CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ

DANAMATH

www.toanhocdanang.com

www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang

HÌNH HỌC 10

GV:Phan Nhật Nam

CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ

http://www.toanhocdanang.com/


GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com


I. Các dạng toán thường gặp :

Dạng 1: Chứng minh các đẳng thức vectơ :(Sử dạng các quy tắc)

1. Quy tắc 3 điểm : Cho A, B, C tùy ý

AC = AB + BC (xen điểm B)

AC = AB – CB = BC – BA (phép trừ 2 vectơ chung ngọn hoặc gốc)

2. Quy tắc hình bình hành : Cho ABCD là hình bình hành.

AC = AB + AD

(Vectơ đ/chéo = tổng 2 vectơ của cạnh kề chung gốc đ/chéo)

3. Quy tắc trung điểm: Cho O là trung điểm của AB và M là điểm tùy ý:

OA + OB = 0 và )(21 MBMAMO +=

4. Quy tắc trọng tâm: Cho ∆ABC có trọng tâm G và M là điểm tùy ý:

0=++ GCGBGA MGMCMBMA .3=++

Chú ý :Sơ đồ giải bài toán chứng minh đẳng thức vectơ:

Dạng 2: Biểu diễn vectơ qua các vectơ không cùng phương :

Hướng 1: Từ đẳng thức vectơ đề (nếu có) ,nếu không thì từ giả thiết ta

đi xây dựng một đẳng thức vectơ sau đó bằng cách xen điểm ta

thiết lập đẳng thức chứa vectơ cần biểu diễn và các vectơ biểu diễn.

Phân

tíchcác

tính chất

hình học

của giả

thiết

Đẳng

thức

vectơ

Trung điểm, trọng tâm ( )`

( )

I AB IA mIB I ng oai ABIA mIB IA mIB I trong AB

∈ =⇒ = = −

Đẳng

thức

Vectơ

cần

chứng

minh

Sử dụng quy tắc 3 điểm để làm xuất hiện các vectơ có trong ycbt

A O B

D




(thường ta xen điểm chung của các vectơ có trong ycbt)

Hướng 2: Từ giả thiết ta dựng thêm hình và xác định các tính chất hình

học của nó từ đó ta đi thiết lập đẳng thức vectơ cần tìm

(thường sử dụng tính chất trọng tâm và trung điểm)

Chú ý : Đôi khi ta phải dùng nhiều đẳng thức vectơ trung gian rồi thực

hiện phép cộng hoặc trừ các đẳng thức đó với nhau vế theo vế

Dạng 3: Dựng điểm cố định thỏa đẳng thức vectơ cho trước :

Phương pháp chung:Dựng điểm I thỏa mãn đẳng thức vectơ cho trước

Bước 1: Chuyển các vectơ không chứa I về 1 vế và chứa I về vế khác

Tức là : 1 2 ... nMA MA MA a+ + + =

{với a

cố định}

(cần sử dụng quy tắc cộng, trừ vectơ trước khi chuyển vế

VD: ( )3 2. 0 2 0 2MA MB MC MA MC MA MB MA MC AB− + = ⇔ + + − = ⇔ + =

)

Bước 2:Chọn (dựng) điểm I sao cho: 1 2 ... 0nIA IA IA+ + + =

khi đó ta có:

1 2 1 2... ...n nMA MA MA nMI IA IA IA nMI+ + + = + + + + =

(quy vế trái về 1 vectơ chứa M)

Bước 3: Dựng điểm M như sau:

Biến đổi đẳng thức đề về dạng: IM

= b

(I cố định, b

không đổi )

Lấy I làm gốc dựng IM

bằng b

khi đó M là ngọn của IM

Ví dụ minh họa: Cho tam giác ABC. Hãy dựng điểm M thỏa mãn đẳng thức :

3 2. 0MA MB MC− + =

Giải :

Ta có: ( )3 2. 0 2 0MA MB MC MA MC MA MB− + = ⇔ + + − =

2MA MC AB⇔ + =

Gọi I là trung điểm của AC, khi đó ta có : 0IA IC+ =

Khi đó ta có: ( )2 2 2MA MC AB MI IA IC AB+ = ⇔ + + =

MI AB IM BA= ⇔ =

Vậy M là đỉnh thứ tư của hình bình hành IBAM như hình vẽ

Dạng 4:Chứng minh 3 điểm thẳng hàng (đường thẳng đi qua điểm cố định)

