = 0

Cálculo de Lx

Edad (x) Año q(x) L(x)

88 2008 0,126988601 1,00000000

89 2009 0,138651292 0,87301140

90 2010 0,150991942 0,75196724

91 2011 0,164077881 0,63842625

92 2012 0,177926719 0,53367462

93 2013 0,192384360 0,43871965

94 2014 0,207575829 0,35431685

95 2015 0,223266185 0,28076923

96 2016 0,239916432 0,21808296

97 2017 0,256997090 0,16576127

98 2018 0,277944051 0,12316111

99 2019 0,289923511 0,08892921

100 2020 0,302470436 0,06314654

101 2021 0,315205839 0,04404658

102 2022 0,328313256 0,03016284

103 2023 0,341965728 0,02025998

104 2024 0,356185919 0,01333176

105 2025 0,370997438 0,00858318

106 2026 0,386424874 0,00539884

107 2027 0,402493840 0,00331259

108 2028 0,419231013 0,00197930

109 2029 0,436664178 0,00114951

110 2030 1,000000000 0,00064756

• De esta forma estructurada tenemos calculados todos los Lx desde los 88 hasta los 110 años

• Recordemos Lx es la probabilidad de estar vivo a la edad x

Como se inserta lo anterior dentro de nuestra fórmula

C = P * ∑ 1/(1+r)t-x * pt


• Lo que hemos hecho calculando los Lx es calcular todos los valores de pt de la fórmula anterior

C = P * ∑ 1/(1+r)t-x * Lt


Ahora determinamos Dx

• Dt lo definimos como el valor presente de la reserva para un período t a la edad 0 (con x<= t <=110)

Volviendo a nuestra formula

C = P * ∑ 1/(1+r)t-x * Lt


Si tomamos t=x tenemos:

Lx / (1+r)x-x = Lx = 1

Que es el valor presente de Lx a la edad x del cálculo (en nuestro ejemplo anterior 88 años)

Ahora determinamos Dx

Lx =1

Es el valor presente de Lx a la edad x del cálculo

Para calcular Dx, valor presente de Lx a la edad 0, debemos hacer lo siguiente:

Dx = Lx / (1+r)x

Dx = 1 / (1+r)x

Ahora determinamos Dt (para x<= t <= 110)


C = P * ∑ 1/(1+r)t-x * Lt


Si tomamos t cualquiera tenemos la reserva es:

Lt / (1+r)t-x

Que es el valor presente de Lt a la edad x del cálculo (en nuestro ejemplo anterior x=88 años)

Tenemos….

Dt = Lt / (1+r)t-x / (1+r)x = Lt / (1+r)t

Dt= Lt / (1+r)t => Lt= Dt * (1+r)t


C = P * ∑ 1/(1+r)t-x * Lt

La reescribimos como

C = P * ∑ 1/(1+r)t-x * Dt * (1+r)t

C = P * (1+r)x ∑ Dt


Ahora determinamos Dt (para x<= t <= 110)

Y ahora calculamos los Dx

Dx = Lx / (1+r)x-edad / (1+r) edad Dx = Lx / (1+r)x

• Conociendo los Lx, que ya calculamos, podemos calcular los Dx

• Usemos una tasa de 4% anual, que la que se utiliza para el año 2008 en el fondo C

• D89 = L89 / (1+0.04)89

• D90 = L90 / (1+0.04)90

• D91 = L91 / (1+0.04)91

• D92 = L92 / (1+0.04)92…..

• ….D109 = L109 / (1+0.04)109

• D110 = L110 / (1+0.04)110

• D111 = L111 / (1+0.04)111

• D111 = 0 / (1+0.04)111

Edad (x) Año q(x) L(x) Dx 88 2008 0,126988601 1,00000000 0,031700502

89 2009 0,138651292 0,87301140 0,026610481 90 2010 0,150991942 0,75196724 0,022039330 91 2011 0,164077881 0,63842625 0,017991893 92 2012 0,177926719 0,53367462 0,014461367

93 2013 0,192384360 0,43871965 0,011431061 94 2014 0,207575829 0,35431685 0,008876830 95 2015 0,223266185 0,28076923 0,006763668

