Cade Rnore s

UNIVERSIDADE DA MADEIRA

Departamento de Gestão e Economia

MICROECONOMIA I

1º Semestre 2005/2006

CADERNO DE EXERCÍCIOS

Resolução

1

A. TEORIA DO CONSUMIDOR A.1. A RESTRIÇÃO ORÇAMENTAL DO CONSUMIDOR

A.1.1. Defina os seguintes conceitos:

a) Cabaz de bens

Combinação de quantidades consumíveis de um conjunto de bens.

b) Conjunto de possibilidades de consumo

Conjunto de cabazes que podem ser comprados pelo consumidor num dado

momento, gastando parcial ou totalmente o seu rendimento monetário.

c) Restrição orçamental

Lugar geométrico dos cabazes que podem ser comprados se todo o rendimento do

consumidor for gasto.

d) Custo de oportunidade de um bem

Quantidade do outro bem que é preciso sacrificar para consumir mais uma

unidade do bem.

e) Bem numerário

Bem em relação ao qual é medido o preço do outro bem e o rendimento do

consumidor.

A.1.2. Considere um consumidor que enfrenta os preços Px e Py e dispõe de um

rendimento M. Para cada um dos casos seguintes, determine, analítica e

graficamente, o conjunto de possibilidades de consumo e a restrição orçamental.

a) 2Px = ; 4Py = ; 10M = CPC: 10y4x2 ≤+ RO: 10y4x2 =+

b) 3Px = ; 5Py = ; 15M = CPC: 15y5x3 ≤+ RO: 15y5x3 =+

c) 5Px = ; 1Py = ; 25M = CPC: 25yx5 ≤+ RO: 25yx5 =+

d) 5,1Px = ; 6Py = ; 45M = CPC: 45y6x5,1 ≤+ RO: 45y6x5,1 =+

e) 4Px = ; 7Py = ; 56M = CPC: 56y7x4 ≤+ RO: 56y7x4 =+

2

A.1.3. O que acontece à restrição orçamental se:

a) o preço do bem X duplica e o do bem Y triplica

A restrição orçamental torna-se menos inclinada e desloca-se para a esquerda

b) o preço do bem X quadruplica e o do bem Y triplica

A restrição orçamental torna-se mais inclinada e desloca-se para a esquerda

c) ambos os preços duplicam

A restrição orçamental desloca-se paralelamente para a esquerda

d) ambos os preços duplicam e o rendimento triplica

A restrição orçamental desloca-se paralelamente para a direita

e) ambos os preços triplicam e o rendimento duplica

A restrição orçamental desloca-se paralelamente para a esquerda

f) o preço do bem X e o rendimento duplicam

A restrição orçamental roda para a direita

A.1.4. O Paulo tem uma mesada de 120 euros que lhe é paga pelos pais. A mesada é

gasta exclusivamente em jantares e bilhetes de teatro.

a) Identifique formalmente o conjunto de possibilidades de consumo do Paulo,

sabendo que cada jantar custa 20 euros e cada bilhete de teatro custa 10

euros.

120b10j20 ≤+

b) No mês de Agosto, o Paulo será visitado pelos avós que lhe dão sempre 100

euros. Durante esse mês, o Paulo pretende ir a 8 jantares e assistir a 8

espectáculos de teatro. Será que vai conseguir? E se ele passar a ir jantar a

restaurantes mais baratos, onde o preço médio da refeição é 15 euros? Qual é,

neste caso, o custo de oportunidade para o Paulo de ir a um jantar?

220100120M =+=

( ) ( ) →>=×+×⇒= 2202408108208,8b,j não consegue consumir este cabaz.

( ) ( ) →<=×+×⇒= 2202008108158,8b,j consegue consumir este cabaz.

5,11015

CO ==

c) Dadas as fracas notas obtidas nos exames, os pais do Paulo reduziram-lhe a

mesada para metade e proibiram-no de ir a mais de 2 jantares no mês de

Agosto (os avós não sabem de nada). Identifique o conjunto de possibilidades

de consumo do Paulo nesta situação.

16010060M =+=

⎩⎨⎧

≤≤+

2j160b10j20

3

d) Suponha que o Paulo pode beneficiar de 10% de desconto no preço dos

bilhetes de teatro se adquirir o cartão jovem. Sabendo que o cartão jovem

custa 10 euros, deverá o Paulo comprá-lo?

1501010060M =−+=

9109,0Pb =×=′

⎩⎨⎧

≤≤+

2j150b9j20

Se adquirir o cartão, o Paulo expande o seu conjunto de possibilidades de

consumo, logo deverá adquiri-lo.

e) Descreva o conjunto de possibilidades de consumo do Paulo se o cartão jovem

lhe possibilitar 2 entradas gratuitas em espectáculos de teatro, adicionalmente

ao desconto mencionado na alínea anterior.

168921010060M =×+−+=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤≤

≤+

2j5,7j

168b9j20

f) Durante as férias, o Paulo fez um curso de Verão no qual tirou muito boas

notas. Consequentemente, os pais decidiram levantar-lhe as restrições aos

jantares e subsidiarem-lhe as idas ao teatro em 5 euros; no entanto,

mantiveram a redução da mesada. Admitindo que o Paulo não tem cartão

jovem, determine de novo, analítica e graficamente, o conjunto de

possibilidades de consumo do Paulo.

16010060M =+=

5510Pb =−=′

160b5j20 ≤+

A.1.5. Suponha que a Companhia de Telefones cobra mensalmente 30 euros, o que

garante aos seus assinantes o acesso à rede e a possibilidade de fazer 30 minutos

de chamadas por mês. Chamadas acima deste limite pagam um preço unitário de

15 cêntimos.

a) Escreva e represente a restrição orçamental de um consumidor representativo

que tem um rendimento M para gastar em minutos de chamadas telefónicas

(T) e num bem compósito (C) cujo preço é igual a 1.

⎩⎨⎧

−≤−=+

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

−≤

×+−=+

30MC5,25MC1T15,0

130M

C

15,03030MC1T15,0

4

bem compósito

cham

adas

tel

efón

icas

b) Suponha que a companhia pondera duas alterações relativas à actual estrutura

de preços: i) diminuir para 20 o número de minutos oferecidos com a

assinatura mensal; ou ii) aumentar o preço unitário de chamadas acima dos 30

minutos para 20 cêntimos. Represente graficamente as restrições orçamentais

correspondentes às duas alternativas.

i) ⎩⎨⎧

−≤−=+

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

−≤

×+−=+

30MC27MC1T15,0

130M

C

15,02030MC1T15,0

ii) ⎩⎨⎧

−≤−=+

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

−≤

×+−=+

30MC24MC1T20,0

130M

C

20,03030MC1T20,0

bem compósito

cham

adas

tele

fóni

cas

RO inicial alternativa i alternativa ii

A.1.6. A Ana consome dois bens, carne (C) e peixe (P), ambos adquiridos no

hipermercado, aos preços 5,7Pc = e 10PP = . Para chegar ao hipermercado, a Ana

demora 45 minutos. Para adquirir uma unidade de C demora mais 15 minutos,

enquanto que para a aquisição de uma unidade de P são precisos mais 12 minutos.

a) Represente o conjunto de possibilidades de escolha da Ana, admitindo que

esta tem um rendimento de 150 unidades monetárias e o seu tempo disponível

para compras é de 4 horas e meia.

5

⎩⎨⎧

≤+≤+

⇔⎩⎨⎧

−×≤+≤+

225p12c15150p10c5,7

455,460p12c15150p10c5,7

0

5

10

15

20

0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 22,5carne

peix

eRO

RT

b) A Ana muda de emprego e passa a não ter tempo para ir ao hipermercado. No

seu prédio, há um supermercado onde a Ana não perde tempo e enfrenta os

preços 10Pc = e 15Pp = . Neste novo emprego, além das 150 unidades

monetárias, a Ana recebe 10,5 unidades de C, que não pode vender.

Represente o novo conjunto de possibilidades de escolha.

⎩⎨⎧

≤≤+

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

≤

×+≤+

10p255p15c10

15150

p

105,10150p15c10

0

2

4

6

8

10

12

0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 22,5 25 27,5carne

peix

e

A.1.7. O João vive em Santana e desloca-se todos os dias ao Funchal, onde tem uma

pastelaria. O seu rendimento diário é de 200 euros, que é gasto em bilhetes de

autocarro (B) e outros bens (X). O bilhete custa 2 euros, enquanto o preço dos

outros bens é de 10 euros. O tempo útil diário do João é de 8 horas, gastando 1

hora na viagem Santana – Funchal e 15 minutos para adquirir uma unidade de X.

a) Represente o conjunto de possibilidades de escolha do João.

⎩⎨⎧

≤+≤+

8x25,0b1200x10b2

b) Nos dias em que o João tem de fazer mais de duas viagens entre Santana e o

Funchal, fica de mau humor. Isto reduz-lhe a clientela da pastelaria,

6

implicando uma redução do rendimento diário do João de 50 euros.

Represente de novo o conjunto de possibilidades de escolha.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤+>≤+≤≤+

8x25,0b12bse150x10b22bse200x10b2

c) Depois da quarta viagem, o João chega a casa depois do supermercado fechar.

Isso obriga-o a fazer as compras num outro supermercado, onde o

estacionamento custa 1 euro.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤+>≤+

≤<≤+≤≤+

8x25,0b14bse149x10b2

4b2se150x10b22bse200x10b2

d) Suponha agora que, a partir da segunda passagem, o João passa a ir na

carrinha da pastelaria. Nesse caso, o tempo necessário para a viagem é de

meia hora e o custo do combustível 1 euro. Represente novamente o conjunto

de possibilidades de escolha do João, considerando um rendimento de 200

euros.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>≤+≤≤+>≤+≤≤+

2bse8x25,0b5,02bse8x25,0b12bse200x10b12bse200x10b2

7

A.2. UTILIDADE E PREFERÊNCIAS


a) Bem económico

Produto (ou serviço) definidos pelas suas características físicas, de localização e

tempo, e que proporciona a satisfação de uma necessidade do consumidor.

b) Mal económico

Produto (ou serviço) cujo consumo causa uma diminuição na satisfação do

consumidor.

c) Bem neutral

Produto (ou serviço) cujo consumo não afecta a satisfação do consumidor.

d) Utilidade

Forma de medir a satisfação dos desejos do consumidor. Valor atribuído ao uso de

um ou mais bens.

e) Utilidade marginal de um bem

Variação na utilidade total de um consumidor quando a quantidade consumida de

um bem aumenta de uma forma infinitesimal, mantendo-se a quantidade

consumida dos outros bens.

f) Curva de indiferença

Conjunto de cabazes de dois bens em relação aos quais o consumidor é

indiferente, isto é, que proporcionam o mesmo nível de utilidade.

g) Taxa marginal de substituição no consumo de Y por X

Mede o número de unidades de Y que têm de ser sacrificadas por unidade

infinitesimal a mais de X de forma a que o consumidor mantenha o nível de

satisfação.

A.2.2. Enumere e explique os axiomas e hipóteses das relações de preferência e as

propriedades das curvas de indiferença.

Axioma da exaustão ou da relação completa

Uma ordem de preferências é completa se permite ao consumidor ordenar todas as

combinações possíveis de bens e serviços.

Axioma da transitividade

Dizer que uma ordem de preferências é transitiva significa que, relativamente a três

cabazes A, B e C, se o consumidor prefere A a B e B a C, então gostará mais de A que

de C.

Hipótese da não saciedade ou monotocidade

Esta hipótese significa simplesmente que, quando todo o resto se mantém constante,

uma maior quantidade de um bem é melhor que uma menor quantidade desse mesmo

bem.

8

Hipótese da convexidade

Sejam 3 cabazes, A, B e C tais que B é pelo menos tão bom como A e C é estritamente

preferido a A. A hipótese da convexidade implica que qualquer combinação linear dos

cabazes B e C é preferível a A. Economicamente, esta hipótese relaciona-se com a

necessidade de um consumidor ser compensado com maiores quantidades de um bem,

à medida que sacrifica sucessivas unidades de outro. Ou seja: a taxa marginal de

substituição no consumo entre dois bens é decrescente.

Hipótese da continuidade

Os cabazes que são preferidos ou indiferentes a um determinado cabaz e os cabazes

que são menos preferidos ou indiferentes formam conjuntos fechados. Esta hipótese é

meramente técnica.

Propriedade 1: As curvas de indiferença têm inclinação negativa.

Propriedade 2: As curvas de indiferença nunca se intersectam.

Propriedade 3: Curvas de indiferença para NE representam níveis de satisfação mais

elevados.

Propriedade 4: As curvas de indiferença são convexas em relação à origem.

Propriedade 5: As curvas de indiferença são densas em todo o espaço de bens.

A.2.3. Diga, de entre as situações seguintes, aquelas que violam os axiomas e hipóteses

que regem as preferências.

a) A Isabel gosta mais de chocolates que de caramelos e prefere caramelos a

rebuçados; mas entre rebuçados e chocolates, escolhe os primeiros.

Viola o axioma da transitividade

b) O Francisco não sabe se gosta mais de duas horas de vela ou três de natação.

Viola o axioma da exaustão

c) Quanto mais toca piano, mais a Catarina gosta de tocar.

Viola a hipótese da convexidade

d) Depois de quatro horas de estudo, o Diogo já não estuda mais nenhuma.

Viola a hipótese da monotocidade

e) A Beatriz começou a gostar mais de ir à praia depois de ir muitas vezes.

Viola a hipótese da convexidade

A.2.4. Represente graficamente os mapas de indiferença para os seguintes casos:

a) Dois bens económicos

9

bem

bem

b) Um bem e um mal económico

mal

bem

c) Um bem económico e um neutro

neutro

bem

d) Existência de um ponto de saciedade

10

x

y

e) Bens complementares

x

y

f) Bens substitutos

x

y

A.2.5. Represente as preferências dos consumidores para os seguintes casos, verificando

em cada um se se tratam de preferências bem comportadas.

a) O Gonçalo bebe sempre um café com um copo de água.

11

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6cafés

copo

s de

águ

a

b) A Graça é indiferente entre utilizar papel A4 pautado e papel A4 liso.

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6pautado

liso

c) Ao almoço, a Maria não consegue comer mais de 220 gramas de carne, mas

bebe toda a Coca-Cola que lhe servirem.

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440carne

coca

-col

a

d) O Pedro é indiferente entre jogar uma hora de futebol ou duas horas de ténis.

12

0

1

2

3

4

5

0 0,5 1 1,5 2 2,5futebol

téni

s

e) A D. Carlota bebe sempre cada chávena de chá com meio pacote de açúcar.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 1 2 3 4 5 6chá

açúc

ar

f) A Joaninha adora leite com torradas. Ao lanche, não consegue comer mais de

4 torradas, mas bebe todo o leite que lhe servirem.

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

torradas

leit

e

A.2.6. Considere as seguintes funções utilidade:

i. 5,05,0 yxU =

ii. yx3U ++−=

iii. { }y,xminU =

13

iv. yxU +=

Para cada uma delas:

a) Indique o tipo de preferências.

b) Represente o mapa de indiferença.

c) Calcule as utilidades marginais.

d) Determine a taxa marginal de substituição de y por x.

e) Encontre uma função que represente as mesmas preferências.

5,05,0 yxU = yx3U ++−= { }y,xminU = yxU +=

a) Cobb-Douglas Substitutos perfeitos Complementares Quasi-lineares

b)

bem

bem

U1

U2

U3

bem

bem

U1

U2

U3

bem

bem

U1

U2

U3

U1

U2

U3

c) 5,05,0 yx5,0xUmg −= 5,05,0 yx5,0yUmg −=

1xUmg = 1yUmg =

0xUmg = 0yUmg =

1xUmg = 5,0y5,0yUmg −=

d) xy

TMS x,y = 1TMS x,y = Não tem y2TMS x,y =

e) 5,05,0 yx2V = yxV ++= { }y3,x3minV = yyx2xV 2 ++=

A.2.7. A utilidade que um consumidor retira da utilização de gás e de electricidade é

dada pela função 5,05,0 yx2U = em que =x n.º de litros gás/dia e =y n.º Kw/hora.

a) Identifique as diferentes combinações de x e y que permitem ao consumidor

atingir o nível de utilidade de 2 e 4. Qual o conceito subjacente?

x1

y2yx22U 5,05,0 =⇔=⇔=

x4

y4yx24U 5,05,0 =⇔=⇔=

O conceito aqui subjacente é o de curva de indiferença.

b) Admita que este consumidor se encontra actualmente a consumir 5 litros de

gás por dia e 0,2 Kw/hora. Qual a quantidade de electricidade que teria de

sacrificar, se quisesse consumir um litro adicional de gás, de forma a manter o

mesmo nível de satisfação?

