Calcul propositionnel: déductions syntaxiques

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Calcul propositionnel deacuteductionssyntaxiques

L2 Informatique - UFR SAT

Pr Ousmane THIARE

othiareugbedusn[wwwousmanethiarecom]

16 avril 2020

Preacutesentation dela theacuteorie de ladeacutemonstration

Deacutemonstrationsavec ou sanshypothegraveses

Theacuteoregraveme de ladeacuteduction

Quelquestheacuteoregravemesclassiques etquelques regraveglesdrsquoinfeacuterenceannexes

Theacuteoregravemes decompleacutetude ducalculpropositionnel

Calcul propositionnel deacuteductions syntaxiques

Pr Ousmane THIARE Calcul propositionnel deacuteductions syntaxiques 16 avril 2020 233






Chapitre VII Calcul propositionnel deacuteductions syntaxiques

1 Preacutesentation de la theacuteorie de la deacutemonstration

2 Deacutemonstrations avec ou sans hypothegraveses

3 Theacuteoregraveme de la deacuteduction

4 Quelques theacuteoregravemes classiques et quelques regraveglesdrsquoinfeacuterence annexes

5 Theacuteoregravemes de compleacutetude du calcul propositionnel







Calcul propositionnel deacuteductionssyntaxiquesPreacutesentation de la theacuteorie de la deacutemonstration

Il srsquoagit ici drsquoexplorer les meacutecanismes du raisonnementhumain crsquoest-agrave-dire les scheacutemas de penseacutee qui nouspermettent de deacutecider drsquoagir drsquoune certaine maniegravere dansle but drsquoobtenir un certain reacutesultatEn theacuteorie de la deacutemonstration une preuve est un objetmatheacutematique Elle est classiquement repreacutesenteacuteecomme une structure de donneacutee (liste arbre ) Elle estconstruite agrave lrsquoaide drsquoaxiomes logiques et de regraveglesdrsquoinfeacuterence Plus formellement

DeacutefinitionUn axiome logique est une tautologie qui sert de laquo pointde deacutepart raquo aux deacuteductions du systegraveme formel








DeacutefinitionUne regravegle drsquoinfeacuterence est une regravegle qui agrave partir deformule(s) preacutemisses produit une formule conclusion

DeacutefinitionUn reacutesultat obtenu par une deacuteduction correcte ou unesuite de deacuteductions correctes (crsquoest-agrave-dire qui utilisentexplicitement les regravegles drsquoinfeacuterence autoriseacutees) agrave partirdes axiomes logiques et eacuteventuellement drsquoautresreacutesultats du mecircme type deacutejagrave eacutetablis par ailleurs srsquoappelleun theacuteoregraveme logique








On exprime que la formule F est un theacuteoregraveme par lanotation ` F qui se lit laquo F est un theacuteoregraveme raquo

DeacutefinitionUne regravegle drsquoinfeacuterence est une regravegle qui agrave partir de for-mule(s) preacutemisses produit une formule conclusion








DeacutefinitionLa chaicircne de deacuteductions qui conduit agrave un theacuteoregravemelogique est appeleacutee deacutemonstration de ce reacutesultat

Il est possible drsquoutiliser des formules logiquessuppleacutementaires (autres que des axiomes ou destheacuteoregravemes) et de mener un raisonnement correct agrave partirde ces formules (et des axiomes et des theacuteoregravemes deacutejagraveconnus) On parle alors de deacutemonstration soushypothegraveses Lrsquoaffirmation laquo la formule logique H estdeacutemontreacutee sous les hypothegraveses G1G2 middot middot middot Gn raquo estnoteacutee G1G2 middot middot middot Gn ` H







Calcul propositionnel deacuteductionssyntaxiquesAxiomes logiques et regravegles drsquoinfeacuterence du systegraveme formel laquo PR raquo

Il existe plusieurs systegravemes drsquoaxiomes qui permettent dedeacutefinir la logique propositionnelle Nous nous en tiendronsagrave lrsquoensemble des axiomes suivants qui nrsquoest ni minimalni contradictoireAxiomes relatifs agrave lrsquoimplication logique

Axiome 1 P rArr (Q rArr P)

Axiome 2 (P rArr Q)rArr ((P rArr (Q rArr R))rArr (P rArr R))

