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XXII SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
XXII SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
CADERNO DE RESUMOS
Faculdade de Ciências - Câmpus de Bauru 2010
XXII SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
CADERNO DE RESUMOS XXII SEMANA DA LICENCIATURA EM
MATEMÁTICA
Organizadores: Profa. Dra. Sueli Liberatti Javaroni
Profa. Dra. Adriana Cristina Cherri Nicola
Profa. Dra. Ivete Maria Baraldi
Prof. Dr. Mauri Cunha do Nascimento
Realização: Conselho de Curso da Licenciatura em Matemática
Unesp – Câmpus Bauru
XXII SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
COMISSÃO ORGANIZADORA Docentes Profa. Dra. Sueli Liberatti Javaroni Profa. Dra. Adriana Cristina Cherri Nicola Profa. Dra. Ivete Maria Baraldi Prof. Dr. Mauri Cunha do Nascimento Técnicos Administrativos Daniel Buso de Lima Ivone Reina Barbieri Maciel Oliveira Gonçalves Discentes Amanda Ferreira Verardo Daisy Paes Silva Débora Tiago Firmino Diego Nunes da Silva Diogo Rodrigues Bressanim Emanuela Maniero Fabiane Cristina Camilli Karen Rocha Coelho Lincoln Rodrigo Alves Pereira Michele de Souza Lopes Rafael Toledo Andrade Thais Caroline Mota Tiago Augusto dos Santos Boza Willian Pontes Gonçalves
COMISSÃO CIENTÍFICA
Profa. Dra. Adriana Cristina Cherri Nicola
EDITORAÇÃO
Ivone Reina Barbieri
XXII SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Sumário
Resolução de problemas de programação quadrática convexa com variáveis
canalizadas a partir do método primal-afim de pontos interiores ................. 6
Método primal-afim de pontos interiores em problemas de resíduos de
cana-de-açúcar ............................................................................................... 7
Método primal-afim de pontos interiores para variáveis canalizadas ......... 13
Habilidades geométricas desenvolvidas por alunos da educação infantil: um
estudo exploratório ...................................................................................... 19
Refletindo a minha formação: um estudo sobre a cades em Duartina ........ 24
Memória docente e modelagem matemática: contribuições na formação do
professor de matemática .............................................................................. 29
Uma análise de dados meteorológicos para a cidade de brasília utilizando
um enfoque bayesiano ................................................................................. 34
XXII SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
XXII Semana da Licenciatura em Matemática 1
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO
QUADRÁTICA CONVEXA COM VARIÁVEIS CANALIZADAS A
PARTIR DO MÉTODO PRIMAL-AFIM DE PONTOS INTERIORES
Aline de Castro Ferraz; Antonio Roberto Balbo
Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática,
Palavras-chave: Métodos afins de pontos interiores; problemas de programação quadrática; variáveis
canalizadas.
Resumo
Neste trabalho, o método Primal-Afim de Pontos Interiores é estendido para a resolução
aproximada de Problemas de Programação Quadrática (PPQ’s), com variáveis
canalizadas, de maneira análoga ao método desenvolvido para funções objetivo lineares.
Investiga-se a teoria do método, seu esquema iterativo, sua extensão aos PPQ’s e sua
aplicação à resolução de um problema simples no contexto matemático. Um algoritmo é
apresentado, sua implementação prática é feita no software Excel e testes são realizados no
problema em destaque, comparando-se os resultados e analisando-se a performance do
método quando se faz uma modificação no limitante inferior da variável do problema. Os
resultados numéricos demonstram a eficiência do método quando comparado com outros já
publicados, principalmente àqueles obtidos pelo Método Primal-Dual de Pontos Interiores
do tipo Previsor-Corretor (PDPC), encontrados em [Balbo et al, 2008].
1. Introdução
Após o trabalho realizado em [Karmarkar, 1984], para Programação Linear,
pesquisadores, como [Fang e Puthenpura, 1994], estenderam este algoritmo para resolver
Problemas de Programação Quadráticos. Com algum cuidado em se manusear as diferenças
entre os Problemas, de Programação Linear e de Programação Quadrática, o método
Primal-Afim, desenvolvido para Programação Linear, foi estendido para resolver PPQ’s. No
que segue, uma abordagem geral da teoria a ser utilizada para o desenvolvimento do método
proposto é vista, visando apresentar um algoritmo deste método, para o caso de variáveis
canalizadas.
2. Objetivos
Neste trabalho uma extensão do Método Primal-Afim de pontos interiores é
realizada para abordar o caso Programação Quadrática convexa, com variáveis canalizadas.
Um algoritmo é apresentado, sua implementação prática é feita no software Excel e testes
são realizados em um problema definido no contexto matemático, comparando-se os
resultados e analisando-se a performance do método quando se faz uma modificação no
limitante inferior da variável do problema. Os resultados numéricos demonstram a
eficiência do método quando comparado com outros já publicados em [Balbo et al, 2008].
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3. Fundamentação Teórica e Algoritmo
3.1 O Problema Quadrático Primal
Seja Q nxn
e c, x, u, l, z, r n
. A função quadrática é definida em n
por:
1
2
t tq x Qx c x
Observe que ( )xq x Qx c e 2
( )x q x Q . Além disso, sabemos que q(x) torna-se uma
função quadrática convexa quando Q é semi definida positiva. Além disso, se Q é definida
positiva, então q(x) torna-se uma função estritamente convexa, que atinge um único mínimo
em 1
x̂ Q c
, em conseqüência de ( ) 0q x .
O valor mínimo de q(x) é igual a 1 1
2
tc Q c
para x̂ .
Considerando-se que a matriz Q é semi definida positiva, A é uma matriz em mxn
e
bm
, então, um Problema de Programação Quadrática convexa e restrita, é definido da
seguinte forma:
Minimizar 1
( )2
t tq x x Qx c x (3.1)
Sujeito a ,Ax b l x u (3.2)
cujas variáveis canalizadas são equivalentes a:
; 0x z u z
(3.3)
; 0x r l r
(3.4)
Admitindo-se que a matriz A tenha posto m e b seja não-negativo, representado como
uma combinação linear das colunas do vetor A, então, temos que a região factível é não
vazia, logo, não existem restrições redundantes.
3.2 O Problema Quadrático Dual
A concepção de dualidade também é aplicada para problemas de minimização de
quadráticas. Quando Q, correspondente para o problema primal (3.1) a (3.4), é definida
positiva, temos o seguinte problema lagrangiano dual:
Maximizar 1
( )2
t t t tq x v Qv b w u f l s (3.5)
Sujeito a 0; 0;t
Qv A w s f c s f (3.6)
Onde e ,m n
w s f . Mediante as suposições previamente mencionadas e
considerando-se v = x, temos a seguinte condição de Karush-Kuhn-Tucker para o Problema
de programação quadrática convexo dual:
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, , ; 0; 0;Ax b x r l x z u r z (3.7)
; 0; 0;t
Qx A w s f c s f (3.8)
0RSe (3.9)
0ZFe (3.10)
onde R, S, Z e F são matrizes diagonais, cujos elementos diagonais são ri, si, zi, fi,
respectivamente.
Para assegurar que a solução do primal pode ser recuperada de uma solução do dual, é
necessário que Q satisfaça duas condições: - Q deve ser não singular; - AQ-1At deve ser
definida positiva. Além destes, considera-se a existência dos seguintes conjuntos viáveis:
O conjunto / , 0, , 0n
P x R Ax b x x z u z é não vazio;
O conjunto , , / , 0, 0m n T
D w R s f R Qx A w s f c s f é não vazio;
3.3 O Algoritmo Primal-Afim para Programação Quadrática e Variáveis Canalizadas
A extensão do algoritmo visto em [Fang e Puthenpura, 1994], para resolver Problemas
de Programação Quadráticos, com variáveis canalizadas, é proposta, levando-se em
consideração as condições vistas de (3.7) a (3.10). no que segue é apresentado o esquema
para implementação do método, passo a passo.
Passo 1 (inicialização): Calcular 1 x Q c
. Se Ax b e 0x então PARE, pois x é a
solução ótima. Caso contrário, fixar k=0 e determinar uma solução interior factível x0, tal
que, 0 0 e ;A x b l x u . Além disso, escolher ε1, ε2 e ε3, como números positivos
suficientemente pequenos e 0 < α < 1, uma constante positiva que auxilia no controle do
tamanho do passo.
Passo 2 (Cálculo do vetor estimativa dual): Calcular 2 1
( )H Q Xk k
. Determinar
1
t k kAH A w AH Q x c
k k ; e calcular a variável de estimativa dual
f .1 1k k t k k k
u Q x c A w s
Passo 3 (Teste de otimalidade): Se
,11
kAx b
b
,k
l x u 0, 0,k k
s f 1
21
ku
kQx c
e3 3
t tk k k k
r s ou z f então PARE,
pois , , ek k k kx w s f são soluções ótimas do primal e do dual, respectivamente. Caso contrário,
vá para o passo 4.
Passo 4 (Cálculo da direção de translação): Calcular uma direção de translação
( )k k k
d H s fx k .
Calcule , , , e ,k k k k k
d d d d dr z s y w como sendo k kd dr x , k k
d dz x , 1k kd Z F dzf k k
, 1k k
d R S ds k k r
,
e 1( ) ( )
k T k k kd AH A AH Qd d dw x sk k f
. Em que , , e R Z S Fk k k k são matrizes diagonais, com
, , e r z s fi i i i, respectivamente, como seus elementos diagonais.
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Passo 5 – Teste para ilimitariedade e valor objetivo constante,
Se , , , 0k k k kd d d dzr s f , então PARE, o problema é ilimitado. Se
0,k k k kd d d dzr s f então também PARE, , , ek k k kx w s f são soluções ótimas do primal e
do dual, respectivamente. Caso contrário vá para o Passo 6.
Passo 6 (Cálculo do comprimento do passo): Calcular
1 2 3 4 5min , , , , ,
k k k k k k 1
min / 0 ,ri dr
ik dri
2min / 0 ,
zi dzik dzi
3min / 0 ,
si dsik dsi
4min / 0 e
fi df
ik dfi
( ) ( )5
( )
k t kd Qx cx
k k t kd Qdx x
onde 0 ≤ α<1.
Passo 7 (determinando uma nova solução): Executar a translação,
1 k k kx x dxk
; 1 1 1 1 k k k kz u x e r x l
; 1 k k ks s dsk
, 1 k k kf f d
k f
e
1 k k kw w dwk
Faça k ←k + 1 e vá para o passo 2.
O exemplo visto a seguir ilustra os procedimentos vistos do método Primal-Afim para
Problemas de Programação Quadráticos convexos com variáveis canalizadas, para um
exemplo simples num contexto matemático.
