1. Calcolo Differenziale negli Spazi Normati

1.1 Derivate e differenziale

Siano X,Y due spazi normati su un campo K. Sia Ω un aperto non vuoto di X e sia f : Ω→Y, x0 ∈ Ω. Fissato v ∈ X, poiche il punto x0 e interno all’ insieme Ω, esiste δ > 0 : x0 + tv ∈Ω ∀t ∈]0, δ[ e quindi risulta definito, per t 6= 0, il rapporto incrementale

f(x0 + tv)− f(x0)t

(1.1)

nella direzione v, relativo al punto x0. Se il rapporto (1.1) risulta convergente, al tendere di t a 0, lafunzione f si dice parzialmente derivabile nella direzione v nel punto x0. Il limite di tale rapportosi chiama derivata direzionale secondo la direzione v, della funzione f nel punto x0 ∈ Ω e si pone

∂f

∂v(x0) ≡ fv(x0) = lim

t→0

f(x0 + tv)− f(x0)t

. (1.2)

Esempio 1.1 Sia f : Ω ⊂ Rn → R. Nel caso in cui la funzione e derivabile lungo la direzione delvettore v = ei i = 1, . . . , n la funzione f si dice parzialmente derivabile rispetto ad xi e la derivata∂f∂ei

si chiama derivata parziale della funzione f rispetto alla variabile xi nel punto x0 e si denotacon

∂f

∂ei(x0) ≡ ∂f

∂xi(x0) ≡ fxi(x0). (1.3)

Se f e parzialmente derivabile rispetto a tutte le variabili x1, . . . , xn da cui dipende, si pone

∇f(x0) = (fx1(x0), . . . , fxn(x0)) (1.4)

ed il vettore cosı definito si chiama vettore gradiente di f nel punto x0.Contrariamente al caso delle funzioni di una sola variabile, una funzione puo essere derivabile in

ogni direzione senza essere continua come mostra il seguente

Esempio 1.2 Sia f : R2 → R definita ponendo

f(x, y) =

1 x · y = 0;0 x · y 6= 0.

La funzione e discontinua in (0, 0) perche limx→0 f(x, x) = 0 mentre f(0, 0) = 1. La funzione eparzialmente derivabile in (0, 0). Infatti,

fx(0, 0) = limt→0

f(t, 0)− f(0, 0)t

= limt→0

1− 1t

= 0

e, similmente,

fy(0, 0) = limt→0

f(0, t)− f(0, 0)t

= limt→0

1− 1t

= 0

G.Di Fazio

e quindi esiste il gradiente in (0, 0) e si ha: ∇f(0, 0) = (0, 0).

Definizione 1.1 Sia Ω ⊂ X un aperto non vuoto e sia f : Ω → Y, x0 ∈ Ω. Diciamo che f edifferenziabile in x0 se esiste una applicazione lineare e continua f ′(x0) ∈ L(X,Y ) tale che

limh→0

f(x0 + h)− f(x0)− f ′(x0)(h)‖h‖

= 0 (1.5)

ed in tal caso f ′(x0) si dice differenziale di f in x0.

Teorema 1.1 Sia Ω ⊂ X un aperto non vuoto e sia f : Ω→ Y, x0 ∈ Ω differenziabile in x0. Alloraf e derivabile lungo qualsiasi direzione e si ha:

∂f

∂v(x0) = f ′(x0)(v).

Dim. Usando la definizione (1.5) ed il fatto che il differenziale e un’ applicazione lineare, si ha:

limt→0

f(x0 + tv)− f(x0)t

= limt→0

f(x0 + tv)− f(x0)− f ′(x0)(tv) + f ′(x0)(tv)t

=

= limt→0

f(x0 + tv)− f(x0)− f ′(x0)(tv)t

+ f ′(x0)(v) = f ′(x0)(v).

In generale, il viceversa e falso come mostra il seguente

Esempio 1.3 Sia f : R2 → R definita ponendo

f(x, y) =

x2y

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0);

0 (x, y) = (0, 0).

La funzione e derivabile in ogni direzione. Infatti sia v = (v1, v2) ∈ R2. Si ha:

limt→0

f(tv)− f(0)t

=v2

1v2

v21 + v2

2

mentre f non risulta differenziabile in (0, 0) perche l’espressione trovata non e lineare in v.

