CALCULO 3 2� LISTA S�RIE DEFINI��O 2011
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CATÓLICA Prof. CLÁUDIO MACIELCálculo Diferencial e Integral III 2ª Lista : Séries Numéricas, Testes de Convergência
Aluno:______________________________________ Turma ___________
Série Infinitas.
Se for uma seqüência e Sn = u1 + u2 + u3 + ...+ un então a seqüência será
chamada de série infinita, denotada por .
Os números u1, u2, u3, ...,un , ... são os termos da série infinita e os números s1, s2, ..., sn, ... são chamados de somas parciais da série infinita.
Convergência:
Seja uma série infinita, e seja { sn } a seqüência das somas parciais que definem a
série. Então, se o existir e for igual a S, dizemos que a séie será convergente, sendo
S a soma da série infinita dada. Se o não existir, a série será divergente e não terá
soma.
Série Geométrica:
A série geométrica converge para a soma e diverge se
5º) Dadas as séries determine os quatro primeiros elementos da seqüência de somas parciais {sn}, obtenha uma fórmula para Sn, verifique se a série converge ou diverge e determine a sua soma se for convergente.
6º ) Determine se as séries dadas convergem ou divergem. Calcule a sua soma se for convergente.
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7º) Expresse as dízimas periódicas como séries geométricas e a suas somas como o quociente de dois inteiros.
a) 0,6666... b) 0,232323... c) 5,373737... d) 0,159159159...
e) 0,78217821... f) 2,3333... g) 0,21515... h) 0,451141414...
8º) Determine a série infinita que produz a seqüência de somas parciais dada e também se elas são convergente ou divergentes e sua soma se convergir.
Propriedades das séries.
Propriedade 1) Se são duas séries infinitas que diferem pelos seus m
primeiros termos ( ak = bk se k > m), então ambas convergem ou ambas divergem
9º) Determine se as séries infinitas convergem ou divergem.
Propriedade 2) Seja c é uma constante não-nula.
i) Se a série for convergente e sua soma for S, então a série
também será convergente e sua soma será c.S.
ii) Se a série for divergente, então a série também será divergente.
10º) Determine se as séries infinitas convergem ou divergem.
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Propriedade 3) Se são duas séries infinitas convergentes com somas S e R,
respectivamente, então
i) é uma série convergente e sua soma é S + R.
ii) é uma série convergente e sua soma é S – R .
Propriedade 4) Se a série for convergente e a série for divergente, então a série
será convergente.
11º) Determine se as séries infinitas convergem ou divergem
Propriedade 5) S a série converge, então . ( a recíproca é falsa)
12º) Determine se as séries infinitas convergem ou divergem
Séries Infinitas: Testes
Teste da Integral.
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Seja f uma função contínua, decrescente e com valores positivos para todo n≥ 1, e seja
. Então ambas, a série e a integral convergem ou
ambas divergem.
Séries p ( ou p-séries)
Uma série da forma , onde p é uma constante positiva.
Convergência:
Obs: Se p = 1 a série p é chamada de série harmônica.
Teste da Razão
Seja uma série de termos positivos e que .
Teste da Raiz
Seja uma série de termos positivos e que .
Exercícios:
1º) Use o teste da integral para determinar a convergência da série.
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2º)
Verifique a convergência das séries p
3º) Use o teste da razão para determinar a convergência da série.
4º) Use o teste da raiz para determinar a convergência da série.
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Séries Alternadas
Se para todo n inteiro positivo, então a série
são chamadas de séries alternadas.
Convergência. Uma série alternada da forma ( I ) ou ( II ) é convergente se as duas condições seguintes estiverem satisfeitas.
OBS: Se uma série satisfaz a condição (ii) deste teste, a série deve convergir (teste da divergência ). No entanto, se a condição (ii) estiver satisfeita e a condição (i) não estiver, a série pode convergir ou divergir. Uma série alternada irá convergir se a condição (ii) for verdadeira e a condição (i) estiver verificada a partir de um de um certo termo.
Teste da Comparação
Suponha que para todo n.
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Teste da Comparação dos Limites
Sejam séries de termos positivos.
Exercícios
1º) Use o teste da comparação para verificar se a série converge ou diverge.
2º) Use o teste da comparação dos limites para verificar se a série converge ou diverge.
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3º) Determine se a série é convergente ou divergente.
Testes para SériesTeste Série Converge Diverge comentáriodo n-ésimo termo
Este teste não pode ser usado para
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provar a convergência
da série geométrica
Soma
para Séries p
para Séries alternadas n
da integral ( f contínua,positiva e decrescente)
converge diverge
da Raiz O teste é inconclusivo se
da Razão O teste é inconclusivo se
da Comparação(an , bn >0 )
dos Limites da Comparação(an , bn >0 )
Séries de Potência
Se c1, c2, c3, ... e x0 são constantes e x variável, então uma série na forma
é chamada série de
potência em x – x0 ( centrada em x0 ).
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Para x0 = 0, temos é chamada série de potência em
x ( centrada em 0 ).
Convergência
Para uma série de potência exatamente uma das seguintes afirmações é
verdadeira.
i- A série converge em x0. ii- Existe um número real R > 0 tal que a série converge para e diverge para
iii- A série converge para todo x
R é o raio de convergênciaSe a série converge apenas em x0, R = 0Se a série converge para todo x, Intervalo de Convergência: é o conjunto de todos os valores de x para os quais a série converge.
Exercícios:
Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência.
Diferenciação e Integração de séries de potências.
Se a função definida por
tem raio R > 0, então f é contínua, diferenciável e integrável no intervalo ( c – R, c + R ). Além disso, sua derivada e antiderivada são dadas por
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Seja uma série de potência cujo raio de convergência é R > 0. Então, se f for a
função definida por
existirá para todo x no intervalo aberto ( – R , R )
1) cujo raio de convergência também será R
2) com x no intervalo ( – R , R) e o raio de convergência
também será R
Exercícios
1º) Determine o intervalo de convergência para
onde
2º) Sejam
a) Determine os intervalos de convergência de f e de gb) Mostre que
Convergência Absoluta.
Uma série será absolutamente convergente se a série for convergente
Condicionalmente convergente
Uma série será condicionalmente convergente se converge, mas
diverge.
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OBS: i) Se a série converge, então a série também converge
ii) Se a série for absolutamente convergente, ela será convergente e
Teste da Razão para a convergência absoluta
Seja uma série com termos não-nulos. Se , então:
a) Para a série converge absolutamente b) Para a série divergec) Para nenhuma conclusão pode ser tirada do teste quanto a convergência.
Teste da Raiz para a convergência absoluta
Seja uma série com termos não-nulos. Se , então
a) Para a série converge absolutamente b) Para a série divergec) Para nenhuma conclusão pode ser tirada do teste quanto a convergência.
Exercícios:
5º) \determinar se as séries são convergentes ou divergentes
6º) Determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente
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