4. Aplicação do Algoritmo a um PPQ com variáveis canalizadas
Minimizar 2 2 22 3 5 2 3
1 2 3 1 2 3x x x x x x
Sujeito a
51 2
102 3
0 31
0 62
0 83
x x
x x
x
x
x
(4.1)
Pode-se observar que:
1 4 0 01 1 0 5
, , 2 0 6 00 1 1 10
3 0 0 10
A B c e Q
Será usado: 0, 00001; 0, 001 0, 0001;1 2 3
e 0,95
Aplica-se o algoritmo usando diferentes limites inferiores para a variável x 3. Na
Tabela 4.1, usaremos lt=(0,0,0) e na Tabela 4.2, usaremos lt=(1,1,1), para compararmos a
convergência e a solução ótima. Resolvendo o PPQ (4.1) através do software Excel tem-se
as seguintes tabelas, de acordo com a solução inicial (x0) escolhida.
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Tabela 4.1: Solução inicial 0( ) 2 3 7
tx .
Tabela 4.2: Solução quando 0( ) 2 3 7
tx .
5. Conclusões
Foi realizada, neste trabalho, uma investigação teórica da extensão do método Primal-
Afim de pontos interiores para o Problema de Programação Quadrática Convexa com
variáveis canalizadas, onde verificou-se que, fazendo-se modificações simples em relação
às direções de busca e em relação ao comprimento do passo, o tratamento para funções
objetivo quadráticas e variáveis canalizadas é análogo ao tratamento feito para o caso de
funções objetivo lineares. Um algoritmo foi descrito e sua aplicação em um PPQ foi
realizada através do software Excel, comparando-se os resultados obtidos com o trabalho já
realizado em [Balbo et al, 2008], o que demonstrou a viabilidade da aplicação deste método.
Observou-se que, uma simples alteração no limite inferior da variável do problema, em
relação à tabela 4.1, alterou a solução ótima obtida vista na tabela 4.2. A continuidade deste
trabalho está relacionada à aplicação do método Primal-Afim para PPQ’s com variáveis
canalizadas, para Problemas de Despacho Econômico, encontrados na Engenharia Elétrica,
visto em [Balbo et al, 2008] e [Samed, 2004].
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6. Referências
[Balbo et al, 2008] A. R. Balbo, M. A. S. Souza, E. C. Baptista, Métodos primal-dual de
pontos interiores aplicados à resolução de problemas de despacho econômico: sobre a
influência da solução inicial In: XL SBPO - Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional,
2008,. XL SBPO (João Pessoa – PB), Ed. RJ: ILTC, p.2074 – 2085 (2008).
[Fang el at, 1993] S. C. Fang e S. Puthenpura, “Linear Optimization and Extensions: Theory
and Algorithms”, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1993.
[Goldfarb el at, 1991] D. Goldfarb and S. Liu, “An O(n3L) primal interior point algorithm
for convex quadratic programming,” Mathematical Programming 49, 325-340(1991).
[Karmarkar, 1984] N. Karmarkar, “A New Polynomial-Time Algorithm for Linear
Programming. Combinatórica” 4, v. 4, pp. 373-395 (1984).
[Samed, 2004] M. M. A. Samed, “Algoritmo Genérico Híbrido Co-Evolutivo para Resolver
Problemas de Despacho”, Tese de Doutorado, UEM, Depto de Engenharia Química, Agosto
de 2004, 167 p.
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MÉTODO PRIMAL-AFIM DE PONTOS INTERIORES EM
PROBLEMAS DE RESÍDUOS DE CANA-DE-AÇÚCAR
Camila de Lima; Antonio Roberto Balbo; Helenice de Oliveira Florentino da Silva
Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática, [email protected]
Palavras-chave: Método primal-afim de pontos interiores; método branch-and-bound; resíduos de cana-
de-açúcar.
Resumo
O objetivo deste trabalho é a aplicação dos métodos Primal-Afim de Pontos Interiores e
Branch-and-Bound em problemas de resíduos de cana-de-açúcar. Objetiva-se utilizar os
métodos citados para determinar a escolha das variedades de cana que fornecem a menor
quantidade de resíduos possível levando-se em consideração as restrições de produção de
sacarose da usina, área disponível para o plantio e distância entre os talhões e centro de
processamento. Primeiramente, será utilizado o método Primal-Afim de Pontos Interiores para
se obter a solução ótima real do modelo e, a partir desta, determinar a solução ótima inteira 0-
1 relacionada às restrições de integralidade do problema, através do método Branch-and-
Bound. Testes com os métodos são realizados através de uma implementação computacional
realizada no software C++ e os resultados numéricos apresentados demonstram a eficiência
destes, quando comparados aos resultados publicados na literatura, apresentando bom
desempenho computacional e soluções realísticas.
1 Introdução
Com as inovações tecnológicas, o setor elétrico no Brasil tem apresentado diversas
mudanças, tornando-se cada vez mais competitivo, provocando a criação de órgãos federais que
regulamentem e regulem este setor, e se tornando não mais estritamente hidrelétrico, incidindo
no mercado a introdução da energia cogerada. (PELLEGRINI, 2002). Dentre as novas fontes de
energia, destacam-se aquelas que exploram o gás natural, a energia nuclear, a energia gerada
pela biomassa residual e a energia eólica.
Atrás apenas da geração hidrelétrica, a segunda fonte primária de energia é a cogeração
de energia a partir da biomassa da cana-de-açúcar, que representa 15,9% do mercado brasileiro
(pesquisa realizada pela Empresa de Pesquisas Energéticas do Ministério de Minas e Energia).
A utilização da biomassa como fonte alternativa para geração de energia é uma proposta
que vem gerando excelentes perspectivas para soluções energéticas e ambientais. Consiste em
um recurso renovável oriundo de matéria orgânica, de origem animal ou vegetal, e que pode ser
utilizada na produção de energia. O Brasil destaca-se entre os países que a utilizam para
produção de energia, tanto elétrica como em forma de vapor. A cana-de-açúcar entra nesse
estudo, por ser bastante cultivada no Brasil e possuir uma alta taxa de biomassa residual, pois
podem ser utilizados folhas, palhas, ponteiros e frações de colmo. Segundo Sartori et al (2001),
a partir de uma produção de cerca de 108 milhões de toneladas por ano de biomassa permitiria a
geração de 10,2 MWh, suficiente para abastecer uma cidade com 50 mil habitantes. O
aproveitamento dos resíduos como forma de geração de energia é algo que favorece o meio
ambiente, visto a baixa produção de micropoluentes, devido à proibição da queima em alguns
Estados, como o de São Paulo. Outro item que incentiva a utilização da cana-de-açúcar como
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co-geradora de energia é o fato do período de sua colheita coincidir com o período de estiagem
das principais bacias hidrográficas do parque hidrelétrico brasileiro. Além disso, uma das
vantagens em trabalhar com a geração de energia a partir da biomassa residual é que existe a
possibilidade de armazenamento da biomassa por um determinado período até uma maior
necessidade ou maior valor de venda. A partir destes, diversos estudos vêm sendo realizados
visando otimizar a produção de energia visando a minimização de custos e/ou obtenção de
lucros. Florentino (2006), Sartori et al. (2001), Lima (2006) e Balbo et al. (2008), discutem
modelos matemáticos para escolhas de variedades de cana-de-açúcar que minimizam a
quantidade de biomassa residual.
A investigação dos modelos em destaque ocorre devido a necessidade das usinas em
obter o menor custo de transporte do palhiço e o maior balanço de energia pela biomassa
residual. Neste sentido, métodos de otimização são importantes para a análise de minimização
e/ou maximização do processo e os métodos de pontos interiores e Branch-and-Bound podem
ser utilizados para a resolução do modelo de minimização da quantidade de biomassa residual
de cana-de-açúcar, que é o objetivo desse trabalho.
2 O método primal-afim para variáveis com limitante superior
2.1 Definição
Considere o seguinte problema primal:
: 0
TMinimizar c x
Ax bSujeito a
x u
(2.1)
em que nmRA , mRb , nRucx ,, .
Assim, tem-se que o problema (2.1) é equivalente aos seguintes problemas:
: 0 e
TMinimizar c x
Ax bSujeito a
x x u
⟺
: 0 e ; 0
TMinimizar c x
Ax bSujeito a
x x z u z
(2.2)
Segue que o problema dual de (2.2) é expresso por:
: ; s,f 0
T T
T
Maximizar b w u f
Sujeito a A w s f c
(2.3)
Baseando-se nos problemas primal e dual definidos em (2.2) e (2.3), consideram-se
inicialmente as seguintes hipóteses para a definição do algoritmo Primal-Afim de pontos
interiores para variáveis com limitante superior:
O conjunto / , 0, , 0nP x R Ax b x x z u z é não vazio;
O conjunto , , / , 0, 0m n TD w R s f R A w s f c s f é não vazio;
A matriz de restrições A tem posto completo e igual a m.
Sob estas condições, tem-se do Teorema de Dualidade, Bazaara e Javis (1977) e
Luenberger (1984), que os problemas Primal (2.2) e Dual (2.3) têm soluções ótimas finitas (pelo
menos uma) com um valor comum da função objetivo. Além disso, os conjuntos das soluções
ótimas de (2.2) e (2.3) são limitados. Desta forma, tem-se em relação a estes as seguintes
condições de Karush-Kuhn-Tucker (KKT):
Ax b ; 0, , 0x x z u z ; , 0, 0TA w s f c s f ; 0XSe ; 0ZFe ; (2.4)
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em que , , e X Z S F são matrizes diagonais, respectivamente com , , e i i i i
x z s f como elementos
diagonais.
A partir das condições previstas em (2.4) determinam-se o resíduo primal, as folgas
complementares, o vetor estimativa dual, o resíduo dual, as direções de busca e o comprimento
do passo, indispensáveis para determinação de uma nova solução e definem-se os passos do
algoritmo a seguir, de acordo com Fang e Puthenpura (1993). Este algoritmo é complementado
no passo 10 pelo método Branch-and-Bound, que é usado para integralizar as soluções obtidas
pelo método Primal-Afim.
2.2 Algoritmo Primal-Afim para Variáveis Limitadas Superiormente e Branch-and-
Bound (PABB)
Passo 1: Inicialização
Ajustar 0k e encontrar uma solução inicial 0 0 0 0 0( ; z ; w ; s ; f )x P D . Seja 1 2 3, , 0
pequenas tolerâncias positivas auxiliares ao passo 5 do algoritmo.
Passo 2 – Cálculo do resíduo primal e de folgas complementares
Calcular o resíduo primal: k kt b Ax
Calcular as folgas complementares: k k kv X S e e k k kq Z F e
Passo 3 – Cálculo do vetor estimativa dual
Calcular o vetor estimativa Dual: cAXAAXw k
T
k
k 212 )(
em que kX é uma matriz diagonal cujos elementos são as componentes de xk.
Passo 4 – Cálculo do resíduo dual
Calcular o vetor resíduo dual: k T k k kr c A w s f
Passo 5 - Teste para otimalidade
Se 1
T k T k T kc x b w u f , 2
|| ||kv , 2
|| ||kq , 3
|| ||kt , 3
|| ||kr , 0 k kx u , 0ks , 0kf
então pare. Caso contrário, continuar.