Esempio 1.4 (differenziale di funzioni scalari)Sia f : Ω ⊂ Rn → R. Se f e differenziabile in x0 ∈ Ω, per il teorema precedente

∂f

∂v(x0) = f ′(x0)(v).

2

Appunti di Analisi Matematica II

D’altra parte sappiamo dalla geometria che se l’ applicazione f ′(x0) e lineare, esiste un vettorea ∈ Rn tale che f ′(x0)(h) = a · h ∀h ∈ Rn e quindi

a · v = f ′(x0)(v) =∂f

∂v(x0)

e, scegliendo v = e1, v = e2, . . . , v = en si trova

a · ei = f ′(x0)(ei) =∂f

∂xi(x0) i = 1, . . . , n

da cui ai = ∂f∂xi

(x0) i = 1, . . . , n ovvero a = ∇f(x0) e quindi si rappresenta il differenzialeattraverso il vettore gradiente, cioe

df(x0)(h) = ∇f(x0) · h ∀h ∈ Rn. (1.6)

Teorema 1.2 Sia Ω ⊂ X un aperto non vuoto e sia f : Ω→ Y, x0 ∈ Ω differenziabile in x0. Alloraf risulta continua in x0.

Dim. Sia δ > 0 : x0 + h ∈ Ω,∀h : ‖h‖ < δ. Allora

f(x)− f(x0) =f(x)− f(x0)− f ′(x0)(x− x0)

‖x− x0‖‖x− x0‖+ f ′(x0)(x− x0)

e quindi, ricordando che il differenziale e continuo,

limx→x0

f(x)− f(x0) = limx→x0

f ′(x0)(x− x0) = 0

e quindilimx→x0

f(x)− f(x0) = 0.

Il viceversa, in generale, e falso come mostra il seguente

Esempio 1.5 La funzione f : R2 → R definita ponendo f(x, y) =√|xy| e continua ma non e

differenziabile nell’ origine.Infatti dalla definizione segue

∂f

∂x(0, 0) =

∂f

∂y(0, 0) = 0.

D’altra parte, come e stato gia osservato, il limite

limx→0y→0

f(x, y)√x2 + y2

= limx→0y→0

√|xy|

x2 + y2

non esiste.

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G.Di Fazio

Una condizione sufficiente per la differenziabilita e la seguente:Teorema 1.3 (del differenziale totale) Se f ′ e continuo in x0 allora f e differenziabile in x0.

Dim. Omessa.Esempio 1.6 La funzione f(x, y) = arctang y

x e di classe C1 nell’insieme Ω = R2 \ x = 0.

Infatti la funzione e definita per x 6= 0 e risulta derivabile dove e definita. Si ha:

fx(x, y) =1

1 +(yx

)2 · −yx2= − y

x2 + y2;

fy(x, y) =1

1 +(yx

)2 · 1x

=x

x2 + y2,

e siccome le derivate sono continue in ogni punto di Ω, la funzione risulta di classe C1(Ω) e quindiivi differenziabile.

Esempio 1.7 Calcoliamo le derivate parziali della funzione f(x, y) = log(x2 + y2).La funzione e definita nell’insieme Ω = (x, y) ∈ R2 : (x, y) 6= (0, 0) e risulta ivi parzialmente

derivabile. Si ha:

fx(x, y) =2x

x2 + y2, fy(x, y) =

2yx2 + y2

, ∀(x, y) 6= (0, 0)

e siccome le derivate sono continue in ogni punto di Ω, la funzione risulta di classe C1(Ω), quindidifferenziabile.

Esempio 1.8 Differenziale di una funzione vettorialeSia Ω un aperto di Rn, f : Ω → R

m, x0 ∈ Ω. In questo caso f ′(x0) ∈ L(Rn,Rm) ∼ Rm,n e quindiil differenziale si puo rappresentare attraverso una matrice Jf (x0) di tipo m × n. Per individuarela matrice Jf (x0) notiamo che f ′(x0)(ei) = Jf (x0) · ei che e la i -esima colonna di Jf (x0). Quindi,

df(x0)(h) =

∂f1∂x1

(x0) ∂f1∂x2

(x0) . . . ∂f1∂xn

(x0)∂f2∂x1

(x0) ∂f2∂x2

(x0) . . . ∂f2∂xn

(x0)...

