Calcul stocastic aplicat in inginerie financiara stocastic aplicat in... · 2.3 Variabile aleatoare...
Transcript of Calcul stocastic aplicat in inginerie financiara stocastic aplicat in... · 2.3 Variabile aleatoare...
Bogdan NEGREA Virgil DAMIAN
Calcul stocasticaplicat in inginerie financiard
ng?taff**'
Cuprins
Elemente de Analizd clasicd
l.lCalcululdiferenlial . . . :
1.1.1 Funclii de o singurd variabil5
1.1.2 Functii de mai multe variabile
1.1.3 Serii Taylor
1.2 Calculul integral
1.2.1 Integrala Riemann
t.2.2Integrala dubld,
1.3 ThansformS,ri funclionale
1.3.1 tansformata Laplace
1.3.2 Transformata Fourier
1.3.3 Convolulii .
l.4 Exemple, exercigii propuse
Mdsur5 qi probabilitate 75
2.1 Spalii m5surabile qi mdsuri 75
2.1.1 Spatii qi funclii mdsurabile 75
2.L.2 Corytl borelian produs 79
2.1.3 Mdsura 80
2.1.4 Integrala Lebesgue
2.1.5 Teorema Radon-Nikodym 85
2.1.6 Teorema lui tr\rbini 86
l_3
13
14
1B
24
27
27
30
{).f
34
44
50
52
2.2 Teoria probabilitdtilor. GeneralitXli B8
2.3 Variabile aleatoare
2.3.1 Definilia variabilei aleatoare
2.3.2 o-algebra generatS, de o variabild, aleatoare
2.3.3 Repartilii. Funclii de repartilie . .
2.3.4 Cuantilele unei variabile aleatoare
2.3.5 F\rnclii de variabile aleatoare
2.3.6 Independenta variabilelor aleatoare
2.3.7 Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare
2.3.8 Convergenta qirurilor de variabile aleatoare
2.3.9 Functia generatoare de momente
2.3.10 Funclia caracteristic5, .
Mediacondilionatd...