Passo 6 - Encontrando as direções de busca
Calcular , , , e k k k k k
x z w s yd d d d d como sendo 2k k
x kd X r , k k
z xd d , 1k k
f k k zd Z F d ,
1k k
s k k xd X S d , e 2 1 2( ) ( )k T k k
w k k f sd AX A AX d d . Em que , , e
k k k kX Z S F são matrizes diagonais, com
, , e k k k k
i i i ix z s f , respectivamente, como seus elementos diagonais.
Passo 7 – Teste para ilimitariedade e valor objetivo constante
Se , , , 0k k k k
x z s fd d d d , então PARE, o problema é ilimitado. Se , , , 0k k k k
x z s fd d d d ,
então também PARE, , , , ,k k k k kx z w s f são soluções ótimas dos problemas primal e dual,
respectivamente. Caso contrário ir para o Passo 8.
Passo 8 – Cálculo do comprimento do passo
Calcular 1 2 3 4min 1, , , ,k k k k k
, em que 1 min / 0i
k i
i
xdx
dx
, 2 min / 0i
k i
i
zdz
dz
,
3 min / 0i
k i
i
sds
ds
e 4 min / 0i
k i
i
fdf
df
; 0< <1.
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Passo 9 – Determinação de uma nova solução
Fazer 1k k k
k xx x d ; 1k k k
k zz z d ; 1k k k
k sw w d ; 1k k k
k ss s d ; 1k k k
k ff f d ;
Ajustar 1 kk e vá para o Passo 2.
Passo 10 – Método Branch-and-Bound
Para cada ix , se 85.0ix assuma 1ix e faça 0jx para todos i restantes (i = j + h) e
ji (h é informado pelo usuário de acordo com o modelo em questão). Senão faça 0ix .
Para as variáveis restantes, diferentes de 0 ou 1, percorra todo o vetor assumindo 1 para
cada nível da árvore, verificando a viabilidade e a otimalidade. Armazene sempre o menor valor
da função objetivo encontrado.
O algoritmo PABB é definido através de um procedimento envolvendo os métodos
Primal-Afim e Branch-and-Bound e é proposto para a resolução dos modelos definidos nas
seções 3.1 e 3.2, da seguinte forma:
i) Os passos de 1 a 9 resolvem o modelo relaxado para as variáveis limitadas
superiormente 0 i ix u ;
ii) O passo 10, que utiliza o método Branch-and-Bound, integraliza a
variável ( 0 ou 1)i i i ix x x u . A variável xi = 1 implica que a variedade i deverá
ser plantada em um talhão j.
3 Aplicação ao modelo de biomassa residual
O modelo definido em 3.1, visa a minimização da quantidade de biomassa residual
relativa à coleta de resíduos de cana-de-açúcar e foi proposto por Sartori et al. (2001). Ressalta-
se que estes modelos são equivalentes aos problemas primal (2.2) e dual (2.3), os quais foram
vistos na seção 2.1, quando considera-se a relaxação (continuidade) das variáveis do problema.
Os resultados apresentados são referentes, inicialmente, a uma área disponível para
plantio de 6000 ha., em solo NQ (Neossolo Quartizênico – Embrapa, 1999) e produção
necessária de açúcar fermentescível de 438000 toneladas, Sartori et al. (2001). A tabela 1
mostra os dados agronômicos utilizados no modelo e definido em 3.1.
Tabela 1: Dados médios para produção de resíduos de colheita (matéria seca) e de açúcar fermentescível
(pol), para 4 estágios de corte por variedade (Fonte: Sartori et al., 2001).
Variedades Produção de Resíduo
(t/ha)
Energia Residual
(kcal/ha) Pol (t/ha)
SP791011 96276,63 56933468,43 71,32
RB835486 83822,78 43653928,60 69,20
RB72254 94895,03 56487853,91 76,96
RB855113 119820,90 70811990,58 77,00
RB855536 107599,90 59646129,81 69,28
3.1 Modelo
Consiste em determinar as variedades de cana (xi) a serem plantadas, de forma a
minimizar a quantidade de biomassa residual ( iA ), tendo como restrições a área disponível para
o plantio (b), a demanda de produção de sacarose da usina ( ) e a média de produção de
energia disponível nessa biomassa ( ).
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Minimizar1
n
i i
i
A x
; Sujeito a: 1 1 1
; ; ; 0 ;( 0 ou 1)n n n
i i i i i i i i i i
i i i
x b x x b x u x x u
4 Aplicação do algoritmo PABB no modelo e resultados obtidos
Nas tabelas 2 e 3 são apresentados os resultados obtidos pelo algoritmo PABB, proposto
na seção 2.2, implementados no software C++, e comparados com aqueles obtidos em Sartori et
al (2001). Nestas tabelas, as colunas “Solver” correspondem aos resultados obtidos pelos
autores citados e as colunas “PABB” correspondem aos resultados obtidos através da
implementação do procedimento envolvendo o algoritmo Primal-Afim de pontos interiores e
Branch-and-Bound (PABB).
4.1 Aplicação e Resultados obtidos para o modelo
Tabela 2: Variedades a serem plantadas Tabela 3: Solução ótima obtida
Variedades Área para plantio (ha)
Solver PABB
SP791011 0 1,14E-14
RB835486 0 6,01E-16
RB72254 5573,243 5573,24
RB855113 426,7568 426,76
RB855536 0 9,16E-16
5 Conclusão
Neste trabalho fez-se uma aplicação dos Métodos Primal-Afim e Branch-and-Bound,
implementados no software C++, para a resolução do problema de minimização da quantidade
de resíduos de cana-de-açúcar. Os resultados obtidos mostram a eficiência do algoritmo PABB,
quando comparado com a solução do modelo já publicada em Sartori et al. (2001), que
utilizaram o aplicativo Solver do software Excel para a determinação desta.
Os resultados obtidos incentivam a busca de melhoria na implementação feita para a
obtenção de soluções de outros modelos de Programação Linear e Inteira 0-1, relacionados aos
modelos de biomassa residual de cana-de-açúcar, tais como, o problema de maximização de
geração de energia de aproveitamento da biomassa residual relativa ao processo.
6 Agradecimentos
À FAPESP (PROCESSO 2010/02011-1) pelo apoio financeiro.
7 Referências
BALBO, A. R.; HOMEM, T. P. D.; FLORENTINO, H. O.; VIANNA, A. C. G., Procedimento
híbrido envolvendo métodos de pontos interiores e Branch-Bound em problemas multi-
objetivo de aproveitamento da biomasssa residual da cana-de-açucar. In: XL SBPO -
Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional, 2008, João Pessoa - PB. Anais do XL SBPO. Rio
de Janeiro - RJ : ILTC, 2008. p. 2129-2140.
Quantidade de
Biomassa Residual (t) Pol (t)
Solver PABB Solver PABB
580007463,5 580007452,38 461777,1 461777,07
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BAZAARA, M. e JAVIS. J. J., “Linear Programming and Network Flows” - John Wiley,
1977
FANG, S. C. e PUTHENPURA, S., Linear Optimization and Extensions: Theory and
Algorithms. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1993.
FLORENTINO, H. O. Programação linear inteira em problemas de aproveitamento da
biomassa residual de colheita da cana-de-açúcar. 2006, 64 p. Tese (Livre Docência) Instituto
de Biociências, Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Botucatu-SP, 2006.
HOMEM, T. P. D.; BALBO, A. R.; FLORENTINO, H. O.; VIANNA, A. C. G. , Resolução de
PPLIB através dos métodos de pontos interiores e Branch-Bound, uma aplicação no
contexto agronômico. In: 8th DINCON – 8th Brazilian Conference on Dynamics, Control and
Applications, Bauru - SP. Proceedings of 8th DINCON. 2009. p.1 – 7.
KARMARKAR, N., “A new polynomial time algorithm for linear programming”,
Combinatoria 4, 373-395, 1984.
LIMA, A. D. , Modelos Matemáticos Aplicados a Problemas na Cultura da Cana-de-
Açúcar e no Aproveitamento da Energia da Biomassa. Dissertação (Mestrado em
Agronomia/Energia na Agricultura) – Faculdade de Ciências Agronômicas – Universidade
Estadual Paulista, Botucatu, SP, 2006.
LUENBERGER, D. G., “Linear and Nonlinear Programming”, Addison-Wesley Publ. Co.,
2nd ed., 1984.
PELLEGRINI, M. C. , Inserção de centrais cogeradoras a bagaço de cana no parque
energético do Estado de São Paulo: exemplo de aplicação de metodologia para análise dos
aspectos locacionais e de integração energética. Dissertação (Mestrado em Energia) -
Universidade de São Paulo, São Paulo, SP, 2002.
SARTORI, M. M. P, FLORENTINO, H. O., BASTA C., LEÃO A. L. “ Determination of the
optimal quantity of crop residues for energy in sugarcane crop management using linear
programming in variety selection and planting strategy”, Energy, v.26, p.1031-1040, 2001.
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MÉTODO PRIMAL-AFIM DE PONTOS INTERIORES PARA
VARIÁVEIS CANALIZADAS
Cíntia Pimentel de Oliveira, Antonio Roberto Balbo
Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática,
Palavras-chave: Métodos afins de pontos interiores; problemas de programação linear; variáveis
canalizadas.
Resumo
Neste trabalho, o método Primal-Afim de Pontos Interiores é estendido para a resolução
aproximada de Problemas de Programação Linear (PPL’s), com variáveis canalizadas, de
maneira análoga ao método desenvolvido para funções objetivo lineares. Investiga-se a
teoria do método, seu esquema iterativo, sua extensão aos PPL’s com variáveis canalizadas
e sua aplicação à resolução de um problema simples no contexto matemático. Um
algoritmo é apresentado, sua implementação prática é feita no software Pascal 7.0 e testes
são realizados no problema em destaque, comparando-se os resultados e analisando-se a
performance do método quando se faz uma modificação no limitante inferior da variável do
problema. Os resultados numéricos demonstram a eficiência do método quando comparado
com outros já publicados, principalmente àqueles obtidos pelo Método Primal-Dual de
Pontos Interiores do tipo Previsor-Corretor (PDPC), encontrados em [Balbo et al, 2008].
