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Mouvementbrownien
Mouvementbrownien
Constructiondu mouvementbrownien
Une autreconstruction
Le mouvement brownien80-646-08
Calcul stochastique
Geneviève Gauthier
HEC Montréal
Mouvementbrownien
MouvementbrownienDénitionRappel: normalePropriétésAutres propriétés
Constructiondu mouvementbrownien
Une autreconstruction
IntroductionLe mouvement brownien
En 1827, Robert Brown a observé que de petites particulesimmergées dans un liquide sont perpétuellement enmouvement, lequel est des plus irréguliers.Historiquement, le mouvement brownien se voulait unetentative pour modéliser ce phénomène. Aujourdhui, lemouvement brownien est utilisé dans divers domaines telsléconomie, la théorie de la communication, la biologie, lessciences administratives et les mathématiques.(Traduction libre du paragraphe dintroduction aumouvement brownien, S. Karlin et H. M. Taylor (1975).)
Nous attribuons au mathématicien Norbert Wienerlanalyse rigoureuse des mathématiques concernant lemouvement brownien et cest pourquoi ce processus estaussi connu sous le nom de processus de Wiener.
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Dénition ILe mouvement brownien
Soit (Ω,F ,F,P), un espace probabilisé ltré.Condition technique. Comme nous allons travailler avecdes égalités presque-sûre1, nous exigeons que lensembledes événements qui ont une probabilité nulle de se réalisersoit compris dans la tribu F0, cest-à-dire que lensemble
N = fA 2 F : P (A) = 0g F0.
De cette façon si X est Ftmesurable et que Y = XPpresque-sûrement alors nous savons que Y estFtmesurable.
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Dénition IILe mouvement brownien
DenitionUn mouvement brownien standard fWt : t 0g est unprocessus stochastique adapté construit sur un espaceprobabilisé ltré (Ω,F ,F,P) tel que :(MB1) 8ω 2 Ω, W0 (ω) = 0,
(MB2) 80 t0 t1 ... tk , les variables aléatoiresWt1 Wt0 , Wt2 Wt1 , ..., Wtk Wtk1 sont indépendantes,
(MB3) 8s, t 0 tels que s < t, la variable aléatoire Wt Ws
est de distribution normale despérance 0 et de variance t scest-à-dite Wt Ws N (0, t s) ,(MB4) 8ω 2 Ω, la trajectoire t ! Wt (ω) est continue.
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Dénition IIILe mouvement brownien
En général, la ltration utilisée est F = fFt : t 0g où
Ft = σ ffWs : 0 s tg [Ng
est la plus petite tribu pour laquelle les variables aléatoiresWs : 0 s t sont mesurables contenant les ensemblesde mesure nulle.
1X = Y Ppresque-sûrement si lensemble des ω pour lesquels X estdi¤érente de Y a une probabilité nulle, cest-à-dire que
P fω 2 Ω : X (ω) 6= Y (ω)g = 0.
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Rappel concernant la loi normale I
Si X est une variable aléatoire de loi normale despéranceµ et décart-type σ > 0, alors sa fonction de densité est
fX (x) =1
σp2π
exp
( (x µ)2
2σ2
),
ce qui nous permet de déterminer 8a, b 2 R, a < b,
P [a < X b] =Z b
afX (x) dx .
Malheureusement, il nexiste pas de primitive à lintégraleci-dessus. Nous devons donc lévaluer numériquement. Lafonction de répartition de X est
FX (x) =Z x
∞fX (y) dy .
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Rappel concernant la loi normale II
De façon générale, si deux variables aléatoires X et Y ,construites sur le même espace probabilisé, sontindépendantes, alors leur covariance
Cov [X ,Y ] = E [XY ] E [X ]E [Y ]
est nulle.
Par contre, il est possible que deux variables aient unecovariance nulle, mais quelles ne soient pasindépendantes. Ceci est illustré par lexemple suivant:
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Rappel concernant la loi normaleIII
Exemple
ω X (ω) Y (ω) X (ω)Y (ω) P (ω)
ω1 0 1 0 14
ω2 0 1 0 14
ω3 1 0 0 14
ω4 1 0 0 14
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Rappel concernant la loi normaleIV
La covariance entre ces deux variables est nulle car :
EP [X ] = 0, EP [Y ] = 0, EP [XY ] = 0
) CovP [X ,Y ] = EP [XY ] EP [X ]EP [Y ] = 0
mais elles sont dépendantes puisque
P [X = 0 et Y = 0] = 0 6= 14= P [X = 0]P [Y = 0] .
Par contre, lorsque la distribution des variables est normale(pas nécessairement de même espérance et de mêmeécart-type), nous avons un résultat nous permettant devérier lindépendance des variables en utilisant lacovariance :
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Rappel concernant la loi normale V
TheoremProposition. Si X et Y sont deux variables aléatoires dedistribution normale multivariée, toutes deux construites sur lemême espace probabilisé, alors X et Y sont indépendantes si etseulement si leur covariance est nulle (T. W. Anderson, 1984,théorème 2.4.4, page 28).
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Propriétés ILe mouvement brownien
TheoremLemme 1. Soit fWt : t 0g, un mouvement brownienstandard. Alors(i) Pour tout s > 0, fWt+s Ws : t 0g (homogénéité aucours du temps)
(ii) fWt : t 0g (symétrie)
(iii)ncW t
c2: t 0
o(rééchelonnement du temps)
(iv)nW t = tW 1
t1t>0 : t 0
o(inversion du temps)
sont aussi des mouvements browniens standard.
Exercice. Vériez-le.
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Propriétés IILe mouvement brownien
TheoremLemme 2. Le mouvement brownien est une martingale.