A

B C

I

M




Cơ sở của phương pháp :A, B, C thẳng hàng ⇔ AB = k. AC (*) (k R∈ )

Phương pháp chung:

Trường hợp 1: A, M, N thẳng hàng { cóA là một đỉnh của đa giác}

Đặt: a AB=

và b AC=

(với A, B, C là ba đỉnh của đa giác mà gt cho)

gt ⇒ đẳng thức vectơ (ĐTVT) ˆ ...xen diem A→ 1 1 1 1AM m AB n AC AM m a n b= + ⇔ = +

gt ⇒ (ĐTVT) ˆ ...xen diem A→ 2 2 2 2AN m AB n AC AN m a n b= + ⇔ = +

( )2 2 1 1AN m a n b k m a n b AN k AM⇔ = + = + ⇔ =

(với 2 2

1 1

m nkm n

= = )

⇔ AN

và AM

cùng phương ⇔ A, M, N thẳng hàng (đpcm)

Trường hợp 2: I, M, N thẳng hàng { không có điểm nào là đỉnh của đa giác}

Đặt: a AB=

và b AC=

(với A, B, C là ba đỉnh của đa giác mà gt cho)

gt ⇒ (ĐTVT) ˆ ...xen diem A→ 1 1 1 1AI m AB n AC AI m a n b= + ⇔ = +

(1)

gt ⇒ (ĐTVT) ˆ ...xen diem A→ 2 2 2 2AM m AB n AC AM m a n b= + ⇔ = +

(2)

gt ⇒ (ĐTVT) ˆ ...xen diem A→ 3 3 3 3AN m AB n AC AN m a n b= + ⇔ = +

(3)

Khi đó:

Từ (1),(2) ta có: ( ) ( )2 2 1 1 2 1 2 1( ) ( )IM AM AI m a n b m a n b m m a n n b= − = + − + = − + −

Từ (1),(3) ta có: ( ) ( )3 3 1 1 3 1 3 1( ) ( )IN AN AI m a n b m a n b m m a n n b= − = + − + = − + −

2 1 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )IN m m a n n b k m m a n n b k IN ⇔ = − + − = − + − =

(với 3 1 3 1

2 1 2 1

m m n nkm m n n

− −= =

− −)

Ví dụ minh họa :

Ví dụ 1:Cho ∆ABC. Gọi I,J là 2 điểm định bởi:

IBIA .2= và 3 2. 0JA JC+ =

a. Tính IJ theo ACAB,

b. Chứng minh rằng IJ luôn đi qua trọng tâm G của tam giác ABC

Giải :




a. Ta có: ( )2 2 2IA IB IA IA AB AI AB= ⇔ = + ⇔ =

( ) 23 2 0 3 2 05

JA JC JA JA AC AJ AC+ = ⇔ + + = ⇔ =

Do đó: 2 25

IJ AJ AI AC AB= − = −

Vậy ta có phân tích là 225

IJ AB AC= − +

b. Đặt: a AB=

và b AC=

Khi đó ta có: 2AI a=

(1)

25

AJ b=

(2)

G là trọng tâm của 1 103 3

ABC GA GB GC AG AB AC∆ ⇔ + + = ⇔ = +

1 13 3

AG a b⇔ = +

(3)

Từ (1) và (2) ta có: 225

IJ AJ AI a b= − = − +

Từ (1) và (3) ta có: ( )1 1 5 123 3 3 3

IG AG AI a b a a b = − = + − = − +

5 1 5 2 5 523 3 6 5 6 6

IG a b a b IJ IG IJ ⇔ = − + = − + = ⇔ =

Do đó 2 vectơ IG

và IJ

cùng phương nhau , ,I G J⇔ thẳng hàng G IJ⇔ ∈ (đpcm)

Ví dụ 2: Cho ∆ABC. Gọi E, F là các điểm định bởi:

ABk

AE 1= , AC

kAF

11+

= )10( −≠≠ kvàk

Chứng minh rằng EF luôn đi qua điểm cố định khi k thay đổi

Giải:

Gọi I là điểm được xác định như sau: AI mAB nAC= +

(với m, n R∈ )