ProbabilitS,ti echivalente
Exemple, exercilii propuse
CUPRINS
100
1L2
115
t77
L27
133
137
B9
90
92
93
97
98
r00
2.4
2.5
2.6
Procese stocastice 155
3.1 Procese Markov 160
3.2 Martingale
3.3 Miqcarea browniand . . .
3.3.1 Definilie, proprietdli generale
3.3.2 Miqcarea browniand generalizatd
3.3.3 Martingale asociate miqcdrii browniene
3.4 Integrala stocasticd . . .
3.4.1 Integrala stocastic5, Itd
3.4.2 Integrala stocasticd Stratonovich
3.5 Procese It6. Formula lui Itd
3.5.1 Covarialia pdtraticd
3.5.2 Formula Leibniz-Newton pentru integrala Stratonovich .
3.6 Schimbarea de probabilitate
3.6. 1 Introducere, generalit5li
3.6.2 Teorema Girsanov
3.6.3 Necesitatea teoremei in evaluarea activelor financiare
165
167
169
173
174
t75
176
182
185
188
L92
193
L94
195
197
CUPRINS
3.7 Exemple, exercitii propuse 20L
Ecualii diferenliale qi cu derivate parliale 22g
4.1 Ecualii diferenliale ordinare 22g
4.1.1 Ecualii cu variabile separabile . 230
4.L.2 Ecualii diferenliale liniare de ordinul intd,i . 231
4.1.3 Ecuatii diferentiale afine de ordinul intA,i . 237
4.I.ABcua\ii diferentiale de tip Bernoulli 233
4.1.5 Ecuatii diferenliale de tip Riccati 234
4.1.6 Ecualii diferenliale liniare de ordinul n . . 235
4.1.7 Exemple, exercilii propuse 237
4.2 Ecualii diferentiale stocastice 239
4.2.I Context general 239
4.2.2 Ecua\ii diferenliale stocastice afine 240
4.2.3 Solulia generalS a ecualiei afine . 242
4.2.4 O alt5, metodd de rezolvare a EDS 244
4.2.5 Un caz particular: exponentiala stocastic5 245
4.2.6 Rezolvarea ecualiilor stocastice Itd folosind
calculul stocastic Stratonovich 249
4.2.7 Exemple, exercilii propuse 254
4.3 Ecualii cu derivate parliale 283
4.3.1 Rezolvarea ecualiei cS,ldurii 284
4.3.2 Teorema de reprezentare Feynman-Kad
4.3.3 Exemple, exercilii propuse 292
Metodologia
financiare
Black-Scholes-Merton privind evaluarea activelor
289
5.1 Opliunile qi proprietdlile acestora
5.1.1 Definitii . .
5.1.2 Evaluarea optiunilor qi arbitrajul
5.1.3 Paritatea call-put pentru optiunile europene
5.1.4 Limita superioard qi inferioard a prelului unei opliuni
5.1.5 Factori care determinS, valoarea unei op{iuni . . . .
311
311
311
3t7
320
321
325
CUPRINS
5.2 Evaluarea derivativelor europene
5.2. 1 Dinamica prelurilor in metodologia Black-Scholes-Merton
5.2.2 Eua\ia de evaluare
5.2.3 O metodd alternativd de evaluare
6.1.3 Procese Poisson neomogene
6.1.4 Procese Poisson compuse
6.2 Modelul Merton de evaluare
6.2.1 Calculul speranlei matematice
6.2.2 Evaluarea derivativelor pentru procese cu salturi6.2.3 Teorema Feynman-Kad pentru difuzii cu salturi6.2.4 Formula Merton pentru opliunea col/ europeand,