DenitionDénition. Sur lespace probabilisé ltré (Ω,F ,F,P), où F
est la ltration fFt : t 0g, le processus stochastiqueM = fMt : t 0g est une martingale en temps continu si
(M1) 8t 0, EP [jMt j] < ∞;
(M2) 8t 0, Mt est Ft mesurable;
(M3) 8s, t 0 tel que s < t, EP [Mt jFs ] = Ms .
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Preuve du lemme 2 IPropriétés du mouvement brownien
Par la dénition même de la ltration, il est évident queW est un processus stochastique adapté.
Pour tout instant t, la variable aléatoire Wt est intégrablepuisque
EP [jWt j] =Z ∞
∞
jz jp2πt
expz
2
2t
dz
= 2Z ∞
0
zp2πt
expz
2
2t
dz
= r2tπexp
z
2
2t
∞
0
=
r2tπ< ∞.
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Preuve du lemme 2 IIPropriétés du mouvement brownien
Il ne reste quà vérier que 8s, t 0 tels que s < t,EP [Wt jFs ] = Ws .
EP [Wt jFs ] = EP [Wt Ws +Ws jFs ]= EP [Wt Ws jFs ] + EP [Ws jFs ]= EP [Wt Ws ] +Ws par (MB2)
= Ws par (MB3)
La démonstration est complète.
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Propriétés ILe mouvement brownien
TheoremLemme 3. Le mouvement brownien est un processusmarkovien.
Idée de la preuve du lemme 3 : Pour tout u 2 [0, s ], lesvariables aléatoires Wt Ws et Wu sont indépendantes car
Cov [Wt Ws ,Wu ]
= Cov [Wt Wu +Wu Ws ,Wu ]
= Cov [Wt Wu ,Wu ]Cov [Ws Wu ,Wu ]
= 0+ 0 par (MB2) .
Par conséquent Wt = (Wt Ws ) +Ws peut sécrire comme la somme de
deux variables aléatoires: Ws qui ne dépend de linformation disponible au
temps s , Fs , quà travers σ (Ws ) et Wt Ws qui est indépendante de
Fs = σ fWu : 0 u sg.
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Propriétés IILe mouvement brownien
Propriété 3. 8ω 2 Ω, la trajectoire t ! Wt (ω) est nulle partdi¤érentiable.La construction du mouvement brownien illustre bien cettepropriété.
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Le mouvement brownienmultidimensionnel I
DenitionLe mouvement brownien standard W de dimension n est unefamille de vecteur aléatoires
Wt =W (1)t , ...,W (n)
t
>: t 0
où W (1), ...,W (n) représentent des mouvements browniensindépendants construits sur lespace probabilisé ltré(Ω,F ,F,P) .
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Le mouvement brownienmultidimensionnel II
Le mouvement brownien multidimensionnel est très utilisédans les modèles de marché en temps continu.
Par exemple, lors de la modélisation simultanée des prix deplusieurs actifs risqués.
Cependant, les chocs que subissent ces actifs risqués nedevraient pas être indépendants.
Cest pourquoi nous aimerions construire un mouvementbrownien multidimensionnel dont les composantes sontcorrélées.
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Le mouvement brownienmultidimensionnel III
À partir dun mouvement brownien standard W dedimension n, il est possible de créer un mouvementbrownien de dimension n dont les composantes sontcorrélées.
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Le mouvement brownienmultidimensionnel IV
Theorem
Γ =γiji ,j2f1,2,...,ng est une matrice de constantes et
W =W (1), ...,W (n)
>est un vecteur composé de
mouvements browniens indépendants. Pour tout t, posons Bt = ΓWt .Alors Bt est un vecteur aléatoire de dimension n dont la i ièmecomposante est B (i )t = ∑n
k=1 γikW(k )t . De plus
CovhB (i )t ,B
(j)t
i= t
n
∑k=1
γikγjk
et CorhB (i )t ,B
(j)t
i=
∑nk=1 γikγjkq
∑nk=1 γ2ik
q∑nk=1 γ2jk
.
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Démonstration ILe mouvement brownien multidimensionnel
CovhB (i )t ,B
(j)t
i= Cov
"n
∑k=1
γikW(k )t ,
n
∑k =1
γjk W(k )t
#
=n
∑k=1
n
∑k =1
γikγjk CovhW (k )t ,W (k )
t
i=
n
∑k=1
γikγjkCovhW (k )t ,W (k )
t
icar Cov
hW (k )t ,W (k )
t
i= 0 si k 6= k
= tn
∑k=1
γikγjk
car CovhW (k )t ,W (k )
t
i= Var
hW (k )t
i= t
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Démonstration IILe mouvement brownien multidimensionnel
VarhB (i )t
i= Cov
hB (i )t ,B
(i )t
i= t
n
∑k=1
γ2ik
CorhB (i )t ,B
(j)t
i=
CovhB (i )t ,B
(j)t
ir
VarhB (i )t
irVar
hB (j)t
i=
t ∑nk=1 γikγjkq
t ∑nk=1 γ2ik
qt ∑n
k=1 γ2jk
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Démonstration IIILe mouvement brownien multidimensionnel
Nous venons de montrer quil est possible de construire unmouvement brownien B dont les composantes sontcorrélées à partir dun mouvement brownien standard W(dont les constituants sont indépendants). Plusprécisemment, si B =ΓW, alors nous savons trouver lamatrice de corrélations de B.
Pouvons-nous faire linverse, cest-à-dire que si nousconnaissons la matrice de corrélations de B, pouvons nousdéterminer la matrice Γ permettant dexprimer lescomposantes de B comme une combinaison linéaire desmouvements browniens indépendants ?
