1

Calcolo Combinatorio (richiami) 1/13

Def. Principio di moltiplicazione

Se una procedura P1 può essere eseguita in n1 modi diversi, dopo questa una seconda procedura

P2 può essere eseguita in n2 modi diversi, dopo questa una terza procedura P3 può essere eseguita

in n3 modi diversi e così via … Allora la procedura P che consiste nella successione delle procedure

P1,P2,P3,… nell’ordine, può essere eseguita in n modi diversi con:

....321 nnnn

Il calcolo combinatorio (Analisi combinatoria) si prefigge di stabilire quanti gruppi si possono

formare da un certo numero di oggetti, una volta nota la legge di formazione dei gruppi stessi.

Es. Lancio di due dadi

2

Calcolo Combinatorio (schema) 1bis/13

3

Disposizioni semplici 2/13

Si considerino n oggetti, che indichiamo con:

, ..... , , 21 naaa

Sia k un intero positivo con k≤n, si vogliono formare dei gruppi di k oggetti prendendoli

dall’insieme degli n oggetti precedenti in modo tale che due gruppi differiscano o per natura degli

elementi o per l’ordine in cui compaiono.

Def. Disposizione semplice(*)

Si chiama disposizione semplice di n oggetti di classe k (oppure a k a k) (k≤n) il

numero dei possibili gruppi che si possono formare prendendo k oggetti dagli n oggetti

dati e considerando i gruppi diversi per natura o per ordine. Indicheremo tale numero

con knD ,

(*) Nota: «semplice» qui serve ad indicare senza ripetizione (vedi poi)

4

Disposizioni semplici 3/13

Disposizione di 4

oggetti di classe 3 : )24(3,4 D

Disposizione di 4

oggetti di classe 4 : )24(4,4 D

Es. Consideriamo il seguente insieme di oggetti astratti:

, , , 4321 aaaa Allora:

Disposizione di 4

oggetti di classe 1 :

Disposizione di 4

oggetti di classe 2 :

)4(1,4 D

)12(2,4 D

5

Disposizioni semplici 3/13

Es. sia n=5 e k=3, come oggetti consideriamo le lettere A,B,C,D,E . Allora si può vedere che ci sono 60 possibili disposizioni (semplici) :

)60(3,5 D

6

Disposizioni / Permutazioni semplici 4/13

In generale vale :

)!(

!)1(....)1(,

kn

nknnnD kn

(*) Nota : per definizione 1!0 1!1

(*)

Es. 1 Quanti numeri di tre cifre (senza ripetizione) si possono formare con 1,2,3,..,9 ?:

5047893,9 D

Es. 2 Ad un concorso di bellezza ci sono 12 partecipanti. Le finaliste sono 4. Quante sono

le possibili graduatorie (contando l’ordine di piazzamento) ?

1188091011124,12 D

Es. 3 (Generalizzando…)

Quanti numeri come es.1 sono dispari ? (8*7*5=280)

Quanti numeri come es.1 sono pari ? (8*7*4=224)

Quanti numeri come es.1 terminano con 9 ? (8*7*1=56)

Quanti numeri come es.1 sono >700 ? (3*8*7=168)

Quanti numeri come es.1 sono <700 ? (6*8*7=336)

7

Disposizioni / Permutazioni semplici 5/13

Def. Permutazione semplice

Si chiama permutazione semplice di n oggetti la disposizione di n oggetti di classe n:

!, nDP nnn

Oss. : Coincide con tutti i possibili ordinamenti degli n oggetti

Es. Permutazioni di 4 lettere:

24!44,44 DP

8

Permutazioni semplici 6/13

Es.

9

Combinazioni semplici 7/13

Def. Combinazione semplice

Si chiama combinazione semplice di n oggetti di classe k (oppure a k a k) (k≤n) il

numero dei possibili gruppi che si possono formare prendendo k oggetti dagli n oggetti

dati e considerando i gruppi diversi per natura cioè per almeno un elemento ( e non

per l’ordine). Indicheremo tale numero con:

k

nC kn,

Teo. 1

k

kn

knP

D

k

nC

,

,

Teo. 2 )!(!

!

!

)1...()1(

knk

n

k

knnn

k

n

10

n

nnTeo. 3

10

Combinazioni semplici 8/13

Es. In un esperimento: in quanti modi posso scegliere tre animali tra cinque ?

