PROYECTO FINAL ANÁLISIS Andrea Ditta Narváez. Nrc: 4355 Laura Rincón. Nrc: 5115 Ronald Suerte. Nrc: 4354 En el siguiente trabajo se resuelven dos problemas, uno sobre los sistemas de gestión de inventarios y el otro referente a las cadenas de Markov.

2012

Profesora: Johanna Amaya Universidad del Norte

24/05/2012

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Estado del arte: Cadenas de Markov y Sistemas de Gestio n de inventarios.

Actualmente, la toma de decisiones es un tema que se ha vuelto de interés para todas las

organizaciones. No es un secreto que detrás de una decisión, hay envuelta una gran

cantidad de dinero. Años atrás, también lo era, sin embargo, dada la competencia actual

existente en el mercado y las recesiones económicas que afectan a todos, las empresas,

grandes y pequeñas, se han visto en la tarea de tomar sus decisiones con mucha más calma

y análisis con tal de reducir sus costos al máximo, y que puedan subsistir en el mercado

donde se operan.

Ante estas situaciones, las empresas por lo general tienden a disminuir sus costos de

producción de alguna manera, o cambiando su materia prima. Sin embargo, existen costos

que también se pueden reducir: los costos de inventario. En vista de esto, han surgido

investigaciones que han sacado nuevas teorías que minimizan los costos y que son

atractivas para todos en general.

Por ejemplo, Cheng Tiexin, Yue Jingbo y Guo Tao replantean la importancia que le

conceden a este tema de inventarios y almacenamiento de los abastecimientos. Se sabe que

todo es parte de una cadena de suministros, así que hacen énfasis en tres áreas donde antes

no se le daba la suficiente relevancia:

En los casos donde se cuenta con varios proveedores, múltiples productos que

vuelven más compleja la cadena de suministro.

Modelos de inventario que incluyen el fabricante, distribuidores y minoristas.

Modelos de inventario multi-producto de acuerdo a una demanda estocástica.

Al ser discutidos, se llega a la conclusión que al tratarlos de una manera integrada se puede

llegar a reducir costos.

Este no es el único avance en el tema de inventarios. Últimamente se trata el tema de

logística inversa. “La logística inversa es la responsable de la gestión del flujo de materiales

y de su información asociada desde el cliente final hasta cualquiera de los eslabones de una

cadena productiva con el propósito de adecuar los productos en el lugar indicado y crear

valor económico, económico, legal o de imagen. Incluye actividades como: devoluciones,

arreglos, reventas, re manufacturas, reciclaje, eco diseño y reutilización” (Luis Mercado

Hoyos).

Un ejemplo de esta logística inversa es lo que hacen ahora las empresas de aparatos

tecnológicos, que cuando alguno de sus productos pierde su vida útil, realizan una logística

para traerlos de nuevo a su fábrica. También está el ejemplo clásico de embotelladoras que

recogen las botellas a los clientes para reutilizarlas.

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Este sistema de logística inversa hace que los modelos de inventarios sean más complejos,

pues además de costear aquellos productos que acaban de salir del proceso, deben tener

lugar para almacenar los que llegan de afuera (cliente). Dado que no saben con certeza la

cantidad que va a regresar a la empresa, se debe crear un modelo óptimo que minimice los

costos. Esta situación fue tratada por J. F. Dong, L. H. WANG y J. X. WANG, autores del

paper RESEARCH ON REVERSE LOGISTICS-ORIENTED MULTISOURCES

INVENTORY CONTROL MODEL. En este paper trabajan los modelos de inventario

que incluyen logística inversa. Esto lo hace modificando y haciendo una extensión del

clásico modelo EOQ. Tras probar el modelo hallado con distintos ejemplos reales, se dan

cuenta que sí es válido, es más, tiene repercusiones en el lead time, y lo más importante, se

puede aplicar a cualquier faceta de la logística inversa. Por ejemplo, en el caso de

devoluciones del cliente de los productos por defectos.

Entonces, con todos estos fortalecimientos en los modelos actuales de inventario sale a la

luz los aportes que también se han hecho a los casos en donde se tienen distintas órdenes de

pedido. Como se ha venido tratando, el factor crítico en estas decisiones son los costos.

