Calc Num Prato 02

14
Calcolo Numerico Corsi di Laurea in Matematica e Informatica 0 ) ( = x f

Transcript of Calc Num Prato 02

Page 1: Calc Num Prato 02

������������ �������������� ���� ����� ����� ���������� ������ ���� ����������������

�������� ����� �����

�������������� �����

Calcolo NumericoCorsi di Laurea in Matematica e Informatica

�� ������� ����� ����������������� ���� ������� ��� � ��� �� ���������� ��

0)( =xf

� �� � � ������ ��� ���� �� ���������

!� ����� "# ���� �$� �%"#& ' ( ��� �� ���� �$� "# �������� ���������� �� �%"& ' ( ))��� �$� "# �� ��� ����� ���� �� �

��� � ��� � ����� ����� *���������� � ������ � �������� ��������� �� �������� � � � � ������ ����� ������

+� ����+� ���� �������� ������+� ����+� ���� �������� ������

!� � � ����� � ���� � �%�&,�%�& - ( ��� �� ����� ����� �� )��� "# � %��& ���� �$� �%"#& ' (

Page 2: Calc Num Prato 02

.��.����� � ��� � �� ���� ������ ��!� � � ����� � ���� ���� �$� �%�&,�%�& - (/ 0 �� )����))� ����� �� ���� ��� "# � � �������

22* 00

0

babacx

+≡

+=≈

0c

bb ≡0

0aa ≡

.��.����� � ��� � �� ���� ������ ��

! ������ �� �� ������� ��� ����

1/ �%�(& ' ( � ����� �� ��� �� � ��� �� ��� )� �����

22* 00

0

babacx

+≡

+=≈

% (& )

2/ �%�(&,�%�(& - ( � ���� )� ������� )�3 �������)���� )�� ���������� ��(�(�

4/ �%�(&,�%�(& - ( � ���� )� ������� )�3 �������)���� )�� ���������� ��(�(�

.��.����� � ��� � �� ���� ������ ��

22* 0011

1

bcbacx

+≡

+=≈

1c

01 bb ≡

01 ca ≡

.��.����� � ��� � �� ���� ������ ��

22* 1122

2

bcbacx

+≡

+=≈

2c12 bb ≡

12 ca ≡

Page 3: Calc Num Prato 02

.��.����� � ��� � �� ���� ������ ��

22* 2233

3

cabacx

+≡

+=≈

*4 xc =

23 cb ≡

23 aa ≡

5���) 5���) 5���) � �� ���� ��� ����� ���������� �� "2 6 78/8 ' (������������� �912�

" ' 8/882814 ��� �))� ����� �� � 8.78

.��.����� � ��� � �� ���� ������ ��:������� � �� �� �� )��� ����)���� ������������� %� �� � �� �� ��� � ��� ��& ���� ��������/ ��� ����� � �� � ��� � ������� ��� ���� ��� � ����� ��

; ) < )��� � $�) )

.� )���� ���� )�� �� )��� " ������������� ��<�<� � $�

)(2

1abab

kkk −=−

)(2

1* abxx

k−≤−

5�� ��5�� �� �� �))� ����� ���))� ����� ��=����� ����� �� ���� � )���� ���� )�� � )��� ��� ������������� ���� � $�

=��� �������� � �� �))� ����� �� ����� ����� "# �

)(2

1* abxc

kk −≤−

= � � )) �)��� ��� ������������� �$� � ����� ���� <>��������� �� ����� �� � �))� ����� �� �$� � � ������ ���� ��� ��

�� ������� �� ?�<@<'12A � ������ � "# � � �� ��� ��B � ��� 1C2< � ������ � (

)(2

1ab

k−

Page 4: Calc Num Prato 02

5���) 5���) D��������) )��������� � ������ �'9 �'12 � � ) 8����� � ������ ������

����� �� � ����� ���� ��� ��

882813.8* 8 =≈ cx

�� � ��

0234.0)612(2

1)(

2

18

≈−=− abk

5�� ��5�� �� �� �))� ����� ���))� ����� ��!� � ���� ������� ����))� ����� �� ����� ����� "#� � �� ��� �� ���� �� �� ��� ����� � ��� � � ��������)�������� E ) ���

���

��� −

≥�−

≥�≤−�

abk

�ab�ab k

k 2log 2 )(2

1

.� )���� ���� � ����� � )��� �$� � ���� �������� � � ��� � � ���� �� )�� ������� ���������������$���� � ���� � � ���))� ����� �� )�� ������ �

�������� )F ���

�� ��2

���

��� −

�ab

2log

5���) 5���) 5���) � ���������� � ����� � ����� � ��� ��� � ����� �� ��������� )�� �� ����� ������� ��

������������� �12� � � ��� � �������� E ' 1(>G

0104 23=−+ xx

� �

! $�

���� � � ��������� ����� 17 ����� � )�� ��������� )���� �� ��$����

( ) 6.1610log 10)(2

1 52

5≈≥�≤−

− kabk

0 �)�����B0 �)�����B � �)���� ����� �)���� ����.� ����� ��� �� � �)�����B � �)���� ���� � ����� ������ � ������� � � ���� ��

��� � ��� � � ���� �� ������ ��� � ��� � � ��������E �� � �)�����B � �)���� ���� �

������� � � ���� �� � ��

��

����

��� −

�ab

2log

� }:min{ xnnx ≥∈= �

Page 5: Calc Num Prato 02

�� ����� ���� ��� � ��� .� ��� � � ���� �� $� � ������� � ��$����� ) �$�) ��� ����� ���� �� � )�� ����� �� � ���������%� �����B � ���� )) �� ���� ������ ������������� &

+������ �� � ��������� ���� � ��� ����� ���� �� � �� ����� %�))� ������������ � �������� ��� ����� % )) � � � � �������� �� ��� ����� �&

5� �������� ��) ��� � ��� � �$� � ������� ����� ��� �� ���������� �� )F ��)�������

0��� � 0��� � ��������)��� )��� ��� ��� 0 ������� ��� ���� �� H � ���� � � I ?(@/ !� )�� ��" � ���� ������

�%"&�'�"�> H%"&�%"&��� ��

�%"#&�'�(�% &

"#�'��%"#&

.� )���� ���� ���������� �� ��� ����� ���� �� �������� � ���������� �� )��� ��� ����� ���� �� �

.����)����� ��.����)����� �� �� �������� ������ 5�������5������� ��������)��� )��� ��� ��� +� ����+� ����

!� � � ����� � � ����� � � J �%"& J � )�� �� " � ������� �� � ������� ����� �� )��� ��� /

;�� �� ������ $%"& ' �%"& 6 " ��� �� �� ���� �� $ � � � % & �% & �� ����� � � $�

$%�&�K�( L $%�&�J�(

.� )���� ���� )�� � +� ���� ���� ��� �� ���� �� $ �������� � ����� �� )��� � ����/

Page 6: Calc Num Prato 02

M���BM���B ��������)��� )��� ��� ��� +� ����+� ����!� � � ������ � ����� �������� � ���� �$��> � J �%"& J � )�� �� " � ����L> N��%"&N J � - 1 )�� �� " � ����/O�� �� � ������� �� ��� )��� ��� /; # # � � � � � ��;�� �� "# P# � � ��� )��� ��� ����� � � � ������� ��

N"#>P#N�'�N�%"#&�6 �%P#&N/��� � +� ���� � �������� ����� Q � ���� ���� �$�

�%"#&�6 �%P#&�'���%Q&%"#>P#&/=���

N"#>P#N�'�N��%Q&N,N"#>P#N�J��N"#>P#N�-�N"#>P#N�$� ������ /

.) ���.) ��� � ��� ��� ��������� ��������0 �����B

.) ���.) ��� � ��� ��� ��������� ����������� ��������

.) ���.) ��� � ��� ��� ��������� ��������D ���� )) � ��������

Page 7: Calc Num Prato 02

��� � ��� � ���������� �))� ����� ��))� ����� � ������������������

!�)) ��� �$� ������� �� ��������� �%"& ' ( �� ����������� ����� � ��� " ' �%"& � �� "%(& �� ��� ���))� ����� ����� �����/

