CADERNOS DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS · espaço sob excitação qualquer variável com o tempo...

ISSN 1413-9928 (versão impressa)

CADERNOS DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS Universidade de São Paulo Escola de Engenharia de São Carlos Departamento de Engenharia de Estruturas

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Uma família de algoritmos hermitianos para a integração direta das equações de dinâmica das estruturas

Heitor Miranda Bottura José Elias Laier

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Número 14

São Carlos, 1999

UMA FAMÍLIA DE ALGORITMOS HERMITIANOS PARA A INTEGRAÇÃO

DIRETA DAS EQUAÇÕES DE DINÂMICA DAS ESTRUTURAS

Heitor Miranda Bottura1 & José Elias Laier2

RESUMO

Apresenta-se aqui uma família de algoritmos de passo simples, com ordem de precisão local qualquer e aniquilamento assintótico para a análise dinâmica de estruturas. São utilizadas expressões hermitianas para as relações em diferenças envolvidas na representação das equações que descrevem o problema. Explicitam-se os membros da família, com precisão desde a primeira até a oitava ordem, que apresentam estabilidade incondicional, efetuando-se sua análise espectral. Um exemplo com dois graus de liberdade é resolvido, com o objetivo de mostrar o efeito do aniquilamento assintótico sobre a representação do movimento. 1. INTRODUÇÃO A solução do problema de análise dinâmica de estruturas semidiscretizadas no espaço sob excitação qualquer variável com o tempo passa pela solução numérica de um sistema de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem, que expressa as condições de equilíbrio segundo o sistema de coordenadas utilizado. A solução analítica fechada de tais equações é um caminho que logo se esgota, por limitar bastante a natureza da solicitação. Outras formas de abordar o problema são em geral necessárias. Algumas delas, como o emprego das transformadas de Fourier e da integral de Duhamel também não são suficientemente flexíveis, ou demandam trabalho numérico excessivo, para satisfazer o analista na maioria dos casos, a exemplo dos problemas não-lineares. A solução mais geral é a que substitui as relações diferenciais do problema por expressões finitas, gerando um sistema de equações lineares simultâneas onde os dados de entrada configuram o movimento em instantes já determinados e as incógnitas são representadas pelo deslocamento e suas derivadas num instante posterior, por determinar. Dada a diversidade de solicitações de interesse na análise estrutural, dificilmente se chegará a um método ideal para um caso genérico, sendo conveniente estudar-se o maior número possível de suas características, para melhor definir sua viabilidade e possibilidades de emprego. O primeiro grupo, ou família de métodos, a merecer destaque é o dos processos derivados da aplicação de expressões em diferenças: especificamente a utilização de expressões em diferenças finitas centrais e o método apresentado por HOUBOLT

1 Prof. Assistente do Departamento de Engenharia Civil, UNESP, Bauru. E-mail:

[email protected] 2 Prof. Titular do Departamento de Engenharia de Estruturas, EESC-USP. E-mail: [email protected]

H.M. Bottura & J.E. Laier

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n.14, p. 1-27, 1999

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(1950), uma bem conhecida variante dessa família. HULBERT (1991) apresenta uma generalização deste último, que é aperfeiçoada por HULBERT (1994) e HULBERT & CHUNG (1994b). Sua importância maior é a de esgotar as possibilidades dos métodos de passo simples de ordens inferiores, assim entendidos os que apresentam erro local de até segunda ordem. O processo de NEWMARK (1959) introduz a idéia de parâmetros livres cuja variação acarreta modificações nos coeficientes das expressões que permitem intensificar características consideradas de utilidade. A idéia é retomada por WILSON (1968) com o seu método Wilson-θ. Posteriormente , outros autores apresentaram processos com parâmetros livres, como BRUSA & NIGRO (1980), WOOD, BOSSAK & ZIENKIEWICZ (1980), BAZZI & ANDERHEGGEN (1982) com o que denominaram família ρ e KATONA & ZIENKIEWICZ (1985), com o seu método Beta-m. Uma alternativa à de escrever expressões em diferenças é a formulação por resíduos ponderados, introduzida por ZIENKIEWICZ (1977), que discretiza o domínio do tempo similarmente à forma utilizada para o tratamento de domínios elásticos no espaço por elementos finitos. Este caminho tem seqüência em ZIENKIEWICZ, WOOD & TAYLOR (1980) e HOFF & PAHL (1988) entre outros. O uso de mínimos quadrados é outra abordagem que se prestou à montagem de algoritmos, como no caso da família de KUJAWSKI & GALLAGHER (1989) . O tratamento simultâneo do domínio espaço-tempo por elementos finitos é a proposta de HUGHES & HULBERT (1988) e este caminho é retomado por HULBERT (1992 e 1994), aproveitando o método descontínuo de Galerkin (TDG). A apresentação da formulação hermitiana aplicada à solução de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem é descrita em COLLATZ (1968) e está presente nas análises efetuadas nos trabalhos de MAKINSON (1968) e NØRSETT (1973). Posteriormente, expressões hermitianas de primeira e terceira ordem são utilizadas por ARGYRIS, VAZ & WILLAM (1977) na solução de problemas de escoamento viscoso e de viscoelasticidade, viscoplasticidade e difusão transiente. Uma extensão da técnica à equação de equilíbrio dinâmico já é feita por ARGYRIS & al. (1973), e essa idéia é retomada posteriormente por ARGYRIS & al (1979), inclusive com a presença do aniquilamento assintótico. Em 1991, ARGYRIS & MLEJNEK voltam ao tema, agora sem obter dissipação numérica. Um algoritmo hermitiano cúbico é gerado por LAIER (1993), com parâmetros livres de ajuste, e pode ser comparado favoravelmente ao de KUJAWSKI & GALLAGHER (1989). Podem-se citar ainda os estudos publicados por LAIER (1995). 2. OBJETIVOS O objetivo do presente trabalho é a obtenção de algoritmos para a integração numérica da equação diferencial de equilíbrio, empregada na representação do movimento de estruturas sob solicitações dependentes do tempo. Partiu-se da formulação hermitiana para as expressões em diferenças, a serem utilizadas no lugar das relações diferenciais presentes no problema. Estabeleceram-se requisitos a serem atendidos pelos métodos resultantes, com vistas a que fossem competitivos comparativamente aos já existentes. A ordem de precisão local deveria ser maior do que dois, de modo a configurar o que a literatura chama de “método de ordem superior”, uma vez que a bibiliografia