Pues bien, ZHOU You-jun, CAO Liang, PAN Yi-qian reconocen lo mismo y por eso tratan

el tema de cerca, reconociendo que es muy usual el deseo de todas las empresas de

maximizar los beneficios económicos en el área de inventario y logística y reducir los

costos en él. Por medio de un método usando multiplicadores de LaGrange, son capaces de

obtener el punto óptimo que deben tener los sitemas de inventarios para minimizar sus

costos. Al final, reconocen que el modelo es óptimo al ponerlo a prueba con ejemplos.

En la misma línea de estos sistemas de inventario, abastecimiento y logística con diferentes

pedidos, el profesor de tiempo completo de la Universidad del Norte Ing. Rodrigo Barbosa

propuso un modelo basado en multiplicadores de LaGrange, el cual establece la cantidad

óptima a pedir de acuerdo a una demanda establecida. Esta investigación lleva el nombre:

“Modelo matemático para la gestión de inventarios utilizando el método de multiplicadores

de LaGrange minimizando el costo total anual de gestión”. “El trabajo del profesor

Barbosa propone un modelo analítico de puntos de pedido para solucionar el problema de

planeación y control de inventarios, en lo que se refiere a determinar qué artículos pedir a

un proveedor y cada cuánto hacerlo, que permita minimizar así el costo de mantener

inventario en exceso de una organización” (Grupo de Prensa).

Por lo visto, son muchos los aportes que actualmente hay en este tema de inventarios que

tanta cabida se ha ganado en la toma de decisiones de los empresarios. De su

fortalecimiento depende el que se busquen modelos cada vez mejores.

En lo que tiene que ver con cadenas de Markov, también son muchos los aportes que

actualmente hay. Por ejemplo, en lo que tiene que ver con los pronósticos y series de

tiempo, las cadenas de Markov y sus modelos se han utilizado. Aunque parezcan dos temas

totalmente aislados, Tie Liu hace una relación interesante entre estos dos temas. Tan sólo

en su abstract deja condensado lo que propone: “Markov chains are usually used in

modeling many practical problems. They are also effective in modeling time series. In

this paper, we apply the Markov chains model to analyze and predict the time series.

Some series can be expressed by a first-order discrete-time Markov chain and others

must be expressed by a higher-order Markov chain model. Numerical examples are

given. The results show that the performance and effectiveness of the Markov chain

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model to predict the time series is very well” (Application of Markov Chains to Analyze

and Predict the Time Series). El autor deja totalmente claro la gran utilidad que tienen las

cadenas de Markov en esta rama de los pronósticos y series de tiempo, las cuales son

demasiado útiles en la industria para pronosticar y analizar comportamientos de muchos

indicadores afines al área industrial.

Sin embargo, este autor no es el único que indaga el tema de cadenas de Markov con series

de tiempo. YUN-TA0 QIAN, SEN JIA y WEN-WU SI también lo hacen en su paper

MARKOV MODEL BASED TIME SERIES SIMILARITY MEASURING. Sus pruebas de

escritorio muestran que estos híbridos de enfoques markovianos con series de tiempo

trabajan muy bien, incluso cuando hay muchos datos distractores en el ambiente que se

estudia que podrían hacer concluir que la serie es inmodelable. Además, concluyen que son

modelos versátiles para muchas aplicaciones por su definición tan amplia.

Como se sabe, las cadenas de Markov han tenido múltiples aplicaciones. Una indagación

sobre el tema también permite concluir que muchos autores se han encargado de desarrollar

este tema en el área de la informática, donde lo toman como una herramienta útil para la

programación, e incluso, por medio de Hidden Markov Chains, cadenas y modelos de ellas

permiten sacar conclusiones fuertes aun cuando no se conocen todos los datos para

construir un modelo clásico de Markov.

Todos los adelantos que se han esbozado anteriormente sobre los dos temas en cuestión

permiten concluir que los académicos y científicos han hecho muchos aportes a estos

temas, que hacen de las industrias, programas y sistemas actuales sean capaces de mejorar

los procesos de quienes los usan. Como se ha tratado desde el principio, un objetivo actual

en todas las organizaciones es la minimización de costos, y lo explicado en este breve

escrito muestran que los aportes que se han hecho van en esa dirección.

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MARCO TEO RICO.

CADENAS DE MARKOV.

Las cadenas de Markov tienen la propiedad particular de que las probabilidades que

describen la forma en la que el proceso evolucionará en el futuro dependen sólo del estado

actual en que se encuentra el proceso y, por lo tanto son independientes de los eventos

ocurridos en el pasado. Como se ha establecido, existen distintos estados en cadena, y el

paso de uno al otro, depende de lo que sucedió inmediatamente antes.