.� )� ���� ������

"%<& '��%"%<>1&&���<�'�12A

)����� � � �� � ��� � ����� �))� ����� � ���������/

!� � � ����� � �� ������� �� ?"%<&@ � ������ �� �� ���� )��� "# )�� <� R ��� �� "# �� )��� ��� � �/

5���)5���)1)('0 << xg 0)('1 <<− xg

1)(' >xg 1)(' −<xg

:������� ��:������� ��

;� ����� )�������� ) ���� ����� �$� �� )������������ ���� �� � ������� ����� � ��������� ��� ��� � ����� �))� ����� � ��������� �� )��� ���

.� )���� ���� )�� ��� � � N��%"&N ���� � � 1 � $� �$�� ��� � � � � ������� �

5������ � �� ����� �� � �� ���� � � ����������� ���� )�� � ��� � ����� �))� ����� � ���������

+� ����+� ���� �� � ���������� ��������� �� ������ ����

+� ����+� ����

!� � � ����� � � ����� �������� � ���� �$��> � J �%"& J � )�� �� " � ����L> N��%"&N J � - 1 )�� �� " � ����/!� "%(& �� )��� � ���� � "# ����� )��� ��� � ���� �� �� ������� �� ?"%<&@ ������ ������� � ��� � ����� �))� ����� � ��������� � ������ � "# )�� <� R/.� ���� � $�

)1()0()(

1* xx

L

Lxx

kk

−−

≤−

Page 8: Calc Num Prato 02

+� ����+� ���� �� � ���������� ��������� �� ������ ����

;�� ��� +� ���� � �������� ����� �$�N"%<&>"#N�'�N�%"%<>1&&�> �%"#&N�'�N��%Q&N,N"%<>1& > "#N

� � Q � .%"%<>1&"#& %S&/ =���N"%<&>"#N�'�N��%Q&N,N"%<>1& > "#N�J���,N"%<>1& > "#N

�2 N %< 2& #N �< N %(& #NJ �2 ,N"%<>2& > "#N J A J �< ,N"%(& > "#N/� �$T � $� �$� ����

��

>

<=

��������

��I se ],[

se ],[),(%S& ;�� ���

0lim =∞→

k

kL 0*lim )(

=−∞→

xx k

k

*lim )( xx k

k=

∞→

+� ����+� ���� �� � ���������� ��������� �� ������ ����

.����

*

***

)0()1()0(

)1()1()0()1()1()0()0(

xxLxx

xxxxxxxxxx

−+−≤

−+−≤−+−=−

)1()0()0(

1

1 * xx

Lxx −

−≤−

)1()0()0()(

1 * * xx

L

LxxLxx

kkk

−−

≤−≤−

:����:���� �� � ���������� ���������

0 ������� � ��� � ������ ����� �� ��� ��������� �� � � ����� ������� ��

"%<& '��%"%<>1&&���<�'�12A�"%(& ����� �

!�)) ��� �$� �� ������� �� ?"%<&@ � ������ �� �� ���� ��� �� "# )�� <� R��� �� " )�� <� R

;��� �$� � ��� � $� ���� ) K 1 % $� ��� ��B �� ��������� )�� � ) K 1& ��

.� ��� �� 0 ���� � ������ ���� ��� �������� ��

��

>>

=≤<=

−∞→ 1 se 0

1 se 10con ,

*

*lim

)1(

)(

pC

pCC

xx

xxpk

k

k

:����:���� �� � ���������� ���������

0 �� ��� )���� ��� ���� �$� � ��� � $� ��� ��B �� ���������

> ��������� �� ) ' 2�

*)(− xx k

> ������ �� ) ' 1�

0con ,*

lim 2)1(>=

−−∞→

CCxx kk

10con ,*

*lim

)1(

)(

<<=−

−∞→CC

xx

xxk

k

k

Page 9: Calc Num Prato 02

5���) 5���)