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Démonstration IVLe mouvement brownien multidimensionnel
Theorem
Supposons maintenant que B (1), ...,B (n) représentent desmouvements browniens corrélés construits sur lespaceprobabilisé ltré (Ω,F ,F,P) et que
8i , j 2 f1, ..., ng et 8t 0, CorhB (i )t ,B
(j)t
i= ρij .
Il existe une matrice A de format n n telle que
(i) B = AW(ii) Cor
hB (i )t ,B
(j)t
i= ρij
(iii) W est formé de mouvements browniens indépendants.
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Démonstration VLe mouvement brownien multidimensionnel
Démonstration. Soit VB = thρij
ii ,j=1,...,n
, la matrice de
variance-covariance du vecteur aléatoireB (1)t , ...,B (n)t
.
Puisque B = AW alors
VB = AtIA> = tAA>
où I représente la matrice identité de dimension n.Comme une matrice de variance-covariance est une matricesymétrique dénie positive, il existe une matrice triangulairesupérieure inversible U telle que VB = U>U (décomposition deCholevski). (Plusieurs logiciels dont matlab ont une fonctionpermettant de calculer cette matrice).Par conséquent, il su¢ t de poser
A =1ptU>.
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Autres propriétés ILe mouvement brownien
Soit a > 0. Dénissons
τa (ω) =
8<:inf fs 0 : Ws (ω) = ag si fs 0 : Ws (ω) = ag 6= ?
∞ si fs 0 : Ws (ω) = ag = ?,
le premier instant où le mouvement brownien W atteint lepoint a.
Les deux prochains résultats ont pour but de montrer quele mouvement brownien atteindra éventuellement, avecprobabilité 1, nimporte quel nombre réel, aussi grandsoit-il.
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Autres propriétés IILe mouvement brownien
TheoremLemme. La variable aléatoire τa est un temps darrêt.
DenitionSoit (Ω,F ), un espace probabilisable muni de la ltrationF = fFt : t 0g. Un temps darrêt τ est une fonction de Ωdans [0,∞] Fmesurable telle que
fω 2 Ω : τ (ω) tg 2 Ft .
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Autres propriétés IIILe mouvement brownien
Démonstration du lemme. Nous devons montrer que pourtout t 0, lévénement fω 2 Ω : τa tg appartient à latribu Ft .Si Q représente lensemble des nombres rationnels, alors
fω 2 Ω : τa tg
=
ω 2 Ω : sup
0stWs (ω) a
=
∞\n=1
ω 2 Ω : sup
0stWs (ω) > a
1n
=
∞\n=1
[r2Q\[0,t ]
ω 2 Ω : Wr (ω) > a
1n
| z
2Fr donc 2Ft| z 2Ft
2 Ft
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Autres propriétés IVLe mouvement brownien
où la dernière égalité est obtenue du fait quesup0stWs (ω) > a 1
n si et seulement sil existe au moinsun nombre rationnel r inférieur ou égal à t pour lequelWr (ω) > a 1
n .
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Autres propriétés VLe mouvement brownien
TheoremLemme. Le temps darrêt τa est ni presque sûrement,cest-à-dire que P [τa = ∞] = 0.
Démonstration du lemme. Nous voulons utiliser le théorèmedarrêt des martingales...
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Autres propriétés VILe mouvement brownien
TheoremThéorème darrêt (Optional Stopping Theorem). SoitX = fXt : t 0g un processus à trajectoires càdlàg (continuesà droite avec limite à gauche) construit sur lespace probabiliséltré (Ω,F ,F,P), où F est la ltration fFt : t 0g.Supposons que le processus stochastique X est Fadapté etquil est intégrable, cest-à-dire que EP [jXt j] < ∞. Alors X estune martingale si et seulement si EP [Xτ] = EP [X0] pour touttemps darrêt τ borné, cest-à-dire que pour chaque tempsdarrêt τ considéré, il existe une constante b telle que
8ω 2 Ω, 0 τ (ω) b.
(réf. Revuz et Yor, proposition 3.5, page 67)
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Autres propriétés VIILe mouvement brownien
TheoremThéorème. Si la martingale M = fMt : t 0g et le tempsdarrêt τ sont construits sur le même espace probabilisé ltré(Ω,F ,F,P) alors le processus arrêté Mτ est lui aussi unemartingale sur cet espace. (réf. Revuz et Yor, corollaire 3.6, page67)
Démonstration du lemme. Nous voulons utiliser le théorèmedarrêt des martingales et, pour ce faire, il faut un tempsdarrêt borné. Or, le temps darrêt τa nest pas borné, maispour tout n 2 N, le temps darrêt τa ^ n, lui, est borné.
Utilisant le théorème darrêt sur la martingaleM =
nMt = exp
hσWt σ2
2 ti
: t 0o, nous obtenons
E [Mτa^n ] = E [M0] = 1.
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Autres propriétés VIIILe mouvement brownien
Puisque
Mτa^n (ω) =
8<: exphσa σ2
2 τa (ω)i
si τa (ω) nexp
hσWn (ω) σ2
2 nisi τa (ω) > n,
alors8n 2 N, Mτa^n exp [σa] ,
donc la suite fMτa^n : n 2 Ng est dominée par laconstante exp [σa] .
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Autres propriétés IXLe mouvement brownien
De plus, pour tout ω 2 fω 2 Ω : τa (ω) < ∞g,
limn!∞
Mτa^n (ω) = Mτa (ω) = exp
σa σ2
2τa (ω)
tandis que pour tout ω 2 fω 2 Ω : τa (ω) = ∞g et pourtout t 0,
Mt (ω) = exp
σWt (ω)σ2
2t exp
σa σ2
2t
ce qui entraîne que, pour tout ω 2fω 2 Ω : τa (ω) = ∞g,
limn!∞
Mτa^n (ω) = 0.
