Calculo 1 Integrais.pdf

8/18/2019 Calculo 1 Integrais.pdf

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁPR


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PRINCIPAIS FÓRMULAS E PROPRIEDADES DAS DERIVADAS

Nesta tabela,f , g, u e v são funções deriváveis dex, e k, a e n são constantes1) [ k ] ’ = 02) [ x ] ’ = 13) [ k . f ] ’ = k. f ’

4) [ f ± g] ’ = f ’± g ’ (sendo válida para mais de duas funções)5) [ f . g] ’ = f ’. g + f . g ’6) [ x n ] ’ = n. x n -1 7) [ u n ] ’ = n. u n – 1 . u ’

8) 2'

g'gf -g'f ⋅⋅=

g f

9) [ a u ] ’ = au . ln a . u ' (para a > 0 e a≠ 1)10) [ e u ] ’ = u '. eu

11) [ ualog ] ’ = alnu'

⋅

u (para a > 0 e a≠ 1e u > 0)

12) [ u ln ] ’ =u'u (para u > 0)

13) [ vu ] ’ = 'vulnu 'uuv v1-v ⋅⋅+⋅⋅ (para u > 0)14) [ sen u ] ’ = u ’. cos u

15) [ cos u ] ’ = - u ’. sen u16) [ tg u ] ’ = u ’. sec2 u17) [ cotg u ] ’ = - u ’. cossec2 u18) [ sec u ] ’ = u ’. sec u. tg u19) [ cossec u ] ’ = - u ’. cossec u. cotg u

20) [ arc sen u ] ’ =u '

1 - u2

21) [ arc tg u ] ’ = 2u+1'u

22) [ arc cos u ] ’ =2u-1

'u−

23) [ arc cotg u ] ’ = 2u+1'u

−

24) [ arc sec u ] ’ =1-uu

'2

⋅

u

25) [ arc cossec u ] ’ =1-uu

' 2

⋅

− u


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PRINCIPAIS REGRAS DE DERIVAÇÃO(Neste quadro,u e v são funções deriváveis de x. Por outro lado,k, a, m e n são constantes.)

FUNÇÃO DERIVADA1. k y= com ℜ∈k 0'= y 2. x y= 1'= y 3. uk y ⋅= com ℜ∈k '' uk y ⋅=

4. vu y ±= ''' vu y ±= 5. muuuu y ±±±±= ...321 com * N m∈ '...'''' 321 muuuu y ±±±±= 6. nu y= com ℜ∈n '' 1 uun y n ⋅⋅= − 7. vu y ⋅= ''' vuvu y ⋅+⋅= 8. muuuu y ⋅⋅⋅⋅= ...321 com

* N m∈ '.........'...'' 321321321 mmm uuuuuuuuuuuu y ⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=

9. vuy = )0( ≠v 2

'''v

vuvu y ⋅−⋅=

10. ua y= com )10( ≠> aea aau y u ln'' ⋅⋅= 11. ue y = ueu y ⋅= ''12. ualogy = com )0,10( >≠> uaea

alnu' '

⋅=

u y

13. u y ln= com 0)(u > u

'u 'y =

14. vu y= com 0)(u > ulnvu' v 'u1-vuv' ⋅⋅+⋅⋅= y 15. usen y= uu y cos'' ⋅= 16. u y cos= usenu y ⋅−= ''17. utg y= uu y 2sec'' ⋅=

18. ug y cot= uu y2

seccos'' ⋅−= 19. u y sec= utguu y ⋅⋅= sec''20. u y seccos= uguu y cotseccos'' ⋅⋅−= 21. usenarc y =

u-1''

2

u y =

22. uarc y cos= u-1''

2

u y −=

23. utgarc y = 2

u+1

'' u y =

• Definição de Derivada geral: x x f x x f

x y

dxdf

dxdy x f y

x x ∆−∆+=

∆∆====

→∆→∆

)()(limlim)(''00

• Definição de Derivada em um ponto p: px)p(f )x(f lim(p)'f

px −−

=→

• Velocidade Instantânea: )('lim0

t sdt ds

t sv

t i==

∆∆=

→∆

• Aceleração Instantânea: )(''(t)'lim0

t svdt

dv

t

vat

i ===∆

∆=→∆

• Equação da reta tangente: )()(')( p x p f p f y −⋅=− Normal: )()('

1)( p x p f

p f y −⋅−=−

• Regra da Cadeia:

dxdu

dudy

dxdy

⋅=

• Derivada da funçãoinversa:

dxdy

dydx

÷= 1


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FÓRMULAS E PROPRIEDADES DE INTEGRAIS

1) ∫∫ ⋅=⋅ dx)(kdx)( x f x f k 2) ∫∫∫ ±=± dx)(dx)(dx)]()([ xg x f xg x f (sendo válida para mais de duas funções)

3) k n

n x x ++

+=∫ 1

1dxn (para 1−≠n )

4) k x

x |x|lndx1dx1- +==∫∫ (para 0≠ x )

5) =+

≠++

+=∫

-1nse ,|x|ln

-1nse,1

1dxn

k

k n

n x x (resumindo as fórmulas (3) e (4))

6) k x+=∫ dx (caso particular da fórmula (3))7) k

uu |u|lndu' +=∫ (extensão da fórmula (4)∫ += k uduu ln

1 )

8) k ee x

+=∫ dxx

ou k edue uu

+=∫ 9) k ee +=∫ α

α α

.x.x dx (consequência da fórmula (8))

10) k aa +=∫ alndxx

x ( caso geral da fórmula (8))

11) k ee u +=⋅∫ duu'u (extensão da fórmula (8))12) k u +=∫ cos-duusen13) k u +=∫ senduucos14) k |ucos|ln-duutg +=∫ 15) k |usen|lndxucotg +=∫ 16) k utgduusec2 +=∫ 17) k ucotg-duucossec2 +=∫ 18) k u secdxutgusec +=⋅∫ 19) k ucossec-duucotgucossec +=⋅∫ 20) k

u utgarcdu

1

12 +=

+∫

21) k au

au tgarc1du

a1

22 +=+∫ (extensão da fórmula (20))22) k

u usenarcdu

11

2+=

−∫

23) k u

ausenarcdu

a1

22+=

−∫ (extensão da fórmula (22))

24) k a xdxa x

+−=−∫ ||ln1

25) ∫ ++= k utguduu |sec|lnsec 26)∫ dusec3 u = [ ] k utguutgu +++⋅ |sec|lnsec21 27) Fórmulas de recorrência:Guidorizzi (2005) vol.1, pág 387, ex.4.


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PRINCIPAIS FÓRMULAS E PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS

1) ∫∫ ⋅=⋅ du)(du)( u f k u f k 2) ∫∫∫ ±=± du)(du)(du)]()([ ugu f ugu f (sendo válida para mais de duas funções)

3) k n

nuu ++

+=∫ 1

1dun (para 1−≠n )

4) k u

u |u|lndu1du1- +==∫∫ (para 0≠u )

5) =+

≠++

+=∫

-1nse ,|u|ln

-1nse,1

1dun

k

k n

nuu (resumindo as fórmulas (3) e (4))

6) k edue uu +=∫ 7) k aa +=∫ alndu

uu

8) k u +=∫ cos-duusen9) k u +=∫ senduucos10) k |ucos|ln-duutg +=∫ 11) k |usen|lndxucotg +=∫ 12) k utgduusec2 +=∫ 13) k ucotg-duucossec2 +=∫ 14) k u secdxutgusec +=⋅∫ 15) k ucossec-duucotgucossec +=⋅∫ 16) k

u utgarcdu

11

2 +=+∫ e k u au tgarc

a1du

a1

22 +

=+∫

17) k u

usenarcdu1

12

+=−

∫ e k u

ausenarcdu

a1

22+

=−

∫

18) ∫ ++= k utguduu |sec|lnsec e ∫ +++⋅= k utguutguduu ]|sec|ln[sec21sec3

19) ∫∫ ⋅⋅=⋅ duv-vudvu (integração por partes)20) k a xdxa x

+−=−∫ ||ln1

• Algumas aplicações das integrais:

+=+=⇒

⋅=⋅=⇒

==⇒

∫∫∫∫

∫∫

dy)]('[1oudx)]('[1ArcodeoCompriment

dy)]([Voudx)]([VVolume

dy)(oudx)(Área

22

22

d

c

b

a

d

c

b

a

d

c

b

a

y f C x f C

y f x f

y f A x f A

π π

• 1cos22 =+ θ θ sen θ θ 2cos2121cos2 += θ θ 22 sec1 =+ tg


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DEFINIÇÕES E FORMULÁRIO DE REVISÃO

• Definição de Derivada geral: x x f x x f

x y

dxdf

dxdy x f y

x x ∆−∆+=

∆∆====

→∆→∆

)()(limlim)(''00

• Definição de Derivada em um ponto p: px)p(f )x(f

lim(p)'f px −−

= →

1) Equação da Reta Tangente: p)-(x(p)')( ⋅=− f p f y

• Equação da Reta Normal: )()(p'1)( p x

f p f y −⋅−=−

• Velocidade Instantânea: )('lim0

t sdt ds

t sv

t i==

∆∆=

→∆

• Aceleração Instantânea: )(''(t)'lim0

t svdt dv

t va

t i===

∆∆=

→∆

• Variação da Função: ⇒

0(x)'f edecrescentFunção0(x)'f constanteFunção0(x)'f crescenteFunção

• Concavidade da Função: ⇒

0(x)''f baixoparaVoltada0(x)''f cimaparaVoltada

• Ponto de máximo local: 0)(''0)('


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• Primitivas ou Antiderivadas: ∫ ∈∀=⇔+= )( f(x)(x)'FkF(x)dx)( f Dom x x f

• Teorema Fundamental do Cálculo (TFC): )()()]([)( aF bF xF dx x f bab

a−==∫ onde

b xa x f xF ≤≤= ),()('

A integral definida significa, geometricamente, a medida da área da superfície limitada pelo gráfico d

curva, pelo eixo dos x e pelas retas x = a e x = b. ∫= ba dx x f )(Área

• Integrais aplicações:

=

⋅==

==

==

∫

∫∫

Ferraudoe RighettoVer x f

t vd

x f A

b

a

b

a

b

a

RevoluçãodeSuperfíciedaÁreadx)]([VVolume

dt)(Distância

dx)(Área

2π

• Aplicação Física:==

==

∫∫

)(')(pois,dt)()(

)(')(pois,dt)()(

t vt at at v

t st vt vt s

Nota: As constantes serão determinadas pelas condições iniciais.

• Integrais por partes:⋅⋅=⋅

⋅⋅=⋅

∫∫

∫∫

duv-vudvuou

dxg(x)(x)'f - g(x)f(x) dx(x)'gf(x)

• Integração por frações parciais: Seja ∫ −⋅− dx x x xP

)()()(

β α , com β α ≠ e P(x) um polinômio.

Então:

1) Se o grau de P for estritamente menor que o grau do denominador (grau de P < 2), então:

)()()()()(

β α β α −+−=−⋅− x B

x A

x x xP

e, assim,

∫ −⋅− dx x x xP

)()()(

β α = k x B x A ||ln||ln +−⋅+−⋅ β

Resumindo: Com ℜ∈≠ nm,,,, β β α , temos:

k x B x Adx x

Bdx x

Adx x xnmx

+−⋅+−⋅=−

+−

=−⋅−

+ ∫∫∫ ||ln||ln)()( β α β α β α

2) Se o grau de P for maior ou igual ao do denominador, precisamos antes fazer a divisão.