��� � ��� � � ���� �� � )�3 �� ������ �$� ����

2

1

*

*lim

)1(

)(

=−

−∞→ xx

xxk

k

k

.� )���� ���� � ��� � � ���� �� $� ��� ��B �� ��������� ������

����� � �� � ������ ��� � ������ � � ��� ��B �� ��������� ���� ��

0 ���������0 ��������� ������������

+� ����+� ����

!� � � ����� � ��� ���� �� � ������ 01 ���� �$��> � J �%"& J � )�� �� " � ����L> N��%"&N J � - 1 )�� �� " � ����L��%"& U ( )�� �� " � �� ��> � %"& U ( )�� �� " � ����/

O�� �� )�� �� "%(& � ���� �� ������� �� ?"%<&@ ������������� � ��� � ����� �))� ����� � ���������� ������ � "# )�� <� R � � ��� ��B ������/.� ���� � $�

*)(' xgC =

0 ���������0 ��������� ������������

;�� �� � ��������� ��������� ��� +� ���� �� ��������� �� ���� ��� � )���������/

��� ����� ������� �� ���� ������

*)(*))(('*)()( )1()1()1( xxI�xx�gxgxg kkk −−−∈−+= ),( ),)(()()( xxI�xx�gxgxg kk ∈+=

)( kx *x

*)('*

*)('lim

*

*lim

)1(

)1(

)1(

)(

xgxx

xx�g

xx

xxk

k

kkk

k

k=

−=

∞→−∞→

0 ���������0 ��������� ������������������

+� ����+� ����

!� � � ����� � ��� ���� �� � ������ 02 ���� �$��> � J �%"& J � )�� �� " � ����L> N��%"&N J � - 1 )�� �� " � ����L��%"#& ' (L> � %"#& ' (L

> ���%"& U ( )�� �� " � ����/O�� �� )�� �� "%(& � ���� �� ������� �� ?"%<&@ ������������� � ��� � ����� �))� ����� � ���������� ������ � "# )�� <� R � � ��� ��B ���������/.� ���� � $�

*)(''2

1xgC =

Page 10: Calc Num Prato 02

0 ���������0 ��������� ������������������

;�� �� � ��������� ��������� ��� +� ���� �� ��������� �� ���� ��� � )���������/

��� ����� ������� �� ���� ������

,*)()(''

*)*)(('*)()( 2)1()1()1( xx�g

xxxgxgxg kkkk −−−−+−+=

*),(

,)(2

))(()()(

)1( xxI�

xxxxxgxgxg

kk

−∈

)( kx *x

2

*)(''

*

*

2

)(''lim

*

*lim 2)1(

2)1(

2)1(

)(xg

xx

xx�g

xx

xx

k

k

k

kk

k

k=

−=

∞→−∞→

0

0 ���������0 ��������� ������������������

;�� �� ���� )��������� ����� �$� � )�3 ��) ��� � ����� � ������ "%<& ' �%"%<>1&& �$� ���� ��� ��B �� ��������� ��������� �� ��%"#& ' (

� �$T �%"& ' " 6 H%"&�%"& ����$�� ������ ��� ���� ��H � ����� �I?(@ ���� �$� ��%"#& ' (/ ��� � ? @ � % &

*)('*)(*)(*)('1*)('0 xfx�xfx�xg −−==

*)('

1*)(

xfx� =

0=

.��.����� � ��� � �� D�V� �D�V� �

M�� ) �����B )�� � ������� ������ � ��� �� ) ���

)�� �� " � ���� � ������� � ��� � ������ � ��)('

1)(

xfx� =

=���� ��� � ������ )����� � � �� � ��� � �D�V� �

],[ ,...,2,1 ,)('

