Calculo 1 virginio Gomez

D E P A R T A M E N T O

CÁLCULO I D E C I E N C I A S B Á S I C A S

VIR

GIN

IO G

OM

EZ

Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas

1

Indice

Contenido Página

Unidad Nº1: Números Reales

Números reales Intervalos reales Inecuacionesa) simples b) con paréntesis c) con denominador numérico d) Inecuaciones con denominador algebraico Valor absoluto Inecuaciones con valor absoluto

Unidad Nº2: Geometría Analítica

Sistema de Coordenadas en el plano Distancia entre dos puntos del plano 2

División de un trazo en una razón dada Pendiente entre dos puntos Línea recta Formas de la ecuación de la recta Tipos de rectas Distancia de un punto a una recta Cónicas Circunferencia Parábola Elipse Hipérbola

Unidad Nº3: Límites y Continuidad

Concepto de límites de una función 95Teorema sobre límites 97Resolución algebraica de límites 98Límites laterales 05Límites infinitos 12Límites al infinito 117Asíntotas 2Continuidad de funciones reales 26

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


2

Unidad Nº4: Derivadas

Derivada 3Interpretación de la derivada 39Reglas de derivación 40Regla de la cadena 5652rivación implícita 52Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas 56Derivación logarítmica 58Derivada de funciones trigonométricas 163Derivada de funciones trigonométricas inversas 167Derivada de orden superior 171Aplicación de la derivada:a) Gráficos de funciones continuas 176b) Gráficos de funciones discontinuas 186- Problemas de aplicación de máximos y/o mínimos 197- Problemas de variaciones relacionadas 03- Formas indeterminadas 10Autoevaluación por unidad 1

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


3

UNIDAD 1: NUMEROS REALES.

Es el conjunto formado por todos los números cuya naturaleza sea natural , entera ,a b a b ™racional e irracional .a b a b ˆ El conjunto de los números reales está provisto de dos operaciones directas: adición ymultiplicación y dos operciones inversas: sustracción y división. Propiedades de la adición en ‘

a +ß ,ß - − se cumple:‘

1) Clausura: a +ß , − ß + , −‘ ‘ 2) Conmutativa: , a +ß , − + , œ , +‘

3) Asociativa: a +ß ,ß - − ß + , - œ + , -‘ a b a b 4) Elemento Neutro: 0 tal que :bx − a + − + ! œ ! + œ +‘ ‘

5) Elemento Inverso Aditivo: tal que bx + − + + œ + + œ !a b a b a b‘

Propiedades de la multiplicación en ‘

a +ß ,ß - − se cumple‘

1) Clausura: a +ß , − ß + † , −‘ ‘ 2) Conmutativa: , a +ß , − + † , œ , † +‘

3) Asociativa: a +ß ,ß - − ß + † , † - œ + † , † -‘ a b a b 4) Elemento Neutro: tal que :bx " − a + − + † " œ " † + œ +‘ ‘

5) Elemento Inverso Aditivo: tal que a + − ß + Á ! bx + œ −"

+‘ ‘"

+ † + œ + † + œ "" "

Existe otra propiedad que integra a ambas operaciones: la propiedad distributiva

a +ß ,ß - − ‘

a b a b a b+ , † - œ + † - , † -

+ † , - œ + † , + † -a b a b a b Las operaciones inversa de los números reales se definen de la siguiente forma:

Sustracción: + , œ + ,a b División:

+

,œ + † ,"

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


4

El conjunto de los números reales es un conjunto ordenado, pues existe la relación de ordenmayor que que cumple con los siguientes axiomas denominados Axiomas de Orden.

1) Tricotomía: se cumple una, y sólo una de las siguientes relaciones:

2) Transitividad: ;

3) Adición: ;

4) Multiplicación: ;

Otras relaciones de orden son:

Mayor o igual que :

Menor que :

Menor o igual que :

Los símbolos denotan la existencia de desigualdades

Propiedades de las desigualdades

1) Transitiva: Si entonces

2) Aditiva: Si , entonces

3) Si , entonces

4) Si , entonces

5) Si , entonces

6) Si , entonces

7) Si y está entre y , entonces , es decir,

8) Si , entonces

Intervalos Reales

Es un conjunto infinito de números reales

Tipos de intervalos

1) Intervalo abierto:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


5

2) Intervalo semiabierto:

3) Intervalo cerrado

4) Otros intervalos reales infinitos

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


6

es un número real}

Así,

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


7

Ejemplos

1) Dibuje el intervalo que representa la expresión dada

2) Escriba la desigualdad que representa el intervalo dado

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


8

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


9

Inecuaciones

Son desigualdades con una incógnita que se verifican para ciertos números reales. La solución deuna inecuación corresponde a un intervalo. Para resolver una inecuación se procede en forma similar a los procedimientos usados en laresolución de ecuaciones, pero considerando las propiedades de las desigualdades.

a) Inecuaciones simples

Sol: Sol:

Sol: Sol:

b) Inecuaciones con paréntesis

se elimina paréntesis se reducen términos semejantes

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


10

Sol: Sol:

se resuelven los productos se reducen términos semejantes

Sol: Sol:

c) Inecuaciones con denominador numérico

MCM


Sol: Sol:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


11

MCM


Sol: Sol:

Ejercicios Propuestos

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


12

Solución

Sol =

Sol

Sol =

Sol

Sol =

Sol

Sol =

Sol

Sol =

Sol

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


13

d) Inecuaciones con denominador algebraico

Para resolver este tipo de inecuaciones se empleará el método denominado .EsteTabla Francesamétodo consiste en confeccionar una tabla que resume la información de la inecuación a resolver. Para ellose deben realizar los siguientes pasos: 1) Dejar todas las expresiones algebraicas de la inecuación al lado izquierdo del símbolo de ladesigualdad, de modo que al lado derecho sólo quede cero. 2) Reducir a una sola fracción las expresiones del lado izquierdo de la desigualdad 3) Por separado, igualar a cero la expresión resultante del numerador y la del denominador. 4) Con los valores encontrados en (3) se construye una tabla de la siguiente forma

valor1 valor1 valor1,valor2 valor2 valor2,expresión del numeradorexpresión del denominadorfracción

5) Llenar la tabla sólo con signos más o menos o ceros . El proceso consiste encolocar cero en el casillero del valor que anula la expresión del numerador como también colocar cero en elcasillero del valor que anula la expresión del denominador, el resto de los casilleros se rellenarán consignos más o signos menos. Para la línea correspondiente a la expresión del numerador se elige un númeroa la izquierda o a la derecha del valor que anula la expresión del numerador y se reemplaza en estaexpresión. Si el número elegido da una evaluación positiva y está a la derecha(izquierda) del valor queanula al numerador, entonces en la tabla todos los casilleros a la derecha(izquierda) del valor que anula alnumerador se rellenarán con signo más y los que están a la izquierda(derecha) se rellenarán con signomenos. Se repite el mismo proceso para la línea que corresponde a la expresión del denominador. Luegopara la línea que corresponde a la fracción se usa la ley de los signos referente al signo del numerador conel signo del denominador, en esta línea está la solución de la inecuación. Si el problema consiste en encontrar todos los valores mayores que cero, entonces habrá queconsiderar como solución los casilleros que en la última línea lleven signo más.(intervalos abiertos) Si el problema consiste en encontrar todos los valores menores que cero, entonces habrá queconsiderar como solución los casilleros que en la última línea lleven signo menos.(intervalos abiertos) Si el problema consiste en encontrar todos los valores mayores o iguales a cero, entonces habráque considerar como solución los casilleros que en la última línea lleven signo más.(intervalos cerrados) Si el problema consiste en encontrar todos los valores menores o iguales a cero, entonces habráque considerar como solución los casilleros que en la última línea lleven signo menos.(intervalos cerrados)

En el caso de los intervalos cerrados habrá que considerar si los extremos de cada intervalo noindeterminan la inecuación.

Ejemplos

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


14

Sol:

Sol:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


15

4

Sol

Sol:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


16

Otros casos donde es posible aplicar la tabla francesa

factorizando

(

Sol:

Sol: ]

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


17

Sol:


3

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


18

11) En un experimento químico, una solución de ácido clorhídrico se va a mantener entre ºC yºC; es decir, C . ¿Cuál es el rango de temperatura en grados Fahrenheit si la fórmula de

conversión Celsius/Fahrenheit es C F ?

12) Un rollo fotográfico se va a mantener entre ºF y ºF; es decir, F . ¿Cuál es elrango de temperatura en grados Celsius si la fórmula de conversión Celsius/Fahrenheit esF C+ ?

13) En 1984, al perforar el pozo más profundo del mundo, los soviéticos encontraron que latemperatura a " " kilómetros de profundidad de la Tierra estaba dada por

donde es la temperatura en grados Celsius. ¿A qué profundidad la temperatura estará entre y ºC en total?

14) Una compañía electrónica está planeando comercializar una nueva calculadora gráfica. Loscostos fijos son de $ y los variables de $ por calculadora. El precio de la calculadora almayoreo será de $ . Es evidente que para que la compañía obtenga utilidades los ingresos debenser superiores a los costos.

a) ¿Cuántas calculadoras se deben vender para que la compañía obtenga utilidades? b) ¿Cuántas calculadoras tendría que vender para llegar al punto de equilibrio?

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


19

Solución

Sol =

Sol =

Sol =

Sol =

Sol =

Sol =

Sol =

Sol =

Sol =

Sol =

11) El rango de la temperatura es de º a º en total.