1. Introdução
Desde sua introdução em 1984, o algoritmo de transformação projetiva de
Karmarkar (1984) transformou-se em um notável método de ponto interior para resolver
problemas de programação linear. Este trabalho pioneiro provocou uma agitação nas
atividades de pesquisas nesta área. Entre todos os variantes relatados do algoritmo original
de Karmarkar, o primeiro procedimento que atraiu a atenção dos pesquisadores foi aquele
que utilizava uma transformação afim simples para substituir a transformação projetiva
original de Karmarkar, a qual era muito complexa, e permitir que se trabalhasse no
problema de programação linear em sua forma padrão. O algoritmo afim foi apresentado
primeiramente por Dikin, um matemático soviético, em 1967. Mais tarde, em 1985, o
trabalho era independentemente redescoberto por Vanderbei, Meketon e Freedman. Estes
propuseram usar o algoritmo Primal-Afim para resolver problemas de programação linear
com restrições de igualdade, na forma padrão e na prova estabelecida da convergência do
algoritmo. Um algoritmo similar, denominado de algoritmo Dual-Afim, foi projetado e
executado por Adler, Karmarkar, Resende e Veiga, em 1989, para resolver problemas de
programação linear na forma de desigualdade. Comparado à transformação projetiva,
relativamente incômoda, a implementação do algoritmo Primal-Afim e Dual-Afim era mais
simples por ter relação direta com os problemas de programação linear. Estes dois
algoritmos, quando aplicados em problemas de grande dimensão, exibiram resultados
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promissores, embora a prova teórica da complexidade de tempo polinomial não foi obtida
com a transformação afim utilizada.
2. Objetivos
Neste trabalho pretende-se realizar uma extensão do Método Primal-Afim de pontos
interiores para abordar o caso de variáveis canalizadas. Um algoritmo é apresentado, sua
implementação prática é feita no software Pascal 7.0 e testes são realizados no problema em
destaque, comparando-se os resultados e analisando-se a performance do método, quando
se faz uma modificação no limitante inferior da variável do problema. Os resultados
numéricos demonstrarão a eficiência do método quando comparado com outros já
publicados em [Balbo et al, 2008].
3. O método primal-afim para variáveis canalizadas
3.1 Definição
Considere o seguinte problema primal:
=
:
TMinimizar z c x
Ax bSujeito a
l x u
(3.1)
em que m nA R , mb R , , , , nx c u l R .
Assim, tem-se que o problema (3.1) é equivalente aos seguintes problemas:
: e
TMinimizar z c x
Ax bSujeito a
x l x u
⟺
: e ; , 0
TMinimizar z c x
Ax bSujeito a
x r l x g u r g
(3.2)
Segue que o problema dual de (2.2) é expresso por:
: ; 0
T T T
T
Maximizar b w s u f
Sujeito a A w s f c s, f
(3.3)
Baseando-se nos problemas primal e dual definidos em (3.2) e (3.3), consideram-se
inicialmente as seguintes hipóteses para a definição do algoritmo Primal-Afim de pontos
interiores para variáveis com limitante superior:
O conjunto / , , , , 0nP x R Ax b x r l x g u r g é não vazio;
O conjunto , , / , 0, 0m n TD w R s f R A w s f c s f é não vazio;
A matriz de restrições A tem posto completo e igual a m.
Sob estas condições, tem-se do Teorema de Dualidade ([Bazaara e Javis 1977] e
[Luenberger, 1984]) que os problemas Primal (3.2) e Dual (3.3) têm soluções ótimas finitas
(pelo menos uma) com um valor comum da função objetivo. Além disso, os conjuntos das
soluções ótimas de (3.2) e (3.3) são limitados. Desta forma, tem-se em relação a estes as
seguintes condições de Karush-Kuhn-Tucker (KKT), encontradas em [Bazaraa e Javis,
1977] e [Luenberger, 1984]:
Ax b ; , , , 0x r l x g u r g ; , 0, 0TA w s f c s f ; 0RSe ; 0ZFe ; (3.4)
em que , , e R G S F são matrizes diagonais, respectivamente com , , e i i i ir g s f como
elementos diagonais.
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A partir das condições previstas em (3.4) determinam-se o resíduo primal, as folgas
complementares, o vetor estimativa dual, o resíduo dual, as direções de busca e o
comprimento do passo, indispensáveis para determinação de uma nova solução e definem-
se os passos do algoritmo a seguir, Primal-Afim para variáveis canalizadas, de acordo com
[Fang e Puthenpura, 1993].
3.2 Algoritmo Primal-Afim para Variáveis Canalizadas (PAVC)
Passo 1: Inicialização
Ajustar 0k e encontrar uma solução inicial 0 0 0 0 0( ; g ; w ; s ; f )x P D . Seja 1 2 3, , 0
pequenas tolerâncias positivas auxiliares ao passo 5 do algoritmo.
Passo 2 – Cálculo do resíduo primal e de folgas complementares
Calcular o resíduo primal: k kt b Ax
Calcular as folgas complementares: kk kv R S e e k
k kq G F e
Passo 3 – Cálculo do vetor estimativa dual
Calcular o vetor estimativa Dual: cAXAAXw k
T
k
k 212 )( ,
em que kX é uma matriz diagonal
cujos elementos são as componentes de xk.
Passo 4 – Cálculo do resíduo dual
Calcular o vetor resíduo dual: k T k k kr c A w s f
Passo 5 - Teste para otimalidade
Se 1
T k T k T T kc x b w l s u f , 2|| ||kv ,
2|| ||kq , 3|| ||kt ,
3|| ||kr , k k kl x u , 0ks , 0kf
então pare. Caso contrário, continuar.
Passo 6 - Encontrando as direções de busca
Calcular , , , , e k k k k k kx r g w s yd d d d d d como sendo 2k k
x kd X r , ;k k k kr x g xd d d d , 1k k
f k k gd G F d ,
1k ks k k xd R S d , e 2 1 2( ) ( )k T k k
w k k f sd AX A AX d d . Em que , , e k k k k kX R G S F são matrizes diagonais,
com , , , e k k k k ki i i i ix r g s f , respectivamente, como seus elementos diagonais.
Passo 7 – Teste para ilimitariedade e valor objetivo constante
Se , , , , 0k k k k kx r g s fd d d d d , então PARE, o problema é ilimitado. Se , , , , 0k k k k k
x r g s fd d d d d ,
então também PARE, , , , , ,k k k k k kx r g w s f são soluções ótimas dos problemas primal e dual,
respectivamente. Caso contrário ir para o Passo 8.
Passo 8 – Cálculo do comprimento do passo
Calcular 1 2 3 4min 1, , , ,k k k k k , em que 1 min / 0ik i
i
rdr
dx
, 2 min / 0ik i
i
gdg
dg
,
3 min / 0ik i
i
sds
ds
e 4 min / 0ik i
i
fdf
df
; 0 < < 1.
Passo 9 – Determinação de uma nova solução
Fazer 1k k kk xx x d ; 1 1;k k k k k k
k r k gr r d g g d ; 1k k kk sw w d ; 1k k k
k ss s d ;
1k k kk ff f d ; Ajustar 1 kk e ir para o Passo 2.
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4. Aplicação do algoritmo PAVC
Aplica-se o algoritmo PAVC definido em 3.2 para o exemplo 4.1, usando-se
diferentes limites inferiores para a variável x 3. Na Tabela 4.1, usa-se lt=(0,0,0) e na
Tabela 4.2, usa-se lt=(1,1,1), para verificar-se a convergência e a alteração da solução ótima
obtida com uma simples alteração do limitante inferior.
Exemplo 4.1
1 2 3 - 2 3Minimizar z x x x
1 2
2 3
1
2
3
5
10
0 3
0 6
0 8
x x
x x
Sujeito a x
x
x
Usando as seguintes soluções iniciais:
0 1,4,6T
x ; 0 0,0T
w ; 0 0,2,0T
s ; 0 1,0,3T
f
e 2
1 2 3 10 ;
como
tolerância para os critérios de parada e otimalidade do método, após cinco iterações, o
método PAVC determinou:
Tabela 4.1: Resultados obtidos após cinco iterações do algoritmo PAVC para lT = (0,0,0).
i 1 2 3
5ix
2.999850075 2.00014993 7.999850075
5ig 0.000149925 3.999850075 0.000149925
5is 2.999047036 3.2484806 0.43631985
5if 0.740933563 0.00096026 5.44691327
5iw
-3.25000000 2.010593 ---------------
E para estes valores a função objetivo atingiu o valor mínimo de -22.9998000.
A solução ótima exata deste PPL é: * 3,2,8T
x e o valor de mínimo é -23.
Na tabela 4.1, o valor de r(k) foi suprimido pois, para lT = (0,0,0) tem-se que x(k)=r(k).
A seguir, considera-se o exemplo 4.1 com o seguinte limitante inferior lT = (1,3,1).
Usando as seguintes soluções iniciais:
0 1.2,3.8,6.2T
x ; 0 0,0T
w ; 0 0,2,0T
s ; 0 1,0,3T
f e 2
1 2 3 10 ; como
tolerância para os critérios de parada e otimalidade do método, após cinco iterações, o
método PAVC determinou:
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Tabela 4.2: Resultados obtidos após cinco iterações do algoritmo PAVC para lT = (1,3,1).
i 1 2 3
5ix
1.99950025 3.00049975 6.999850025
5ir
0.99950025 0.00049975 5.99950025
5ig 1.0004998 2.9995003 1.0004998
5is 0.00140675 2.5879920 0.00720840
5if 1.0140675 0.12466996 2.5438865
5iw
0.00000000 -0.463322 -------------------
E para estes valores a função objetivo atingiu o valor mínimo de -16.9998000.
A solução ótima exata para este caso é: * 2,3,7T
x e o valor de mínimo é -17.
4. Conclusões
Foi realizada neste trabalho uma investigação teórica da extensão do método
Primal-Afim de pontos interiores para os problemas com variáveis canalizadas, onde se
verificou que, fazendo-se modificações simples em relação às direções de busca e em
relação ao comprimento do passo, o tratamento para variáveis canalizadas é análogo ao
tratamento feito para o caso de funções objetivo lineares, com variáveis maiores ou iguais a
zero. Um algoritmo foi descrito e sua aplicação em um PPL foi realizada através da
Linguagem de Programação Pascal, comparando-se os resultados obtidos com o trabalho já
realizado em [Balbo et al, 2008], o que demonstrou a viabilidade da aplicação deste método.
Observou-se que, uma simples alteração no limite inferior da variável do problema, em
relação à tabela 4.1, alterou a solução ótima obtida encontrada na tabela 4.2. A continuidade
deste trabalho está relacionada à extensão deste método para Problemas de Programação
Quadráticas (PPQ’s) com variáveis canalizadas, visando sua aplicação em Problemas de
Despacho Ambiental, encontrados na Engenharia Elétrica, visto em [Balbo et al, 2008] e
[Samed, 2004].
5. Referências
[Adler et al., 1989] I. Adler, N. Karmakar, M. Resende e G. Veiga, An Implementation of
Karmakar's algorithm for linear Programming, Math Programming-pp. 297-335, 1989.
[Balbo et al, 2008] A. R. Balbo, M. A. S. Souza, E. C. Baptista, Métodos primal-dual de
pontos interiores aplicados à resolução de problemas de despacho econômico: sobre a
influência da solução inicial In: XL SBPO - Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional,
2008,. XL SBPO (João Pessoa – PB), Ed. RJ: ILTC, p.2074 – 2085 (2008).
[Bazaraa e Javis, 1977], M. Bazaraa e Javis. J. J., Linear Programming and Network Flows
- John Wiley, 1977.