1IE AE AI m AB nACk

= − = − −

1 11

FE AE AF AB ACk k

= − = −+

EF đi qua điểm I \{-1;0}k R∀ ∈ I A




⇔ IE

cùng phương FE

, \{-1;0}k R∀ ∈

⇔

1

, \{-1;0}1 11

m nk k R

k k

− −= ∀ ∈

−+

0 11 , \{-1;0} ( ) 1 0 , \{-1;0}

1 0 1m n m

km nk n k R m n k n k Rn n+ = = −

⇔ − = + ∀ ∈ ⇔ + + − = ∀ ∈ ⇔ ⇔ − = =

Khi đó ta có :

AI AB AC CI BA= − + ⇔ = ⇔

I là đỉnh của hình bình hànhACBI (như hình vẽ)

⇒ I cố định

Với điểm I vừa xác định ở trên ta có:

1 1 1 11 ( 1)1

kIE AE AI AB AC AB AC k AB ACk k k k

+ = − = + − = − = + − +

( 1)IE k FE⇔ = +

⇔ IE

, FE

cùng phương , ,I E F⇔ thẳng hàng

⇔ đường thẳng EF đi qua điểm cố định I (đpcm)

Chú ý: Để chứng minh đường thẳng d đi qua A cố định ta chỉ cần chứng minh trên

đường thẳng d có 2 điểm phân biệt thay đổi luôn thẳng hàng với A

Bổ đề liên quan :

A,B,C thẳng hàng MBMAMC )1( αα −+=⇔ (M_tùy ý; α ∈R)

ĐB : Nếu 0 ≤ α ≤ 1 thì C thuộc đoạn AB.

Cho 2 điểm A, B và α , β ∈ R thỏa α + β ≠ 0.

Nếu: MBMAMN βα += thì MN cắt AB tại I thỏa 0=+ IBIA βα

ĐB : Nếu α = β ≠ 0 thì I là trung điểm của AB.

Cho 3 điểm A, B, Cvà α , β ,γ ∈ R thỏa α + β + γ ≠ 0.

Nếu: MCMBMAMN γβα ++= thì MN đi qua I thỏa 0=++ ICIBIA γβα

ĐB : Nếu α = β =γ ≠ 0 thì I là trọng tâm của tam giác ABC.

Dạng 5: Tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ, đẳng thức môđun

Phương pháp chung:Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức:




1 2 1 2... ...n nMA MA MA MB MB MB+ + + = + + +

Bước 1:Rút gọn đẳng thức để mỗi vế chỉ chứa đúng một vectơ

TH1 : Nếu 1 2 ... nMA MA MA+ + +

có thể khử được hết M(tức là số vectơ có

dạng ...M+

bằng số vectơ có dạng ...M−

VD: 2 3MA MB MC+ −

)

thì ta phải dựng được vec tơ tổng của chúng

TH2 : Nếu ta không khử được M trong 1 2 ... nMA MA MA+ + +

thì ta cần đi

dựng điểm I thỏa mãn 1 2 ... 0nIA IA IA+ + + =

khi đó.

1 2 1 2... ...n nMA MA MA nMI IA IA IA nMI+ + + = + + + + =

Bước 2:Sử dụng các mệnh đề sau để suy ra quỹ tích của điểm cần tìm.

ukAM .= với k∈R và A cố định, u không đổi

⇒ {M} là đường thẳng qua A và cùng phương với u

ĐB : + Nếu k > 0 thì {M} là tia Ax cùng hướng u

+ Nếu k < 0 thì {M} là tia Ax ngược hướng u

+ Nếu )(. RkABkAM ∈= thì {M} là đường thẳng AB

MBMA = với A, B cố định cho trước thì {M} là trung trực AB

BCkMA .= Với A, B, C cho trước thì {M} là đường tròn (A, k.AB)

Ví dụ minh họa : Cho ∆ABC . Tìm tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn điều kiện:

MCMBMAMCMBMA −−=++ 24

Giải:

Gọi E là trung điểm của BC 0EB EC⇒ + =

Khi đó: ( ) ( )2MA MB MC MA MB MA MC− − = − + −

( ) ( )2 2AB AC AB EB EC BA= − + = − + + =

Gọi G là trọng tâm của ABC∆ và I là trung điểm của GA 0

0

GA GB GC

IA IG

+ + =⇒ + =

A

.