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• ALGUMAS FÓRMULAS ÚTEIS EM CIRCUITOS E MEDIDAS:

TENSÃO CORRENTE POTÊNCIARESISTÊNCIA i Rv ⋅=

Rvi = Riiv p ⋅=⋅=

2

INDUTÂNCIAdt di Lv ⋅= ∫= dt v Li

1 dt dii Liv p ⋅⋅=⋅=

CAPACITÂNCIA ∫= dt iC v1

dt dvC i ⋅=

dt dvvC iv p ⋅⋅=⋅=

• POTÊNCIA MÉDIA: ∫= T dt pT P 01 onde T é o período e

π ω 2

1==

T f

• ENERGIA: ∫= 21

t

t dt pW ou

T t W P ⋅=

•

ALGUMAS APLICAÇÕES DO CDI-1 À FÍSICA♦ t vss

t t ss

t sv

t ⋅+=⇒

−−

=∆∆=

=

0

0

0

00

e t avvt t vv

t va

t ⋅+=⇒

−−

=∆∆=

=

0

0

0

00

♦ Se t avv ⋅+= 0 e em ,0=t temos ,0ss = então:

200

200 2

121)(

0

t at vssk at t vdt t avssk

⋅⋅+⋅+=⇒++⋅=⋅+==

∫

• Pesquisar: Trabalho eResistência dos Materiais: Momento fletor e esforço cortante

- SÉRIE DE TAYLOR: Seja f derivável até a ordem n no intervalo I e seja x0 ∈ I . O polinômionn x x x f

n x x x f x x x f x x x f x f xP )()(

!1...)()('''

!31)()(''

!21)()(')()( 00)(300200000 −⋅++−⋅+−⋅+−⋅+=

denomina-se polinômio de Taylor, de ordem n , de f em volta de x0.

• Definição de limites: ε δ ε δ δ ε


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• FUNÇÃO QUADRÁTICA (ou polinomial do 2o grau) y = a . x2 + b . x + c, com a≠≠≠≠ 0

1)2

x:temos,4b doconsiderane0 22a

bcac xb xaSe⋅

∆±−=⋅⋅−=∆=+⋅+⋅

2)

xx

xx: temos0

21

212

−=+

=⋅=+⋅+⋅

ab

ac

c xb xaSe

3) )()( 212 x x x xac xb xa −⋅−⋅=+⋅+⋅

4) Vértice da parábola: V(xv, yv), onde: 2 xx

2x 21V

+=⋅

−=a

b e a⋅

∆−=4

yV

5) Decomposição de polinômios: )(...)()()()( 321 nn r xr xr xr xa xP −⋅⋅−⋅−⋅−⋅=

6) Fatorações especiais: )...()( 122321 −−−−− +⋅++⋅+⋅+⋅−=− nnnnnnn aa xa xa x xa xa x

• MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO:


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10

• FUNÇÃO EXPONENCIAL: 1a0aa y x ≠>= e,

• Propriedades das potências:

1) 43421n termos

x...x ⋅⋅⋅= x xn 2) nmnm x x x ⋅=+ 3) nm

nm

x x x =−

4) 1nn

x x =− 5) nmm x x ⋅=)( n 6) n

mn m x x =

7) )0(10 ≠= aa

• FUNÇÃO LOGARÍTMICA:≅

+==

>≠>=

+∞→..2,7182818.11lime :onde ,logxln

,log x

x xe

xa

x

0 xe1ae0a y

• Propriedades logarítmicas:

1) ( ) ( ) ( )BlogAlogBAlog aaa +=⋅ 2) ( ) ( )BlogAlogBAlog aaa −=

2) ( ) ( ) AlognAlog n aa ⋅= 4) base)demudançacomo(conhecida BlogAlog log

a

a= A B

5) xa x

a =log e por consequência xe x =ln

• GEOMETRIA ANALÍTICA:

1) Duas retas não verticais r e s são paralelas se, e somente se os seus coeficientes angulares foremiguais, isto é:

sr mmsr =⇒ //

2) Duas retas não verticais r e s são perpendiculares se, e somente se o produto de seus coeficientangulares for igual a menos um, isto é:

1−=⋅⇒⊥ sr mmsr our

s mmsr 1 −=⇒⊥

• A equação de uma circunferência de centro C(xc, yc) e raior édado por: 222 )()( r y y x x cc =−+− .

• Considerando a circunferência com centro na origem,temos: 222 )0()0( r y x =−+− ⇒ 222 r y x =+ .

22 xr y −=

2) Equação fundamental da reta: )x-(x p⋅=− m y y p , onde x

ytgm∆∆== α


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TRIGONOMETRIA- Definições, Relação Fundamental e Algumas Consequências:

1)hipco

hipotenusaoposto cateto

==θ sen 2)hipca

hipotenusaadjacente catetocos ==θ

3)caco

adjacente catetooposto cateto

==θ tg ouθ θ

θ cossentg = 4)

θ θ

θ sen

g coscot = ouθ

θ tg

g 1cot =

5)θ

θ cos

1sec = 6)θ

θ sen

1 cossec =

7) 1 cos22 =+ θ θ sen 8) θ θ 22 s tg1 ec=+

9) θ θ 22 secctg1 osco =+

10)Soma de arcos:

⋅+⋅=−⋅−⋅=+⋅−⋅=−⋅+⋅=+

bsenasenbcosacos)(cosbsenasenbcosacos)(cosacosbsenbcosa)(acosbsenbcosa)(

baba

senbasensenbasen

11) Arcos duplos:⋅⋅=

−=θ θ θ

θ θ θ cossen2 2

cos 2cos 22

sensen

12) Relação fundamental trigonométrica e consequências: =−=−⇒=+

θ θ θ θ

θ θ 2222

22

cos1cos11cos

senesensen

13)Consequência da relação fundamental trigonométrica e arcos duplos:−=

+=

θ θ

θ θ

2cos21

21

2cos21

21cos

2

2

sen

14)Transformação de soma em produto:

−

⋅

+

⋅−=−

−

⋅

+

⋅=+

+

⋅

−

⋅=−

−

⋅

+

⋅=+

222coscos

2cos

2cos2coscos

2

cos2

2

2

cos2

2

q psenq psenq p

q pq pq p

q pq psenqsen psen

q pq psenqsen psen

15)Lei dos Senos e Lei do Cossenos:⋅⋅⋅−+=

==

AcbcbaC senc Bsenb Asena

ˆcos2

ˆˆ222

)


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PRIMITIVAS

1. INTRODUÇÃO Em muitos problemas, embora a derivada de uma função seja conhecida, torna-se necessárideterminar a própria função.É o caso dos seguintes exemplos:

• Um sociólogo que, conhecendo a taxa de crescimento da população, poderá usar tal dado parprever futuras taxas de crescimento daquela população;

• Um físico que, conhecendo a velocidade de um corpo, será capaz de determinar a posiçãfutura do corpo;

• Um economista que, conhecendo a taxa de inflação, poderá fazer estimativas de preço, nfuturo;

• Entre outros.Ao processo de determinação de uma função a partir de sua derivada dá-se o nome de cálculo dprimitivas ou integração.

2. DEFINIÇÃOUma função F(x) para a qual F ’ (x) = f(x) para todo x pertencente ao domínio de f é uma primiti(ou integral indefinida) de f.Exemplo:1) Mostre que F(x) = 25

31 3 ++ x x é uma primitiva de f(x) = x2 + 5

Solução: F(x) é uma primitiva de f(x)⇔ F ’ (x) = f(x). Assim, derivando F(x), temos:F ’ (x) = x2 + 5 = f(x)

3. PRIMITIVA GENÉRICA DE UMA FUNÇÃOUma função possui mais de uma primitiva. Por exemplo, F(x) = x3 é uma primitiva da funçãof(x) = 3x2, pois F ’ (x) = 3x2 = f(x). Da mesma forma, G(x) = x3 + 12 também é uma primitiva de f(x),pois a derivada da constante 12 é zero e G ’ (x) = 3x2 = f(x).Em geral, se F for uma primitiva de f, qualquer função obtida ao acrescentarmos uma constante atambém será uma primitiva de f. Na realidade, podemos obter todas as primitivas de f somandconstantes a qualquer primitiva de f.Assim, se F e G forem primitivas de f, existe uma constante k tal que: G(x) = F(x) + k

4. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICAExiste uma explicação geométrica simples para o fato de duas primitivas quaisquer de uma funçdiferirem entre si de um valor constante. Se F for uma primitiva de f, então F ’ (x) = f(x). Isto signifique, para cada valor de x, f(x) é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de F(x). Se G foutra primitiva de f, o coeficiente angular de sua reta tangente também é f(x). Logo, o gráfico de G“paralelo” ao gráfico de F e pode ser obtido transladando-se verticalmente o gráfico de F. Assimexiste uma constante k, tal que G(x) = F(x) + k. A figura a seguir ilustra esta situação para váriaprimitivas da função f(x) = 3x2.

Figura: Alguns exemplos das primitivas de 3x2

y = x + k


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5. NOTAÇÃO DE INTEGRAÇÃO

Costuma-se escrever: k xF dx x f +=∫ )()( para exprimir o fato de toda primitiva de f(x) ser da formaF(x) + k.

Por exemplo, para expressar o fato de toda primitiva de 3x2 ser da forma x3 + k, escrevemos:

∫ += k xdx x 323

O símbolo∫ chama-sesinal de integraçãoe indica que queremos encontrar a forma mais genéricada primitiva da função que o segue. O sinal de integração lembra um “S” alongado, que represen“SOMA”. Veremos, uma relação tão importante entre derivadas e somas, que recebe o nome dTeorema Fundamental do Cálculo.

Na expressão∫ += kF(x)dx)( x f , a função f(x) a ser integrada denomina-seintegrando. A constantek (não especificada), acrescentada a F(x) a fim de tornar mais genérica a expressão da primitivdenomina-seconstante de integração.O símbolodx que segue o integrando serve para indicar que x é a variável em relação a qualefetuaremos a integração.

Definição da integral indefinida (ou primitiva) utilizando a notação de integral

∫ ∈∀=⇔+= Dom(f)xf(x),(x)'FkF(x)dx)( x f

6. REGRAS DE INTEGRAÇÃO

A integração é a operação inversa da diferenciação. Logo, podemos formular várias regras dintegração partindo das correspondentes (porém no sentido inverso) regras de diferenciaçã(derivadas).

6.1 REGRAS DA POTÊNCIA PARA INTEGRAÇÃO

Segundo a regra de potencia: 1−⋅= n xnn xdxd , ou seja, para derivar uma função potência, retiramos

uma unidade do expoente e multiplicamos o expoente original pela função elevada ao novo expoenEnunciando esta regra no sentido inverso, teremos que, para integrar uma função potência, devem

aumentar seu expoente de uma unidade e dividir o resultado pela nova potência.

Segue-se um enunciado mais preciso da regra. Para 1−≠n , ∫ ++⋅+= k n xn x 1

1n1 dx

ou seja, para integrar n x ( 1−≠n ), aumenta-se o expoente de uma unidade, e divide-se a funçãoelevada ao novo expoente por este novo expoente.

Para comprovar esta regra, basta observar que: n xn xnnn x

ndxd

=⋅++=+

+ 111

11


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14

Exemplos:1) Calcule as integrais

a) ∫ +=++=+

k xk xdx x413

4133 b) ∫ ∫ +=+=+

+==

+

k xk xk xdxdx x 232

3121

21

32

231

21x

c) k xk xk xdx x +=+=+=∫+

+

35

35

35

132

13232

.53 d) ∫ ∫ ∫ +=+=++===

+

k xk xk xdxdxdx110

x1110

0

e) ∫ ∫ +=+=++−

==+−

−k xk xk xdx xdx

x2

211

21

1 211

21

21

A regra da potência vale para todos os valores den, à exceção den = - 1 (caso em que1

1+n

é

indefinido).

6.1.1. Como determinar uma primitiva de x–1 Precisamos determinar uma função cuja derivada é

x1 . O logaritmo naturalln x é a tal função, logo

∫ += kxln1 dx x . Na realidade, isto só é válido quando x for positivo, poisln x não é definido paravalores negativos de x. Quando x é negativo, segue-se queln |x| é a primitiva de

x1 , pois, sendo x

negativo,|x| = - xe x1

x-1- x)](-[ln|]x|[ln ===

dxd

dxd .

Quando x é positivo, segue-se queln |x| é a primitiva de x1 , pois sendo x positivo,|x| = x e

x1 x][ln|]x|[ln ==

dxd

dxd .

Assim, a integral de x1 é dada por: k|x|ln1 +=∫ dx x .

6.2. INTEGRAL DE ex A integração da função exponencialex é trivial, poisex é sua própria derivada. Assim,

∫ += k xedx xe

6.3. REGRAS DA CONSTANTE MULTIPLICADA E DA SOMA

É fácil rescrever as regras de derivação para soma e constante multiplicada e transformá-las em regrde integração para estes casos.

