TRIGONOMETRÍA

Matemáticas PreuniversitariasConsuelo Díaz Torres

Medición de distancias en la tierra

La distancia entre dos puntos A y B de la tierra se mide a lo largo de una circunferencia cuyo centro es C, situado en el centro del globo, y radio igual a la distancia de C a la superficie. Si el diámetro del planeta es aproximadamente 8000 millas, ¿cómo se puede calcular la distancia entre A y B si el ángulo ACB mide 45°?

B

A

C

Movimiento del péndulo

El péndulo del reloj mide 4 pies de largo y se mueve en ambos sentidos a lo largo de un arco de 6 pies ¿Cómo se puede calcular el ángulo por el que pasa el péndulo durante un movimiento?

Distancia al Monte Fuji El Monte Fuji, en Japón, mide aproximadamente 12400 pies de altura.

Un turista que está a varias millas de distancia de esa montaña (y que sabe trigonometría) desea calcular la distancia que le falta para llegar a la base de ésta, para lo cual observa que el ángulo entre el nivel del suelo y la cima de la montaña es de 30°. ¿Cuál es la distancia que le falta para llegar?

30°

Angulos Angulo: Conjunto de puntos determinados por 2

semirectas, l1 y l2, con un punto extremo en común llamado vértice.

Los ángulos se denotan como o por letras griegas , , , etc.

O l1

l2

A

B

AOB

Clasificación de ángulos

Agudo entre 0° y 90°

Obtuso entre 90° y 180°

Recto 90°

Llano 180°

Complementariossuma = 90°

Suplementarios suma = 180°

Medición de ángulos Grados hasta milésimas 38.425° Grados, minutos y segundos 38°25’30’’ Radianes 0.6706 radianes

Radián: es la medida del ángulo central de un círculo subtendido por un arco igual en longitud al radio del círculo.

La circunferencia del círculo de radio r es 2r, entonces el número de veces que r unidades se pueden trazar en la circunferencia es 2. Por tanto en 360° se puede trazar 2 veces el radio, es decir

360° = 2 radianes

1 radián

Relación entre grados y radianes

1801

180

180

radianes

radianes

1 radián

Ejercicios: Haz las siguientes conversiones 45° =

90° =

150° =

236

32

Definición de Radián

Un radián es la medida de un ángulo con vértice en el centro de un círculo y cuyos lados interceptan un arco de una circunferencia de longitud igual a radio.

En geometría se demuestra que los ángulos en el centro son proporcionales a los arcos que interceptan. De la figura,

r

C

r

1 rad

OA

B

AOC = 180º, AOB = 1 radián y ABC es una semicircunferencia cuya longitud es r.

rr

radián1180

1801

180radián1

180radianes

Longitud de Arco Una de las muchas aplicaciones del radián como unidad angular, es el

cálculo de longitudes de arco. Sea s el arco de una circunferencia de radio r, interceptado por un ángulo de radianes.

Por geometría se sabe que en una circunferencia los arcos son proporcionales a sus ángulos centrales; si el ángulo AOB mide un radián, el arco AB tiene longitud r.

Aplicaciones

r

O

rC

1 radA

D

s

B

Entonces podemos establecer la proporcionalidad

de donde

s = r; para en radianes. Ejmplo: Encuentra la longitud de un arco de circunferencia subtendido

por un ángulo central de 67º, si el radio mide 20 cm. Solución: Expresamos primero el ángulo en radianes:

67º = 1.17 radianes Entonces

s = (20)(1.17) = 23.4cm

radián1radianes

rs

Otras aplicaciones

Area de un sector circular Si es la medida en radianes de un ángulo central de una

circunferencia de radio r, y si A es el área de un sector circular determinado por , entonces

Ejercicio:

Calcula el área del sector circular del ejemplo anterior.

221 rA

Otras aplicacionesRapidez angular La rapidez angular de una rueda que gira a razón constante

es el ángulo generado, en una unidad de tiempo, por un segmento de recta que va del centro de la rueda a un punto P de la circunferencia.

Rapidez lineal La rapidez lineal de un punto P de la circunferencia es la

distancia que P recorre por unidad de tiempo.

O

P

P’

d

Ejemplo

Una máquina que contiene una rueda de 3 pies de diámetro gira con una rapidez de 1600 revoluciones por minuto (rpm).

a) Determina la rapidez angular de la rueda.

b) Determina la rapidez lineal de un punto P sobre la circunferencia de la rueda.

Solución:

a) Dado que el número de revoluciones por minuto es 1600 y cada revolución genera un ángulo de 2 radianes, el ángulo generado por el segmento de recta OP en un minuto medirá (1600)(2) radianes, es decir,

Rapidez angular = (1600)(2) = 3200 radianes por minuto.

b) La rapidez lineal de P es la distancia que recorre por minuto. Se puede encontrar esta distancia con la fórmula

s = r, con r = 3/2 pies y = 3200, por tanto,

y, en consecuencia, la rapidez lineal de P es 4800 pies/minuto.

