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Calculo
La integral indefinida
Metodos de integracion
Integracion de funciones deuna variable real
Integracion impropia
Aplicaciones de la integral
Calculo
Febrero, 2005
Calculo
La integral indefinida
Metodos de integracion
Integracion de funciones deuna variable real
Integracion impropia
Aplicaciones de la integral
Indice general
Calculo
La integral indefinida
Metodos de integracion
Integracion de funciones deuna variable real
Integracion impropia
Aplicaciones de la integral
La integral indefinida
Seaf : I −→ IR.
DefinicionDiremos que F esprimitiva de f en I si
F′(x) = f (x), ∀x∈ I .
TeoremaSi F y G son dos primitivas de una misma funcion f en un intervalo I,entonces,
∃k∈ IR/
F(x) = G(x)+k, ∀x∈ I .
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La integral indefinida
DefinicionDada una funcion f : I −→ IR, llamaremosintegral indefinida de fal conjunto de todas sus primitivas, y escribiremos:∫
f (x)dx={
F/
F′(x) = f (x), ∀x∈ I}
.
I En consecuencia, si conocemos una primitivaF def , conocemostodas: ∫
f (x)dx= {F +k, ∀k∈ IR} .
Propiedad (linealidad de la integral)
I
∫[f (x)+g(x)] dx=
∫f (x)dx+
∫g(x)dx
I
∫α f (x)dx= α
∫f (x)dx, ∀α ∈ IR
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Integrales inmediatas
∫f (x)mf ′(x)dx=
1m+1
f (x)m+1 +C, m 6=−1∫f ′(x)f (x)
dx= ln |f (x)|+C
∫ef (x) f ′(x)dx= ef (x) +C ∫
af (x) f ′(x)dx=af (x)
lna+C, a > 0,a 6= 1
∫[sinf (x)] f ′(x)dx=−cosf (x)+C∫
[cosf (x)] f ′(x)dx= sinf (x)+C
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Integrales inmediatas
∫f ′(x)
1+ f 2(x)dx= arctanf (x)+C ∫
f ′(x)√1− f 2(x)
dx= arcsinf (x)+C
∫f ′(x)
sin2 f (x)dx=−cotf (x)+C ∫
f ′(x)cos2 f (x)
dx= tanf (x)+C
∫[tanf (x)] f ′(x)dx=− ln |cosf (x)|+C∫
[cotf (x)] f ′(x)dx= ln |sinf (x)|+C
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Integracion por partes
∫u(x)v′(x)dx= (uv)(x)−
∫v(x)u′(x)dx
o, equivalentemente,∫udv= uv−
∫vdu
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Integracion por cambio de variable
Sean:f : [a,b]−→ IR integrable,ϕ : [α,β ]−→ IR inyectiva, con derivada continua y tal que:
ϕ ([α,β ])⊂ [a,b]
Entonces ∫f (x)dx=
∫f [ϕ(t)]ϕ ′(t)dt
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Integrales racionales
Son integrales del tipo∫
P(x)Q(x)
dx, siendoP y Q polinomios
I Si gr(P)≥ gr(Q), debemos calcular el cociente de lospolinomios para expresarlo en la forma:
P(x)Q(x)
= C(x)+R(x)Q(x)
I Si gr(P) < gr(Q), podemos encontrar cuatro situaciones:(a) Todas las raıces son reales y simples(b) Todas las raıces son reales y alguna es multiple(c) Algunas raıces son complejas y simples(d) Algunas raıces son complejas y multiples.
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Integrales racionales
Todas las raıces sonrealesy simples.
Entonces, podemos hacer:
Q(x) = (x−a1)(x−a2) . . . (x−an)
Se descompone el cociente como sigue:
P(x)Q(x)
=A1
x−a1+
A2
x−a2+ . . .+
An
x−an
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Integrales racionales
Todas las raıces sonrealesy alguna es multiple
El polinomioQ puede factorizarse en la forma:
Q(x) = (x−a1)α1 (x−a2)α2 . . . (x−ar)αr ,
donde∑ri=1 αi = gr(Q)
Se descompone el cociente como sigue:
P(x)Q(x)
=A11
(x−a1)+
A12
(x−a1)2 + . . .+A1α1
(x−a1)α1+
+A21
(x−a2)+
A22
(x−a2)2 + . . .+A2α2
(x−a2)α2+ . . .+
+Ar1
(x−ar)+
Ar2
(x−ar)2 + . . .+Arαr
(x−ar)αr
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Algunas raıces soncomplejas simples.