6.3.1 Regra da constante multiplicada para integraisPara qualquer constante k,

∫∫ ⋅=⋅ dx x f k dxk )(f(x)


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15

ou seja, a integral de uma constante multiplicada por uma função é igual à constante multiplicada peintegral da função.6.3.2. Regra da soma para integrais

∫∫∫ +=+ dx xgdx x f dx )()(g(x)]f(x)[ ou seja, a integral da soma é a soma de cada uma das integrais.

Exemplo:1) Calcule as integraisa) ∫ ∫ +== k5x1dx5dx5b) ∫ ∫∫ ++=+++=+=+ k e xk ek xdxedx xdxe x x x x x 33][

3

21

322

c) k x xek x xedx xdx x

dxedx x x

e x x x x +−+=+⋅−+=−+=−+ ∫ ∫∫∫ 33

22

61||ln23

321||ln23

21123

2123

Nota: pelo exemploc, temos que ao invés de adicionarmos uma constante a cada uma das 3 primitivas,basta adicionar apenas uma constantek ao final do resultado encontrado.

6.4 INTEGRAIS DE PRODUTOS E QUOCIENTES

Não existem regras gerais de integração de produtos e quocientes. Ocasionalmente, conseguiremexprimir um produto ou um quociente de uma forma integral, com o auxílio das regras já apresentada

Exemplos:

1) Calcule dx x

x x 523 35

∫ −+

Fazendo a divisão indicada, temos:322

333

5

3

5

523523523 −−

−+=−+=−+

x x x x x x

x x

x x x

Assim,

∫ ∫∫ ∫∫ =+−−−⋅+⋅=−+=−+=−+ −−−−−− k x x xdx xdx xdx xdx x x xdx

x x x

2.5

12

33523]523[523

213322322

3

5

k x x

x ++−= 23

252

2) Calcule dx x x

283∫ −

−

Fazendo a divisão indicada, temos :

0 8484 42x-82x

42 x2x-2 8- x

2

2

223

3

+−−+

−

+++

−

x x

x

x x x

⇒ 4228 23 ++=

−− x x

x x , pois 8)42).(2( 32 −=++− x x x x

Assim:

∫ ∫ ∫ ∫∫ +++=+++=++=++=−− k x x xk x x xdxdx xdx xdx x xdx

x x 4

34

22

3142]42[

28 2323223


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16

7. APLICAÇÕES

Nos exemplos que se seguem ataxa de variação é conhecida e o objetivo consiste em calcular aexpressão da própria grandeza. Como a taxa de variação é a derivada, calculamos sua expressão pintegração.

7.1. Crescimento Populacional

Exemplo: Estima-se que, daqui a t meses, a população de uma certa cidade variará segundo a taxa dt 62 + pessoas por mês. A população atual é de 5.000 pessoas. Qual a população daqui a 9 meses?Solução:Seja P(t) a população da cidade daqui a t meses. Então, a derivada de P é a taxa de variação dpopulação em relação ao tempo, ou seja,

t dt dP 62 +=

Segue-se que a função população P(t) é uma primitiva de t 62 + , ou seja,

∫ ∫ ++=+== ,42)t6(2dt)( 23

k t t dt dt

dPt P para alguma constante k.

Para determinar k, usamos a informação de que a população atual (quando t = 0) é de 5.000, ou seja:

,000.54020000.5 23

=⇒++= k k

logo 000.542)( 23

++= t t t P e a população daqui a 9 meses será:

126.5000.59492)9( 23

=+⋅+⋅=P 7.2. Economia, administração, ciências contábeis e engenharia de produção Nas aplicações à economia, se conhecemos a função marginal então podemos usar a integraçãindefinida para determinar a funçãocusto total, conforme ilustram os exemplos a seguir:

Exemplos:1) Um fabricante calculou que o custo marginal de uma produção de q unidades é de 3q2 – 60q + 400

reais por unidade. O custo de produção das duas primeiras unidades foi de R$ 900,00. Qual serácusto total de produção das cinco primeiras unidades?

Solução:Vale lembrar que o custo marginal é a derivada da função custo total c(q). Logo,

c’(q) = 3q2 – 60q + 400e, portanto, c(q) deve ser a primitiva

∫ ∫ ++−=+−== ,40030)400603()(')( 232 k qqqdqqqdqqcqc para alguma constante k.O valor de k é determinado com base no fato de que c (2) = 900.

Em particular, 900 = (2)3 – 30(2)2 + 400(2) + k⇒ k = 212

Então, c(q) = q3 – 30q2 + 400q + 212

e o custo de produção das 5 primeiras unidades é de:C(5) = (5)3 – 30(5)2 + 400(5) + 212 = R$ 1.587,00


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17

2) Um fabricante constata que o custo marginal da produção de x unidades de uma componente dcopiadora é dado por 30 – 0,02x. Se o custo da produção de uma unidade é R$ 35,00, determinefunção custo e o custo de produção de 100 unidades?

Solução: Seja C a função custo, então o custo marginal é a taxa de variação de C em relação a x, isto é

C ’ (x) = 30 – 0,02xLogo

k dx xdx xC +=⇒−= ∫∫ 20,01x-30xC(x) )02,030()('para algum k.Com x = 1 e C(1) = 35, obtemos:

35 = 30 – 0,01 + k, ou k = 5,01

ConsequentementeC(x) = 30x – 0,01x2 + 5,01

Em particular, o custo da produção de 100 unidades éC(100) = 3.000 – 100 + 5,01 = R$ 2.905,01

3) Um fabricante de bicicletas espera que daqui a x meses os consumidores estarão adquirindF(x) = 5.000 + 60 x bicicletas por mês ao preço de P(x) = 80 + 3 x u.m. (unidades monetárias)por bicicleta. Qual é a receita total que o fabricante pode esperar da venda das bicicletas durante próximos 16 meses?Resposta: R’ (x) = F(x).P(x) ⇒ R (x) = ... assim, R(x) = 7.267.840

Solução:

R’ (x) = F(x).P(x) ⇒ R’ (x) = [5000 + 60 x ] . [80 + 3 x ]

R’ (x) = 400.000 + 15.000 x + 4800 x + 180x ⇒ R’ (x) = 400.000 + 19.800 x + 180x

Assim,

∫ ++ dx x x )180800.19000.400( = 400.000x+19.8002323

x +2

180 2 x +k=400.000x + 13.200 x23

+ 90x2 + k

R(x) = 400.000 x + 13.200 x23

+ 90x2 (produção nula⇒ k = 0)

Logo,

R(16) = 400.000× (16) + 13.200×(16) 23

+ 90× (16)2 ⇒ R(16) = 6.400.000 + 844.800 + 23.040

∴ R(16) = 7.267.840 unidades monetárias.


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APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS INDEFINIDAS À ENGENHARIA DE PRODUÇÃOAdaptado de MARQUES, Jair Mendes.Matemática Aplicada para cursos de Administração,Economia e Ciências Contábeis. Curitiba: Juruá, 2002. 322p.Foi visto nas aplicações de derivadas que as derivadas da função custo total e da receita totrepresentam, respectivamente, as funções custo marginal (CMg) e receita marginal (RMgConhecendo-se o custo marginal e a receita marginal, através da integração dessas funções, podem

obter o custo total e a receita total, ou seja, Função custo total: ∫= dx xCMg xC )()( Função receita total: ∫= dx x RMg x R )()(

Como a integral indefinida contém uma constante arbitrária, no cálculo do custo total essa constanpode ser calculada conhecendo-se o custo fixo de produção. No caso do cálculo da receita total, comgeralmente a receita total é zero quando o número de unidades produzidas é zero, este resultado poser usado para calcular a constante de integração.Exemplos ilustrativos:

1) Se a função receita marginal é dada porRMg(x) = 80 - x + x2. Determine a função receita total e afunção demanda.

Solução:Função receita total:

k x x xdx x xdx x RMg x R ++−=−−== ∫∫ 3280)80()()(32

2 .

Como, para x = 0, R(0) = 0, então k = 0.Portanto,

.32

80)(32 x x x x R +−=

Função demanda:

.32

803280)( 2

32

x x x

x x x

x x R p +−=

+−==

2) Uma empresa sabe que o custo marginal de produção dex unidades é deR$ 6x2 - 2x + 200 /unidade. O custo para produzir as três primeiras unidades foi R$ 1.200,00. Calcular o custo parproduzir as 10 primeiras unidades.

Solução:Função custo total:

k x x xk x x xdx x xdx xCMg xC ++−=++−=+−== ∫∫ 200220022

36)20026()()( 23

232

Para .555120032003321200)3(,3 23 =⇒=+⋅+−⋅⇒== k k C x

Portanto, a função custo total é:

k x x x xC ++−= 2002)(23

Custo para produzir

44554551020010102)10(,10 23 =+⋅+−⋅== C x


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19

3) A função custo marginal de determinado produto é dada porCMg(x) = 20 + 40x - 6x2. O custofixo é 60. Determine: (a) a função custo total; (b) a função custo médio; (c) a função custo variáv

Solução:

4) Para determinado produto, a função receita marginal éRMg(x) = 25 - 5x. Determine: (a) a receitatotal; (b) a função demanda.

Solução:

5) Em certa indústria, para um nível de produção dex unidades sabe-se que o custo marginal deprodução de cada uma éCMg(x) = 3x2 - 12x + 36 reais. Calcule a função custo total sabendo-seque o custo fixo é igual 50.

Solução:

6) Determine a função receita total se a função receita marginal é dada porRMg(x) = 0,75x2-20x+10.Solução:


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Teoria e Exemplos - Adaptados de: HARIKI, Seiji; ABDOUNUR, Oscar João.Matemáticaaplicada: Administração, Economia, Contabilidade. São Paulo: Saraiva, 1999.♦ Análise MarginalFrequentemente, é necessário analisar uma variável econômica através do comportamento de sderivada, procedimento denominado análise marginal. Em seção anterior, discutiu-se questões desnatureza para variáveis econômicas como custo total e receita total gerando respectivamentecusto e

receita marginais. Reciprocamente, em outros problemas, o que se procura é a recuperação de umafunção total a partir de sua derivada, ou seja, de suafunção marginal. Enquanto no primeiro casoutiliza-se o cálculo diferencial, no segundo recorre-se ao cálculo integral.Embora, anteriormente, tenha enfatizado particularmente custos e receitas marginais, cabe ressaltque se pode definir variáveis marginais – e, reciprocamente, resgatar as variáveis totaicorrespondentes – para qualquer variável econômica.Por exemplo, variáveis marginais como imposto marginal, produtividade marginal, propensã

marginal a consumir associam-se respectivamente adxdC

dxdP

dxdI ,, ondeI representa o imposto total

produzido pela venda dex mercadorias,P a produtividade em função do número de trabalhadores oumáquinasx e C o consumo total como função da renda nacional totalx. Pode-se ainda pensar emdemanda marginal, eficiência marginal de investimentos, etc. Apresentaremos neste item alguns casenvolvendo variáveis econômicas marginais e totais e como proceder para resolver problemas destipo.Exemplos:1) Supondo que a produtividade marginal (PMg) de uma fábrica em relação à produção diária de

automóveisP seja dada por xdxdP 1,02−= , ondex representa o número de vendedores. Supondo

que a empresa possui15 vendedores, quantos vendedores são necessários contratar para atingiruma produção de20 carros por dia? Considere que a produtividade é nula sem empregadosvendedores.

Solução:

Se 2*2

05,0221,02)1,02()1,02(1,02 x xk x xdx xPdx xdP x

dxdP

−=+−=−=⇒−=⇒−= ∫ *A produtividade é nula sem empregados vendedores.

Se 2004004002005,0205,022020 222 =⇒=+−⇒=−−⇒−=⇒= x x x x x x xP

Comox representa o número de empregados, a empresa necessita contratar mais 5 vendedores.

Solução: Utilizando osoftware de computação algébricaMaple®®®®, temos:> restart: > dP_dx:=2-0.1*x; :=dP_dx −2 .1 x > P:=Int([dP_dx],x)=int(dP_dx,x); :=P =d ⌠ ⌡[ ]−2 .1 x x −2. x .05000000000 x

2 > solve(2*x-0.05*x^2=20,{x}); ,{ }= x 20. { }= x 20.