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Autres propriétés XLe mouvement brownien
Le théorème de la convergence dominée de Lebesgueentraîne que
Eexp
σa σ2
2τa
1fτa<∞g
= E
Mτa1fτa<∞g
= E
2664 limn!∞Mτa^n1fτa<∞g + lim
n!∞Mτa^n1fτa=∞g| z
=0
3775= E
hlimn!∞
Mτa^ni
= limn!∞
E [Mτa^n ]
= 1.
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Autres propriétés XILe mouvement brownien
Par conséquent,
Eexp
σ2
2τa
1fτa<∞g
= exp [σa] .
En laissant σ tendre vers 0, nous obtenons
P [τa < ∞] = E1fτa<∞g
= E
limσ!0
expσ2
2τa
1fτa<∞g
= lim
σ!0Eexp
σ2
2τa
1fτa<∞g
par le théorème de la convergence dominée
= limσ!0
exp [σa]
= 1.
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Autres propriétés XIILe mouvement brownien
Nous obtenons aussi au passage la fonction génératrice desmoments E
Eλτa
de τa. En e¤et, si λ = σ2
2 , alors
Eexp [λτa] 1fτa<∞g
= exp
hp2λa
i.
Mais comme exp [λτa] 1fτa=∞g = 0 presque sûrement,
exp [λτa] = Eexp [λτa] 1fτa<∞g
presque sûrement
etE [exp [λτa]] = exp
hp2λa
i.
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Autres propriétés XIIILe mouvement brownien
Nous poursuivons létude de létrange comportement dumouvement brownien.
TheoremLemme. Les trajectoires du mouvement brownien surlintervalle [0,T ] ne sont pas à variation bornéea.
aVoir lannexe B.
Intuitivement, ce dernier résultat signie que chacune destrajectoires du mouvement brownien sur lintervalle [0,T ]est de longueur innie.
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Autres propriétés XIVLe mouvement brownien
TheoremLemme. Le mouvement brownien est récurrent.
Cela signie que le mouvement brownien visite une innité defois chacun de ses états, cest-à-dire tout nombre réel.
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Constructiondu mouvementbrownien1ereapproximation2eapproximation3eapproximationn ièmeapproximationPassage à lalimite
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La construction du mouvementbrownien I
Construire un mouvement brownien, cest fabriquer unespace probabilisé (Ω,F ,P) et un processus stochastiquesur cet espace satisfaisant les conditions (MB1), (MB2),(MB3) et (MB4).Pour se simplier la tâche, nous allons construire lemouvement brownien sur lintervalle de temps [0, 1]puisque sil existe un mouvement brownien sur cetintervalle, nous pouvons en construire un sur nimportequel intervalle de temps borné. En e¤et, sifWt : t 2 [0, 1]g est un mouvement brownien surlintervalle [0, 1] alors 8T > 0,
W =nW t = T
12W t
T: t 2 [0,T ]
oen est un sur lintervalle [0,T ] .
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Constructiondu mouvementbrownien1ereapproximation2eapproximation3eapproximationn ièmeapproximationPassage à lalimite
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La construction du mouvementbrownien II
Nous allons fabriquer le mouvement brownien parapproximations successives. Soit
I (n) = fentiers impairs compris entre 0 et 2ng .
Par exemple,
I (0) = f1g , I (1) = f1g , I (2) = f1, 3g , I (3) = f1, 3, 5, 7g , etc.
Mouvementbrownien
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Constructiondu mouvementbrownien1ereapproximation2eapproximation3eapproximationn ièmeapproximationPassage à lalimite
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La construction du mouvementbrownien III
Soit (Ω,F ,P), un espace probabilisé sur lequel il existeune suite n
ξ(n)i : i 2 I (n) et n 2 N
o=
nξ(0)1 , ξ
(1)1 , ξ
(2)1 , ξ
(2)3 , ξ
(3)1 , ξ
(3)3 , ξ
(3)5 , ξ
(3)7 , ...
ode variables aléatoires indépendantes, toutes de loinormale centrée et réduite (N (0, 1)).
Cest à partir de ces variables que nous allons construire lasuite de processus stochastiques se rapprochant dumouvement brownien.
Mouvementbrownien
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Première approximation IConstruction du mouvement brownien
La première approximation est des plus grossières : nousposons
B (0)0 (ω) = 0 et B (0)1 (ω) = ξ(0)1 (ω)
et tous les autres B (0)t (ω) sont des interpolations linéairesde ces deux points
B (0)t (ω) =
8><>:0 si t = 0
ξ(0)1 (ω) t si 0 < t < 1
ξ(0)1 (ω) si t = 1
.
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Première approximation IIConstruction du mouvement brownien
Remarquez que le graphe ci-dessous ne représente quuneseule trajectoire du processus B (0). Comme il est possibleque la variable aléatoire ξ
(0)1 prenne des valeurs négatives,
alors il est aussi possible que notre première approximationait des trajectoires de pentes négatives.
Une trajectoire de la première approximation t ! B (0)t (ω)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
t
B0
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Deuxième approximation IConstruction du mouvement brownien
La deuxième approximation se construit à partir de la première.Les deux extrémités restent xées,
B (1)0 (ω) = B (0)0 (ω) = 0 et B (1)1 (ω) = B (0)1 (ω) = ξ(0)1 (ω) ,
et le point milieu, lui, est déplacé:
B (1)12(ω) =
12
B (0)0 (ω) + B (0)1 (ω)
+12
ξ11 (ω) .