( ) 22,052U2,0;5 5,05,0 =××=⇒

61yy622 5,05,0 =⇔××=

14

A.2.8. O António tem uma função de utilidade yxU = .

a) Suponha que inicialmente consome 4 unidades do bem x e 12 unidades do bem

y. Se passar a consumir 8 unidades do bem y, quantas unidades terá de

consumir do bem x de modo a que a sua utilidade de mantenha constante?

( ) ( ) 48124U12,4y,x =×=⇒=

6xx848 =⇔=

b) Calcule a y,xTMS . O que acontece ao valor desta taxa quando o António aumenta o consumo do bem x?

0x

TMS

yx

xUmgyUmg

TMS y,xy,x >

∂

∂→==

c) Responda novamente às alínea a) e b) admitindo que as preferências do

António são descritas por ylnxU += .

( ) ( ) 48,612ln4U12,4y,x ≈+=⇒=

41,4x8lnx48,6 ≈⇔+=

0x

TMS

y1

1y1

xUmgyUmg

TMS1

2,1y,x =

∂

∂→===

O consumo do bem x não influencia a taxa a que o António se dispõe a trocar os

bens.

d) De entre os seus amigos, quem tem as mesmas preferências que o António? Considere o quadro abaixo e a função utilidade inicial.

Ana xy1000V = Filipa xyW = Sofia ( )1xy/1Z +−=

Margarida 10000xyF −= Teresa y/xG =

Bernardo ( )1yxH +=

Ana yx

y1000x1000

TMS y,x ==

Filipa yx

TMS y,x =

Sofia ( )( ) y

x

yxy1

yxx1TMS

2

2

y,x =−

−=

−

−

Margarida yx

TMS y,x =

Teresa yx

y1yx

TMS2

y,x −=−

=

Bernardo 1y

xTMS 1,2 +

=

A Teresa e o Bernardo não têm as mesmas preferências do António.

15

A.2.9. Comente as seguintes afirmações:

a) Não é possível que duas curvas de indiferença «bem comportadas» se cruzem.

A frase é verdadeira. Para prová-lo assumamos que a frase é falsa ou seja que

duas curvas de indiferença bem comportadas se podem cruzar, conforme

mostrado na figura.

A

B=D

C

U1

U0

Por definição, diferentes curvas de indiferença representam diferentes níveis de

utilidade. E uma curva de indiferença bem comportada é aquela que respeita,

entre outros, o axioma da transitividade e a hipótese da monoticidade. Se, no

gráfico, as preferências não violarem o axioma da monoticidade, então C será

preferido a A porque tem o mesmo de um dos bens, mas mais do outro. Como C e

B estão na mesma curva de indiferença são, por definição, indiferentes entre si.

Então B deveria, sendo as preferências transitivas, ser preferível a A. Mas B e A

estão sobre a mesma curva de indiferença, significando isso que são indiferentes.

Ou seja, duas curvas de indiferença que se intersectem violam o axioma da

transitividade e a hipótese da monotocidade, logo não podem ser bem

comportadas.

b) Se as preferências forem monotónicas, então a linha diagonal (no espaço dos

bens) que passa pela origem cruza cada curva de indiferença apenas 1 vez.

Consideremos que a frase é falsa. Se é falsa é porque a linha diagonal (no espaço

dos bens) que passa pela origem pode cruzar cada curva de indiferença mais que

1 vez. Vamos admitir que a cruza em dois pontos distintos, A e B. Se A e B estão

sobre a diagonal, então um destes pontos tem de estar acima e à direita do outro.

Mas se está acima e à direita, então representa um cabaz com mais de ambos os

bens o que, pela hipótese da monotocidade, implica uma utilidade superior. Mas

se tem utilidade superior não pode, por definição, estar sobre a mesma curva de

indiferença. Então, a frase tem de ser verdadeira.

c) Se dois bens forem substitutos perfeitos então a taxa marginal de substituição

ou é igual a zero ou é infinito.

Se dois bens são substitutos perfeitos, então a utilidade marginal associada a cada

um deles é constante. Logo, também é constante a taxa marginal de substituição.

16

Se esta for zero ou infinito é porque uma das utilidades marginais é zero ou

infinito. Mas isso não faz sentido. Portanto, a frase é falsa.

d) A convexidade estrita das preferências pode ser entendida como uma

expressão formal de uma preferência dos consumidores por diversificação.

A convexidade das curvas de indiferença decorre da hipótese de taxa marginal de

substituição (TMS) decrescente. Esta hipótese estabelece que, ao longo de

qualquer curva de indiferença, quanto maior a quantidade de um bem um

consumidor possuir, tanto mais exige receber desse bem, para renunciar a uma

unidade do outro bem. Ou seja, os consumidores estão, geralmente, dispostos a

prescindir de bens que já possuem em grande quantidade, para obterem mais

unidades daqueles que, naquele momento, detêm em menor quantidade. Mas isso

significa uma preferência dos consumidores por diversificação.

e) Para que a taxa marginal de substituição no consumo seja decrescente, é

preciso que a utilidade marginal seja decrescente.

Frase falsa como facilmente se constata pela análise do seguinte contra-exemplo.

yUmgxUmg

TMS x,y = . Se x tiver uma utilidade marginal constante, para que a taxa

marginal de substituição seja decrescente a utilidade marginal de y terá de ser

crescente.

17

A.3. A ESCOLHA ÓPTIMA DO CONSUMIDOR

A.3.1. Para cada um dos consumidores

i. deduza as funções procura de ambos os bens;

ii. determine a escolha óptima;

iii. calcule o nível de satisfação; e

iv. avalie a taxa marginal de substituição no ponto óptimo.

a) Consumidor A: 5,05,0 yx5U = ; 2Px = ; 10Py = ; 100m =

FUNÇÕES PROCURA

( )yPxPmy5xmyPxP.a.s

yx5Umaxyx

5,00,5

yx

5,05,0

y,x −−λ+=Γ→⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

λ=

λ=

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−−

=λ−×

=λ−×

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=λ∂Γ∂=∂Γ∂=∂Γ∂

−

−

−

−

myPxP

Pyx5,2

Pyx5,2

0yPxPm

0Pyx5,05

0Pyx5,05

00y0x

yx

y5,05,0

x5,05,0

yx

y5,05,0

x5,05,0

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

λλ

=−

−

myPxP

xPP

y

myPxP

PP

xy

myPxP

PP

yx5,2

yx5,2

yx

y

x

yx

y

x

yx

y

x5,05,0

5,05,0

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=

x

y

xx

y

x

y

xyx

y

x

Pm5,0

x

Pm5,0

y

mxPxP

xPP

y

mxPP

PxP

xPP

y

ESCOLHA ÓPTIMA

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=×

=

=×

=⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==

2521005,0

x

510

1005,0y

100m

10P2P

y

x

NÍVEL DE SATISFAÇÃO

9,555255U 5,05,0 ≈××=

TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO

( )( )

2,0255

yUmgxUmg

TMS5;25

5;25x,y ===

b) Consumidor B: 6,04,0 yx2U = ; 1Px = ; 6Py = ; 50m =

FUNÇÕES PROCURA


yx2Umaxyx

6,00,4

yx

6,04,0

y,x −−λ+=Γ→⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=

18

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

λ=

λ=

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−−

=λ−×

=λ−×

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=λ∂Γ∂=∂Γ∂=∂Γ∂

−

−

−

−

myPxP

Pyx2,1

Pyx8,0

0yPxPm

0Pyx6,02

0Pyx4,02

00y0x

yx

y4,04,0

x6,06,0

yx

y4,04,0

x6,06,0

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

λλ

=−

−

myPxP

xPP

5,1y

myPxP

PP

x3y2

myPxP

PP

yx2,1

yx8,0

yx

y

x

yx

y

x

yx

y

x4,04,0

6,06,0

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=

x

y

xx

y

x

y

xyx

y

x

Pm4,0

x

Pm6,0

y

mxP5,1xP

xPP

5,1y

mxPP

5,1PxP

xPP

5,1y

ESCOLHA ÓPTIMA

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=×

=

=×

=⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==

201

504,0x

56

506,0y

50m

6P1P

y

x

NÍVEL DE SATISFAÇÃO 4,175202U 6,04,0 ≈××=


( )( ) 6

120352

yUmgxUmg

TMS5;20

5;20x,y =××

==

c) Consumidor C: 23yxU = ; 5,1Px = ; 4Py = ; 45m =

FUNÇÕES PROCURA

( )yPxPmyxmyPxP.a.s

yxUmaxyx

23

yx

23

y,x −−λ+=Γ→⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

λ=

λ=

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−−

=λ−

=λ−

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=λ∂Γ∂=∂Γ∂=∂Γ∂

myPxP

Pyx2

Pyx3

0yPxPm

0Pyx2

0Pyx3

00y0x

yx

y3

x22

yx

y3

x22

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

λλ

=

myPxP

xP3P2

y

myPxP

PP

x2y3

myPxP

PP

yx2

yx3

yx

y

x

yx

y

x

yx

y

x3

22

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=

x

y

xx

y

x

y

xyx

y

x

Pm6,0

x

Pm4,0

y

mxp32

xP

xP3P2

y

mxP3P2

pxP

xP3P2

y

ESCOLHA ÓPTIMA

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=×

=

=×

=⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==

185,1

456,0x

5,44

454,0y

45m

4P5,1P

y

x

NÍVEL DE SATISFAÇÃO 1180985,418U 23 =×=


19

( )( )

375,0182

5,43yUmgxUmg

TMS5,4;18

5,4;18x,y =××

==

d) Consumidor E: y3x2U += ; 1Px = ; 4Py = ; 60m =

FUNÇÕES PROCURA

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

<

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

>

=

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

<

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

>

=→⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

+=

y

x

y

y

x

y

y

x

y

x

y

x

x

y

x

x

yx

y,x

PP

32

Pm

PP

32

Pm

;0

PP

32

0

y

PP

32

0

PP

32

Pm

;0

PP

32

Pm

xmyPxP.a.s

y3x2Umax

ESCOLHA ÓPTIMA

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

==⇒=⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==

0y

601

60x

25,0PP

60m

4P1P

y

xy

x

NÍVEL DE SATISFAÇÃO 12003602U =×+×=


( )( ) 3

2yUmgxUmg

TMS0;60

0;60x,y ==

e) Consumidor F: y2x5U += ; 3Px = ; 1Py = ; 12m =

FUNÇÕES PROCURA

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

<

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

>

=

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

<

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

>

=→⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

+=

y

x

y

y

x

y

y

x

y

x

y

x

x

y

x

x

yx

y,x

PP

25

Pm

PP

25

Pm

;0

PP

25

0

y

PP

25

0

PP

25

Pm

;0

PP

25

Pm

xmyPxP.a.s

y2x5Umax

ESCOLHA ÓPTIMA

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=⇒=⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==

121

12y

0x3

PP

12m

1P3P

y

xy

x

NÍVEL DE SATISFAÇÃO 2412205U =×+×=


( )( ) 2

5yUmgxUmg

TMS12;0

12;0x,y ==

f) Consumidor G: y4x3U += ; 6Px = ; 8Py = ; 150m =

FUNÇÕES PROCURA

20

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

<

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

>

=

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

<

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

>

=→⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

+=

y

x

y

y

x

y

y

x

y

x

y

x

x

y

x

x

yx

y,x

PP

43

Pm

PP

43

Pm

;0

PP

43

0

y

PP

43

0

PP

43

Pm

;0

PP

43

Pm

xmyPxP.a.s

y4x3Umax

ESCOLHA ÓPTIMA

[ ][ ]⎩

⎨⎧

∈∈

⇒=⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==

75,18;0y25;0x

43

PP

150m

8P6P

y

xy

x

NÍVEL DE SATISFAÇÃO 75253U =×=


43

yUmgxUmg

TMS x,y ==

g) Consumidor H: { }y5,x2minU = ; 2Px = ; 10Py = ; 72m =

FUNÇÕES PROCURA { }

⇔⎩⎨⎧

=+=

⇔⎩⎨⎧

=+=

→⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=

myPxPy5,2x

myPxPy5x2

myPxP.a.s

y5,x2minUmax

yxyxyx

y,x

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

+=

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

=

⇔⎩⎨⎧

=+=

xy

yx

xyyx

P5,2pm

y

P4,0Pm

x

P5,2pm

y

y5,2x

myPyP5,2y5,2x

ESCOLHA ÓPTIMA

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=×+

=

=×+

=⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==

8,425,210

72y

12104,02

72x

72m

10P2P

y

x

NÍVEL DE SATISFAÇÃO { } 248,45;122minU =××=


Não faz sentido

h) Consumidor I: { }y,x3minU = ; 6Px = ; 2Py = ; 48m =


⇔⎩⎨⎧

=+=

⇔⎩⎨⎧

=+=

→⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=

mxP3xPx3y

myPxPyx3

myPxP.a.s

y,x3minUmax

yxyxyx

y,x

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

+=

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

=

yx

yx

yx P3pm

x

P3Pm3

y

P3pm

x

x3y

ESCOLHA ÓPTIMA

21

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=×+

=

=×+

×=

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==

4236

48x

12236

483y

48m

2P

6P

y

x

NÍVEL DE SATISFAÇÃO { } 1212;43minU =×=


Não faz sentido

i) Consumidor H: { }y,x2minU = ; 4Px = ; 2Py = ; 100m =


⇔⎩⎨⎧

=+=

⇔⎩⎨⎧

=+=

→⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=

mxP2xPx2y

myPxPyx2

myPxP.a.s

y,x2minUmax

yxyxyx

y,x

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

+=

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

=

yx

xy

yx P2pm

x

P5,0Pm

y

P2pm

x

x2y

ESCOLHA ÓPTIMA

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=×+

=

=×+

=⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==

5,12224

100x

2545,02

100y

100m

2P4P

y

x

NÍVEL DE SATISFAÇÃO { } 2525;5,122minU =×=


Não faz sentido

j) Consumidor K: ylnx4U += ; 10Px = ; 1Py = ; 5,62m =

FUNÇÕES PROCURA

( )yPxPmyln4xmyPxP.a.s

ylnx4Umaxyx

yx

y,x −−λ++=Γ→⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

+=

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

λ=

λ=

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−

=λ−

=λ−

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=λ∂Γ∂=∂Γ∂=∂Γ∂

−−

myPxP

Py

P4

0yPxPm

0Py

0P4

00y0x

yx

y1

x

yx

y1

x

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

λλ

=−

myPxP

P4P

y

myPxP

PP

y4

myPxP

PP

y

4

yx

y

x

yx

y

x

yx

y

x1

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=

=

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=

x

x

y

x

xx

y

x

y

xyx

y

x

P4P

mx

P4P

y

m4P

xP

P4P

y

mP4

PpxP

P4P

y

ESCOLHA ÓPTIMA

22

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=−

=

=×

=

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==

610

410

5,62x

5,214

10y

5,62m

1P10P

y

x

NÍVEL DE SATISFAÇÃO 9,245,2ln64U ≈+×=


( )( )

105,2

4yUmgxUmg

TMS1

5,2;65,2;6x,y ===

−

k) Consumidor L: 2x5,0yU += ; 6Px = ; 2Py = ; 28m =

FUNÇÕES PROCURA

( ) ( )0yPmxPmy0x:cantodesoluçãomyPxP.a.s

x5,0yUmaxxy

yx

2

y,x =∧=∨=∧=→⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

+=

y1

y Pm

uPmy

0x=⇒

⎩⎨⎧

==

2x

2

2x

P

m5,0u

0yPmx

=⇒⎩⎨⎧

==

m5,0PP

P

m5,0Pm

uuy

2x

2x

2

y21 >⇔>⇔>

⎩⎨⎧

=0

Pmx x

sese

m5,0PP

m5,0PP

y2x

y2x

≥

≤

⎩⎨⎧

=xPm

0y

sese

m5,0PP

m5,0PP

y2x

y2x

≥

≤

ESCOLHA ÓPTIMA

⎩⎨⎧

==

⇒=>=⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==

14y0x

14m5,018PP

28m

2P6P

y

2x

y

x

NÍVEL DE SATISFAÇÃO 1405,014U 2 =×+=


( )( )

010

yUmgxUmg

TMS14;0

14;0x,y ===

l) Consumidor M: 5,0y12x3U += ; 2Px = ; 5,0Py = ; 100m =

FUNÇÕES PROCURA


y12x3Umaxyx

0,5

yx

5,0

y,x −−λ++=Γ→⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

+=

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

λ=

λ=

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−

=λ−

=λ−

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=λ∂Γ∂=∂Γ∂=∂Γ∂

−−

myPxP

Py6

P3

0yPxPm

0Py6

0P3

00y0x

yx

y5,0

x

yx

y5,0

x

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

λλ

= −−

myPxP

PP

4y

myPxP

PP

y5,0

myPxP

PP

y6

3

yx

2

y

x

yx

y

x5,0

yx

y

x5,0

23

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⇔

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⇔

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

x

y

2x

2

y

x

y

2x

x

2

y

x

2

y

xyx

2

y

x

P

PP

4m

x

PP

4y

mPP

4xP

PP

4y

mPP

P4xP

PP

4y

ESCOLHA ÓPTIMA

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==

342

5,02

4100x

645,0

24y

100m

5,0P2P

2

2

y

x

NÍVEL DE SATISFAÇÃO 1986412343U 5,0 =×+×=


( )( )

4646

3yUmgxUmg

TMS5,0

64;3464;34x,y =

×==

−

A.3.2. A Joana tem a seguinte função de utilidade: 5,05,0 yx10U = e aufere 100 euros por

semana que gasta no consumo dos bens X e Y, cujos preços são, respectivamente,

2Px = e 1Py = , ambos denominados em euros.

a) Suponha que a Joana detém hoje 12,5 unidades do bem X e 75 unidades do

bem Y. Qual a X,YTMS nesse cabaz de dotações iniciais? Como se compara com

os preços relativos? Se a Joana puder realizar trocas no mercado, que trocas

tenderá ela a fazer? Explique a lógica do seu raciocínio.