Axiomes relatifs agrave la conjonction logique Axiome 3 P rArr (Q rArr P andQ)

Axiome 4 P andQ rArr PAxiome 5 P andQ rArr Q








Il existe plusieurs systegravemes drsquoaxiomes qui permettent dedeacutefinir la logique propositionnelle Nous nous en tiendronsagrave lrsquoensemble des axiomes suivants qui nrsquoest ni minimalni contradictoireAxiomes relatifs agrave la disjonction logique

Axiome 6 P rArr P orQAxiome 7 Q rArr P orQAxiome 8 (P rArr R)rArr ((Q rArr R)rArr (P orQ rArr R))

Axiomes relatifs agrave la neacutegation logique Axiome 9 notnotP rArr PAxiome 10 (P rArr Q)rArr ((P rArr notQ)rArr notP)








Il existe plusieurs systegravemes drsquoaxiomes qui permettent dedeacutefinir la logique propositionnelle Nous nous en tiendronsagrave lrsquoensemble des axiomes suivants qui nrsquoest ni minimalni contradictoireAxiomes relatifs agrave lrsquoeacutequivalence logique

Axiome 11 (P rArr Q)rArr ((Q rArr P)rArr (P lArrrArr Q))Axiome 12 (P lArrrArr Q)rArr (P rArr Q)Axiome 13 (P lArrrArr Q)rArr (Q rArr P)

On deacutefinit la regravegle drsquoinfeacuterence du modus ponens (le modelaquo en posant on pose raquo)

PP rArr Q ` Q

DeacutefinitionLe systegraveme formel composeacute des 13 axiomes preacuteceacutedentset du modus ponens est nommeacute laquo PR raquoPr Ousmane THIARE Calcul propositionnel deacuteductions syntaxiques 16 avril 2020 1033







Un raisonnement logique peut ecirctre reacutedigeacute sous forme dedeacutemonstration soit drsquoun theacuteoregraveme soit drsquouneconseacutequence de certaines hypothegraveses







Calcul propositionnel deacuteductionssyntaxiquesDeacutemonstration drsquoun theacuteoregraveme

La deacutemonstration drsquoun theacuteoregraveme est constitueacutee drsquoun en-tecircte portant lrsquoindication laquoDeacutemonstrationraquo puis drsquoun certain nombre de lignes numeacuteroteacutees (pourpouvoir ecirctre reacutefeacuterenceacutees dans la suite) Chacunecomporte deux champs

une formule qui est le laquo reacutesultat raquo de la ligne courante la justification du reacutesultat

une derniegravere ligne non numeacuteroteacutee qui porte lrsquoen-tecircte laquoConclusion raquo

Dans une ligne on peut avancer un axiome en remplaccedilant eacuteventuellement une variablepar une formule un theacuteoregraveme consideacutereacute comme connu (dont ladeacutemonstration a eacuteteacute vue par ailleurs) en remplaccedilanteacuteventuellement une variable par une formule un reacutesultat de lrsquoapplication drsquoune regravegle drsquoinfeacuterence surdes formules eacutecrites dans les lignes preacuteceacutedentesPr Ousmane THIARE Calcul propositionnel deacuteductions syntaxiques 16 avril 2020 1233







Exemple Soit P une formule propositionnelle Onsouhaite deacutemontrer le theacuteoregraveme de reacuteflexiviteacute delrsquoimplication

` (P rArr P)

Deacutemonstration 1 (P rArr (P rArr P))rArr ((P rArr ((P rArr P)rArr P))rArr (P rArr P))

Axiome 2 (P rArr PQPR)

2 P rArr (P rArr P) Axiome 1 (PQ)3 (P rArr ((P rArr P)rArr P))rArr (P rArr P) mp sur 2 et 14 P rArr ((P rArr P)rArr P) Axiome 1 (P rArr PQ)

5 (P rArr P) mp sur 4 et 3Conclusion ` (P rArr P)







Calcul propositionnel deacuteductionssyntaxiquesDeacutemonstration sous hypothegraveses

Une deacutemonstration sous hypothegravesescommence par une premiegravere ligne qui comporte lesmots laquo Deacutemonstration sous les hypothegraveses raquo suivie delrsquoeacutecriture de lrsquoensemble des hypothegraveses utiliseacutees puis comme dans une deacutemonstration de theacuteoregraveme delignes numeacuteroteacutees dans lesquelles peuvent figurerles mecircmes eacuteleacutements auxquels il faut ajouter leshypothegraveses dont on a le droit de se servir comme srsquoilsrsquoagissait de reacutesultats eacutetablis une ligne de conclusion qui rappelle les hypothegraveses