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citada na introdução deste trabalho aponta para o esgotamento dos métodos de ordens um e dois, também chamados de métodos de ordens inferiores. Propriedades tradicionalmente reputadas como importantes para o comportamento do algoritmo deveriam estar presentes. Consideraram-se nessa relação a consistência, convergência e estabilidade, essa última com ênfase nos casos em que independe do tamanho do passo adotado para o estudo do movimento, isto é, quando é incondicional. Dado que é importante que um algoritmo se preste à análise nãolinear, métodos multipassos foram descartados, intentando-se chegar apenas a processos de passo simples. O aniquilamento assintótico, que permite filtrar os modos superiores aos correspondentes a uma certa “freqüência de corte”, eliminando sua influência, foi outra exigência fixada. Não se estabeleceu a necessidade da presença de parâmetros livres de ajuste, por vezes utilizados para dosar ou fazer aparecer características desejadas nos algoritmos. A forma escolhida de estudar-se as propriedades dos métodos resultantes foi, como tradicionalmente feito na literatura, a análise espectral efetuada na aplicação a sistemas com um único grau de liberdade, sob vibrações livres sem amortecimento. Um exemplo de sistema com mais de um grau de liberdade deveria ser apresentado, a fim de destacar a ação do aniquilamento assintótico. 3. A EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO Uma estrutura cuja descrição do movimento exija o conhecimento do deslocamento em mais de uma coordenada de um sistema qualquer escolhido diz-se de múltiplos graus de liberdade, e a equação matricial de equilíbrio segundo essas coordenadas tem a forma:

[ ] [ ] [ ] ( ) tPxMxCxK =

+

+

•••

(1)

onde x é o vetor dos deslocamentos nas coordenadas adotadas, um ponto indica uma derivação com relação ao tempo e dois pontos indicam a segunda derivada de x, isto é, a aceleração. A matriz de massa é escrita [M], o amortecimento é representado por [C] e o vetor das solicitações, por P(t). A matriz de rigidez [K] do sistema é aqui assumida constante. Embora se vislumbre a aplicação dos métodos obtidos à solução de problemas nãolineares, para se chegar a conclusões definitivas numa análise espectral trata-se aqui, numa primeira abordagem, do caso linear, como é tradicional. A solução de (1) fornece os deslocamentos no sistema de coordenadas escolhido, arranjados no vetor x para o instante considerado, de modo que se tenha xT = x1, x2, ..xn. O índice n corresponde aqui portanto ao número de graus de liberdade do sistema. Ao se estudarem as propriedades de um algoritmo de integração, é vantajoso considerar sistemas com um único grau de liberdade (SDOF) e a literatura discute a validade da extrapolação das conclusões obtidas sobre o método. Para associar simplicidade de tratamento matemático e generalidade às conclusões, aborda-se inicialmente o caso de vibrações livres. Assim, (1) passa a escrever-se:



4

0xmxckx =++•••

(2) na nomenclatura descrita anteriormente. É ainda usual estabelecerem-se as relações:

c

ncn cc= ; m2c ;

mk

γω==ω

de modo que agora o equilíbrio se escreva na forma:

0xx2x 2nn =ω+γω+

•••

(3) mais sintética, onde ωn representa a freqüência natural de vibração do movimento, cc é o amortecimento crítico e γ é a chamada taxa de amortecimento do movimento. A expressão geral de (3), segundo a representação utilizada por COLLATZ (1968), é:

0x,x,x,tF =

•••

(4)

válida para qualquer t pertencente ao domínio de F. Assim, tomado um ti, de deslocamento e derivadas conhecidas, como referência, o equilíbrio para um instante ∆t à sua frente, isto é, distante de um passo, pode ser escrito então:

0x,x,x,tF 1i1i1i =

∆ +

••

+

•

+ (5)

ou, alternativamente:

∆= +

••

+

•

+ 1i1i1i x,x,tfx (6)

expressão que relaciona as três incógnitas de interesse para avançar no movimento. 4. ALGORITMOS DE INTEGRAÇÃO As derivadas em (6) podem ser substituídas por relações finitas envolvendo valores já determinados que indiquem a tendência do movimento, e que tenham geralmente aspecto:

( )1r

g1i1i1iiii1i1i1i 1tR,...x,x,x,x,x,x,x,x,tgx +−

••

−

•

−

•••

+

••

++

•

∆+

∆=

(7)

( )1r

h1i1i1iiii1i1i1i 2tR+,...x,x,x,x,x,x,x,x,thx +−

••

−

•

−

•••

+

•

++

••

∆

∆=

(8)



5

onde a escolha das expressões que combinam os termos conhecidos para a obtenção dos deslocamentos e derivadas incógnitos define o método empregado. Pode-se mostrar que é sempre possível escrever (7) e (8) de ordem de aproximação r não-negativa, isto é, tais expressões finitas diferem das derivadas que representam por um polinômio em ∆t de coeficientes não-nulos apenas para expoentes superiores a r, onde r1 e r2 são as ordens de aproximação das representações respectivamente de velocidade e aceleração. O conjunto de (6), (7) e (8), omitidos os resíduos, reproduz um sistema de

equações lineares nas incógnitas 1i1i1i x,x,x +

••

+

•

+ cuja solução permite avançar um passo no tempo. Conforme o arranjo das relações e seus coeficientes, é possível resolver o sistema sem a inversão de matrizes, isto é, não se trata de um sistema simultâneo de equações; basta uma multiplicação de matrizes para resolvê-lo sem necessidade de inverter nenhuma delas. O ganho computacional é evidente e o método direto é chamado de explícito. Métodos em que isso não é possível são chamados de implícitos e essa diferenciação tem conseqüências práticas nas características resultantes no processo. O método explícito mais tradicional é o das diferenças centradas e o atrativo da eficiência computacional nos processos dessa natureza, principalmente nos problemas com não-linearidades, tem estimulado a busca de novos algoritmos dessa classe, como atestam os trabalhos de CHUNG (1994) e HULBERT & CHUNG (1994b) e PEZESHK (1995) entre outros, bem como a apresentação de versões "explícitas" que certos algoritmos permitem quando se atendem certas condições, como é feito em BAZZI & ANDERHEGGEN (1982). A maior desvantagem desses algoritmos é a impossibilidade de apresentarem estabilidade incondicional como KRIEG (1973) mostra, exigindo controle do tamanho do passo para evitar a deterioração da resposta. Quando é suficiente utilizar informações relativas apenas ao passo anterior, o algoritmo resultante é dito de passo simples; caso contrário, trata-se de um procedimento de passo múltiplo. O fato de ser imediata a alteração do passo nos algoritmos de passo simples é uma vantagem importante e a solução de problemas não-lineares praticamente exige métodos dessa natureza. Para requintar os conhecimentos sobre o problema podem-se utilizar relações que envolvam derivadas superiores. Para a explicitação das novas incógnitas em ti+1, torna-se necessário levantar a indeterminação gerada, o que pode ser feito derivando-se (6) com relação ao tempo tantas vezes quantas preciso, pois as expressões resultantes são independentes. Assim, o sistema de equações é complementado com as relações:

( )

( ) ( )

∆==

∆==

+

••

+++

••

+

•

++

••

+

•

1i41i

31i2

2

1i

1i3

1i1i1i

p,x,x,tfdt

fdx

p,x,x,tfdtdfx

(9) e assim por diante. Evidentemente, há que pensar também numa representação finita para as derivadas da excitação nos movimentos forçados. A obtenção das informações no instante ti utiliza o mesmo caminho, isto é, derivações sucessivas da equação do equilíbrio, com a mesma observação. Tais algoritmos cobram um preço pela possibilidade de obtenção de melhores resultados; para estruturas com n deslocamentos generalizados incógnitos, ou graus de