B C

G

I

M

E

13

R AB=




Khi đó: 4 6 3MA MB MC MI IA IA IB IC+ + = + + + +

( ) ( )6 3 6MI IA IG GA GB GC MI= + + + + + =

Do đó ta có: 14 2 6 23

MA MB MC MA MB MC MI BA IM AB+ + = − − ⇔ = ⇔ =

Vậy tập hợp tất cả các điểm M là đường tròn tâm I và bán hình 13

R AB=

Dạng 6: Bất đẳng thức vectơ {BĐT tam giác}

Cho các vectơ a , b , c khi đó ta luôn có.

baba +≥+ từ đó nếu : a + b = c thì cba ≥+

baba −≤− từ đó nếu : a – b = c thì cba ≤−

II. Bài tập áp dụng:

Dạng 1: Chứng minh đẳng thức vectơ

Bài 1: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ EH và FG bằng AD ,

Chứng minh rằng CDEF là hình bình hành.

Bài 2: Cho bốn điểm A, B, C, D tùy ý. Tính các vectơ sau :

a. CABDDCABv +++=

b. DABCCDABu +++=

Bài 3: Cho hai vectơ a và b ( 0≠ ).

Hãy tìm mối quan hệ giữa a và b nếu thỏa điều kiện.

a. baba +=+

b. baba −=+

Bài 4: Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh : CDBFAECFBEAD ++=++

Bài 5: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O,

I là tâm đường tròn đi qua trung điểm của các cạnh, M là một điểm tùy ý

chứng minh rằng :

a. 0=++ GCGBGA




b. MGMCMBMA .3=++

c. OHOGOCOBOA ==++ .3

d. HOHGHCHBHA .2.3 ==++

e. OIOH .2=

Bài 6: Cho 4 điểm A, B, C, D tùy ý chứng minh rằng :

CBADCDAB +=+

Bài 7: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng :

0=+++ ODOCOBOA

Bài 8: Cho tứ giác ABCD tùy ý và M, N lần lượt là trung điểm của 2 đường

chéo AC và BD. Chứng minh rằng : MNCDAB .2=+

Bài 9: Cho tứ giác ABCD tùy ý và M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC.

Chứng minh rằng : MNDCAB .2=+

Bài 10: Cho tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có trọng tâm G và G’.

a. '3''' GGCCBBAA =++ suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác

có cùng trọng tâm là 0''' =++ CCBBAA

b. Gọi G1, G2 , G3 là trọng tâm của các tam giác ',',' ABCCABBCA ∆∆∆ .

Chứng minh rằng G là trọng tâm 321 GGG∆ . Biết 'GG ≡

Bài 11: Cho hình bình hành ABCD.

a. Cho bADaAB == , , I là trung điểm CD, G là trọng tâm tam giác BCD. Chứng

minh rằng : abBI21

−= , tính AG theo ba,

b. G’ là trọng tâm của tam giác BCI. Chứng minh rằng : baAG32

65' +=

c. Trên ABC∆ ,gọi A1, B1, C1 là các điểm xác định bởi 032 11 =+ CABA ,

032 11 =+ ABCB , 032 11 =+ BCAC . Chứng minh rằng hai tam giác 111, CBAABC ∆∆

có cùng trọng tâm.




d. Gọi B’, C’ là hai trung điểm của AC, AB. Đặt vCCuBB == ',' Tính

vutheoABCABC ,,,

Bài 12: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F tùy ý. Chứng minh rằng:

a. DBACCDAB +=−

b. CDBFAECFBEAD ++=++

Bài 13: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh

BC, CA, AB. Chứng minh rằng : 0=++ CPBNAM

Bài 14: Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ∆ABC và ∆A’B’C’.

Chứng minh rằng : '.3''' GGCCBBAA =++

Bài 15: Cho ∆ABC. Gọi M là một điểm trên đoạn BC, sao cho MB = 2.MC

Chứng minh rằng :

ACABAM32

31

+=

Bài 16: Cho ∆ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh

AC, sao cho NC = 2.NA. Gọi K là trunh điểm của MN.

a. Chứng minh rằng : ACABAK61

41

+=

b. Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng :

ACABKD31

41

+=

Bài 17: Cho ∆ABC đều cạnh a.

Xác định vectơ ACAB + và tính môđun của vectơ này.

Bài 18: Cho hình vuông ABCD cạnh a.