96 2016 0,239916432 0,21808296 0,005051509 97 2017 0,256997090 0,16576127 0,003691893 98 2018 0,277944051 0,12316111 0,002637584 99 2019 0,289923511 0,08892921 0,001831234

100 2020 0,302470436 0,06314654 0,001250304 101 2021 0,315205839 0,04404658 0,000838581 102 2022 0,328313256 0,03016284 0,000552169 103 2023 0,341965728 0,02025998 0,000356619

104 2024 0,356185919 0,01333176 0,000225642 105 2025 0,370997438 0,00858318 0,000139684 106 2026 0,386424874 0,00539884 0,000084482 107 2027 0,402493840 0,00331259 0,000049843

108 2028 0,419231013 0,00197930 0,000028636 109 2029 0,436664178 0,00114951 0,000015991 110 2030 1,000000000 0,00064756 0,000008662

Cálculo de Nx

• Ya tenemos definidos y desarrolla la metodología para calcular los

• Lx y Dx

• Ahora nos falta el Nx

• Nx lo definiremos como

Nx = ∑ Dt


• Es decir el N88 = ∑ DtCon t variando de t=88 hasta t=110

Cálculo de Nx

Volviendo una vez más a nuestra formula……

C = P * (1+r)x ∑ DtCon t variando de t=x hasta t=110

La reescribimos así…..

C = P * (1+r) x * Nx

Cálculo de Nx

En nuestro ejemplo edad = 88

• C = (1+r) 88 * P * N88

• C = P * N88 * (1+r) 88

• C = P * 0.156637965 * (1+0.04) 88

• C = P * 0.156637965 * (1+0.04) 88

• C = P * 4.9411825

Edad (x) Año q(x) L(x) Dx Nx 88 2008 0,126988601 1,00000000 0,031700502 0,156637965 89 2009 0,138651292 0,87301140 0,026610481 0,124937463 90 2010 0,150991942 0,75196724 0,022039330 0,098326982 91 2011 0,164077881 0,63842625 0,017991893 0,076287653 92 2012 0,177926719 0,53367462 0,014461367 0,058295760 93 2013 0,192384360 0,43871965 0,011431061 0,043834393 94 2014 0,207575829 0,35431685 0,008876830 0,032403332 95 2015 0,223266185 0,28076923 0,006763668 0,023526502 96 2016 0,239916432 0,21808296 0,005051509 0,016762834 97 2017 0,256997090 0,16576127 0,003691893 0,011711325 98 2018 0,277944051 0,12316111 0,002637584 0,008019431 99 2019 0,289923511 0,08892921 0,001831234 0,005381847

100 2020 0,302470436 0,06314654 0,001250304 0,003550613 101 2021 0,315205839 0,04404658 0,000838581 0,002300309 102 2022 0,328313256 0,03016284 0,000552169 0,001461728 103 2023 0,341965728 0,02025998 0,000356619 0,000909560 104 2024 0,356185919 0,01333176 0,000225642 0,000552940 105 2025 0,370997438 0,00858318 0,000139684 0,000327298 106 2026 0,386424874 0,00539884 0,000084482 0,000187614 107 2027 0,402493840 0,00331259 0,000049843 0,000103132 108 2028 0,419231013 0,00197930 0,000028636 0,000053289 109 2029 0,436664178 0,00114951 0,000015991 0,000024653 110 2030 1,000000000 0,00064756 0,000008662 0,000008662

Cálculo de CNU

Volviendo una vez más a nuestra fórmula… que la habíamos escrito así….…

C = P * (1+r) x * Nx

Pero como Dx = Lx / (1+r)x y Lx=1

Podríamos reescribir la fórmula como

C = P * (1+r) x * Nx

C = P * Nx / Dx

Y ahora un último ajuste….