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liberdade resultantes da semidiscretização, geram sistemas de ordem 2n de equações lineares, o dobro comparativamente aos processos que envolvem derivadas até segunda ordem apenas. Os métodos assim descritos são chamados "de ordens superiores" e sua utilização foi inicialmente preterida até que a aplicação de técnicas especiais de solução de sistemas aumentaram sua competitividade. 5. CARACTERÍSTICAS DE ALGORITMOS DE INTEGRAÇÃO 5.1. Auto-iniciação Há processos cuja aplicação não é possível desde o início do movimento, isto é, não bastam as condições iniciais e a escolha de um passo para a obtenção do deslocamento e derivadas no instante t1 diretamente a partir da utilização das relações que constituem o método. É o caso dos algoritmos multipassos, como se pode observar nas equações (7) e (8), tomando-se nelas i = 0. Nesses casos, para viabilizar a implementação do processo, aplica-se um procedimento de partida, para tantos instantes iniciais quantos necessários para a completa montagem das relações que caracterizam o algoritmo, de modo que as propriedades resultantes da solução numérica podem estar contaminadas por esse procedimento. 5.2. Estabilidade O conceito de estabilidade numérica que interessa utilizar é aquele associado à garantia de que as aproximações para os deslocamentos e suas derivadas produzidas pelo método não cresçam indefinidamente, para o tempo tendendo ao infinito. Seja um algoritmo definido por um conjunto de relações como (6), (7) e (8), omitindo-se o resíduo e rearranjado para assumir o aspecto seguinte:

[ ] [ ]

∆

∆−=

∆

∆••

•

+

••+

•+

i2

i

i

1i2

1i

1i

xtxt

x

Nxtxt

x

M

(10) ou, fazendo: - [M]-1[N] = [A] e representando mais sinteticamente: [ ] i1i xAx =+ (11) onde se indica a obtenção do deslocamento e suas derivadas no instante ti+1 como resultado de uma transformação aplicada aos respectivos valores no instante ti. Tomado o instante ti+n, (11) é escrita:

[ ] inni xAx =+ (12)

onde se observa, fazendo n crescer indefinidamente, que a estabilidade é governada pelo comportamento da chamada matriz [A] de amplificação do método.



7

Quanto à possível influência das condições iniciais na estabilidade, a dúvida é dirimida a partir da observação da relação (11) escrita para i = 0. De fato, para qualquer x0 tal propriedade apresenta-se dependente apenas da matriz [A]. Seja a decomposição espectral de [A], dada por:

[ ] [ ][ ] [ ] 1nn PPA −Λ= onde [P] é a matriz dos autovetores ortonormalizados e [Λ], uma matriz diagonal contendo os autovalores λi, i=1,2,...m de [A]. Seja ρ(A) o raio espectral de [A], cuja definição é dada pela expressão:

( ) m,...2,1i,máxA i =λ=ρ (13) Então, de acordo com BATHE (1976), [Λ]n é limitado para n tendendo ao infinito se, e somente se, for atendida a condição: ( ) 0,1A ≤ρ (14) que define o critério de estabilidade empregado para classificar os algoritmos. Quando, para atender (14) é necessário tomar um passo menor do que um certo valor, o processo é dito condicionalmente estável. Passos maiores têm, como conseqüência, menor esforço computacional. É comum a utilização de intervalos maiores que os necessários para garantir estabilidade nos modos superiores dos algoritmos condicionalmente estáveis. É, portanto, interessante dispor-se de estabilidade incondicional. 5.3. Consistência e precisão Seja um algoritmo, que possa ser representado na forma:

[ ] ( ) 2rii1i tRxAx +

+ ∆+= (15) onde r+2, correspondente à ordem de precisão nos deslocamentos, é o menor expoente de ∆t no vetor Ri dos resíduos. Segundo HILBER & HUGHES (1978), consistência é a propriedade apresentada pelos métodos em que r é positivo. 5.4. Convergência Se quanto menor o passo, mais próxima estiver a resposta obtida do valor correto, o algoritmo é chamado de convergente, como definem BAZZI & ANDERHEGGEN (1982). Invocando o teorema de Lax-Richtmayer, HILBER* apud autores acima afirma

* HILBER, H. M. Analysis and design of numerical integration methods in structural dynamics. Report

n. EERC 76-29, Berkeley, Earthquake Engineering Research Center, University of California, 1976 apud BAZZI, G. ; ANDERHEGGEN, E. The ro-family of algorithms for time-step integration with improved numerical dissipation. Earthqu. Eng. Struct. Dyn., v. 10, p. 537-550, 1982.



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que algoritmos consistentes e estáveis no limite para o passo tendendo a zero são convergentes. Essas condições acima enunciadas podem ser expressas por meio do par de desigualdades:

( )

>≤ρ→∆ω

0r 0,1Alim 0t

(16) e são suficientes inclusive para vibrações forçadas, desde que a excitação p(t) seja uma função analítica, quando o teorema de existência para equações a coeficientes analíticos garante a convergência da solução de (3) em séries de potências. 5.5. Aniquilamento O erro resultante das operações numéricas efetuadas na solução dos modos superiores de um movimento tende a ser maior do que o presente nos primeiros modos. Ademais, sua parcela contribuinte na representação do deslocamento e suas derivadas é, em geral, pouco significativo, embora isto possa não ser verdadeiro nos problemas envolvendo impacto. Visando anular a influência desses modos superiores, alguns algoritmos introduzem uma dissipação numérica seletiva, que os atinge após os instantes iniciais. Essa propriedade estará presente nos métodos que respeitarem o limite dado por:

( ) 0Alim t =ρ∞→∆ω (17) e pode ser vista como a inclusão de um amortecimento numérico encarregado de aniquilar os modos superiores. 5.6. Overshoot Alguns algoritmos estáveis superestimam os deslocamentos (e/ou derivadas) nos instantes iniciais do movimento. A explicação para isso é que o comportamento nos primeiros instantes é governado não pelo raio espectral mas pela norma da matriz de amplificação do algoritmo. A primeira observação dessa propriedade indesejável foi feita por GOUDREAU & TAYLOR (1972) ao analisar o algoritmo WILSON-θ. Foi-lhe dada a denominação de "overshoot", numa referência a seu efeito direto de superestimar os primeiros deslocamentos e suas derivadas.



9

5.7. Erro global e erro local Fazendo-se referência apenas aos erros de discretização ou trucamento, o erro global cometido no deslocamento é dado pela diferença entre o valor fornecido pelo método empregado e o deslocamento teórico exato. Via de regra, não é possível o cálculo do valor acima pelo desconhecimento deste último.