Xác định vectơ ( )ADACAB ++21 và tính môđun

Bài 19: Cho đoạn thẳng AB và hai số m, n không đồng thời bằng 0.


a. Nếu 0≠+ nm thì tồn tại duy nhất điểm M sao cho 0=+ MBnMAm

b. Nếu 0=+ nm thì không tồn tại duy nhất điểm M sao cho 0=+ MBnMAm

c. Nếu 0=+ nm thì MBnMAmv += không đổi (không phụ thuộc vào vị trí M)




d. Nếu 0≠+ nm thì với mọi điểm M ta có MInmMBnMAm )( +=+ , trong đó I là điểm

xác định bởi 0=+ IBnIAm

e. Nếu 0≠+ nm thì với mọi điểm M và N được xác định MBnMAmMN += Chứng

minh rằng đường thẳng MN đi qua điểm cố định.

Bài 20: Cho hai vectơ )0(, ≠ba không cùng phương. Gọi vu, là hai vectơ được xác

định : bau 11 βα += , bav 22 βα += . Chứng minh rằng :

a.

==

⇔=21

21

ββαα

vu

b. vu, cùng phương 01221 =−⇔ βαβα .

Bài 21: Cho hình thang ABCD có đáy AB, CD và AB = 2CD. Từ C kẻ DACI = .

Chứng tỏ I là trung điểm AB và CBDI =

Bài 22: Cho hình thang ABCD, AC cắt BD tại O. Qua O vẽ đường thẳng MN song

song 2 đáy AD và BC. Đặt ABa = , CDb = .

Chứng minh rằng :baDCaABbMN

++

=

Bài 23: Cho hình bình hành ABCD. M, N là các điểm thỏa mãn ABAM31

= ,

DCDN21

= .G là trọng tâm tam giác MNB, AG cắt BC tại I. Tính tỷ số ICBI

GIAG ,

Bài 24: Cho đoạn thẳng AB. Người ta xét 2n điểm sao cho chúng là n cặp

điểm đối xứng nhau qua trung điểm O của AB. Tiếp đó người ta đánh dấu

đỏ n điểm bất kỳ và xanh cho n điểm còn lại. Chứng minh rằng tổng khoảng

cách từ các điểm đỏ đến A bằng tổng khoảng cách từ các điểm xanh đến B

Dạng 2: Biểu diễn một vectơ thông qua các vectơ cho trước :

Bài 1: Cho ∆ABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh

BC, CA, AB. Đặt uAA =' , vCC =' . Tính CBCABC ,, theo vu,

( ĐS : ( ) ( ) ( )vuCAvuABvuBC .232,.2

32,

32

+=+−=−= )




Bài 2: Cho ∆ABC. Gọi I ∈ BC sao cho 2CI = 3BI và J là điểm trên BC kéo

dài sao cho 5JB = 2JC

a. Tính AJAI , theo ACAB,

b. Gọi G là trọng tâm của ∆ABC. Tính AG theo AJAI ,

(ĐS : AJAIAGACABAJACABAI161

4835,

32

35,

52

53

−=−=+= )

Bài 3: Cho ∆ABC. Gọi G là trọng tâm và H đối xứng với B qua G.

a. Chứng minh rằng : )(31

31

32 ACABCHvàABACAH +−=−=

b. Gọi M là trung điểm BC chứng minh rằng :

ABACMH65

61

−=

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD, Đặt vADuAB == , .

Tính các vectơ sau theo vu,

a. BI với I là trung điểm của CD.

b. AG với G là trọng tâm của ∆BCI.

( ĐS : ,31

65,

21 vuAGvuBI +=−= )

Bài 5: Cho ∆ABC. Gọi G là trọng tâm và H đối xứng với B qua G.

a. Chứng minh rằng : 05 =+− HCHBHA

b. Đặt vAHuAG == , , tính ACAB, theo vu,

( ĐS : ,21

25),(

21 vuACvuBI −=+= )