Toda raız compleja siempre aparece con su conjugada
Para cada raız compleja tendremos un termino de la forma:
(x− (r +si)) (x− (r−si)) = (x− r)2 +s2
El desarrollo deQ(x) tendra entonces la forma:
Q(x) = (x−a1) (x−a2) . . . (x−an)((x− r)2 +s2
)y la descomposicion del cociente sera:
P(x)Q(x)
=A1
x−a1+
A2
x−a2+ . . .+
An
x−an+
Ax+B(x− r)2 +s2
Finalmente,∫Ax+B
(x− r)2 +s2 dx=A2
ln[(x− r)2 +s2
]+
Ar +Bs
arctanx− r
s+C
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Integrales trigonometricas
Son integrales del tipo∫
R(senx,cosx) dx, dondeRdenota una
funcion que combina operaciones racionales.Por ejemplo:
∫1
cos2x+senxdx,
∫sen2x+cos3x
1− tan5xdx
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Integrales trigonometricasEstas integrales se reducen a integrales racionales con los siguientescambios:
I CasoR(senx,−cosx) =−R(senx,cosx): se hace el cambiot = senx:
cosx =√
1− t2 dx=1√
1− t2dt
I CasoR(−senx,cosx) =−R(senx,cosx): se hace el cambiot = cosx:
senx =√
1− t2 dx=− 1√1− t2
dt
I CasoR(−senx,−cosx) = R(senx,cosx): se hace el cambiot = tanx:
senx=t√
1+ t2cosx=
1√1+ t2
dx=1
1+ t2dt
I En otro caso se realiza el cambio trigonometrico universalt = tan
(x2
):
senx =2t
1+ t2cosx =
1− t2
1+ t2dx=
21+ t2
dt
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Integrales irracionales
I
∫R
(x,
(ax+bcx+d
)m/n
, . . . ,
(ax+bcx+d
)r/s)
dx
ax+bcx+d
= tα , α = mcm(n, ...,s)
I
∫R(
x,√−ax2 +c
)dx
x =√
c√a
sent
I
∫R(
x,√
ax2−c)
dx
x =√
c√a
sect
I
∫R(
x,√
ax2 +c)
dx
x =√
c√a
tant
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Particiones
Sea un intervalo[a,b]⊂ IR.
DefinicionLlamamospartici on P de[a,b] al conjunto de puntos{x0,x1, . . . ,xn}que verifica:
a = x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ . . .≤ xn−1 ≤ xn = b
DefinicionLa particion P∗ es unrefinamiento de P si P⊂ P∗: todos los puntosde P estan en la particion P∗.
DefinicionLlamamosconjunto de las particionesP[a,b] al conjunto de todaslas particiones posibles del intervalo[a,b].
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Seaf una funcion realy acotadaen el intervalo[a,b] y seaP unaparticion.
Mi = supxi−1≤x≤xi
f (x) mi = ınfxi−1≤x≤xi
f (x).
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Sumas de Riemann
Seaf : [a,b]−→ IR una funcion acotada.
DefinicionLlamamossuma superior de Riemanny suma inferior deRiemannde la funcion f relativas a la particion P a:
U(P, f ) =n
∑i=1
Mi(xi−xi−1) L(P, f ) =n
∑i=1
mi(xi−xi−1)
I Asimismo, se definen lassumas intermedias:
n
∑i=1
f (ξi)(xi −xi−1), ξi ∈ [xi−1,xi ]
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Sumas de Riemann
PropiedadL(P, f )≤ U(P, f ), ∀P∈P[a,b].
TeoremaSi P∗ es un refinamiento de P, entonces:
L(P∗, f )≥ L(P, f ) y U(P∗, f )≤ U(P, f )
PropiedadL(P1, f )≤ U(P2, f ), ∀P1,P2 ∈P[a,b].
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La integral de Riemann
DefinicionLlamamosintegral superior de Riemanne integral inferior deRiemannde la funcion f en el intervalo[a,b] a:
∫ b
af dx= ınf
P∈P[a,b]U(P, f )
∫ b
af dx= sup
P∈P[a,b]L(P, f )
TeoremaPara toda funcion f real y acotada,
∫ b
af dx≤
∫ b
af dx.
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La integral de Riemann
DefinicionSi las integrales superior e inferior de Riemann de una funcioncoinciden, llamamos a este valorintegral de Riemannde f en elintervalo[a,b]: ∫ b
af dx=
∫ b
af dx=
∫ b
af dx
y decimos que f esintegrable segun Riemann: f ∈R[a,b].
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Aplicaciones de la integralInterpretacion graficaDada una funcion positiva en un intervalo[a,b], su integral deRiemann representa elarea encerradapor la curvay = f (x) y el ejey = 0, entre las abscisasx = a y x = b.
Teorema (Existencia de la integral de Riemann)La funcion f es integrable en[a,b] en el sentido de Riemann si y solosi:
∀ε > 0, ∃P∈P[a,b] tal que U(P, f )−L(P, f ) < ε.