Tomem-se os valores iii x,x,x•••

do deslocamento e derivadas aproximados fornecidos pelo método para ti, como condições iniciais de um movimento, e represente-se por xi+1 a solução exata correspondente para o instante ti+1. A expressão para o erro local escreve-se neste caso:

( ) 1i1i1i xxxE +++ −=l (18) isto é, decorre do avanço em um simples passo do movimento. Seu valor tampouco pode ser calculado no caso geral, porém sua ordem é definida pela ordem de precisão r do algoritmo utilizado. Uma diferença importante entre os dois conceitos enunciados pode ser entendida com o exemplo de um método que apresente pequeno erro local, porém sistemático, como um acréscimo no valor de uma grandeza a cada passo. O acúmulo desse pequeno erro local resultará, após um certo número de passos, num erro global considerável. Infelizmente, o mais difícil de ser avaliado ou estimado é justamente o erro global; a previsão da qualidade do resultado obtido é feita lançando-se mão de extrapolações de análises de movimentos teoricamente conhecidos ou da influência da ordem do erro local sobre o erro global. Para os métodos de passo simples, se o erro local é de ordem r+1, HAIRER & WANNER* mostram que o erro global é uma combinação deste mais os erros de transporte, e é de ordem r. 5.8. Dissipação e dispersão Apesar das dificuldades enunciadas de medir os erros de discretização há valores tradicionalmente referidos pela bibliografia para comparar algoritmos de integração. Tomam-se geralmente vibrações livres e nãoamortecidas, para condições iniciais correspondentes a um deslocamento da posição de repouso x(t=0) = x0, sem velocidade inicial. Este movimento tem como vantagens principais ser periódico, facilitando a medida de erros numéricos nas freqüências ou períodos resultantes, além de ter amplitude teórica constante, sendo portanto imediata a quantificação do erro no seu cálculo. Além disso a ausência de excitação evita associar-se conclusões à natureza da solicitação. A equação característica de (10), associada a este movimento, tem o aspecto: [ ] [ ]( ) 0IAdet =λ−− (19) cujos coeficientes reais são os invariantes da matriz de amplificação. A possibilidade de serem todas reais pode ser verificada a partir do critério de Routh-Hurwitz, citado em * HAIRER, E.; NØRSETT, S. P. ; WANNER, G. Solving ordinary differential equations 1: Nonstiff

problems. Berlin, Springer, 1987.



10

KRIEG (1973). É de se esperar que as condições necessárias não sejam atendidas, dadas as características do movimento que representa de acordo com as hipóteses assumidas. Resta, portanto, a possibilidade de um par de raízes complexas conjugadas λ1 e λ2, e uma terceira raíz real, λ3, chamada "espúria". Para os algoritmos convergentes, de muito maior interesse prático, existe uma constante positiva ~Ω tal que, se tomado um passo de modo que Ω = ω∆t pertença ao intervalo (0,~Ω) pode-se afirmar a validade da relação:

0,12,13 ≤λ<λ

(20) indicando-se que as raízes complexas λ1 e λ2 são mais importantes que λ3 na representação do movimento. Adotando-se a forma polar para representar as duas raízes principais, sendo ρ seu módulo, utilizando o índice num para referir-se aos valores resultantes da aplicação do método numérico, e considerando θ = ω∆t, bem como a nomenclatura:

θρ

−=γln

num ; tnum ∆

θ=ω

(21) pode-se escrever a expressão do deslocamento alternativamente, na forma:

( ) ( )[ ]tnsenCtncosCex num2num1tn

nnumnum ∆ω+∆ω= ∆ωγ−

(22) porque a literatura mostra que, mesmo quando λ3 não é significativamente inferior à unidade, pouca relevância tem na composição da resposta numérica. De qualquer forma, basta ter em mente que a influência de λ3 desaparece em algoritmos convergentes para o limite do passo tendendo a zero, o que justifica a omissão do termo que lhe corresponde de ora em diante. Comparando-se (22) com a solução exata de (3) sem o termo do amortecimento, dada por: tcosAtsenAx n2n1 ω+ω= (23) vê-se a introdução de um fator formalmente similar ao existente em problemas com amortecimento físico. Isto é decorrente da dissipação numérica produzida pelo método, dada por (22). Algoritmos sem aniquilamento obviamente não têm dissipação. O amortecimento numérico γnum é uma medida proporcional ao erro global presente. Entretanto, sua presença controlada é desejável, por aniquilar os modos superiores. Note-se o compromisso entre o erro global e aniquilamento produzido; por tal razão, comparações de métodos sempre remetem ao cotejo da dissipação neles presente. Observa-se, também, uma discordância no período fornecido como resposta, pois:

n

2Tωπ

= ; num

num2Tωπ

=



11

e pode-se utilizar o erro relativo do período, dado por:

1

TTT

num

nnum −ωω

=−

=τ (24)

como uma medida da distorção da freqüência, chamada de dispersão. 6. A FORMULAÇÃO HERMITIANA A expressão hermitiana para diferenças, na forma de passo simples, escreve-se:

( ) ( ) ( )[ ] ( )∑=

+ =∆++∆n

0j

ri

j1ij

jij

j 0tRxbxat (25)

e a substituição dos valores assumidos no ponto i+1 por séries de Taylor centradas em i levadas em (25) resulta em:

( ) ( )

( )

( )( )

( )

( )( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) 0tR..xtbxta

..txxtbxta

..x!2n

t..txxtbxta

...x!1n

t..x2txtxtbxta

..x!nt..x

6tx

2txtxbxa

ri

ni

nn

ni

nn

ni

1ni

1n1n

1ni

1n1n

ni

2n3

ii2

2i2

2

ni

1n3

i

2

ii1i1

ni

n3

i

3

i

2

ii0i0

=∆++∆+∆

++∆+∆+∆+

+

+

−∆

++∆+∆+∆+

+

+

−∆

++∆

+∆+∆+∆+

+

+

∆++

∆+

∆+∆++

−−−

−−−

−••••

−••••

•••

(26)

e agrupando-se os coeficientes das derivadas de mesma ordem em ∆t, obtêm-se as identidades:

( )

( )

( )( ) 0xtba..

!1nb

!nb

.

0xtbab2

b0xtbab

0xba

ni

nnn

10

i2

2210

i110

i00

=∆

+++

−+

=∆

+++

=∆++

=+

••

•

(27)

em número total de n+1. Essas relações geram um sistema de equações homogêneas nos 2(n+1) coeficientes ak e bk. Pode-se tomar o conjunto nãonulo e arbitrar-se valor para um deles, o que fornece para o grau de indeterminação do sistema o valor n. Este último corresponde ao número máximo p de parâmetros livres presentes em (25) para que essa expressão em diferenças se anule até os termos daquela ordem em ∆t.