12) El rango de la temperatura es de º a º en total.

13) A una profundidad entre Km y Km.

14) a) La compañía debe vender más de calculadoras para tener utilidades.

b) Para llegar al punto de equilibrio, la compañía debe vender calculadoras.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


20

Valor Absoluto

Es una función que determina de cada número sólo su valor como cantidad. Su Símbolo es . Sedefine de la siguiente forma:

sisi

Geométricamente, el valor absoluto mide distancias. El valor absoluto de un número cualquieramide la cantidad de unidades de este número con respecto a cero. El valor absoluto entre dos números midela cantidad de unidades entre estos dos números.

Propiedades del valor absoluto

Sean , entonces

con

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


21

Ejemplos de ecuaciones

Sol:

Sol:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


22

Ejemplos de inecuaciones

En este caso la solución de la inecuación es la intersección de los dos intervalos.

Así, Sol

En este caso la solución de la inecuación es la unión de los dos intervalos.

Así, Sol: , que también se puede escribir como:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


23

Tabla para

Sol:

Tabla para

Sol:


Así, Sol:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


24

Tabla para

Sol:

Tabla para

Sol:

En este caso la solución de la inecuación es la unión de los dos intervalos.

Así, Sol: , que también se puede

escribir como:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


25

Tabla para

Sol:

Tabla para

Sol:


Así, Sol:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


26


La producción diaria en una planta ensambladora de automóviles está dentro de unidades deunidades. Exprese la producción diaria como una desigualdad de valores absolutos.

En un proceso químico, la temperatura se conserva entre los ºC y los ºC. Exprese estarestricción como una desigualdad de valores absolutos.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


27

Solución

Sol

Sol = ,

Sol =

Sol =

Sol =

Sol =

Sol =

Sol = 1

9)

10)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ

VIR

GIN

IO

G

OM

EZ


28

UNIDAD 2: GEOMETRIA ANALITICA.

Sistema de coordenadas en el plano

Está formado por dos ejes perpendiculares, con origenes comunes y graduados con la mismaunidad de longitud. Estos ejes perpendiculares vividen al plano en cuatro regiones iguales denominadas2

cuadrantes. El eje horizontal se denomina y el eje vertical recibe el nombre de eje de las abscisas X ejede las ordenadas Y

Los elementos de este sistema se denominan pares ordenados. Cada par ordenado tiene un ordenestablecido, la primera componente del par es una abscisa y la segunda componente del par es unaordenada, es decir, .

Propiedades

1) Todos los puntos del eje X tienen ordenada nula, es decir, Eje X

2) Todos los puntos del eje Y tienen abscisa nula, es decir, Eje Y

3) En el sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas existen cuatro cuadrantes

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


29

C1

C

C

C

Distancia entre dos puntos del plano 2

Sean A y B dos puntos del plano.

AC BC AB

AB AC BCPor Teorema de Pitágoras

Así, si A y B son dos puntos del plano, entonces la distancia entre A y B, denotadapor A B es

A,B

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


30

Ejemplos

Calcular la distancia entre el punto A y B

A,B

Los vértices de un cuadrilátero son A B C y D Calcular superímetro.

P A,B B,C C,D D,A

A,B

B,C

C,D

D,A

P A,B B,C C,D D,A

Determine el valor de en A de modo que A,B con B

A,B

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


31

División de un trazo en una razón dada

Sea P un punto del plano que divide al trazo P P en una cierta razón k, es decir,1 2 P P

PPk1

2 Se obtendrán las coordenadas del punto P en función de los puntos dados P y P .1 2

P SP PRP1 2

P S P P

PR PP1 1

2

con

De igual forma

SP P P RP PP

1

2

con

Por lo tanto, las coordenadas del punto P son: P ,

Si P es el punto medio del trazo P P , entonces 1, así k P P

PP1 21

2

Luego, P ,2 2

Si P es un punto que queda fuera del trazo P P , entonces k es negativo.1 2

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


32

Ejemplos

1) El punto medio de un trazo es y uno de los extremos es Determinar el otro extremo

2 2,

El otro punto es

2) Los extremos de un trazo son los puntos A y B . Hallar la razón k en que el puntoC divide al trazo.

,

Luego, no existe el valor de , por lo tanto el punto C no divide al trazo.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


33

Pendiente entre dos puntos

Sean A y B dos puntos del plano

La razón se denomina , se simboliza por y representa el grado deCBAC

pendiente

inclinación del trazo AB con el eje X. El ángulo se mide desde el eje X al trazo

Así, si A y B son dos puntos del plano, entonces la pendiente entre A y B es

La pendiente es el valor de la tangente trigonométrica del ángulo , es decir,

Propiedades de la pendiente

1) Si , entonces es un ángulo agudo.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


34

) Si , entonces es un ángulo obtuso

) Si , entonces es un ángulo nulo

Y

X

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


35

) Si no está definida, entonces es un ángulo recto

Ejemplo

Determine la pendiente entre los puntos A y B, B y C, C y D, D y E siA ; B ; C ; D y E

AB es un ángulo recto

BC es un ángulo obtuso

CD es un ángulo nulo

DE es un ángulo agudo

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


36

Línea recta

Una recta en es un conjunto de pares ordenados que tienen la característica que cualquier2

pareja de puntos distintos tienen la misma pendiente. Para determinar la ecuación de una recta existen dos formas

a) Se conocen dos puntos de ella

Sean A y B dos puntos conocidos de una recta y sea P un punto cualquierade ella

A(x1,y1)

B(x2,y2)

P(x,y)

Y

X

AP AB

AP AB

AP AB

Luego, si A y B dos puntos conocidos de una recta , entonces su ecuación es

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


37

b) Si se conoce un punto y su pendiente

Sea A un punto conocido de la recta, P un punto cualquiera y su pendiente

AP

Luego, si A es un punto conocido de una recta y su pendiente, entonces su ecuaciónes

Ejemplos

1) Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B

2) Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto A y tiene pendiente


En cada uno de los ejercicios propuestos grafíque cada caso:

1) Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos :

a) b)

c)

2) Determine la ecuación de la recta que pasa por:

a) El punto y tiene pendiente b) El punto y pendiente 25

c) El punto y tiene pendiente

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


38

Solución:

1)

a) b) c)

2)

a) b) c)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


39

Propiedades

a) Toda recta paralela al eje X tiene por ecuación .

Y

X

y = aa

b) Toda recta paralela al eje Y tiene por ecuación .

Y

X

x = a

a

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


40

Formas de la ecuación de la recta

a) Forma general

De se tiene

Si A B y C , entonces

es la Ecuación General de la recta con A 0 B 0A B C

b) Forma principal

De se tiene

Si , entonces

es la Ecuación Principal de la recta.

b se denomina y equivale a la ordenada del punto de intersección de lacoeficiente de posiciónrecta con el eje Y

Y

X

b

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


41

c) Ecuación de segmento

Sea A y B 0 los puntos de intersección de la recta con los ejes coordenados, entonces

es la Ecuación de Segmento de la recta

Ejemplos

Determinar en cada caso, la ecuación general, principal y de segmento de la recta si

a) pasa por A y B

Ecuación general: Ecuación principal:

Ecuación de segmento:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


42

b) Tiene pendiente y pasa por el punto A

Ecuación general: Ecuación principal:

Ecuación de segmento:

c) corta al eje X en 2 y al eje Y en 3

Ecuación general: Ecuación de segmento:

Ecuación principal:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


43


1) Determine y grafique en cada caso, la ecuación general, principal y de segmento de la recta sipasa por los puntos:

a) 2, 3

b) 2 0 0 4

c) -1 3 5 1

2) Determine y grafique en cada caso, la ecuación general, principal y de segmento de la recta si:

a) Pasa por el punto y tiene pendiente

b) Pasa por el punto y tiene pendiente

c) Pasa por el punto y tiene pendiente

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


44

Solución:

1)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


45

2)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


46

Tipos de Rectas

Sean L : 1

y L , entonces,2

a L es secante a L si , y sólo si L L1 2 1 2

b) L es paralela a L L L si, y sólo si 1 2 1 2

Y

X

L1 : y = m1 x+ n1

L2 : y = m2 x+ n2

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


47

c) L es perpendicular a L L L si, y sólo si 1 2 1 2

Ejemplos

1) Determine el punto de intersección de las rectas

Para determinar el punto de intersección de las dos rectas, sólo se debe resolver un sistema de ecuaciones.

/

Luego el punto de intersección de las rectas es el punto

2) Decida si las siguientes pares de rectas son paralelas o perpendiculares

L1 L

En L , se tiene, Luego, 1 L

En L , se tiene, Luego, L

Como , entonces L LL L 1 2

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


48

L1 L

En L , se tiene, 1

Luego, L

En L , se tiene,

Luego, L

Como , entonces L LL L 1 2

3) Determine la ecuación de la recta que pasa por y es

a) paralela con la recta Lb) perpendicular con la recta L

a) Para encontrar la ecuación de la recta buscada se debe conocer la pendiente de la recta L . Además,1como la recta buscada debe ser paralela con L , entonces sus pendientes son las mismas.1

Luego la pendiente de L . Por lo tanto, la pendiente de la recta buscada es 1

Su ecuación es:

Así, la recta es paralela con L .1

Para encontrar la ecuación de la recta buscada se debe conocer la pendiente de la recta L . Además,como la recta buscada debe ser perpendicular con L , entonces el producto de sus pendientes debe ser igual2a .