Entonces podemos decir que el CNU lo podemos escribir de la forma

Nx/Dx

Esta provisión se pagará en mensualidades a período anticipado, por lo tanto se produce

una condición de borde al final de la sobrevida, que implica un ajuste a nuestra fórmula

anterior, la que finalmente queda:

CNU = Nx/Dx – 11/24

Aplicación del Ajuste

En nuestro ejemplo edad = 88

• C = (1+r) 88 * P * N88

• C = P * N88 * (1+r) 88

• C = P * 0.156637965 * (1+0.04) 88

• C = P * 0.156637965 * (1+0.04) 88

• C = P * (4.9411825–11/24)

• C = P * (4.9411825–11/24)

• C = P * 4.4828492

Edad (x) Año q(x) L(x) Dx Nx 88 2008 0,126988601 1,00000000 0,031700502 0,156637965 89 2009 0,138651292 0,87301140 0,026610481 0,124937463 90 2010 0,150991942 0,75196724 0,022039330 0,098326982 91 2011 0,164077881 0,63842625 0,017991893 0,076287653 92 2012 0,177926719 0,53367462 0,014461367 0,058295760 93 2013 0,192384360 0,43871965 0,011431061 0,043834393 94 2014 0,207575829 0,35431685 0,008876830 0,032403332 95 2015 0,223266185 0,28076923 0,006763668 0,023526502 96 2016 0,239916432 0,21808296 0,005051509 0,016762834 97 2017 0,256997090 0,16576127 0,003691893 0,011711325 98 2018 0,277944051 0,12316111 0,002637584 0,008019431 99 2019 0,289923511 0,08892921 0,001831234 0,005381847

100 2020 0,302470436 0,06314654 0,001250304 0,003550613 101 2021 0,315205839 0,04404658 0,000838581 0,002300309 102 2022 0,328313256 0,03016284 0,000552169 0,001461728 103 2023 0,341965728 0,02025998 0,000356619 0,000909560 104 2024 0,356185919 0,01333176 0,000225642 0,000552940 105 2025 0,370997438 0,00858318 0,000139684 0,000327298 106 2026 0,386424874 0,00539884 0,000084482 0,000187614 107 2027 0,402493840 0,00331259 0,000049843 0,000103132 108 2028 0,419231013 0,00197930 0,000028636 0,000053289 109 2029 0,436664178 0,00114951 0,000015991 0,000024653 110 2030 1,000000000 0,00064756 0,000008662 0,000008662

Cálculo Períodos mayores a X

Si tenemos desarrollada la tabla, tenemos que

Cx = P * (1+r) x * Nx

¿Cómo calculamos el CNU para un perido x+n?

Cx = P * (1+r) x+n * Nx+n

Cx = P * Nx+n / Dx+n =>

CNU = Nx+n / Dx+n – 11/24

Entonces, desarrollando una vez la tabla,

podemos calcular todos los CNU hasta el final de la tabla de mortalidad

Cálculo de CNUEdad (x) Año q(x) L(x) Dx Nx CNUx

88 2008 0,126988601 1,00000000 0,031700502 0,156637965 4,482849123

89 2009 0,138651292 0,87301140 0,026610481 0,124937463 4,236713901

90 2010 0,150991942 0,75196724 0,022039330 0,098326982 4,003099169

91 2011 0,164077881 0,63842625 0,017991893 0,076287653 3,781779311

92 2012 0,177926719 0,53367462 0,014461367 0,058295760 3,572804348

93 2013 0,192384360 0,43871965 0,011431061 0,043834393 3,376340849

94 2014 0,207575829 0,35431685 0,008876830 0,032403332 3,191993633

95 2015 0,223266185 0,28076923 0,006763668 0,023526502 3,020031091

96 2016 0,239916432 0,21808296 0,005051509 0,016762834 2,860048013

97 2017 0,256997090 0,16576127 0,003691893 0,011711325 2,713839705

98 2018 0,277944051 0,12316111 0,002637584 0,008019431 2,582112310

99 2019 0,289923511 0,08892921 0,001831234 0,005381847 2,480585005

100 2020 0,302470436 0,06314654 0,001250304 0,003550613 2,381466470

101 2021 0,315205839 0,04404658 0,000838581 0,002300309 2,284764442

102 2022 0,328313256 0,03016284 0,000552169 0,001461728 2,188917170

103 2023 0,341965728 0,02025998 0,000356619 0,000909560 2,092171853

104 2024 0,356185919 0,01333176 0,000225642 0,000552940 1,992185525

105 2025 0,370997438 0,00858318 0,000139684 0,000327298 1,884795928

106 2026 0,386424874 0,00539884 0,000084482 0,000187614 1,762411884

107 2027 0,402493840 0,00331259 0,000049843 0,000103132 1,610810236

108 2028 0,419231013 0,00197930 0,000028636 0,000053289 1,402583569

109 2029 0,436664178 0,00114951 0,000015991 0,000024653 1,083335726

110 2030 1,000000000 0,00064756 0,000008662 0,000008662 0,541666667

Se obtiene todos los CNUS hasta el final de la tabla de mortalidad.