( )( ) ( )

2PP

6xy

yUmgxUmg

TMSY

X

75;5,1275;5,1275;5,12x,y =>===

A Joana dispõe-se a trocar 6 unidades de Y por 1 de X. No mercado, para ter 1

unidade adicional de X, exigem 2 unidades de Y. Logo, a Joana trocará Y por X.

b) Qual o cabaz semanal óptimo da Joana?

( )yx2100y10x100yx2.a.s

yx10Umax5,00,5

5,05,0

y,x −−λ+=Γ→⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+λ=

λ=

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−−=λ−

=λ−

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=λ∂Γ∂=∂Γ∂=∂Γ∂

−

−

−

−

100yx2yx5

2yx5

0yx21000yx5

02yx5

00y0x

5,05,0

5,05,0

5,05,0

5,05,0

⇔⎩⎨⎧

=+=

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

λλ

=−

−

100yx2x2y

100yx2

2xy

100yx2

2

yx5

yx55,05,0

5,05,0

⎩⎨⎧

==

⇔⎩⎨⎧

==

⇔⎩⎨⎧

=+=

25x50y

25xx2y

100x2x2x2y

24

c) Qual a utilidade marginal do rendimento da Joana?

mU

54,325025550y25x

2yx55,05,0

5,05,0

∂∂

=≈λ⇔λ=××⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

λ=−

−

A.3.3. Suponha que, para um determinado consumidor, a taxa marginal de substituição

avaliada na combinação de consumo x0 é ( ) 5,0xTMS 02,1 = . Sabendo que

1p/p 21 = , diga se este cabaz será escolhido pelo consumidor. Em caso de

resposta negativa, indique que tipo de trocas estará ele disposto a efectuar.

Se para este consumidor os bens 1 e 2 forem substitutos perfeitos, então x0 pode ser a

escolha do consumidor desde que corresponda a um cabaz em que todo o rendimento

é gasto no bem 1. Caso contrário, x0 não será o cabaz óptimo e este consumidor

dispõe-se a trocar o bem 2 pelo bem 1.

A.3.4. Um consumidor tem preferências descritas pela função utilidade y25,0xU += ,

adquire os bens aos preços 1Px = e 2Py = e dispõe de 100 unidades monetárias

de rendimento.

a) Indique, sem efectuar cálculos, a escolha óptima de consumo.

Para este consumidor, os bens x e y são substitutos. O bem x tem maior utilidade

marginal e tem menor custo, logo o cabaz óptimo será afectar todo o rendimento

ao consumo do bem x: ( ) ( )0,100y,x = .

b) Suponha que uma guerra obriga a um esquema de racionamento do bem X, de

acordo com o qual cada consumidor só pode adquirir 50 unidades desse bem.

Qual é a escolha óptima do consumidor?

O consumidor continua a escolher o máximo que puder de x, portanto o cabaz

óptimo será ( ) ( )25,50y,x = .

c) Responda de novo à questão anterior admitindo que, em vez do esquema de

racionamento, o preço do bem X sobe para 3 unidades monetárias.

5,123

PP

425,01

TMSy

xx,y ==>==

A solução óptima continua a ser gastar todo o rendimento em 1: ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 0,

3100

y,x

A.3.5. Seja o José Pedro com a seguinte função de utilidade yx2U = .

a) Determine os consumos óptimos de X e Y, sujeitos à restrição orçamental

100y4x5 ≤+ .

25

( )y4x5100y2x100y4x5.a.s

yx2Umaxy,x −−λ+=Γ→

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

=+λλ

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+λ=λ=

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−=λ−=λ−

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=λ∂Γ∂=∂Γ∂=∂Γ∂

100y4x545

x2y2

100y4x54x25y2

0y4x510004x205y2

00y0x

⎩⎨⎧

==

⇔⎩⎨⎧

==

⇔⎩⎨⎧

=×+=

⇔⎩⎨⎧

=+=

10x5,12y

10xx25,1y

100x25,14x5x25,1y

100y4x5x25,1y

b) Suponha, agora, que o José Pedro está sujeito a um sistema de racionamento.

Os preços das senhas de X e Y são 3 e 6, respectivamente, existindo um

racionamento total de 80 senhas. Determine os novos consumos óptimos.

Poderá resolver-se a questão pelo método dos multiplicadores de Lagrange?

Porquê? Serão ambas as restrições activas no cabaz óptimo?

( ) ( )yx80y6x3100y2x

80yx100y6x3

.a.s

yx2Umaxy,x

−−μ+−−λ+=Γ→

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎩⎨⎧

≤+≤+

=

As restrições sobre as variáveis não se podem exprimir com equações. Assim, não

se pode recorrer ao método dos multiplicadores de Lagrange. Tem de se fazer uso

das condições de Kuhn-Tucker:

( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥μ≥λ

=−−μ=−−λ

≤+≤+

=μ−λ−=μ−λ−

0:80:7

0yx80:60y6x3100:5

80yx:4100y6x3:3

06x2:203y2:1

Se 0=λ

( )( ) ⎩

⎨⎧

μ=μ=

⇔⎩⎨⎧

μ=μ=

⇔⎩⎨⎧

=μ−=μ−

5,0x5,0y

x2y2

0x2:20y2:1

Substituindo em (6) vem:

( ) 80005,05,080 =μ∨=μ⇔=μ−μ−μ

→==⇒=μ 0yx0 não é solução

→=×+×⇒==⇒=μ 36040640340yx80 viola (3), não é solução.

Se 0=μ

( )( ) ⎩

⎨⎧

λ=λ=

⇔⎩⎨⎧

λ=λ=

⇔⎩⎨⎧

=λ−=λ−

3x5,1y

6x23y2

06x2:203y2:1

Substituindo em (5) vem:

( ) 181000099100 =λ∨=λ⇔=λ−λ−λ

→=λ=μ 0 não é solução, já se viu anteriormente

26

→=+⇒⎩⎨⎧

==

⇒=λ 25325

350

325y350x

18100

não viola (4)

0, >μλ

( ) ( )( ) ( ) ⎩

⎨⎧

−==

⇔⎩⎨⎧

=−−=−−

⇔⎩⎨⎧

=−−μ=−−λ

3140y3380x

0yx800y6x3100

0yx80:60y6x3100:5

Também não é solução.

Portanto, ( ) ( )325,350y,x = e 0=μ , ou seja, a restrição do racionamento total

de 80 senhas não é activa.

c) Faça a representação gráfica dos dois equilíbrios.

X0X1

05

10152025303540455055606570758085

0 20 40 60 80 100

x

y

RO a)

RO b)

RO b)

U=250

U=277,78


a) A escolha óptima do consumidor caracteriza-se pela igualdade entre a taxa

marginal de substituição e o rácio dos preços.

A frase é falsa. Embora seja verdadeira para preferências bem comportadas, não

se aplica, por exemplo, a bens substitutos perfeitos.

b) Dois indivíduos com cabazes de consumo idênticos têm certamente

preferências idênticas.

Considerem-se dois consumidores cujas preferências são dadas por y2xU += e

y3xU += e que dispõem ambos de 100 u.m. Os preços são 2Px = e 1Py = . Para

ambos os consumidores a escolha óptima será 0x = e 0y = . Ou seja, eles

escolhem o mesmo cabaz. No entanto, não apresentam a mesma TMS pelo que as

suas preferências não são idênticas. Portanto, este exemplo demonstra que a

frase é falsa.

c) Se a função utilidade de um consumidor é do tipo ( ) βα= yxy,xU , a

percentagem de rendimento gasta no consumo do bem Y é sempre igual a β .

27

A frase é falsa, pois com uma função utilidade do tipo ( ) βα= yxy,xU a

percentagem de rendimento gasta no consumo do bem Y será sempre igual a

β+αβ

. Passando a demonstrar:

( )yPxPmyxmyPxP.a.s

yxUmaxyx

yx

y,x −−λ+=Γ→⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=βα

βα

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

λ=β

λ=α

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−−

=λ−β

=λ−α

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=λ∂Γ∂=∂Γ∂=∂Γ∂

−βα

β−α

βα

β−α

myPxP

Pyx

Pyx

0yPxPm

0Pyx

0Pyx

00y0x

yx

y1

x1

yx

y

x1

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

αβ

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=βα

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

λλ

=β

α−βα

β−α

myPxP

xPP

y

myPxP

PP

xy

myPxP

PP

yx

yx

yx

y

x

yx

y

x

yx

y

x1

1

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

αβ

+

αβ

=

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=αβ

+

αβ

=⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=αβ

+

αβ

=

mxP1

xPP

y

mxpxP

xPP

y

mxPP

pxP

xPP

y

x

y

x

xx

y

x

y

xyx

y

x

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

β+αα

=

β+αβ

=

⇔

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

β+αα

=

αβ

=

⇔

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

αβ+α

=

αβ

=

⇔

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

αβ

+=

αβ

=

x

y

x

y

x

x

y

x

x

y

x

P

mx

P

my

P

mx

xPP

y

P

mx

xPP

y

P1

mx

xPP

y

d) Se dois bens são complementares perfeitos, o consumidor vai sempre escolher

comprar igual quantidade de ambos.

Se dois bens são complementares perfeitos serão consumidos sempre na mesma

proporção o que não significa que se consuma igual quantidade de ambos. Como

exemplo tomem-se as alíneas g)-i) do exercício A.3.1. A frase é, então, falsa.

e) Quando as preferências são quasi-lineares, a escolha do consumidor é sempre

uma solução de canto.

Uma solução de canto é aquela em que o rendimento é gasto em apenas um dos

bens. A frase é, obviamente, falsa: basta ver o exemplo das alíneas j)-l) do

exercício A.3.1.

f) Se dois bens são substitutos perfeitos e yxy,x PPTMS > , o consumo de X é

nulo.

A frase é verdadeira. Se a y,xTMS é maior que o preço relativo de x, então x,yTMS

é menor que o preço relativo de x. Como x,yTMS é o rácio da utilidade marginal

de x e de y, dizer que aquela é menor que o rácio dos preços de x e de y significa

que x tem um custo relativo superior à satisfação relativa que proporciona. E,

como tal, não compensa comprá-lo.

28

A.4. ANÁLISE DE ESTÁTICA COMPARADA


a) Curva consumo-rendimento

Lugar geométrico dos cabazes de equilíbrio do consumidor correspondentes a

diferentes níveis de rendimento.

b) Bem normal

Bem cujo consumo varia proporcionalmente menos ou na mesma proporção do

rendimento monetário.

c) Bem inferior

Bem cujo consumo varia inversamente com o rendimento.

d) Curva de Engel

Representação da relação entre a quantidade consumida de um bem e o

rendimento do consumidor.

e) Curva consumo-preço

Lugar geométrico dos cabazes de equilíbrio de um consumidor que resultam de

variações no preço de um bem.

f) Bem de Giffen

Bem cuja procura varia directamente com o seu preço.

g) Efeito substituição

Variação na quantidade procurada de um bem, resultante da variação no preço

desse bem, mantendo-se constante o rendimento real do consumidor (se esse

rendimento real estiver expresso em termos de poder de compra(nível de

satisfação), tem-se a abordagem à Slutsky(Hicks)).

h) Efeito rendimento

Variação na quantidade procurada de um bem, resultante da alteração do

rendimento real do consumidor (se esse rendimento real estiver expresso em

termos de poder de compra(nível de satisfação), tem-se a abordagem à

Slutsky(Hicks)).

A.4.2. Mostre que um bem de Giffen é necessariamente inferior.

A variação no consumo de um bem devida a uma alteração do respectivo preço pode

ser desdobrada em dois efeitos, o substituição e o rendimento:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]m,pxm,pxm,pxm,pxm,pxm,pxxxx ns ′′−′+−′′=−′⇔Δ+Δ=Δ

Enquanto o efeito substituição tem de ser negativo – isto é, por efeito substituição, a

variação no consumo tem sinal oposto ao da variação no preço – o efeito rendimento

pode ser negativo ou positivo.

29

Um bem de Giffen é aquele cuja procura ordinária varia directamente com o seu

preço, ceteris paribus. Portanto, a variação total tem de ter sinal positivo. Ora, para

que a soma de uma parcela negativa com outra seja positiva, esta outra parcela tem

de ser positiva. Logo, para que um bem seja de Giffen, o efeito rendimento tem de

ter sinal positivo. Mas um bem só tem efeito rendimento de sinal positivo se for

inferior. Concluindo: um bem de Giffen tem de ser necessariamente inferior.

A.4.3. Considere o espaço de consumo de 2 bens, X e Y, relativo a um determinado

consumidor. Apresente uma interpretação gráfica dos efeitos substituição e

rendimento numa situação em que o preço do bem X diminui. O bem X é um bem

normal. Efectue as explicações que entender necessárias para acompanhar a

leitura do gráfico. Reporte-se às abordagens de Hicks e Slutsky.

ABORDAGEM DE HICKS

Para decompor a variação total em efeito substituição e efeito rendimento, Hicks

determina a quantidade consumida de X num cenário em que o preço deste bem

diminui, mas o bem-estar do consumidor mantém-se. Ou seja, Hicks encontra uma

restrição orçamental (a verde) com o mesmo declive que a restrição orçamental final

(a azul claro) mas que seja tangente à curva de indiferença que também o é à

restrição orçamental inicial (a azul escuro).

E1 E2

EI

x

y

RO inicial

RO final

RO intermédia

CI

ES

ER

ABORDAGEM DE SLUTSKY

Para decompor a variação total em efeito substituição e efeito rendimento, Slutsky

determina a quantidade consumida de X num cenário em que o preço deste bem

diminui, mas o poder de compra do consumidor mantém-se. Ou seja, Slutsky encontra

uma restrição orçamental (a verde) com o mesmo declive que a restrição orçamental

final (a azul claro) mas que passa pelo cabaz inicial. Dada essa restrição orçamental

(a verde), Slutsky calcula a quantidade óptima de X.