Bài 6: Cho ba điểm A, B, C phân biệt và α , β , γ ∈ R. Chứng minh rằng

a. Nếu α + β + γ = 0 thì MCMBMAv ... γβα ++= không phụ thuộc

vào vị trí của M

b. Nếu α + β + γ ≠ 0 thì tồn tại duy nhất điểm I thỏa : ICIBIA ...0 γβα ++=

c. MIMCMBMAv )(... γβαγβα ++=++= (Với α + β + γ ≠ 0)




d. Điểm N xác định bởi MCMBMAMN ... γβα ++=

(Với α + β + γ ≠ 0). Chứng minh MN luôn đi qua điểm cố định

Bài 7: Cho tứ giác ABCD, trên AB và CD lần lượt lấy các điểm M,N sao cho

,.ABkAM = DCkDN .= (k≠ 1)

a. Hãy phân tích MN theo BCAD,

b. Gọi P, Q, I là các điểm thuộc AD, BC, MN sao cho ,.ADlAP = BCmBQ .=

, BCmMI .= . Chứng minh rằng P, Q, I thẳng hàng

Bài 8: Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I


a. ICcIBbIAa ...0 ++= (a, b, c là số đo cạnh của tam giác)

b. HCCHBBHAA ).tan().tan().tan(0 ++=

c. MCSMBSMAS cba ...0 ++= với M là điểm bất kỳ trong tam giác.

Sa , Sb , Sc lần lượt là diện tích các tam giác: MBC, MCA, MAB

Dạng 3: Dựng điểm cố định thỏa đẳng thức vectơ cho trước :

Bài 1: Cho ∆ABC. Hãy dựng các điểm I, J, K, L, M biết rằng :

a. 02 =− IBIA

b. 0.23 =+ JBJA

c. ABKCKBKA =−+.2

d. BCLCLBLA =++

e. 0.23 =+− MCMBMA

Bài 2: Cho các điểm A, B, C, D, E. Xác định các điểm O, I, K sao cho

a. 0.3.2 =++ OCOBOA

b. 0=+++ IDICIBIA




c. 0)(3 =++++ KEKDKCKBKA

Bài 3:Cho hình bình hành ABCD tâm O. Hãy dựng các điểm I, J, K sao cho

a. IDICIBIA .4=++

b. JDJCJBJA −=+ .3.2.2

c. 0234 =+++ KDKCKBKA

Bài 4: Cho ∆ABC. Gọi I là điểm định bởi 0.75 =−− ICIBIA

a. Chứng minh rằng : ABGI .2= (G là trọng tâm của ∆ABC )

b. AI cắt BG tại O. tính OA: OI

c. Xác định điểm M thuộc đường thẳng d cho trước sao cho MBMA 35 − nhỏ nhất.

Bài 5: Cho ∆ABC có G là trọng tâm.

1. Xác định vị trí M sao cho.

a. 02 =++ MCMBMA

b. 02 =+− MCMBMA

c. 02 =+ MBMA

d. 02 ==+ CBMBMA

2. Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua B, B’ là điểm đối xứng của B qua C và C’ là

điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh ∆ABC và ∆A’B’C’ có cùng trọng tâm

Bài 6: Cho ∆ABC. Hãy dựng các điểm I, J, K, L biết rằng :

a. BCIBIA .3.3.2 =−

b. 02. =++ JCJBJA

c. ACABKCKBKA +=++

d. CACBLBLA +=+ 22

Bài 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a, M là điểm bất kỳ. Chứng minh rằng

các vectơ sau không đổi. Tính môđun của chúng.

a. MDMCMBMAv −−−= 3




b. MDMCMBMAu 234 −+−=

Bài 8: Cho hình bình hành ABCD, M là điểm tùy ý. Trong mổi trường hợp

hãy tìm số k và điểm cố định I sao cho các đẳng thức vectơ sau thỏa

mãn với mọi M.

a. MIKMDMCMBMA ..3 =+++

b. MIkMCMBMA ..2 =−+

c. MIKMDMBMA ..4 =++

Bài 9: Cho tứ giác ABCD. Trong mổi trường hợp hãy tìm số k và điểm cố

định I sao cho các tổng vectơ đều bằng MIK. với mọi điểm M.

a. MCMBMA 2++

b. MCMBMA 2−−

c. MDMCMBMA +++

d. MDMCMBMA 322 +++

Bài 10: Cho tứ giác ABCD.