Luego la pendiente de L . Por lo tanto, la pendiente de la recta buscada es 1

Su ecuación es:

Así, la recta es perpendicular con L .2

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


49

4) Determine el valor de en para que la recta

a) pase por el punto b) sea paralela a la recta Lc) sea perpendicular a la recta L

a) Para que el punto pertenezca a la recta se debe reemplazar en la recta por e por y resolver la ecuación resultante para Si la ecuación tiene solución, entonces el puntopertenece a la recta, de lo contrario, si la ecuación no tiene solución, entonces el punto no pertenece a larecta.

Luego, la recta es

b) Para que la recta sea paralela con L sus pendientes deben seriguales.

la pendiente de esta recta es

la pendiente de la recta L es

así,

Luego, la recta es

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


50

c) Para que la recta sea perpendicular con Lel producto de sus pendientes debe ser igual a .

la pendiente de esta recta es

la pendiente de la recta L es

así,

Luego, la recta es:

Distancia de un punto a una recta

Sea L : y P un punto que no pertenece a la recta1

la distancia , desde a la línea recta y denotada por es :

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


51

Ejemplos:

1) Determinar la distancia que existe desde el punto a la recta L

L

L

L

L

2) Determinar la distancia que existe entre las rectas

L1

L

Como L es paralela con L , L L , basta elegir un punto en la recta L o en la recta L y1 2 1 2 1 2calcular la distancia de este punto a la otra recta. Para este ejemplo se elegirá un punto de la recta L ,A y se calculará la distancia de este1punto a la recta L2

L2

L

L

L

Luego la distancia entre las rectas L y L es unidades1 2

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


52


1) Los vértices de un triángulo son:

Determinar y graficar:

a) Ecuación de sus lados en forma principal y general b) Perímetro del triángulo ABC c) Ecuación de las transversales de gravedad d) Ecuación de las alturas e) Ecuación de las medianas f) Area de triángulo ABC

2) Determinar el valor del parámetro k:

a) para que el triángulo de vértices A sea rectángulo en C. b) Para que la recta que pasa por los puntos A y sea perpendicular a la recta que pasa por C y D c) Para que la recta L sea paralela L1 2

Hallar el valor de k para que la recta sea:

a) paralela a la recta b perpendicular a la recta c) pase por el punto

Hallar la distancia del punto P a la recta L

5) Hallar las ecuaciones de las rectas paralelas a la recta y que distan de ella.

6) Un departamento de policía ha averiguado que el número de crímenes o delitos graves queocurren por semana es una función del número de oficiales asignados a la vigilancia preventiva.La función matemática es: donde es el número de crímenes porsemana y indica el número de oficiales asignados a la vigilancia preventiva.

a) ¿Cuál es el número esperado de crímenes si 250 oficiales son asignados a la vigilanciapreventiva?

b) ¿Cuántos oficiales habría que asignar si se quisiera reducir a 500 el nivel semanal de crímenes? c) ¿Cuántos oficiales habría que asignar para reducir a cero el nivel semanal de crímenes?

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


53

7 La utilidad total de plantar acres en la granja se expresa en la función:

a) ¿Cuál es la utilidad total si en la granja se plantan acres y en la granja se plantan acres?

b) Si en la granja se plantaron acres ¿Cúal debe ser la mínima cantidad de acres plantadosen la granja para que exista utilidad?

c) Identifique una combinación de plantaciones que produzcan una utilidad de cero.

8) Hallar los valores de tales que la distancia de a la recta es

9) Hallar los valores de tales que la recta determine, con los ejes coordenados, untriángulo de área 6.

10) Hallar el punto de la recta que equidista de y

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


54

Solución:

1)

b) Perímetro =

c) Ecuación de las transversales de gravedad

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


55

d) Ecuación de las alturas

e) Ecuación de las medianas:

f) Area ABC 14

a) b) c)

3) a)

b)

c)

4) Distancia = 145

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


56

5)

6) a) crímenes b) oficiales c) oficiales

7) a) $ b) acres c) Granja acres Granja acres.

8)

9)

10)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


57

Cónicas

:Lugar Geométrico

El lugar geométrico de una ecuación es una curva que contiene aquellos puntos y sólo aquellospuntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación.

Las secciones cónicas se llaman así porque todas ellas son secciones planas de un cono circularrecto. Una puede formarse cortando un cono perpendicular a su eje, una se producecircunferencia elipsecuando el corte del cono es oblicuo al eje y a la superficie, se produce una cuando el cono eshipérbolaintersectado por un plano paralelo al eje, y resulta una cuando el plano de intersección es paraleloparábolaa un elemento de la superficie.

Es decir, a la circunferencia, elipse, parábola e hipérbola se les llama frecuentemente seccionescónicas porque todas ellas pueden obtenerse como secciones de un cono recto circular al ser cortados porplanos. Se entenderá que el cono se extiende indefinidamente a ambos lados de su vértice. Cada conosituado a un lado del vértice se denomina hoja de cono.

Cuando la curva producida cortando el cono se refiere a un sistema de coordenadas se definirá unasección cónica como:

"Una es el lugar geométrico de un punto que se mueve de modo que su distanciasección cónicadesde un punto fijo es una relación constante respecto de su distancia a una línea fija. El punto fijo sedenomina y la línea fija se llama ."foco directriz

Recta L1

Recta L2

y

x

z

Recta L2Generatriz

Mantosuperior

MantoInferior

Vértice

Recta L2Generatriz

Hojas decono

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


58

Circunferencia Elipse

Parábola Hipérbola

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


59

Circunferencia

Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo es constante.El punto fijo se llama y la distancia fija centro radio.

Sea el centro de la circunferencia, un punto de la circunferencia y el radio,entonces

es la ecuación reducida de la circunferencia

Si entonces la ecuación de la circunfrerncia es

que se conoce como ecuación canónica de la circunferencia

x

y

P (x , y)

C (0,0)

r

r : Radio C( 0,0 ) : Centro de la x2 + y2 = r2

- r r

- r

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


60

Ejemplo

1) Determine la ecuación de la circunferencia si

a) C

b) C

c) C

d) C

2) Obtener el centro y el radio de la circunferencia si su ecuación es

a C

b C

c C

d C

De la ecuación reducida se tiene

Si C D E entonces es laecuación general de la circunferencia que también se puede expresar de la forma:

, con

Ejemplos

1) Dada la ecuación de la circunferencia, determine su centro y su radio.

Para encontrar la ecuación de la circunferencia reducida dada la ecuación general de lacircunferencia se debe realizar el proceso de completación de cuadrado de binomio.

C

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


61

C

2) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A y B y tiene sucentro en la recta

Sea C el centro de la circunferencia, entonces

a) A,C B,C y b) C

A,C B,C

C

De y se tiene el siguiente sistema

donde Así C

o

Luego la ecuación de la circunferencia es

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


62


1) Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en y que es tangente al eje .

2) Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en 3 2 y que es tangente al eje .

3) Una circunferencia pasa por los puntos y , y su centro está sobre la recta. Hallar su ecuación.

4) Una cuerda de la circunferencia está sobre la recta cuya ecuación es. Hallar la longitud de la cuerda.

5) Obtener la ecuación de la circunferencia si tiene centro en el punto , y es tangente a larecta que contiene los puntos y .

6) Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos y

7) ¿Para qué valores de pasa el círculo por el punto ?

8) Hallar el valor de tal que sea la ecuación de un círculo de radio 5

9) Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferenciay tangente a la recta

10) Hallar la ecuación de las circunferencias de radio tangentes a la circunferencia en el punto

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


63

Solución:

1)

2)

3)

4) Longitud cuerda :

5)

6)

7)

8)

9)

10)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


64

Parábola

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado y defocouna recta fija llamada directriz.

Si es el foco de la parábola es la ecuación de su directriz y es unpunto de ella, entonces

es la ecuación canónica de la parábola

El punto se denomina , la recta se llama vértice de la parábola eje de simetría de laparábola. lado recto El trazo perpendicular al eje de la parábola y que pasa por el foco se denomina y sulongitud es

Si , entonces la curva queda situada sobre el eje X, es no negativa y simétrica respecto al eje Y. Si , entonces la curva queda situada bajo el eje X, es no positiva y simétrica respecto al ejeY. Si es el foco de la parábola es la ecuación de su directriz y es unpunto de ella, entonces su ecuación canónica es

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


65

Vértice Foco Directriz Eje de simetría Long. lado recto

Si , entonces la curva queda situada a la derecha del eje Y y es simétrica respecto al eje X.

Si , entonces la curva queda situada a la izquierda del eje Y y es simétrica respecto al eje X.

Ejemplo

Determine vértice, foco, directriz, longitud del lado recto, eje de la parábola y gráfico en

Vértice Foco Directriz Eje de simetría Long. lado recto

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


66

Vértice

Foco

Directriz

Eje de simetría

Long. lado recto

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


67

Si es el vértice y el eje de simetría de la parábola es paralelo al eje Y, entonces

Ecuación Vértice Foco Directriz Eje de simetría Long. l. recto

Si , entonces la curva es cóncava hacia arriba.

Si , entonces la curva es cóncava hacia abajo.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


68

Si es el vértice y el eje de simetría de la parábola es paralelo al eje X, entonces

Ecuación Vértice Foco Directriz Eje de simetría Long. l. recto

Si , entonces la curva es abierta hacia la derecha.

Si , entonces la curva es abierta hacia la izquierda.