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21

> plot(2*x-0.05*x^2,x=0..40);

2) Se a produtividade marginal de automóveis (número de automóveis por dia) em relação ao númede empregados é dada pordP/dx = 8 – 0,06x, quantos empregados são necessários para produzir148 carros por dia? Considere que sem empregados não há produção.Resposta: 20 operáriosSolução: Utilizando osoftware de computação algébricaMaple®®®®, temos:

> restart: > dP_dx:=8-0.06*x; :=dP_dx −8 .06 x > P:=Int([dP_dx],x)=int(dP_dx,x); :=P =d ⌠ ⌡[ ]−8 .06 x x −8. x .03000000000 x

2 > solve(8*x-0.03*x^2=148,{x}); ,{ }= x 20. { }= x 246.6666667 > plot(8*x-0.03*x^2,x=0..270);

Sabemos que o lucro (L) é igual a receita (R) menos os custos (C), ou seja:L = R – C. Logo, seu valorserá máximo quando a derivada desta diferença anular-se, ou ainda, quando a receita marginal (Rm)igualar-se ao custo marginal (Cm).

Justificativa matemática:

mmmm C RC R LC R L =⇒=−=⇒−= 0'*

*

Esta é a condição necessária de otimalidade (anulamento da derivada de primeira ordem). Acondição suficiente é que, também ,0'' > L no ponto ótimo, o que, em geral pode ser facilmenteverificado.


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22

Supondo que o lucro máximo ocorra quando a quantidade forqmáx e tendo em vista queo lucro é nulose a quantidade é nula (constante de integração é nula, k = 0), temos:

∫∫∫ −=⇒−=⇒−=⇒−= máxmáxmáx q mmmáxq mm Lmmmm dxC R LdxC RdLdxC RdLC RdxdL

000)()()(

que representa a área abaixo do gráfico referente à receita marginal e acima do gráfico do custmarginal.

Exemplos:1) Suponha que uma empresa deseje aumentar o número de seus vendedores. Assumindo qu

pesquisas estatísticas em tal empresa revelam que o custo marginalCm (em mil reais) paraempregar vendedores adicionais expressa-se como função do número de vendedores adicionaisx

segundo o expressão xC m 548

= e a receita marginalRm (em mil reais) propiciada por tais

vendedores por 4042 ++= x Rm , calcule o número de vendedores adicionais necessários amaximizar o lucro proveniente de tal contratação, bem como o valor do lucro máximocorrespondente.

Solução:A situação ótima mencionada ocorre quandoRm= Cm, ou seja,

⇒++++=⇒++++=⇒++=⇒=÷

1040415

12404404445484042

548 4* x x x x x x x xC R mm

⇒+⋅=+−⇒+=−⇒+++=⇒ )404(253025770494045557540455512 2*

x x x x x x x x * Elevando ao quadrado ambos os membros da equação.

76,2~49

1351502025870491000100302577049 22 ===⇒=+−⇒+=+− xe x x x x x x

Retornando à equação original, verifica-se que2,76 não é raiz (solução) enquanto15 sim. Logo, onúmero de vendedores adicionais que maximiza o lucro associado é x = 15.De acordo com a expressão apresentada anteriormente, tal lucro será dado por:

∫∫ =−++=⇒−= 1500 5484042)( dx x x LdxC R L máx

qmmmáx

máx

50,34~06

6400001206

100030

236,9)6,9(

234

)404(2

15

0

2

3

2

3

=+−−−+=⋅

−⋅

++= x x x

Portanto, a empresa deve contratar15 vendedores adicionais e terá um lucro máximo de 34,50 milreais.

Solução: Utilizando a rotina escrita nosoftware de computação algébricaMaple®®®®, temos:> Receita_marginal:=2+sqrt(4*x+40); := Receita_marginal +2 2 + x 10 > Custo_marginal:=sqrt(48*x/5); :=Custo_marginal

45 15 x

> Solve(Receita_marginal=Custo_marginal,{x});

Solve ,=+2 2 + x 10 45 15 x { } x


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23

> q_max:=solve(Receita_marginal=Custo_marginal,{x}); :=q_max { }= x 15 > q_max:=solve(Receita_marginal=Custo_marginal,x); :=q_max 15 > Lucro_maximo:=Int([Receita_marginal-Custo_marginal],x=0..q_max)

=evalf(int(Receita_marginal-Custo_marginal,x=0..q_max));

:= Lucro_maximo =d ⌠

⌡0

15

+ −2 2 + x 10 45 15 x x 34.50296455

2) Se a receita e o custo marginal expressam-se como função da quantidadex respectivamente porRm = 44 - 9x e Cm = 20 - 7x + 2x2 encontre a quantidade produzida que maximiza o lucro assimcomo o lucro total correspondente sob condições de competição perfeita.Resposta: x=3 =>L=45.

Solução: Utilizando a rotina escrita nosoftware de computação algébricaMaple®®®®, temos:> restart: > Receita_marginal:=44-9*x; := Receita_marginal −44 9 x > Custo_marginal:=20-7*x+2*x^2; :=Custo_marginal − +20 7 x 2 x2 > Solve(Receita_marginal=Custo_marginal,{x});

( )Solve ,=−44 9 x − +20 7 x 2 x2

{ } x > q_max:=solve(Receita_marginal=Custo_marginal,{x});:=q_max ,{ }= x -4 { }= x 3

> q_max:=solve(Receita_marginal=Custo_marginal,x); :=q_max ,-4 3

> Lucro_maximo:=Int([Receita_marginal-Custo_marginal],x=0..q_max[1])=int(Receita_marginal-Custo_marginal,x=0..q_max[1]);

:= Lucro_maximo =d ⌠ ⌡

0

-4

[ ]− −24 2 x 2 x2 x -2083

> Lucro_maximo:=Int([Receita_marginal-Custo_marginal],x=0..q_max[2])=int(Receita_marginal-Custo_marginal,x=0..q_max[2]);

:= Lucro_maximo =d ⌠ ⌡

0

3

[ ]− −24 2 x 2 x2 x 45

LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOSAdaptado de MARQUES, Jair Mendes.Matemática Aplicada para cursos de Administração,Economia e Ciências Contábeis. Curitiba: Juruá, 2002. 322p.1) Uma indústria sabe que o custo marginal de produção dex unidades é de R$9x2 - 4x + 300

/unidade. O custo para produzir as duas primeiras unidades foi R$ 800,00. Calcular o custo parproduzir as 5 primeiras unidades.Resposta: R$ 2.009,00

2) Determine a função receita total se a função receita marginal é dada porRMg(x) = 0,6x2-10x+50. Resposta: R(x) = 0,2x3 – 5x2 + 50x

3) Em certa indústria, para um nível de produção dex unidades sabe-se que o custo marginal deprodução de cada uma éCMg(x) = 3x2 - 12x + 36 reais. Calcule a função custo total sabendo-seque o custo fixo é igual 50.Resposta: C(x) = x3 – 6x2 + 36x + 50

4) Para determinado produto, a função receita marginal éRMg(x) = 40 – 6x. Determine: (a) a receitatotal; (b) a função demanda.Resposta: (a) R(x) = 40x – 3x2 (b) p = 40 – 3x;

5) A função custo marginal de determinado produto é dada porCMg(x) = 30 + 90x - 3x2. O custofixo é 80. Determine: (a) a função custo total; (b) a função custo médio; (c) a função custo médivariável. Resposta: (a) C(x) = 30x + 45x2 – x3 + 80; (b) CM(x) = 30 + 45x – x2 + 80/x;(c) Cv(x) = 45x – x2 + 80/x.


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7.3. Equações Diferenciais

Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma derivada. Resolver uma equação diferencisignifica determinar todas as suas soluções. Em alguns casos, além da equação diferencial, podemconhecer certos valores da função, chamados decondições iniciais.

Exemplos:

1) Se x xdxdy 32 += , determine y. Resposta: k x x y ++=

23

323

2) Se x xdxdy 32 += e se y = 2 quando x = 0, determine y.Resposta: 2

23

3

23

++= x x y

3) Determine a função y = y (x), ℜ∈ x , tal que: 2 xdxdy

=

Solução: ∫=⇔= dx x y xdxdy 22 k x y +=⇒ 3 3

4) Determine a única função y = y (x), definida emℜ , tal que:=

=

2)0(

2

y

xdxdy

Solução: ∫=⇔= dx x y xdxdy 22 k x y +=⇒

3

3

A condição y(0) = 2 significa que, para x = 0, devemos ter y = 2. Desta forma podemos determinar ovalor de k.

Assim, de k x y +=33

, temos: k +=302

3 ⇒ k = 2 e 2

33

+=∴ x y

5) Determine a função y = y (x), ℜ∈ x , tal que: 122

+= xdx

yd , y (0) = 1 e y ’(0) = 0

Solução: 122

+= xdx

yd ⇒ 12

2)1( k x xdx x

dxdy

++=+= ∫

Mas y ’ (0) = 00

== xdx

dy , temos 12

02

00 k ++= ⇒ 01 =k

Logo x xdxdy

+=2

2

De x xdxdy

+=2

2⇒ 2

232

26d

2 k x x x x x y ++=+= ∫

Mas y (0) =1⇒ 1 = 0 + 0 + k2 ⇒ k2 = 1

126

23

++=∴ x x y


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APLICAÇÕES ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

• PROBLEMAS DE CRESCIMENTO E DECAÍMENTO

Seja N(t) a quantidade de substância (ou população) sujeita a crescimento ou decaímento. Admitindo

que

dt

dN , a taxa de variação da quantidade de substância em relação ao tempo, seja proporcional à

quantidade de substância presente, então N k dt dN

⋅= ou 0=− kN dt dN , onde k é a constante de

proporcionalidade.

Resolução da equação diferencial:

t k ec

ct k ct k ec N ee N e N ct k N dt k dN N

dt k N dN N k

dt dN c ⋅=⋅+⋅

⋅=⇒⋅=⇒=⇒+⋅=⇒=⇒⋅=⇒⋅= ∫ ∫1

111ln

1

Exemplo:

1) Certo material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se existeminicialmente 50 miligramas de material e se, após duas horas, o material perdeu 10% de sua massaoriginal, determine:a) A expressão da massa remanescente em um instante arbitrário t.b) A massa de material após quatro horas.c) O tempo após o qual o material perde metade de sua massa original.Solução:a) Seja N a quantidade de material presente no instante t. EntãokN

dt dN

= . Esta equação diferencial é

linear e separável e sua solução, conforme apresentada anteriormente, é dada por: .( ) . k t N t c e==== .Em t = 0, temos N (0) = 50.Desta forma,

. .( ) . 50 . 50k t k t N t c e c e c==== ⇒⇒⇒⇒ ==== ⇒⇒⇒⇒ ==== Portanto, .( ) 50. k t N t e==== .

Em t = 2, houve perda de 10% da massa original de 50 mg, ou seja, 5 mg. Logo, em t = 2, N(2) = 45.

Levando estes valores na equação encontrada, temos:

. 2.( ) 50. 45 50.k t k N t e e==== ⇒⇒⇒⇒ ==== Resolvendo esta equação encontramos o valor de k≅- 0,0527.

Observação: Para resolver esta equação utilizamos as propriedades dos logaritmos naturais.Assim, nossa equação com as duas constantes encontradas fica: 0,0527( ) 50 t N t e−−−−= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅ , onde t é medidoem horas.b) Neste item precisamos encontrar o valor de N para t = 4. Basta substituir na equação encontrada eteremos N = 40,50 mg.c) Neste item devemos encontrar o tempo para N = 25. Substituindo na equação e utilizando aspropriedades dos logaritmos naturais encontramos t = 13,16 horas.


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• PROBLEMAS DE TEMPERATURA

A lei doresfriamento de Newton, aplicável igualmente aoaquecimento, afirma que a taxa devariação, no tempo, da temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre ocorpo e o meio circundante. SejamT a temperatura do corpo eT m a temperatura do meio circundante.

Então, a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo édt dT , e a lei de resfriamento de

Newton pode assim ser formulada:

( ) mm kT kT dt dT T T k

dt dT

=+−⋅−= ou

ondek é uma constante positiva de proporcionalidade.