Indichiamo gli animali con le lettere {a,b,c,d,e} si avrà :

10!2!3

!5

3

5

Es. In quanti modi posso estrarre 3 carte da un mazzo di 40 carte ?

9880!3

383940

!37!3

!37383940

!37!3

!40

3

40

Es. Quanti ambi si possono fare con i 90 numeri del lotto? 90 90! 90 89

40052 2! 88! 2

Es. Quanti sono i modi per estrarre due carte di cuori da un mazzo di 40 carte ? 45!8!2

!10

2

10

Es. Quanti gruppi di tre colori si possono formare con i sette colori dell’iride? 353

7

11

Coefficienti binomiali e Binomio di Newton 9/13

n

k

kknnba

k

nba

0

12

Coefficienti binomiali e Binomio di Newton 10/13

Teo. 4

kn

n

k

n

Teo. 5 (formula di Stifel)

k

n

k

n

k

n 1

1

1

Dim.

k

n

kkn

n

knnkn

n

kn

n

)!()!(

!

))!(()!(

!

Oss. Termini equidistanti dagli estremi nel triangolo di Tartaglia sono uguali

Dim.

)!1(!

)!1(

))!1(1()!1(

)!1(1

1

1

knk

n

knk

n

k

n

k

n

)!(!

][)!1(

)!1(!

)!1(

))!()!1(

)!1(

knk

knkn

knk

n

knk

n

k

n

knk

nn

)!()!(

)!1(

13

Coefficienti binomiali e Binomio di Newton 11/13

Teo. 6

Dim.

n

k

n

k

n

0

2

n

k

nn

k

kknn

k

n

k

n

00

21111

14

Disposizioni/Permutazioni con Ripetizione 12/13

Def. Disposizioni con Ripetizione

Si chiama disposizione con ripetizione di n oggetti di classe k (oppure a k a k) (k

qualsiasi) il numero dei possibili gruppi che si possono formare prendendo k oggetti

(eventualmente ripetuti) dagli n oggetti dati e considerando i gruppi diversi per natura o

per ordine. Indicheremo tale numero con

,

( )

n k

RD

Teo. ,

( )

n k

R kD n

Con evidenza di simboli vale: ( ) ( )

,n

R R n

n nP D n

Es. Totocalcio: quante sono le possibili «giocate»?

(13 caselle ciascuna può contenere 1/2/X) 323.594.1313

Es. Permutazioni con ripetizione (oggetti anche uguali):

a) «uno»

b) «Marcito»

c) Permutazioni con elementi uguali «Oro» («oro» , «roo» , «oor»)

d) «Anna» («anna», «anan», «nnaa» , «nana», «naan»)

e) «mamma»

6!3

5040!7

3

!2

!3

6

!2!2

!4

10

!2!3

!5

Se gli n oggetti sono

tutti diversi tra loro

15

Permutazioni con Ripetizione 12bis/13

Formula Generale Permutazioni con ripetizione (anche con oggetti uguali)

Consideriamo l’insieme degli n elementi : 1 2, ,..., na a a

Ciascuno ripetuto, rispettivamente : 1 2, ,..., nk k k volte

Allora, indicato :

1

( )

/ ,....,

1

!

! ...... !n

R

n k k

n

nP

k k

1 .... nn k k

Abbiamo :

16

Permutazioni con Ripetizione 12ter/13

17

Combinazioni con Ripetizione 13/13

Def. Combinazioni con Ripetizione

Si chiama combinazione con ripetizione di n oggetti di classe k (oppure a k a k) (k

qualsiasi) il numero dei possibili gruppi che si possono formare prendendo k oggetti

(eventualmente ripetuti) dagli n oggetti dati e non considerando l’ordine.

Indicheremo tale numero con

,

( )

n k

RC

Teo.

k

knC R

kn

1,

Es. Un fabbrica di vernici produce barattoli da 1l, miscelando 10 misurini da una decilitro di

tre diversi colori. Quante sono le tonalità cromatiche ottenibile?

662

12

10

12

10

110310,3

RC

Invece con 100 misurini da 1 centilitro ?