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Teorema (de integrabilidad)
I Toda funcioncontinua en[a,b] es integrable en dicho intervalo
=⇒ Toda funcionderivable es continua, y por lo tantointegrable
I Toda funcionmonotonay acotadaen[a,b] es integrable endicho intervalo
I Toda funcionacotadaen[a,b] que presenta en dicho intervaloun numero finito de puntos de discontinuidad, es integrable en[a,b]
I Sea f una funcion integrable en[a,b] en el sentido de Riemann,y tal que:
m≤ f (x)≤M, ∀x∈ [a,b].
Si g escontinua en[m,M], entonces lafuncion compuesta(g◦ f ) es integrable en[a,b]
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PropiedadSean f,g∈R[a,b]
I (f ±g) ∈R[a,b] y (cf) ∈R[a,b], ∀c∈ IR, y se cumple:∫ b
a(f±g)dx=
∫ b
af dx±
∫ b
agdx
∫ b
acf dx= c
∫ b
af dx
I Si f(x)≤ g(x) en[a,b], entonces∫ b
af dx≤
∫ b
agdx
I Si a< c < b, entonces f∈R[a,c] y f ∈R[c,b], y se verifica:∫ b
af dx=
∫ c
af dx+
∫ b
cf dx
I Si |f (x)| ≤M, ∀x∈ [a,b], entonces∫ b
af dx≤M(b−a)
I fg∈R[a,b]
I |f | ∈R[a,b], y se cumple:
∣∣∣∣∫ b
af dx
∣∣∣∣≤ ∫ b
a|f |dx
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Teorema (del cambio de variable)Sea f∈R[a,b], y g una funcion real de claseC 1([c,d]). Sig([c,d])⊂ [a,b], se verifica:∫ g(d)
g(c)f (t)dt =
∫ d
cf (g(x))g′(x)dx
Teorema (del valor medio)Sea f∈R[a,b], y llamemos:
M = supx∈[a,b]
f (x) m= ınfx∈[a,b]
f (x)
Entonces,∃c∈ IR, m≤ c≤M tal que:∫ b
af dx= c(b−a).
Ademas, si f es continua en[a,b], ∃x0 ∈ [a,b] tal que c= f (x0).
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Teorema (fundamental del calculo)Sea f∈R[a,b]. Para a≤ x≤ b, llamemos:
F(x) =∫ x
af (t)dt.
Entonces, F∈ C [a,b]. Ademas, si f es continua en[a,b], F esderivable en[a,b], y F′(x) = f (x), ∀x∈ [a,b].
Tambien puede enunciarse de la siguiente manera: sif : I −→ IRes continua enI , entonces tiene primitivas enI ; una de ellas es laintegral definidaF dada por:
F(x) =∫ x
af (t)dt
dondea∈ I es cualquiera.
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DEMOSTRACION
(a) Seac∈ [a,b]. Por la definicion deF, tenemos:
F(c+∆x)−F(c) =∫ c+∆x
af (t)dt−
∫ c
af (t)dt =
=∫ c
af (t)dt+
∫ c+∆x
cf (t)dt−
∫ c
af (t)dt =
=∫ c+∆x
cf (t)dt = µ ∆x, µ ∈ [m,M]
Por lo tanto,
lım∆x→0
[F(c+∆x)−F(c)] = l ım∆x→0
µ ∆x = 0
lım∆x→0
F(c+∆x) = l ım∆x→0
F(c) = F(c)
l ımx→c
F(x) = F(c)
o, lo que es lo mismo,F es continua enc∈ [a,b]. Puesto que laigualdad es valida para cualquier puntoc, F es continua en[a,b].
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(b) Por serf continua,
F(c+∆x)−F(c) = f (ξ )∆x , ξ ∈ [c,c+∆x]F(c+∆x)−F(c)
∆x= f (ξ ) , ξ ∈ [c,c+∆x]
l ım∆x→0
F(c+∆x)−F(c)∆x
= F′(c) = f (c) = l ım∆x→0
f (ξ )
Como la igualdad es valida para cualquierc∈ [a,b],
F′(x) = f (x) , ∀x∈ [a,b]
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Regla de BarrowSi f ∈R[a,b] y existe una funcionF derivable en[a,b] tal queF′ = f ,entonces: ∫ b
af (x)dx= F(x)
∣∣∣∣ba= F(b)−F(a).
Teorema (Integracion por partes)Si F y G son dos funciones derivables en[a,b], y se tiene:{
F′ = f
G′ = gen[a,b]
siendo f y g integrables en[a,b], entonces,∫ b
aF(x)g(x)dx= F(b)G(b)−F(a)G(a)−
∫ b
af (x)G(x)dx.