La ecuación general de la parábola es

ó

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


69

Ejemplo

Determine vértice, foco, directriz, longitud del lado recto, eje de la parábola y gráfico en

Vértice

Foco

Directriz

Eje de simetría

Long. l. recto

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


70

Vértice

Foco

Directriz

Eje de simetría

Long. l. recto

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


71


1) Hallar el vértice, foco, directriz, longitud del lado recto y gráfico de: a) b) c)

2) Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos y respectivamente. Hallar además la ecuación de su directriz y la longitud del lado recto.

3) Hallar la ecuación de la parábola de foco en el punto y directriz la recta

4) Dada la parábola de ecuación hallar las coordenadas del vértice, del focoy la ecuación de la directriz.

5) Determinar la ecuación de la parabola con vértice en el punto y directriz

6) Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen, eje como eje de simetría y quecontenga al punto

7) Determinar la ecuación de la parábola con vértice en eje de simetría paralelo al eje ,contiene al punto

8) Hallar la ecuación de la parábola con eje de simetría paralelo al eje X, que contiene los puntos

9) Si el lado recto de una parábola es el segmento que une con , determinar la ecuaciónrespectiva si la parábola pasa por el punto

10) Si una parábola pasa por los puntos y , con eje de simetría vertical y vértice sobre larecta , determinar su ecuación.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


72

Solución:

1) a) Vértice:

Foco:

Directriz:

Long lado recto:

b) Vértice:

Foco: 0, 16

Directriz:

Long lado recto:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


73

c) Vértice:

Foco:

Directriz:

Long lado recto:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


74

2) Ecuación:

Directriz:

Long lado recto:

3) Ecuación:

4) Vértice:

Foco:

Directriz:

5)

6)

7)

8)

9)

10)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


75

Elipse

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos esconstante. Los puntos fijos de llaman y la distancia constante se designa por focos

Sean y los focos, la distancia constante y un punto de la elipse,entonces

pero

así

es la ecuación canónica de la elipse

Si entonces

Si entonces

Los puntos y se denominan y los puntos yvértices del eje mayor se llaman Los focos y quedan siempre ubicados sobre el ejevértices del eje menor.

mayor.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


76

La longitud del eje mayor es , la longitud del eje menor es y la longitud del eje focal es .

La razón se denomina excentricidad y señala el grado de mayor o menor alargamiento dela elipse.

Como , entonces

Si los focos de la elipse son y y la distancia constante es , entonces suecuación es:

Centro :

Vértices eje mayor :

Vértices eje menor : ;

Focos :

Excentricidad :

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


77

Ejemplo

Determine centro, vértices del eje mayor y menor, focos, excentricidad y gráfico de

Centro :



Focos :

Excentricidad :

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


78

Centro :



Focos :

Excentricidad :

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


79

Si es el centro de la elipse y el eje focal es paralelo al eje X, entonces la ecuaciónreducida es

Centro :

Vértices eje mayor : ;


Focos :

Excentricidad :

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


80

Si es el centro de la elipse y el eje focal es paralelo al eje Y, entonces la ecuaciónreducida es

Centro :



Focos :

Excentricidad :

La forma general de la ecuación de la elipse es

con

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


81

Ejemplo

Determine centro, vértices del eje mayor y menor, focos, excentricidad y gráfico de

Centro :



Focos :

Excentricidad :

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


82

Centro :



Focos :

Excentricidad :

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


83


1) Determine centro, vértices eje mayor y menor, focos, excentricidad y gráfico de la elipse

2) Determine en cada caso centro, vértices eje mayor y menor, focos, excentricidad y gráfico de laelipse:

a)

b)

3) Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos , y cuyos focosson los puntos y .

4) En cada caso determine la ecuación de la elipse centrada el el origen sabiendo que: a) Un foco es el punto y el vértice el punto

b) Un foco es y un vértice es

c) Un foco es y la excentricidad es

d) Un foco es y el semieje mayor es de longitud

e) Contiene los puntos y y el eje mayor está en el eje Y

5) Determine la ecuación de la elipse si:

a) Tiene centro en el punto foco en y contiene el punto

b) Tiene vértice en , centro en y excentricidad

c) Contiene al punto y foco en

d) Focos en y el semieje menor es de longitud 12.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


84

Solución:

1) Centro:

Vértices eje mayor:

Vértices eje menor:

Focos: 1

Excentricidad:

2) a)

Centro:



Focos: 1

Excentricidad:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


85

2) b) Centro:



Focos: 1

Excentricidad:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


86

3) Ecuación:

4) a) Ecuación:

b) Ecuación:

c) Ecuación:

d) Ecuación:

e) Ecuación:

5) a) Ecuación:

b) Ecuación:

c) Ecuación:

d) Ecuación:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


87

Hipérbola

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos esconstante. Los puntos fijos se denominan y la diferencia constante se designa por focos

Si y son los focos, es la diferencia constante y un puntocualquiera, entonces

resolviendo y ordenando se obtiene , pero en la hipérbola

, luego

que es la .ecuación canónica de la hipérbola

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


88

Si entonces

Si entonces No existe intersección con los ejes

Los puntos y se denominan y los puntosvértices del eje realy se llaman Los focos y quedan siempre ubicadosvértices del eje imaginario.

sobre el eje real. La longitud del eje real es , la longitud del eje imaginario es y la longitud del eje focal es .

La excentricidad en la hipérbola indica la abertura del ángulo determinado por las

asíntotas y en cuyo interior se encuentra la hipérbola. Como , entonces Las asíntotas se obtienen haciendo igual a cero la ecuación de la hipérbola

Si los focos de la hipérbola son y y la diferencia común es , entonces suecuación es

Vértices eje real :

Vértices eje imaginario: ;

Focos :

Excentricidad :

Asíntotas :

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


89

La forma general de la ecuación de la hipérbola es

, con

o bien;

, con

Ejemplo

Determine coordenadas de los eje real e imaginario, focos, excentricidad, asíntotas y gráfico de

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


90

Vértices eje real :

Vértices eje imaginario : ;

Focos :

Excentricidad :

Asíntotas :

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


91


1) Determinar vértices eje real e imaginario, focos, excentricidad, asíntotas y gráfico de:

a)

b)

2) Obtener la ecuación de la hipérbola si un vértice está en y un foco en

3) Determine la ecuación de la hipérbola centrada en el origen si

a) Un foco esta en la longitud del eje imaginario es 6.

b) Eje de simetria el eje X y contiene los puntos y

c) Vértice en y una asíntota es

d) Sus asíntotas son y contiene al punto

e) Un vértice está en el punto y un foco en el punto

f) El eje real está en el eje , longitud del eje real y longitud del eje imaginario

g) El eje real está en el eje , longitud del eje real y distancia de los focos desde el centro

h) El eje imaginario está en el eje , longitud del eje imaginario y distancia de los focos desdeel centro

4) Determinar si la hipérbola de ecuación intersecta a la recta: a) b) .

Si es así, encuentre en cada caso las coordenadas de todos los puntos de intersección.

5) ¿Para qué valores de la recta con ecuación intersecta la hipérbola ?

6) ¿Cuántas hipérbolas tienen su centro en y su foco en ?. Encuentre sus ecuaciones.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


92

Solución:

1) a) Vértices eje real :

Vértices eje imaginario :

Focos : 1

Excentricidad :

Asíntotas :

b) Vértices eje real :

Vértices eje imaginario :

Focos : 1

Excentricidad :

Asíntotas :

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


93

2) Ecuación:

3) a) Ecuación:

b) Ecuación:

c) Ecuación:

d) Ecuación:

e) Ecuación:

f) Ecuación:

g) Ecuación:

h) Ecuación:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


94

4) a) La intersecta en los puntos y

b) No la intersecta.

5) Para los valores que cumplen la desigualdad , es decir,

6) Un número infinito de hipérbolas de ecuación a

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


95

UNIDAD 3: LIMITES.

Concepto de límite de una función

Sea la función real Se estudiará qué sucede en las proximidades de 2.0ÐBÑ œ $B "Þ La gráfica de es la siguiente0ÐBÑ œ $B " À

Observar la siguiente tabla À

?

B "ß * "ß ** "ß *** # #ß !!" #ß !" #ß "0 B %ß ( %ß *( %ß **( &ß !!$ &ß !$ &ß $a b

De la tabla se deduce lo siguiente cuando se acerca a 2 por la izquierda, se acerca a 5 yÀ B 0 Ba bcuando se acerca a 2 por la derecha, también se acerca a 5. Es decirB 0 B Àa b 1) Si se aproxima a 2 por la izquierda y por la derecha en una décima, entoncesB "ß * B #ß " ß0 B %ß ( 0 B &ß $a b a b se aproxima a 5 por la izquierda y por la derecha en tres décimas,

2) Si se aproxima a 2 por la izquierda y por la derecha en una centésima, B "ß ** B #ß !" ßentonces se aproxima a 5 por la izquierda y por la derecha en tres centésimas, 0 B %ß *( 0 B &ß !$a b a b 3) Si se aproxima a 2 por la izquierda y por la derecha en una milésima, B "ß *** B #ß !!" ßentonces se aproxima a 5 por la izquierda y por la derecha en tres milésimas, 0 B %ß ( 0 B &ß $a b a b Esto indica que la gráfica de queda comprendida en un rectángulo. Por ejemplo, si0 Ba bconsideramos 1 el rectángulo tiene por lados a b B œ "ß *à B œ #ß "à C œ %ß (à C œ &ß $

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


96

Esto significa que si entonces y si entonces+

De esta situación se puede concluir lo siguiente

lim lim

Concepto de límite

Se dice que una función tiende al límite L L cuando tiende al valor si el valor absoluto de la diferencia L L puede ser tan pequeño como se

quiera siempre que el valor de esté en las proximidades de " ". Esto es válido aún cuando no estédefinida en .