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[Dikin, 1967] I. I. Dikin, Iterative solution of problems of linear and quadratic
programming (in Russian), Doklady Akademiia Nauk USSR 174, 747-748, Soviet
Mathematics Doklady 8, 674-675, 1967.
[Fang el at, 1993] S. C. Fang e S. Puthenpura, Linear Optimization and Extensions: Theory
and Algorithms, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1993.
[Karmarkar, 1984] N. Karmarkar, A New Polynomial-Time Algorithm for Linear
Programming. Combinatórica 4, v. 4, pp. 373-395 (1984).
[Luenberger, 1984] D. G. Luenberger, Linear and Nonlinear Programming, Addison-
Wesley Publ. Co., 2nd ed., 1984.
[Samed, 2004] M. M. A. Samed, Algoritmo Genérico Híbrido Co-Evolutivo para Resolver
Problemas de Despacho, Tese de Doutorado, UEM, Depto de Engenharia Química, Agosto
de 2004, 167 p.
[Vanderbei et al, 1984] R.J. Vanderbei, M. S. Meketon, e B. Freedman, A., A modification
of Karmarkar’s linear programming algorithms, Algorithmica 1, 395-407, 1984.
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HABILIDADES GEOMÉTRICAS DESENVOLVIDAS POR
ALUNOS DA EDUCAÇÃO INFANTIL: UM ESTUDO
EXPLORATÓRIO
Evandro Tortora; Nelson Antonio Pirola
Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática,
Palavras-chave: Educação infantil; habilidades; habilidades geométricas.
Resumo
Trata-se de uma pesquisa de Iniciação científica em fase inicial, cujo objetivo geral é
investigar o seguinte problema: Quais e como as habilidades, relacionadas a espaço e
forma, estão sendo desenvolvidas na Educação Infantil? A partir desse problema
pretende investigar: 1- Como estão sendo desenvolvidas habilidades básicas da
geometria, como lateralidade, lateralização, percepção espacial e orientação espacial?
2-O que pensa o professor da Educação Infantil sobre os objetivos do trabalho com
espaço e forma? 3- Qual o desempenho e as dificuldades encontradas por crianças ao
término da Educação Infantil em atividades envolvendo habilidades básicas de
lateralização, lateralidade, percepção espacial e orientação espacial? Serão
participantes da pesquisa 40 crianças da Educação Infantil e seus respectivos
professores. Serão utilizados como instrumentos para a coleta de dados questionário,
entrevista, diário de campo e testes para avaliar a lateralização, lateralidade,
orientação espacial e percepção geométrica. Trata-se de um estudo exploratório cuja
análise dos dados terá um caráter qualitativo.
Introdução
A Psicologia da Educação Matemática – PME - é uma área interdisciplinar que
tem como principal objetivo investigar processos de ensino e aprendizagem da
Matemática tendo como fundamentos teorias da Psicologia. Entre os temas abordados
pela PME encontra-se a formação de conceitos em geometria. Vários estudos têm sido
conduzidos nessa área enfocando diferentes olhares para o problema do ensino e da
aprendizagem da geometria escolar, como por exemplo, os estudos de Viana (2000),
Viana (2005), Rezi (2001), Rezi (2007), Pirola (2000), entre outros. Parece haver um
consenso entre esses autores sobre a existência de um abandono do ensino da geometria
nas escolas em diferentes níveis de ensino.
Proença (2006) mostrou em seus estudos que alunos do ensino Médio
apresentaram dificuldades na discriminação de atributos relevantes de dois conceitos
básicos da geometria: polígonos e poliedros. Nesta mesma direção, Pirola (1995)
também identificou dificuldade dos alunos do ensino fundamental na identificação de
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atributos definidores e de exemplos e não- exemplos de figuras básicas da geometria
plana que são trabalhadas desde a Educação Infantil, como triângulo e paralelogramo.
As habilidades básicas relacionadas à geometria, como percepção geométrica e
orientação espacial, que contribuem para que o aluno consiga trabalhar com noções de
Espaço e Forma, devem ser desenvolvidas desde a Educação Infantil.
Segundo Pirola (2006):
“A Educação Infantil é um campo bastante fértil para o trabalho com
as noções de espaço e forma, visto que as crianças, desde o nascimento,
exploram os objetos e o meio em que vivem através dos órgãos dos sentidos à
medida em que a criança cresce e desenvolve a coordenação de movimentos
ela passa a descobrir elementos importantes presentes nos objetos, como
dimensões, profundidades, contornos e vizinhanças, bem como as relações
espaciais entre os objetos.” (p. 196)
Dessa forma, o desenvolvimento das habilidades básicas relacionadas à
Geometria desde a Educação Infantil pode propiciar o desenvolvimento de novas
habilidades favorecendo a aprendizagem de conceitos da geometria plana e espacial de
forma significativa.
Objetivos
O objetivo geral da pesquisa é investigar o seguinte problema: Quais e como as
habilidades, relacionadas a espaço e forma, estão sendo desenvolvidas na Educação
Infantil?
A partir desse problema de pesquisa, três objetivos específicos serão
investigados: Primeiro, como estão sendo desenvolvidas habilidades básicas da
geometria, como lateralidade, lateralização, percepção espacial e orientação espacial?
Segundo, O que pensa o professor da Educação Infantil sobre os objetivos do trabalho
com espaço e forma? E por fim, qual o desempenho e as dificuldades encontradas por
crianças ao término da Educação Infantil em atividades envolvendo habilidades básicas
de lateralização, lateralidade, percepção espacial e orientação espacial?
Fundamentação Teórica
No âmbito das pesquisas relacionadas à área, serão utilizados como
fundamentação teórica os estudos das áreas da Psicologia, em especial, à área da
Psicologia da Educação Matemática.
Desde os primeiros anos de idade a criança já começa a desenvolver relações
geométricas, o que irá contribuir para a formação do seu pensamento geométrico.
Segundo o RCNEI (1998):
O pensamento geométrico compreende as relações e representações espaciais que as
crianças desenvolvem, desde muito pequenas, inicialmente pela exploração sensorial
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dos objetos, das ações e deslocamentos que realizam no meio ambiente, da resolução
de problemas (BRASIL, 1998, p. 229).
As principais habilidades que as crianças começam a desenvolver, desde
pequenas são a lateralização, a lateralidade, a percepção geométrica e a orientação
espacial.
Será utilizado o conceito de habilidade definido por Krutetskii (1976), um
psicólogo russo que investigou durante uma década os componentes das habilidades
matemáticas e considerou que as habilidades são qualidades internas de uma pessoa que
permitem a realização satisfatória de uma atividade definida
Entre as principais habilidades geométricas temos a lateralização e a
lateralidade. Ambas foram estudadas por Pires, Curi e Campos (2001). Segundo essas
autoras, a lateralização utilização o nosso próprio corpo como referência e a lateralidade
é construída a partir do momento em que outros pontos de referências são adotados.
Outra habilidade geométrica que é desenvolvida pelas crianças é a percepção.
De acordo com Sternberg (2000) a percepção é “um conjunto de processos psicológicos
pelos quais as pessoas reconhecem, organizam, sintetizam e fornecem significações (no
cérebro) às sensações recebidas dos estímulos ambientais (nos órgãos dos sentidos)”
(p. 147). No caso específico da geometria, a percepção geométrica está relacionada à
percepção das formas dos objetos que estão ao nosso redor.
A orientação espacial também é uma das habilidades que as crianças começam a
desenvolver desde pequenas. Conforme o recém-nascido começa a engatinhar, ele
começa a perceber o “seu espaço” e logo percebe que precisa se desviar de
determinados objetos para não colidir com eles.
Dessa forma, a percepção geométrica leva a criança a reconhecer, organizar e
sintetizar as informações oriundas dos objetos que estão ao seu redor e a orientação
espacial auxilia a criança a se movimentar e a localizar objetos tendo como base pontos
de referências.
Metodologia
Serão participantes da pesquisa 40 crianças da Educação Infantil e seus
respectivos professores (estimando-se em dois professores).
1- Instrumento para a coleta de dados:
Os seguintes instrumentos serão utilizados:
Para se atingir o primeiro e o segundo objetivo específico utilizaremos de uma
entrevista semi-estruturada e áudio-gravadas com professores da Educação Infantil e
diário de campo com observações de sala de aula;
Para se atingir o terceiro objetivo específico será utilizado testes de percepção
geométrica envolvendo figuras geométricas, orientação espacial - envolvendo noções de
deslocamento e de localização e de lateralidade e de lateralização.
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XXII Semana da Licenciatura em Matemática e 2º Encontro de Formação do Professor de Matemática e Tecnologias Digitais 22
2- Método: A pesquisa tem um caráter exploratório. De acordo Ketele e Roegiers
(1993) a investigação exploratória possibilita melhor compreensão do assunto a
ser estudado e os fenômenos que surgem dos estudos.
3- Análise dos dados: A análise do questionário e diário de campo será feita por
meio de categorias a serem elaboradas. As entrevistas serão transcritas e
analisadas de acordo com categorias a serem estabelecidas. Por fim, os testes de
lateralização, lateralidade, percepção geométrica e orientação espacial serão
analisados de forma qualitativa com o objetivo de buscar evidências sobre o
desenvolvimento dessas habilidades.
4- Resultados esperados: A pesquisa pretende contribuir com a discussão acerca
do desenvolvimento de habilidades geométricas por crianças da educação
infantil. Espera-se que este trabalho posso suscitar outros nessa área, tendo em
vista que a literatura sobre esse tema é muito restrito na área de investigação em
Educação Matemática. Espera-se também evidenciar as principais habilidades
que são desenvolvidas na Educação Infantil no âmbito do espaço e forma, bem
como as dificuldades apresentadas pelos participantes no uso de algumas
habilidades geométricas básicas , como lateralização, lateralidade, percepção
geométrica e orientação espacial. A partir das entrevistas com os professores da
Educação Infantil e com as participações do pesquisador nas atividades diárias
em sala de aula espera-se responder ao problema geral de investigação: Quais e
como as habilidades, relacionadas a espaço e forma, estão sendo desenvolvidas
na Educação Infantil?
Referências
BRASIL, MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO, SECRETÁRIA DA
EDUCAÇÃO FUNDAMENTAL, Referencial Curricular Nacional para Educação
Infantil, Brasília: MEC/SEF, 253 p.
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Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Faculdade de Educação, Universidade
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PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 3, 2006. Águas de Lindóia. Anais...
Águas de Lindóia: SBEM, 2006
REZI, V. Um estudo exploratório sobre os componentes das habilidades
matemáticas presentes no pensamento em geometria. 2001. Dissertação (Mestrado
em Educação Matemática) – Faculdade de Educação, Universidade Estadual de
Campinas, Campinas.