Les autres points de la trajectoire sont obtenus parinterpolations linéaires.
B (1)t (ω) =
8>>><>>>:B (0)0 (ω) si t = 0
12
B (0)0 (ω) + B (0)1 (ω)
+ 1
2 ξ(1)1 (ω) si t = 1
2
B (0)1 (ω) si t = 1
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Deuxième approximation IIConstruction du mouvement brownien
B (1)t (ω) =
8>>><>>>:B (0)0 (ω) si t = 0
12
B (0)0 (ω) + B (0)1 (ω)
+ 1
2 ξ(1)1 (ω) si t = 1
2
B (0)1 (ω) si t = 1
Une trajectoire de la deuxième approximation t ! B (1)t (ω)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
t
B1
Mouvementbrownien
Mouvementbrownien
Constructiondu mouvementbrownien1ereapproximation2eapproximation3eapproximationn ièmeapproximationPassage à lalimite
Une autreconstruction
Deuxième approximation IIIConstruction du mouvement brownien
Remarquons que
B (1)0 = B (0)0 = 0
B (1)12
=
12
B (0)0 + B (0)1
+12
ξ(1)1
=
12
0+ ξ
(0)1
+12
ξ(1)1
=
12
ξ(0)1 + ξ
(1)1
N
0,14(1+ 1)
= N
0,12
B (1)1 = B (0)1 = ξ
(0)1 N (0, 1)
Mouvementbrownien
Mouvementbrownien
Constructiondu mouvementbrownien1ereapproximation2eapproximation3eapproximationn ièmeapproximationPassage à lalimite
Une autreconstruction
Deuxième approximation IVConstruction du mouvement brownien
implique que
B (1)1 B (1)12
= B (0)1 12
B (0)0 + B (0)1
+12
ξ(1)1
= ξ
(0)1
12
0+ ξ
(0)1
+12
ξ(1)1
=
12
ξ(0)1 ξ
(1)1
N
0,12
B (1)12 B (1)0 =
12
0+ ξ
(0)1
+12
ξ(1)1
B (0)0
=12
ξ(0)1 + ξ
(1)1
N
0,12
Mouvementbrownien
Mouvementbrownien
Constructiondu mouvementbrownien1ereapproximation2eapproximation3eapproximationn ièmeapproximationPassage à lalimite
Une autreconstruction
Deuxième approximation VConstruction du mouvement brownien
et ces deux variables aléatoires sont indépendantes car ellessont gaussiennes et
CovhB (1)1 B (1)1
2,B (1)1
2 B (1)0
i= Cov
12
ξ(0)1 ξ
(1)1
,12
ξ(0)1 + ξ
(1)1
=14
0@ Covhξ(0)1 , ξ
(0)1
i+Cov
hξ(0)1 , ξ
(1)1
iCov
hξ(1)1 , ξ
(0)1
iCov
hξ(1)1 , ξ
(1)1
i 1A=
14
Var
hξ(0)1
i+ 0 0Var
hξ(1)1
i=
14(1+ 0 0 1) = 0.
Mouvementbrownien
Mouvementbrownien
Constructiondu mouvementbrownien1ereapproximation2eapproximation3eapproximationn ièmeapproximationPassage à lalimite
Une autreconstruction
Troisième approximation IConstruction du mouvement brownien
La troisième approximation sobtient de la deuxième :
B (2)t (ω) =
8>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>:
B (1)0 (ω) si t = 012
B (1)0 (ω) + B (1)1
2(ω)
+ 1
232
ξ(2)1 (ω) si t = 1
4
B (1)12(ω) si t = 1
2
12
B (1)12(ω) + B (1)1 (ω)
+ 1
232
ξ(2)3 (ω) si t = 3
4
B (1)1 (ω) si t = 1
Mouvementbrownien
Mouvementbrownien
Constructiondu mouvementbrownien1ereapproximation2eapproximation3eapproximationn ièmeapproximationPassage à lalimite
Une autreconstruction
Troisième approximation IIConstruction du mouvement brownien
Une trajectoire de la troisième approximation t ! B (2)t (ω)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
t
B2
Mouvementbrownien
Mouvementbrownien
Constructiondu mouvementbrownien1ereapproximation2eapproximation3eapproximationn ièmeapproximationPassage à lalimite
Une autreconstruction
Troisième approximation IIIConstruction du mouvement brownien
Remarquons que
B (2)0 = B (1)0 (ω) = 0
B (2)14
=12
B (1)0 + B (1)1
2
+1
232
ξ(2)1
=12
0+
12
ξ(0)1 + ξ
(1)1
+1
232
ξ(2)1
=14
ξ(0)1 +
14
ξ(1)1 +
1
232
ξ(2)1
N0,116+116+18
= N
0,14
Mouvementbrownien
Mouvementbrownien
Constructiondu mouvementbrownien1ereapproximation2eapproximation3eapproximationn ièmeapproximationPassage à lalimite
Une autreconstruction
Troisième approximation IVConstruction du mouvement brownien
B (2)12
= B (1)12=12
ξ(0)1 + ξ
(1)1
N
0,12
B (2)34
=12
B (1)12+ B (1)1
+1
232
ξ(2)3
=12
12
ξ(0)1 + ξ
(1)1
+ ξ
(0)1
+1
232
ξ(2)3
=34
ξ(0)1 +
14
ξ(1)1 +
1
232
ξ(2)3
N0,916+116+18
= N
0,34
B (2)1 = B (1)1 = ξ
(0)1 N (0, 1)
Mouvementbrownien
Mouvementbrownien