6.3 Exemple, exercilii propuse
Calcul stocastic multidimensional7.1 Vectori aleatori bidimensionali
325
326
327
331
5.3 Modelul Black-Scholes JJz5.3.1 Formula de evaluare $35.3.2 Portofolii autofinanlate 940
5.3.3 Sensitivitatea prelului 343
5.3.4 Evaluarea obligaliunilor corporatiste: modelul Merton g4g
5.3.5 Cazul parametrilor variabili in timp5.4 Volatilitate local5 855
5.5 Exemple, exercitii propuse B5g
6 Model de evaluare cu proces de difuzie cu salturi 40r
402
402
407
41L
4r2
414
416
427
429
43I
433
435
438
439
440
453
453
453
6.1 Generalitdti privind calculul stocastic
6.1.1 Procesul Poisson
6.1.2 Calcul stocastic asociat proceselor Poisson
6.1.5 Integrale stocastice in raport cu procese poisson
6.1.6 Formula lui Itd pentru procese cu salturi
6.1.7 Schimbarea de probabilitate
6.1.8 Ecuatii diferenliale stocastice pentru procese cu salturi .
7.1.1 Dependenta a doud variabile aleatoare
CUPRINS
7.1.2 Distribulii conditionate qi medii condilionate
7.1.3 F\rnclii de vectori aleatori bidimensionali .
7.1.4 Suma variabilelor aleatoare
7. 1.5 Distribulia normal5 multivariatX
7.1.6 Exemple, exercitii propuse
7.2 Calcul stocastic vectorial
459
460
462
463
468
474
7.2.1 Migcarea browniand n-dimensionalS 474
7.2.2Formlla lui ItO pentru procese vectoriale 426
7.2.3 Schimbarea de probabilitate . 481
7.2.4 Sisteme de ecualii diferenliale stocastice
7.2.5 Teorema de reprezentare Feynman-Kad
7.2.6 Metodologia Black-Scholes in cazul a n active 490
7.2.7 Exemple, exercilii propuse 4gJ
7.3 Procese Bessel 518
7.3.1 Ecualia lui Bessel. Functii Bessel
7.3.2 Context general
7.3.3 Definilia general5
7.3.4 Absolut continuitatea
7.3.5 Proprietdti ale proceselor Bessel
7.3.6 Procesul Ornstein-Uhlenbeck-pdtrat radial 533
7.3.7 Procesul Cox-Ingersoll-Ross 5BB
7.3.8 Procesul cu elasticitate constantS, a varianlei 535
7.3.9 Exemple, exercitii propuse 540
7.4 Volatilitate stocasticd b50
7.4.1 ModeIuI Heston 5b3
7.4.2 Schimbarea numerarului b60
7.4.3 Modelul Heston ca proces bivariat bO8
7.4.4 Exemple, exercilii propuse bT2
Evaluarea instrumentelor
8.1 Modelarea dinamicii ratei
8.1.1 Modele cu revenire
fi.nanciare cu venit fixde dobAndd
482
490
519
520
523
525
530
591
593
593la medie
10 CUPRINS
8.1.2 Modele cu elasticitate constantS, a varianlei bg4
8.1.3 Modele afine bg5
8.2 Obligatiuni zero-cupon . 596
8.2.1 Ecualia de evaluare a unei obligatiuni zero-cupon 596
8.2.2 Teoria martingalelor ln modelele pe termen scurt 598
8.3 Ratele forward .000
8.4 Modelul Heath-Jarrow-Morton 601
8.4.1 Generalitdti G02
8.4.2 Universul neutru la risc : . . r 605
8.4.3 Evaluarea instrumentelor financiare pe rata dobA,nzii 608
8.5 Modele gaussiene 613
8.5.1 Prelurileforward ...1 6L4
8.5.2 Mdsura forward neutrd 61b
8.5.3 Evaluarea opliunilor call emise pe obligaliuni zero-cupon 618
8.6 Exemple, exercilii propuse 620
Capitolul 1
Elemente de Analizd clasic5
Intrucdt spaliul qi scopul acestei Iucrdri nu ne permite o abordare constructivistd
a Analizei matematice, ne vom rezuma la a (re)aminti rezultatele fundamentale
ce sunt necesare studiului riguros al eualuh,ri,i,'instrumentelor financi,are.
1.1 Calculul diferentialMd,rimile fi.zice se schimbd cu timpul (variaz5, in timp). O asemenea mS,rime
fizicd se descrie in matematicS. printr-o funclie / (l), unde argumentul t semnificd
timpul, iar valorile / (t) ale funcliei reprezintd mdsura m5rimii respective, la
momentele t. Dupd, expresia profesorului Whiteheadl, calculul diferenlial este
studi,ul si,stemati,c aI ui,tezelor de creEtere a func{i,i,Ior. Exemple in acest sens se pot
formula, dup5 cum urmeazS,: u'iteza tn m'iEcarea rect'ilini,e este deriuata spafi,ului,
tn raport cu t'impul, accelerafia tn miqcarea recti,Iini,e este deri,uata ai,tezei, tn raport
cu ti,mpul, debi.tul unui,li,chid este deriuata canti.tb,{i,i, de li,chi,d tn raport cu ti,mpul,
i.ntens'itatea curentulu'i electri,c este derr,aata canti,td[ii de electri,ci,tate tn raport cu
timpul. ins5,, nu doar dependenla unei m5rimi fizice in raport cu timpul poate
lAifred North Whitehead (1861-1947), matematician qi filosof britanic.
13
t4 Elemente de Analiz5 clasic5
fi cuantificatS, printr-o func[i,e. De exemplt) costul total (al producliei) este
interpretat ca fiind o func[i,e in raport at canti,tatea produs5. Derivata acestei
functii se numeqte cost marg'inal al productiei qi mXsoard (in unit5,!i absolute) cu
cAt se modificd costurile atunci cdnd productia unui bun cregte cu o unitate (in
general, infinitezimal5). in Finanle, astfel de indicatori se numesc sensi,ti,uztb,[i,.
1.1.1 F\rnctii de o singurd variabil5
itrcepem abordarea calculului diferenlial prin recapitularea noliunilor funda-
mentale studiate in cadrul oricS,rui curs general de Analizd matematicS,.