Teniendo claro el concepto genérico de las cadenas de Markov, hay que aclarar que el

tratamiento académico que se realizan a las cadenas es por medio de matrices, pues

permiten visualizar el comportamiento entre estados de una manera más fácil. Y de una

manera más gráfica, se utilizan los diagramas de transición, tal como se muestra a

continuación:

Este diagrama ilustra el paso de un estado i al j. Pij muestra la probabilidad de pasar de i a j.

Este sistema se realiza con todos los sistemas existentes y relacionándolas de la manera

como lo exija la situación que se esté modelando.

La otra manera de expresar las cadenas de Markov en términos de probabilidades es por

medio de matrices, de la siguiente manera:

Matriz de transición.

Como se observa, a veces existe la probabilidad de permanecer en el mismo estado. Esta

probabilidad está ubicada en la diagonal principal de la matriz, la cual es llamada también

diagonal de fidelidad.

Dentro de los estados posibles sobresalen dos tipos: los estados transitorios (no

absorbentes) y los absorbentes.

Estados transitorios (no absorbentes): son aquellos estados de una cadena a los que se

puede llegar y de la misma manera se puede salir de él con una probabilidad P.

Estados absorbentes: Son aquellos estados que, una vez adquiridos, no se puede llegar a

otro estado anterior o cualquiera de la cadena. Para entender este estado de una mejor

manera, un ejemplo clásico de estado absorbente es lo que en la industria se llama etapa de

i j Pij

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producto terminado. Una vez un producto llega a esta etapa, no puede devolverse ni llegar

a otro estado absorbente.

Adicionalmente, hay conceptos ligados al tema de cadenas de Markov que se necesitan

definir. Por ejemplo, las probabilidades en estado estable. La probabilidad de estado estable

es la probabilidad de que el sistema esté en un determinado estado después de un gran

número de etapas.

Entonces, si una cadena cuenta con todos los conceptos anteriormente explicados, se puede

trabajar con el siguiente modelo de matrices:

|

|

Cada una de ellas son sub-matrices.

La sub-matriz I es una matriz de identidad, la cual muestra la probabilidad de permanecer

en un estado absorbente una vez se alcance.

La matriz 0 indica la probabilidad de transición de estados absorbentes a no absorbentes.

Esta probabilidad es cero.

La sub-matriz R muestra la probabilidad de transición de los estados no absorbentes a los

estados absorbentes.

La sub-matriz Q muestra las probabilidades de transición entre cada uno de los estados no

absorbentes.

Con estas matrices, se puede empezar a realizar cálculos que brinden información

pertinente sobre la situación que se esté modelando. Por ejemplo, se puede sacar la matriz

fundamental, la cual viene dada por:

La matriz NR, es el producto de la matriz fundamental y la matriz R, esta da las

probabilidades de que en el tiempo cada estado no absorbente alcance a cada estado

absorbente. Multiplicar cualquier vector de probabilidad inicial del estado no absorbente

por NR da el vector de probabilidades para el proceso de llegar al final a cada uno de los

estados absorbentes.

SISTEMAS DE GESTIÓN DE INVENTARIOS.

El inventario es el conjunto de bienes propiedad de una empresa que han sido adquiridos

con el ánimo de volverlos a vender, en el mismo estado en que fueron comprados, o para

ser transformados, en otro tipo de bienes y vendidos como tales”

(ANDERSON,D.,SWEENEY D. y WILLIAMS T).

Para manejar todas estas unidades que una empresa maneja, por lo general maneja el

sistema EOQ (Cantidad Económica de Pedido). Este sistema EOQ minimiza el valor del

inventario, la incidencia de faltantes, y los costos de pedido y almacenamiento. Para que

este modelo sea válido debe suponerse una demanda constante. Siendo así los costos que

caracterizan este sistema EOQ son:

Costo de compra: Es el costo de comprar y producir los artículos individuales del

inventario.

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Costo de pedido: Es el costo de ordenar pedidos. No se carga de acuerdo a la cantidad de

unidades pedidas, si no que está ligada al pedido, es decir, el costo de pedido es indiferente

al número de unidades pedidas.

Costo de almacenamiento: Este costo de mantener en inventarios está relacionado con la

permanencia de los artículos dentro de la empresa por un periodo.

Costo de inexistencia: Este costo refleja las penalizaciones que se sufren cuando no se

tiene en existencia la cantidad que pidió un cliente. Más que un costo, es lo que se deja de

ganar por no tener en existencia, y en ocasiones, se tiene en cuenta una penalización por

inexistencia. Nota: Este costo no se incluye en EOQ dado que como la demanda es

constante, siempre se satisfará.