Constructiondu mouvementbrownien1ereapproximation2eapproximation3eapproximationn ièmeapproximationPassage à lalimite
Une autreconstruction
Troisième approximation VConstruction du mouvement brownien
implique
B (2)1 B (2)34
= ξ(0)1
34
ξ(0)1 +
14
ξ(1)1 +
1
232
ξ(2)3
=
14
ξ(0)1 1
4ξ(1)1 1
232
ξ(2)3
N0,116+116+18
= N
0,14
B (2)34 B (2)1
2=
34
ξ(0)1 +
14
ξ(1)1 +
1
232
ξ(2)3
12
ξ(0)1 + ξ
(1)1
=
14
ξ(0)1 1
4ξ(1)1 +
1
232
ξ(2)3
N0,116+116+18
= N
0,14
Mouvementbrownien
Mouvementbrownien
Constructiondu mouvementbrownien1ereapproximation2eapproximation3eapproximationn ièmeapproximationPassage à lalimite
Une autreconstruction
Troisième approximation VIConstruction du mouvement brownien
B (2)12 B (2)1
4=
12
ξ(0)1 + ξ
(1)1
14
ξ(0)1 +
14
ξ(1)1 +
1
232
ξ(2)1
=
14
ξ(0)1 +
14
ξ(1)1 1
232
ξ(2)1
N0,116+116+18
= N
0,14
B (2)14 B (2)0 = B (2)1
4 N
0,14
Mouvementbrownien
Mouvementbrownien
Constructiondu mouvementbrownien1ereapproximation2eapproximation3eapproximationn ièmeapproximationPassage à lalimite
Une autreconstruction
Troisième approximation VIIConstruction du mouvement brownien
et ces quatre variables aléatoires sont mutuellementindépendantes car
CovhB (2)1 B (2)3
4,B (2)3
4 B (2)1
2
i= Cov
"ξ(0)1
4 ξ
(1)1
4 ξ
(2)3
232,
ξ(0)1
4 ξ
(1)1
4+
ξ(2)3
232
#=
116
Varhξ(0)1
i+116
Varhξ(1)1
i 18
Varhξ(2)3
i= 0
Mouvementbrownien
Mouvementbrownien
Constructiondu mouvementbrownien1ereapproximation2eapproximation3eapproximationn ièmeapproximationPassage à lalimite
Une autreconstruction
Troisième approximation VIIIConstruction du mouvement brownien
CovhB (2)1 B (2)3
4,B (2)1
2 B (2)1
4
i= Cov
"ξ(0)1
4 ξ
(1)1
4 ξ
(2)3
232,
ξ(0)1
4+
ξ(1)1
4 ξ
(2)1
232
#=
116
Varhξ(0)1
i 116
Varhξ(1)1
i= 0
CovhB (2)1 B (2)3
4,B (2)1
4 B (2)0
i= Cov
"ξ(0)1
4 ξ
(1)1
4 ξ
(2)3
232,
ξ(0)1
4+
ξ(1)1
4+
ξ(2)1
232
#=
116
Varhξ(0)1
i 116
Varhξ(1)1
i= 0
Mouvementbrownien
Mouvementbrownien
Constructiondu mouvementbrownien1ereapproximation2eapproximation3eapproximationn ièmeapproximationPassage à lalimite
Une autreconstruction
Troisième approximation IXConstruction du mouvement brownien
CovhB (2)34 B (2)1
2,B (2)1
2 B (2)1
4
i= Cov
"ξ(0)1
4 ξ
(1)1
4+
ξ(2)3
232,
ξ(0)1
4+
ξ(1)1
4 ξ
(2)1
232
#=
116
Varhξ(0)1
i 116
Varhξ(1)1
i= 0
CovhB (2)34 B (2)1
2,B (2)1
4 B (2)0
i= Cov
"ξ(0)1
4 ξ
(1)1
4+
ξ(2)3
232,
ξ(0)1
4+
ξ(1)1
4+
ξ(2)1
232
#=
116
Varhξ(0)1
i 116
Varhξ(1)1
i= 0
Mouvementbrownien
Mouvementbrownien
Constructiondu mouvementbrownien1ereapproximation2eapproximation3eapproximationn ièmeapproximationPassage à lalimite
Une autreconstruction
Troisième approximation XConstruction du mouvement brownien
CovhB (2)12 B (2)1
4,B (2)1
4 B (2)0
i= Cov
"ξ(0)1
4+
ξ(1)1
4 ξ
(2)1
232,
ξ(0)1
4+
ξ(1)1
4+
ξ(2)1
232
#=
116
Varhξ(0)1
i+116
Varhξ(1)1
i 18
Varhξ(2)1
i= 0.
Mouvementbrownien
Mouvementbrownien
Constructiondu mouvementbrownien1ereapproximation2eapproximation3eapproximationn ièmeapproximationPassage à lalimite
Une autreconstruction
n ième approximationConstruction du mouvement brownien
An de pouvoir exprimer la n ième approximation, nousintroduisons, pour tout entier naturel n et pour tout k 2 I (n)les fonctions de Haar, Hnk : [0, 1]! R, et de Schauder,Snk : [0, 1]! R :
Mouvementbrownien
Mouvementbrownien
Constructiondu mouvementbrownien1ereapproximation2eapproximation3eapproximationn ièmeapproximationPassage à lalimite
Une autreconstruction
Fonction de Haarn ième approximation
8t 2 [0, 1] ,
H (0)1 (t) = 1
et
8n 2 N, 8k 2 I (n) , 8t 2 [0, 1] ,
H (n)k (t) =
8><>:2n12 si k12n t < k
2n
2 n12 si k2n t < k+12n
0 sinon
Mouvementbrownien
Mouvementbrownien
Constructiondu mouvementbrownien1ereapproximation2eapproximation3eapproximationn ièmeapproximationPassage à lalimite
Une autreconstruction
Fonction de Schauder In ième approximation
8n 2 N[ f0g , 8k 2 I (n) , 8t 2 [0, 1] ,
S (n)k (t) =Z t
0H (n)k (s) ds.