30

E1 E2

EI

x

y

RO inicial

RO final

RO intermédia

ES

ER

A.4.4. Determine e represente as curvas

i. consumo-rendimento

ii. consumo-preço do bem X

iii. consumo-preço do bem Y

iv. de Engel do bem X

v. de Engel do bem Y

para as seguintes situações:

a) 5,05,0 yx5U = ; 2Px = ; 10Py = ; 100m = CURVA CONSUMO-RENDIMENTO

x2,0y102

xy

P

PTMS

y

xx,y =⇔=⇔=

CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X

⇔⎩⎨⎧

=+=

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=

100y10xPy10xP

100y10xP10P

xy

myPxP

P

PTMS

x

x

x

x

yx

y

xx,y

5y100y10y10

y10xPx =⇔⎩⎨⎧

=+=

CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=

100yPx2

x2yP

100yPx2

P2

xy

myPxP

PP

TMS

y

y

y

y

yx

y

xx,y

25x100x2x2

x2yPy =⇔⎩⎨⎧

=+

=

CURVA DE ENGEL DO BEM X

m25,0x2m5,0

xP

m5,0x

x

=⇔=⇔=

CURVA DE ENGEL DO BEM Y

31

m05,0y10

m5,0y

P

m5,0y

y

=⇔=⇔=

b) 6,04,0 yx2U = ; 1Px = ; 6Py = ; 50m = CURVA CONSUMO-RENDIMENTO

x25,0y61

x6,0y4,0

P

PTMS

y

xx,y =⇔=⇔=


⇔⎩⎨⎧

=+=

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=

50y6xPy4xP

50y6xP6P

x6,0y4,0

myPxP

P

PTMS

x

x

x

x

yx

y

xx,y

5y50y6y4

y4xPx =⇔⎩⎨⎧

=+=


⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=

50yPx

x5,1yP

50yPx

P1

x6,0y4,0

myPxP

PP

TMS

y

y

y

y

yx

y

xx,y

20x50x5,1x

x5,1yPy =⇔⎩⎨⎧

=+

=


m4,0x1m4,0

xP

m4,0x

x

=⇔=⇔=


m1,0y6m6,0

yP

m6,0y

y

=⇔=⇔=

c) 23yxU = ; 5,1Px = ; 4Py = ; 45m = CURVA CONSUMO-RENDIMENTO

x25,0y45,1

x2y3

PP

TMSy

xx,y =⇔=⇔=


⇔⎩⎨⎧

=+=

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=

45y4xPy6xP

45y4xP4P

x2y3

myPxP

P

PTMS

x

x

x

x

yx

y

xx,y

5,4y45y4y6

y6xPx =⇔⎩⎨⎧

=+=


⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=

45yPx5,1

xyP

45yPx5,1

P5,1

x2y3

myPxP

PP

TMS

y

y

y

y

yx

y

xx,y

18x45xx5,1

xyPy =⇔⎩⎨⎧

=+

=


m4,0x5,1m6,0

xP

m6,0x

x

=⇔=⇔=


32

m1,0y4m4,0

yP

m4,0y

y

=⇔=⇔=

d) y3x2U += ; 1Px = ; 4Py = ; 60m = CURVA CONSUMO-RENDIMENTO

0yTMS32

41

P

Px,y

y

x =⇒=<=


se 0y38Px =⇒< se x3215y38Px −=⇒= se 0x38Px =⇒> CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y

se 0x5,1Py =⇒<

se x3240y5,1Py −=⇒=

se 0y5,1Py =⇒> CURVA DE ENGEL DO BEM X

mx1m

xP

mx

x

=⇔=⇔=

CURVA DE ENGEL DO BEM Y 0y =

e) y2x5U += ; 3Px = ; 1Py = ; 12m = CURVA CONSUMO-RENDIMENTO

0xTMS25

13

P

Px,y

y

x =⇒=>=


se 0y5,2Px =⇒< se x5,212y5,2Px −=⇒= se 0x5,2Px =⇒> CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y

se 0x2,1Py =⇒<

se x5,210y2,1Py −=⇒=

se 0y2,1Py =⇒> CURVA DE ENGEL DO BEM X

0x = CURVA DE ENGEL DO BEM Y

my1m

yP

my

y

=⇔=⇔=

f) y4x3U += ; 6Px = ; 8Py = ; 150m = CURVA CONSUMO-RENDIMENTO

É todo o espaço dos bens.


se 0y6Px =⇒< se x75,075,18y6Px −=⇒= se 0x6Px =⇒> CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y

se 0x8Py =⇒<

33

se x75,075,18y8Py −=⇒=

se 0y8Py =⇒> CURVA DE ENGEL DO BEM X




g) { }y5,x2minU = ; 2Px = ; 10Py = ; 72m = CURVA CONSUMO-RENDIMENTO

x4,0yy5x2 =⇔= CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X

x4,0yy5x2 =⇔= CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y

x4,0yy5x2 =⇔= CURVA DE ENGEL DO BEM X

6m

x104,02

mx

P4,0P

mx

yx

=⇔×+

=⇔+

=


15m

y25,210

my

P5,2P

my

xy

=⇔×+

=⇔+

=

h) { }y,x3minU = ; 6Px = ; 2Py = ; 48m = CURVA CONSUMO-RENDIMENTO

x3y = CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X

x3y = CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y

x3y = CURVA DE ENGEL DO BEM X

12m

x236

mx

P3P

mx

yx

=⇔×+

=⇔+

=


m25,0y236

m3y

P3Pm3

yyx

=⇔×+

=⇔+

=

i) { }y,x2minU = ; 4Px = ; 2Py = ; 100m = CURVA CONSUMO-RENDIMENTO

x2y = CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X

x2y = CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y

x2y = CURVA DE ENGEL DO BEM X

m125,0x224

mx

P2P

mx

yx

=⇔×+

=⇔+

=


m25,0y45,02

my

P5,0P

my

xy

=⇔×+

=⇔+

=

j) ylnx4U += ; 10Px = ; 1Py = ; 5,62m = CURVA CONSUMO-RENDIMENTO

34

5,2y1

10

y

4

P

PTMS

1y

xx,y =⇔=⇔=

−


⇔⎩⎨⎧

=+

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=−

5,62´yxP

y4P

5,62yxP

1P

y

4

myPxP

P

PTMS

x

x

x

x1

yx

y

xx,y

x415,62

y5,62yyx4

y4Px

+=⇔

⎩⎨⎧

=+=


⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

= −

5,62yPx10

5,2yP

5,62yPx10

P10

y

4

myPxP

PP

TMS

y

y

y

y1

yx

y

xx,y

6x5,625,2x10

5,2yPy =⇔⎩⎨⎧

=+

=


25,0m1,0x10

5,2mx

P4P

mx

x

x

−=⇔−

=⇔−

=


5,2y14

10y

P4

Py

y

x =⇔×

=⇔=

k) 2x5,0yU += ; 6Px = ; 2Py = ; 28m = CURVA CONSUMO-RENDIMENTO Se 18y00x36m ≤<∧=⇒≤ Se 0y6x36m =∧≥⇒≥ CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X Se 0y28x28Px =∧≥⇒≤

Se 14y0x28Px =∧=⇒≥ CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y Se 998y0x718Py ≥∧=⇒≤

Se 0y314x718Py =∧=⇒≥ CURVA DE ENGEL DO BEM X Se 0x36m =⇒≤ Se 6mx36m =⇒≥ CURVA DE ENGEL DO BEM Y Se m5,0y36m =⇒≤ Se 0y36m =⇒≥

l) 5,0y12x3U += ; 2Px = ; 5,0Py = ; 100m = CURVA CONSUMO-RENDIMENTO

64y5,0

2

y6

3

P

PTMS

5,0y

xx,y =⇔=⇔=

−


⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=−

100´y5,0xP

y25,0P

100y5,0xP

5,0P

y6

3

myPxP

P

PTMS

x

5,0x

x

x5,0

yx

y

xx,y

35

5,05,0

5,0x

y25,0

y5,0100x

100y5,0xy25,0

y25,0P −=⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=


⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=−

100yPx2y

4P

100yPx2

P2

y6

3

myPxP

PP

TMS

y

5,0y

y

y5,0

yx

y

xx,y

( )25,0

5,0yx5,025y

100y4x2

y

4P

−=⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=


16m5,0xP

P

P4m

xx

y

2x

−=⇔

−

=


64y5,0

24y

P

P4y

22

y

x =⇔⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇔

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

A.4.5. Calcule:

i. efeito substituição e efeito rendimento à Slutsky

ii. efeito substituição e efeito rendimento à Hicks

iii. variação no excedente

iv. variação compensatória

v. variação equivalente

para as seguintes situações:

a) 5,05,0 yx5U = ; 2Px = ; 10Py = ; 100m = ; 5Px =′

510

1005,0y25

21005,0

x

100m

10P2P

iiy

x

=×

==×

=⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==

510

1005,0y10

51005,0

x

100m

10P

5P

ffy

x

=×

==×

=⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

==′

EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY

175510255yPxPm iyix =×+×=+′=′

5,1751755,0

x

170m

10P

5P

y

x

=×

=′⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=′

==′

5,7255,17ES −=−= 5,75,1710ER −=−=

EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS

36

⇔⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′

=××⇔⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′′⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

′′′

=5,05,0

5,05,0

5,0

y

5,0

x

i 10m5,0

5m5,0

55255Pm5,0

P

m5,05U

158m50m25,0

1252

≈′′⇔′′

=

8,1551585,0

x

158m

10P

5P

y

x

=×

=′⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=′′

==′

2,9258,15ES −=−= 8,58,1510ER −=−=

VARIAÇÃO NO EXCEDENTE

x50

PP50

x xx

=⇔=

25x2Px =⇒= 10x5Px =⇒=

[ ] [ ] =−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−=−=Δ ∫∫ 25

0100

25

0

10

0if xln50xln50225dx

x50

510dxx50

XCXCXC

( ) ( )[ ] 81,450ln25ln0ln10ln50 −≈−−−=

VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA

58100158mmVC =−=−′′=

VARIAÇÃO EQUIVALENTE

⇔⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′′

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′′

=××⇔⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′′′⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′′′=

5,05,05,05,0

5,0

y

5,0

xf 10

m5,02m5,0

55105Pm5,0

Pm5,0

5U

63m20m25,0

502

≈′′′⇔′′′

=

3710063mmVE −=−=−′′′=

b) 6,04,0 yx2U = ; 1Px = ; 6Py = ; 50m = ; 4Py =′

56

506,0y20

1504,0

x

50m

6P1P

iiy

x

=×

==×

=⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==

5,74

506,0y20

1504,0

x

50m

4P

1P

ffy

x

=×

==×

=⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=′=


4054201yPxPm iyix =×+×=′+=′

64

406,0y

40m

4P

1P

y

x

=×

=′⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=′

=′=

156ES =−= 5,165,7ER =−=


37

⇔⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′

=××⇔⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

′′′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′′=

6,04,06,04,0

6,0

y

4,0

xi 4

m6,01m4,0

25202P

m6,0P

m4,02U

39mm15,04,0520 6,04,06,04,0 ≈′′⇔′′×=×

85,54

396,0y

39m

4P

1P

y

x

=×

=′⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=′′

=′=

85,0585,5ES =−= 65,185,55,7ER =−=


y30

PP30

y yy

=⇔=

5y6Py =⇒=

5,7y4Py =⇒=

[ ] [ ] =−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−=−=Δ ∫∫ 5

05,7

0

5

0

5,7

0if yln30yln3065dy

y30

45,7dyy30

XCXCXC

( ) ( )[ ] 16,120ln5ln0ln5,7ln30 ≈−−−=


115039mmVC −=−=−′′=


⇔⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′′

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′′

=××⇔⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′′′⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′′′=

6,04,06,04,0

6,0

y

4,0

xf 6

m6,01m4,0

25,7202Pm6,0

Pm4,0

2U

63mm1,04,05,720 6,04,06,04,0 ≈′′′⇔′′′×=× 135063mmVE =−=−′′′=

c) 23yxU = ; 5,1Px = ; 4Py = ; 45m = ; 3Px =′

5,44

454,0y18

5,1456,0

x

45m

4P

5,1P

iiy

x

=×

==×

=⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==

5,44

454,0y9

3456,0

x

45m

4P3P

ffy

x

=×

==×

=⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

==′


725,44183yPxPm iyix =×+×=+′=′

8,104

726,0x

72m

4P

3P

y

x

=×

=′⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=′

==′

2,7188,10ES −=−= 8,18,109ER −=−=


⇔⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′

=×⇔⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′′⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

′′′

=23

232

y

3

x

i 4m4,0

3m6,0

5,418P

m4,0

P

m6,0U

38

68mm1,02,05,418 52323 ≈′′⇔′′×=×

6,133

686,0x

68m

4P3P

y

x

=×

=′⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=′′

==′

4,4186,13ES −=−= 6,46,139ER −=−=


x27

PP27

x xx

=⇔=

18x5,1Px =⇒= 9x3Px =⇒=

[ ] [ ] =−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−=−=Δ ∫∫ 18

090

18

0

9

0if xln27xln275,118dx

x27

39dxx27

XCXCXC

( ) ( )[ ] 71,180ln18ln0ln9ln27 −≈−−−=


234568mmVC =−=−′′=


⇔⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′′′=×⇔⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′′′⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′′′=

2323

2

y

3

xf 4

m4,05,1m6,0

5,49Pm4,0

Pm6,0

U

30mm1,04,05,49 52323 ≈′′′⇔′′×=× 154530mmVE −=−=−′′′=

d) y3x2U += ; 1Px = ; 4Py = ; 60m = ; 3Px =′

0y601

60x

60m

4P

1P

iiy

x

===⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==

15460

y0x

60m

4P

3P

ffy

x

===⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

==′


18004603yPxPm iyix =×+×=+′=′

0x

180m

4P

3P

y

x

=′⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=′

==′

60600ES −=−= 000ER =−=


160m4

m30203602

Pm

302Uy

i =′′⇔′′

×+×=×+×⇔′′

×+×=

0x

160m

4P

3P

y

x

=′⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=′′

==′

60600ES −=−=

39

000ER =−=


[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

>==∈

<=

38Pse0x38Pse5,22;0x

38PseP60x

x

x

xx

60x1Px =⇒= 0x3Px =⇒=

[ ] ( ) 85,585,22ln60ln60xln60160dxx60

38

5,220XCXCXC 605,22

60

5,22if −≈−−=−=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛×−+×−=−=Δ ∫

VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA 10060160mmVC =−=−′′=


5,22m031

m21530203

Pm

2Ux

f =′′⇔×+′′

×=×+×⇔×+′′

×=

5,37605,22mmVE −=−=−′′′=

e) y2x5U += ; 3Px = ; 1Py = ; 12m = ; 8,0Py =′

121

12y0x

12m

1P

3P

iiy

x

===⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==

158,0

12y0x

12m

8,0P

3P

ffy

x

===⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=′=


6,9128,003yPxPm iyix =×+×=′+=′

128,06,9

y

6,9m

8,0P

3P

y

x

==′⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=′

=′=

01212ES =−= 31215ER =−=


6,9m8,0

m20512205

Pm

205Uy

i =′′⇔′′

×+×=×+×⇔′′

×+×=

128,06,9

y

6,9m

8,0P

3P

y

x

==′⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=′

=′=

01212ES =−= 31215ER =−=


[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

>==∈

<=

2,1Pse0y2,1Pse10;0y

2,1PseP12y

x

x

xy

12y1Py =⇒=

15y8,0Py =⇒=

40

( ) ( ) [ ] ( ) 68,212ln15ln12xln128,01128,01215dyy

12XCXCXC 15

12

15

12if ≈−==−×+×−−=−=Δ ∫


4,2126,9mmVC −=−=−′′=


15m1

m20515205

Pm

205Uy

f =′′⇔′′

×+×=×+×⇔′′

×+×=

31215mmVE =−=−′′′=

f) y4x3U += ; 6Px = ; 8Py = ; 150m = ; 10Py =′

[ ] [ ]75,18;0y25;0x

150m

8P6P

iiy

x

∈∈⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==

0y256

150x

150m

10P

6P

ffy

x

===⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=′=


Indeterminado


Indeterminado


Indeterminada


Indeterminada


Indeterminada

g) { }y5,x2minU = ; 2Px = ; 10Py = ; 72m = ; 5Py =′

8,425,210

72y12

104,0272

x

72m

10P

2P

iiy

x

=×+

==×+

=⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==

2,725,25

72y18

54,0272

x

72m

5P

2P

ffy

x

=×+

==×+

=⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=′=


488,45122yPxPm iyix =×+×=′+=′

8,425,25

48y

48m

5P

2P

y

x

=×+

=′⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=′

=′=

08,48,4ES =−= 4,28,42,7ER =−=


41

48m54,02

m2122

P5,2Pm

5,P4,0P

m2minU

xyyx

i =′′⇔×+

′′×=×⇔

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+′′

′+

′′=

8,425,25

48y

48m

5P

2P

y

x

=×+

=′⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=′

=′=

08,48,4ES =−= 4,28,42,7ER =−=


5y72

P5P

72y y

y−=⇔

+=

8,4y10Py =⇒=

2,7y5Py =⇒=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−−−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−−=−=Δ ∫∫

8,4

0

2,7

0if 108,4dy5

y72

52,7dy5y72

XCXCXC

[ ] [ ] [ ] [ ] =++−−−= 48y5yln7236y5yln72 8,40

8,40

2,70

2,70

( ) ( ) 2,29128,42,758,4ln2,7ln72 ≈+−−−=


247248mmVC −=−=−′′=


108m104,02

m2182

P5,2Pm

5,P4,0P

m2minU

xyyxf =′′′⇔

×+′′′

×=×⇔⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+′′′

+′′′

=

3672108mmVE =−=−′′′=

h) { }y,x3minU = ; 6Px = ; 2Py = ; 48m = ; 4Px =′

12236

483y4

23648

x

48m

2P

6P

iiy

x

=×+

×==

×+=⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==

4,14234

483y8,4

23448

x

48m

2P4P

ffy

x

=×+

×==

×+=⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

==′


4012244yPxPm iyix =×+×=+′=′

4234

40x

40m

2P

4P

y

x

=×+

=′⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=′

==′

044ES =−= 8,048,4ER =−=


40m234

m312

P3P

m3,

P3P

m3minU

yxyx

i =′′⇔×+′′

=⇔⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+′′′

+′′′

=

42

4234

40x

40m

2P

4P

y

x

=×+

=′⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=′

==′

044ES =−= 8,048,4ER =−=


6x48

P6P

48x x

x−=⇔

+=

4x6Px =⇒= 8,4x4Px =⇒=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−−−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−−=−=Δ ∫∫