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Se considerados nãonulos e a determinar, os coeficientes ak e bk, k = 0,1,..m que respeitem (27) até n valem as expressões: p + (n + 1) = 2m + 1 ⇒ n = 2m - p (28) resultando ordem igual a n + 1 para o erro, ou seja, observando-se a expressão acima vale: r = 2m - p + 1 . (29) A expressão do equilíbrio para vibrações livres nãoamortecidas é escrita:

x xi i••

+ ++ =12

1 0ω (30) para o instante seguinte ao de referência do movimento. Se tomados os operadores hermitianos para representar (7) e (8), mas utilizando-se as relações que (30) e suas derivadas permitem escrever, pode-se adotar a representação:

( )

( ) 0tRx,x,x,x,tH

0tRx,x,x,x,tH

2r2i1i1iii

2n

2r1i1i1iii

1n

2

2

1

1

=∆+

∆

=∆+

∆

++

•

+

•

++

•

+

•

(31)

onde ∆t é o passo escolhido, ti é um instante de referência de deslocamento e derivadas já conhecidos e ainda utiliza-se a notação ti+1 = ti + ∆t como um instante onde essas grandezas são desconhecidas e a determinar. A segunda parcela corresponde ao resíduo ou erro de truncamento local cometido no cálculo da expressão de diferenças que substitui as derivadas presentes. Sua ordem é r1 + 2 no primeiro algoritmo das (31), onde a ordem da maior derivada considerada em (25) para a sua montagem é dada por n1. Se os algoritmos forem independentes, trata-se de um sistema de duas equações

lineares simultâneas nas incógnitas xi+1 e xi•+1 , cuja solução permite o avanço de um

passo no conhecimento do movimento. Dessa forma, para um sistema com n graus de liberdade, a ordem do sistema resultante é 2n. Isto é característico dos métodos de ordens superiores. Visando-se gerar uma família de algoritmos que apresente aniquilamento assintótico, observa-se que para tanto deve-se obedecer a (17), que é atendida se: 2,1j,i 0alim ijt ==∞→∆ω (32) ou seja, se todos os elementos da matriz de amplificação tenderem a se anular com o aumento indefinido do passo. Efetuando-se as operações necessárias, os elementos de [A] escrevem-se:

[ ] ( )( ) ( )( ) ( )

−−−−

−−=

1221221111212111

2212122221121122

21122211 nmnmnmnmnmnmnmnm

mmmm1A (33)



13

com a expressão do resíduo dada analogamente por:

( ) ( )( )( )

∆∆

−

−−

=∆+

++

2r2

2r1

1121

1222

21122211

2r

2

1

tRtR

mmmm

mmmm1tR (34)

também em função dos coeficientes dos deslocamentos e derivadas envolvidos. Observando-se (10) verifica-se que os mij são funções dos coeficientes do deslocamento e suas derivadas no instante ti, enquanto os nij dependem de valores associados ao instante ti+1. Se levada (30) a (26), pode-se também reescrever cada um dos operadores para vibrações livres nãoamortecidas, explicitando-se os primeiros termos da somatória como:

0...xbtxatxtbtxtat

xbtxatxtbxtaxbxa

1i444

i444

1i322

i322

1i222

i222

1i1i11i0i0

≈+∆ω+∆ω+

∆∆ω−

∆∆ω−

+∆ω−∆ω−∆+∆++

++

••

++

••

+

ou agrupando-se os termos relativos ao instante de referência e ao seguinte, ∆t à sua frente:

( ) ( )( ) ( ) 0xt..btbx..btb

xt..atax..atata

1i322

11i222

0

i322

1i444

222

0

≈∆+∆ω−++∆ω−+

+∆+∆ω−+−∆ω+∆ω−

+

•

+

•

(35)

de modo que se este for o primeiro operador considerado, juntando-se o segundo vem:

0xtmxmxtnxn 1i121i11i12i11 ≈∆++∆+ +

•

+

•

0xtmxmxtnxn 1i221i21i22i21 ≈∆++∆+ +

•

+

•

(36) desde que se omitam as parcelas referentes ao resíduo. Objetivando-se atender a (38) e considerando-se (39) bem como (42) e (43), é conveniente tomar a subfamília de operadores representados por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0tRxbtxatHn

0j

2ri

m

0k

k1ik

kjij

jn,m =∆+∆+∆=∑ ∑

=

+

=+ (37)

isto é, tomar valores independentes de m e n que garantam a mij ordem em ∆t grande o suficiente quando comparada à de nij para conduzir ao desejado aniquilamento. O número de coeficientes a determinar é m + n + 2; fixado um não-nulo e arbitrário para relacioná-lo aos demais, tem-se como número de equações necessárias m + n + 1. Este último número exprime também a ordem de anulação do erro de truncamento nos deslocamentos, isto é: r + 2 = m + n + 1 ⇒ r = m + n - 1 (38)



14

sendo r a ordem de precisão local nos esforços e acelerações. Pode-se sacrificar a precisão em favor de parâmetros de ajuste visando-se a alguma propriedade. Então passa a valer: r = m + n - 1 - p, sendo p o número de parâmetros. Para a montagem de um algoritmo que respeite as condições acima indicadas como desejáveis, um critério para a escolha do segundo operador é tomar como expressão a derivada do primeiro com relação ao tempo. Com isso, os coeficientes são os mesmos e conseqüentemente é de esperar que as características sejam mantidas, tal como a ordem relativa (em ∆t) dos coeficientes de mij e nij, que são um indicativo de que o algoritmo é mais ou menos “conservador”. Tomando-se, então, o operador:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0tRxbtxatH 2r1m

0k

k1ik

kn

0j

jij

j1n,m

1 =∆+∆+∆= +

=+

=∑∑ (39)

considere-se o segundo, atendendo ao proposto acima, definido por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑

+

=

+

=

++++ =∆+∆+∆==

1n

1j

1m

1k

3r2k1ik

kjij

j1

n,m21n,1m 0tRxdtxct

dtHd

H 1 (40)

onde valem as relações decorrentes da derivação cj = aj-1 e dk = bk-1, resultando:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0tRxbtxatH 3r21m

1k

k1i1k

k1n

1j

ji1j

j21n,1m

1 =∆+∆+∆= ++

=+−

+

=−++ ∑∑ . (41)

A substituição da equação do movimento, sempre para vibrações livres nãoamortecidas, em (41) e (39), à semelhança de (35) mas tomando-se θ = ω∆t como tradicionalmente feito na literatura, fornece então a forma final do algoritmo dada por:

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ] 0R...aaaxt...aaax

...bbbxt...bbbxH

0R...aaaxt...aaax+

...bbbxt...bbbxH

2i4

42

20i5

63

41

2i

44

22

01i56

34

12

1i2

1n,1m

1i5

43

21i4

42

20i

54

32

11i44

22

01i1

n,m

=+−θ+θ−∆++θ−θ+θ−+

+−θ+θ−∆++θ−θ+θ−=

=+−θ+θ−∆+−θ+θ−

+−θ+θ−∆+−θ+θ−=

•

+

•

+++

•

+

•

+

(42)

e de uma comparação com (36) pode-se escrever que valem para os elementos das matrizes envolvidas as expressões que seguem:



15

1122

122

21

76

54

32

112

66

44

22

011

1122

122

21

76

54

32

112

66

44

22

011

nnnn

...aaaan

...aaaanmm

mm

...bbbbm

...bbbbm

=θ−=

+θ−θ+θ−=

+θ−θ+θ−=

=θ−=

+θ−θ+θ−=

+θ−θ+θ−=

(43)

e considerando-se (10) para este caso particular, tem-se para o determinante de [M] o valor: [ ] 2

1222

11 mmMdet θ+= (44) completamente definido a partir dos bk. 7. AS PROPRIEDADES ESPECTRAIS Para os elementos da matriz de amplificação [A] valem as relações:

[ ]

[ ]12

221

1112121112

221212

21111

11

aaMdet

nmnma

aMdet

nmnma

θ−=

−−=

=θ+

−=

(45)

levando-se em conta (35) e sua derivada. A equação característica de [A] assume aspecto: ( ) 0aa 2

1222

11 =θ+λ− resultando o par de raízes complexas conjugadas dado por: 1211 aia θ±=λ e consequentemente com raio espectral expresso por:

212

2211

212

22112

1222

11 mmnnaa

θ+θ+

=θ+=λ=ρ

resultado a que se pode chegar considerando-se as relações desenvolvidas anteriormente.