Fonction de Schauder S (0)1
0.0 0.5 1.00
1
Fonction de Schauder S (1)1
0.0 0.5 1.00.0
0.5
Mouvementbrownien
Mouvementbrownien
Constructiondu mouvementbrownien1ereapproximation2eapproximation3eapproximationn ièmeapproximationPassage à lalimite
Une autreconstruction
Fonction de Schauder IIn ième approximation
Fonction de Schauder S (2)1 Fonction de Schauder S (2)3
0.0 0.5 1.00.0
0.3
0.0 0.5 1.00.0
0.3
Mouvementbrownien
Mouvementbrownien
Constructiondu mouvementbrownien1ereapproximation2eapproximation3eapproximationn ièmeapproximationPassage à lalimite
Une autreconstruction
Fonction de Schauder IIIn ième approximation
Fonction de Schauder S (3)1 Fonction de Schauder S (3)3
0.0 0.5 1.00.0
0.2
0.0 0.5 1.00.0
0.2
Fonction de Schauder S (3)5 Fonction de Schauder S (3)7
0.0 0.5 1.00.0
0.2
0.0 0.5 1.00.0
0.2
Remarquons que ces fonctions sont déterministes, elles ne sontpas aléatoires.
Mouvementbrownien
Mouvementbrownien
Constructiondu mouvementbrownien1ereapproximation2eapproximation3eapproximationn ièmeapproximationPassage à lalimite
Une autreconstruction
n ième approximation
Le n+ 1 ième processus stochastique de la suitedapproximations du mouvement brownien peut sécrire sous laforme
B (n)t (ω) =n
∑k=0
∑j2I (k )
S (k )j (t) ξ(k )j (ω) .
Si B (n)t (ω) doit converger, il le fera vers
Bt (ω) =∞
∑k=0
∑j2I (k )
S (k )j (t) ξ(k )j (ω) .
Nous prétendons que pour la plupart des ω cette limite existe2
et que le processus fBt : 0 t 1g ainsi obtenu est unmouvement brownien.
2Cest-à-dire quil existe un sous-ensemble A Ω tel que P (A) = 1 etque 8ω 2 A, la limite existe. Nous disons alors que la limite existePpresque sûrement.
Mouvementbrownien
Mouvementbrownien
Constructiondu mouvementbrownien1ereapproximation2eapproximation3eapproximationn ièmeapproximationPassage à lalimite
Une autreconstruction
Passage à la limite ICette construction permet de saisir le caractère erratique destrajectoires du mouvement brownien. Nous ne compléteronspas le détail de la construction puisque certaines étapes exigentune connaissance de la théorie de la mesure qui est au-delà desobjectifs de ce cours. Nous nous contenterons dexpliquer lesgrandes lignes de chacune des étapes de la démonstration :
(i) Par construction, nous avons que 8ω 2 Ω,B0 (ω) = limn!∞ B
(n)0 (ω) = 0, donc la condition (MB1) est
satisfaite.(ii) Il faut dabord montrer que pour la plupart des ω, la série
n
∑k=0
∑j2I (k )
S (k )j (t) ξ(k )j (ω)
converge uniformément sur lintervalle [0, 1] lorsque n tend verslinni (voir Karatzas et Shreve, 1988, lemme 3.1, page 57).
Mouvementbrownien
Mouvementbrownien
Constructiondu mouvementbrownien1ereapproximation2eapproximation3eapproximationn ièmeapproximationPassage à lalimite
Une autreconstruction
Convergence uniforme IPassage à la limite
Rappelons quune suite de fonctionsffn : R ! R jn 2 Ng converge vers une autre fonctionf : R ! R au point x 2 R si
limn!∞
jfn (x) f (x)j = 0
alors que cette même suite converge uniformément surlintervalle [a, b] vers cette fonction f si
limn!∞
supaxb
jfn (x) f (x)j = 0.
Mouvementbrownien
Mouvementbrownien
Constructiondu mouvementbrownien1ereapproximation2eapproximation3eapproximationn ièmeapproximationPassage à lalimite
Une autreconstruction
Convergence uniforme IIPassage à la limite
La raison pour laquelle nous avons besoin de laconvergence uniforme des B (n)t (ω) vers Bt (ω) est quenous voulons préserver la continuité des trajectoires. Ene¤et, nous avons construit notre suite dapproximations desorte que pour chaque ω, la trajectoire t ! B (n)t (ω) estcontinue. Or il est possible quune suite de fonctionscontinues converge, point par point, vers une fonction quinest pas continue.
Mouvementbrownien
Mouvementbrownien
Constructiondu mouvementbrownien1ereapproximation2eapproximation3eapproximationn ièmeapproximationPassage à lalimite
Une autreconstruction
Convergence uniforme IIIPassage à la limite
Exemple. Pour tout entier naturel n, la fonctionfn : [0, 1]! R dénie par
fn (t) =
8<:0 si 0 t 1
2 12n
nt n2 +
12 si 12
12n < t <
12 +
12n
1 si 12 +12n t 1
est continue.Mais la limite de la suite des fn nest pas une fonction continue:
limn!∞
fn (t) = f (t) =
8<:0 si 0 t < 1
212 si t = 1
21 si 12 < t 1
.
Cette suite ne converge pas uniformément vers f . En e¤et,
limn!∞
sup0x1
jfn (x) f (x)j = limn!∞
12=126= 0.