4

0

8,4

0if 64dx6

x48

48,4dx6x48

XCXCXC

[ ] [ ] [ ] [ ] =++−−−= 24x6xln482,19x6xln48 40

40

8,40

8,40

( ) ( ) 75,88,448,464ln8,4ln48 ≈+−−−=


84840mmVC −=−=−′′=


6,57m236

m38,43

P3Pm3

,P3P

m3minU

yxyxf =′′′⇔

×+′′′

×=×⇔⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+′′′

+′′′

=

6,9486,57mmVE =−=−′′′=

i) { }y,x2minU = ; 4Px = ; 2Py = ; 100m = ; 5Px =′

2545,02

100y5,12

224100

x

100m

2P4P

iiy

x

=×+

==×+

=⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==

9200

55,02100

y9

100225

100x

100m

2P5P

ffy

x

=×+

==×+

=⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

==′


5,1122525,125yPxPm iyix =×+×=+′=′

5,12225

5,112x

5,112m

2P5P

y

x

=×+

=′⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=′

==

05,125,12ES =−= 18255,129100ER −=−=


5,112m55,02

m25

P5,0P

m,

P2P

m2minU

xyyx

i =′′⇔×+′′

=⇔⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

′+

′′

+′′′

=

5,12225

5,112x

5,112m

2P

5P

y

x

=×+

=′⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=′

==

05,125,12ES =−=

43

18255,129100ER −=−=


4x

100P

4P100

x xy

−=⇔+

=

5,12x4Px =⇒= 9100x5Px =⇒=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−−−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−−=−=Δ ∫∫

5,12

0

9100

0if 45,12dx4

x100

59

100dx4

x100

XCXCXC

[ ] [ ] [ ] [ ] =++−−−= 50x4xln1009500x4xln100 5,120

5,120

91000

91000

( ) ( ) ≈+−−−= 9505,12910045,12ln9100ln100


5,121005,112mmVC =−=−′′=


9800

m45,02

m9

200P5,0P

m,

P2Pm

2minUxyyx

f =′′′⇔×+′′′

=⇔⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+′′′

+′′′

=

9100

1009

800mmVE −=−=−′′′=

j) ylnx4U += ; 10Px = ; 1Py = ; 5,62m = ; 2Py =′

5,214

10y6

101025,05,62

x

5,62m

1P

10P

iiy

x

=×

==×−

=⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==

25,124

10y6

101025,05,62

x

5,62m

2P

10P

ffy

x

=×

==×−

=⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=′=


655,22610yPxPm iyix =×+×=′+=′

25,124

10y

65m

2P

10P

y

x

=×

=′⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=′

=′=

25,15,225,1ES −=−= 025,125,1ER =−=


23,64m25,1ln1m4,05,2ln6424

10ln

105,2m

4Ui ≈′′⇔+−′′=+×⇔×

+−′′

=

25,124

10y

23,64m

2P

10P

y

x

=×

=′⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=′′

=′=

25,15,225,1ES −=−= 025,125,1ER =−=


y5,2

PP410

y yy

=⇔=

44

5,2y1Py =⇒=

25,1y2Py =⇒=

[ ] [ ] =−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−=−=Δ ∫∫ 5,2

025,1

0

5,2

0

25,1

0if yln5,2yln5,215,2dy

y5,2

225,1dyy5,2

XCXCXC

( ) ( )[ ] 73,10ln5,2ln0ln25,1ln5,2 −≈−−−=


73,15,6223,64mmVC =−=−′′=


77,60m5,2ln1m4,025,1ln6414

10ln

105,2m

4Uf ≈′′⇔+−′′=+×⇔×

+−′′

=

73,15,6277,60mmVE −=−=−′′′=

k) 2x5,0yU += ; 6Px = ; 2Py = ; 28m = ; 4Px =′

14y0x

28m

2P6P

iiy

x

==⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==

0y7x

28m

2P

4P

ffy

x

==⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

==′


2814204yPxPm iyix =×+×=′+=′

7x

28m

2P

4P

y

x

=′⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=′

==′

707ES =−= 077ER =−=


448m4

m5,005,014

4m

5,0oU2

22

i =′′⇔⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′

=×+⇔⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′

+=

3,5x

448m

2P4P

y

x

≈′⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=′′

==′

3,503,5ES =−= 7,13,57ER =−=


⎩⎨⎧

=0

P28x x

sese

28P

28P

x

x

≥

≤

0x6Px =⇒= 7x4Px =⇒=

( ) [ ] ( ) 14287xln2804287dxx28

XCXCXC 728

7

28if ≈×−−=−×−−=−=Δ ∫


83,628448mmVC −=−=−′′=

45


42m6

m5,075,00

6m

5,00U2

22

f =′′′⇔⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′′

=×+⇔⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′′

+=

142842mmVE =−=−′′′=

l) 5,0y12x3U += ; 2Px = ; 5,0Py = ; 100m = ; 1Px =′

645,0

24y34

25,024100

x

100m

5,0P

2P 2

i

2

iy

x

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

×−=⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==

165,0

14y92

15,014100

x

100m

5,0P1P 2

i

2

iy

x

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

×−=⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

==′


66645,0341yPxPm iyix =×+×=+′=′

581

5,01466x

66m

5,0P

1P 2

iy

x

=×−

=⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=′

==′

243458ES =−= 345892ER =−=


58m4824m364123435,0

1412

15,014m

3U 5,0

5,022

i =′′⇔+−′′=×+×⇔⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×+

×−′′=

501

5,01458x

58m

5,0P1P 2

iy

x

=×−

=⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=′′

==′

163450ES =−= 425092ER =−=


( )16

3200xxP

PP8100

x5,02

xx

2x ++−

=⇔−

=

34x2Px =⇒= 92x1Px =⇒=

( ) ( ) ( ) =−×+×−−++−

=−=Δ ∫ 123413492dx16

3200xxXCXCXC

92

34

5,02

if

=−⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +++++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−= 243200xxln16003200xx5,0

2x

161 92

34

2292

34

2

31,57≈ VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA

4210058mmVC −=−=−′′=


46

184m9648m5,116129235,0

2412

25,024m

3U 5,0

5,022

f =′′⇔+−′′=×+×⇔⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×+

×−′′=

84100184mmVE =−=−′′′=


a) A curva de Engel de um bem de Giffen é positivamente inclinada.

Um bem de Giffen é necessariamente inferior. Um bem inferior é aquele cuja

quantidade consumida varia inversamente com o rendimento. Logo, a curva que

representa a relação entre quantidade consumida e rendimento, a curva de

Engel, é negativamente inclinada. Portanto, a frase é falsa.

b) A probabilidade de um bem ser inferior para um dado consumidor aumenta à

medida que aumenta o seu nível de rendimento.

Preferências quasi-lineares implicam que a procura de um dos bens não dependa

do rendimento. Se não depende do rendimento, também não tem efeito

rendimento. E se não tem efeito rendimento não pode ser inferior. Portanto, a

frase é falsa.

c) A curva consumo-preço de um bem normal nunca pode ser decrescente.

A curva consumo-preço de um bem é o lugar geométrico dos cabazes de equilíbrio

que resultam de variações no preço desse bem. Admitamos, sem perda de

generalidade, que o bem em questão é o X e é normal. Se é normal, terá de ser

ordinário. Um bem ordinário é aquele cuja quantidade consumida varia

inversamente com o seu preço. Portanto, à medida que o preço de X baixa, a

quantidade consumida vai estar cada vez mais à direita. Dizer que a curva

consumo-preço não pode ser decrescente significa, neste contexto, que a

quantidade consumida de Y ou não varia ou aumenta. Mas não há nada que

garanta que assim seja. Logo, a frase é falsa.

d) Para um orçamento inteiramente gasto em dois bens, um aumento no preço de

um deles causará necessariamente um descréscimo no consumo de ambos, a

não ser que pelo menos um dos bens seja inferior.

Falso. Basta pensar em preferências Cobb-Douglas. Nenhum dos bens é inferior e,

no entanto, quando o preço de um deles aumenta, o consumo do outro não se

altera. Portanto, apenas um dos bens vê o seu consumo reduzido.

e) Quando o efeito rendimento é superior ao efeito substituição mas de sentido

contrário a este, estamos na presença de um bem de Giffen.

A variação no consumo de um bem devida a uma alteração do respectivo preço

pode ser desdobrada em dois efeitos, o substituição e o rendimento:


O efeito substituição tem sempre sinal negativo. Se o efeito rendimento for

positivo e de maior magnitude que o efeito substituição, o efeito total – que é a

47

soma dos dois – será positivo. Mas um efeito total positivo significa que a

quantidade consumida varia positivamente com o preço. E isso é a definição de

um bem de Giffen. A frase é, pois, verdadeira.

f) Um bem inferior é necessariamente um bem de Giffen.

A frase é falsa. A variação no consumo de um bem devida a uma alteração do

respectivo preço pode ser desdobrada em dois efeitos, o substituição e o

rendimento:


Um bem inferior é aquele cuja quantidade consumida varia inversamente com o

rendimento. Para estes bens, o efeito rendimento é positivo. Ou seja, tem sinal

oposto ao do efeito substituição. Obviamente, o sinal do efeito total dependerá

da magnitude dos dois efeitos referidos, podendo o bem ser de ordinário ou de

Giffen.

g) Se um bem é normal para qualquer nível de rendimento, então a curva de

Engel é negativamente inclinada.

Um bem normal é aquele cuja quantidade consumida varia positivamente com o

rendimento. Logo, a curva que representa a relação entre quantidade consumida

e rendimento, a curva de Engel, é positivamente inclinada. Portanto, a frase é

verdadeira.

h) A variação compensatória é, em termos absolutos, sempre superior à variação

equivalente.

Embora geralmente a variação compensatória seja, em termos absolutos, superior

à variação equivalente, tal não sucede, por exemplo, com as preferências quasi-

lineares, caso em que as duas medidas têm sempre o mesmo valor absoluto. Logo,

a frase é falsa.

48

A.5. PROCURA DE MERCADO

A.5.1. Determine a função procura do mercado do bem X dadas as seguintes funções

procura individuais:

p1,010x i −= 10,,1i K=

jx230p −= 5,,1j K=

p06,325xt −= 25,,1t K=

100p0xp1,010x ii =⇔=→−= 30p0xp5,015xx230p jjj =⇔=→−=⇔−=

17,806,325P0xp06,325x tt ≈=⇔=→−=

⇔

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

≤<

≤<+

≤≤++

=

∑

∑∑

∑∑∑

=

==

===

100p30sex

30p06,325sexx

06,325p0sexxx

X

10

1ii

10

1ii

5

1jj

10

1ii

5

1jj

25

1tt

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤<−≤<−+−

≤≤−+−+−=

100p30sep1,0101030p06,325sep1,01010p5,0155

06,325p0sep1,01010p5,0155p06,32525X

( ) ( ) ( )( ) ( ) ⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤<−≤<−+−

≤≤−+−+−=

100p30sep10030p06,325sep100p5,275

06,325p0sep1005,275p5,76625X

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤<−≤<−

≤≤−=

100p30sep10030p06,325sep5,3175

06,325p0sep80800X

A.5.2. O Pedro e o Carlos são irmãos com preferências musicais idênticas. A procura

individual de CDs pode ser expressa pela função ix15p −= .

a) Determine a função procura agregada dos dois. p15xx15p ii −=⇔−=

( ) p230p152xX i −=−== ∑ Suponha que cada CD custa 3 u.m.

b) Calcule a elasticidade-preço da procura individual

( )p15

p1

p15p

dpdx

xp i

i −=−×

−==ε

25,03p =ε⇒= c) Calcule a elasticidade-preço da procura agregada

( )p15

p2

p230p

dpdX

Xp

−=−×

−==ε

25,03p =ε⇒=

49

d) Compare e analise os resultados obtidos nas alíneas b) e c).

A elasticidade-preço da procura individual é a mesma da procura agregada.

A.5.3. Considere a seguinte função procura linear: p210y −= .

a) Represente a função e indique em que zonas a procura é elástica, rígida e

unitária.

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11y

p

elástica

rígida

unitária

( ) 5,2p1p210

p212

p210p

1dpdy

yp

1 =⇔=−

⇔=−×−

⇔=⇔=ε

15,2p >ε⇒> 15,2P <ε⇒< b) Identifique o ponto da recta que corresponde ao máximo da despesa total.

( ) 10p2p210pypDT 2 +−=−=×= 5,2p0p4100pDTDTmax =⇔=−⇔=∂∂⇒

A.5.4. Seja a função de utilidade 25,025,0 yxU = . Para a compra de X e Y, o consumidor

individual dispõe de um nível de rendimento M. Calcule:

a) A elasticidade procura-preço do bem X.

1P

m5,0m5,0

P

P

m5,0Pm5,0

PdPdx

xP

2x

2x

2xx

x

x

xxx −=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−×=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−×==ε

b) A elasticidade procura-preço do bem Y.

1P

m5,0m5,0

P

P

m5,0Pm5,0

P

dPdy

y

P2y

2y

2yy

y

y

yyy −=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−×=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−×==ε

c) A elasticidade procura-preço cruzada do bem X em relação ao bem Y.

00Pm5,0

P

dPdx

x

P

x

y

y

yxy =×==ε

d) A elasticidade procura-preço cruzada do bem Y em relação ao bem X.

00Pm5,0

PdPdy

yP

y

x

x

xyx =×==ε

e) A elasticidade procura-rendimento do bem X.

1P

5,0Pm5,0

mdmdx

xm

xxx =×==η

f) A elasticidade procura-rendimento do bem Y.

50

1P

5,0Pm5,0

mdmdy

ym

yyy =×==η

g) Verifique que 0xxyxx =η+ε+ε , onde xxε , xyε e xη representam,

respectivamente, a elasticidade procura-preço directa do bem X, a

elasticidade procura-preço cruzada entre o bem X e o bem Y e a elasticidade

procura-rendimento do bem X.

0101Xxyxx =++−=η+ε+ε

51

B. TEORIA DO PRODUTOR B.1. TECNOLOGIA

B.1.1. Defina os seguintes conceitos:

a) Factor produtivo

b) Produtividade média

Produto total por unidade de factor.

c) Produtividade marginal

Acréscimo do produto total por unidade adicional do factor, mantendo-se o outro

constante.

d) Lei dos rendimentos marginais decrescentes

Lei segundo a qual se aumentarmos a quantidade de um dos factores produtivos,

mantendo fixas as quantidades dos restantes, os resultantes acréscimos do

produto são cada vez menores, podendo atingir-se uma região de acréscimos do

produto negativos.

e) Rendimentos crescentes à escala

Tecnologia em que o acréscimo de x% na utilização de todos os factores

produtivos permite obter um acréscimo do produto superior a x%.

f) Rendimentos constantes à escala


produtivos permite obter um acréscimo do produto igual a x%.

g) Rendimentos decrescentes à escala


produtivos permite obter um acréscimo do produto inferior a x%.

B.1.2. Determinada empresa tem a seguinte função de produção: 32 LKLQ −= , em que K

e L são factores de produção e Q é a quantidade produzida. A empresa encontra-

se a produzir na dimensão 18K = .

a) Determine a expressão analítica do produto total, produtividade média e

produtividade marginal do factor L.

Produto total: 32 LL18Q −=

Produtividade média: 2LL18LQ

−=

Produtividade marginal: 2L3L36LQ

−=∂∂

52

b) Represente graficamente as funções mencionadas, acompanhadas do

respectivo estudo, e explicando os zeros e andamento de tais funções.

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 L

PT

PMe

PMg

A função produto total apresenta dois zeros, para 0L = e 18L = . É crescente até

12L = ; neste ponto tem um máximo e a partir daí é decrescente.

Os zeros da produtividade média são também os da função produto total ( 0L = e

18L = ). A função é crescente até 12L = ; neste ponto tem um máximo e a partir

daí é decrescente.

A produtividade marginal apresenta dois zeros, para 0L = e 12L = . É crescente

até 6L = ; neste ponto tem um máximo e a partir daí é decrescente.

c) Faça a leitura geométrica da produtividade média e produtividade marginal do

factor L a partir do gráfico da produção total.

Os zeros da produtividade média são os mesmos do produto total. Ou seja,

produto total e produtividade média têm o mesmo sinal.

O primeiro zero da produtividade marginal coincide com o primeiro zero do

produto total; o segundo ocorre no ponto em que o produto total é máximo.