1.1.1.1 Continuitate gi derivabilitate
Considerdm un interval nedegenerat2 al axei reale D C iR. Se spune cd funclia
.f : D -- IR. este deri,aabild, tn punctul rs e D, dacd, raportul:
R@) rys f(")-f@o) (1.1)r-roare, in punctul 16, limitX finitX. Se spune c5, functia f : D ---+ IR este deri,uabild,
pe o subrnulfirne A I D dacd, este derivabil5 in fiecare punct din A. Dac5,
raportul fi (r) are limitele la dreapta qi la stA,nga lui rs egale gi finite, atunci se
spune cd funclia f are deri,uatd, tn punctul rs.
Deri,uata functiei f : D --- lR in punctul rs este, prin definilie,
f(r)*f@o) (r.2)f'(*o) B' ti*,+to r-ro
DacS fiec5,rui punct ro € D facem s5,-i corespundd numdruJ f'(rs), se obline o
functie definit5, pe D, care se noteaz[" // qi care se numeqte funclia deri.uatd, a
funcliei f . Dacd" existd, aceasta comport5 urmdtoarea formul5 de calcul:
f(r+h)- f(")/'(") : ;To(1 .3)
Observalia L.L Deri,uabi,li,tatea Ei d,eri,uata f' (*o) sunt, respecti,u aspectul cali,-
tati,u Ei, canti,tati.u al acelezaEi, nofi,uni,. Pentru a putea calcula deriuata f ' (ro),
trebui.e sk ne as'igurkm ma'i Ant6,i, cb, ea eristh, adi,cb, trebui,e uerzficat dacb" func[iaeste deri,uabr,lk 0n punctul rs.
2 nevid
Elemente de Analiz5 clasic5
Derivata f' (ro) se mai noteazd adesea prin:
(f' (r)),:,o dflsau.ldr lr:ro
Dacd se considerd curba A : f (r), se mai folosesc notaliile:
a' : f' (*) sau #: # sar y'*: f' (r) .
[.f , ,l' f' (") g (") - f @) s' @)
ft ("rl :
st Gi
15
(1.4)
(1.5)
Teorema L,L Deri,uata unei funcli,i, f , D e IR * R, dacd, eristk, are urmb,-
toarele propri,eth,fii, uzuale :
(a) dacb, f (") = a, unde a este o constant6,, atunc,i f' (r) :0;(b) dacd, g: D C n -+ IR, atunc'i:
l@f +bs) @)l' - af' (r) +bs' (r) ,
unde a Ei, b sunt constante reale;
(c) dacb, g I D g* -- IR, atunc'i:
(1.6)
lff.g) (r)l': f'(r).s(r)+ f (").g'(r); (1.7)
(d) dacd, g I D gn --.+ IR, astfel tncd,t g (r) I 0, pentru orice r € D, atunc,i:
(1.8)
Teorema 1,2 Fi,e D Ei, E 'interuale nedegenerate ale arei, realeR, rs e D, ao € E
Eif D--Eofunc[iebdjecti,ud,3,deri,uabilktnpunctulrs,astfeltncd,tys:f@o)
Ci f' (rd I 0. Dacd, func[i,a 'inuersk f-' t E '--+ D este cont'inukL tn Ao, atunc'i
30funclieg:DCIR+EClRsenumegtei,njectia6,dacd,pentruoricerl,rz€DaleqiastfelincA,t rt I x:2, rezultd g@L) +,p(rz). O funclie g: D C lR + E C lRsenumegtesurjecti,ud, dacd pentru orice y € E existd (cel putin) un a € D, astfel inc6,t gr : g@). Ofunclie g : D C lR -+ E C lR se numeqte bijectiad. dacd este, simuitan, injectivd, qi surjectivS,echivalent cu formaiizarea matematicd:
(V) ge E, (=!) r€Dastfelinc6,tgr:p@).
aO functrie g: D C IR + IR. se numegte cont'i,nud, tn punctul fio € D dacd, lim /(z) :/("0). O funclie continudin orice punct 16 € D se numegte continud, (pe D).