Mouvementbrownien
Mouvementbrownien
Constructiondu mouvementbrownien1ereapproximation2eapproximation3eapproximationn ièmeapproximationPassage à lalimite
Une autreconstruction
Convergence uniforme IVPassage à la limite
Par contre, si une suite de fonctions continues convergeuniformément, alors la limite sera, elle aussi, une fonctioncontinue. Ainsi, avec ce résultat, nous obtiendrons lexistencede la limite et ce processus limite satisfait la condition (MB4)concernant la continuité des trajectoires.
Mouvementbrownien
Mouvementbrownien
Constructiondu mouvementbrownien1ereapproximation2eapproximation3eapproximationn ièmeapproximationPassage à lalimite
Une autreconstruction
Passage à la limite I
(iii) Il est possible de montrer par induction sur n que
8n 2 N[ f0g , 8k 2 I (n) , B k2n B k1
2n N
0,12n
et que 8n 2 N, lensemble
nB k2n B k1
2njk 2 I (n)
oest
constitué de variables aléatoires indépendantes.Maintenant, pour tous nombres réels 0 r < s < t < u 1,nous pouvons construire des suites décroissantes de nombresréels frn jn 2 Ng, fsn jn 2 Ng, ftn jn 2 Ng et fun jn 2 Ngtelles que
limn!∞
rn = r , limn!∞
sn = s, limn!∞
tn = t, limn!∞
un = u
Mouvementbrownien
Mouvementbrownien
Constructiondu mouvementbrownien1ereapproximation2eapproximation3eapproximationn ièmeapproximationPassage à lalimite
Une autreconstruction
Passage à la limite IIet rn, sn, tn, un 2
0, 12n , ...,
2n12n , 1
. La continuité des
trajectoires de Bt implique alors que
limn!∞
Brn (ω) = Br (ω) , limn!∞
Bsn (ω) = Bs (ω) ,
limn!∞
Btn (ω) = Bt (ω) et limn!∞
Bun (ω) = Bu (ω)
doù
Bs (ω) Br (ω) = limn!∞
[Bsn (ω) Brn (ω)] ,Bt (ω) Bs (ω) = lim
n!∞[Btn (ω) Bsn (ω)] ,
Bu (ω) Bt (ω) = limn!∞
[Bun (ω) Btn (ω)] .
Nous pouvons alors utiliser les résultats établis pourBsn (ω) Brn (ω), Btn (ω) Bsn (ω) et Bun (ω) Btn (ω)an de vérier les conditions (MB2) et (MB3).
Mouvementbrownien
Mouvementbrownien
Constructiondu mouvementbrownien
Une autreconstruction
Les marches aléatoires I
Construisons, pour tout m 2 N, une suite de variablesaléatoires indépendantes et identiquement distribuéesξ(m) =
nξ(m)k : k 2 N
otelle que
ξ(m)k =
8><>:m 1
2 avec probabilité 12
m12 avec probabilité 1
2
, k 2 N.
Notons que
Ehξ(m)k
i= 0 et Var
hξ(m)k
i=1m.
Mouvementbrownien
Mouvementbrownien
Constructiondu mouvementbrownien
Une autreconstruction
Les marches aléatoires IIPour tout m 2 N, posons
X (m)0 = 0 et 8n 20,1m,2m, ...
, X (m)n =
mn
∑k=1
ξ(m)k .
Le processus X (m) =nX (m)n : n 2
0, 1m ,
2m , ...
oest une
marche aléatoire. Au fur et à mesure que m croît, nousfaisons des pas de plus en plus courts (de longueur m
12 )
et de plus en plus rapides (à toutes les 1/m unités detemps). Notons que
EhX (m)n
i=
mn
∑k=1
Ehξ(m)k
i= 0
et VarhX (m)n
i=
mn
∑k=1
Varhξ(m)k
i=mnm= n.
Mouvementbrownien
Mouvementbrownien
Constructiondu mouvementbrownien
Une autreconstruction
Les marches aléatoires III
De plus, le théorème limite central implique que X (m)n
converge en loi vers une N (0, n) lorsque m augmente verslinni.
Posons
Y (m)0 = 0 et Y (m)t = X (m)nm
pour tout t 2nm,n+ 1m
.
Le processus Y (m) est déni pour tout t 0. Il estpossible de montrer que cette suite
nY (m) : m 2 N
ode
processus stochastiques obtenue des marches aléatoiresconverge en loi vers le mouvement brownien lorsque mtend vers linni.
Mouvementbrownien
Mouvementbrownien
Constructiondu mouvementbrownien
Une autreconstruction
Références I
ANDERSON, T.W. (1981). An Introduction toMultivariate Statistical Analysis, deuxième édition, Wiley,New-York.
BAXTER, Martin et RENNIE, Andrew (1996). FinancialCalculus : An Introduction to Derivative Pricing,Cambridge University Press, New York.
DURRETT, Richard (1996). Stochastic Calculus, APractical Introduction, CRC Press, New York.
KARATZAS, Ioannis et SHREVE, Steven E. (1988).Brownian Motion and Stochastic Calculus,Springer-Verlag, New York.
KARLIN, Samuel et TAYLOR, Howard M. (1975). A FirstCourse in Stochastic Processes, deuxième édition,Academic Press, New York.
Mouvementbrownien
Mouvementbrownien
Constructiondu mouvementbrownien
Une autreconstruction
Références II
LAMBERTON, Damien et LAPEYRE, Bernard (1991).Introduction au calcul stochastique appliqué à la nance,Éllipses, Paris.
REVUZ, Daniel et YOR, Marc (1991). ContinuousMartingale and Brownian Motion, Springer-Verlag, NewYork.