Portanto, a produtividade marginal é positiva enquanto o produto total for

crescente.

d) Estabeleça as relações entre as funções produto total, produtividade média e

produtividade marginal do factor L.

Os zeros do produto total e da produtividade média coincidem.

O andamento da função produto total é dado pelo comportamento da sua

derivada, que corresponde à produtividade marginal. Assim, a função produto

total tem um máximo quando a produtividade marginal é zero. À esquerda desse

ponto, a produtividade marginal é positiva, logo a função produto total é

crescente; à sua direita, a produtividade marginal é negativa, pelo que a função

produto total é decrescente.

O máximo da produtividade média ocorre no ponto em que a curva desta

intersecta a curva da produtividade marginal. À esquerda deste ponto, a

53

produtividade marginal é superior à produtividade média, logo esta é crescente; à

direita, a produtividade marginal é inferior à produtividade média, portanto esta

é decrescente.

e) A partir de que nível de utilização do factor L se começa a verificar a lei dos

rendimentos marginais decrescentes? Justifique.

A partir de 6L = , o aumento da quantidade de trabalho resulta em acréscimos do

produto cada vez menores. O que corresponde ao estabelecido pela lei dos

rendimentos marginais decrescentes.

f) Qual o volume de produção para o qual é máxima a produtividade média do

factor fixo?

KQKPme = . Como K está fixo, a sua produtividade média será máxima quando o

produto total for máximo, o que ocorre para 12L = .

B.1.3. Uma função de produção Cobb-Douglas é dada por ( ) βα= yxAy,xf . O tipo de

rendimentos à escala desta função vai depender dos valores de α+β. Relacione-os

com os diferentes tipos de rendimentos à escala.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )y,xftyAxtytxAttytxAty,txf β+αβαβ+αββααβα ====

Se 1<β+α tem-se rendimentos decrescentes à escala (DRS).

Se 1=β+α tem-se rendimentos constantes à escala (CRS).

Se 1>β+α tem-se rendimentos crescentes à escala (IRS).

B.1.4. Considere a expressão genérica da função de produção do tipo Cobb-Douglas com

dois factores, trabalho (L) e capital (K): βα= KALy .

a) Determine as expressões algébricas da produtividade média e da

produtividade marginal de ambos os factores.

β−α== KALLyLPme 1 β−αα=∂∂= KALLyLPmg 1

1KALKyKPme −βα== 1KALKyKPmg −βαβ=∂∂=

b) Verifique se se trata de uma função homogénea. Quais as condições que se

têm de verificar para que o processo de produção que ela traduz admita

rendimentos constantes, decrescentes ou crescentes à escala?

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) →=== β+αβαβ+αβα K,LytKALttKtLAtK,tLy fç homogénea de grau α+β

1<β+α → função homogénea de grau inferior a 1 → DRS

1=β+α → função homogénea de garu 1 → CRS

1>β+α → função homogénea de grau superior a 1 → IRS

54

B.1.5. Caracterize as seguintes funções de produção quanto a rendimentos à escala e

produtividades marginais:

a) 5,05,0 LK4y =

( ) ( ) ( ) ( ) →== L,KyttLtK4tL,tKy 5,05,0 CRS

( ) 5,05,05,0 KL2KL45,0KyKPmg =×=∂∂= −

( ) 5,05,05,0 LK2KL45,0LyLPmg =×=∂∂= − Ambas as produtividades marginais são positivas e obedecem à LRMD.

b) 22 LKy β+α=

( ) ( ) ( ) →=β+α= yttLtKtL,tKy 222 IRS K2KyKPmg α=∂∂= L2LyLPmg β=∂∂=

Ambas as produtividades marginais não obedecem à LRMD. O seu sinal depende

dos parâmetros α e β.

c) { }bL,aKminy = ( ) { } →== tybtL,atKmintL,tKy CRS

0KPmg = 0LPmg =

Ambas as produtividades marginais são nulas, não obedecendo à LRMD.

d) L2K4y += ( ) →=+= tytL2tK4tL,tKy CRS

4KyKPmg =∂∂= 2LyLPmg =∂∂=

Ambas as produtividades marginais são positivas e não obedecem à LRMD.

e) 6,05,0 LKy =

( ) ( ) ( ) ( ) →== L,KyttLtKtL,tKy 1,16,05,0 IRS

( ) 1,05,05,06,0 LKL5,0KL5,0KyKPmg ==∂∂= −

( ) 1,04,05,04,0 KLK6,0KL6,0LyLPmg ==∂∂= − Ambas as produtividades marginais são positivas e obedecem à LRMD.

B.1.6. Comente as seguintes afirmações:

a) Desde que seja usado um só factor na produção de um bem e que a tecnologia

apresente rendimentos decrescentes à escala, a produtividade marginal do

factor é decrescente.

Consideremos a seguinte função de produção ( )LfQ = .

O Teorema de Euler estabelece que se ( )n21 x,,x,xfy K= é uma função

homogénea de grau α , então yxy

xn

1i ii α=∂∂∑

=. No caso da função de produção

considerada vem QLQ

L α=∂∂

. Como a tecnologia é DRS, 10 <α< pelo que

QLQ

L <∂∂

. Dividindo tudo por L fica LQ

LQ

<∂∂

ou seja LPmeLPmg < .

55

Mas se LPmeLPmg < , então a produtividade marginal é decrescente. Portanto, a

frase é verdadeira.

b) Se a tecnologia apresenta rendimentos constantes à escala então duplicar a

quantidade usada de um factor de produção duplica a quantidade produzida.

Falso, como se comprova pelo seguinte contra-exemplo. 5,05,0 LKQ = é uma função

de produção que exibe CRS. Se 4K = e 9L = , então 6Q = . Duplicando apenas a

quantidade de K, vem 485,8Q ≈ que não é, obviamente, o dobro da quantidade

produzida inicial.

c) Se a tecnologia apresenta rendimentos decrescentes à escala, então ao

duplicar a produção, passamos para uma isoquanta inferior.

Falso. As isoquantas são lugar geométrico das várias combinações de factores que

permitem produzir uma mesma quantidade. Se a tecnologia é DRS, para se

duplicar a produção, ter-se-á de mais que duplicar as quantidades utilizadas de

factores. Se se está a aumentar as quantidades de factores, então está-se numa

isoquanta superior.

d) Se a tecnologia exibir rendimentos constantes à escala, então a produtividade

marginal dos factores é constante.

Falso. Basta tomar como contra-exemplo a alínea a) do exercício B.1.5.

56

B.2. MINIMIZAÇÃO DE CUSTOS

B.2.1. Defina os seguintes conceitos:

a) Custo fixo

Custo que não varia com o nível de produção e que a empresa tem de suportar

ainda que nada produza.

b) Custo variável

Custo que varia com o nível de produção

c) Custo total

Soma dos custos variáveis e custos fixos.

d) Custo fixo médio

Custo fixo por unidade produzida.

e) Custo variável médio

Custo variável por unidade produzida.

f) Custo total médio

Custo total por unidade produzida.

g) Custo marginal

Acréscimo no custo total por produzir mais uma unidade.

B.2.2. Explique porque é que a curva de custo marginal intersecta as curvas de custo

total médio e custo variável médio nos respectivos pontos mínimos. Admita-se que se está a produzir numa zona em que o custo médio é decrescente.

Então, nesta zona, o custo marginal tem de ser inferior ao custo médio: a única forma

de baixar uma média é adicionando-lhe números que lhe são inferiores.

Analogamente, se o custo médio é crescente, o custo marginal tem de lhe ser

superior. Sabe-se, então, que a curva do custo marginal fica abaixo da do custo médio

à esquerda do mínimo desta; e acima à direita. O que implica que no ponto mínimo as

duas curvas se intersectam. Este mesmo argumento se aplica ao caso da curva do

custo variável médio.

B.2.3. Os custos de uma empresa são mostrados parcialmente na tabela abaixo. Complete

os espaços que estão em branco.

Q CT CF CV CTMe CFMe CVMe CMg 0 24 24 0 – – – – 1 40 24 16 40 24 16 16 2 74 24 50 37 12 25 34 3 108 24 84 36 8 28 34

57

4 160 24 136 40 6 34 52 5 220 24 196 44 4,8 39,2 60 6 282 24 258 47 4 43 62

B.2.4. Para cada uma das situações seguintes, determine as estruturas de custos de curto e longo prazo.

a) 5,05,0 LKQ = ; 1r = ; 4w = ; 2K =

CURTO PRAZO

225,05,0 Q5,0LL2QL2Q2K =⇔=⇔=⇒=

2Q2CT21Q5,04CTrKwLCT 22 +=⇔×+×=⇔+= 2Q2CV =

2CF =

Q2

Q2Q

2Q2QCT

CTme2

+=+

==

Q2QQ2

QCV

CVme2

===

Q2

QCF

CFme ==

Q4QCTCmg =∂∂=

LONGO PRAZO

( )5,05,0

5,05,0

K,L LKQKL4QLK.a.s

KL4CTmin−λ++=Γ→

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

+=

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=λ

=λ

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

=λ−

=λ−

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=λ∂Γ∂=∂Γ∂=∂Γ∂

−

−

−

−

QLK

1LK5,0

4LK5,0

0LKQ

0LK5,01

0LK5,04

00K0L

5,05,0

5,05,0

5,05,0

5,05,0

5,05,0

5,05,0

( )⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=λ

λ−

−

QLL4

L4K

QLK

L4K

QLK

4LK

QLK

14

LK5,0

LK5,0

5,05,05,05,05,05,05,05,0

5,05,0

5,05,0

⎩⎨⎧

==

⇔⎩⎨⎧

==

⇔⎩⎨⎧

==

Q5,0LQ2K

Q5,0LL4K

QL2L4K

Q4CVCTQ21Q5,04CVCTrKwLCVCT ==⇔×+×==⇔+== 4QQ4CVmeCTme ===

4QCTCmg =∂∂=

b) 2,03,0 LKQ = ; 5r = ; 5w = ; 4K =

CURTO PRAZO

55,15,152,03,0 Q4LL4QL4Q4K −=⇔=⇔=⇒=

20Q45CT45Q45CTrKwLCT 55,155,1 +×=⇔×+×=⇔+= −− 55,1 Q45CV −×=

20CF =

Q20

Q45Q

20Q45QCT

CTme 45,155,1

+×=+×

== −−

58

45,155,1

Q45Q

Q45QCV

CVme −−

×=×

==

Q20

QCF

CFme ==

45,1 Q425QCTCmg −×=∂∂=

LONGO PRAZO

( )2,03,0

2,03,0

K,L LKQK5L5QLK.a.s

K5L5CTmin−λ++=Γ→

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

+=

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=λ

=λ

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

=λ−

=λ−

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=λ∂Γ∂=∂Γ∂=∂Γ∂

−

−

−

−

QLK

5LK3,0

5LK2,0

0LKQ

0LK3,05

0LK2,05

00K

0L

2,03,0

2,07,0

8,03,0

2,03,0

2,07,0

8,03,0

( )⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=λ

λ−

−

QLL5,1

L5,1K

QLK

L5,1K

QLK

1L3K2

QLK

55

LK3,0

LK2,0

2,03,02,03,02,03,02,03,0

2,07,0

8,03,0

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=− 26,0

24,0

26,05,03,0 Q5,1L

Q5,1K

QL5,1

L5,1K

QL5,1

L5,1K

⇔×+×==⇔+== − 24,026,0 Q5,15Q5,15CVCTrKwLCVCT

( ) 26,0 Q55,15,1CVCT4,0

+== −

( ) ( ) Q55,15,1QQ55,15,1CVmeCTme4,04,0 6,026,0 +=+== −−

( ) Q105,15,1QCTCmg4,06,0 +=∂∂= −

c) L2K4Q += ; 5r = ; 4w = ; 2K =

CURTO PRAZO

4Q5,0LL224Q2K −=⇔+×=⇒=

( ) 1016Q2CT254Q5,04CTrKwLCT +−=⇔×+−=⇔+=

16Q2CV −= 10CF =

Q6

2Q

6Q2QCT

CTme −=−

==

Q16

2Q

16Q2QCV

CVme −=−

==

Q10

QCF

CFme ==

2QCTCmg =∂∂=

LONGO PRAZO

Q25,0KK4Q0L8,0rw5,0TMST L,K =⇔=⇔=⇒=<=

Q25,1CVCTQ25,0504CVCTrKwLCVCT ==⇔×+×==⇔+==

25,1QQ25,1CVmeCTme ===

25,1QCTCmg =∂∂=

d) L3KQ += ; 2r = ; 5,1w = ; 6K =

CURTO PRAZO

59

2Q31LL36Q6K −=⇔+=⇒=

( ) 126Q5,0CT624Q315,1CTrKwLCT +−=⇔×+−=⇔+=

6Q5,0CV −= 12CF =

Q6

5,0Q

6Q5,0QCT

CTme +=+

==

Q6

5,0Q

6Q5,0QCV

CVme −=−

==

Q12

QCF

CFme ==

5,0QCTCmg =∂∂=

LONGO PRAZO

Q31LL3Q0K75,0rw3TMST L,K =⇔=⇔=⇒=>=

Q5,0CVCT02Q315,1CVCTrKwLCVCT ==⇔×+×==⇔+==

5,0QQ5,0CVmeCTme ===

5,0QCTCmg =∂∂=

e) { }L3,K2minQ = ; 8r = ; 12w = ; 9K =

CURTO PRAZO

6LL3189KL3K2 =⇔=⇔=∧=

CF144CT98612CTrKwLCT ==⇔×+×=⇔+=

0CV =

Q144

CFmeCTme ==

0CVme =

LONGO PRAZO

Q31LQ5,0KQL3K2 =∧=⇔==

Q8CVCTQ5,08Q3112CVCTrKwLCVCT ==⇔×+×==⇔+==

8QQ8CVmeCTme ===

8QCTCmg =∂∂=

B.2.5. Considere a seguinte função de produção KL10Q = .

a) Encontre as quantidades óptimas dos factores produtivos L e K necessários à

produção de 1024 unidades de produto, tendo em conta que a empresa os

adquire às taxas de 2 u.m. e 5 u.m., respectivamente.

( )KL101024K5L21024KL10.a.s

K5L2CTminK,L −λ++=Γ→

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

+=

60

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=λλ

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

==λ=λ

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=λ−=λ−

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=λ∂Γ∂=∂Γ∂=∂Γ∂

1024KL1052

L10K10

1024KL105L102K10

0KL1010240L1050K102

00K0L

⎩⎨⎧

==

⇔⎩⎨⎧

==

⇔⎩⎨⎧

=××=

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=16L

4,6K16L

L4,0K1024LL4,010

L4,0K

1024KL1052

LK

b) Determine o custo por unidade de produto.

0625,01024

4,65162QCT

Cme =×+×

==

c) Suponha que a empresa introduz uma série de inovações de forma que a

função de produção se altera para KL15Q = . Se a empresa pretender manter

o mesmo nível de produção, terá de alterar as quantidades dos factores

produtivos? Se sim, para quanto?

( )KL151024K5L21024KL15.a.s

K5L2CTminK,L −λ++=Γ→

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

+=

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=λλ

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

==λ=λ

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=λ−=λ−

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=λ∂Γ∂=∂Γ∂=∂Γ∂

1024KL1552

L15K15

1024KL155L152K15

0KL1510240L1550K152

00K0L

⎩⎨⎧

==

⇔⎩⎨⎧

≈=

⇔⎩⎨⎧

=××=

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=1,13L

24,5K1,13LL4,0K

1024LL4,015L4,0K

1024KL1552

LK

d) Verifique se o custo unitário é afectado.

05,01024

24,551,132QCT

Cme ≈×+×

==

B.2.6. Considere a seguinte função de produção 055,0 LK10Q = .

a) Apresente a expressão das isoquantas que se podem obter a partir desta

função de produção. Qual seria o aspecto deste mapa de isoquantas?

Justifique.

1225,05,0 LQ01,0KQKL100QLK10 −=⇔=⇔= Estas isoquantas serão convexas e negativamente inclinadas.

b) Deduza a expressão geral da taxa marginal de substituição técnica relativa às isoquantas deste mapa.

LK

LK105,0

LK105,0KPmgLPmg

TMST5,05,0

5,05,0

L,K =×

×==

−

−

c) Sabendo que 1r = e 4w = , calcule o máximo produto que se pode obter com um custo de 32 u.m. Qual o valor da taxa marginal de substituição nesse ponto?