Resolução da equação diferencial:

⇒+⋅−=−⇒−=−

⇒⋅−=−

⇒−⋅−= ∫∫ 1)(ln)(

1

)()( ct k T T dt k dT

T T dt k

T T

dT T T k dt

dT m

mmm

t k m

ecct k

m ecT T eT T c

⋅−=

+⋅−⋅+=⇒=−

1

1 Exemplos:1) Uma barra de metal à temperatura de 100º F é colocada em um quarto à temperatura constante d

0ºF. Se após 20 minutos a temperatura da barra é de 50ºF, determine:a) O tempo necessário para a barra atingir uma temperatura de 25ºF.b) A temperatura da barra após 10 min.Solução:

Utilizando a equação ( )mT T k dt dT

−−= e sabendo que 0=mT , teremos:

t k ec

ct k ecT eT ct k T dt k dT T

dt k T dT T k

dt dT c ⋅−=+⋅−

⋅=⇒=⇒+⋅−=⇒−=⇒⋅−=⇒⋅−= ∫∫1

11ln

1

ComoT = 100 emt = 0 , temos: 100.100 0. =⇒= − cec k .

Assim, teremos a solução t k eT ..100 −= .

Por outro lado, temosT = 50 emt = 20 e assim obtemos: 20..10050 k e−= .

Utilizando as regras de logaritmos encontramosk = 0,0347.

Desta forma, substituindo na equação, teremos t eT .0347,0.100 −=

a) O tempo necessário para termosT = 25, será: t e .0347,0.10025 −= , resolvendo esta equação,encontramost = 40 min.

b) Para encontrarT quando t = 10 basta substituir na equação encontrada e teremos: 100347,0.100 ⋅−= eT .E, portantoT = 70,71ºF.


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2) Um corpo à temperatura de 50ºF é colocado ao ar livre onde a temperatura é de 100ºF. Se, após min, a temperatura do corpo é de 60ºF, determine:

a) O tempo necessário para que o corpo atinja a temperatura de 75ºF.b) A temperatura do corpo após 20 minutos.Solução:Utilizando a equação mkT kT dt

dT =+ e sabendo queT m = 100 teremos:

k kT dt dT 100=+

cuja solução é:100. . += − t k ecT

ComoT = 50 em t = 0, temos 50100.50 0. −=⇒+= − cec k .

Assim, teremos a solução 100.50 . +−= − t k eT .

Por outro lado, temosT = 60 emt = 5, e assim obtemos:

100.5060 5 +−= − k e

Utilizando as regras de logaritmos encontramosk = 0,0446.

Desta forma, substituindo na equação, teremos 100.50 .0446,0 +−= − t eT

a) Para encontrar t quantoT = 75, basta substituirT = 75 na equação função encontrada. Assim,100.5075 .0446,0 +−= − t e . Utilizando as propriedades de logaritmos encontramost = 15,53 min.

b) Para encontrarT quando t = 20, basta substituirt = 20 na equação e teremos100.50 )20.(0446,0 +−= −eT . E, portanto:T = 79,52ºF.

Figura: Tela escrita no Excel para o cálculo do aquecimento ou resfriamento


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EXEMPLOS COMPLEMENTARES

1) Uma certa substância radioativa diminui a uma taxa proporcional à quantidade presenteInicialmente, a quantidade de material é de 80 miligramas e após duas horas perde-se 9% da masoriginal. Determine:

a) A massa restante após 12 horas.b) O tempo necessário para que a massa inicial fique reduzida à metade (meia-vida =half-life).

Solução: Seja N a quantidade de substância presente no instantet e como a substância diminui auma taxa proporcional à quantidade presente tem-se:⇒+⋅=⇒⋅=⇒⋅=⇒⋅=⇒⋅= ∫∫∫∫ 1ln1 ct k N dt k dN N dt k N

dN dt k N dN N k

dt dN

t k t k cct k ec N ee N e N ⋅⋅+⋅ ⋅=⇒⋅=⇒= 11 , onde: 1cec = Para ,0=t 80= N temos:

8080 0 =⇒⋅= ⋅ cec k Assim,

t k e N ⋅⋅= 80

Por outro lado, para 2=t horas, 8,7291,080%)9%100(80 =⋅=−⋅= N miligramas, logo:

047155339,0808,72 2 −=⇒⋅= k e k e portanto:

t e N ⋅−⋅= 047155339,080

a) Para 12=t horas tem-se:43,4580 12047155339,0 ≅⇒⋅= ⋅− N e N miligramas

b) Para 40280

== N miligramas tem-se:

⇒=⇒=⇒⋅= ⋅−⋅−⋅− t t t eee 047155339,0047155339,0047155339,0 ln5,0ln5,08040

69923015,14047155339,0

5,0ln047155339,05,0lnln047155339,05,0ln ≅−

=⇒−=⇒⋅−= t t et horas

(ou para ser mais preciso, aproximadamente 14 horas 41 minutos e 57 segundos.)

Solução utilizando a planilha Excel construída para a resolução desse tipo de aplicação, temos:


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2) Uma barra de metal à temperatura de 60ºC foi colocada em uma sala com temperatura constante eigual a 5ºC. Após 10 minutos mediu-se a temperatura da barra acutilizando 40ºC. Pergunta-se:

a) Qual o tempo necessário para a barra chegar à temperatura de 10ºC?b) Qual a temperatura da barra após 22 minutos?Solução: A lei de Newton para a variação da temperatura diz:• “A taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre

corpo e o meio ambiente”

Seja:- T a temperatura do corpo- mT a temperatura do meio ambiente

- dt dT a taxa de variação da temperatura do corpo

Assim, a lei de Newton fica: )( mT T k dt dT

−⋅−= (1)

onde 0( ) >− mT T e k é uma constante de proporcionalidade, positiva. O sinal negativo na frente dek

aparece a fim de tornardt

dT negativa em um processo de resfriamento.

A expressão (1) pode ser escrita assim: mT k T k dt dT

⋅=⋅+

cuja solução é: t k m ecT T ⋅−⋅+= Assim, .5 kt ecT −⋅+= a) Para 0=t e 60=T ºC segue-se que: 55560 0 =⇒⋅+= ⋅− cec k ºCPor outro lado, 10=t minutos e 40=T ºC, onde

045198512,0553555540 1010 =⇒⋅=⇒⋅+= −− k ee k k e assim .555 045198512,0 t eT ⋅−⋅+=

Quando 10=T ºC tem-se: 5305252688,5355510045198512,0

≅≅⇒⋅+=⋅−

t e t

minutos e 3 segundosb) Após 22=t minutos temos:35,2534766007,25555 22045198512,0 ≅≅⇒⋅+= ⋅− T eT ºC

Solução utilizando a planilha Excel construída para a resolução desse tipo de aplicação, temos:


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3) Um termômetro é removido de uma sala, em que a temperatura é de 70oF, e colocado do lado defora, em que a temperatura é de 10oF. Após 0,5 minuto, o termômetro marcava 50oF. Qual será atemperatura marcada no termômetro no instante t igual a 1 minuto? Quanto tempo levará para termômetro marcar 15oF? Resposta: 36,67oT e 3,06 minutos

4) Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se se observque, após 1 hora, houve uma redução de 10% da quantidade inicial da substância, determine “meia-vida” (half-life) da substância.Sugestão: Considere a substância com 100 mg.Resposta: 6,58 horas

5) Um termômetro é removido de dentro de uma sala é colocado do lado de fora, em que atemperatura é 5oC. Após 1 minuto, o termômetro marcava 20oC; após 5 minutos, 10oC. Qual atemperatura da sala?Resposta: 24,74oC


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31

6) O Isótopo radioativo de chumbo, Pb-209, decresce a uma taxa proporcional à quantidade presenem qualquer tempo. Sua meia-vida (half-life) é de 3,3 horas. Se 1 grama de chumbo está presenteinicialmente, quanto tempo levará par 90% do chumbo desaparecer?Resposta: 10,96 horas

7) Um assado pesando 5 libras, inicialmente a 50oF, é posto em um forno a 375oF às 5 horas datarde. Depois de 75 minutos a temperatura T(t) do assado é de 125oF. Quando será a temperaturado assado de 150oF (meio mal passado)?Resposta: 105,12 minutos, ou seja: 6 horas 45 minutos e7 segundos.

8) Uma esfera de cobre é aquecida a uma temperatura de 100ºC. No instante t = 0 ela é imersa emágua que é mantida a uma temperatura de 30ºC. Ao fim de 3 minutos, a temperatura da esfera esreduzida a 70ºC. Determinar o instante em que a temperatura se encontra reduzida a 31ºC.Obs. Utilizar a formulação matemática da lei do resfriamento de Newton, ou seja, )30( −−= T k

dt dT

Resposta: t = 22,78≅ 23 minutos9) Certo material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se inicialmente, h

100 miligramas e se, após dois anos, 5% do material decaíram, determine:a) A expressão da massa no instante arbitrário t.b) O tempo necessário para o decaimento de 10% do material.

Resposta: t0256,0e.100N)a −= anos 11,4 )b ≅ 4 a 1 m 10 d

10) Um corpo à temperatura de 0ºF é colocado em um quarto em que a temperatura é mantida a 100ºSe, após 10 minutos a temperatura do corpo é de 25,7ºF, determine:

a) O tempo necessário para o corpo atingir a temperatura de 50ºF.b) A temperatura do corpo após 20 minutos.

Resposta: a) 23,9 min≅ 24 min b) 43,75ºF≅ 44ºF11) Um corpo com temperatura desconhecida é colocado em um refrigerador com uma temperatur

constante de 0ºF. Se após 20 minutos, a temperatura do corpo é de 40ºF e após 40 minutos é de 2ºF, determine a temperatura inicial. Resposta: T0 = 80ºF

12) Um corpo à temperatura de 50ºF é colocado em um forno cuja temperatura é mantida constante e

150 ºF. Se, após 10 minutos, a temperatura do corpo é de 75ºF, determine o tempo necessário parque o corpo atinja a temperatura de 100 ºF.Resposta: t 100 = 23,9 min.


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7.4. Aplicação Geométrica

A seguir veremos, através de um exemplo, como usar a integração para encontrar a equação da curvcujo coeficiente angular é conhecido.

Exemplo: Determine a equação da função f(x) cujo coeficiente angular da reta tangente, em cada x, 3x2 + 1 e cujo gráfico passa pelo ponto (2, 6).

Solução: O coeficiente angular da reta tangente é a derivada de f. Logo, f ’(x) = 3x2 + 1 e f(x) é a primitiva,

∫ ∫ ++=+== k x xdx xdx x f x f 32 )13()(')(

Para determinar a constante k, consideramos o fato de que o gráfico de f passa pelo ponto (2, 6), oseja, substituímos x = 2 e f(2) = 6 na equação de f(x) e resolvemos a equação em k, obtendo:

6 = (2)3 + 2 + k⇒ c = - 4

Assim, a função desejada é: f(x) = x3 + x – 4

7.5. Aplicações Físicas

Suponhamos um ponto P em movimento em uma reta coordenada, com velocidade v(t) e aceleraçãa(t) no instante t. Do conceito de derivada, sabemos que: v(t) = s’(t) e a(t) = v’(t) = s’’(t), onde s(representa a função posição no instante t.

Assim,1)(dt)('dt)( k t vt vt a +==∫∫

para alguma constante k1.

Analogamente,2)(dt)('dt)( k t st st v +==∫∫

para alguma constante k2.

Exemplos:1) Uma partícula desloca-se sobre o eixo x e sabe-se que no instante t, 0≥t , a velocidade é

v(t) = 2t + 1. Sabe-se, ainda, que no instante t = 0 a partícula encontra-se na posição x = 1Determine a posição x = x(t) da partícula no instante t.

