Calcolo delle reti idrauliche in pressione mediante una tecnica mista algoritmi genetici / metodo

di Gauss-Newton

Laureando:

Enrico Masini

Relatore:

Chiar.mo Prof. Ing. Michele Mastrorilli

Correlatore:

dott. Ing.

Orazio Giustolisi

Una delle RETI in

PRESSIONEverificata

applicando la “tecnica mista”:

algoritmi genetici/metodo di Gauss-Newton

Sistema di equazioni Scopo della tesi è la verifica delle reti idrauliche in pressione, ossia

risolvere il seguente sistema di equazioni “misto” :

i qi + j qj = 0 nodo

hj – hj+1 = (Li ki Di-n) qi

2 = ri qi2 tronco

Forma matriciale del sistema Per rendere il calcolo e la scrittura del codice più agevole, si è

posto lo stesso sistema nella forma matriciale proposta da G.Curto e A.Tumbiolo:

ANT q + Q = 0

R abs(q)q + (AN hN + AS hS) = 0

ESEMPIO: “RETE di CAO”

100 m.s.l.m

SERBATOIO

1

2

4

3

5

6

1

3

2

3

4

6

7

8

I NODI 2,3,4,5,6 SONO A QUOTA 0 m.s.l.m

Sistema di equazioni

0qrhh

0qrhh

0qrhh

0qrhh

0qrhh

0qrhh

0qrhh

0qrhh

0Qqq

0Qqq

0Qqqq

0Qqqq

0Qqqq

28864

27765

26651

25542

24443

23331

22232

21121

683

536

4845

3432

2521

13 equazioni in 13 incognite:

65432

87654321

hhhhh

qqqqqqqq

13

2

8864

12

2

7765

11

2

6651

10

2

5542

9

2

4443

8

2

3331

7

2

2232

6

2

1121

5683

4536

34845

23432

12521

eqrhh

eqrhh

eqrhh

eqrhh

eqrhh

eqrhh

eqrhh

eqrhh

eQqq

eQqq

eQqqq

eQqqq

eQqqq

Per una soluzione approssimata:

6543287654321 hhhhhqqqqqqqq

Il sistema diventa:

ossia risolvere il seguente problema di “ottimizzazione non vincolata”:

X

Per cui risolvere il sistema è equivalente a “minimizzare” la funzione:

13

1i

2iee

min

13

1i

2iee

dove:

)h h h h h q q q q q q q (q X 136543287654321

detto anche “problema dei minimi quadrati”

funzione obiettivo del problema

La funzione da “minimizzare” è una funzione “non lineare”, del tipo:

Per esempio, nel caso unidimensionale, si ha una funzione del tipo:

Ci sono più minimi “locali” e un unico minimo “globale”

x

e

O

>>

Algoritmi tradizionali di “ottimizzazione”: metodo di Newton, quasi-Newton, Gauss-Newton

Si tratta di metodi che per convergere al minimo usano il calcolo delle derivate fino al 2° ordine, ossia del:

•vettore gradiente •matrice hessiana

Dallo sviluppo in serie di Taylor arrestato ai termini del 2°ordine:

Supposto che qk(x) abbia un minimo in x*, annullando il gradiente:

Da cui si ottiene, più genericamente:

Dove:è la direzione di ricerca

è il passo di ricerca

I metodi si differenziano per la determinazione della direzione di ricerca, ossia per la tecnica usata per calcolare la matrice “hessiana”

Per la determinazione del passo di ricerca, si rifanno ad algoritmi esterni che risolvono essenzialmente un problema di minimizzazione unidimensionale detto “ricerca di linea”, ossia ricercano il minimo della funzione:

f (xk+1 k Gk-1 gk)

lungo la direzione di ricerca stabilita

Tali metodi convergono se risulta:

In tal caso i vettori e sono concordi:

direzione di ricerca

La direzione di ricerca è allora direzione di discesa, per cui risulta:

direzione di massima pendenza negativa

f (xk+1) < f ( xk ) k

che rappresenta la condizione di convergenza

cioè se la matrice è definita positiva:Gk-1

I metodi di Newton, essendo algoritmi di discesa, convergono ad un minimo locale, funzione del punto iniziale di ricerca

soluzioni

punti iniziale di ricerca

percorsi di discesa

x

e

O

<<

ALGORITMI GENETICI Si tratta di una nuova metodologia che consente di determinare il minimo globale di funzioni spiccatamente non lineari oppure non continue o non derivabili

Algoritmi genetici:

POPOLAZIONE INIZIALE

SELEZIONE FITNESS FUNCTION

CONDIZIONE TERMINALE

RIPRODUZIONE

MUTAZIONE

CROSSOVEROPERATORI GENETICI

Funzionamento degli

Algoritmi genetici

OPERATORI GENETICI CROSSOVER PUNTUALE: si tratta della riproduzione sessuata di 2 individui

POPOLAZIONE INIZIALE Si scelgono casualmente N individui (cromosomi) tra tutte le

soluzioni possibili del problema di ottimizzazione non vincolata

ogni INDIVIDUO (o CROMOSOMA) = SOLUZIONE POSSIBILE, cioè:

)h h h h h q q q q q q q (q X 136543287654321

1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0

1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1

cromosoma genitore 1 cromosoma genitore 2

cromosoma figlio 1 cromosoma figlio2

MUTAZIONE: si tratta della variazione casuale di un gene (= 1 bit) di un individuo (o cromosoma) a caso della popolazione

1 0 1 0 0 1 1 1 0 1

1 0 1 0 0 1 0 1 0 1

cromosoma genitore

cromosoma figlio

CROSSOVER UNIFORME : è un tipo di riproduzione sessuata più efficiente del precedente, in quanto prescinde dall’ordinamento dei bit

1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0

0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1

cromosoma genitore 1 cromosoma figlio 1

cromosoma genitore 2 cromosoma figlio2

SELEZIONE La selezione determina quali individui (cromosomi) si

riprodurranno e quali saranno scartati è grazie alla selezione che la popolazione si evolve di generazione in generazione

Il cuore della selezione è la FITNESS FUNCTION (=funzione di “adattività”)con cui è possibile ordinare per FITNESS (adattività) gli individui della

popolazione e quindi assegnare ad essi, in base alla posizione in graduatoria, una probabilità di selezione maggiore o minore

CONDIZIONE TERMINALE La condizione terminale può essere di più tipi, ossia basata sul:

•numero di generazioni

•grado di uniformità della popolazione

•“adattività” dell’individuo migliore

La funzione di adattività coincide allora con la funzione obiettivo del problema di ottimizzazione

PROBLEMA DELLO “SLOW-FINISH” Si è sperimentato in fase di elaborazione (ma è un fenomeno riportato da diversi autori), un evidente rallentamento progressivo della convergenza

100

101

102

103

104

10-1

100

101

102

103

104

105

Risultati ottenuti applicando gli Algoritmi genetici

alla risoluzione della rete diTorreMaggiore(FG)

composta di165 tronchi e 107 nodi

N° di generazioni

e

Le 10000 generazioni sono state effettuate in circa 2 ore con un Pentium III 350 Mhz

TECNICA MISTA:algoritmi genetici / metodo di Gauss-Newton

Il problema dello “slow-finish” è stato risolto utilizzando

gli algoritmi genetici per determinare un punto iniziale

“buono”, ossia interno alla concavità del minimo globale,

e quindi proseguendo la ricerca del minimo con gli

algoritmi tradizionali di “discesa”.

minimo globale

“buon” punto iniziale di ricerca per gli algoritmi di “discesa”

percorso di discesa

x

e

O

Come si è già visto, trovare un “buon” punto iniziale per gli algoritmi di “discesa”, significa:

Occorre stabilire un criterio per verificare che gli algoritmi genetici abbiano “trovato” la concavità del minimo globale:

x

e

O

popolazione iniziale degli algoritmi genetici

x

e

O

popolazione degli algoritmi genetici dopo N generazioni

dopo N generazioni si esegue un controllo per verificare se tutti gli individui sono interni della concavità del minimo globale

lanciando gli algoritmi di “discesa” a partire da ciascun individuo della popolazione e verificando che convergano allo stesso

punto.

algoritmi di discesa

x

e

O

Un’altra possibilità più rapida consiste, sempre dopo N generazioni, nel lanciare gli algoritmi di discesa a partire dal solo

individuo migliore della popolazione (“fittest individual”)

verificando che il punto finale (minimo locale) coincida con lo 0, avvalendosi della conoscenza del valore del minimo globale

popolazione degli algoritmi genetici dopo N generazioni

algoritmi di discesa

IN CONCLUSIONE:Testando l’implementazione della “tecnica mista” su 4 reti

con diverse complessità, precedentemente risolte con altre

metodologie , si è avuto risconto del corretto

funzionamento del metodo

Il software è inoltre piuttosto efficiente in termini di velocità, per

cui si è potuto agevolmente implementare anche la ricerca

iterativa dei coefficienti alfa di ripartizione delle portate

uniformemente distribuite e l’uso della formula di Colebrook per

la determinazione degli indici di resistenza lambda, ampliando il

campo delle portate al regime di transizione