Esto es de especial utilidad para el cálculo de proyecciones de pensión.

Ejemplo…..

• Pensión anual de 10 millones por 40 años:

Con la primera aproximación

C = P * X => C = 10 * 40 = 400 mill

Con la segunda aproximación (tasa 4%)

C = P * ∑ 1/(1+r)x => C = 10 * 19.79 = 197.93 mill

Con la tercera aproximación (tasa 4%, 70 años al 09/2008)

C = P * ∑ 1/(1+r)x * px=> C = 10 * 10,728700491

= 107.29 mill

Cálculo para un grupo familiar

• Para el cálculo de capital necesario de un grupo familiar se debe considerar en forma separada el capital necesario para cada uno de los miembros

• A lo anterior, se debe restar una cantidad que corresponde al capital de la sobrevivencia conjunta de los miembros del grupo familiar.

• En general, se debe calcular una serie de Nx y Dx de acuerdo al tipo de beneficiario. Con estos valores calculados se aplican en las formulas contenidas en la circular 1535.

Entonces…..

• Ya sabemos que la fórmula general para un CNU es:

• CNUx = (Nx/Dx-11/24)Con x la edad del causante

• Para el CNU de la cónyuge, usamos la misma fórmula:

• CNUy = 0,6 * (Ny/Dy – 11/24) (a)Con y la edad del cónyuge

• Para el CNU conjunto usamos también la misma formula:

• CNUxy = 0,6 * (Nxy/Dxy – 11/24) (b)Con xy la “edad conjunto”

• (a) - (b), nos queda que el CNU del cónyuge es:

• CNUy = 0,6 * (Ny/Dy – Nxy/Dxy) (c)Con y la edad de la cónyuge xy la “edad conjunto”

Esta es la fórmula que aparece en la circular 1535 para cónyuge sin hijos con derecho a pensión

¿Cómo se origina está fórmula?

• Si sólo sumamos ambas reserva, estamos pagando ambas pensiones en forma simultánea, que estando vivo el causante no procede, por cuanto la cónyuge no recibe pensión hasta que este fallezca.

• Por lo tanto a la reserva compuesta por la suma de las dos anteriores, debemos restarle una “reserva” equivalente a la sobrevivencia conjunta de ambos integrantes del grupo familiar.

¿Cómo calculamos los Dxy y Nxy?

Determinación de Pxy

• Como vimos antes, ya tenemos avanzado el cálculo de causante y la cónyuge, por lo tanto las tablas de Lx y Ly ya las tenemos.

• Volvamos al ejemplo de causante hombre de 88 años y cónyuge de 80

Cálculo de LxyEdad (y) Ly Edad (x) Lx Lxy/100000

80 1,00000000 88 1,000000000 0,00100000 81 0,96799698 89 0,873011399 0,00084507 82 0,93377736 90 0,751967241 0,00070217 83 0,89728227 91 0,638426247 0,00057285 84 0,85848919 92 0,533674621 0,00045815 85 0,81742004 93 0,438719647 0,00035862 86 0,77414986 94 0,354316848 0,00027429 87 0,72881511 95 0,280769235 0,00020463 88 0,68162075 96 0,218082959 0,00014865 89 0,63284590 97 0,165761273 0,00010490 90 0,58284673 98 0,123161108 0,00007178 91 0,53205580 99 0,088929211 0,00004732 92 0,48097707 100 0,063146542 0,00003037 93 0,43017557 101 0,044046580 0,00001895 94 0,38026131 102 0,030162841 0,00001147 95 0,33186747 103 0,020259980 0,00000672 96 0,28562337 104 0,013331761 0,00000381 97 0,24212390 105 0,008583176 0,00000208 98 0,20189759 106 0,005398839 0,00000109 99 0,16537617 107 0,003312594 0,00000055