Simbólicamente, Llim

Esto significa que para un valor pequeño positivo arbitrario Les posible determinar otro valor pequeño positivo que depende de tal que Así

, se cumple que L L

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


97

Teoremas sobre límites

Teorema1

Si L y L , entonces L Llim lim

Teorema

Si , entonces lim lim

Teorema


Teorema


Teorema

Si y son funciones tales que y ,lim lim

entonces:

a) lim lim lim

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


98

b) lim lim lim

c) con limlim

lim

d) Si , y par, entonces lim lim lim

Teorema


Ejemplos

lim

lim

lim

lim Para levantar la indeterminación se debe factorizar

lim lim

Por lo tanto, lim


lim lim

Por lo tanto, lim

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


99


lim lim

Por lo tanto, lim


lim lim

Por lo tanto, lim


lim lim

Por lo tanto, lim

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


100


lim lim

lim

Por lo tanto, lim

lim Para levantar la indeterminación se debe racionalizar

lim lim

lim

Por lo tanto, lim


lim lim

lim

lim

Por lo tanto, lim

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


101


lim lim

lim

lim

Por lo tanto, lim

lim Para levantar la indeterminación se

debe racionalizar

lim

lim

lim

lim

Por lo tanto, lim

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


102


lim lim

lim

lim

Por lo tanto, lim


lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim

Por lo tanto, lim

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


103


lim

lim

lim

lim

lim

lim

Por lo tanto, lim


Determine los siguientes límites:

1) lim lim

lim lim

lim lim

lim lim

lim lim

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


104

Solución:

1) lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


105

Límites laterales

Existen funciones definidas por tramos donde es importante obtener límites laterales.

indica que nos estamos aproximando a un cierto valor "a" pora) Límite lateral derechonúmeros mayores o iguales a él. Si , entonces

indica que nos estamos aproximando a un cierto valor "a" porb) Límite lateral izquierdonúmeros menores o iguales a él. Si , entonces

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


106

Así, existe:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


107

Determine si y si lim lim

lim lim

lim lim

lim lim lim luego existe

lim lim

lim lim


) Dada la función Determine si lim

lim lim

lim lim

lim lim lim luego no existe

Dada la función .Determine si 1

lim

lim lim =

lim lim


VIR

GIN

IO G

OM

EZ


108

Dada la función

Determine si y si lim lim

lim lim

lim lim


lim lim

lim lim

lim lim lim luego no existe

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


109


1) Dada la función ¿ ?lim


3) Dada la función

Determine si lim

4) Dada la función

Determine si lim

5) Dada la función

¿ ? ¿ ?lim lim


VIR

GIN

IO G

OM

EZ


110

Solución:

1) lim lim

lim lim

luego no existe 4

lim lim lim

2) lim lim

lim lim

luego existe lim lim lim

3 lim lim

lim lim


4) 3 3

lim lim

3 3lim lim

luego existe 3 33

lim lim lim

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


111

5) Para

lim lim

lim lim

luego no existe 3

lim lim lim

Para

lim lim

lim lim


6 lim lim

lim lim

luego no existe lim lim lim

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


112

Límites infinitos

Sea

Observe la siguiente tabla

?

De la tabla se puede concluir que Si , entonces decrece y si , entonces crece por lo tanto no existelim

Cuando sucede que crece o decrece indefinidamente, entonces hablamos de límitesinfinitos. Graficamente:

Concepto

1) Si entonces M tal que M siempre quelim

2) Si entonces N tal que N siempre quelim

Entonces para el ejemplo:

y lim lim

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


113

Ejemplos Analizar

lim

lim

lim

Luego a la izquierda de , crece y a la derecha de decrece. Por lo

tanto, no existe lim

lim

lim

lim

Luego a la izquierda y a la derecha de crece. Por lo tanto, no existe lim

lim

lim

lim

Luego a la izquierda y a la derecha de decrece. Por lo tanto, no existe

lim

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


114


Analizar los siguientes límites:

1 lim

2) lim

3) lim

4) lim

5) lim

6) lim

7) lim

8) lim

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


115

Solución:

lim lim

Luego a la izquierda de , crece y a la derecha de decrece. Por lo tanto, no existe

lim

lim lim

Luego a la izquierda y a la derecha de crece. Por lo tanto, no existe

lim

lim lim

Luego a la izquierda de , decrece y a la derecha de crece. Por lo tanto, no existe

lim

lim lim

Luego a la izquierda de , crece y a la derecha de decrece. Por lo tanto, no existe

lim

5 lim lim

Luego a la izquierda de , crece y a la derecha de decrece. Por lo tanto, no

existe lim

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


116

6 lim lim

Luego a la izquierda y a la derecha de , decrece. Por lo tanto, no existe

lim

7 lim lim

Luego a la izquierda de , crece y a la derecha de decrece. Por lo tanto, no

existe lim

8 lim lim

Luego a la izquierda de , decrece y a la derecha de crece. Por lo tanto, no existe

lim

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


117

Límites al infinito

Conceptos

a) Si , entonces tal que siempre quelim

b) Si , entonces tal que siempre quelim

Teorema

1) Si , es racional y es un número cualquiera, entonces

lim

2) Si , es racional y es un número cualquiera, entonces

lim

Ejemplos

1) lim lim lim

Por lo tanto, lim

lim lim lim

Por lo tanto, lim

lim lim lim

Por lo tanto, lim

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


118


Analizar los siguientes límites:

1 lim

lim

lim

4) lim

5) lim

6) lim

7) lim

8) lim

9 lim

10 +

lim

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


119

Solución:

1 lim

.lim

= 0lim

4) lim

5) lim

6) lim

7) lim

8) lim

9 lim

10 +

lim

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


120

Asíntotas

1) Vertical

es asíntota vertical de si, y sólo si

lim lim

y

lim lim

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


121

2) Horizontal

se dice asíntota horizontal de si, y sólo si

c +

lim lim

3) Oblicua

se dice asíntota oblicua de si, y sólo si

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


122

Ejemplos

Determinar las asíntotas de

* Asíntota vertical

lim lim

Por lo tanto, es asíntota vertical de

* Asíntota horizontal

+ +

lim lim lim lim

Por lo tanto, es asíntota horizontal de

* Asíntota vertical

lim lim

Por lo tanto, es asíntota vertical de

* Asíntota horizontal

+ +

6lim lim lim

Por lo tanto,no existe asíntota horizontal de

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


123

* Asíntota oblicua

lim lim

lim

lim

lim

lim lim

lim

lim

lim

lim

Por lo tanto es asíntota oblicua de

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


124


Determinar las asíntotas de:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

)

8)

9)

10)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


125

Solución:

1) Asíntota vertical: Asíntota horizontal: Asíntota oblicua: No existe.

2) Asíntota vertical: Asíntota horizontal: No existe. Asíntota oblicua:









VIR

GIN

IO G

OM

EZ


126

Continuidad

Sea una función real, entonces se dice que es continua en si, y sólo si

Ejemplos

Analizar la continuidad en

Solución

Punto de análisis

lim lim

Es posible levantar la indeterminación

lim lim

Por lo tanto, lim

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


127

lim

Luego es discontinua en En este caso es posible redefinir la función de modo de hacerla continua

Este tipo de discontinuidad recibe el nombre de discontinuidad evitable

1

Solución

Punto de análisis

lim lim No es posible levantar la indeterminación

Por lo tanto, no existe1 1

lim

Como no se cumple la condición de continuidad se concluye que es discontinua en

En este caso no es posible redefinir la función de modo de hacerla continuaEste tipo de discontinuidad recibe el nombre de discontinuidad infinita

Solución

Punto de análisis

lim lim

lim lim

lim lim lim , por lo tanto

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


128

lim

Luego es continua en

Puntos de análisis

* Para

lim lim

lim lim

lim lim lim , por lo tanto no existe

Como no se cumple la condición de continuidad se concluye que es discontinua en

* Para

lim lim

lim lim


lim


Del análisis anterior, se concluye que es discontinua en el intervalo ,

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


129

Puntos de análisis

* Para

lim lim

lim lim


lim

Luego, es continua en

* Para

lim lim

lim lim


lim


Del análisis anterior, se concluye que es continua en el intervalo

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


130


Analizar la continuidad en

2

3

4

5 2

6

7

8

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


131

Solución:

lim

lim


2 2

1lim

lim


3

lim

lim

Luego no es continua en

4

lim

Luego no existe.lim

es discontinua en

5

lim

lim

No existe lim

Luego es discontinua en

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


132

6

lim

lim

Existe 1

lim

lim


Por lo tanto, es discontinua en el intervalo

7 Para Para

lim lim

lim lim

Existe No existe lim lim

lim

Luego es continua en Luego es discontinua en


8 Para Para

lim lim

lim lim

Existe Existe 7

lim lim

lim lim

Luego es continua en Luego es continua en

Por lo tanto, es continua en el intervalo

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


133

Otros estilos de ejercicios asociados a la continuidad son los siguientes

Determine el valor de para que la función sea continua en todo su dominio.