1. Tìm điểm cố định I và hệ số k để đẳng thức sau đúng với mọi M.

a. MIkMCMBMA .2 =++

b. MIkMDMBMA .32 =−+

c. MIkMCMBMA .2 =−−

d. MIkMDMCMBMA .432 =−++

2. 0=+++ ODOCOBOA . Chứng minh O xác định duy nhất

3. Với ABCD là hình bình hành. Vói mọi M, Hãy tìm k và điểm I cố định thỏa :

a. MIkMDMCMBMA .3 =+++

b. MIkMBMA .2 =+

c. MIkMCMBMA .2 =−+

Dạng 4: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng (đ/thẳng đi qua điểm cố định)

Bài 1: Cho ∆ABC. Gọi I,J là 2 điểm định bởi:

IBIA .2= và 0.23 =+ JBJA




c. Tính IJ theo ACAB,

d. Chứng minh rằng IJ luôn đi qua trọng tâm G của tam giác ABC

Bài 2: Cho∆ABC. M là 1 điểm lưu động. Dựng MCMBMAMN −+= 32

a. Chứng minh MN luôn đi qua điểm cố định khi M thay đổi.

b. Gọi P là trung điểm CN, Chứng minh MP luôn đi qua điểm cố định khi M thay

đổi

Bài 3: Cho tam giác ABC, M và N thay đổi sao cho MCMBMAMN −+= 32

1. Tìm điểm I thỏa mãn 032 =−+ ICIBIA

2. Chứng minh rằng khi M, N thay đổi thì đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố

định .

Bài 4: Cho∆ABC. Gọi M là trung điểm của BC, I và J là 2 điểm được xác

định ABAI .α= và ACAJ .β= .Xác định hệ thức của α , β

Để AM cặt IJ tại trung điểm của AM

Bài 5: Cho∆ABC có trọng tâm G. Các điểm M,N thỏa mãn hệ thức

0433 =+ MBMA , BCMC21

= . Chứng minh MN đi qua trọng tâm G của

Bài 6: Cho∆ABC. I là 1 điểm định bởi 023 =−− ICIBIA .

Xác định giao điểm cuarIA và BC, IB và CA, IC và AB.

Bài 7: Cho∆ABC. Gọi I, J là 2 điểm xác định bởi : IBIA .2= , 0.23 =+ JCJA

a. Tính IJ theo AB và AC

b. Chứng minh rằng IJ đi qua trọng tâm G của ∆ABC

Bài 8: Cho tứ giác ABCD. Gọi các điểm I, J, K định bởi ABAI .α= ,

ACAJ .β= và ADAK .γ= . Chứng minh rằng Điều kiện cần

và đủ để I, J, K thẳng hàng là βγα111

=+ )0,,( ≠γβα

Bài 9: Cho ∆ABC. Gọi I,J là 2 điểm định bởi:




0.3 =+ ICIA và 03.2 =++ JCJBJA

Chứng minh rằng I,J,B thẳng hàng .

Bài 10: Cho ∆ABC. Gọi M, N, P là các điểm định bởi:

MCMB 3= , 03 =+ NCNA và 0=+ PBPA

a. Tính PNPM , theo ACvàAB

b. Chứng minh M, N, P thẳng hàng

Bài 11: Cho ∆ABC. Gọi M, N là các điểm định bởi:

043 =+ MBMA , BCCN21

= .G là trọng tâm ∆ABC

a. Chứng minh M, G, N thẳng hàng.

b. Tính AC theo ANvàAG . AC cắt GN tại P. tính PCPA

Bài 12:Cho hình tứ giác lồi ABCD, điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn :

MDMCMBMAMN 432 +−+=

a. Chứng mịnh MN luôn đi qua điểm cố định khi M thay đổi.

b. Gọi P là trọng tâm của tam giác ABN. Chứng minh rằng MP luôn đi qua điểm cố

định khi M thay đổi.

Bài 13: Cho hình bình hành ABCD, trên AB, CD lần lượt lấy 2 điểm M,N

sao cho : AB = 3AM ; CD =2CN

a. Tính AN theo ACvàAB

b. Gọi G là trọng tâm của tam giác BMN. Tính AG theo ACvàAB

c. Gọi I là điểm định bởi BCkBI = .Tính AI theo ACvàAB

và theo k. Định k để AI đi qua G.

Bài 14: Cho tam giác ABC.

1. Gọi I là trung điểm BC, D và E là hai điểm sao cho ECDEBD ==

i. Chứng minh rằng : AEADACAB +=+




ii. Tính AEADACABAS +++= theo AI suy ra A, I, S thẳng

hàng

2. Gọi M là điểm xác định bởi ABBCBM 2−= , N xác định bởi

BCACxCN −=

i. Xác định x để A, M, N thẳng hàng.

ii. Xác định x để MN đi qua trung điểm I của BC. Khi đó tính INIM

Bài 15: Cho tam giác ABC.