REZI-DOBARRO, V. Solução de problemas e tipos de mente matemática: relações
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STERNBERG, R. J. Psicologia Cognitiva. Trad. Maria Regina Borges Osório. Porto
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VIANA, O. A. O conhecimento geométrico de alunos do Cefam sobre figuras
espaciais: um estudo das habilidades e dos níveis de conceito. 2000. Dissertação
(Mestrado em Educação Matemática) – Faculdade de Educação, Universidade Estadual
de Campinas, Campinas.
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REFLETINDO A MINHA FORMAÇÃO: UM ESTUDO SOBRE A
CADES EM DUARTINA
Juliana Aparecida Rissardi Finato, Ivete Maria Baraldi
Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática,
Palavras-chave: CADES; formação de professores; educação matemática
Keywords: CADES; formation of professors; mathematical education
Resumo
A CADES – Campanha de Aperfeiçoamento e Difusão do Ensino Secundário, instituída
pelo decreto 34.638 de 14/11/1953 durante o governo getulista, tinha como objetivo
difundir e elevar o nível do ensino secundário. Uma das finalidades da CADES era a de
promover cursos para a formação de professores, numa época em que as faculdades, próprias
para tal, eram quase inexistentes no Brasil. Com esse trabalho pretende-se, por meio de
depoimentos orais de professores (utilizando-se da História Oral como metodologia de
pesquisa) e da revisão de literatura específica, mapear e entender a influência da
CADES na cidade de Duartina – SP, bem como refletir sobre os possíveis traços
deixados pelos antigos professores que participaram de minha vida acadêmica,
registrar a história de vida profissional de professores e definir concepções de ensino e
aprendizagem, de escola e de Educação Matemática, conceitos importantes para um
futuro professor de matemática. O projeto, de cunho qualitativo, encontra-se em fase de
desenvolvimento, sendo como financiamento a bolsa PIBIC/Reitoria.
Introdução
A minha formação acadêmica foi praticamente toda em Duartina, onde nasci e
moro até hoje. Afastei-me de minha cidade no último ano do ensino médio, para estudar
em uma escola particular de Bauru com bolsa integral. Percebi que, durante este
período, as relações pessoais nessa comunidade escolar eram diferentes daquela que até
então convivi. As pessoas me pareciam mais distantes e os professores mais rígidos.
Hoje estou na Universidade, em uma cidade vizinha a minha. Durante uma
disciplina do curso de Licenciatura em Matemática denominada “História na Educação
Matemática”, onde nos foi apresentado a CADES (Campanha para o Aperfeiçoamento e
Difusão do Ensino Secundário), instituída pelo decreto 34.638 de 14/11/1953 durante o
governo getulista, em um período no qual não havia faculdades suficientes para a
formação de professores, é que surgiu meu interesse sobre o tema. A CADES tinha
como objetivo difundir e elevar o nível do ensino secundário, ou seja, tornar a educação
secundária mais ajustada aos interesses e necessidades da época, conferindo ao ensino
eficácia e sentido social, bem como criar possibilidades para que os mais jovens
tivessem acesso à escola secundária. Uma das finalidades da CADES era a de promover
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cursos e estágios de especialização e aperfeiçoamento, para professores, técnicos e
administradores de estabelecimentos de ensino secundário que, segundo Baraldi (2003)
esses cursos, geralmente, tinham a duração de um mês (janeiro ou
julho) e eram elaborados a fim de suprir as deficiências dos professores, até
então leigos, referentes aos aspectos pedagógicos e aos conteúdos específicos
das disciplinas que iriam lecionar ou que já lecionavam (BARALDI, 2003,
p.152).
Após a realização desse “curso” era necessário a aprovação no Exame de
Suficiência – este exame foi instituído pela Lei 8.777 de 22/01/1946, mas como o
número de reprovações era alto, decidiu-se por deixá-lo sob a responsabilidade da
CADES, na tentativa de elevar o número de aprovações (Lei 2.430 de 19/02/1955) e
preparar os professores para tal exame. Para os aprovados era concedido “o registro de
professor do ensino secundário e o direito de lecionar onde não houvesse
disponibilidade de licenciados por faculdade de filosofia” (BACKERS & GAERTNER,
2007, p. 22).
Outras finalidades da CADES, de acordo com o que está publicado na Revista
EBSA nº. 030 – Novembro de 1953 – p. 317-318 eram a elaboração de material
didático; adoção de providências destinadas à melhoria e ao barateamento do livro
didático.
Diante disso, algumas indagações: “Houve diferenças na formação, no modo de
ensinar ou de se portar dentro de uma sala de aula, entre professores formados pela
CADES com relação àqueles formados por faculdades? Houve dificuldades para os
professores cadesianos quando surgiram novos professores formados por
faculdades?”. Ainda: “Qual a formação de meus ex-professores? Qual a influência
deles em minha formação?”
Por estas e outras perguntas que decidi iniciar este trabalho e buscar refletir
sobre: O que é o processo de ensino e aprendizagem? Quais são as concepções de
Educação Matemática? O que significa escola e disciplinas escolares? Quais perfis de
professores podem ser traçados?
Dessa maneira, espero com esse trabalho esboçar uma compreensão das questões
elaboradas anteriormente, com a contribuição dos professores entrevistados e por meio
da revisão de literatura específica.
Objetivos
A formação de um profissional é influenciada pelos exemplos que ele possui.
Assim sendo, a forma de um professor se portar dentro de uma sala de aula tende a se
parecer como a dos outros professores que tenha visto em serviço.
A peculiaridade da formação do professor, por ter em seu mundo de trabalho
o mesmo ‘espaço’ no qual foi formado, ou seja, a sala de aula, favorece a que
ele assuma, depois de formado, não só a posição física de seus professores,
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mas também a postura, atitudes, formas de ensinar etc, fazendo um efeito
‘espelho’. (QUADROS et all, 2005, p. 11).
Dessa maneira, neste trabalho, tem-se como objetivo geral, mapear e entender a
influência da CADES na cidade de Duartina, tentando responder uma das indagações
feitas anteriormente, e talvez acrescentar outros ingredientes ao trabalho de Baraldi
(2003).
Como objetivos específicos, tem-se: refletir sobre os possíveis traços deixados
pelos antigos professores que participaram de minha vida acadêmica; registrar a história
de vida profissional de professores de Duartina – SP; efetuar um estudo aprofundado da
literatura pertinente, com a finalidade de definir as concepções de ensino e
aprendizagem, de escola e de Educação Matemática, conceitos importantes para um
futuro professor de matemática.
Justificativa e relevância do tema
Quanto ao objetivo geral apresentado, este estudo é relevante pois
A literatura especializada em Educação e em História da Educação guarda
um silêncio atordoante e injustificado quanto a essa campanha de formação
de professores. Para o interior do estado de São Paulo, a CADES
desempenhou papel extremamente mais importante que as faculdades de
Filosofia no que diz respeito à formação de seus quadros docentes,
importância também manifesta em outros estados do país (GARNICA, 2005,
p.129).
Quanto aos demais objetivos, saliento que um profissional só se torna completo,
quando as suas lacunas são preenchidas. Sendo assim, esse trabalho é relevante, pois
com ele terei a possibilidade de estudar a minha cidade, entender a minha formação e a
de meus professores, além de contribuir para a História da Educação (Matemática) ao
fazer um estudo sobre a CADES tão esquecida pelos meios educacionais.
Metodologia
Para realizar este estudo, de cunho qualitativo, a metodologia utilizada será a da
História Oral e, conseqüentemente, coletaremos depoimentos orais de professores
formados pela CADES, de meus ex-professores que foram alunos dos primeiros, assim
como serão analisados documentos escritos e iconográficos.
Com relação aos depoimentos necessários para o desenrolar deste projeto, posso
dividir essa fase da seguinte maneira:
Entrega ao colaborador de um roteiro de questões.
Agendamento da entrevista;
Assinatura do termo de consentimento
Entrevista gravada com o colaborador, no dia previamente agendado;
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Processo de transcrição: passagem da gravação oral para o escrito. Entrega
do que foi transcrito ao colaborador para conferência;
Processo de textualização: fase necessária para dar lógica ao texto e exclusão
de vícios de linguagem. Entrega do resultado da textualização ao colaborador
para conferência;
Entrega ao colaborador de uma carta de cessão, autorizando o autor a utilizar
seu depoimento, tanto a gravação quanto o escrito.
Fase de análise e considerações do que foi obtido até então.
Resultados
O presente trabalho encontra-se em desenvolvimento. No entanto, através da
realização deste trabalho, espero refletir sobre minha formação, e até mesmo contribuir
com o trabalho de Baraldi (2003) trazendo novos traços para a minha região,
colaborando também com a pesquisa de Baraldi e Gaertner que se dispuseram a estudar
a CADES, como pode ser observado no artigo “Contribuições da CADES para a
Educação (Matemática) Secundária no Brasil: uma descrição da produção bibliográfica”
publicado no Bolema (2010) e no livro que estão produzindo.
Referências
BACKES, Tayza; GAERTNER, Rosinéte. Educação e memória: inventário das obras
publicadas na área de matemática pela campanha de aperfeiçoamento e difusão do
ensino secundário (CADES). Dynamis Revista Tecno-científica, Blumenau - SC, vol.
13, n.1, p.21-28, out-dez/2007.
BARALDI, Ivete Maria. Retraços da Educação Matemática na região de Bauru
(SP): uma história em construção. 2003. Tese (Doutorado em Educação Matemática) –
IGCE, Universidade Estadual de São Paulo, Rio Claro, 2003.
BARALDI, Ivete Maria; GAERTNER, Rosinéte. Contribuições da CADES para a
Educação (Matemática) Secundária no Brasil: uma descrição da produção bibliográfica.
BOLEMA. Boletim de Educação Matemática (UNESP. Rio Claro. Impresso), v. 23, p.
159-183, 2010.
EBSA – Documentário do Ensino. Rio de Janeiro: Editora do Brasil, n. 30, p. 317-318,
nov. 1953.
GARNICA, Antonio Vicente Marafioti. Escolas, professores e caipiras: exercício para
um descentramento histórico. Educação e Pesquisa, São Paulo, v. 31, n. 1, p.121-136,
jan./abr. 2005.
QUADROS, Ana Luiza de et al. Os professores que tivemos e a formação da nossa
identidade como docentes: um encontro com nossa memória. Revista Ensaio, UFMG,
v. 7 n. 01, 2005. Disponível em:
XXII SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
XXII Semana da Licenciatura em Matemática e 2º Encontro de Formação do Professor de Matemática e Tecnologias Digitais 28
<http://www.portal.fae.ufmg.br/seer/index.php/ensaio/article/view/86/134>. Acesso em:
31 mar. 2010.