16
e& este deriaabilb, tn punctul lJo Q,i aaern:
Elemente de Analiz5 clasic5
(1.12)
(1.e)
Dacx / este o funclie derivabil5 qi derivata sd, f', este, ra randul sd,u, o funcliederivabil5, atunci se spune cd funclia / este de d,oub, ori d,eriuabil6,, iar derivatalui // se numeqte d,eri,uata de ordinul aI d,o,i,Iea a lui / qi se noteazl: f, sau
f@. in general, / este d,eri,uabild, d,e n ori dacd / este derivabild, de (n - 1) oriqi derivata de ordinul n - 1 este o funclie derivabild. Derivata derivatei de ordinuln- 1se numeqte deri,aata d,e ord,inul n alur / qi se noteazd,f("). DacX, inplus, /(n) este o funclie continuS, atunci se spune cd" funcfia f ore d,eri,aatade ordinul n contintrd (sau cd, este de clasd, C).
Derivatele de ordin superior pentru un produs de funclii / qi g sunt:
Iff.g)(r)ltz) : 7@ @).g(r) +2.f'(*).g'(") + f (r). s(z) (r);(1.10)
lff . d(r)l(s) : y(s) (z) . g(r) +J. f@ (r). g, (*)
+3. f, (d . s(z) @) + f (r) . s(z) @) etc. (1.11)
Formula generald (Leibnizs), ce poate fi. demonstratx prin metoda induclieimatematice, este datd in urmS,toarea teoremd,.
Teorema 1.3 (formula lui Leibniz) Dacd, f qi, g sunt func[i,i, d,eriuabi,le de nori, atunc'i h: f ' g este o func[i,e deriuabi,tk de n ori Ei, este uerificatb, rela{i,a:
6tn) @): t Ck . f(n-k) @) . s(k) @) ,
k:0
unde notafi,a Cf reprezintd combi,nb"ri, d,e n luate cd,te k q,i are formula d,e calculrtk
- nl.vn - tttTr,-k)r.'
5Gottfried Wilhelm Freiherr von Leibniz (1646-1716), filosof qi matematician german, unuldin intemeietorii iluminismului german. AISturi de Isaac Newton, Leibniz este considerat fonda-torul Anali,zei, matemat'ice moderne.
Elemente de Analiz5 clasicS
1.1.L.2 Diferen{iala
Fie / o funclie derivabil5 pe un interval D qi rs un punct din D; fie f, (ro)derivata lui / in punctul ro, f' (16) definitx prin relalia (1.2). Dacd, se noteazd:
t7
(1. 13)
(1.14)
atunci:
q]:
f(")-f@o)r-ro
I+IO
: f' (ro) - a (r) (, * *o)
r+no f - fOlim o (r) : f' (ro)- lim f @) - f ("o) : o. ( 1.15)
Deoarece JiT * (r) : 0, rezultd cd, pentru valori ale lui r suficient de apropiate:x+Iode 16, se poate realiza ca a(r) sd fie c6,t de mic dorim; deci, pentru astfel de
valori ale lui z, raportul f @)- [(r0) este aproximativ egal cu f,(ro). Aqadar,r-ro
f (") - f ("0) * f'(ro) (" - ro), pentru r ---+ tro. (1.16)
Dacd se noteazd fr - ro: h, atunci tr : tro * h; relalia precedentd se scrie astfel:
f (*o + h) - f (ro) - f' (ro) h, pentru x) ---+ rlt (1.17)
qi exprimd faptul c5, pentru creqteri h suficient de mici ale argumentului, de la
rs la rs * h, creqterea corespunz5toare f ("o + h) - f (ro) u funcliei poate fi
aproximatd cu produsul f'(ro) h, considerat ca func{ie in raport cu argumentul
h. Evident, cu c6,t creqterea h este mai mic5,, cu atAt f' (ro) h este mai apropiat
de f (rs + h) - f (*o), deci eroarea comisd in aproximalie este cu atat mai mic5.
Definilia L.I Func[i,a f' (ro) h se numeqte d,iferenliala func{iei f tn punctulxo €'i se noteazd df (rd, df ("d @-' f ' @d h.