Exemple Lrsquoobjectif est drsquoobtenir P rArr QnotQ ` notP qui est plusconnu sous le nom laquo modus (tollendo) tollens raquoSoit P et Q des formules propositionnelles quelconquesmontrons notP sous les hypothegraveses P rArr Q et notQ Deacutemonstration sous les hypothegraveses P rArr QnotQ

1 (P rArr Q)rArr ((P rArr notQ)rArr notP) Axiome 102 P rArr Q) Hypothegravese 13 (P rArr notQ)rArr notP mp sur 2 et 14 notQ rArr (P rArr notQ) Axiome 15 notQ Hypothegravese 26 (P rArr notQ) mp sur 5 et 47 notP mp sur 6 et 3Conclusion P rArr QnotQ ` notPPr Ousmane THIARE Calcul propositionnel deacuteductions syntaxiques 16 avril 2020 1533






Calcul propositionnel deacuteductionssyntaxiquesTheacuteoregraveme de la deacuteduction

Les deacutemonstrations sont souvent consideacuterablementsimplifieacutees par lrsquoutilisation du theacuteoregraveme de la deacuteductiondonneacute ci-apregraves

Proprieacuteteacute

Ce theacuteoregraveme srsquoeacutenonce par G1G2 middot middot middot Gn ` H si et seulement siG1G2 middot middot middot Gnminus1 ` Gn rArr H

Preuve La deacutemonstration srsquoeffectue par reacutecurrence surla longueur de la deacuteductionSeulement si Hypothegravese G1G2 middot middot middot Gn ` H Soit pla longueur de la deacuteduction qui amegravene agrave HSi p=1 une laquo deacuteduction de longueur 1 raquo nrsquoautoriselrsquoeacutecriture que drsquoune seule ligne Cela signifie donc que lrsquoonpeut directement eacutecrire H dans celle-ci Ce nrsquoest possibleque si H est un axiome ou une hypothegravesePr Ousmane THIARE Calcul propositionnel deacuteductions syntaxiques 16 avril 2020 1633







Si H est un axiome Deacutemonstration sous les hypothegravesesG1G2 middot middot middot Gnminus1

1 H rArr (Gn rArr H) Axiome 12 H Axiome j3 Gn rArr H mp sur 2 et 1Conclusion G1G2 middot middot middot Gnminus1 ` Gn rArr HDans ce premier cas G1G2 middot middot middot Gn ` H impliqueG1G2 middot middot middot Gnminus1 ` Gn rArr H (Les hypothegraveses ne sonten fait pas utiliseacutees donc elles nrsquointerviennent pas)








Si H est lrsquoune des hypothegraveses G1G2 middot middot middot Gn1 posonsH = Gi (0ltiltn) Deacutemonstration sous les hypothegravesesG1G2 middot middot middot Gnminus1

1 Gi rArr (Gn rArr Gi) Axiome 12 Gi Hypothegravese3 Gn rArr Gi mp sur 2 et 1

Conclusion G1G2 middot middot middot Gnminus1 ` Gn rArr HDans ce deuxiegraveme cas G1G2 middot middot middot Gn ` H impliqueG1G2 middot middot middot Gnminus1 ` Gn rArr H (Seule lrsquohypothegravese Gi a eacuteteacuteutiliseacutee les autres ne sont en fait pas utiliseacutees ellesnrsquointerviennent pas)








Si H est lrsquohypothegravese Gn Alors on sait que ` Gn rArr Gn(voir paragraphe preacuteceacutedent) Dans ce troisiegraveme cas G1G2 middot middot middot Gnminus1 ` Gn rArr H impliqueG1G2 middot middot middot Gnminus1 ` Gn rArr HConclusion la proprieacuteteacute est vraie pour p = 1Hypothegravese de reacutecurrence Soit p un entier tel que laproprieacuteteacute soit vraie pour tous les entiers i de 1 agrave p(reacutecurrence geacuteneacuteraliseacutee) on suppose que la longueur dela deacuteduction qui megravene agrave H est (p+1)Si H est un axiome ou lrsquoune des hypothegraveses le cas setraite comme ci-dessus