∂fm∂x1

(x0) ∂fm∂x2

(x0) . . . ∂fm∂xn(x0)

·h1

h2...hn

= Jf (x0) · h

e la matrice Jf (x0) si dice matrice Jacobiana della funzione f nel punto x0 ovvero la matriceJacobiana e la matrice le cui righe sono i gradienti delle componenti della funzione data.

Esempio 1.9

1. f : (a, b)→ R, x0 ∈ (a, b). In questo caso n = m = 1 e quindi Jf (x0) = f ′(x0).

2. f : Ω ⊂ Rn → R, x0 ∈ Ω. In questo caso m = 1 e quindi Jf (x0) =(∂f∂x1

(x0), . . . , ∂f∂xn (x0))

=∇f(x0).

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Appunti di Analisi Matematica II

3. f : (a, b)→ Rm, x0 ∈ (a, b). In questo caso n = 1 e quindi Jf (x0) = T ( f ′1(x0) . . . f ′m(x0) ) .

Se f : Ω ⊂ Rn → Rm, x0 ∈ Ω, e differenziabile in x0 ∈ Ω allora

limh→0

‖f(x0 + h)− f(x0)− Jf (x0) · h‖m‖h‖n

= 0

ovvero

limh→0

f(x0 + h)− f(x0)− Jf (x0) · h‖h‖n

= 0

e questo significa,f(x0 + h) = f(x0) + Jf (x0) · h+ o(‖h‖n), h→ 0.

Ponendo h = x− x0 si trova

f(x) = f(x0) + Jf (x0) · (x− x0) + o(‖x− x0‖n), x→ x0.

Teorema 1.4 Sia g : Ω ⊂ Rn → R

m, f : A ⊂ Rm → R

p e sia g(Ω) ⊂ A ⊂ Rm. Sia infine

x0 ∈ Ω, y0 = f(x0). Allora, se g e differenziabile in x0 ed f e differenziabile in g(x0), la funzioneH : Ω→ R

p definita dalla legge H(x) = f(g(x)), e differenziabile in x0 e si ha JH(x0) = Jf (g(x0)) ·Jg(x0).

Dim. Omessa.

1.2 Differenziali di ordine superiore

Sia f : Ω ⊂ X → Y ,Ω aperto non vuoto, x0 ∈ Ω. Supponiamo f differenziabile in Ω. PoicheL(X,Y ) e normato ci si puo chiedere se la funzione f ′ : Ω ⊂ X → L(X,Y ) che associa a x ∈ Ω ildifferenziale nel punto f ′(x) sia, a sua volta, differenziabile nel punto x0. In tal caso diremo che lafunzione f e due volte differenziabile nel punto x0. Naturalmente si ha: f ′′(x0) ∈ L(X,L(X,Y )).Si ha:

f ′′(x0)(v) ∈ L(X,Y ) ∀v ∈ X

ef ′′(x0)(v)(u) ∈ Y ∀u ∈ X.

Studiamo l’azione del differenziale secondo. Si ha:

f ′′(x0)(v)(u) = limt→0

f ′(x0 + tv)− f ′(x0)t

u = limt→0

f ′(x0 + tv)u− f ′(x0)ut

= limt→0

∂uf(x0 + tv)− ∂uf(x0)t

= ∂v∂uf(x0) =∂2f

∂v∂u(x0)

Ricordiamo il seguente risultato di carattere geometrico.

Teorema 2.1 Siano X1, X2, Y tre spazi normati su un campo K. Allora lo spazio L(X2, L(X1, Y ))

e isometricamente isomorfo allo spazio2

L(X1 ×X2, Y ) delle forme bilineari e continue da X1 ×X2

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G.Di Fazio

in Y.

In virtu di questo risultato possiamo quindi pensare al differenziale secondo come ad una formabilineare continua che associa alla coppia di vettori (u, v) il valore del differenziale f ′′(x0)(v)(u) =∂2f∂v∂u (x0).