61

( )KL432LK1032KL4.a.s

LK10Qmax5,05,0

5,05,0

K,L −−λ+=Γ→⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+λλ

=⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+λ=

λ=

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−−=λ−

=λ−

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=λ∂Γ∂=∂Γ∂=∂Γ∂

−

−

−

−

−

−

32KL4

4

LK5

LK5

32KL4LK5

4LK5

0KL4320LK5

04LK5

00K

0L5,05,0

5,05,0

5,05,0

5,05,0

5,05,0

5,05,0

⎩⎨⎧

==

⇔⎩⎨⎧

=+=

⇔⎩⎨⎧

=+=

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=4L16K

32L4L4L4K

32KL4L4K

32KL4

4LK

( ) ( ) 8041610Q16;4K,L 5,05,0 =××=⇒=

( ) 44

16TMST

16;4L,K ==

d) Se os preços se mantiverem constantes, qual a combinação de factores que minimizará o custo para uma produção de 80? Qual é o custo nesse ponto?

( )5,05,0

5,05,0

K,L LK1080KL480LK10.a.s

KL4CTmin−λ++=Γ→

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

+=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=λ

λ⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=λ

=λ

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

=λ−

=λ−

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=λ∂Γ∂=∂Γ∂=∂Γ∂

−

−

−

−

−

−

80LK10

14

LK5

LK5

80LK10

1LK5

4LK5

0LK1080

0LK51

0LK54

00K0L

5,05,0

5,05,0

5,05,0

5,05,0

5,05,0

5,05,0

5,05,0

5,05,0

5,05,0

( ) ⎩⎨⎧

==

⇔⎩⎨⎧

==

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

4L16K

80L20L4K

80LL410

L4K

80LK10

4LK

5,05,05,05,0

( ) ( ) 3244161CT16;4K,L =×+×=⇒=

62

C. MERCADOS C.1. CONCORRÊNCIA PERFEITA

C.1.1. 32

31

LK5Q = é a função de produção de certa empresa.

a) Suponha que os preços dos factores são 2r = e 4w = e que a empresa opera num mercado concorrencial. Calcule a oferta individual da empresa. Comente o resultado.

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −λ++=Γ→

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

+=32

31

32

31

LK5QK2L4LK5Q.a.s

K2L4CTminK,L

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=λ

λ

⇔

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

=λ

=λ

⇔

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=−

=λ−

=λ−

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=λ∂Γ∂=∂Γ∂=∂Γ∂

−

−

−

−

−

−

QLK5

24

LK35

LK310

QLK5

2LK35

4LK310

0LK5Q

0LK352

0LK3104

00K0L

32

31

32

32

31

31

32

31

32

32

31

31

32

31

32

32

31

31

⎩⎨⎧

==

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

Q2,0LQ2,0K

QLL5

LK

QLK5

2LK2

32

31

32

31

2,1CmgQ2,1CTQ2,02Q2,04CTK2L4CT =⇒=⇔×+×=⇔+= [ ]⎩⎨⎧

<≥∞

=⇒=⇔=2,1pse02,1pse,0

q2,1PCmgP

Esta empresa exibe rendimentos constantes à escala, pelo que a sua curva da

oferta coincidirá com a sua curva de custo médio de longo prazo, sendo uma linha

recta. Ou seja, a empresa está disposta a oferecer qualquer quantidade quando

minCp = e não oferece nada para preços abaixo deste.

b) Se nesta indústria existirem mais 90 empresas tecnologicamente idênticas, qual será a oferta agregada?

[ ]⎩⎨⎧

<≥∞

=2,1pse02,1pse,0

Q

c) Sabendo que a procura é dada por P100Q −= , calcule o equilíbrio de

mercado.

8,982,1100Q2,1P =−=⇒=

C.1.2. Certa empresa em concorrência perfeita tem uma função custo total dada por

30Q5Q2,0CT 2 +−= . Se o preço for de 6:

a) Que quantidade deverá a empresa vender? 5,27Q5Q4,06CmgP =⇔−=⇔=

b) Que lucro obtém a empresa a esse preço?

63

( ) 25,121305,2755,272,05,276CTRT 2 =+×−×−×=−=π

c) Deverá a empresa encerrar? O lucro é positivo, logo a empresa não deverá encerrar.

C.1.3. A função lucro de uma empresa que actua num mercado perfeitamente

competitivo é dada por: 10Q80Q20Q2PQ 23 −−+−=π .

a) Calcule a função oferta de curto prazo.

10Q80Q20Q2CT 23 ++−=

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

+−≥+−

=−+−⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−≥

+−=⇔

⎩⎨⎧

≥=

80Q20Q280Q40Q6

0p80Q40Q6

80Q20Q2p

80Q40Q6pCVmepCmgp

22

2

2

2

( ) ( )⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

−+=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−×

−××−−+=

5Q12

320p2440Q

0Q20Q462

p80644040Q

2

2

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

≥−+

=⇒≥⇒≥⇒≥30pse0

30pse12

320p2440Q30p30Cmg5Q

b) Determine e represente o limiar de encerramento e de rentabilidade.

Limiar de encerramento 30CVme5Q020Q40QCVmeCVmemin =⇒=⇔=−⇔=∂∂⇒

30pse0Q <=

Limiar de rentabilidade 98,31CVme1,5Q0Q1020Q40QCmeCmemin 2 =⇒≈⇔=−−⇔=∂∂⇒

98,31pse0 ≥≥π

c) Sabendo que a procura de mercado é P101000Q −= e que existem 20

empresas no mercado, calcule o preço de equilíbrio.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

≥−+

×=⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

≥−+

=30pse0

30pse12

320p244020Q

30pse0

30pse12

320p2440q

P5,05012

320P2440P101000

12320P2440

20 −=−+

⇔−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

⇔−=−⇔−=−+ P6560320P24P6600320P2440

( ) ⇔+−=−⇔−=− 22 P36P6720313600320P24P6560320P24

⇔×

××−±=⇔=+−

36231392036467446744

P0313920P6744P362

2

439,136Q3561,86P =⇒=

C.1.4. A indústria produtora do bem y é constituída por um grande número de pequenas

empresas de diferentes dimensões cujas funções de custo total pertencem à

64

família de curvas: ( ) ( ) 223 k5Qk11Q9,0Q04,0QC +−+−= , onde k é o parâmetro

definidor da dimensão da empresa. Nesta indústria existem 3 tipos de empresas, a

produzir nas seguintes dimensões: 1k1 = ; 1875,1k2 = e 3k3 = .

a) Obtenha a expressão analítica das funções oferta de curto prazo para cada um

dos tipos de empresas.

5Q10Q9,0Q04,0CT1k 23 ++−=⇒=

24,0

56,1p48,08,1Q10Q8,1Q12,0pCmgp 2 −±=⇔+−=⇔=

25,11Q10Q9,0Q04,010Q8,1Q12,0CVmep 22 ≥⇔+−≥+−⇔≥

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

≥−

+=

30pse0

30pse24,0

56,1p48,05,7

Q

05078125,7Q8125,9Q9,0Q04,0CT1875,1k 23 ++−=⇔=

24,0

47,1p48,08,1Q8125,9Q8,1Q12,0pCmgp 2 −±=⇔+−=⇔=

25,11Q8125,9Q9,0Q04,08125,9Q8,1Q12,0CVmep 22 ≥⇔+−≥+−⇔≥

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

≥−

+=

75,4pse0

75,4pse24,0

47,1p48,05,7

Q

45y8y9,0y04,0CT3k 23 ++−=⇔=

24,0

6,0p48,08,1Q8Q8,1Q12,0pCmgp 2 −±=⇔+−=⇔=

25,11Q8Q9,0Q04,08Q8,1Q12,0CVmep 22 ≥⇔+−≥+−⇔≥

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

≥−

+=

9375,2pse0

9375,2pse24,0

6,0p48,05,7

Q

b) Determine o preço e a quantidade de equilíbrio de curto prazo, sabendo que a

procura e oferta agregadas são dadas por:

( )P62,72005664,0

1Qd −= e ( )25,58P

002,01

Qs −=

( ) ( ) 1875Q62pP62,72005664,0

125,58P

002,01

=⇒=⇔−=−

c) Determine os níveis de produção individuais dos três tipos de empresas.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

⇒=30Q

66,29Q63,29Q

62P

3

2

1

65

C.1.5. Suponha um sector que funciona de acordo com os princípios da concorrência

perfeita e em que existem empresas com diferentes estruturas de custos:

30 empresas do tipo A: 2Q6Q3CT +=

40 empresas do tipo B: 2Q10Q5CT +=

10 empresas do tipo C: 32 Q5,0Q3Q9CT +−=

Obtenha a curva da oferta desta indústria.

OFERTAS INDIVIDUAIS

Empresa tipo A

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

−=

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

−=

⇔⎩⎨⎧

+≥++=

⇔⎩⎨⎧

+≥+=

⇔⎩⎨⎧

≥=

3P12

3PQ

0Q12

3PQ

3Q63Q123Q12P

3Q6P3Q12P

CVmePCmgP

⎪⎩

⎪⎨⎧

<

≥−

=3Pse0

3Pse12

3PQ

Empresa tipo B

⇔⎩⎨⎧

≥−=

⇔⎩⎨⎧

+≥++=

⇔⎩⎨⎧

+≥+=

⇔⎩⎨⎧

≥=

0Q25,0P05,0Q

5Q105Q205Q20P

5Q10P5Q20P

CVmePCmgP

⎩⎨⎧

<≥−

=⇒⎩⎨⎧

≥−=

5Pse05Pse25,0P05,0

Q5P

25,0P05,0Q

Empresa tipo C

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

+−≥+−

=−+−⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−≥

+−=⇔

⎩⎨⎧

≥=

9Q3Q5,09Q6Q5,1

0P9Q6Q5,1

9Q3Q5,0P

9Q6Q5,1PCVmePCmgP

22

2

2

2

( ) ( )⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥∨≥

−±=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−

−±=

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥−

×−××−−±

=

3Q0Q3

18P66Q

0Q3Q3

18P66Q

0Q3Q

5,12

P95,1466Q

22

2

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

≥−±

=⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

−±=

5,4Pse0

5,4Pse3

18P66Q

5,4P3

18P66Q

OFERTA AGREGADA PARA CADA TIPO

⎩⎨⎧ −

=0

5,7P5,2Q A

3Pse3Pse

<≥

⎩⎨⎧ −

=0

10P2Q B

5Pse5Pse

<≥

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

≥−+

=5,4Pse0

5,4Pse3

18P61060Q C

OFERTA DA INDÚSTRIA

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥−

++

<≤−

++

<≤−<

=

5Pse3

18P610P5,45,2

5P5,4se3

18P610P210

5,4P3se5,7P5,23Pse0

Q

66

C.1.6. A procura agregada num sector concorrencial é P2001200Q −= e a curva do

custo total de cada empresa é Q4Q2QCT 23 +−= .

a) Determine a curva da oferta individual de cada empresa, o número de

empresas e o equilíbrio no longo prazo.

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

+−≥+−

=−+−⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−≥

+−=⇔

⎩⎨⎧

≥=

4q2q4q4q3

0p4q4q3

4q2qP

4q4q3PCVmePCmgP

22

2

2

2

( ) ( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

−+=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

−+=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−×

−××−−+=

3p6

32P124q

1q6

32P124q

0q2q232

P43444q

2

2

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

≥−+

=3pse0

3pse6

32P124q

600n1q60032001200Q3P =⇒=∧=×−=⇒=

b) A expansão da curva da procura para P2001600Q −= foi acompanhada pela

criação de barreiras à entrada. Determine o equilíbrio de mercado.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

≥−+

×=3pse0

3pse6

32P124600Q

⇔−=−⇔−=−+ P200120032P12100P200160032P12100400

( ) ⇔+−=−⇔−=−⇔−=− 22 P4P4814432P12P21232P12P21232P12

( )800Q4P

12

44141515p0176p36p4

22 =⇒=⇔

×××−−+

==+−

c) Compare graficamente esta situação, do ponto de vista do excedente do

consumidor e do produtor, com a que se verificaria sem barreiras à entrada.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

Q

P

Yd Ys (C/b) Ys (S/b)

67

C.1.7. Suponha que a procura de viagens de táxis numa dada cidade é dada por:

P51000Q −= , onde Q é medido em quilómetros por ano e P é o preço em u.m.

por quilómetro. A curva da oferta de longo prazo é dada por 80P4Q S −= .

a) Se esta indústria for perfeitamente competitiva, mostre que o número de

viagens de equilíbrio é 400Q = . Qual será o preço de equilíbrio?

400Q120P80P4P51000QQ SD =⇒=⇔−=−⇒=

b) Para a situação de equilíbrio, determine o excedente do consumidor e o

excedente do produtor.

( )16000

2400120200

XC =×−

= ( )20000

240020120

XP =×−

=

c) Suponha que a Câmara Municipal dessa cidade decide controlar o trânsito,

limitando o número de viagens para 300Q = . Nestas condições, qual o valor

da perda social líquida?

( ) ( )( )15000

2300400120140

2400120200

XC =−−

−×−

=

( ) ( )( )15000

230040095120

240020120

XP =−−

−×−

=

( ) ( ) 600020000160001500015000BE −=+−+=Δ

d) Em relação à alínea anterior, como é que o excedente do consumidor e do

produtor é afectado, se 140P = e 95P = ? Compare os resultados obtidos.

140P =

( )6000150009000XC9000

2300140200

XC −=−=Δ→=×−

=

( ) ( ) 97501500024750XP24750300951402

3002095XP =−=Δ→=×−+

×−=

95P =

( ) ( ) 75001500022500XC22500300951402

300140200XC =−=Δ→=×−+

×−=

( )7500150007500XP7500

23002095

XP −=−=Δ→=×−

=

C.1.8. Certa indústria, perfeitamente competitiva, é composta por 10000 produtores,

cada qual apresentando a seguinte função custo total: 2QQ5,0CT 2 ++= . A

curva da procura de mercado é dada por P1000070000Q −= .

a) Deduza as curvas de oferta de curto prazo da empresa e da indústria.

⇔⎩⎨⎧

≥+=

⇔⎩⎨⎧

+≥++=

⇔⎩⎨⎧

+≥+=

⇔⎩⎨⎧

≥=

0q1qP

1q5,01q1qP

1q5,0P1qP

CVmePCmgP

68

⎩⎨⎧ −

=⇒⎩⎨⎧

≥−=

01P

q1p

1Pq

1Pse1Pse

<≥

⎩⎨⎧ −

=→0

10000P10000Q

1Pse1Pse

<≥

b) Qual a quantidade produzida por cada empresa perfeitamente concorrencial e

pela indústria? Determine o lucro económico de cada empresa.

30000Q4P10000P10000P1000070000QQ SD =⇒=⇔−=−⇒= 3q4P =⇒=

( ) 5,22335,034 2 =++×−×=π

c) Admita que 5,0Q5,0CMg += é a função de custo marginal de cada empresa no

longo prazo e que está vedada a entrada no mercado a novos produtores.

Determine o equilíbrio de mercado.

⇔⎩⎨⎧

≥+=

⇔⎩⎨⎧

+≥++=

⇔⎩⎨⎧

≥=

0q5,0q5,0P

5,0q25,05,0q5,05,0q5,0P

CVmePCmgP

⎩⎨⎧ −

=⇒⎩⎨⎧

≥−=

01p2

q5,0p

1p2q

5,0Pse5,0Pse

<≥

⎩⎨⎧ −

=→0

10000P20000Q

5,0Pse5,0Pse

<≥

3130000

Y38

P10000P20000P1000070000YY SD =⇒=⇔−=−⇒=

313q38P =⇒=

3169

313

5,0313

25,0313

38 2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛×−×=π

d) Suponha agora que são permitidas as importações deste bem, cujo preço de

importação é 0,5. Que sucederá, no longo prazo, a esta indústria nacional?

Se as importações custam 0,5 é 0,5 o preço que as empresas nacionais terão de

praticar. Mas a esse preço, a quantidade oferecida é zero. Logo, o bem será

oferecido exclusivamente por importações e esta indústria desaparece.

C.1.9. Comente as seguintes afirmações:

a) Se existem rendimentos constantes à escala numa indústria perfeitamente

competitiva, então a curva da oferta da indústria é horizontal no longo prazo.

Considere-se uma função de produção ( )L,KfQ = , tal que ( )00 L,K é a combinação

óptima de factores para produzir 0Q . Então, para todo o 0>λ , ( )00 L,K λλ é a

combinação óptima para produzir 0Qλ . Logo, se o custo de produzir 0Q é 0CT , o

de produzir 0Qλ será 0CTλ . Ou seja, o custo médio é sempre constante. Pelo que

o custo marginal também o será (e igual àquele).

Tratando-se de uma indústria perfeitamente competitiva, da condição de

maximização do lucro resulta que CmgP = . Como o custo marginal é constante, o

preço é constante, o que corresponde a uma curva da oferta horizontal. A frase é,

então, verdadeira.

69

b) Suponha que uma indústria concorrencial está em equilíbrio de longo prazo.

