Caiet de Lucru La Geometrie
-
Upload
ioana-pasca -
Category
Documents
-
view
68 -
download
15
Transcript of Caiet de Lucru La Geometrie
Profesor Mirela-Gabriela Blaga
Elev..........................................
1
CAIET DE LUCRU LA GEOMETRIE
Fie punctele A ( xA , yA ) , B ( xB , yB ) , C ( xC , yC ) şi D ( xD , yD ) în planul xOy.
Distanţa AB =
Ex.1)Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB.
AB = =
Ecuaţia dreptei determinate de două puncte este AB : = , , .
Dacă , atunci AB: x = xA (dreaptă verticală) ,
iar dacă , atunci AB: y = yA ( dreaptă orizontală) .
Ex.2)Aflaţi ecuaţia dreptei determinată de punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5).
AB : = , AB: 8(x-1) = -3(y+3) , AB: 8x + 3y +1 =0.
Panta dreptei care trece prin punctele A,B, xA xB este mAB = .
Ex.3)Calculaţi panta dreptei AB, unde A( 1, -3) şi B( -2, 5).
mAB = = - .
Ecuaţia dreptei determinată de un punct A şi o pantă m este d: = m .
Ex.4)Să se scrie ecuaţia dreptei determinată de punctul A( -4, -1) şi panta m= 2.
d: = 2 , d: 2x – y + 7 = 0.
Din ecuaţia generală a dreptei d: ax + by + c = 0 , a,b,c , a2 + b
2 > 0
avem panta m = - (b 0).
Ex.5)Aflaţi panta dreptei -4x + 2y -5 = 0 .
m = - = 2.
Ecuaţia dreptei prin tăieturile A( a, 0), B( 0, b), a,b 0 este - 1 = 0.
Ex.6)Calculaţi aria triunghiului format de dreapta 5x – 12y – 60 = 0 cu axele Ox, Oy.
Ecuaţia dreptei prin tăieturi este - - 1 = 0 , atunci A( 12, 0) şi B( 0, - 5).
AABC= = 30.
Profesor Mirela-Gabriela Blaga
Elev..........................................
2
Punctele A, B, C sunt coliniare C AB, adică = .
Ex.7)Verificaţi dacă punctele A( 1, 1), B( -1, 5) şi C( 2, -1) sunt coliniare.
C AB = A, B, C coliniare
Condiţia de paralelism a două drepte d1 d2 m1 = m2
sau d1: a1 x + b1 y + c1 = 0 , d2: a2 x + b2 y + c2 = 0 atunci d1 d2
(d1 coincide cu d2 )
Ex.8)Determinaţi parametrul real m a.î. dreptele -4x + 2y -5 = 0 , (m – 1)x + y + 20 = 0 să
fie paralele.
d1 d2 m1 = m2 - = - 2 = - m + 1 m = -1 ,
sau d1 d2 = 2(m – 1) = -4 m = -1 .
Condiţia de perpendicularitate a două drepte d1 d2 m1 m2 = -1
sau d1: a1 x + b1 y + c1 = 0 , d2: a2 x + b2 y + c2 = 0 atunci d1 d2 a1a2 + b1b2 = 0
Ex.9) Determinaţi parametrul real m a.î. dreptele -4x + 2y -5 = 0 , (m – 1)x + y + 20 = 0 să fie
perpendiculare.
d1 d2 m1 m2 = -1 (- )( - ) = -1 2( - m + 1) = -1 m = ,
sau d1 d2 -4(m – 1) + 2 = 0 m = .
m1 = tg , [ 0 se numeşte coeficientul unghiular al dreptei
sau panta dreptei d1
Ex.10)Să se scrie ecuaţia dreptei care trece prin A( 2, -3) şi face cu Ox un unghi de 60 .
d: y + 3 = m( x – 2)
m = tg60 =
d: x – y - 2 - 3 = 0 .
Unghiul dreptei d2 cu dreapta d1 este tg = tg( ) = = .
Ex.11)Să se calculeze unghiul format de dreptele 2x + y – 3 = 0, - x + y + 15 = 0.
m1= - 2, m2= 1
tg = tg = = 3.
M mijlocul xM = , yM =
Ex.12)Aflaţi coordonatele mijlocului segmentului AB , unde A( 1, -3) şi B( -2, 5).
M mijloc xM = , yM = xM = , yM = xM = - , yM =
deci M(- , 1)
Distanţa de la punctul A (x0 , y0) la dreapta d: ax + by + c = 0 este d(A,d) = .
Ex.13)Calculaţi distanţa de la punctul A( 2, 3) la dreapta -4x + 2y -5 = 0 .
d(A,d) = = =
Profesor Mirela-Gabriela Blaga
Elev..........................................
3
Centrul de greutate G al triunghiului ABC xG = , yG =
Ex.14)Fie punctele A ( 1, -3) , B ( -2, 5 ) şi C ( -4, -1) în planul xOy. Determinaţi
coordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC.
xG = , yG = xG = , yG = xG = , yG = ,
G( , )
ABCD paralelogram = , =
Ex.15)Determinaţi coordonatele punctului D a.î. ABCD paralelogram, unde A ( 1, -3) , B ( -2, 5 )
şi C ( -4, -1).