Entonces el costo total viene dado de la siguiente manera:

Costo total = costo de compra + costo de ordenar + costo de mantener inventario

Además, una manera de saber la cantidad óptima de pedido dadas las condiciones es la

siguiente:

√

Donde Cp. es costo de pedido, D es la demanda anual del producto y Cm es el Costo

unitario anual de mantener inventario, en valor monetario.

Sin embargo, suponer que una demanda es constante es muy ideal. Por eso, en caso de no

tener demandas constantes, es decir aleatorias, se pueden tener en cuenta los siguientes

sistemas flexibles que son menos ideales que el EOQ y que pueden ser utilizados en las

empresas actualmente.

Sistema Q.

Es un sistema de revisión continua. Para la revisión se deben fijar dos cantidades: una

cantidad óptima de almacenamiento y una cantidad mínima de existencia (punto de

reorden).

Se empieza con una cantidad en inventario, y a medida que esa cantidad va disminuyendo

debido a la demanda aleatoria, se va monitoreando la cantidad en existencia. Apenas se

llega al punto de reorden R, se pide la cantidad Q necesaria para volver a la cantidad óptima

(cantidad fija). Debe quedar claro que las órdenes realizadas no se hacen siempre en el

mismo intervalo de tiempo, solamente apenas sea necesario, es decir, apenas se llegue a R.

Un factor que influye en el punto de reorden es el lead time, es decir, el tiempo que demora

en llegar el nuevo pedido a la planta. Por eso, mientras llega el pedido, la cantidad R debe

ser suficiente para poder trabajar con ellas mientras llega el nuevo pedido de cantidad Q.

Sistema P.

A diferencia del sistema Q, en el sistema P las órdenes sí se realizan cada cierto tiempo que

ya está establecido. Y la cantidad Q de pedido deja de ser constante.

Bajo una revisión continua, se va monitoreando la cantidad en inventarios, y justo cuando

llega el momento de realizar el pedido (ya se dijo que este momento está preestablecido), se

pide la cantidad Q necesaria para llegar a la cantidad óptima y volver a abastecer el

inventario. Este sistema P se usa en casos particulares. Por ejemplo, si los proveedores

tienen una ruta establecida de abastecimiento, el cliente debe realizar su sistema P de

acuerdo a la frecuencia fija con que llega el proveedor, y realizar con la suficiente

antelación el pedido de Q, que es variable.

Los dos sistemas son válidos y muy aceptados en las industrias. La inclinación por uno u

otro sistema depende de la naturaleza del negocio o del sistema de producción.

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PROBLEMA 1

Primero se hallan la media y la desviación de las referencias lideres.

Referencia 1:

Referencia 2:

De esta manera calculamos la cantidad óptima de pedido para cada tipo de referencia:

√

Donde:

Referencia líder 1.

La demanda es de unidades semanales y en un periodo de gestión de 52

semanas se gastará , por tanto la cantidad

óptima de pedido es:

√

Referencia líder 2.

La demanda es de unidades semanales y en un periodo de gestión de 52

semanas se gastará , por tanto la cantidad

óptima de pedido es:

√

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Referencia de baja rotación 1.

La demanda es de 25 unidades semanales y en un periodo de gestión de 52 semanas

se gastará , por tanto la cantidad óptima de pedido

es:

√

Referencia de baja rotación 2.

Como los de esta referencia su demanda es de 780 unidades/ anual, gastará

, por tanto la cantidad óptima de pedido es:

√

De esta manera se ha determinado el tamaño óptimo de pedido de cada referencia.

¿Cuánto Inventario de seguridad del conjunto de referencias

conocidas como ‘líderes’ y de ‘baja rotación’ debe mantener la

compañía para alcanzar el nivel de 95% en cada una de ellas?

Considere un período anual compuesto por 52 semanas.

Referencias Líderes

Este tipo de referencia maneja su inventario bajo el enfoque de un sistema Q, ya que se

hace una revisión continua del inventario, por tal razón los cálculos para poder hallar

Exigencias de seguridad de acuerdo a este.

Referencia 1

Ahora se convierte el patrón estadístico de unidad de referencia de la desviación al

patrón estadístico de la unidad de referencia de la desviación en el Lead Time.