Se houver uma contracção da procura agregada, no novo equilíbrio de longo

prazo, o preço será menor.

Falso. Esta situação não se verifica se a produção apresentar rendimentos

constantes à escala, caso em que a curva da oferta é horizontal, o que significa

que o preço é sempre o mesmo e os ajustamentos se fazem exclusivamente pela

quantidade.

c) Como existe livre entrada e saída de empresas num mercado de concorrência

perfeita, o número de empresas a operar no mercado no longo prazo é

indeterminado.

Falso. Como existe livre entrada e saída de empresas, o lucro terá de ser zero.

Logo o preço terá de igualar o custo médio. Conhecendo o preço, determina-se a

quantidade transaccionada no mercado (por substituição na procura) e a

quantidade oferecida por cada empresa (por substituição na oferta individual).

Sabendo quanto se produz no total e quanto produz cada empresa, calcula-se o

número de empresas. Este é, pois, determinado endogenamente, sendo

indeterminado apenas no caso de tecnologia CRS.

d) Num mercado de concorrência perfeita, como existe livre entrada e saída de

empresas no mercado, o lucro de curto prazo de cada empresa nunca é

negativo.

Falso. O que caracteriza o curto prazo é a existência de custos fixos, os quais têm

de ser suportados pela empresa, quer esta produza ou não. Logo, no curto prazo,

os custos variáveis são os únicos que interessam: a empresa não deve encerrar

desde que o preço seja igual ou superior ao custo variável médio. No entanto,

esta condição não garante a rentabilidade.

70

C.2. MONOPÓLIO E OLIGOPÓLIO

C.2.1. Mostre matematicamente que um monopolista estabelecerá sempre um preço

acima do custo marginal.

O objectivo do monopolista é, naturalmente, a maximização do lucro, pelo que:

CMgRMg0qCTRTmax =⇔=∂π∂⇒−=π

Pense-se na receita marginal como a soma do ganho na receita resultante das novas

vendas e a perda devida a vender a quantidade anterior ao novo preço que é inferior.

Quando o monopolista vende 0Q unidades, a sua receita é 00PQ . Para vender mais

QΔ , terá de reduzir o preço para PP0 Δ− , pelo que a sua receita será:

( )( ) QPPQQPQPQQPPRT 000000 ΔΔ−Δ−Δ+=Δ+Δ−=

Para calcular a receita marginal é subtrair a receita total inicial e dividir pela

variação do produto:

( )PQ

QP

PQ

QPQPPQQPQPRMg 00

000000 Δ−ΔΔ

−=Δ

−ΔΔ−Δ−Δ+=

Ora, se o monopolista iguala o custo marginal à receita marginal e esta é inferior ao

preço, então o preço é superior ao custo marginal.

C.2.2. Determine o lucro máximo, o correspondente preço e a quantidade de um

monopolista cujas funções procura e custo total são, respectivamente:

Q53000P −= e 2Q10200CT += .

( ) ( ) 200Q3000Q15Q10200QQ53000CTRT 22 −+−=+−−=−=π 100Q03000Q300Qmax =⇔=+−⇔=∂π∂⇒π

1498002500p100Q =π∧=⇒=

C.2.3. Uma empresa monopolista utiliza um factor de produção, L, que adquire ao preço

fixo de 5 u.m., para produzir o bem Y. As funções procura do bem e de produção

são, respectivamente: y50P −= e L2y = . Determine os valores de P, y e L que

maximizam o lucro do monopolista.

y5,2L5CTy5,0LL2y ==⇒=⇔=

( ) y5,47yy5,2yy50CTRT 2 +−=−−=−=π

875,11L25,26p75,23y05,47y20ymax =∧=⇒=⇔=+−⇔=∂π∂⇒π

71

C.2.4. Considere uma empresa que é um monopólio no mercado do produto final. Esta

empresa enfrenta uma procura dada pela expressão Q100P −= e possui uma

função custo total representada por 2Q10CT += .

a) Tendo como objectivo a maximização do lucro, que quantidade deverá este

monopolista produzir? E qual o preço que deverá praticar?

( ) ( ) 10Q100Q2Q10QQ100CTRT 22 −+−=+−−=−=π 75p25Q0100Q40Qmax =⇒=⇔=+−⇔=∂π∂⇒π

b) Determine a quantidade e o preço no caso do monopolista optar por uma

estratégia de maximização do valor das vendas.

50p50Q0Q21000QRTRTmax =⇒=⇔=−⇔=∂∂⇒

C.2.5. As curvas de custo total e da procura de um monopolista são dadas,

respectivamente, por: Q2200CT += e Q4180P −= .

a) Determine o lucro do monopolista.

( ) ( ) 200Q178Q4Q2200QQ4180CTRT 2 −+−=+−−=−=π 25,22Q0178Q80Qmax =⇔=+−⇔=∂π∂⇒π

25,178091p25,22Q =π∧=⇒=

b) Suponha que o monopolista é obrigado a praticar o preço correspondente ao

mercado de concorrência perfeita. Qual seria a variação líquida no bem-estar

dos consumidores?

5,44Q2PCMgP =⇔=⇔=

( ) ( )25,2959

225,2291180

25,442180

XC =×−

−×−

=Δ

C.2.6. Um monopolista enfrenta a seguinte procura: Q004,0104P −= . Inicialmente, a

sua tecnologia era traduzida pela função custo total: Q72Q02,0CT 20 += , mas,

devido à adopção de uma política redutora de custos, essa tecnologia foi

substituída, passando o custo total a ser representado por: Q12Q04,0CT 21 += .

a) Determine a produção e o preço praticado pelo monopolista, antes e depois da

inovação tecnológica.

Antes da inovação tecnológica ( ) ( ) Q32Q024,0Q72Q02,0QQ004,0104CTRT 22 +−=+−−=−=π

32000Q032Q048,00Qmax =⇔=+−⇔=∂π∂⇒π 3304p32000Q =⇒=

Depois da inovação tecnológica ( ) ( ) Q92Q044,0Q12Q04,0QQ004,0104CTRT 22 +−=+−−=−=π

1111500Q092Q088,00Qmax =⇔=+−⇔=∂π∂⇒π

72

111098p1111500Q =⇒=

b) Analise os efeitos daquela alteração no mercado, evidenciando os ganhos e

perdas do monopolista e dos consumidores.

( ) ( )84,11133

2320003304104

21111500111098104

XC ≈×−

−×−

=Δ

24,374243

200032

32000

024,011

1150092

1111500

044,022

≈⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡×+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛×−−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡×+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛×−=πΔ

C.2.7. As empresas Bordados Maravilha e Bordados Espanto são as únicas produtoras de

bordados (Q). A curva de custos é a mesma para ambas e igual a 2Q5,0CT = . A

procura de bordados é dada por Q5,0100P −= . Admitindo que as empresas têm

um comportamento Cournot, determine o equilíbrio da indústria.

Função reacção da empresa Bordados Maravilha (M)

( )[ ] ( ) ME2M

2MMEMM qq5,0100qq5,0qqq5,0100 −+−=−+−=π

EMEMMMM q25,050q0q5,0100q20qmax −=⇒=−+−⇔=∂π∂⇒π

Função reacção da empresa Bordados Espanto (E)

( )[ ] ( ) EM2E

2EEEME qq5,0100qq5,0qqq5,0100 −+−=−+−=π

MEMEEEE q25,050q0q5,0100q20qmax −=⇒=−+−⇔=∂π∂⇒π

Equilíbrio

⎩⎨⎧

=π=π

⇒=⇒=⇒⎩⎨⎧

==

⇔⎩⎨⎧

−=−=

16001600

60P80Q40q40q

q25,050qq25,050q

E

M

E

M

ME

EM

C.2.8. Num determinado mercado existem apenas dois produtores e a curva da procura é

Q2200P −= . As curvas de custos de cada um dos produtores são: 211 q6c = e

222 q2c = . Determine:

a) O equilíbrio de Cournot. Função reacção da empresa 1

( )[ ] ( ) 1221

211211 qq2200q8q6qqq2200 −+−=−+−=π

2121111 q125,05,12q0q2200q160qmax −=⇒=−+−⇔=∂π∂⇒π

Função reacção da empresa 2

( )[ ] ( ) 2122

222212 qq2200q4q2qqq2200 −+−=−+−=π

1212222 q25,025q0q2200q80qmax −=⇒=−+−⇔=∂π∂⇒π

Equilíbrio

73

⇒=⇒⎩⎨⎧

==

⇔⎩⎨⎧

−=−=

311000

Q31700q31300q

q25,025qq125,05,12q

2

1

12

21

⎩⎨⎧

=π=π

⇒=54,2039

22,749

314200

P2

1

b) O equilíbrio de Stackelberg. Empresa 1 é líder


( )[ ] ( ) 2122

222212 qq2200q4q2qqq2200 −+−=−+−=π

1212222 q25,025q0q2200q80qmax −=⇒=−+−⇔=∂π∂⇒π

Equilíbrio

( )[ ] 211

211111 q5,7q150q6qq25,0252q2200 −=−−−−=π

5,22q10q0150q150qmax 211111 =⇒=⇒=+−⇔=∂π∂⇒π

⎩⎨⎧

=π=π

⇒=⇒=⇒⎩⎨⎧

==

2025750

135P5,32Q5,22q

10q

2

1

2

1

Empresa 2 é líder


( )[ ] ( ) 1221

211211 qq2200q8q6qqq2200 −+−=−+−=π

2121111 q125,05,12q0q2200q160qmax −=⇒=−+−⇔=∂π∂⇒π

Equilíbrio

( )[ ] 222

222222 q75,3q175q2qq125,05,122q2200 −=−−−−=π

12115q370q0175q5,70qmax 222222 =⇒=⇒=+−⇔=∂π∂⇒π

⎩⎨⎧

=π=π

⇒=⇒=⇒⎩⎨⎧

==

67,204172,734

6805

P12395

Q370q12115q

2

1

2

1

C.2.9. Num determinado mercado de oligopólio, a curva da procura é Q2200P −= e as

curvas de custos de cada um dos produtores são: 211 q2c = e 22 q12c = .

Determine: a) O equilíbrio de Cournot.


( )[ ] ( ) 1221

211211 qq2200q4q2qqq2200 −+−=−+−=π

2121111 q25,025q0q2200q80qmax −=⇒=−+−⇔=∂π∂⇒π


( )[ ] ( ) 212222212 qq2188q2q12qqq2200 −+−=−+−=π

1212222 q5,047q0q2188q40qmax −=⇒=−+−⇔=∂π∂⇒π

Equilíbrio

74

⇒=⇒⎩⎨⎧

==

⇔⎩⎨⎧

−=−=

7382

Q7276q7106q

q5,047qq25,025q

2

1

12

21

⎩⎨⎧

=π=π

⇒=22,3109

22,917

7636

P2

1

b) O equilíbrio onde a empresa 2 assume a liderança do mercado. Função reacção da empresa 1

( )[ ] ( ) 1221

211211 qq2200q4q2qqq2200 −+−=−+−=π

2121111 q25,025q0q2200q80qmax −=⇒=−+−⇔=∂π∂⇒π

Equilíbrio

( )[ ] 22222222 q5,1q238q12qq25,0252q2200 −=−−−−=π

1631q3238q0238q30qmax 222222 =⇒=⇒=+−⇔=∂π∂⇒π

⎩⎨⎧

=π=π

⇒=⇒=⇒⎩⎨⎧

==

33,150778,106

31P5,84Q3238q

631q

2

1

2

1

C.2.10. Considere duas empresas num mercado de oligopólio que enfrentam a seguinte

curva da procura: Q60P −= . As empresas têm os seguintes custos:

A2AA q4qc += e B

2BB q5q5,1c += .

a) Sabendo que as empresas se comportam à Cournot, determine: i. Preço e quantidades de equilíbrio.

Função reacção da empresa A

( )[ ] ( ) ( ) AB2AA

2AABAA qq56q2q4qqqq60 −+−=+−+−=π

BABAAAA q25,014q0q56q40qmax −=⇒=−+−⇔=∂π∂⇒π

Função reacção da empresa B

( )[ ] ( ) ( ) BA2BB

2BBBAB qq55q5,2q5q5,1qqq60 −+−=+−+−=π

ABABBBB q2,011q0q55q50qmax −=⇒=−+−⇔=∂π∂⇒π

Equilíbrio

19751

P19389

Q19164q19225q

q2,011qq25,014q

B

A

AB

BA =⇒=⇒⎩⎨⎧

==

⇔⎩⎨⎧

−=−=

ii. Bem-estar dos consumidores.

( )59,209

2193891975160

XC =×−

=

iii. Bem-estar dos produtores.

47,280A =π e 26,186B =π

iv. Bem-estar social.

32,676BE =

b) Sabendo que a empresa A se comporta como líder, determine:

75

i. Preço e quantidades de equilíbrio. Função reacção da empresa B

( )[ ] ( ) ( ) BA2BB

2BBBAB qq55q5,2q5q5,1qqq60 −+−=+−+−=π

ABABBBB q2,011q0q55q50qmax −=⇒=−+−⇔=∂π∂⇒π

Equilíbrio

( )[ ] ( ) A2AA

2AAAAA q45q9,0q4qqq2,011q60 +−=+−−−−=π

25q045q8,10qmax AAAAA =⇒=+−⇔=∂π∂⇒π

29P31Q6q25q BA =⇒=⇒=⇒=

ii. Bem-estar dos consumidores.

( )5,480

2312960

XC =×−

=

iii. Bem-estar dos produtores.

0A =π e 90B =π

iv. Bem-estar social.

5,570BE =

C.2.11. Comente as seguintes afirmações:

a) A solução de um mercado de monopólio pode ser eficiente.

Verdadeira. A solução de monopólio será eficiente no caso em que a empresa

monopolista consiga fazer discriminação perfeita de preços. Neste caso, o

monopolista vende cada unidade adicional do bem ao preço máximo que os

consumidores estão dispostos a pagar. Assim sendo, a receita marginal é igual à

curva da procura. Logo, ao fazer CmgRmg = está a fazer-se CmgP = , que é

também a solução de concorrência perfeita. Esta solução é, tal como em

concorrência perfeita, eficiente; no entanto, contrariamente a esta, não há

excedente do consumidor, o qual é totalmente absorvido pelo monopolista.

b) Um monopolista que maximize o lucro escolherá sempre uma quantidade para

a qual a procura tenha elasticidade unitária.

Se o objectivo do monopolista é a maximização do lucro, ele escolherá uma

quantidade para a qual CmgRmg = . Pense-se na receita marginal como a soma

do ganho na receita resultante das novas vendas e a perda devida a vender a

quantidade anterior ao novo preço que é inferior. Portanto, suponha que o

monopolista pretende aumentar o produto de 0Q para QQ 0 Δ+ . Quando vende

0Q unidades, a sua receita é 00PQ . Para vender mais QΔ , terá de reduzir o

preço para PP0 Δ− , pelo que a sua receita será:

( )( ) QPPQQPQPQQPPRT 000000 ΔΔ−Δ−Δ+=Δ+Δ−=

76

Para calcular a receita marginal é subtrair a receita total inicial e dividir pela

variação do produto:

( )PQ

QP

PQ

QPQPPQQPQPRmg 00

000000 Δ−ΔΔ

−=Δ

−ΔΔ−Δ−Δ+=

Repare-se que:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ε−=⇔⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΔΔ

−=⇔ΔΔ

−=⇒→Δ1

1PRMgPQ

QP

1PRMgQQP

PRmg0P 00

0000

Assim, para valores da elasticidade inferiores a 1, a receita marginal virá

negativa. Logo, a empresa monopolista não opera na zona inelástica da curva da

procura. O que não é o mesmo que dizer que escolhe uma quantidade para a qual

a procura tem elasticidade unitária. Portanto, a frase é falsa.

c) Colocar um imposto de quantidade sobre um monopolista causará sempre uma

subida do preço no montante do imposto.

Falso. Considere-se, sem perda de generalidade, um monopolista cujo custo

marginal é constante e que enfrenta uma procura linear. Quando é colocado um

imposto sobre este monopolista, o custo marginal aumenta no montante do

imposto. Consequentemente, a intersecção entre custo marginal e receita

marginal desloca-se para a esquerda, isto é, o preço de equilíbrio aumenta. Mas

como a inclinação da curva da procura é metade da inclinação da curva da receita

marginal, o preço aumenta em metade do montante do imposto. Esta situação

está representada no gráfico abaixo:

Algebricamente,

21

tp

b21

ty

b2tca

ytcby2aCmgRmg =ΔΔ

⇒−=ΔΔ

⇒−−

=⇔+=−⇔=

Cmg+t

Cmg

D Rmg

Y* Y’

t

Δp=t/2

Cade Rnore s

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