4800)3200(23

s

Medición de distancias en la tierra

Ejercicio:

Si el diámetro del planeta es aproximadamente 8000 millas, ¿cómo se puede calcular la distancia entre A y B si el ángulo ACB mide 45°?

B

A

C

Movimiento del péndulo

Ejercicio:

El péndulo del reloj mide 4 pies de largo y se mueve en ambos sentidos a lo largo de un arco de 6 pies ¿Cómo se puede calcular el ángulo por el que pasa el péndulo durante un movimiento?

Funciones trigonométricas en el triángulo rectángulo

caco

tan

hca

cos

hco

sen

coca

cot

cah

sec

coh

csc

Estas definiciones son independientes del tamaño del triángulo, solamente dependen del ángulo.

3 6

4 85

10

6

8

3

4tan

10

6

5

3cos

10

8

5

4sen

Ejercicios:

1. Considera un triángulo equilátero de longitud 2. Calcula los valores de las funciones trigonométricas de

= 30°y = 60°

2. Considera un triángulo rectángulo de longitud 1 en ambos catetos. Calcula los valores de las funciones trigonométricas de = 45°.

2 2

2

1

1

Distancia al Monte FujiEjercicio:

El Monte Fuji, en Japón, mide aproximadamente 12400 pies de altura. Un turista que está a varias millas de distancia de esa montaña (y que sabe trigonometría) desea calcular la distancia que le falta para llegar a la base de ésta, para lo cual observa que el ángulo entre el nivel del suelo y la cima de la montaña es de 30°. ¿Cuál es la distancia que le falta para llegar?

30°

Funciones trigonométricas de ángulos que no son agudos

En un sistema de coordenadas rectangulares se acostumbra representar un ángulo en “forma estándar” colocando el vértice en el origen y el lado inicial en el semieje positivo de las absisas.

-

ángulo positivo ángulo negativo

Círculo unitario

Círculo con un radio de una unidad

(1,0 )

(0,1)

(-1,0)

(0,-1)

(x2,y2)

(x1,y1)

1

1

1

1

1

1

1

1

yx

cot

x1

sec

y1

csc

xy

tan

xcos

ysen

2

2

2

2

2

2

2

2

yx

cot

x1

sec

y1

csc

xy

tan

xcos

ysen

Ejercicios:

1. Traza en tu cuaderno un circulo unitario y calcula los valores de las funciones trigonométricas de los siguientes ángulos

a) 90° b) 180°

c) 270° d) 360°

d) 45° e) 135°

g) 225° h) 315°

h) 60° i) 150°

j) 240° k) 330°

l) 0°

2. Haz una tabla en la que se indique la medida del ángulo en grados, en radianes y los valores de las funciones trigonométricas.

Signo de la funciones trigonométricas

El signo de las funciones trigonométricas depende del cuadrante en el que esté el lado final del ángulo.

Cuadrantes

III

III IV

CuadranteFunción I II III IVSeno + + - -Coseno + - - +Tangente + - + -

Angulos Valores de las Funciones TrigonométricasGrados Radianes Seno Coseno Tangente Cosecante Secante Cotangente0° 0 0.000 1.000 0.000 #¡DIV/0! 1.000 #¡DIV/0!30° (1/6) 0.500 0.866 0.577 2.000 1.155 1.73245° (1/4) 0.707 0.707 1.000 1.414 1.414 1.00060° (1/3) 0.866 0.500 1.732 1.155 2.000 0.57790° (1/2) 1.000 0.000 #¡DIV/0! 1.000 #¡DIV/0! #¡DIV/0!120° (2/3) 0.866 -0.500 -1.732 1.155 -2.000 -0.577135° (3/4) 0.707 -0.707 -1.000 1.414 -1.414 -1.000150° (5/6) 0.500 -0.866 -0.577 2.000 -1.155 -1.732180° 0.000 -1.000 0.000 #¡DIV/0! -1.000 #¡DIV/0!210° (7/6) -0.500 -0.866 0.577 -2.000 -1.155 1.732225° (5/4) -0.707 -0.707 1.000 -1.414 -1.414 1.000240° (4/3) -0.866 -0.500 1.732 -1.155 -2.000 0.577270° (3/2) -1.000 0.000 #¡DIV/0! -1.000 #¡DIV/0! #¡DIV/0!300° (5/3) -0.866 0.500 -1.732 -1.155 2.000 -0.577315° (7/4) -0.707 0.707 -1.000 -1.414 1.414 -1.000330° (11/6) -0.500 0.866 -0.577 -2.000 1.155 -1.732360° 2 0.000 1.000 0.000 #¡DIV/0! 1.000 #¡DIV/0!