100 0,13252536 108 0,001979295 0,00000026 101 0,10339232 109 0,001149513 0,00000012 102 0,07881216 110 0,000647562 0,00000005 103 0,05858991 104 0,04239637 105 0,02979866 106 0,02029733 107 0,01336538 108 0,00848987 109 0,00518756 110 0,00303955

• Los Ly y Lx ya están calculados, para determinar Lxy lo hacemos por medio de la siguiente fórmula:

Lxy = Ly * Lx /100.000

• La tabla conjunta de Lxy es hasta que uno de los dos cumple los 110, ya que hasta esa edad el L comienza a ser 0

• Recordemos que estamos buscando los términos Nxy y Dxy para la fórmula de la cónyuge:

• CNU c = 0,6 * (Ny/Dy – Nxy/Dxy)

Cálculo de DxyEdad (y) Ly Edad (x) Lx Lxy/100000 Dxy

80 1,00000000 88 1,000000000 0,00100000 0,000037085

81 0,96799698 89 0,873011399 0,00084507 0,000030134

82 0,93377736 90 0,751967241 0,00070217 0,000024075

83 0,89728227 91 0,638426247 0,00057285 0,000018886

84 0,85848919 92 0,533674621 0,00045815 0,000014524

85 0,81742004 93 0,438719647 0,00035862 0,000010931

86 0,77414986 94 0,354316848 0,00027429 0,000008039

87 0,72881511 95 0,280769235 0,00020463 0,000005767

88 0,68162075 96 0,218082959 0,00014865 0,000004028

89 0,63284590 97 0,165761273 0,00010490 0,000002733

90 0,58284673 98 0,123161108 0,00007178 0,000001798

91 0,53205580 99 0,088929211 0,00004732 0,000001140

92 0,48097707 100 0,063146542 0,00003037 0,000000704

93 0,43017557 101 0,044046580 0,00001895 0,000000422

94 0,38026131 102 0,030162841 0,00001147 0,000000246

95 0,33186747 103 0,020259980 0,00000672 0,000000138

96 0,28562337 104 0,013331761 0,00000381 0,000000075

97 0,24212390 105 0,008583176 0,00000208 0,000000040

98 0,20189759 106 0,005398839 0,00000109 0,000000020

99 0,16537617 107 0,003312594 0,00000055 0,000000010

100 0,13252536 108 0,001979295 0,00000026 0,000000004

101 0,10339232 109 0,001149513 0,00000012 0,000000002

102 0,07881216 110 0,000647562 0,00000005 0,000000001

• Dx es valor presenta a la edad 0

• Aquí tenemos un conjunto y dijimos antes que xy era la “edad del conjunto”