Esempio 2.1 Sia f : Ω ⊂ Rn → R, x0 ∈ Ω. In tal caso la forma bilineare e definita in Rn × Rna valori in R e quindi, come e noto dall’algebra lineare, si puo associare a tale forma bilineare lamatrice quadrata di ordine n nella quale l’elemento di posto i, j e il valore della forma sulla coppiadi vettori (ei, ej). In definitiva abbiamo:

f ′′(x0)(ei)(ej) =∂2f

∂ei∂ej(x0) = fxixj (x0).

La matrice individuata si chiama matrice Hessiana della funzione f nel punto x0 e si indica con ilsimbolo Hf(x0).

In generale non c’e alcuna ragione per pensare che la forma bilineare sia simmetrica comemostra il seguente esempio.

Esempio 2.2 Consideriamo la funzione

f(x, y) =

0 (x, y) = (0, 0);

xyx2 − y2

x2 + y2(x, y) 6= (0, 0).

Calcolando le derivate fxy, fyx si vede che fxy(0, 0) 6= fyx(0, 0).

Tuttavia sussiste il seguente

Teorema 2.2 (Schwarz sull’inversione dell’ordine di derivazione) Sia f : Ω ⊂ X → Y,Ω aperto nonvuoto e sia x0 ∈ Ω. Supponiamo che esistono

∂uf(x0), ∂vf(x0), ∂u∂vf(x0), ∂v∂uf(x0)

e che siano continue in x0. Allora

∂u∂vf(x0) = ∂v∂uf(x0).

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Appunti di Analisi Matematica II

Osservazione 2.1 Nel caso in cui f : Ω ⊂ Rn → R e la funzione soddisfa al teorema di Schwarz,la matrice Hessiana risulta simmetrica e quindi induce una forma quadratica, definita ponendo

q(x) = T (x− x0)Hf(x0)(x− x0) ∀x ∈ Rn.

In modo analogo si possono definire i differenziali di ordine superiore al secondo.

1.3 La Formula di Taylor

Teorema 3.1 (Formula di Taylor al primo ordine con resto nella forma di Lagrange) Sia f : Ω ⊂X → R, x0 ∈ Ω. Supponiamo la funzione f differenziabile in Ω. Allora, per ogni x ∈ Ω tale che ilsegmento di estremi x0 e x sia contenuto in Ω esiste ξ ∈ seg]x0, x[ tale che

f(x) = f(x0) + f ′(ξ)(x− x0)

Dim Il segmento di estremi x0, x si puo rappresentare come x(t) = tx + (1 − t)x0, t ∈ [0, 1].Consideriamo la funzione F : [0, 1]→ R definita ponendo F (t) = f(x(t)). Si ha:

F (0) = f(x(0)) = f(x0) F ′(t) = f ′(x(t))(x− x0)

Applicando la formula di Mac Laurin alla funzione F (t), si trova

F (1) = F (0) + F ′(t∗)

ovverof(x) = f(x0) + f ′(x0 + t∗(x− x0))(x− x0) = f(x0) + f ′(ξ)(x− x0).

Teorema 3.2 (Formula di Taylor al primo ordine con resto nella forma di Peano.) Se f ∈ C1(Ω)allora si ha

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) + o(‖x− x0‖)

Teorema 3.3 (Formula di Taylor al secondo ordine con resto nella forma di Lagrange) Sia f : Ω ⊂X → R, x0 ∈ Ω. Supponiamo la funzione f differenziabile due volte in Ω. Allora, per ogni x ∈ Ωtale che il segmento di estremi x0 e x sia contenuto in Ω esiste ξ ∈ seg]x0, x[ tale che

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +12f ′′(ξ)(x− x0)(x− x0)

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G.Di Fazio

Dim Procediamo come nel caso precedente. Si ha:

F (0) = f(x(0)) = f(x0), F ′(t) = f ′(x(t))(x− x0), F ′′(t) = f ′′(x(t))(x− x0)(x− x0).

Applicando la formula di Mac Laurin al secondo ordine alla funzione F (t), si trova

F (1) = F (0) + F ′(0) +12F ′′(t∗)

da cui la tesi.

Teorema 3.4 Se f ∈ C2(Ω) allora si ha

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +12f ′′(x0)(x− x0)(x− x0) + o(‖x− x0‖2)

per ogni x ∈ Ω tale che il segmento di estremi x, x0 sia contenuto in Ω.