√ √

Ya transformada la desviación, se procede a calcular las existencias de seguridad

que viene dada por la siguiente fórmula:

| |

9

Se sabe de antemano que el nivel de satisfacción con el que se trabaja es del 95%,

queriendo decir esto que 5% (alfa) será el riesgo de quedarme sin inventario durante el

periodo de gestión, por lo tanto las existencias de seguridad serán:

| |

Referencia 2

Ahora se convierte el patrón estadístico de unidad de referencia al patrón estadístico

de la unidad de referencia del Lead Time.

√ √

Ya transformada la desviación, se procede a calcular las existencias de seguridad

que viene dada por la siguiente fórmula:

| |

Se sabe de antemano que el nivel de satisfacción con el que se trabaja es del 95%,

queriendo decir esto que 5% (alfa) será el riesgo de quedarme sin inventario durante

el periodo de gestión, por lo tanto las existencias de seguridad serán:

| |

Referencias de Baja rotación

A diferencia de las Referencias líderes, las de baja rotación el manejo de este inventario son

bajo el enfoque de un sistema P, por tal razón los cálculos para poder hallar las existencias

de seguridad del resto de artículos es con base en este sistema.

Bajo este enfoque son necesarios 2 tiempos, el tiempo que tarda el proveedor para entregar

el pedido o Lead time y segundo cada cuanto se realiza el pedido o también intervalo de

pedido (IP). Como el ejercicio no suministra la información de manera explícita del IP,

debe calcular para después convertir el parámetro base de referencia al parámetro de base

del Lead time y así finalmente hallar las existencias de seguridad.

Referencia de baja rotación 1: 24 artículos con y

Para hallar el IP, se debe hacer el cociente de las cantidades optimas a pedir ( ) entre la

demanda semanal.

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Ahora, se halla la desviación durante el periodo de gestión:

√

√

Ahora se halla las existencias de seguridad para estas unidades:

| |

Referencia de baja rotación 2: 24 artículos con y

Al igual que la referencia anterior, se calcula el IP.

(

) (

)

Ahora se halla la desviación durante el periodo de gestión:

√

√

Ahora se halla las existencias de seguridad para estas unidades:

| |

¿Cuánto es el total de inventario promedio mantenido por la

compañía? Considere los conjuntos de referencias.

El inventario promedio inmovilizado por semana será el promedio entre lo que tiene

al comienzo del ciclo más la existencia de seguridad esto con el fin de garantizar un

nivel de servicio de 95% por tanto el inventario promedio es:

Referencia de líder 1

Referencia de líder 2

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Referencia de de baja rotación 1

Referencia de baja rotación 2

Para un total de 2311 unidades semanales en promedio mantenidas en inventario.

¿Cuál es el costo total de gestión de la implementación de estas

políticas?

Ahora el costo de gestión será solo lo que se incurre al manejar el inventario:

Donde:

Referencia líder 1

Referencia líder 2

Ref. de baja rotación 1

Ref. de baja rotación 2

El costo total de gestión de todas las políticas será la suma de cada una de las referencias la

cual es de $ 2´108.757.

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PROBLEMA 2

Grafique el proceso de producción relacionando las probabilidades

asociadas a cada etapa.

Se establecieron los siguientes estados.

E1 Etapa 1

E2 Etapa 2

E3 Etapa 3

E4 Empaque

E5 Producto no recuperable

E6 Producto terminado de segunda

calidad

E7 Producto terminado de primera

calidad

Grafo de Probabilidades de Markov

E1

E2

E3

E5

E4

E6

E77%

93%

5% 6%

5%

90%

5%

89%

3%

97%

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Donde:

A continuación se presente la matriz de transición para cada una de las etapas del proceso.

MATRIZ DE TRANSICION

ESTADOS E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7

E1 0 0,93 0 0 0,07 0 0

E2 0,05 0 0,9 0 0,05 0 0

E3 0 0,06 0 0,89 0,05 0 0

E4 0 0 0 0 0 0,03 0,97

E5 0 0 0 0 1 0 0

E6 0 0 0 0 0 1 0

E7 0 0 0 0 0 0 1

Calcule el número de unidades que se deben programar en la etapa

uno para obtener Q = 180.000 unidades conformes de primera

calidad y la cantidad de unidades que circulan en cada etapa del

proceso.

Para determinar el número de unidades a programar para obtener 180000 conformes, es

necesario calcular la matriz NR de probabilidades de paso de un estado no absorbente a uno

absorbente. Pero antes de hallar dicha matiz, es necesario calcular la matriz N.