Dans le cas contraire H ne peut avoir eacuteteacute obtenu que parun laquo modus ponens raquo sur des formules P et P rArr H Cesformules ont elles-mecircmes eacuteteacute obtenues par desdeacuteductions de longueur infeacuterieure ou eacutegale agrave p donc onpeut dire queG1G2 middot middot middot Gn ` P impliqueG1G2 middot middot middot Gnminus1 ` Gn rArr P et queG1G2 middot middot middot Gn ` P rArr H impliqueG1G2 middot middot middot Gnminus1 ` Gn rArr (P rArr H)








Deacutemonstration sous les hypothegravesesG1G2 middot middot middot Gnminus1

1 Gn rArr P Reacutesultat intermeacutediaire 12 Gn rArr (P rArr H) Reacutesultat intermeacutediaire 23 (Gn rArr P)rArr ((Gn rarr (P rArr H))rArr (Gn rArr H))

Axiome 24 (Gn rArr (P rArr H))rArr (Gn rArr H) mp sur 1 et 35 Gn rArr H mp sur 2 et 4

Conclusion G1G2 middot middot middot Gnminus1 ` Gn rArr H et donc G1G2 middot middot middot Gn ` H impliqueG1G2 middot middot middot Gnminus1 ` Gn rArr H lorsque la deacuteduction estde longueur p+1








Si Reacuteciproquement supposonsG1G2 middot middot middot Gnminus1 ` Gn rArr HDeacutemonstration sous les hypothegraveses G1G2 middot middot middot Gn

1 Gn rArr H Reacutesultat obtenu sous les hypG1G2 middot middot middot Gnminus1

2 Gn Hypothegravese n3 H mp sur 2 et 1

Conclusion G1G2 middot middot middot Gnminus1 ` Gn rArr HDonc G1G2 middot middot middot Gnminus1 ` Gn rArr H entraicircneG1G2 middot middot middot Gn ` H








Exemple On cherche agrave montrer le theacuteoregraveme drsquoeacutechangedes preacutemisses

` (P rArr (Q rArr R))rArr (Q rArr (P rArr R))

La deacutemonstration de ce theacuteoregraveme eacutequivaut agrave ladeacutemonstration sous hypothegraveses

P rArr (Q rArr R) ` (Q rArr (P rArr R))

eacutequivalente agrave la deacutemonstration sous hypothegraveses

P rArr (Q rArr R)Q ` (P rArr R)

elle-mecircme eacutequivalente agrave la deacutemonstration soushypothegraveses

P rArr (Q rArr R)QP ` R

qui est obtenu comme suit Pr Ousmane THIARE Calcul propositionnel deacuteductions syntaxiques 16 avril 2020 2333







Deacutemonstration sous les hypothegravesesP rArr (Q rArr R)QP

1 P Hypothegravese2 P rArr (Q rArr R) Hypothegravese3 Q rArr R mp sur 1 et 24 Q Hypothegravese5 R mp sur 4 et 3

Conclusion P rArr (Q rArr R)QP ` R








Remarque Cette meacutethode est beaucoup plus rapide quecelle qui consisterait agrave essayer de deacutemontrer ce theacuteoregravemeagrave partir des axiomes et de la regravegle drsquoinfeacuterenceRemarque Lrsquoutilisation principale du theacuteoregraveme de ladeacuteduction consiste agrave remplacer la deacutemonstrationdrsquoimplication par des deacuteductions sous hypothegraveses







Calcul propositionnel deacuteductionssyntaxiquesQuelques theacuteoregravemes classiques et quelques regravegles drsquoinfeacuterence annexes

Au theacuteoregraveme de reacuteflexiviteacute de lrsquoimplication (` P rArr P) etau theacuteoregraveme drsquoeacutechange des preacutemisses(` (P rArr (Q rArr R))rArr (Q rArr (P rArr R))) on ajoute ceux quisuivent

Proprieacuteteacute

Soit P et Q deux formules propositionnelles quelconques

` (P rArr Q)rArr ((Q rArr R)rArr (P rArr R))

DeacutefinitionLrsquoimplication notQ rArr notP est appeleacutee contraposeacutee delrsquoimplication P rArr Q








Proprieacuteteacute


` (P rArr Q)rArr (notQ rArr notP)