Solução:

Equacionando, temos:=

+=

1)0(

12

x

t dt dx

De 12 += t dt dx ⇒ x = ∫ + dt)12( t ⇒ x = t2 + t + k

Mas 1 = x(0)⇒ 1 = 02

+ 0 + k⇒ k =1 1)( 2 ++=∴ t t t x


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33

2) Uma partícula desloca-se sobre o eixo Ox com velocidade v(t) = t + 3, 0≥t . Sabe-se que, noinstante t = 0, a partícula encontra-se na posição x = 2

a) Qual a posição da partícula em um instante t?b) Qual a posição da partícula em um instante t =2?c) Determine a aceleração.Solução:

a) ⇒=

+=

dt dxt v

t t v

)(

3)(k t t dt t x ++=+= ∫ 32)3(

2

Como x(0) = 2⇒ 203202

2

=⇒+⋅+= k k

232

)(2

++=∴ t t t x

b) 1022322)2(23

2)(

22

=+⋅+=⇒++= xt t t x m

c) Como sabemost va

∆∆

= ou mais precisamente 1)(']3[)( =⇒+=⇒= t at t adt dva

m/s1a(t) =∴

3) Uma partícula desloca-se sobre o eixo Ox com velocidade v(t) = 2t – 3, t≥ 0. Sabe-se que noinstante t = 0 a partícula encontra-se na posição x = 5. Determine o instante em que a partículestará mais próxima da origem.

Solução: v(t) = 2t – 3, t≥ 0 e s(0) = 5,

k t t dt t t s +−=−= ∫ 3)32()( 2 Mas, como s(0) = 5⇒ s(0) = 02 – 3. 0 + k = 5⇒ k = 5

53)( 2 +−=∴ t t t s

Para determinar o ponto mínimo, basta determinar o vértice daparábola s(t),

ab xv 2

−= ⇒23

12)3(

=⋅

−−=v x ⇒ 2

3=∴ t s

Ou, utilizando derivadas,st t v 2 / 3032)2(' =⇒=−=

4) Uma partícula desloca-se sobre o eixo 0x com velocidade )( 0vat t v += , 0≥t (a e v0 constantes).Sabe-se que, no instante t = 0, a partícula encontra-se na posição x = x0. Determine a posiçãox = x(t) da partícula no instante t.

Solução: v(t) = a.t +v0 e x(0) = x0 Assim,

k t vt adt vt at x +⋅+⋅=+⋅= ∫ 02

0 2)()(

Como x(0) = x0 ⇒ 002

02

0)0( xk va x =+⋅+⋅= ⇒ k = x0

002

21)( xt vt at x +⋅+⋅=∴


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Nota: Utilizando esta técnica podemos determinar a função posição (s(t)) para um objeto que se movsob a influência da gravidade. A compreensão do problema exige o conhecimento de um fatda física. Sobre um objeto na superfície da terra ou próximo dela atua uma forca – agravidade – que produz uma aceleração constante, denotada por g. O valor aproximado de g, usado nmaioria dos problemas, é 9,8 m/s2.

5) Joga-se uma pedra verticalmente para cima de um ponto situado a 45 m acima do solo e comvelocidade inicial de 30 m/s. Desprezando a resistência do ar, determine:a) A distância da pedra ao solo após t segundos.b) O intervalo de tempo durante o qual a pedra sobe.c) O instante em que a pedra atinge o solo, e a velocidade nesse instante.Solução:O movimento da pedra pode ser representado por um ponto em uma coordenada vertical s com origeno solo e direção positiva para cima

a) A distância da pedra ao solo no instante t é s(t) e as condições iniciais são v(0) = 30 e s(0) = 45

Como a velocidade é decrescente, v ’ (t) < 0, isto é, a aceleração é negativa. Logo,a(t) = v ’ (t) = -9,8 e∫ ∫= dt9,8-dt(t)'v , logo 18,9)( k t t v +−= , para algum k1.

Substituindo t por 0 e em vista do fato de que v(0) = 30, vem 30 = 0 + k1 = k1 e, consequentemente,v(t) = -9,8 t + 30

Como s’ (t) = v (t), obtemos:

s’(t) = - 9,8 t + 30 e∫ ∫ +−= dt t dt t s )308,9()(' , logo s(t) = -4,9 t2 + 30t + k2, para algum k2

Fazendo t = 0, e como s(0) = 45, temos 45 = 0 + 0 + k2 = k2. Segue-se que a distância do solo à pedrano instante t é dada por:s(t) = -4,9 t2 + 30 t + 45

b) A pedra subirá até que v(t) = 0, isto é, até que,

- 9,8 t + 30 = 0 3,06t≅⇒ s

c) A pedra atingirá o solo quando s(t) = 0, isto é, quando,

- 4,9 t2 + 30 t + 45 = 0⇒ t = - 1, 24 s ou t = 7,36 s

A solução t = - 1,24 s não é adequada, pois t é não negativo. Logo, resta t = 7,36 s, que é o tempo apo qual a pedra atinge o solo. A velocidade nesse instante é:v(7,36) = - 9,8 (7,36) + 30≅ - 42,13 m/s

45 m(em t = 0)

s(t)

s


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LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS

1) Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivando-as.

a) ∫ dxx5 Resposta: k6x6

+

b) ∫ dxx1

2 Resposta: kx1

+−

c) ∫ dx5 Resposta: kx5 +

d) ∫ +− dt)2t5t3( 2 Resposta: k t t t k t t t ++−=++− 23522

352 333 23

e) ∫

+− dyy1

y2y3 3 Resposta: k yn y

yk yn y

y +++=+++ 112112 23

22

3

f) ∫

+ dxxx

2ex Resposta: k xek xe

x x

++=++ 552

252

22

5

g) ∫

++− du

2ue

u23

u31 2

2 Resposta: k uue

uunk uue

uun ++++=++++

323 1

31

323 1

31 322 2

3

h) dxx

1x2x2

2

∫ ++ Resposta: k x

xn x +−+ 1 1 2

i) ∫

−⋅− dx x

x x 51)2( 23 Resposta: kxx311x

45 234 +−+−

j) ∫ −⋅ dt t t )1( 2 Resposta: k t t k t t +−=+− 37 32

72

32

72

23

27

2) Determine a solução geral da equação diferencial dada:

a) 653 2 −+= x xdx

dy Resposta: k x x x +−+ 62

5 23

a) t et dt dP

+= Resposta: k et t ++332

3) Resolva a equação diferencial sujeita às condições iniciais:a) f ’ (x) = 12x2 – 6x + 1 e f(2) = 5Resposta: 4x3 – 3x2 + x - 17

b) 21

4 xdxdy

= e y = 21 se x = 4Resposta:31

38 2

3

− x

c) f ’’ (x) = 4x – 1 e f ’ (2) = - 2; f(1) = 3Resposta:6658

232 23 +−− x x x


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4) Esboce o gráfico da função y = y(x), xℜ∈ , sabendo que:

a) 0y(0) e 12 =−= xdxdy Resposta: y = x2 – x

> plot(x^2-x,x=-10..10);

b) 0(0)y' e 1)0(,2cos422

==−= y xdx

yd Resposta: y = cos 2x

> plot(cos(2*x),x=0..Pi);

c) 1(0)y' e 0y(0),22

−=== − xedx

yd Resposta: y = e- x – 1

> Limit(exp(-x)-1,x=-infinity)=limit(exp(-x)-1,x=-infinity); =lim → x ( )−∞

−eeee( )− x 1 ∞

> Limit(exp(-x)-1,x=infinity)=limit(exp(-x)-1,x=infinity); =lim → x ∞

−eeee( )− x 1 -1

> plot(exp(-x)-1,x=-10..10,y=-10..10);


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5) Estima-se que daqui a t meses a população de uma cidade estará variando a uma taxa de 4 + 5t2/3 pessoas por mês. Se a população atual é de 10.000, qual será a população daqui a 8 mesesResposta: 10.128 pessoas

6) Determine a função cuja reta tangente tem uma inclinação de 4x+1 para cada valor de x e cujgráfico contém o ponto (1, 2).Resposta: f(x) = 2x2 + x – 1

7) Determine a função cuja reta tangente tem uma inclinação de 3x2 + 6x - 2 para cada valor de x ecujo gráfico contém o ponto (0, 6).Resposta: f(x) = x3 + 3x2 - 2x + 6

8) Determine a função cuja reta tangente tem uma inclinação de 2x2x 2

3 +− para cada valor de x e

cujo gráfico contém o ponto (1, 3).Resposta:45x2

x2

4x)x(f

4

−++=

9) Um fabricante de blusas de esporte determina que o custo marginal de fabricação de x unidades dado por 20 – 0,015x . Se o custo de fabricação de uma unidade é de R$ 25,00, determine a funçãcusto total e o custo de produção de 50 unidades.Resposta: C(x) = 20x – 0,0075x2+5,0075 e C(50)≅ R$ 986,26

10) Se a função custo marginal de um produto é dada por31

2

x e se o custo de produção de 8 unidades é

de R$ 20,00, determine a função custo e o custo de produção de 64 unidades

Resposta: C(x) = 83 32

+ x e C(64)≅ R$ 56,00

11) Um objeto se move de tal forma que sua velocidade após t minutos é V(t) = 1 + 4t + 3t2 metros porminuto. Que distância o objeto percorre durante o terceiro minuto?

Resposta: S(t) = t + 2t2

+ t3

+ k => S(3) – S(2) = 48 – 18 = 30 metros12) Um objeto se move de tal forma que sua velocidade após t minutos é V(t) = 3 + 2t + 6t2 metros por

minuto. Que distância o objeto percorre durante o segundo minuto?Resposta: S(t) = 3t + t2 + 2t3 => S(2) – S(1) = 26 – 6 = 20 metros

13) Se um ponto se move em uma reta coordenada com a aceleração a(t) e as condições iniciais dadadetermine s(t):

a) a(t) = 2 – 6t; v(0) = - 5; s(0) = 4Resposta.: s(t) = t2 – t3 – 5t + 4

b) a(t) = 3t2; v(0) = 20; s(0) = 5Resposta.: s(t) =4

4t + 20t + 5

14) Uma partícula desloca-se sobre o eixo 0x com velocidade v(t) = 2t + 5, t > 0. Sabe-se que, ninstante t = 0, a partícula encontra-se na posição x = 6.

a) Qual a posição da partícula no instante t?Resposta: 652 ++= t t x b) Determine a posição da partícula no instante t = 2. Resposta: x(2) = 20c) Determine a aceleração.Resposta: a(t) = 2

15) Um projétil é lançado verticalmente para cima com uma velocidade de 500 m/s. Desprezando resistência do ar, determine:

a) A sua distância no instante t.Resposta: S(t) = - 4,9t2 + 500tb) A altura máxima atingida.Resposta: Em t = 51,02 seg acontece hmáx = 12.755,1 m

16) Joga-se uma pedra diretamente para cima com uma velocidade inicial de 5 m/s. Determine:a) A sua distância do solo após t segundos?Resposta: S(t) = - 4,9t2 + 5tb) Quando ela atinge o solo?Resposta: t = 1,02 segc) A velocidade com que atinge o solo?Resposta: V(1,02) = - 4,996 m/s = - 5 m/s


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17) Deixa-se cair um objeto da altura de 300 m. Desprezando a resistência do ar, determine:a) A distância percorrida em t segundosResposta: S(t) = -4,9t2 + 300b) A velocidade ao cabo de 3 segundosResposta: V = -29,4 m/sc) Quando o objeto atinge o soloResposta: ½.9,8.t2 = 300 => t = 7,82 seg

18) Uma constante gravitacional para objetos próximos da superfície da Lua é 1,62 m/s2.a) Se um astronauta na Lua joga uma pedra diretamente para cima com uma velocidade inicial de 2

m/s determine a altura máxima atingida.Resposta: S(t) = - 0,812t2 + 20t ; 12,34 s e 123,43 sb) Se, após sua volta à Terra, o astronauta lança a mesma pedra diretamente para cima com a mesm

velocidade inicial, determine a altura máxima atingida.Resposta: s(t)= -4,9t2+20t ; 2,04 s e 20,41 s

19) Uma bola rola por um plano inclinado com uma aceleração de 61 cm/s2.a) Se a bola não tem velocidade inicial, que distância percorrerá em t segundos?

Resposta: S(t) = 30,50t2 b) Qual deve ser a velocidade inicial para que a bola percorra 30 metros em 5 segundos?