16

É interessante notar que a bifurcação de raízes está na origem. De fato, apenas no caso limite de θ nulo ocorre uma raiz real dupla, o que elimina a preocupação com raízes ao se efetuar um estudo de desempenho do processo em questão. Levando-se em conta (43) tem-se a expressão final para o raio espectral dessa família:

( ) ( )( ) ( )27

65

43

21

226

64

42

20

27

65

43

21

226

64

42

20

..bbbb..bbbb

..aaaa..aaaa

+θ−θ+θ−θ++θ−θ+θ−

+θ−θ+θ−θ++θ−θ+θ−=ρ (46)

que é um ponto de partida para o estudo das propriedades dos processos em pauta. Algumas características são inerentes aos algoritmos de passo simples, como a auto-iniciação. As derivadas são aproximadas a partir de sua expansão em séries de Taylor, do que resultam métodos sempre consistentes. Sua expressão é semelhante a (15), com r1 e r2 positivos. A convergência está garantida uma vez que sempre se terá |a0| = |b0|, respeitando-se assim a condição imposta por (16). Da forma como se montou o algoritmo, de (46) verifica-se a existência do aniquilamento assintótico desde que se tome m maior que n, pois isto resultará em denominador com ordem em ∆t superior à do numerador, atendendo-se também a (17); a ordem do erro alcançada é dada pela expressão (38). Um estudo da estabilidade pode ser feito de forma imediata, confrontando-se (14) com a expressão (46) resultante do algoritmo. A comparação de desempenho com outros métodos é tradicionalmente feita medindo-se a dissipação numérica introduzida, dada por (21) bem como a distorção resultante, assim denominado o erro relativo no período, explicitado pela relação (24). Apresentam-se, a seguir, os primeiros membros dessa família e ilustram-se suas propriedades e características. 8. OS ALGORITMOS DA FAMÍLIA A determinação do primeiro algoritmo assim obtido sem a inclusão de parâmetros livres de ajuste é feita a partir da consideração de (38) tomado r unitário e impondo-se aniquilamento assintótico, o que formece: m + n = 2 e m > n havendo assim a única possibilidade de m = 2 e n = 0, correspondendo a:

( )

( ) ( ) ...xt61tR

0tRx2txtxxH

3i

331i

31i1i

2

1i1ii1

0,2

+∆−=∆

=∆+∆

−∆+−= +

••

+

•

+

combinado com a sua derivada relativamente ao tempo, de aspecto:



17

( ) ( )

( ) ( ) ...xt61tR

0tRx2txtxtxtH

4i

442i

42i

31i

3

1i2

1ii2

1,3

+∆−=∆

=∆+∆

−∆+∆−∆= ++

••

+

••

reproduzindo assim o método de primeira ordem apresentado por LAIER (1995). Para atender à estabilidade incondicional, deve-se respeitar a: ( ) ( )[ ] θ∀≤ρ⇒≤ρ ;0,1A0,1A 2 . De (46), substituindo-se os valores de ak e bk encontrados, resulta:

( ) ( )

( )00,1

1211

01 4

222

2

2222 ≥θ⇒≤

θ+

θ+−

θ+=ρ

verdadeiro para qualquer θ, tratando-se portanto de um algoritmo incondicionalmente estável. A matriz de amplificação é definida pela aplicação das (44) e (45), com os valores: a0 = 1, b0 = -1, b1 = 1 e b2 = - 1/2 representando os coeficientes não-nulos presentes na combinação linear representativa das expressões em diferenças que reproduzem as derivadas no tempo presentes no problema. Para o algoritmo de segunda ordem, as condições impostas são: m + n = 3 e m > n o que leva a duas possibilidades. Na primeira delas, para n unitário e m = 2, o operador resultante é:

( )

( ) ( ) ...xt121tR

0tRxtxt4xt2x6x6H

4i

441i

41i1i

21ii1ii

11,2

+∆=∆

=∆+∆+∆−∆−+−= +

••

+

••

+

já utilizado por LAIER (1995) mas não conjuntamente com o seu derivado, de aspecto:

( ) ( )

( ) ( ) ...xt121tR

0tRxtxt4xt2xt6xt6H

5i

552i

52i

31i

31i

2i

21ii

22,3

+∆=∆

=∆+∆+∆−∆−∆+∆−= ++

••••

+

••

.

cuja verificação de estabilidade em (46) escrita com os ak e bk encontrados, produz:

( ) ( )( ) ( )( )

00,1246

26 4

222

2222 ≥θ⇒≤

−θ+θ−

−θ+−=ρ



18

essa exigência é atendida incondicionalmente para qualquer passo adotado. A evolução das demais propriedades com o tamanho do passo é mostrada nas figuras 1, 3 e 5. Sua matriz de amplificação define-se pelas expressões (44) e (45) tomando-se: a0 = -6, b0 = 6, a1 = -2, b1 = -4, b2 = 1 que são os valores encontrados para os coeficientes da expressão em diferenças. O outro operador possível é o correspondente a n nulo e m = 3. Encontra-se a relação:

( ) ( )

( ) ( ) ...xt41tR

0tRxtxt3xt6x6x6H

4i

441i

41i

31i

31i

21i1ii

10,3

+∆=∆

=∆+∆+∆−∆+−= ++

••

+

•

+

a ser utilizado em conjunto com 2

1,4H para que o método resultante pertença à família em questão. Entretanto, ao se verificar a estabilidade, nota-se a exigência de passos correspondentes a θ2 ≥ 3 para a presença dessa propriedade. Não se tenciona aqui abordar processos condicionalmente estáveis, razão pela qual se deixa de lado esse algoritmo. Não se descarta, porém, a possibilidade de outras vantagens suplantarem esse "defeito" para a utilização em problemas específicos, o que poderia ser comprovado levando-se a efeito um estudo mais profundo da tentativa de implementação ao caso particular de interesse do analista. Outro comentário pertinente refere-se ao fato de que tal operador não apresenta obstáculos de per si para seu emprego. Basta abandonar a exigência de pertencer à família em foco para que haja inúmeras possibilidades de combinações com outros operadores. Aliás, seu potencial "genético" é bastante bom, dadas as condições que se procurou atender por ocasião da escolha dos coeficientes considerados na expressão de diferenças. Outra possibilidade de uso de tais operadores é a introdução, a partir de suas expressões básicas, de têrmos cujos coeficientes sejam parâmetros de ajuste que permitam restaurar a estabilidade incondicional, embora sacrificando-se a ordem de precisão. Aplicando-se o procedimento descrito acima, podem-se determinar por inspeção, os membros incondicionalmente estáveis de ordens superiores da família. A tabela 1 apresenta os valores dos coeficientes correspondentes aos métodos de primeira a oitava ordem. A última linha fornece o valor do coeficiente do termo de menor ordem do erro local.