XXII SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
XXII Semana da Licenciatura em Matemática e 2º Encontro de Formação do Professor de Matemática e Tecnologias Digitais 29
MEMÓRIA DOCENTE E MODELAGEM MATEMÁTICA:
CONTRIBUIÇÕES NA FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE
MATEMÁTICA
Karen Rocha Coelho; Juliana Aparecida Rissardi Finato; Ivete Maria Baraldi; Sueli
Liberatti Javaroni Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática,
[email protected], [email protected]
Palavras-chave: Narrativa de formação; modelagem matemática; educação matemática
Keywords: Narrative of formation; mathematical modeling; mathematical education
Resumo
Utilizando-se do tema gerador, os valores nuticionais dos alimentos, pretende-se
promover discussões sobre as práticas de memória docente, utilizar a memória docente
(narrativas) para a releitura de concepções e de metodologia em educação matemática,
fornecer referenciais teóricos e práticos sobre a saúde alimentar e a importância
nutritiva dos alimentos, colaborando com a melhoria da qualidade de vida dos
participantes. Pretende-se desenvolver projetos de modelagem matemática utilizando
os referenciais da área de Nutrição como metodologia de ensino e aprendizagem de
conteúdos de matemática, além de fornecer recursos metodológicos para a utilização
de tecnologias informáticas em salas de aula de matemática, como é o caso do
programa Excel presente no pacote Office do Windowns. Além disso, utilizaremos o
filme mexicano “Como água para chocolate” com direção de Alfonso Arau para
trabalhar as diversas formas de comunicação existentes, auxiliando no entendimento da
importância da escrita de narrativas dentro do ambiente educacional. O projeto está
sendo desenvolvido pelas professoras Sueli Liberatti Javaroni e Ivete Maria Baraldi,
docentes do Departamento de Matemática e pelas alunas bolsistas Karen R. Coelho e
Juliana A. R. Finato do Curso de Licenciatura em Matemática da Faculdade de
Ciências, UNESP, Bauru, com a colaboração da professora Silvia J. P. Berto, docente
do Departamento de Enfermagem da Faculdade de Medicina de Botucatu e é
financiado pelo Núcleo de Ensino da UNESP.
Objetivos
O presente trabalho tem por objetivo apresentar um recorte do projeto, ainda em
desenvolvimento, intitulado “Cheiros, sabores e memórias de professores de
matemática: uma experiência saudável com Modelagem Matemática”. O principal
objetivo desse projeto é fomentar discussões e reflexões acerca da utilização de
Narrativas e Modelagem Matemática, com o auxílio de tecnologias informáticas para o
desenvolvimento de projetos de ensino e aprendizagem de conteúdos de matemática,
contribuindo assim para a formação continuada de professores de matemática do Ensino
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XXII Semana da Licenciatura em Matemática e 2º Encontro de Formação do Professor de Matemática e Tecnologias Digitais 30
Básico da rede estadual e a formação inicial de alunos de graduação do curso de
Licenciatura em Matemática.
Fundamentação teórica
Os professores de matemática podem ser produtores de textos que projetam
sonhos, expressam dificuldades, eternizam práticas, descrevem o banal, o comum, o
repetitivo e o sensacional da sala de aula. Por meio de narrativas de suas vidas, focando
a construção histórica de sua formação, é possível que os mesmos façam uma reflexão
sobre sua prática profissional promovendo a ressignificação, como nos aponta o
trabalho de Nacarato, Mengali e Passos (2009). Ainda, como nos alerta o trabalho de
Mignot e Cunha (2003), as memórias dos professores “anônimos” se constituirão numa
importante fonte para o desenvolvimento de investigações que se inserem na área da
História da Educação (matemática), ao relatarem um contexto, uma época, um modo de
formação. “Se escrever favorece o pensamento reflexivo, a conclusão acaba por ser
inevitável: a produção de textos escritos é uma ferramenta valiosa na formação de
todos” (Prado; Soligo, 2007).
Além dos ganhos pessoais que a escrita reflexiva propicia aos professores, a
publicação de textos produzidos por quem contribui para a melhoria da educação é uma
conquista para toda a categoria profissional. A prática escrita dos educadores veicula os
saberes produzidos no exercício da profissão e, assim, as produções escritas merecem
ser publicadas, pois podem ser tomadas como subsídio para outros profissionais como
nos aponta Reis (2008)
Outros professores, lendo, analisando e discutindo essas narrativas atribui-
lhes um sentido e apropriam-se do seu conteúdo de uma forma muito
particular (através do filtro dos seus próprios conhecimentos e vivências),
retirando dessas histórias os aspectos que consideram mais significativos. As
narrativas, apesar do distanciamento de quem as lê e analisa, permitem a
aproximação dos leitores por um mecanismo de identificação com as
situações descritas (REIS, 2008, pg. 21).
A narrativa de formação é um modo de narrar a história por escrito, permitindo
que a mesma seja preservada do esquecimento. É onde são contadas histórias vividas
por nós mesmos. A narrativa de formação é um gênero assumido pelos educadores que
são protagonistas em relação a sua própria atuação e seu processo de formação. A
narrativa é o elo entre a prática do professor e a reflexão da/sobre essa prática, tornando-
se um espaço onde o professor tem a possibilidade de transmitir sua experiência, suas
crenças e seus sentimentos. O tema proposto para a condução deste projeto é: alimentos,
seus cheiros e sabores.
Através do sentido olfativo, que é o mais complexo dos cinco que possuímos e é
o que se relaciona intimamente com as memórias e emoções, é possível que sintamos os
cheiros e sabores que nos permitem lembrar de pessoas, situações, lugares, comidas, nos
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XXII Semana da Licenciatura em Matemática e 2º Encontro de Formação do Professor de Matemática e Tecnologias Digitais 31
levando de volta à infância e às lembranças de experiências boas e ruins vividas ao
longo de nossas vidas. Dowdey (2010) afirma que “um cheiro pode trazer uma
enxurrada de lembranças, influenciar o humor das pessoas e afetar seu desempenho no
trabalho. (...) o olfato pode trazer à tona lembranças e respostas poderosas quase que
instantaneamente”. Sendo assim, “os cheiros” dos alimentos podem estimular os
professores a produzirem suas narrativas. Dessa forma alguns professores e alunos
convidados a participar desse projeto serão estimulados a escrever suas memórias de
modo que se possam promover discussões sobre a prática docente.
A partir desse momento haverá a possibilidade da intervenção de uma
nutricionista que fornecerá informações sobre saúde alimentar e a importância nutritiva
dos alimentos, colaborando com a melhoria da qualidade de vida dos professores. Após
essa intervenção, serão realizados estudos sobre Modelagem Matemática como
metodologia de ensino e de aprendizagem tendo a nutrição como tema central. A
escolha do tema gerador (alimentos, seus cheiros e sabores) justifica-se por possibilitar
a modelagem matemática para explicar alguns de seus aspectos, propiciando a
aprendizagem de conceitos matemáticos de maneira contextualizada e utilizando as
tecnologias informáticas.
A partir do tema nutrição, outros aspectos também podem ser abordados
evidenciando que a Modelagem Matemática é uma ferramenta importante para o
desenvolvimento de outras ciências. Segundo Bassanezi (2009), ao adotar a modelagem
matemática, o professor enfatiza as aplicações matemáticas, utilizando a modelagem
como procedimento de resoluções criativas de problemas e preparando o aluno para
utilizar a matemática como uma ferramenta de resoluções de problemas em diversas
situações e áreas do conhecimento.
Nesse projeto, a partir dos dados obtidos com as receitas fornecidas pelos
professores, os mesmos vivenciarão a experiência de “modelar” situações utilizando
softwares que estão disponíveis nos computadores de escolas como, por exemplo,
programas do pacote Office do Windows, no caso o Excel, que permite o tratamento de
gráficos, funções, fórmulas, tabelas. Segundo Tatsch (2010), as atividades com
Modelagem Matemática exigem a interpretação, construção e análise de gráficos,
tabelas e fórmulas matemáticas e para tais atividades sente-se a necessidade de
microcomputadores para colaborar na riqueza das conclusões obtidas através da
construção de gráficos que representem a situação estudada.
Também, o projeto proporcionará a nós, alunos da Licenciatura em Matemática,
a possibilidade de vivenciar experiências teóricas e práticas no que diz respeito a nossa
própria formação enquanto professores de matemática, favorecendo o vislumbrar de
uma formação continuada e a possibilidade de ser um professor-pesquisador.
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Procedimentos metodológicos
Para o desenvolvimento das atividades descritas, acontecerão reuniões
quinzenais com os participantes. Essas reuniões serão utilizadas para a apresentação do
filme “Como Água para Chocolate” do diretor Alfonso Arau, para a discussão do
referido filme, para leituras e discussões de referenciais teóricos sobre narrativas, para
que possa haver uma releitura de concepções e de metodologia em educação
matemática; sobre modelagem matemática, para que os participantes possam ter contato
com uma metodologia de ensino e aprendizagem de matemática; sobre tecnologias
informáticas e educação matemática. Além dessas atividades, teremos a palestra da
professora Silvia Justina Papini Berto com o tema nutrição, que fornecerá informações
sobre saúde alimentar e a importância nutritiva dos alimentos, colaborando com a
melhoria da qualidade de vida dos professores e dos alunos em formação.
Conclusões
O presente trabalho apresenta um projeto que se encontra em fase de
desenvolvimento e, portanto, as atividades realizadas, até o presente momento, foram
relativas à revisão bibliográfica acerca de teóricos sobre memorial/narrativa de
formação, modelagem matemática, tecnologias informáticas na educação matemática e
nutrição. Também foram preparadas atividades para serem realizadas durante o
desenvolvimento dos trabalhos com os professores da rede pública e os alunos do curso
de Licenciatura em Matemática.
Desta forma, espera-se que os participantes do projeto possam discutir e refletir
acerca da importância da utilização de narrativas e modelagem matemática em sua
formação, continuada ou inicial. Sendo que a primeira possibilita a reflexão sobre sua
prática docente e também a divulgação de seu trabalho, o qual contribui para o
crescimento dos estudos sobre Educação Matemática. Já com modelagem matemática
espera-se que os professores possam vivenciar o desenvolvimento de projetos de ensino
e aprendizagem de conteúdos de matemática, utilizando-a como uma abordagem
pedagógica para suas aulas, visando assim, uma maior compreensão dos conceitos
matemáticos pelos alunos bem como maior motivação dos mesmos para aprender tal
disciplina. Espera-se que também, fornecer aos participantes, um recurso metodológico
para a utilização de tecnologias informáticas em salas de aula de matemática. E ainda,
com a exploração do tema alimentos, seus cheiros e sabores e da palestra da profissional
da área de nutrição, espera-se que os participantes do projeto possam refletir sobre seus
hábitos alimentares de modo que possam melhorar sua qualidade de vida.
Referências
BASSANEZI, R. C. Ensino Aprendizagem com Modelagem Matemática. 3ª ed., 1ª
reimpressão – São Paulo, SP: Contexto, 2009.