Solución

Para que la función sea continua debe cumplirse la condición

lim lim

Luego la función es


lim lim lim lim


Determine el valor de y de para que la función sea continua en todo su dominio


lim lim lim lim

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


134

lim lim lim lim

De y se obtiene un sistema de ecuaciones

de donde


Determine el valor de y de para que la función sea continua en todo su dominio


lim lim lim lim

lim lim lim lim

De y se obtiene un sistema de ecuaciones

de donde


VIR

GIN

IO G

OM

EZ


135


Determine el valor de " " para que la función sea continua en todo su dominio:

2

3

4

Determine los valores de " " y " " para que la función sea continua en todo su dominio:

5

6

7

8

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


136

Solución:

1)

2)

3)

4)

5)

6) 4 3

11 11

7)

8)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


137

UNIDAD 4: DERIVADAS.

Sea una función real y sean y dos puntos de C œ 0 B T B ß C U B ß C 0 B Þa b a b a b a b" " # #

es una recta secante a , luego la pendiente de esP C œ 0 B P À" "a b

incremento de ordenadasincremento de abscisas

7 œ Ê 7 œ œC C C

B B B" "

# "

# "

?

?

Como entonces ? ?B œ B B ß B B œ B# " " #

C œ 0 B" "a b C œ 0 B Ê C œ 0 B B# # # "a b a b?

Así, 7 œ0 B B 0 B

B"

" "a b a b?

?

Si se aproxima a , tiende a cero y la recta recta secante se transforma en la recta ,U T B P P? " #a bque es la recta tangente a en el punto Es decir,C œ 0 B T B ß C Þa b a b" "

lim?

?

?B Ä !

0 B B 0 B

BC œ 0 B es la pendiente de la recta tangente a en el

a b a b a b" "

punto con T B ß C C œ 0 Ba b a b" " " "

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


138

Concepto de derivada de una función

Si es una función, entonces la derivada de en es

si el límite existe.lim

Notación

lim

Teoremas

Teorema1: es derivable en si existe .

Teorema 2: es derivable en el intervalo si lo es en cada punto del intervalo.

Teorema 3: Si es derivable en , entonces es continua en

El cuociente se denomina .Cuociente de Newton

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


139

Interpretaciones de la derivada

I) Geometría Analítica:

a) Si , entonces la derivada representa la lim pendiente

de la recta tangente a en el punto El punto debe pertenecer a la funciónpara ser el punto de tangencia.

Si es punto de tangencia de la curva entonces es posible establecer lasecuaciones de dos rectas

Recta Tangente

Recta Normal

La recta tangente y la recta normal son perpendiculares en el punto de tangencia.

b) Si , entonces representa, además, la lim razón instantánea de

cambio de con respecto a .

II) Física:

* Velocidad media

Si es la función de posición de un objeto en movimiento rectilíneo, entonces la velocidaddel objeto en el intervalo es

* Velocidad o velocidad instantánea

Si es la función de posición de un objeto en movimiento rectilíneo, entonces la velocidaddel objeto en el tiempo es

lim

Rapidez

* Aceleración

Si es la función de posición de un objeto en movimiento rectilíneo, entonces suaceleración en el instante es

lim

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


140

Reglas de derivación:

1) Si , una constante, entonces

2) Si , un número racional, entonces

3) Si y una constante, entonces

4) Si , entonces

5)Si , entonces

6) Si con , entonces

Ejemplos

I) Obtener en

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


141

II) Determine la ecuación de la recta tangente y normal a la función en el punto de tangencia dado.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


142

Recta tangente Recta normal

Recta tangente Recta normal

III)1)La altura en el instante de una moneda que se deja caer es con medida enpies y medido en segundos. Hallar

a) velocidad media en el intervalo

la velocidad media es de pies/seg.

b) velocidad instantánea en y

la velocidad instantánea en es pies/seg. y en es pies/seg.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


143

c)¿cuánto tarda en llegar al suelo?

en llegar al suelo tarda aproximadanemte segundos

2) La velocidad de un automóvil que parte del reposo es , en m/seg. Hallar la aceleración

tras :a) 5 segundos.b) 10 segundosc) 15 segundos

la aceleración a los segundos es de m/seg 2

la aceleración a los segundos es aproximadamente de m/seg 2

la aceleración a los segundos es aproximadamente de m/seg 2


I) Obtener en

2)

3)

4)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


144

5)

II) Determine la ecuación de la recta tangente y normal a la función en el punto de tangencia dado.

2)

III) 1)La posición de un cuerpo está dada por con medida en metros y medido enminutos. Hallar

a) velocidad media en el intervalo 2 3

b) velocidad instantánea en 3 y 5

c)¿en qué tiempo el cuerpo vuelve a pasar por el origen?

2) La velocidad de un tren que parte del reposo es , en km/hr. Hallar laaceleración tras :

a) horas. b) 3 horas. c) 90 minutos.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


145

Solución :

I) 1)

2)

3)

4)

5)

II) 1) Recta tangente:

Recta normal:

2) Recta tangente:

Recta normal:

III) 1) a) Veloc media: b) Veloc instantanea: => => c) El cuerpo vuelve a pasar por el origen después de

2) a) La aceleración a las 2 horas es de b) La aceleración a las 3 horas es de c) La aceleración a los 90 minutos es de m 2

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


146

Regla de la cadena

a) Si es una función derivable y es también una función derivable, entonces

b) Si es una función derivable, es una función derivable y estambién una función derivable, entonces

c) Si , entonces

Ejemplo

Obtener en

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


147

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


148

6)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


149


Obtener en

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


150

Solución :

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


151

8)

9)

10)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


152

Derivación Implícita

Hasta el momento se han derivado funciones explícitas, es decir, funciones de la forma .Ahora, se derivarán funciones implícitas, es decir, funciones en las cuales la variable dependiente noaparece despejada.

Son funciones explícitas Son funciones implícitas

Para derivar funciones implícitas se usa el proceso de derivación implícita que consiste en derivartanto la variable como la variable usando las reglas de derivación ya conocidas y cada vez que se

derive la variable , variable dependiente, se debe agregar

Ejemplos

2

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


153

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


154


Obtener en

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


155

Solución :

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


156

Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas





Ejemplos

Obtener en

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


157

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


158

Derivación logarítmica

Hasta el momento se han derivado expresiones de la forma ó , es decir,expresiones en las cuales la base o el exponente de una potencia son variables. Ahora, se derivaránexpresiones en las cuales tanto la base como el exponente son variables. Para este tipo de expresiones seusa la Este estilo de derivada consiste en aplicar a la función dada la funciónderivación logarítmica.logaritmo natural y recordar la siguiente propiedad

Después que se aplica esta propiedad se deriva en forma implícita.

Ejemplos

Obtener en

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


159

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


160


Obtener en

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


161

Solución :

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


162

8)

9)

10)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


163

Derivada de funciones trigonométricas







Ejemplos

Determine en

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


164

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


165


Determine en

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


166

Solución :

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


167

Derivada de funciones trigonométricas inversas







Ejemplos

Determine en

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


168

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


169


Obtener en

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


170

Solución :

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


171

Derivadas de orden superior

es una función real que al derivarla, es decir, al obtener obtenemos otra funciónque depende de , por lo tanto, se puede volver a derivar y así obtener la segunda derivada

. Pero, a su vez, es también una función, luego es posible derivarla y así obtener la

tercera derivada y así sucesivamente. En general, si tiene derivadas, entonces la ésima derivada será

Ejemplos

1) Determinar todas las derivadas de

2) Obtener en

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


172


Determinar todas las derivadas de:

Obtener en:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


173

Solución:

1)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


174

d)

2

2

e)

2

2

f)

2

2

g)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


175

Aplicación de la derivada

A) Gráfico de curvas

Conceptos

a) Valores extremos

Sea una función definida en un cierto intervalo I donde I, entonces

1) es el de en I si, y sólo si I.mínimo

2) es el de en I si, y sólo si I.máximo

Criterios de la primera derivada

b) Valor crítico

Si es una función que existe para , entonces se dice un de si, yvalor críticosólo si . El punto se denomina de punto crítico

c) Intervalos de crecimiento y/o decrecimiento

Si es una función definida en un cierto intervalo I, entonces

1) es en I si, y sólo si I.creciente

2) es en I si, y sólo si I.decreciente

d) Concavidad

Si es una función definida en un cierto intervalo I, es derivable en I, entonces

1) es en I si, y sólo si es creciente en I.cóncava hacia arriba

2) es en I si,y sólo si es decreciente en I.cóncava hacia abajo

Criterios de la segunda derivada

e) Valor de inflexión

Si es una función definida en un cierto intervalo I que existe para , entonces sedice un del gráfico de si, y sólo si . El punto se denominavalor de inflexiónpunto de inflexión del gráfico de

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


176

f) Intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo

Sea es una función definida en un cierto intervalo I, entonces

1) es en I si, y sólo si I.cóncava hacia arriba

2) es en I si, y sólo si I.cóncava hacia abajo

g) Valores máximos y/o mínimos

Si es un valor crítico de , entonces el punto es un

1) relativo de si, y sólo si .máximo

2) relativo de si, y sólo si mínimo

Ejemplos

Determine puntos críticos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, puntos de inflexión,intervalos de concavidad, puntos de máximos y/o mínimos y gráfico de

Puntos críticos

Punto crítico

Intervalo de crecimiento y decrecimiento

IntervaloValor de pruebaSigno de Conclusión decreciente creciente

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


177

Punto de inflexión:

Falso

Por lo tanto, no existe punto de inflexión.

Intervalos de concavidad

Como entonces es siempre cóncava hacia arriba.