ABCD paralelogram 1 – 4 = -2 + , -3 – 1 = 5 + = - 1, = - 9 , D( - 1, - 9)
APLICAŢII
1)Să se scrie ecuaţia dreptei MN, M( 4, 2) şi N( - 2, 6).
R. MN: 2x + 3y -14 = 0
2)Să se calculeze perimetrul triunghiului ABC, A( 0, 2), B( 5, - 1) şi C( 7, 4).
PABC= AB + BC + CA
AB =
R. PABC= + +
3)Să se scrie ecuaţia dreptei care trece prin punctul A( 3, 2) şi este paralelă cu dreapta de ecuaţie
d’:2x - 3y + 8 =0.
d: = m
m = m’= - = - =
R. d: 2x – 3y = 0
Profesor Mirela-Gabriela Blaga
Elev..........................................
4
4)Să se determine coordonatele punctului D a.î. ACBD paralelogram A(3,2),B( - 4,0) şi C(8, - 5).
R. D( -9, 7)
5)Să se calculeze lungimea înălţimii duse din A în triunghiul ABC, A( 3, 2),B( - 4, 0) şi C( 8, - 5).
Ecuaţia dreptei BC este
Distanţa de la A la BC este d( A, BC) = .
R. d( A, BC) =
6)Să se determine simetricul punctului A( 3, -2) faţă de punctul B( -4, 1).
A....B....C
xB = , yB =
R.C( -11, 4)
7)Se consideră dreapta variabilă : x + 2y – ( 3x – 4y + 1) = 0. Să se determine a.î.
a) d: - x + 2y + 3 = 0,
b) d: 2x + y – 15 = 0,
c) punctul A( 2, 1) .
a)d:( 1 - 3 )x + ( 2 + 4 )y - = 0
d = 2 ,
Profesor Mirela-Gabriela Blaga
Elev..........................................
5
b) d a1a2 + b1b2 = 0 2( 1 - 3 ) + 2 + 4 = 0 = 2 ,
c) A( 2, 1) ( 1 - 3 ) 2+ ( 2 + 4 ) 1- = 0 = .
8)Fie punctele A( 2, 4), B( - 4, - 2), C( 6,- 4). Să se afle:
a)ecuaţia dreptei BC,
b)ecuaţia înălţimii duse din A,
c)lungimea înălţimii duse din A,
d)ecuaţia mediatoarei segmentului [AC],
e)ecuaţia medianei duse din B,
f)ecuaţia dreptei care trece prin B şi e paralelă cu AC,
g)coordonatele centrului de greutate al ABC,
h)coordonatele ortocentrului ABC,
i)coordonatele punctului D a.î. ABCD paralelogram,
j)măsura unghiului A,
k)ecuaţia bisectoarei unghiului A
a)BC: =
R.BC: x + 5y + 14 = 0
b) ecuaţia înălţimii duse din A
A h h: = m
h BC mmBC = - 1 m = 5
R.h: 5x – y -6 = 0
Profesor Mirela-Gabriela Blaga
Elev..........................................
6
c) lungimea înălţimii duse din A
d(A,BC) =
R. d(A,BC) =
d) ecuaţia mediatoarei segmentului [AC]
M mijlocul [AC] ....... M( 4, 0)
M d d: = m
d AC mmAC = - 1 m =...
mAC = =
R.d: x – 2y – 4 = 0
e)ecuaţia medianei duse din B
BM:
R.BM: x – 4y -4 = 0
Profesor Mirela-Gabriela Blaga
Elev..........................................
7
f) ecuaţia dreptei care trece prin B şi e paralelă cu AC
B a a: = m
a AC m = mAC = - 2
R.a: 2x + y + 10 = 0
g)coordonatele centrului de greutate al ABC
R.G( , - )
h)coordonatele ortocentrului ABC
i) coordonatele punctului D a.î. ABCD paralelogram
R.D( 12, 2)
j)măsura unghiului A
tgA =
R.tgA = 3
Profesor Mirela-Gabriela Blaga
Elev..........................................
8
k)ecuaţia bisectoarei unghiului A
Bisectoarea este locul geometric a punctelor egal depărtate de laturile unghiului...
P(x0,y0) b
d(P,AB) = d(P,AC) ...
AB:
AC:
=
9)Să se calculeze distanţa dintre dreptele d1: - 3x + y – 5 = 0 şi d2: 6x – 2y - 10 = 0.
m1 = m2 d1 d2
Considerăm un punct pe d1, astfel x = 1 - 3 + y – 5 = 0 y = ... A( 1 , ) d1 şi calculăm
d( A , d2 ) = ...
R. d( A , d2 ) =
10)Să se determine a a.î. dreptele de ecuaţii d1: - 3x + y – 5 = 0 , d2: 4x – y + 4 = 0 şi
d3: ax – 2y + 21 = 0 să fie concurente.
d1 d2 = A( , ) prin rezolvarea sistemului...
d1 d2 d3 = A( , ) A d3 ....
R. a = - 5