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Aplicaciones de la integralTeorema
Sea la funcion F dada por la integral definida:
F(x) =∫ b(x)
a(x)f (t)dt.
La derivada de F con respecto a x viene dada por:
F′(x) = f (b(x))b′(x)− f (a(x))a′(x).
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DefinicionLa integral
∫ b
af (x)dx se denominaimpropia si tiene al menos una
de las condiciones siguientes:I el intervalo(a,b) no es acotado
I f no esta acotada en(a,b).
Clasificamos las integrales impropias en3 tipos.
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Integrales impropias de primera especieSeaf : (−∞,b]−→ IR integrable en[m,b], ∀m≤ b. Definimos:∫ b
−∞f (x)dx= l ım
m→−∞
∫ b
mf (x)dx
si existe el lımite, en cuyo caso la integral se denominaconvergente.
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Integrales impropias de primera especieDe igual forma se definen:∫ +∞
af (x)dx= l ım
M→+∞
∫ M
af (x)dx∫ +∞
−∞f (x)dx=
∫ a
−∞f (x)dx+
∫ +∞
af (x)dx
si ambas integrales convergen. Las definiciones no dependen dea∈ IR.
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Integrales impropias de segunda especie
Consideramos la funcion f : [a,b]−→ IR no acotada en uno delos extremos del intervalo, por ejemplo ena. Si f es integrableen[t,b] para todot tal quea≤ t ≤ b, entonces definimos:∫ b
af (x)dx= l ım
t→a
∫ b
tf (x)dx
si existe el lımite, en cuyo caso la integral se denominaconvergente.
Si la funcion pierde el caracter acotado en un puntoc∈ (a,b),definimos: ∫ b
af (x)dx=
∫ c
af (x)dx+
∫ b
cf (x)dx
donde las dosultimas integrales se han descrito anteriormente.
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Integrales impropias de segunda especie
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Integrales impropias de tercera especie
Corresponden a unintervalo no acotadoy unafuncion noacotadaen un numero finito de puntos del intervalo.
Ejemplo ∫ ∞
0
1x
dx.
Se reduce a los casos anteriores de la siguiente forma:∫ ∞
0
1x
dx=∫ 1
0
1x
dx︸ ︷︷ ︸2a especie
+∫ ∞
1
1x
dx︸ ︷︷ ︸1a especie
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Area de superficies planas
Sean las funcionesf ,g : [a,b]−→ IR integrables. Entonces elareaA limitada por los grafos de ambas, las rectasx = a y x = bviene dada por:
A =∫ b
a|f (x)−g(x)| dx
I Caso particular: g(x) = 0, luegoA =∫ b
a|f (x)| dx
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Longitud de un arco de curva
Seaf ∈ C 1([a,b], IR). La longitud ` del grafo def que une los puntos(a, f (a)) y (b, f (b)) es:
` =∫ b
a
√1+ f ′(x)2dx
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Longitud de un arco de curva
DEMOSTRACION. Aproximamos mediante la longitud de una lıneapoligonal construida uniendo los puntos(xi , f (xi)), dondeP = {x0,x1, ...,xn} es una particion del intervalo[a,b]. Ası:
`P =n
∑i=1
√(xi −xi−1)2 +(f (xi)− f (xi−1))2 =
=n
∑i=1
(xi −xi−1)
√1+
(f (xi))− f (xi−1)2
(xi −xi−1)2 = (tma. valor medio)
=n
∑i=1
(xi −xi−1)√
1+ f ′(ci)2 (ci ∈ [xi−1,xi ])
`P es la suma intermedia de la funciong(x) =√
1+ f ′(x)2. Aplicandoun proceso de lımite cuando el diametro de la particion tiende a 0,
` =∫ b
a
√1+ f ′(x)2dx
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Aplicaciones de la integral
Volumen de un solidoSupongamos un solido que, al ser cortado por un planoperpendicular al ejeOX, para cadax∈ [a,b] produce una secciondeareaA(x).El volumende dicho cuerpo comprendido entrex= a y x= b es:
V =∫ b
aA(x)dx
I De igual forma, se obtendrıa el volumen del cuerpo a partir delasareas de las secciones producidas por planos perpendicularesal ejeOY en el intervalo[a,b].
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Volumen de un solido
Caso particular: volumen de revolucion. Si giramos el grafo def : [a,b]−→ IR alrededor del ejeOX, se construye una figura cuyovolumen es:
V = π
∫ b
af (x)2dx
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Aplicaciones de la integral
Superficie lateral de revolucion
El area lateral del solido construido al girar el grafo def : [a,b]−→ IR alrededor del ejeOX, dondef es una funcion de claseC 1, se calcula mediante:
AL = 2π
∫ b
af (x)
√1+ f ′(x)2dx