第５章　静磁場

５．１　磁石と磁場

５．２　磁気双極子と磁化

５．３　磁束密度

５．４　電流と磁場

５．５　アンペールの法則

５．６　磁化電流とアンペールの法則

５．１　磁石と磁場

鉄を引き付ける棒磁石にはN極とS極があるが，

電気双極子と対比させて，

大きさの等しい正負の電荷に対応する

正負の磁荷というものを仮想的に導入し，

それらがわずかに隔たり対峙する磁気双極子を導入しよう．

真空中の磁荷間には電荷間のクーロンの法則と同様の力が

働くことが実験的にわかっている．

位置r, r′にそれぞれ磁荷qm, q′mがあるとき次のようになる．

F =qmq′m4πµ0

r − r′

|r − r′|3

定数µ0をµ0 = 4π × 10−7と定めることで

磁気量の単位が定まる．この単位をウェーバ (Wb)といい，

1Wb = 1J/A が成り立つ．定数µ0を真空の透磁率という．

電荷間のクーロン力よりも電場を基本とみなす立場で

磁気的な力より基本的な磁場 Hを導入する．

ϵ0 → µ0

q → qm

E → H

の対応から，磁荷間に働く力を磁場を用いて書き直す．

F = qmH, H =q′m

4πµ0

r − r′

|r − r′|3

ここで，Hは位置r′の点に磁荷q′mがあるときの

位置rにおける磁場を表す．

磁場の大きさの単位：N/Wb = N · A/J = A/m

教科書２１３頁　付録３の表で電磁気の諸量の単位を

m, kg, s,Aの組み合わせで表してある．(MKSA単位系)

丸暗記する必要はないが，導出方法を確認しておくこと．

定期試験の出題範囲に加える．

磁力線：電気力線の対応物

磁位：磁荷による磁場の場合は電位の対応物として導入できる．

　　　電流による磁場の場合は一義的に定まらない．（後述）

５．２　磁気双極子と磁化

磁荷±qmが微小距離 lだけ隔たり対峙する磁気双極子の

磁気双極子モーメントmの大きさはm = |m| = qml

この磁気双極子が原点にあるとき，位置rでの磁位

Vm(r) =m · r

4πµ0r3

磁気双極子モーメントの大きさの単位：Wb · m磁場は以下の通り．

H(r) = −gradVm(r) =1

4πµ0r3

3r(m · r)r2

− m

磁場中の磁気双極子が持つ位置エネルギー：U = −m · H

物質の磁気的性質に着目するとき，この物質を磁性体という．

誘電分極

誘電体に電場Eを作用 → 内部に電気双極子piが誘起

電気分極（分極ベクトル）P

単位体積中の電気双極子モーメントの和P =∑

i pi

磁気分極

磁性体に磁場Hを作用 → 内部に磁気双極子miが誘起

磁化

単位体積中の磁気双極子モーメントの和M =∑

i mi

電気感受率χe (> 0)は電気分極Pと電場Eの比例関係を与える．

P = χeϵ0E

電束密度Dとの関係：D = ϵ0E + P

磁気感受率（磁化率）χmは

磁化Mと磁場Hの比例関係を与える．

M = χmµ0H

磁束密度Bの導入：B = µ0H + M

常磁性体：χm > 0の物質．アルミニウム，マンガン，硫酸銅．

反磁性体：χm < 0の物質．ビスマス．

強磁性体：

鉄，コバルト，ニッケルのように外部磁場がなくても磁化が生じ

ているような物質．この磁化を自発磁化という．

磁場と磁化が線形関係になく，ヒステリシスを呈する．

磁化の生じていない強磁性体に磁場を加え，その強度を上げて

いくとある磁場の強度で飽和に達する．その後，強度を弱めて

磁場を０にしても，磁化が残る．これを残留磁化という．磁化

を０にするためには，保磁力という逆向きの磁場を加えなけれ

ばならない．

５．３　磁束密度

B = µ0H + M = µ0H + χmµ0H = µ0(1 + χm)H

透磁率：µ = µ0(1 + χm)

比透磁率：km = 1 + χm =µ

µ0B = µH

電束密度についてのガウスの法則の磁束密度の場合の対応物

（マクスウェル方程式の中のひとつ）∫S

B · dS = 0, divB = 0

磁荷が存在しないことに注意．

磁場に対する境界条件

二種類の磁性体が境界面で接するとき

境界面の法線成分については，電束密度と同様に，

B1n = B2n

境界面の接線成分については，磁位が定義できる場合に，

H1t = H2t

磁位が定義できない場合は後述．

５．４　電流と磁場

電流が磁場から受ける力

磁場中の導線に電流Iを流す．

導線は電流と磁場の両方に垂直な力を受ける．

導線上の長さdsの微小部分に働く力：F

大きさdsで電流と同じ向きを持つベクトル：ds

磁束密度Bとdsのなす角：θ

F = I ds × B

F = |F| = IB sin θ ds

磁束密度の次元

[F ] = [I][B][ds]

[B] =[F ]