Proprieacuteteacute


` notP rArr (P rArr Q)

Intuitivement cela signifie que si notP et P sont eacutetabliesalors on peut en deacuteduire nrsquoimporte quoi (Q)








On introduit une regravegle permettant de srsquoabstraire delrsquoapplication de deux modus ponens sur lrsquoaxiome 8 Eneffet consideacuterons lrsquoaxiome 8

` (P rArr R)rArr ((Q rArr R)rArr (P orQ rArr R))

En appliquant deux fois de suite le theacuteoregraveme de ladeacuteduction il est eacutequivalent agrave la deacuteduction

P rArr RQ rArr R ` P orQ rArr R

que lrsquoon peut utiliser sous cette forme comme regravegledrsquoinfeacuterence annexe elle srsquoappelle regravegle de disjonctiondes cas








Proprieacuteteacute

On aP rArr RQ rArr R ` P orQ rArr R

Pour finir en appliquant deux fois de suite le theacuteoregraveme dela deacuteduction agrave lrsquoaxiome 10

` (P rArr Q)rArr ((P rArr notQ)rArr notP)

il est eacutequivalent agrave la deacuteduction

P rArr QP rArr notQ ` notP

que lrsquoon peut utiliser sous cette forme comme regravegledrsquoinfeacuterence annexe elle srsquoappelle regravegle de reacuteduction agravelrsquoabsurdePr Ousmane THIARE Calcul propositionnel deacuteductions syntaxiques 16 avril 2020 2933







Proprieacuteteacute

On aP rArr QP rArr notQ ` notP







Calcul propositionnel deacuteductionssyntaxiquesTheacuteoregravemes de compleacutetude du calcul propositionnel

On a jusqursquoagrave maintenant deux points de vue 1 La theacuteorie des valeurs de veacuteriteacute avec ses

tables de veacuteriteacutesfonctions de veacuteriteacutestautologie conseacutequence hypothegravese

2 La theacuteorie de la deacutemonstration avec sesaxiomesregravegles drsquoinfeacuterencedeacutemonstrations (ou deacutemonstrations sous hypothegraveses)








On peut se demander si les reacutesultats obtenus danschacune des deux theacuteories sont identiques une formulepropositionnelle est-elle deacutemontrable si et seulement sielle est une tautologie Un sens est immeacutediat crsquoest le laquo seulement si raquo touteproposition deacutemontreacutee reacutesulte drsquoun axiome ou delrsquoapplication drsquoune regravegle sur des propositions deacutejagravedeacutemontreacutees On peut facilement de veacuterifier que lesaxiomes fournissent des tautologies et que les regraveglesconservent les tautologies Toute proposition deacutemontreacuteeest donc une tautologie On dit que le systegraveme deacuteductifPR est correct Lrsquoautre sens la deacutemonstration qui consisteagrave veacuterifier que toute tautologie admet une deacutemonstrationdans PR est un peu plus complexe et admise Pour cesens on dit que PR est complet








On retiendra les theacuteoregravemes suivants (abusivementnommeacutes theacuteoregravemes de compleacutetude)

TheacuteoregravemeTout theacuteoregraveme est une tautologie et reacuteciproquement soit ` F si et seulement si F

TheacuteoregravemeOn aP1P2 middot middot middot Pn ` Q si et seulement siP1P2 middot middot middot Pn Q


Preacutesentation de la theacuteorie de la deacutemonstration

Deacutemonstrations avec ou sans hypothegraveses

Theacuteoregraveme de la deacuteduction

Quelques theacuteoregravemes classiques et quelques regravegles drsquoinfeacuterence annexes

Theacuteoregravemes de compleacutetude du calcul propositionnel






Calcul propositionnel deacuteductions syntaxiques

















































































PP rArr Q ` Q



























` (P rArr P)





























Proprieacuteteacute




































































































Proprieacuteteacute











Proprieacuteteacute



Proprieacuteteacute























Proprieacuteteacute













Proprieacuteteacute



















































































































PP rArr Q ` Q



























` (P rArr P)





























Proprieacuteteacute




































































































Proprieacuteteacute











Proprieacuteteacute



Proprieacuteteacute























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Proprieacuteteacute





























































` (P rArr P)





























Proprieacuteteacute




































































































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Proprieacuteteacute




































































































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