Punto de máximo y/o mínimo

Luego es un mínimo de

Puntos críticos

Puntos críticos

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


178

Intervalo de crecimiento y decrecimiento

IntervaloValor de pruebaSigno de Conclusión creciente decreciente creciente

Punto de inflexión

Punto de inflexión

Intervalos de concavidad

Punto de máximo y/o mínimo

Luego es un mínimo de

Luego es un máximo de

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


179


Determine puntos críticos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, puntos de inflexión, intervalos deconcavidad, puntos de máximos y/o mínimos y gráfico de

1)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


180

Solución:

Puntos Críticos:

Interv de crecimiento y/o decrecim:

Punto de Inflexión: No existe punto de inflexión.

Intervalo de Concavidad: siempre es cóncava hacia arriba.

Punto de máximo y/o mínimo: es un mínimo de .

2 Puntos Críticos:



Intervalo de Concavidad: siempre es cóncava hacia abajo.

Punto de máximo y/o mínimo: es un máximo de .

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


181

Puntos Críticos:



Intervalo de Concavidad: siempre es cóncava hacia arriba.

Punto de máximo y/o mínimo: es un mínimo de .

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


182

Puntos Críticos:



Intervalo de Concavidad: siempre es cóncava hacia abajo.

Punto de máximo y/o mínimo: es un máximo de .

Puntos Críticos:

Interv de crecimiento y/o decrecim: : 1

Punto de Inflexión:

Intervalo de Concavidad:

Punto de máximo y/o mínimo: es un mínimo de es un máximo de

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


183

Puntos Críticos:

Interv de crecimiento y/o decrecim: : 1



Punto de máximo y/o mínimo: 4 es un mínimo de 4 es un máximo de

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


184

7 Puntos Críticos:


:



Punto de máximo y/o mínimo: es un mínimo de

es un máximo de

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


185

8 Puntos Críticos:

Interv crecimiento y/o decrecim: :



Punto de máximo y/o mínimo: ( es un mínimo de

es un máximo de

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


186

Obtenga asíntotas, puntos críticos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, puntos deinflexión, intervalos de concavidad, puntos de máximos y/o mínimos y gráfico de

Asíntota vertical

lim lim

Por lo tanto, es una asíntota vertical

Asíntota horizontal

lim lim

Por lo tanto, es una asíntota horizontal

Punto crítico

Falso

Luego, no existe punto crítico

Intervalo de crecimiento y de decrecimiento

Como

Por lo tanto es decreciente

Punto de inflexión

Falso

No existe punto de inflexión

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


187

Intervalo de concavidad

Como , entonces

Como , entonces

Máximo y/o mínimo:

Como no existe punto crítico, entonces no hay puntos de máximo ni de mínimo

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


188

Asíntota vertical

lim lim


lim lim


Asíntota horizontal

lim lim

Por lo tanto, es una asíntota horizontal

* :Punto crítico

Punto crítico

Intervalo de crecimiento y de decrecimiento

IntervaloValor de pruebaSigno de Conclusión creciente decreciente

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


189

Punto de inflexión

No existe en

No existe punto de inflexión.

Intervalo de concavidad

Como , entonces

Como , entonces

IntervaloValor de pruebaSigno de Conclusión cóncava hacia arriba cóncava hacia abajo cóncava hacia arriba

Máximo y/o mínimo

Luego, es un máximo de

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


190


Obtenga asíntotas, puntos críticos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, puntos deinflexión, intervalos de concavidad, puntos de máximos y/o mínimos y gráfico de

1

2)

3)

4

5

6

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


191

Solución:

Asíntota Vertical:

Asíntota Horizontal:

Puntos Críticos: No existe Punto Crítico.

Interv de crecimiento y/o decrecim: es decreciente

Punto de Inflexión: No existe Punto de Inflexión.

Intervalo de Concavidad: 2 2

Punto de máximo y/o mínimo: No existe Punto Crítico No existe Punto demáximo ni de mínimo.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


192

2 Asíntota Vertical:



Interv de crecimiento y/o decrecim: es creciente




VIR

GIN

IO G

OM

EZ


193




Interv de crecimiento y/o decrecim: es creciente




VIR

GIN

IO G

OM

EZ


194



Puntos Críticos:

Interv de crecimiento y/o decrecim: :



Punto de máximo y/o mínimo: 0, es un mínimo de .29

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


195



Puntos Críticos:




Punto de máximo y/o mínimo: 0, es un máximo de .

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


196



Puntos Críticos:




Punto de máximo y/o mínimo: 0, es un mínimo de ..

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


197

B) Problemas de aplicación de máximos y/o mínimos

Procedimiento

1) Realizar un dibujo esquemático.

2) Asignar variables a cada una de las cantidades mencionadas en el problema.

3) Establecer una ecuación que represente lo que se desea maximizar o minimizar

4) Transformar la ecuación anterior en una ecuación que depende de una sola variable usandotoda la información del problema.

5) Determinar el punto crítico de la ecuación encontrada en 4 . Este valor será un máximo si elproblema es maximizar o un mínimo si el problema consiste en minimizar.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


198

Ejemplos

1) Una caja cerrada con una base cuadrada debe tener un volumen de 64 m . El material de la parte de3

encima y el fondo de la caja cuesta $1000 por m y el material de los lados $500 el m . Calcular las2 2

dimensiones de la caja cuyo costo de construcción es mínimo.

Las dimensiones de la caja son base m y altura m.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


199

2) Un impresor recibe un pedido para producir un cartel rectangular que contiene 100 cm de2

impresión rodeado de márgenes de 1 cm. a cada lado, 3 cm. en la parte superior y 2 cm. en la parte inferior.¿Cuáles son las dimensiones del cartel más económico?

Las dimensiones del cartel son largo cm. y ancho cm.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


200

3) En una ribera de un río de 3 km. de ancho hay una planta eléctrica. En la ribera opuesta y 4 km. aguasarriba hay una fábrica. Se desea tender un cable dede la planta eléctrica hasta la fábrica. calcular el trazadomás económico, si el metro de cable bajo el agua tiene un costo de $1200 y el metro de cable aéreo tiene uncosto de $720

El trazado más económico es 3.75 m. bajo agua y 1.75 m. aéreo

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


201


1) Una caja cerrada con una base rectangular en la cual la altura es el triple de un de los ladosbasales, debe tener un volumen de 48 m . El material de la parte de encima y el fondo de la caja3

cuesta $2.500 por m y el material de los lados $1.500 el m . Calcular las dimensiones de la caja2 2

cuyo costo de construcción es mínimo.

2) Con una malla de 48 mt se desea construir un corral aprobechando una pared. ¿Cuáles deben serla dimensiones para que el area sea máxima, si el corral tiene forma rectangular?.

3) Con una plancha de 144 cm por 96 cm se construirá una caja. ¿Cómo deben ser los cortes paraque el volumen de la caja sea máximo?.

4) Un rectángulo tiene un perímetro de 120 mt. ¿Qué largo y ancho da el area máxima?.

5) La diferencia entre dos números es 20. ¿Cuáles son aquellos en que su producto es mínimo?.

6) Se desea construir un depósito en forma de cilindro con capacidad máxima para 12 litros.Determinar las dimensiones con el fin de emplear la mínima cantidad de material.

7) Encontrar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en unacircunferencia de radio 12.

8) Una ventana normando tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. Encontrarsus dimensiones si el perímetro es de 12 pies y su área debe ser la máxima posible.

9) Calcular el área máxima del rectángulo que tiene su base inferior sobre el eje X y sus otros dosvértices en la curva

10) Con un alambre de 36 cm se construye un cuadrado y un círculo .¿Cómo ha de cortarse el alambreen dos partes para que la suma de sus areas sea máxima.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


202

Solución:

1) Largo: 16 ; Ancho: ; Alto: 3 81 20 20

400 9 93 3 3

2) Largo: 24 mt ; Ancho: 12 mt

3) Cortes cuadrados de 18,83 cm x 18,83 cm

4) Largo: 30 mt ; Ancho: 30 mt

5) Números:

6) Radio: Altura

7) Es un cuadrado de lado

8) Radio semi circunferencia:

Largo rectángulo:

Ancho rectángulo:

9) El área máxima del rectángulo es

10) Corte para cuadrado: Corte para círculo:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


203

C) Problemas de variaciones relacionadas

Procedimiento

1) Asignar variables a todas las cantidades dadas y las cantidades a determinar.

2) Determinar una ecuación que represente al problema.

3) Derivar implícitamente con repecto al tiempo.

4) Sustituir en la ecuación resultante todos los valores conocidos de las variables y sus razones decambio.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


204

Ejemplos

1) Una escalera de 25 pies de largo está apoyada en una casa. Si la base de la escalera se separa de la pareda razón de 2 pies/seg. ¿A qué velocidad está bajando su extremo superior cuando la base está a 7 pies de lapared?.

piesseg.

?

derivando implícitamente con respecto al tiempo

El extremo superior decrece a razón de 7 pies/seg.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


205

2) Se arroja arena en un montón cónico a razón de 100 pies /min. Hallar la razón de cambio de la altura del3

montón cuando su altura es 10 pies. Suponga que el radio del cono es igual a su altura .

pies ?piesmin.

3

como , se tiene

derivando implicitamente con respecto al tiempo

La altura del montón cónico crece a razón de pies/min.1

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


206

3) Un automóvil que se desplaza a razón de 120 km/hr., se aproxima a un cruce. Cuando el auto está a1km. de la intersección, un camión que viaja a 150 km/hr. cruza la intersección. El auto y el camión seencuentran en carreteras que forman un ángulo recto entre sí. ¿Con qué rapidez se separan 1 minutodespués que el camión pasa el cruce?.