[I][ds]=

kg · m · s−2

A · m= kg · s−2 · A−1

教科書の付録３を参照のこと．電磁気の諸量の単位を

m, kg, s,Aの組み合わせで表してある．(MKSA単位系)

このように基本法則から表の導出ができる．

この導出を定期試験の出題範囲に加える．

ローレンツ力：磁場中を運動する荷電粒子に働く力

電荷Qと電流Iの関係式：I =dQ

dt時間dtの間に移動した電荷の総量がdQ

点電荷qが時間dtに速度vでds(= v dt)だけ移動するときの

電流：I

q = I dt → qv = I v dt = I ds → qv = I ds

F = I ds × B → F = qv × B

磁場のほかに電場がある場合　F = q(E + v × B)

サイクロトロン運動：定磁場中の荷電粒子の螺旋運動

z方向を向く一様な磁束密度：B = (0,0, B)

q v × B = q (vyBz − vzBy, vzBx − vxBz, vxBy − vyBx)

= qB (vy,−vx,0)

= m (vx, vy, vz)

mvx = qBvy = −(qB)2

mvx → vx = −ω2

c vx (ωc =qB

m)

z軸方向には等速直線運動を行う．

単振動の運動方程式の解

vx = −ω2c vx

vx = a sin(ωct) + b cos(ωct)

vy =m

qBvx =

m

qBωc(a cos(ωct) − b sin(ωct))

= a cos(ωct) − b sin(ωct)

初期条件：t = 0でのvx, vyの値vx(0), vy(0)を用いて

a, bを書き直すと

vx(t) = vy(0) sin(ωct) + vx(0) cos(ωct)

vy(t) = vy(0) cos(ωct) − vx(0) sin(ωct)

vx(t) = vy(0) sin(ωct) + vx(0) cos(ωct)

vy(t) = vy(0) cos(ωct) − vx(0) sin(ωct)

時間について積分する．

x(t) = −vy(0)

ωccos(ωct) +

vx(0)

ωcsin(ωct) + c

y(t) =vy(0)

ωcsin(ωct) +

vx(0)

ωccos(ωct) + d

初期条件：t = 0でのx, yの値x(0), y(0)を用いて

c, dを書き直すと

x(t) =vy(0)

ωc[1 − cos(ωct)] +

vx(0)

ωcsin(ωct) + x(0)

y(t) =vy(0)

ωcsin(ωct) +

vx(0)

ωc[cos(ωct) − 1] + y(0)

x(t) − x(0) −vy(0)

ωc=

vx(0)

ωcsin(ωct) −

vy(0)

ωccos(ωct)

y(t) − y(0) +vx(0)

ωc=

vy(0)

ωcsin(ωct) +

vx(0)

ωccos(ωct)

A sin(ωct − ϕ) = A sin(ωct) cosϕ − A cos(ωct) sinϕ

A cos(ωct − ϕ) = A cos(ωct) cosϕ + A sin(ωct) sinϕ

A =√

v2x(0) + v2

y(0)/ωc, ϕ = arctan [vy(0)/vx(0)]

x(t) − x(0) −vy(0)

ωc= A sin(ωct − ϕ)

y(t) − y(0) +vx(0)

ωc= A cos(ωct − ϕ)

A =√

v2x(0) + v2

y(0)/ωc, ϕ = arctan [vy(0)/vx(0)]

両辺を自乗して足し合わせて時刻tを消去し，軌道を求める．x(t) − x(0) −vy(0)

ωc

2+y(t) − y(0) +

vx(0)

ωc

2 =v2x(0) + v2

y(0)

ω2c

円軌道，角振動数ωcの単振動：サイクロトロン運動

上の角振動数：サイクロトロン角振動数

電流の作る磁場

教科書の図5.12の点P（位置r）に磁荷qmがあるとき

導線上の位置r′には磁場H =qm(r′ − r)

4πµ0|r′ − r|3が生じる．

真空中では磁束密度はB = µ0H =qm(r′ − r)

4π|r′ − r|3となる．

導線上の位置r′にあるdsに働く力は

F = I ds × B = I ds ×qm(r′ − r)

4π|r′ − r|3これを磁荷qmがdsに及ぼす力（作用）とみなせば，

反作用としてdsが磁荷qmに

F = qmI ds × (r − r′)

4π|r − r′|3という力を及ぼす．

（Newtonの運動の第3法則，作用反作用の法則）

これを，電流によって生じる磁場dHの中におかれた磁荷qmに

及ぼされる磁気的なクーロン力qm dHとみなすと次式を得る．

dH =I ds × (r − r′)