)( )0()1(

)1()1()( baxk

xf

xfxx

k

kkk

∈=−=−

.����)����� ��.����)����� �� �� �������� ������W��������������������%"%<>1&�%"%<>1&&&

P�'��%"%<>1&&�X���%"%<>1&&%">"%<>1&&)('

)()1(

)1()1()(

−−=

k

kkk

xf

xfxx

Page 11: Calc Num Prato 02

0 ���������0 ��������� ����������� � ��� � �� D�V� �D�V� �

+� ����+� ����

!� � � ���� � � ��� ���� �� � ������ 02 ���� �$� ��%"& U( )�� �� " � ���� � �� "# � ���� ���� �$� �%"#& ' (/O�� �� ����� �� �� �� . � "# � ������ � ���� ���� �$�)�� �� "%(& � . �� ������� �� �������� ��� ��� � �) � � �D�V� � � ������ �������������� � "#/

.� )���� ���� � �� ���� ������� �$� � ��� � �D�V� � � ������ �� � ������ �������� �����Y�������������� ��� Z � "#/ .� ��� � ����� ���� � � D�V� � )�3 �������� ��� ������� ����������� ��� ������� �� � ��������� � ��� ����������� �� "#

0��0�� )���� ���)���� ���

��%"%<&&�'�(

����� ��� ����������

0��0�� )���� ���)���� ���

�����������

� �����������)�����������������������"%(&

"%(&"%(&

0 ���������0 ��������� �� ������ ��������������� � ��� � �� D�V� �D�V� �

+� ����+� ����

!� � � ����� � ��� ���� �� � ������ 02 ���� �$��> �%�& - ( �%�& [ (L> ��%"& U ( )�� �� " � ����L���%"& J ( )�� �� " � �� ��L> � %"& J ( )�� �� " � ����L

> N�%�&N J %�>�&,N��%�&N/O�� �� � ��� � � D�V� � ������ ��� ������� �� ������� �$� � ����� � ������� ��� � � � ���� � )������� ������� "%(& � ����/

Page 12: Calc Num Prato 02

0 ���������0 ��������� �� ������ ��������������� � ��� � �� D�V� �D�V� �

��%"& U ( ����� ��� � � � �������

���%"& J ( ���� �� � �����

N�%�&N J %�>�&,N��%�&N ����� �� ������ � � � ����

0 ���������0 ��������� �� ������ ��������������� � ��� � �� D�V� �D�V� �

������� ) ��� ����� � � )�� ������ �$� ��������� ����������������� ���� � �� ���� � �� ) ��� Y�� ��Z

!� ������ � ��� �� � � �������� )�3 ��)���� �$���� ����� ������ "%<& ���� �������������

�� ������ ��� ���� )�� ���� ��� ���)) � � ��� ��> �%�& - ( �%�& [ (L> ��%"& U ( )�� �� " � ����L> ���%"& K ( )�� �� " � ����L> N�%�&N J %�>�&,N��%�&N/

0 ���������0 ��������� �� ������ ��������������� � ��� � �� D�V� �D�V� �

> �%�& [ ( �%�& - (L> ��%"& U ( )�� �� " � ����L> ���%"& K ( )�� �� " � ����L> N�%�&N J %�>�&,N��%�&N/> �%�& [ ( �%�& - (L> ��%"& U ( )�� �� " � ����L> ���%"& J ( )�� �� " � ����L> N�%�&N J %�>�&,N��%�&N/

��� ���� � ��������>>D�V� �D�V� �

.� ��� � � D�V� � ��$��� �� �� )��� �� ������� ������� ������� )��� ����� ���� �� � � �� ��������� )���

D�� ��� � �� ����� ���� � ��������� ������ ��������� �) ����� ���� ����� � ��) �� ���) )������ ��� ��� � � D�V� � �$� � � ��$���� ��������� �� � ���� �������

.� � � ��$��� �������� � ���������

)(' ,...,2,1 ,)( )1(

)1()1()( −

−≈=−=

kk

k

kkk xfmk

m

xfxx

Page 13: Calc Num Prato 02

.��.����� � ��� � ���������� � ���� ���

O������� �$� � �� �������������� ��� ���� � )�3�������� �$� � )� ����B ����� ����� "# �� ���������� )��� ��� Y) � Z

������� �� "%(& )� ��� ���� ����� ��� �����))� ����� ��)) �

)�3 ������ � ������������� ��������/ .� ����� � � � ����� ������� ��

�$� ������� � ��� � ����� � ���

,...2,1 ,)('

)()0(

)1()1()(

=−=

− kxf

xfxx

kkk

kk mxfxf ≡≈

− )(')(' )0()1(

.����)����� ��.����)����� �� �� �������� ������

"%(&"%1&"%2&

.���������� � �������� ����)�������������� �

.��.����� � ��� � ���������� � ���� ���

.� �������� � )���� � ��� � ����� � ��� ����� �< � ������ %� � ���� �� ������ � <&

M������������ ���� ������ �< ' ��%"%(&& � ����� ��� ������

afbfm

− )()(

.� � �� )�� ����� �� ��� ��� � ����� � ��� )�� � ���������� �� � ���� �� ���� ���� � � ����� ������ � � ���� ��/ O� )�� � ���������� ������� ��� ���� �$� � �� ���� � � ��������� � � ������

abmk

−=

.��.����� � ��� � ���������� ������������M�� ������ ���������� �� ��� � ����� � ��� � �����������))� ������ �� ������� � � � � � �� ��)) �� �����������

. � � �� ���

kkk

kkk m

xx

xfxfxf ≡

−≈

−−

−−

)2()1(

)2()1()1( )()()('

.� ����� � � � ����� ������� ��

�$� ������� � ��� � ����� ������

:������� �$� )�� �������� � ��� � ���� � ��������� ���� "%(& � "%1&

,...3,2 ,)()(

)()()2()1(

)2()1()1()2()(

=−

−=

−−

−−−−

kxfxf

xxfxxfx

kk

kkkkk

Page 14: Calc Num Prato 02

.����)����� ��.����)����� �� �� �������� ������

"%(&"%1&"%4& "%2&

W����������������������)��������)���%"%<>2&�%"%<>2&&&���%"%<>1&�%"%<>1&&&

.��.����� � ��� � ���������� ������������! �� ���� �$� �� "# ��� ����� ���)��� ��� �� ���� � ����� ������ $� ��� ��B � � ���������

.� � ���) ������ � �� )�� ����� �� ��� �� ��� � ��

618.12

15≈

+=p

.� � ���) ������ � �� )�� ����� �� ��� �� ��� � ��������� �� � ���� �� �� ���� ���� � � ����� ������ � � ���� �� � ��� ��� � ����� � ���

O��$� �� �� ���� � � ��������� ��� ��� � ����� ������ ���� �� ��)��� � ����� ��� ��� � � D�V� � ��� ������ ������� ������ �)��� )�������� � ���������� )�� � ���� � � � ��$����� �� ������� �� ����� �������)��� � � �� �� ����� ��

0����0���� �� ������ ������ ��3 ������ ���� � �������� � �� ����� � ������ )��� ��� � ������ ��� � ))� � � ��� ��

2)1()(

1)( , )( �xx�xf kkk

≤−≤−

%�������������� ���� ���&

)(2

)1()()0(1

)( , )()( kkkk x�xxxf�xf ≤−≤−

))���

%�������������� �������&

� ���E1�E2 � � �� ������� ���������)��������

0��0�� )���� ���)���� ���

�%"%<&&

"%<& �Y�������������������Z���"#����N�%"%<&&N�

���� ���Y������Z

"%<&"#

�%"%<&&

"%<& "#

�%"%<&&

"%<& ���� ���Y� �����Z����"#����$�����N�%"%<&&N�

�Y)�� � Z