19

Tabela 1 - Coeficientes dos termos dos algoritmos e do erro local correspondente

ORDEM 1 2 3 4 5 6 7 8

a0 1 -6 24 60 360 840 6720 15120 b0 -1 6 -24 -60 -360 -840 -6720 -15120 a1 -2 6 24 120 360 2520 6720 b1 1 -4 18 36 240 480 4200 8400 a2 3 12 60 360 1260 b2 -1/2 1 -6 -9 -72 -120 -1200 -2100 a3 4 20 120 b3 1 1 12 16 200 300 a4 5 b4 -1 -1 -20 -25 a5 b5 1 1

C.R. -1/6 1/4 1/20 -1/24 -1/210 1/1680 1/3024 1/30240 Os algoritmos descritos têm lei de formação igual e geral. Nada há a indicar que não se possam obter membros de ordens superiores às aqui apresentadas, e com as mesmas características, adotando-se o mesmo critério para descartar os "indesejáveis". Entretanto, o objetivo central, ao se explicitarem os primeiros métodos resultantes, é apenas a geração dos gráficos das principais propriedades.

00,20,40,60,8

11,2

0,1 1 10 100 1000

WDT

RO1RO2RO3RO4

Fig. 1 - Raio espectral dos algoritmos hermitianos de primeira a quarta ordem

0

0,20,40,60,8

1

0,1 1 10 100 1000WDT

RO

RO5R06RO7RO8

Fig. 2 - Raio espectral x passo dos algoritmos hermitianos de quinta a oitava ordem



20

0

2

4

6

8

10

0,00 0,40 0,80 1,20 1,60 2,00 2,40 2,80

WDT

GAM

A*10

0% GAMA1%GAMA2%GAMA3%GAMA4%

Fig. 3 - Amortecimento numérico dos algoritmos hermitianos de primeira a quarta

ordem

02468

10

0,00 0,80 1,60 2,40 3,20 4,00 4,80WDT

GAMA5%GAMA6%GAMA7%GAMA8%

Fig. 4 - Amortecimento numérico dos algoritmos hermitianos de quinta a oitava ordem

00,10,20,30,40,5

0,00001 0,40001 0,80001 1,20001 1,60001 2,00001 2,40001 2,80001 3,20001 3,60001 4,00001

WDT

ALONG1ALONG2ALONG3ALONG4

Fig. 5 - Dispersão x passo nos algoritmos hermitianos de primeira a quarta ordem

00,10,20,30,40,5

0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0

WDT

ALONG5ALONG6ALONG7ALONG8

Fig. 6 - Dispersão x passo nos algoritmos hermitianos de quinta a oitava ordem



21

9. UM EXEMPLO NUMÉRICO A figura 7 mostra o esquema estrutural de um pórtico de dois andares cujas vigas têm rigidez igual e unitária. Não há amortecimento físico no problema e as condições iniciais correspondem a deslocamento e velocidade nulos para ambos os graus de liberdade, numerados conforme indicado na figura. A massa do sistema é representada por uma unidade concentrada no nível de cada andar. Este esquema é utilizado em um exemplo apresentado por WARBURTON (1976) porém sob outra solicitação. Nas condições descritas, as matrizes de massa e rigidez bem como a excitação para instantes a partir do início do movimento, saindo do repouso, são dadas respectivamente por:

Fig. 7 - Esquema estrutural para o segundo exemplo

−

−=

=

1112

]K[ ; 1001

]M[

−

=4,80,10

P

e efetuando-se a decomposição segundo os modos de vibração, tem-se:

s1664,10T ; 8506,052157,0

; 382,02

5311

21 ≅

=φ≅−

=ω

s8832,3T ; 5257,08506,0

; 618,22

5322

22 ≅

−

=φ≅+

=ω .

levando às soluções dadas por:

).1t6180,1(cos9358,4y)1t6181,0(cos9425,4y

2

1

−=−=

Quanto à solução estática, isto é, desprezando-se o efeito das acelerações, resta considerarem-se as relações:

[ ] [ ]

−−

=

⇒Φ=Ω94,494,4

yy

)t(PyST,2

ST,1T2

X1

X2



22

vetor que fornece os deslocamentos da estrutura. Em relação ao sistema proposto, vale: [ ] yx Φ= de forma que, após o aniquilamento do segundo modo, se pode escrever:

−=

=ST,2

1

AN,2

AN,1AN y

y5257,08506,08506,05257,0

xx

x

expressão que fornece os deslocamentos quando se considera a contribuição do primeiro modo e se aniquilou completamente a influência do segundo. Pode-se dizer que esta é a resposta nos deslocamentos após a “filtragem” completa do segundo modo de vibração. Num problema de múltiplos graus de liberdade, raciocínio análogo é aplicável, relativamente aos modos inferiores e superiores, assim denominados a partir de sua posição relativamente à freqüência de corte ou “filtragem” pretendida. A experiência e sensibilidade do analista e natureza do problema são fatores que envolvem a determinação de uma adequada freqüência de corte de um movimento em um método direto que apresente aniquilamento assintótico. Os deslocamentos correspondentes ao primeiro modo são dados por:

[ ]

Φ=

=0y

xx

x 1

1M,2

1M,11M

e, portanto, a presença do aniquilamento pode ser medida através de: ( ) Rxxxxx ST1MNUMANNUM =+−=− onde xNUM contém os deslocamentos calculados numericamente pelo algoritmo, e R é um vetor nas diferenças indesejadas entre os deslocamentos fornecidos pelo método e os pretendidos. Há duas contribuições em R: a do modo inferior amortecido prematuramente e a do modo superior, ainda eventualmente presente. Um bom algoritmo deve ser capaz de apresentar R com forte tendência a se anular, mesmo quando as freqüências cuja influência se quer separar estiverem relativamente próximas. No caso em pauta, ω1 ≈ 0,6181 s-1 e ω2 ≈ 1,6180 s-1. A tabela 2 mostra o resíduo para x1, resultante da aplicação dos algoritmos de terceira, quarta e quinta ordens da família apresentada, para um passo ∆t = T1 /4. Observa-se, para a quarta ordem, que o resíduo praticamente se anula após vinte passos, o que significa fiel representação do modo inferior e aniquilamento praticamente total do superior. A tabela mostra ainda que, para o algoritmo de quinta ordem, o aniquilamento tarda mais a efetuar-se. Isso pode ser compensado vantajosamente utilizando-se passos maiores, a fim de acelerar a presença do fenômeno. Os gráficos de raio espectral versus tamanho do passo apresentados neste trabalho mostram que o “corte” das freqüências superiores é cada vez mais abrupto, à medida que se tomam membros da família de ordem mais elevada. O uso de ordens mais baixas pode levar à indesejável situação de, no caso de freqüências próximas, não se aniquilarem as superiores sem que o amortecimento numérico comece a atuar sobre os modos inferiores, no intervalo de observação do movimento.