La matriz también conocida como la matriz fundamental, la cual nos dirá

el número de veces que en promedio una unidad visita una etapa.

N

ETAPAS E1 E2 E3 E5

E1 1,052 1,034 0,931 0,828

E2 0,056 1,112 1,001 0,890

E3 0,003 0,067 1,060 0,943

E5 0,000 0,000 0,000 1,000

Ahora se halla la matriz NR, que nos indicará la probabilidad de que una unidad termine en

uno de los estados absorbentes, ya sea como producto terminado de primera calidad,

producto terminado de segunda calidad o no recuperable.

NR

ETAPAS E4 E6 E7

E1 0,1718 0,0248 0,8033

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E2 0,1095 0,0267 0,8638

E3 0,0566 0,0283 0,9151

E5 0,0000 0,0300 0,9700

Como podemos observar, la probabilidad que una unidad haya empezado en la etapa E1 y

resulte como producto de primera calidad (E7) es 0,8033. Ahora para hallar cuantas

unidades se deben programar en la estación 1 para obtener 180000 unidades conformes de

primera calidad, viene dada por la siguiente expresión:

Para determinar la cantidad de unidades que circulan por cada etapa del proceso, se hace

uso de la primera fila de la matriz N o de vistas por estados. Esta nos indicara el número de

veces que en promedio una unidad partiendo desde la etapa 1 pasa por las distintas etapas

del proceso.

N

ESTADOS E1 E2 E3 E4

E1 1,052 1,034 0,931 0,828

La cantidad de unidades que circula en cada etapa es:

Calcule el costo promedio equivalente por unidad conforme de

primera calidad cuando se programan Q= 200.000 unidades en la

etapa 1 (E1).

Para hallar este costo promedio equivalente, se hace uso de la matriz N. como en el anterior

determinamos el número promedio de visitas por unidad para cada estado del proceso, solo

haría falta el número de visitas cuando se incurre en reprocesos (de E2 a E1 y de E3 a E2)

que también se obtiene de la matriz de visitas.

Ahora, el número promedio de visitas de unidades reprocesadas será la suma de

0,056+0,067=0,123. El costo de cada etapa será el costo de producir una unidad por el

número de vistas en promedio de cada unidad a esa etapa:

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Costo

unitario

Número de

visitas

Costo

real

E1 200 1,052 210,4

E2 150 1,034 155,1

E3 130 0,931 121,03

E4 60 0,828 49,68

Reproceso 6 0,123 0,738

TOTAL

unitario

$

536,948

Dado que para la fabricación de unidades conformes de calidad no todas resultan serlo, se

incurre en conformes de segunda calidad. Estas nos permiten recuperar parte de su costo de

fabricación por medio de su venta. Con todo esto el costo promedio equivalente seria:

El costo promedio equivalente para este proceso productivo es de 664,10 um.

Dado que se programan 300.000 unidades al inicio del proceso,

determine el número esperado de unidades no recuperadas y el

costo esperado de las mismas (Total y unitario).

Para determinar el número de unidades no recuperables por etapa, se hace uso de bayes y

luego multiplicarlas por el costo asociada a la etapa que paso antes de llegar a desecho.

Entonces, el costo unitario seria

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REFERENCIAS

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2012 de:

http://www.unicordoba.edu.co/revistas/vieja_industrialaldia/documentos/ed.1/logist

ica_inversa.pdf

Grupo de prensa de la universidad del norte. docente uninorteño presentará

investigación en encuentro internacional. 20 de octubre de 2011. recuperado el 22

de mayo de: http://uninorte.edu.co/noticias_uninorte/secciones.asp?id=1672

J. F. Dong, L. H. Wang, J. X. Wang. Research on reverse logistics-oriented

multisources inventory control model.

Cheng Tiexin, Yue Jingbo, Guo Tao. inventory modeling in supply chain

management: a review.

Zhou You-Jun, Cao Liang, pan Yi-Qian. the optimal inventory model with many

orders and permissible shortage.

Shun-zheng yu. hidden semi-markov models.

Tie liu. application of markov chains to analyze and predict the time series.

Yun-ta0 qian, sen jia, wen-wu si. markov model based time series similarity

measuring

Render, b., stair, r., & hanna, m. (2006). métodos cuantitativos para los negocios.

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función de operaciones. mc graw hill.

Anderson,d.,sweeney d. y williams t. quantitative methods for business, ed.

thomson, n.y., 1998