Resposta: S(5) = 3000 cm e S = So + vo t + ½ a. t2 => vo = 447,50 cm/s

20) Uma pedra é atirada diretamente para baixo de um balão estacionário a 3000 metros acima do socom uma velocidade de -14,4 m/s. Localize a pedra e encontre sua velocidade 20 segundos depoisResposta: Depois de 20 segundos, a pedra está a 712 metros acima do solo e sua velocidade é de-214,4 m/s.

Dica, sugestão ou explicação dos exercícios:

15) Em t = 0 s, s(0) = 0 m e v(0) = 500 m/s. Use aceleração = 9,8 m/s2. Entendendo os sinais da

velocidade e aceleração: −→+−

→∆∆

=+→++

→∆∆

=t va

t sv ;

17) Em t = 0 s, s(0) = 300 m e v(0) = 0 m/s. Use aceleração = - 9,8 m/s2. Entendendo os sinais da

velocidade e aceleração: −→+−→∆∆=−→+−→∆∆= t vat sv ;

20) No instante que a pedra é atirada do balão, sua aceleração é de a = dv/dt = -10 m/s². Sua velocidaé v = -10t + k1. Quando t = 0, v = -14,4 m/s; onde k1 = -14,4 e v = ds/dt = -10t - 14,4. Ainda,s = -5t² - 14,4t + k2. Quando t = 0, s = 3.000, onde k2 = 3000 e s = -5t² - 14,4t + 3000. Quandot = 20, s = -5(20)² - 14,4(20) + 3.000 = 712 m e v =-10(20) - 14,4 = -214,4 m/s. Portanto, depode 20 segundos, a pedra está a 712 metros acima do solo e sua velocidade é de -214,4 m/s. Supovo = -14,4 m/s e v1 = -20,4 m/s =>∆v = -20,4-(-14,4) = -6. Entendendo os sinais da velocidade e

aceleração: −→+−

→∆∆

=−→+−

→∆∆

=t va

t sv ;

Sugestão de atividade: Após resolução manual da lista de exercícios, resolva-a utilizando osoftware de computação algébrica Maple®.


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40

PROCEDIMENTO DE INTEGRAÇÃO - INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO SIMPLES

Algumas integrais não têm soluções imediatas, porém, através de uma mudança de variável adequadmuitas dessas integrais podem ser calculadas com uso das regras conhecidas. Considere a integral

O objetivo desta técnica é transformar o integrando, que é uma função composta, em uma funçãsimples. Entretanto, a técnica só funciona se no integrando aparece uma função (u) e sua derivada(c.u’), onde c∈ ℜ*.Passo 1: Introduza a letrau para substituir alguma expressão em x que seja escolhida para simplificar

a integral.

Passo 2: Reescreva a integral em termos deu. Para reescreverdx, calculedxdu e resolva

algebricamente como se o símbolodxdu

fosse um quociente, lembrando dos diferenciais.Passo 3: Calcule a integral resultante e então substituau por sua expressão em termos dex na resposta.Nota: Se o integrando é um produto ou quociente de dois termos e um termo é múltiplo da derivada d

uma expressão que aparece no outro, então esta expressão é provavelmente uma boa escolhparau.

Exemplos:1) Calcule:∫ + dx x 5)1(Solução:

Fazendo: u = x +1, temos: dxdudxdu

=⇒= 1

Logo, ∫∫ +=+==+ k uk uduudx x 66)1(66

55 = k x ++6

)1( 6

2) k xdx x ++==+∫ 8)12(...)12(

43

3) k xdx x ++==+∫ 3)75(152...75

4) k xdx x ++==+∫ 48)12(...x.)12(

83273

5) k dx x +−==∫ 16)6x-(7...)6x-(7.

3 423 2

6) k x x

dx x

x+

+−−==

+−−∫ 5363

2

)13(151...

)13(x)1(

7) k xdx x x ++==+⋅∫ 3)1(...1

322

8) k x xdx x x ++−+==+⋅∫ 3)1(

5)1(...1

325223 (dica:u = 1 + x2 ⇒ du = 2x dx)

9) k x xdx x x x +++==+++∫9282

)53(...)32()53(9

10) k xk dx x

x++=++==

+∫2

2

2 1ln2|x1|ln...

1


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41

11) k dx x

x+

−⋅==

−∫ 2|1x|ln3...

13 22

12) k dx x

++

==+∫ 3

|23x|ln...23

1

13) k xdx x

x++−+==

+∫ |x1|ln1...1 (dica:u = 1 + x ⇒ u – 1 = x edu = dx)

14) k xdx x

+++⋅==++

+∫ 2 382x3...382x63x 2

2

15) k edxe x

x +==∫ 7...7

7

16) k edxe x x

x +==+

+∫ 4....2

234

4

17) k xsdx +==∫ 4)4(en...(4x)cos

18)

k xs

dx x +==∫ 2)(en

...)(xcos.

22

19) k xdx x

x+==∫ sen2...cos (dica: xdx

du xu2

1=⇒= )

20) k xdx +−==⋅∫ 205cos...5x)sen5x(cos

43 (dica: x

dxdu xu 5sen55cos −=⇒= )

21) k dx x

+==∫ 3 x)(ln...(ln x)

32

22) k dx x

+==∫ 2 x)(ln...ln x

2

23) k x

dx x

+−==∫ ln1...

ln x)(1

2

24) k xdx x

+==∫ |ln|ln...ln x.1

25) k n

dx x

++

==+

∫ 1 x)(ln...(ln x)

1nn

, }1 / n{ −≠ℜ∈∀ n

LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS1) Prove, utilizando mudança de variável ou o método da substituição, que:

a) ∫ +=− k|a-x|ln1

dxa x , ℜ∈∀ a

b) ∫ += kα

α x

x edxe , * ℜ∈∀α

c) ∫ +−= kcos α α

α xdx xsen , * ℜ∈∀α

d) ∫ += k cos α α xsendx x , * ℜ∈∀α

e) ∫ ∫ +−== k |xcos|lncos dx xsenxdx xtg

f) ∫ ∫ +== k |sen x|lncos cot dx xsen xdx xg


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42

2) Resolva os exercícios a seguir utilizando o método de substituição:Exercício Resposta a) ∫ − dx)2x3( 3

b) ∫ − dx2x3

c) dx x 231

∫ − d) dx

x∫ − )23(1

2

e) ∫ ⋅ dxsen x2 x

f) dx x∫ ⋅ 2xe

g) dx x∫ ⋅ 3x2 e h) ∫ dx x 5sen

i) dx x x∫ ⋅ 43 cos

j) ∫ dx x 6cos

k) dx xsen x cos3 ⋅∫

l) ∫ ⋅ dx x xsen cos5 m) dx

x

32∫ +

n) dx x

34

5∫ + o) dx

x x 41 2∫ +

p) dx x

x∫ + 653

2

q) dx x

x )41( 22∫ +

r) dx x x 31 2∫ +⋅ s) ∫ +⋅ dxee x x 1t) ∫

−dx

)1x(1

3

u)

dx x x

cossen

2∫ v) ∫ ⋅ dxe 2-x x

a) k12

)2x3( 4+

−

b) k)2x3(92 3 +−

c) k2x3ln31 +−

d) k)2x3(3

1+

−−

e) kxcos21 2 +−

f) ke21 2x +

g) ke31 3x +

h) kx5cos51 +−

i) kxsen41 4 +

j) kx6sen61

+

k) kxcos41 4 +−

l) kxsen616 +

m) k3xln2 ++

n) k3x4ln45

++

o) k)x41ln(81 2 ++

p) k)x65ln(41 2 ++

q) k x

++

−)41(8

12

r) k)x31(91 32 ++

s) k e x ++ 3)1(32

t) k)1x(2

12 +−

−

u) kxcos

1+

v) ke21 2x +− −


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43

INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS

Sabemos que:• [ sen x ] ’ = cos x• [ cos x ] ’ = - sen x• [ tg x ] ’ = sec2 x• [ cotg x] ’ = - cossec2 x• [ sec x ] ’ = sec x. tg x• [ cossec x ] ’ = - cossec x. tg x

Assim,• ∫ +−= k xdx x cossen• ∫ += k xdx x sencos• ∫ += k xtgdx x sec2 • ∫ +−= k xgdx x cotseccos 2 • ∫ +=⋅ k xdx secxtgxsec• ∫ +−=⋅ k xdx x seccosxcotgseccos

Exemplos:1) Mostre, utilizando derivadas, que∫ +−= k xdx |cos|lnxtg(caso i) cos x > 0[ - ln | cos x | + k] ’ = [ - ln (cos x) + k] ’ = xtg

x x

x

cossen

cos(-sen x)

==−

(caso ii) cos < 0[ - ln | cos x | + k] ’ = [ - ln (- cos x) + k] ’ = xtg

x x

cossen x

cossen x ==

−−

∴ ∫ +−= k xdx |cos|lnxtg

Nota de revisão: 0

[ ln | sec x + tg x | + k]’ = [ ln (sec x + tg x) + k]’ =xtgxsec

secxtgxsec 2+

+⋅ x = x

x secxtg

)secxtg(xsec+

+ = sec x

(caso ii) sec x + tg x < 0

[ln | sec x + tg x | + k]’=[ ln (- (sec x + tg x)) + k]’ = x)tgx(sec-secxtgxsec- 2

+−⋅ x =

x x

secxtg)secxtg(xsec

++ = sec x

∴ ∫ ++= k xdx |tgxsec|lnxsec

3) ∫ ∫ +−== k x xdxdx tg 1)-x(secxtg 22 Nota de revisão:sen 2 x + cos2 x = 1 e 1 + tg2 x = sec2 x , pois: x

x x x x

x x 2

22

22

2

2

seccos

1cos

sencoscossen1 ==+=+


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44

4) ∫ ∫ ++=++=

+= k k dxdxos 42xsen

2x

22xsen.

21x

21 2xcos

21

21 xc 2

Nota de revisão:cos 2x = cos (x + x) = cos x. cos x - sen x. sen x = cos2 x - sen2 x = cos2 x - (1 - cos2 x) = 2 cos2 x - 1,

logo cos 2x = 2 cos2 x - 1⇒ cos2 x = x2cos21

21

+

5) ∫ ∫ +−=+

+== k k dxcdx

42xsen

2x

42xsen

2x-x x)os-(1xsen 22

6) ∫ =+ dx x x )cos(sen 2 ... = k x x +− 22cos (Sugestão: θ θ θ cos22 ⋅⋅= sensen )

7) ∫ =+ dx x x )cos(sen 2 ... = k x x +− 2cos

8) ∫ =+ dx x x )cos(sen 2 ... = k xsen x ++ 2

9) ∫ =dx x x

2cos4sen ... = -cos 2x + k (Sugestão: θ θ θ cos22 ⋅⋅= sensen )

10) ∫ =+⋅ dx x xsen )cos1( 2 ... = k x ++− 3)cos1( 3

11) dx xg x

cotcos1∫⋅

= dx xg x

cot

1cos

1∫

⋅ = ( )dxtgx x sec∫ ⋅ = sec x + k

Nota de revisão: x

xcos

1sec = ; x

xsen

1seccos = ; x

x xtgcos

sen = ; xtg

xg

1 cot =

12) Mostre, utilizando mudança de variável, que∫ +−= k xdx |cos|lnxtgSolução: k|xcos|ln-k|u|-lndu1

1-du 1dx

cos1dx

cosdx

*+=+=−==⋅== ∫∫∫∫∫ uusenx x x

senx xtg

* u = cos x⇒ xdxdu sen−= ⇒ dx xdu sen

1=

−

13) Mostre, utilizando mudança de variável, que∫ += k xdx |sen|lnxcotgSolução: k|sen x|lnk|u|lndu1du1dxcos1dxcosdxcot * +=+===⋅== ∫∫∫∫∫ uu xsenxsenx x xg * u = sen x⇒ x

dxdu cos= ⇒ dx xdu cos=

14) k xsdx x +==⋅∫ 2)(en...)(xcos

22

15) k xdx x

x+==∫ sen2...cos (Dica: xdx

du xu2

1=⇒= )

16) k xdx +−==⋅∫ 205cos...5x)sen5x(cos

43 (Dica: x

dxdu xu 5sen55cos −=⇒= )


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17) Resolva a equação diferencial f ’’ (x) = 5 cos x + 2 sen x sujeita às condições iniciais f(0) = 3 f ’ (0) = 4.Resposta: f(x) = -5 cos x – 2 sen x + 6x + 8

18) Resolva a equação diferencial f ’’ (x) = 16 cos 2x – 3 sen x sujeita às condições iniciais f(0) = -2 f ’ (0) = 4.Resposta: f(x) = 3 sen x – 4 cos 2 x + x + 2.