Teorema 3.5 (Funzioni con gradiente nullo) Sia Ω un aperto connesso di X e sia f : Ω → R taleche f ′(x) = 0 ∀x ∈ Ω. Allora f e costante in Ω.

Dim Sia x0 ∈ Ω, e siano

Ω1 = x ∈ Ω : f(x) = f(x0) Ω2 = x ∈ Ω : f(x) 6= f(x0)

Ovviamente Ω1 ∪ Ω2 = Ω, Ω1 ∩ Ω2 = ∅ ed inoltre Ω1 6= ∅ perche contiene almeno x0. Se proviamoche Ω1,Ω2 sono entrambi aperti, usando la connessione avremo che Ω2 = ∅ e quindi avremo la tesi.

Ω1 e aperto.

Infatti sia x ∈ Ω1 ⊂ Ω. Allora ∃δ > 0 : B(x, δ) ⊂ Ω ed inoltre ∀x ∈ B(x, δ) ∃ξ ∈ seg(x, x) :f(x) = f(x) + f ′(ξ)(x− x) = f(x) = f(x0) perche x ∈ Ω1 e quindi B(x, δ) ⊂ Ω1.

Ω2 e aperto.

Sia x ∈ Ω2. Allora f(x)−f(x0) 6= 0 e, per il teorema di permanenza del segno, f(x)−f(x0) 6= 0in un intorno di x.

1.4 Funzioni omogenee

Definizione 4.1 Sia C ⊂ X. Diciamo che C e un cono in X se

∀x ∈ C ⇒ λx ∈ C ∀λ > 0.

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Appunti di Analisi Matematica II

Se f : C ⊂ X → Y con C cono di X, diciamo che f e positivamente omegenea di grado α ∈ R se

f(λx) = λαf(x) ∀x ∈ C,∀λ > 0

Esempio 4.1

1) La funzione f(x, y) = arctang |xy|x2+y2 , ∀(x, y) 6= (0, 0) e omogenea di grado zero;

2) La funzione f(x1, . . . , xn) =∑|α|=k ai1...inx

α11 . . . xαnn e un polinomio di grado k ed e omogenea

di grado k.

Teorema 4.1 Sia f : Ω ⊆ X → Y positivamente omogenea di grado α ∈ R nel cono aperto Ω esupponiamo che esista la derivata fu in Ω. Allora fu e positivamente omogenea di grado α − 1 inΩ.

Dim. Sia x ∈ Ω. Si ha:

fu(λx) = limh→0

f(λx+ hu)− f(λx)h

= limh→0

f(λ(x+ hλu))− f(λx)h

=

= limh→0

λα−1 f(x+ hλu)− f(x)hλ

= λα−1fu(x).

Teorema 4.2 (Identita di Eulero) Sia Ω un cono aperto di X e sia f : Ω → R differenziabile inΩ. Condizione necessaria e sufficiente affinche f sia positivamente omogenea di grado α ∈ R e chevalga l’eguaglianza

∇f(x) · x = αf(x) ∀x ∈ Ω.

Dim. Infatti, se f e α−omogenea, f(λx) = λαf(x) da cui, derivando rispetto a λ, si ottiene:

∇f(λx) · x = αλα−1f(x), ∀λ > 0

e, per λ = 1, si ha∇f(x) · x = αf(x).

Viceversa, posto Φ(λ) = λ−αf(λx) si vede che Φ′(λ) = 0, ∀λ > 0 e quindi la funzione Φ(λ) risultacostante, da cui Φ(λ) = Φ(1) = f(x) ∀λ > 0 che e la tesi.

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G.Di Fazio

Osservazione 4.1 In Rn tutte le norme sono equivalenti

Infatti, se N1,N2 sono due norme in Rn il loro rapporto e una funzione omogenea di gradozero. La funzione F (x) ≡ N1(x)

N2(x) e limitata nell’insieme

x ∈ Rn : N2(x) = 1

e quindi - per omogeneita - in Rn \ 0. La funzione F (x) risulta inoltre continua e quindi, postoc1 = minF (x), c2 = maxF (x) segue

c1N2(x) ≤ N1(x) ≤ c2N2(x) ∀x ∈ Rn.

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