;km kmhr hr

km minutos km minuto km

km minutos

km minuto km

un minuto después

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


207

derivando implicitamente con respecto al tiempo

Como , entonces

Luego

El auto y el camión se separan a una velocidad de km/hr después que el camión pasa por el cruce.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


208


1) La razón de cambio del radio de un círculo es de 5 mt/mín. ¿Cuál es la velocidad de cambio delperímetro?

2) El largo de una parcela rectangular aumenta a razón de 7 mt/mín ¿Cuál es la velocidad decambio del perímetro de la parcela si su ancho permanece constante?

3) Se infla un globo a razón de 1.800 cm /sg. Determinar la velocidad de aumento de radio del3

globo cuando este mide 15 cm?.

4) Se deposita agua en un tambor cilíndrico a razón de 400 cm /sg. Si el radio del tambor es 103

cm, determinar la razón de cambio de la altura del tambor.

5) Se deja caer una piedra en un lago en calma, lo que provoca ondas y círculos. El radio delcírculo exterior está creciendo a un ritmo constante de 1 pie/sg. Cuando el radio es 4 pies, ¿aqué ritmo está cambiando el área de la región circular?

6) Un avión vuela a una altura de millas por una trayectoria que le llevará a la vertical de unaestación de radar. Si la distancia del avión al radar decrece a una razón de millas/hr cuandodicha distancia es millas, ¿Cuál es la velocidad del avión?.

7) El radio de una esfera está creciendo a razón de pulg/mín. calcular la razón de cambio delárea de la esfera cuando el radio es pulg.

8) Una cámara de televisión , situada a ras del suelo, está filmando el despegue de un coheteespacial, que se mueve verticalmente de acuerdo con la ecuación donde se mide enpies y en segundos. La cámara dista 2.000 pies del punto de lanzamiento. Calcular la variaciónde cambio del ángulo de elevación de la cámara 10 segundos después del despegue.

9) Un cono circular recto, tiene una altura de 12 cm y un diámetro de base de 8 cm. Si se invierteel cono y se vacia agua por la base del mismo, haciendo que el radio en el nivel del agua varíecon una velocidad de . ¿Con qué velocidad cambiará el volumen de agua cuando el radio1 cm

3 mes 2 cm ?

10) Un globo asciende verticalmente sobre un punto del suelo a razón de 15 pies/sg. Un punto del suelo dista 30 pies de . Cuando el globo está a 40 pies de , ¿a qué razón está cambiando

la distancia desde el globo al punto ?

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


209

Solución:

1) El perímetro del círculo crece a razón de 10 mt/mín.

2) La velocidad de cambio del perímetro de la parcela es de 14 mt/mín.

3) El radio del círculo crece a razón de cm/sg.2

4) La altura del tambor aumenta a razón de cm/sg.4

5) El área del círculo crece a una razón de pies sg

6) La velocidad del avión es millas/hr.

7) El área de la esfera aumenta a una razón de pulg mín.

8) El ángulo de elevación de la cámara crece a una razón de rad/sg.

9) El volumen de agua aumenta a razón de cm /min.

10) La distancia desde el globo al punto aumenta a razón de pies/sg.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


210

Formas Indeterminadas

1) Si y , entonces adquierelim lim lim

la forma indeterminada

2) Si y , entonces adquierelim lim lim

la forma indeterminada

Regla de L'Hopital

1) Suponga que y lim lim lim

entonces lim lim

2) Suponga que y lim lim lim

entonces lim lim

La Regla de L'Hopital también es válida si , es decir

a) Si y si , entonceslim lim

lim

b) Si y si , entonceslim lim

lim

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


211

Ejemplos:

lim

lim

Por lo tanto, lim

lim

lim

Por lo tanto, lim

lim

lim

lim

Por lo tanto, lim

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


212

lim

27

3lim

lim

lim

lim

lim

lim

Por lo tanto, lim

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


213

Otras formas indeterminadas:

a)

En estos casos se transforma la expresión a o y luego se aplica la regla de L'Hopital.

Ejemplos:

lim

lim

lim

lim

Por lo tanto, lim

) lim

lim

lim

lim

Por lo tanto, lim

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


214

b)

Para estos casos primero se debe hacer uso de la función logaritmo natural y recordar la propiedad

Ejemplo

lim

Sea , entonces

lim lim

lim

Por otro lado, si , entonces aplicando la función logaritmo natural se tiene

Ahora, se puede aplicar la función límite

lim lim

lim

Pero, si , entonces

Por lo tanto, lim

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


215


lim

lim

lim

lim

lim

) lim

lim

lim

9 lim

10 lim

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


216

Solución:

7 5lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim

9 lim

10 lim

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


217

Unidad Nº1: Números Reales

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


218

Unidad Nº2: Geometría Analítica

1) Los vértices de un cuadrilátero son y . Calcular superímetro.

2) Determine el valor de en de modo que , con

3) Determine la ecuación de la recta en su forma general, principal y de segmento que pasa por lospuntos y

4) Determine la ecuación de la recta que pasa por y es: a) paralela con la recta b) perpendicular con la recta

5) Determine el valor de en para que la recta: a) pase por el punto b) sea paralela a la recta c) sea perpendicular a la recta

6) Los vértices de un triángulo son

Determinar: a) Ecuación de sus lados en forma principal y general b) Perímetro del triángulo ABC c) Ecuación de las transversales de gravedad d) Ecuación de las alturas e) Ecuación de las medianas f) Area de triángulo ABC

7) Identifique la cónica, determine sus puntos representativos y gráfica de: a) b) c) d)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


219

Unidad Nº3: Límites y Continuidad

1) Determine si existen, los siguientes límites:

a) lim

b) lim

c) lim

d) lim

e) lim

f) lim

g) y si: lim lim

2) Determine las asíntotas de:

a)

b)

c)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


220

3) Analice la continuidad en:

a)

b)

c)

4) Determine el valor de , y , según corresponda para que la función sea continua en todo sudominio:

a)

b)

c)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


221

Unidad Nº4: Derivadas

1) Obtener la primera derivada de:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


222

2) Obtenga asíntotas (si corresponde), puntos críticos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento,puntos de inflexión, intervalos de concavidad, puntos de máximos y/o mínimos y gráfico de:

a)

b)

3) Desarrolle los siguientes problemas:

a) Dos postes, de 12 y 28 pies de altura, distan 30 pies. Hay que conectarlos mediante un cableque esté atado en algún punto del suelo entre ellos. ¿En qué punto ha de amarrarse al suelo con elfin de utilizar la menor cantidad de cable que sea posible?

b) Un granjero dispone de 200 metros de valla para cerrar dos corrales adyacentes. ¿Quédimensiones harán que el área encerrada sea máxima?.

c) Un controlador observa dos aviones que vuelan en trayectorias perpendiculares y a la mismaaltura. Uno de ellos dista 150 millas y se mueve a 450 millas/hr. El otro está a 200 millas y sedesplaza a 600 millas/hr. ¿A qué ritmo decrece la distancia entre ellos?.

4) Determine los siguientes límites aplicando ' opital:

a) lim

b) lim

c) lim

d) lim

e) lim

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


223

Solución:

Unidad Nº1:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


224

Unidad Nº2:

1) Perímetro

2)

3)

4) a)

b)

5) a) b) c)

6) a) Lado a:

Lado b:

Lado c:

b) Perímetro =

c)

d)

e)

f) Area

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


225

7) a) Cónica: Elipse

Centro


Vértices eje menor: ;

Focos:

Excentricidad:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


226

b) Cónica Parábola

Vértice

Foco

Directriz

Eje de simetría

Long. lado. recto

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


227

c) Cónica: Circunferencia

Centro:

Radio:

d) Cónica: Hipérbola

Vértices eje real:

Vértices eje imaginario: ;

Focos:

Excentricidad:

Asíntotas:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


228

Unidad Nº3:

1) a) 18lim

b) lim

c) lim lim

Luego a la izquierda de , crece y a la derecha de decrece.

Por lo tanto, no existe lim

d) lim

e) lim

f) lim

g) lim lim

lim lim

lim

lim lim

lim lim

No lim

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


229

2) a) Asíntota vertical: 1

Asíntota horizontal: 1

Asíntota oblicua: No existe.

b) Asíntota vertical:

Asíntota horizontal: No existe.

Asíntota oblicua:

c) Asíntota vertical:

Asíntota horizontal:

Asíntota oblicua: No existe.

3) a)

lim

lim


b

lim lim

Existe lim

lim


VIR

GIN

IO G

OM

EZ


230

c Para Para

lim lim

lim lim

Existe No existe lim lim

lim

Luego es continua en Luego es discontinua en


4) a)

b)

c)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


231

Unidad Nº4:

1) a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


232

l)

m)

n)

o)

2) a) Puntos Críticos:

Interv de crec y/o decrec:

:



Punto de máx y/o mín: es un mínimo de

es un máximo de

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


233

b) Asíntota Vertical:


Puntos Críticos:


:



Punto de máximo y/o mínimo: 0, es un mínimo de .9

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


234

3) a) Debe amarrarse a 9 pies del poste mas bajo.

b) Cada corral debe medir metros de largo por 25 pies de ancho.

c) La distancia entre los aviones disminuye a una velocidad de 750 millas/hr.

4) a) lim

b) lim

c) lim

d) lim

e) lim

Calculo 1 virginio Gomez

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