第5回

第3章：乱流とそのモデリング(4) [3.7～3.7.1、p.69～75]

「数値流体力学」輪講

1

日時：2014年1月18日、14:00～ 場所：日本ESI@新宿

オープンCAE勉強会@関東

2013/01/18 「数値流体力学」輪講 第5回

「数値流体力学」輪講に関して

2013/01/18 2 「数値流体力学」輪講 第5回

目的

数値流体力学の知識(特に理論ベース)を深め、 OpenFOAMの利用に役立てること。

本輪講で学ぶもの

数値流体力学の理論や計算手法の概要。

書籍

2013/01/18 3 「数値流体力学」輪講 第5回

数値流体力学【第2版】

原著： H. K. Versteeg & W. Malalasekera

共訳： 松下洋介、斎藤泰洋 青木秀之、三浦隆利

出版社： 森北出版株式会社

出版年月： 2011年7月

価格： 9975円

ページ数： 544ページ

← 高い・・・

← 量が多い・・・

有限体積法を説明した書籍(和書)の 中では、最も丁寧に記述されている。

※

本日

2013/01/18 4 「数値流体力学」輪講 第5回

日程 パート部分 ページ

2014.01 第3章：乱流とそのモデリング 担当セクション：3.7～3.7.1

p.69～75

内容

2013/01/18 5 「数値流体力学」輪講 第5回

レイノルズ平均ナビエ-ストークス方程式(RANS)と 古典的な乱流モデル

・

・・・ 3.7 (p.69～75)

乱流モデル

2013/01/18 6 「数値流体力学」輪講 第5回

0div U

)div(1

)div(grad1

)div( uU

uU

x

PU

t

U

)div(1

)div(grad1

)div( uU

vV

y

PV

t

V

)div(1

)div(grad1

)div(W uU

wW

z

P

t

W

レイノルズ平均 ナビエ-ストークス 方程式(RANS)

連続の式： レイノルズ応力

方程式の数 : 4

変数の数 : 10 (平均速度3、圧力、レイノルズ応力6)

レイノルズ応力は別に予測

方程式の数 : 4

変数の数 : 4 (平均速度3、圧力)

方程式は解けない

方程式は解ける 乱流モデル

乱流モデルの種類

2013/01/18 7 「数値流体力学」輪講 第5回

乱流モデルで解くべき方程式の数 名前

0 混合長モデル

1 Spalart-Allmarasモデル

2 k-εモデル K-ωモデル

代数応力モデル

7 レイノルズ応力モデル

渦粘性近似

2013/01/18 8 「数値流体力学」輪講 第5回

ブシネスク(Boussinesq)は、ニュートンの粘性則の類推 より、レイノルズ応力を次のように表現した。

ij

i

j

j

itjiij k

x

U

x

Uuu

3

2

渦粘性係数 乱流運動エネルギー wwvvuuuuk ii

2

1

2

1

これを渦粘性近似(乱流粘性近似)と呼ぶ。

渦粘性近似では、渦粘性係数や乱流運動エネルギー の予測が必須。

乱流拡散

2013/01/18 9 「数値流体力学」輪講 第5回

運動量の乱流輸送 ⇒ 平均速度勾配に比例すると仮定

これを乱流勾配拡散近似と呼ぶ。

スカラー変数の乱流輸送 ⇒ 輸送される変数の平均値の勾配に比例すると仮定

i

tix

u

乱流拡散係数

乱流拡散係数は渦粘性係数に比例する形式で 与えることが多い。

混合長モデル①

2013/01/18 10 「数値流体力学」輪講 第5回

渦動粘性係数

t

t

渦動粘性係数は次元解析より次のように与える。

lct c：任意定数 ：乱流の速度スケール

l：乱流の長さスケール

混合長モデル②

2013/01/18 11 「数値流体力学」輪講 第5回

y

u 0

dy

udlu

dy

udlu

u

ly

y

ly

右図より、y+lおよびy-lの流速を テイラー展開を用いて示す。

2

22

2 dy

udl

dy

udluu uuly

2

22

2 dy

udl

dy

udluu uuly

y+l層の流体塊がy層に到達した場合、およびy-lの流体塊が

y層に到達した場合、x方向の速度変動は次のように表される。

dy

udluuu ulyly '

dy

udluuu ulyly '

平均速度分布が2次元的な流れ場において・・・

混合長モデル③

2013/01/18 12 「数値流体力学」輪講 第5回

y

u 0

dy

udlu

dy

udlu

u

ly

y

ly

dy

duluuu ulyly ''

2

1'

'' vu また、 とすると、

dy

dulv v'

'''' vuvu とすると、

2

2''

dy

dulvu vulll ：uv相関係数

混合長モデル④

2013/01/18 13 「数値流体力学」輪講 第5回

y

u 0

dy

udlu

dy

udlu

u

ly

y

ly

2

2''

dy

dulvu

これをもとにレイノルズ応力の

渦粘性モデルを作ってみる。

dy

du

dy

du

dy

dulvu tt 2''

dy

dult

2

プラントル(Prandtl)の混合距離の仮説

l： 混合距離

混合長モデル⑤

2013/01/18 14 「数値流体力学」輪講 第5回

y

u 0

dy

udlu

dy

udlu

u

ly

y

ly

壁面近くの混合距離

⇒壁面に束縛され、混合距離lは

壁面からの距離yに比例すると考えられる。

dy

du

dy

duyvut

22''

yl

はカルマン定数といい、 =0.41で与えることが多い。

２次元乱流流れに対する混合長

2013/01/18 15 「数値流体力学」輪講 第5回

乱流における円管内の速度分布①

2013/01/18 16 「数値流体力学」輪講 第5回

壁面近傍におけるプラントルの混合距離理論より、 2

22

0

dy

duy

ただし、du/dy>0は正なので、絶対値符号を除去している。

y

u

dy

du

0u u：摩擦速度

上式を積分すると、

Cyu

u ln

1

C：積分定数

乱流における円管内の速度分布②

2013/01/18 17 「数値流体力学」輪講 第5回

壁面近傍の流れ 、、0およびyに支配

0uまた、

壁面近傍の流れ 、uおよびyに支配

換言すると

これら支配量、u、y)から作られる無次元長さをy+とすると、

yu

y

壁面近くの速度分布はレイノルズ数に無関係

壁面近くの流速分布は、

)( yfu

u

(プラントルの)壁法則

乱流における円管内の速度分布③

2013/01/18 18 「数値流体力学」輪講 第5回

C：積分定数 Cyu

u ln

1

壁法則が成立することを考え、レイノルズ数に依存しない普遍的な式を作る。

Ayu

u ln

1

A：普遍定数

また、実験結果より=0.4、A=5.5になる。

5.5ln5.2 yu

u

yu

y

対数分布則

乱流における円管内の速度分布④

2013/01/18 19 「数値流体力学」輪講 第5回

u

0

y

y+=0 粘性底層

バッファー層 y+=U+

乱流域

対数則域

管の中心

※ 右図：Wikipediaより

混合長モデルの評価

2013/01/18 20 「数値流体力学」輪講 第5回

次回

2013/01/18 21 「数値流体力学」輪講 第5回

日程 パート部分 ページ

2014.02 第3章：乱流とそのモデリング 担当セクション：3.7.2

p.76～83

次回引き続き、私が輪講を担当します。