23

A coluna correspondente ao resíduo do algoritmo de terceira ordem mostra isso. Assim, intervalos de observação maiores estão associados à necessidade de métodos de ordens mais elevadas, dosando-se o aniquilamento a partir do tamanho de passo adequado. O comportamento dos valores citados está representado nas figuras 6.8 a 6.10.

Tabela 2 - Deslocamentos x1 e resíduo (R), para ∆t = T1 / 4

N x1 M1 x1 x1 H3 R3 x1 H4 R4 x1 H5 R50 0 0 0 -4,202 0 -4,202 0 -4,2021 -2,598 3,971 2,938 1,334 4,064 2,46 3,579 1,9752 -5,197 0,523 -1,013 -0,018 -1,065 -0,07 0,353 1,3483 -2,598 -2,488 1,481 -0,123 0,034 -1,57 -1,189 -2,7934 0 7,294 4,242 0,04 6,063 1,861 5,793 1,5915 -2,599 2,191 1,37 -0,233 0,444 -1,159 2,231 0,6286 -5,197 -4,763 -0,814 0,181 -0,869 0,126 -2,817 -1,8227 -2,597 5,261 1,838 0,233 2,25 0,645 2,835 1,238 0 3,83 3,956 -0,246 3,32 -0,882 4,431 0,2299 -2,6 -1,645 1,312 -0,29 2,158 0,556 0,43 -1,17210 -5,197 3,033 -0,703 0,292 -1,029 -0,034 -0,078 0,91711 -2,596 0,293 1,947 0,341 1,309 -0,297 1,634 0,02812 0 1,645 3,842 -0,36 4,519 0,317 3,466 -0,73613 -2,601 5,79 1,2 -0,401 1,361 -0,24 2,258 0,65714 -5,197 -3,179 -0,581 0,414 -0,887 0,108 -1,064 -0,06915 -2,596 -0,126 2,051 0,445 1,696 0,09 1,165 -0,44116 0 8,332 3,721 -0,481 3,958 -0,244 4,666 0,46417 -2,601 -1,342 1,101 -0,5 1,74 0,139 1,484 -0,11718 -5,197 -1,813 -0,46 0,535 -0,944 0,051 -1,256 -0,26119 -2,595 5,463 2,144 0,537 1,528 -0,079 1,941 0,33420 0 0,655 3,6 -0,602 4,181 -0,021 4,084 -0,118

Hermitiano de ordem 3

-6-4-202468

10

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

N (n. de passos)

x1

x1x1 H3R3

Fig. 8 - Aniquilamento no algoritmo de ordem 3


-6-4-202468

10

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

N(n. passos)

x1

x1x1 H4R4



24



-6-4-202468

10

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

N (n. de passos)

x1

x1x1 H5R4


11. CONCLUSÕES Com o esgotamento dos algoritmos de ordens inferiores apontado pela bibliografia, um caminho para obter métodos de integração que contenham as principais propriedades espectrais é a formulação hermitiana livre na montagem de processos de ordens superiores, por apresentar congenitamente consistência e convergência, e facilmente permitir uma análise espectral que indique a presença ou não de estabilidade e amortecimento numérico, este último associado ao aniquilamento assintótico. A geração de sistemas de equações de ordem mais elevada pode ser contornada com técnicas mais eficientes de solução, além de que maior precisão permite passos maiores. Outra característica positiva dos métodos criados a partir dessa abordagem é a facilidade de introduzir parâmetros de ajuste. A família apresentada é a priori incondicionalmente estável, com aniquilamento assintótico, cuja presença era um objetivo importante por razões acima descritas. Detalhou-se o caminho para obter-se a ordem de erro local que se desejar. A regra de formação dos algoritmos está perfeitamente definida e é bastante clara. Aparentemente, dada uma ordem de precisão qualquer, é sempre possível gerar um método incondicionalmente estável e com aniquilamento assintótico presente. O critério de tomar um operador bastante geral combinado com o decorrente da sua derivação em relação ao tempo e a subseqüente busca de requisitos para o atendimento de propriedades espectrais desejadas mostraram-se eficazes na identificação de algoritmos potencialmente viáveis. Dentre os algoritmos deduzidos, observa-se que o primeiro coincide com o já obtido por Laier, em trabalho apresentado em 1995. O algoritmo de segunda ordem resultante da presente abordagem utiliza também um operador empregado por Laier no trabalho citado, embora combinado diferentemente. Como resultado, obtém-se um método cujo desempenho espectral é idêntico ao de Laier, que, por sua vez, apresenta a mesma dissipação do método de Hulbert, não tão brusca quanto a do processo de primeira ordem da mesma família e do



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método de Houbolt. O alongamento também se comporta como no método de Hulbert e de Laier. Os algoritmos de ordens superiores têm desempenho espectral progressivamente melhor, como mostram os gráficos apresentados. A dissipação surge para passos de tamanho crescente com a ordem do erro e de forma cada vez mais brusca, definindo cada vez mais nitidamente uma freqüência de corte. A dispersão observada nos gráficos de alongamento versus tamanho do passo está praticamente ausente no início do gráfico, a partir da terceira ordem, porém aumenta abruptamente para ∆t/T > 0,47 aproximadamente. Esse valor não inviabiliza o uso do processo, sendo mesmo um limite superior ao de outros métodos existentes. O exemplo numérico apresentado confirma e enfatiza as qualidades apontadas pela análise espectral. Para análise transiente, o ganho em rapidez nos métodos de ordens superiores é a principal vantagem, enquanto para respostas ao fim de intervalos de tempo grandes (long-term analysis) soma-se a isto o fato da resposta manter qualidade, tardando a apresentar a deterioração provocada pelo aniquilamento assintótico, característica que pode influir precocemente no resultado no caso das ordens inferiores. Uma comparação mais precisa do tempo demandado no processamento versus a precisão obtida, embora relevante, seria muito particular para o caso de vibrações livres. Com a presença da excitação, os métodos de ordens superiores (e não apenas os aqui tratados) exigem operações numéricas envolvendo as funções que a representam, de modo que as conclusões também sejam relativas ao problema específico enfrentado. Com a explicitação de algoritmos incondicionalmente estáveis e com o aniquilamento assintótico de ordens elevadas, abre-se a possibilidade de, introduzindo-se parâmetros livres de ajuste às suas expressões, aprimorar-se uma ou mais de suas características espectrais, ou mesmo introduzir propriedades nas matrizes dos coeficientes que auxiliem a solução numérica. Essa é uma seqüência possível para o presente trabalho; outra que se vislumbra é a implementação dos algoritmos obtidos à solução de problemas específicos, visando confirmar suas potencialidades indicadas pela análise espectral. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ARGYRIS, J.; DUNNE, P.C.; ANGELOPOULOS, L. Non-linear oscillations using

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