Diferenliala funcliei / intr-un punct oarecare r € D se scrie d,f (r) - f,(*)h.Diferen[i,ala func{i,ei,'identi,ce p(r): r, d(r), este egald cu cregterea h (justi,-
ficati!) a argumentului. in loc de d (r) se obignuiegte sd se scrie, mai simplu,
dr: dr : h. in loc de d,i,feren[i.ata func[i,ei, ,id,ent,ice, dr se numeqte, mai simplu,
diferentiala argurnentului, sau uariafia i,nfinitezimald, a &rgunlentului.
18 Elemente de Analiz5 clasic5
Rezult5,, aqadar, df (") : f' (n) dr. Fdc6,nd raportul dintre diferenliala lui / qi
diferentiala argumentului, se obline:
df(r) _f'(")h _ rt,.\d* - h -I\r). (1.18)
L.L.2 F\rnctii de mai multe variabile
Ne propunem, in aceastd secliune, prezentarea elementelor de calcul dife-
renlial pentru funclii de mai multe variabile.
L.I.2.l Spatiul JR.'
in acest sens, pentru inceput, enumerdm caracteristi clle algebri,ce ale spaliului
IR'. Prin definitie,
R' : {x : (rt,...,rn): 14 € IR, 1 < i, < n} . (1.le)
in acest context, frr, ..., zn se numesc cornponente ale aectorului x. Dac5, xqi y sunt vectori ai spaliului IR', atunci x : y dac5, qi numai dacd" ri: gi, pentru
orice i € {1,..., n}. Adunareo vectorilor este definitd, natural, pe componente;
astfel, dacd x, y € R', atunci:
x+y: (rr+ar,...,rn+an). (1.20)
Dacd o € IR. gi x € IRn, se defineqte tnmulfirea aectori,Ior cu scalari (notatd
cu .) de asemenea, pe componente:
A.x : (**t,...,ctrn) . (1.21)
Spaliul R', pe care s-au definit aceste doud operalii, formeazd, un spafiu aec-
torial n*dirnensional real. Din relalia (1.20), pentru X: y, rezult5:
x - y : (0, ...,0) E' 0n", (r.22)
unde 0p' se numeqte originea spaliului vectorial IR.,. Fiind dali scalarii al, ...,a?n € IR gi vectorii Xlr ... r x- € IRn, se numegte combi,nafie li,niard, a vectorilor
Elemente de AnalizS clasicS
x.r cu scalarii a1 vectorul:
19
TN
" "g t ai.xi € IRn.
i':1(1.23)
(1.25)
o submultime w C IRz se numeqte subspafiu aectorial dacd,, pentru orice doi
vectori x,y € IRn gi orice doi scalari a,13 € lR, are loc a.x+ p.y €W.Fie W C IRn un subspaliu vectorial. O mullime de vectori M : {*r,...,x,,}
se numeqte sistem de generatori al subspaliului W dacd" W este mullimea
tuturor combinaliilor Iiniare posibile ale vectorilor x;, adicd dacd.:
(1.24)
Mullimea,AZ se numegte liniar independentd, dac{" oricare ar fi scalarii a6, clr.
I < i < m) are loc implicalia:
* : {Z.,i.xi
,, € R} E rru).
Dacd" M este un sistem de generatori liniar independent al (sub)spaliului vectorial
W, atunci M se numeqte bazd, a lui W. Vectorii er : (1,0,0,...,0), ez :(0, 1, 0, ..., 0), ..., e, : (0, 0, ..., 0, 1) formeazd o bazd" a spaliului IR', numitd baza
canonicd, a spaliului vectorial IR.z. Fiecare vector ei are n componente.
i*r'xi :> ai :0.i:t
D,"? € IR+.i,:t
Se observX trivial cX, dac5, n:7, se obline modulul unui numdr real.
Dacd x,y € R', se defineqte prod,usul lor scalar prin x .y"g D::rr&r €
R.. ,AIorrno unui vector x € IRz se defineqte prin:
,, ,, not. def .
llxll : x'x = (1.26)