1. Gọi M là trung điểm BC, I và J là các điểm xác định bởi ABmAI .= , ACnAJ .= .

Tìm hệ thức liên hệ giữa m,n để AM, IJ cắt nhau tại trung điểm AM.

2. Gọi P là điểm lưu động. Dựng PCPBPAPQ −+= 32 . Chứng minh rằng PQ đi

qua một điểm cố định khi P thay đổi. H là trung điểm CQ. Chứng minh rằng PH đi

qua điểm cố định khi P thay đổi.

Bài 16: Cho ∆ABC. Gọi E, F là các điểm định bởi:

ABk

AE 1= , AC

kAF

11+

= )10( −≠≠ kvàk

Chứng minh rằng EF luôn đi qua điểm cố định khi k thay đổi

Bài 17: Cho ∆ABC.

1. MCkMBMAvMN .32 ++== .

a. Khi 5≠k . Chứng minh rằng giá của MN luôn đi qua điểm cố định.

b. Tìm k để MN là một vectơ không đổi.

2. Lấy E, F trên ∆ABC sao cho ABk

AE 1= , )1,0(

11

−≠+

= kACk

AF .

Chứng minh rằng EF luôn đi qua điểm cố định.

Dạng 5: Tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ, đẳng thức môđun

Bài 1: Cho ∆ABC và số thực k thay đổi. Tìm tập hợp điểm M sao cho

a. MCkMBkMA =+




b. 0)1()1( =++−+ MCkMBkMA

c. 0)1( =−−+ MCkMBkMA

Bài 2: Cho ∆ABC. Tìm tập hợp điểm M sao cho

a. MCMBMBMA −=+

b. MCMBMAMBMA ++=+2

c. MCMBMAMCMBMA −−=−+ 2

Bài 3: Cho ∆ABC và số thực k thay đổi. Tìm tập hợp điểm M sao cho

a. 0=++ MCkMBkMA

b. 0)1( =−+ MBkMAk

c. 0)3(2 =+−+ MCkMBkMA

d. Vectơ MCMBMAv 2++= cùng phương với vectơ BC

e. 03)1(2 =−+− MCkMBkMA

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD tâm O, M và N lưu động và xác định bởi:

MDMCMBMAMN +−−= 223

a. Chứng minh rằng MN không đổi.

Tìm tập hợp tất cả các điểm M biết giá của chúng qua O

b. Tìm tập hợp tất cả các điểm M biết N luôn chuyển động trên AC.

Bài 5: Cho 2 điểm A,B cố định. Xác định tập hợp tất cả các điểm M sao cho

a. MBMAMBMA −=+

b. MBMAMBMA 22 +=+

c. MBMAMBMA +=+

d. MBMAMBMA +=+ 22

Bài 6: Cho ∆ABC. Tìm tập hợp điểm M sao cho




a. MCMBMCMBMA +=++23

b. MBMABCMA −=+

c. MCMBMBMA −=+ 42

d. MCMBMAMCMBMA −−=++ 24

Bài 7: Cho hai hình bình hành tùy ý ABCD, A’B’C’D’ và các điểm M,N,P,Q

là các điểm được xác định bởi :

0' =+ MAkMA , 0' =+ NBkNB , 0' =+ PCkPC , 0' =+ QDkQD

a. Chứng minh MNPQ là hình bình hành.

b. Xác định quỷ tích tâm của MNPQ khi M chạy trên AA’

Dạng 6: Bất đẳng thức vectơ {BĐT tam giác}

Bài 1: Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Xác định M trên đường thẳng d

sao cho : MCMBMA ++ có giá trị nhỏ nhất.

Bài 2: Trên đường tròn tâm O bán kính bằng 1 lấy 2n+1 điểm Pi, 12,1 += ni

Ở cùng phía đối với đường kính nào đó. Chứng minh rằng 112

1≥∑

+

=

n

iiOP

Bài 3: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng với điểm I bất kỳ trên cạnh AB

(với I khác A, B) ta luôn có : IC.AB < IA.BC + IB.AC

Bài 4: Cho ba vectơ có độ dài không vượt quá 1. Chứng minh rằng có thể

tìm được 2 vectơ trong chúng sao cho tổng hoặc hiệu của 2 vectơ đó có

độ dài không vượt quá 1


CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ

Education

Transcript of CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