• Definiremos la edad del conjunto (x+y)/2

• Dxy se definirá como el valor presente de Lxy a la edad cero del conjunto

• Dxy = Lxy / (1+tasa) (x+y)/2

• D88,80 =

L88,80 / (1+tasa) (88+80)/2

Cálculo de NxyEdad (y) Ly Edad (x) Lx Lxy/100000 Dxy Nxy

80 1,00000000 88 1,000000000 0,00100000 0,000037085 0,0001608026

81 0,96799698 89 0,873011399 0,00084507 0,000030134 0,0001237175

82 0,93377736 90 0,751967241 0,00070217 0,000024075 0,0000935833

83 0,89728227 91 0,638426247 0,00057285 0,000018886 0,0000695078

84 0,85848919 92 0,533674621 0,00045815 0,000014524 0,0000506218

85 0,81742004 93 0,438719647 0,00035862 0,000010931 0,0000360981

86 0,77414986 94 0,354316848 0,00027429 0,000008039 0,0000251670

87 0,72881511 95 0,280769235 0,00020463 0,000005767 0,0000171277

88 0,68162075 96 0,218082959 0,00014865 0,000004028 0,0000113609

89 0,63284590 97 0,165761273 0,00010490 0,000002733 0,0000073328

90 0,58284673 98 0,123161108 0,00007178 0,000001798 0,0000045996

91 0,53205580 99 0,088929211 0,00004732 0,000001140 0,0000028012

92 0,48097707 100 0,063146542 0,00003037 0,000000704 0,0000016613

93 0,43017557 101 0,044046580 0,00001895 0,000000422 0,0000009578

94 0,38026131 102 0,030162841 0,00001147 0,000000246 0,0000005358

95 0,33186747 103 0,020259980 0,00000672 0,000000138 0,0000002902

96 0,28562337 104 0,013331761 0,00000381 0,000000075 0,0000001517

97 0,24212390 105 0,008583176 0,00000208 0,000000040 0,0000000763

98 0,20189759 106 0,005398839 0,00000109 0,000000020 0,0000000368

99 0,16537617 107 0,003312594 0,00000055 0,000000010 0,0000000168

100 0,13252536 108 0,001979295 0,00000026 0,000000004 0,0000000072

101 0,10339232 109 0,001149513 0,00000012 0,000000002 0,0000000027

102 0,07881216 110 0,000647562 0,00000005 0,000000001 0,0000000008

• Nx = ∑ Dx• Aquí aplicamos lo

mismo• Nxy = ∑ Dxy

Entonces el CNU del cónyuge

CNUy = 0,6 * (Ny/Dy – Nxy/Dxy)

Con y la edad de la cónyuge, xy la “edad conjunto”

CNU80 = 0,6 * (N80/D80 – N88,80/D88,80)

CNU80 = 0,6 * (0,41088254110 / 0,04338432613 –

0,00016080259 / 0,00003708510)

CNU80 = 3,08083043

Esta es la fórmula que aparece en la circular 1535 para cónyuge sin hijos con derecho a pensión

Formula General de un CNU

• En términos generales la expresión:

(Nx/Dx-11/24)

• Es la reserva de capital unitario desde la edad x hasta el final de la tabla respectiva, es decir hasta los 110 años, calculado a la edad x.

Cuando x es igual a la edad que tiene al momento del cálculo, los valores Nx y Dx están el la primera fila de la

tabla y Dx=1

¿Cómo se construyen las fórmulas?

• Nx valor presente de los flujos desde edad x hasta los 110 años

• Dx es un factor de actualización que opera de la siguiente manera:

• Si multiplico por Dx, calcula el valor en el periodo x a valor presente en el año 0

• Si divido por Dx, calcula el valor en año 0 actualizado al año x

Esquema gráfico (causante y cónyuge, sin hijos)

0 años

X añosFecha de cálculo

CNU= Nx/Dx-11/24Dx = 1

Calculado en X

Causante P=1

0 años

Y añosFecha de cálculo

CNU= Ny/Dy-11/24Dy = 1

Calculado en y

Cónyuge

P=0,6

0 añosXY años

Fecha de cálculo

CNU= Nxy/Dxy-11/24Dxy <> 1

Calculado en y

ConjuntaSe resta al cónyuge

P=0,6

Hijo No Inválido y Causante con Cónyuge con derecho a Pensión

0 años

X añosFecha de cálculo

CNU= Nx/Dx-11/24Dx = 1

Calculado en X

Causante P=1

0 años

Y añosFecha de cálculo

CNU= Nh/Dh-11/24Dh = 1

Calculado en h

Hijo

P=0,15

0 añosXY años

Fecha de cálculo

CNU= Nxh/Dxh-11/24Dxy <> 1

Calculado en y

ConjuntaSe resta al

hijoP=0,15

24 años

CNU= (N24/D24-11/24)*D24/Dh

CNU= (Nx’24/Dx´24-11/24)*Dx´24/Dxh

Hijo No Inválido y Causante con Cónyuge con derecho a Pensión

• CNU del hijo es:

0,15 *[ (Nh/Dh-11/24) - (N24/D24-11/24)*D24/Dh

- ( (Nxh/Dxh-11/24) - (Nx’24/Dx´24-11/24)*Dx´24/Dxh)]

• Reordenando

0,15 *[ {(Nh-N24) – 11/24*(Dh-D24)}/Dh- {(Nxh-Nx´24) – 11/24*(Dxh-

Dx´24)}/Dxh]

Cónyuge con Hijos No Inválidos y Causante con Cónyuge con derecho a Pensión

Cálculo de CNU

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