51512

101102

100

102

100

11003100,3

RC

,

( )1

n k

Rn k

Ck

18

Combinatorio nelle Statistiche Classiche e Quantistiche: 1/

Premessa: Particelle Identiche (Indistinguibili)

In fisica statistica particelle identiche ovvero particelle indistinguibili sono particelle che non

possono essere per principio distinte le une alle altre. Questo fatto ha

importanti conseguenze in meccanica statistica. Infatti il calcolo di proprietà in meccanica

statistica si basa su argomenti probabilistici che a loro volta sono influenzati dal fatto che gli

oggetti studiati siano identici o invece esista la possibilità, almeno in linea di principio, di riuscire a

distinguerli.

Come conseguenza, particelle identiche manifestano un comportamento sensibilmente

differente da particelle che possano essere distinte.

Ci sono due modi per distinguere le particelle: il primo metodo si basa su differenze intrinseche

nelle proprietà fisiche delle particelle, quali la massa, la carica elettrica o lo spin. Se le particelle

differiscono in almeno una delle proprietà fisiche intrinseche, esse possono essere distinte

misurando la proprietà in questione. Un elettrone potrà sempre essere distinto da un protone per

via della sua massa molto più leggera, della sua carica di segno opposto.

Tuttavia particelle microscopiche della stessa specie hanno proprietà fisiche completamente

identiche. Tutti gli elettroni dell'universo hanno esattamente la stessa massa, carica elettrica e

spin.

Anche se le particelle hanno proprietà fisiche intrinseche identiche, c'è in linea di principio un

secondo metodo che ci potrebbe permettere di distinguere particelle consistente nel seguire la

traiettoria di ogni particella.

Fintantoché possiamo misurare la posizione di ogni particella con infinita precisione (anche

quando le particelle si trovano a passare molto vicino o addirittura collidono) non ci sarebbe

ambiguità nell'attribuire quale particella è quale.

19

Combinatorio nelle Statistiche Classiche e Quantistiche: 2/

Il problema è che questo approccio non può essere mantenuto nel quadro della meccanica

quantistica. Infatti in meccanica quantistica, le particelle non posseggono una posizione definita

durante il periodo fra due misure della loro posizione. In sostanza, non è possibile per

una particella tracciare una traiettoria ben definita fra due posizioni nelle quali abbiamo

misurato la presenza della particella in due istanti di tempo. Dunque non è possibile

seguire la traiettoria di una particella.

E questo rende in linea di principio le particelle del tutto indistinguibili.

In fisica statistica particelle identiche ovvero particelle indistinguibili sono particelle che non

possono essere per principio distinte le une alle altre. Questo fatto ha importanti conseguenze

in meccanica statistica. Infatti il calcolo di proprietà in meccanica statistica si basa su argomenti

probabilistici che a loro volta sono influenzati dal fatto che gli oggetti studiati siano identici o

invece esista la possibilità, almeno in linea di principio, di riuscire a distinguerli.

Come conseguenza, particelle identiche manifestano un comportamento sensibilmente

differente da particelle che possano essere distinte.

Cammini seguiti da due particelle indistinguibili.

20

Combinatorio nella Statistica Maxwell-Boltzmann: 3/

Nelle statistiche sia classiche (Maxwell-Boltzmann) che quantistiche (Fermi-Dirac, Bose-Einstein) il

discorso iniziale coinvolge la distribuzione (ed il calcolo dei modi in cui questa distribuzione si può

realizzare) di n particelle con caratteristiche diverse rispetto ad g stati di energia disponibili (si pensi

ad es. ai livelli energetici di un atomo).

Statistica di Maxwell-Boltzmann: Particelle Distinguibili (particelle che costituiscono i gas perfetti dei modelli classici)

Vediamo come le tre statiche affrontano il combinatorio considerando 2 particelle (n=2) e 3 stati

energetici disponibili (g=3)

nR gDng

,

21

Combinatorio nella Statistica Bose-Einstein: 4/

Statistica di Bose-Einstein: Particelle Indistinguibili che possono occupare lo stesso livello energetico (tali particelle sono note come BOSONI e sono caratterizzate dall’avere spin intero, ad es. il fotone)

n

gnCR

ng

1,

22

Combinatorio nella Statistica Fermi-Dirac: 4/

Statistica di Fermi-Dirac: Particelle Indistinguibili che NON possono occupare lo stesso livello energetico

(Principio di esclusione di Pauli) (tali particelle sono note come FERMIONI e sono caratterizzate dall’avere spin semi-intero, ad es.

elettrone, protone)

n

gC ng ,