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DOWDEY, S. Como Funciona o Olfato. Disponível em:
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PRADO, G. V. T.; SOLIGO, R. (orgs). Porque escrever a fazer história: revelações,
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http://www.inf.unioeste.br/~rogerio/MM-Uma-Alternativa-EM.pdf. Acessado em:
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XXII SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
XXII Semana da Licenciatura em Matemática e 2º Encontro de Formação do Professor de Matemática e Tecnologias Digitais 34
UMA ANÁLISE DE DADOS METEOROLÓGICOS PARA A
CIDADE DE BRASÍLIA UTILIZANDO UM ENFOQUE
BAYESIANO
Marcelo Andrade da Silva; Nair Cristina Margarido Brondino; Lincoln Rodrigo Alves
Pereira Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática, [email protected]
Palavras-chave: Teorema de Bayes; dados meteorológicos; umidade relativa do ar de Brasília.
Keywords: conditional probability, weather data, relative humidity of Brasilia.
Resumo
O presente trabalho visa a utilizar um enfoque bayesiano para analisar a umidade
relativa do ar na cidade de Brasília. A escolha desta cidade é devida aos noticiários
que sempre apontam o clima seco da cidade como um problema à sua população. A
escolha também foi favorecida pela disponibilidade de dados meteorológicos, em
medidas horárias desde o ano de 1999. A Secretaria de Saúde do Estado da Saúde
informa que o tempo seco e frio aumenta as internações por problemas respiratórios
em 60% nos hospitais do Sistema Único de Saúde do estado de São Paulo. Especialistas
alertam que a situação é tão grave, que mortes repentinas são causadas por crises de
asma ou complicações de doenças respiratórias. A umidade baixa do ar causa uma
preocupação com o bem-estar do ser humano, o que motivou o estudo do
comportamento da umidade relativa do ar condicionada a outras informações na
cidade de Brasília.
1. Introdução
As condições climáticas atingem diretamente a vida do ser humano. Cerca de
90% dos desastres naturais no mundo são ligados a fenômenos climáticos, segundo o
diretor da Organização Mundial da Meteorologia (OMM), Dieter Schiessl. (Jornal da
Ciência).
Um exemplo é a baixa umidade do ar que afeta a saúde do homem, causando
ressecamento de pele, narina e olhos, além de aumentar as chances de doenças
respiratórias. A umidade do ar também pode atingir a agricultura. A pesquisadora do
Centro de Pesquisas Meteorológicas e Climáticas Aplicadas à Agricultura, da
Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), Ana Maria Heuminski de Avila diz: “É
importante que o agricultor esteja bem informado para saber fazer o acompanhamento
das condições do tempo adequadamente. Saber quais os valores que são benéficos e
quais os que ele deve tomar providências. Com os dados obtidos, o agricultor vai poder,
por exemplo, utilizar de forma racional a água, fazendo um acompanhamento na sua
propriedade do serviço de irrigação”. (AgSolve – 22/09/2008).
XXII SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
XXII Semana da Licenciatura em Matemática e 2º Encontro de Formação do Professor de Matemática e Tecnologias Digitais 35
Por afetar a vida humana diretamente, muitos estudos surgiram para
aperfeiçoar previsões, melhorar o bem-estar das pessoas e aumentar o lucro em diversas
áreas de trabalho.
2. Objetivo
Utilizar um enfoque bayesiano para analisar a umidade relativa do ar na cidade
de Brasília.
3. Justificativa
A umidade do ar pode ser medida de várias maneiras. Dentre as mais comuns
são a umidade absoluta do ar e a umidade relativa do ar. A umidade absoluta do ar é
encontrada através da razão da massa de vapor de água pela massa de ar seco em um
volume de ar a uma temperatura específica e é expressa por g/m³. Já a umidade relativa
é a razão entre a umidade absoluta atual e a maior umidade absoluta possível, que
depende da temperatura atual do ar. Esta é expressa em porcentagem e também é a mais
usada atualmente. (Brasil Escola).
Segundo a Organização Mundial da Saúde (OMS), quando a umidade relativa
do ar está acima de 70%, podem surgir fungos, mofos, bolores, ácaros e as pessoas
podem sentir tonturas e mal-estar. Já quando a umidade está abaixo de 30%, a situação
torna-se mais grave, pois oferece riscos à saúde. Olhos irritados, sangramento nasal e
ressecamento da pele são efeitos observados, também pneumonia e doenças crônicas
são os problemas que mais se intensificam. (Cepagri/Unicamp).
Abaixo, na tabela 1, têm-se as faixas que são consideradas preocupantes e
recomendações à população:
Tabela 1 – Faixa de valores prejudiciais à saúde. (Cepagri/Unicamp).
Faixa de
umidade
Estados prejudiciais
Entre 20% e 30% Estado de atenção: é recomendado à população se hidratar
abundantemente, não exercitar-se ao ar livre no horário das 11h às
15h, não se expor ao sol e umidificar o ambiente.
Entre 12% e 20% Estado de alerta: é recomendado consumir muita água, não praticar
exercícios físicos das 10h às 16h, umidificar o ambiente, umedecer
os olhos com soro fisiológico e evitar aglomerações em locais
fechados.
Abaixo de 12% Estado de emergência: todas as recomendações anteriores e
umidificar ambientes entre 10h às 16h, interromper qualquer
atividade ao ar livre, suspender atividades que exijam
aglomerações.
Ao observar a sensibilidade humana em relação à umidade do ar e os efeitos
causados quando este atinge níveis abaixo de 30%, surge uma preocupação com o bem-
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estar do ser humano, o que motivou o estudo do comportamento da umidade relativa do
ar condicionada a outras informações na cidade de Brasília.
4. Fundamentação Teórica
O enfoque Bayesiano requer um modelo amostral e, em adição, uma
distribuição a priori de todas as quantidades desconhecidas no modelo (parâmetros e
dados incompletos). A priori e a Verossimilhança são utilizadas para obter a
distribuição condicional do que se quer inferir dado os dados observados (a distribuição
a posteriori), a partir da qual todas as inferências tomam lugar. Permitir que os dados
observados ditem alguma regra na determinação da distribuição a priori constitui a
aproximação empírica de Bayes. Na Inferência Bayesiana a evidência ou as observações
são utilizadas para atualizar ou inferir sobre a probabilidade de que uma hipótese possa
ser verdadeira. O termo “Bayesiano” origina-se da utilização do Teorema de Bayes no
processo de atualização.
Logo, uma abordagem Bayesiana requer alguns conhecimentos básicos sobre a
Teoria das Probabilidades, partindo da definição da Probabilidade Condicional, a qual é
utilizada na formulação do Teorema de Bayes.
Definição: Probabilidade condicional
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral . As
probabilidades condicionais de A dado que B ocorre e de B dado que A ocorre,
respectivamente, são dadas por BP
BAPB/AP
, se 0BP e
AP
BAPA/BP
, se 0AP
Definição: Dois eventos A e B são ditos independentes se
BPAPBAP .
OBS: Se A e B são independentes, então APB/AP e
BPA/BP .
Os Teoremas a seguir serão apresentados sem prova. A demonstração destes
resultados pode ser encontrada em livros de Probabilidades como James (2008) e/ou
Morettin (1999).
Teorema do Produto:
Sejam A e B . Então B/APBPBAP ou
A/BPAPBAP .
Teorema da Probabilidade Total
Se nA,,A,A 21 são eventos que formam uma partição do espaço amostral e
B é um evento deste espaço, então i
n
i
i A/BPAPBP
1
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Teorema de Bayes
Se nA,,A,A 21 são eventos que formam uma partição do espaço amostral e
B é um evento deste espaço e se iAP e iA/BP , i= 1, 2,..., n, então
n
i
ii
jj
i
A/BPAP
A/BPAPB/AP
1
No enfoque Bayesiano, o Teorema de Bayes apresentado anteriormente é
usado para ajustar as probabilidades devido à ocorrência de uma nova situação. Se
H representa uma hipótese específica, que foi inferida antes de uma nova situação E ,
então a probabilidade condicional de H dado E é dada por
EP
HPH/EPE/HP
Onde:
HP é a probabilidade a priori de H que foi inferida antes que a nova situação
E se tornasse disponível;
H/EP é a probabilidade condicional de acontecer E dado que H é
verdadeira;
n
i
ii HPH/EPEP1
.
A probabilidade condicional E/HP é denominada de Probabilidade a
Posteriori de H dado E e será o principal objeto de estudo deste trabalho. Buscaremos
aqui calcular as probabilidades de a umidade relativa assumir um dos estados
apresentados na Tabela 1, a partir das informações sobre temperatura do ar, direção do
vento, velocidade do vento e temperatura do ponto de orvalho.
De acordo com Feller (1966) a estimativa de probabilidades condicionais pode
ser feita diretamente a partir de extensa série climatológica ou a partir de modelo
estocástico baseado em informação sobre probabilidade condicional e correlação hora-
a-hora.
5. Metodologia
Os dados meteorológicos disponibilizados gratuitamente no site do Centro de
Previsão de Tempo e Estudos Climáticos (CPTEC) referentes à cidade de Brasília-DF
foram obtidos para a realização deste trabalho. Esses dados contêm informações sobre
temperatura do ar, direção do vento, velocidade do vento e temperatura do ponto de
orvalho de hora em hora a partir do ano de 1999.
Um sistema em PHP foi montado para consultar todas as informações,
facilitando, assim, a manipulação dos dados e a verificação do intervalo que a umidade
relativa do ar se encontra, de acordo com a tabela 1.
Numa etapa posterior, os dados serão utilizados para determinar as
probabilidades a priori e a posteriori.
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6. Conclusão
O presente trabalho encontra-se em fase de execução. A proposta aqui é utilizar
um enfoque Bayesiano para calcular as probabilidades condicionais de a umidade
relativa do ar em Brasília assumir valores críticos dado os valores de temperatura do ar,
direção do vento, velocidade do vento e temperatura do ponto de orvalho, que já se
encontram disponíveis. Para tal, o banco de dados já começou a ser manipulado, a partir
de um programa escrito em PHP, de forma a ser utilizado posteriormente para calcular
as distribuições a priori.
Referências Bibliográficas
AgSolve - http://www.agsolve.com.br/noticia.php?cod=1370 – acesso em 13/08/2010.
Brasil Escola - http://www.brasilescola.com/geografia/umidade-ar.htm - acesso em
13/08/2010.
Jornal da Ciência - http://www.jornaldaciencia.org.br/Detalhe.jsp?id=45576 – acesso
em 13/08/2010.
Cepagri/Unicamp - http://www.cpa.unicamp.br/artigos-especiais/umidade-do-ar-
saude-no-inverno.html - acesso em 12/08/2010.
CPTEC - Centro de Previsão de Tempo e Estudos Climáticos -
http://www.cptec.inpe.br - acesso em 09/08/2010.
Hoel, P. G.; Port, S. C.; Stone, C. J. (1978) Introdução à Teoria da Probabilidade.
Interciência. Rio de Janeiro. 269p.
James, B. R. Probabilidade: um curso em nível intermediário. IMPA. Rio de Janeiro.
299p.
Morettin, L. G. Estatística Básica: Probabilidade. Makron Books. São Paulo, 1999.
210p.