19) Mostre, utilizando o método de substituição, que:

(i)∫ ⋅ dx x xsen cos = k x +2sen2 (Faça: u = sen x)

(ii) ∫ ⋅ dx x xsen cos = k x +− 2cos2 (Faça: u = cos x)

20) Mostre que∫ ⋅ dx x xsen cos = k x +− 42cos (Lembre-se: θ θ θ cos22 ⋅⋅= sensen )

Solução: Como sen 2x = 2 sen x cos x⇒ x xsen xsen cos22

⋅=

Assim,∫ ⋅ dx x xsen cos = k xk uduuduudx xdx x +−=+−==== ∫ ∫∫∫ 4

2coscos41 sen

41

2sen

21 2sen

21

22sen **

* u = 2x⇒ 2=dxdu e dxdu =

2

21) Prove, utilizando o método da substituição, que∫ +−= kcos α α xdx xsen , * ℜ∈∀α

Solução: ∫ ∫ +−=+== kcoskcos1 *

α α

α α α

xuduusendx xsen

* u = xα ⇒ α =dxdu e dxdu =

α

22) Prove, utilizando o método da substituição, que∫ += k cos α α xsendx x , * ℜ∈∀α

Solução: ∫ ∫ +=+== kenk1 osos*

α α

α α α

xsusenduucdx xc

* u = xα ⇒ α =dxdu e dxdu =


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TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO - INTEGRAÇÃO POR PARTES

Suponhamos f e g funções definidas e deriváveis em um mesmo intervalo I. Temos, pela regra dproduto:

[ f(x).g(x)] ' = f ' (x).g(x) + f(x).g ' (x)ou

f(x).g ' (x) = [ f(x).g(x)] ' – f ' (x).g(x)

Supondo, então, que f ' (x).g(x) admita primitiva em I e observando que f(x).g(x) é uma primitiva d[f(x).g(x)] ' , então f(x).g ' (x) também admitirá primitiva em I e

∫∫ ⋅⋅=⋅ dx)()('-g(x)f(x)dx)(')( xg x f xg x f (1)

que é a regra de integração por partes.

Fazendo u = f(x) e v = g(x), teremos du = f ' (x) dx e dv = g ' (x) dx, o que nos permite escrever a reg(1) na seguinte forma usual:

∫∫ ⋅⋅=⋅ -vu duvdvu

Suponha, agora, que se tenha que calcular∫ ⋅ dx x x )()( β α . Se você perceber que, multiplicando aderivada de uma das funções do integrando por uma primitiva da outra, chega-se a uma função qupossui primitiva imediata, então aplique a regra de integração por partes.

Exemplos: Calcule as seguintes integrais:

1) ∫ ⋅ dxxcosx = ... = k x x x ++ cossen.

2) ∫ ⋅ dxxsen x = ... = k x x x ++− sencos.

3) ∫ ⋅ dxxcos2

x = ...= k x x x x x +−+ sen2cos.2sen.2

4) ∫ ⋅ dxxsenx2 = ...= k x x x x x +++− cos2sen.2cos.2

5) ∫ ⋅ dxxcosxe = ... = k x xe x

++ )cos(sen2

6) ∫ ⋅ dxxsenxe = ... = k x xe x

+− )cos(sen2


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7) Sabendo que∫ += k xdx x ||ln1 , mostre que:∫ dxln x = x. (ln x – 1) + k

Resposta: fazendo: f = ln x e g ’ = 1⇒ ∫ dxln x = k x x +−⋅ )1(ln

8) Sabendo que:∫ +=+ k arcdx x xtg11

2 , mostre que:

∫ dxxtgarc = =++−⋅=++−⋅ k x xk x x 22 1lnxtgarc)1ln(21 xtgarc

9) Sabendo que:∫ +=−

k arcdx x

sen x1

12

, mostre que:

∫ dxsen xarc = x.arc sen x + 21 x− + k

10) ∫ dxxcos2 = ... = k x x ++4

2sen

2

11) ∫ dxxsen2 = ... = k x x +− 42sen

2

12) Sabendo que ∫ ++= k tg xdx x |sec|lnsec e x xtg 22 sec1 =+ mostre quek]|xtgxsec|lnxtgx[sec

21sec3 +++⋅=∫ x .

13) Mostre, por integração por partes, que: k bxsenabxbba

edxbxseneax

ax ++−+

=∫ ]cos[22 , com0, ≠ba .

> Int(exp(a*x)*sin(b*x),x)=int(exp(a*x)*sin(b*x),x)+k;

=d ⌠ ⌡

eeee( )a x ( )sin b x x − + +b eeee( )a x ( )cos b x

+a2 b2a eeee( )a x ( )sin b x

+a2 b2 k

> Int(exp(a*x)*sin(b*x),x)=simplify(int(exp(a*x)*sin(b*x),x))+k;

=d ⌠

⌡eeee( )a x ( )sin b x x +eeee

( )a x ( )− +b ( )cos b x a ( )sin b x +a2 b2

k

14) Mostre, por integração por partes, que: k bxsenbbxaba

edxbxeax

ax +++

=∫ ]cos[cos 22 , com0, ≠ba .

> Int(exp(a*x)*cos(b*x),x)=int(exp(a*x)*cos(b*x),x)+k;

=d ⌠ ⌡

eeee( )a x ( )cos b x x + +a eeee( )a x ( )cos b x

+a2 b2b eeee( )a x ( )sin b x

+a2 b2 k

> Int(exp(a*x)*cos(b*x),x)=simplify(int(exp(a*x)*cos(b*x),x))+k;

=d ⌠ ⌡

eeee( )a x ( )cos b x x +eeee( )a x ( )+a ( )cos b x b ( )sin b x +a2 b2

k


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EXEMPLOS DE INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS

1) Calcule dx x∫ 2sec .Solução:

k xtgdx x +=∫ 2sec

Solução: Utilizando osoftware de computação algébricaMaple®®®®, temos:> Int((sec(x))^2,x)=int((sec(x))^2,x)+k; =d ⌠

⌡( )sec x 2 x +( )sin x( )cos x k

2) Calcule dx xtg∫ 2 .Solução:

k x xtgdxdx xdx xdx xtg +−=−=−= ∫ ∫∫∫ 1sec]1[sec 22*

2

Onde:

x xtg 22*

sec1 =+

Solução: Utilizando osoftware de computação algébricaMaple®®®®, temos:> Int((tan(x))^2,x)=int((tan(x))^2,x)+k; =d ⌠ ⌡

( )tan x 2 x − +( )tan x ( )arctan ( )tan x k

3) Calcule dx x∫ 2seccos .Solução:

k xgdx x +−=∫ cotseccos 2

Solução: Utilizando osoftware de computação algébricaMaple®®®®, temos:> Int((csc(x))^2,x)=int((csc(x))^2,x)+k; =d ⌠

⌡( )csc x 2 x − +( )cos x( )sin x k

4) Calcule dx xg∫ 2cot .

Solução:k x xgdxdx xdx xdx xg +−−=−=−= ∫ ∫∫∫ cot1seccos]1sec[coscot 22

*2

Onde:

x xg 22*

seccoscot1 =+

Solução: Utilizando osoftware de computação algébricaMaple®®®®, temos:> Int((cot(x))^2,x)=int((cot(x))^2,x)+k;

=d ⌠ ⌡

( )cot x 2 x − + − +( )cot x 1

2π ( )arccot ( )cot x k


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5) Calcule dx x∫ sec .Solução: Multiplicando e dividindo o integrando por ,sec xtg x+ temos:

dx xtg x

xtg x xdx xtg x xtg x xdx x ∫∫∫ +

⋅+=++

⋅=sec

secsecsecsecsecsec

2

Considerando a substituição: dx x xtg xdu xtg xu )sec(secsec 2+⋅=⇒+=

Assim,

∫ ∫ ++=+== k xtg xk uduudx x |sec|ln||ln1sec

Solução: Utilizando osoftware de computação algébricaMaple®®®®, temos:> Int(sec(x),x)=int(sec(x),x)+k; =d ⌠ ⌡ ( )sec x x +( )ln +( )sec x ( )tan x k

6) Calcule dx x∫ seccos .Solução: Multiplicando e dividindo o integrando por ,cotseccos xg x+ temos:

dx xg x

xg x xdx xg x xg x xdx x ∫∫∫ +

⋅+=++

⋅=cotseccos

cotseccosseccoscotseccoscotseccosseccosseccos

2

Considerando a substituição: dx x xg xdu xg xu )seccoscotseccos(cotseccos 2−⋅−=⇒+=

Assim,∫ ∫ ++−=+−=−= k xg xk uduudx x |cotseccos|ln||ln

1seccos

Solução: Utilizando osoftware de computação algébricaMaple®®®®, temos:> Int(csc(x),x)=int(csc(x),x)+k; =d ⌠ ⌡ ( )csc x x − +( )ln +( )csc x ( )cot x k


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51

7) Utilizando resultados anteriores, calcule dx x∫ 3sec .Solução:

{ ∫∫∫∫ =⋅⋅−⋅=−⋅=⋅= dx xtg x xtg xtg xduvvudx x xdx x

dvu

secsecsecsecsec*

2343421

∫∫ =−⋅−⋅=⋅−⋅= dx x x xtg xdx xtg x xtg x )1(secsecsecsecsec 2**

2

|sec|lnsecsecsecsecsec 3***

3 xtg xdx x xtg xdx xdx x xtg x ++−⋅=+−⋅= ∫∫ ∫

Onde:

∫ ==⇒=⋅=⇒= xtgdx xvdx xdvdx xtg xdu xu 22*

secsecesecsec

x xtg22

**

sec1 =+

∫ += |sec|lnsec***

xtg xdx x

Assim,

k xtg x xtg xdx x xtg x xtg xdx x +++⋅=⇒++⋅= ∫∫ ]|sec|ln[sec21sec|sec|lnsecsec2 33

Solução: Utilizando osoftware de computação algébricaMaple®®®®

, temos:> Int((sec(x))^3,x)=int((sec(x))^3,x)+k;

=d ⌠ ⌡

( )sec x 3 x + +12( )sin x( )cos x 2

12 ( )ln +( )sec x ( )tan x k

8) Mostre que k xg x xg xdx x +−−⋅−=∫ ]|cotseccos|lncotsec[cos21seccos 3 .

Solução: Utilizando osoftware de computação algébricaMaple®®®®, temos:> Int((csc(x))^3,x)=int((csc(x))^3,x)+k;

=d ⌠ ⌡

( )csc x 3 x − + +12( )cos x( )sin x 2

12 ( )ln −( )csc x ( )cot x k


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LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS

1) Calcule as integrais indefinidas:a) dxex∫ ⋅ x Resposta: (x – 1) ex + kb) dxex2∫ ⋅ x Resposta: ex (x2 – 2x + 2) + k

c)∫ ⋅ dxln x x Resposta: fazendo u = ln x e dv = xdx => k21

xln2x2

+

−

d) ∫ ⋅ dxln x2 x Resposta: fazendo: u = ln x e dv = x2dx⇒ k31xlnx

31 3 +

−

e) ∫ ⋅ dxxsec2 x Resposta: fazendo: u = x e dv = sec2 x dx⇒ x tg x + ln | cos x | + kf) ∫ ⋅ dx(ln x)2 x Resposta: k2

1xln)x(ln2x 22 ++−

g) ∫ dx(ln x)2 Resposta: x (ln x)2 – 2x (ln x – 1) + k

h) dx.e2x

∫ x Resposta: k

2

1xe2

1 2x +

−

i) dxsen xe-2x∫ ⋅ Resposta: k)xsen2x(cose51 2x- ++−

j) dxe2x3∫ ⋅ x Resposta: fazendo: u = x2 e dv dxe x x2⋅= ⇒ ke)1x(2

1 2x2

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