4π|r − r′|3, dH =

I ds sin θ

4π|r − r′|2

これをビオ・サバールの法則という．（dsとr − r′のなす角：θ）

導線全体からの寄与は上式を積分すればよい．

考える空間内に磁性体がある場合は教科書5.6節で扱う．

直線電流の作る磁場

無限に長い直線の導体に電流Iが流れている．この直線から

距離rだけ離れた位置での磁場の大きさHを求める．

直線はz軸上にあるものとする．教科書の図5.13のように

z座標がzであるようなxy平面上に

z軸を中心とする半径rの円Cを考える．

円C上の各点の磁場の方向はその点での円Cの接線方向となる．

dH =I dz

4π(r2 + z2)sin θ =

I dz

4π(r2 + z2)

r

(r2 + z2)1/2

dH =I r dz

4π(r2 + z2)3/2

H =Ir

4π

∫ ∞−∞

dz

(r2 + z2)3/2=

I

2π r

[H] = m−1 · A

H · 2π r =∮C

H ds = I

これは次節で現れるアンペールの法則の具体例である．

小さな長方形回路の作る磁場

導出は割愛するが，教科書の図5.15の微小矩形回路を流れる

電流Iによる磁場Hは次のようになる．

（面積∆Sの矩形がxy平面上にあり，その中心が原点と一致）

H(x, y, z) =I

4π

∆S

r3

3xz

r2,3yz

r2,3z2

r2− 1

, r =√

x2 + y2 + z2

これを磁気双極子m = (0,0, m)による磁場（教科書の式(5.13)）

H(x, y, z) =m

4πµ0r3

3xz

r2,3yz

r2,3z2

r2− 1

と比較すると　m = µ0I∆S

５．５　アンペールの法則

電流と磁気モーメント

矩形の外向き単位法線ベクトルをnとすると　m = µ0I∆S n

微小閉回路によって生じる磁場は，上の対応により，

磁気双極子によって生じる磁場と等価となる．

この磁気双極子によって生じる位置rでの磁位　

∆Vm =m · r

4πµ0r3=

I

4π

∆S cos θ

r2=

I

4πΩP

ΩPは位置rで微小矩形を見込む立体角

単位磁荷が磁場中で点Aから点Bまで移動するとき

磁気的なクーロン力がなす仕事

∫ B

AH · ds = Vm(A) − Vm(B) =

I

4π(ΩA − ΩB)

教科書の図5.20(a)のように微小閉回路を貫かないような

閉曲線Cに沿った磁場の線積分は０となる．

∮C

H · ds = 0

アンペールの法則

教科書の図5.20(b)のように微小閉回路を

その外向き法線方向に貫くような閉曲線Cに沿った

磁場の線積分を考えよう．

点Aを閉回路の僅かに表側，点Bを僅かに裏側にとると

ΩA = 2π, ΩB = −2πとなるから∮C

H·ds =∫ B

AH·ds =

I

4π(ΩA−ΩB) =

I

4π(2π−(−2π)) = I

閉曲線Cが閉回路を逆向きに貫くと　∮C

H · ds = −I

閉曲線Cが閉回路を貫かなければ　∮C

H · ds = 0

５．６　磁化電流とアンペールの法則

前節では微小閉曲線を流れる電流を

磁気双極子モーメントに置き換え，

アンペールの法則を導出したが，

逆に，磁性体中の磁気双極子モーメントを

電流に置き換えることもできる．

この立場で電流と磁性体が共存する場合を扱おう．

教科書の図5.27のように磁性体を貫く閉曲線Cを考え，

その閉曲線Cを電流Iが貫通するものとする．

磁性体内の閉曲線に沿って，断面積∆S，

高さ∆sの微小円筒を考える．

この部分の磁性体の磁化をMとし，

これと閉曲線（円筒の軸）のなす角をθとする．

磁化Mは単位体積あたりの磁気双極子モーメントmだから，

その大きさは　m = M cos θ∆S∆sとなる．

一方，囲む面積が∆Sとなる微小閉曲線を流れる電流∆Imは

大きさが　m = µ0∆Im∆Sの磁気双極子モーメントと

等価だから　∆Im =M cos θ

µ0=

M · ∆s

µ0　を得る．ここで，

∆sは大きさ∆sで閉曲線と同じ向きを持つベクトルである．

これを閉曲線全体で積分すると　Im =∮C

M · dsµ0

となるが，

磁性体外では磁化は０だから，これは磁性体の磁化を電流で置

き換えたものに等しい．これを磁化電流という．

閉曲線Cを貫通する電流が作る磁場はアンペールの法則により∮C

H · ds = I　これに磁化電流を加えると

I + Im =∮C(H +

M

µ0) · ds = I 　従って，磁束密度について

µ0(I + Im) =∮C(µ0H + M) · ds =

∮C

B · ds

が成り立つが，磁性体があろうがなかろうが，磁場については

∮C

H · ds = I

が成り立つ．

このように磁束密度についてのアンペールの法則では，

真電流と磁化電流の両者が現れ，

磁場についてのアンペールの法則では，真電流のみが現れる．

誘電体のガウスの法則の場合と比較せよ．

∮C

H · ds = I ⇔∫S

D · dS = q∮C

B · ds = µ0(I + Im) ⇔ ϵ0

∫S

E · dS = q + q′

第６章　時間変化する電磁場

６．１　電磁誘導とファラデーの法則

６．２　相互誘導と自己誘導

６．３　交流回路 I（LR回路）

６．４　交流回路 II（LCR回路）

６．５　磁場のエネルギー

６．６　マクスウェル・アンペールの法則

※　電磁誘導・交流・変位電流

６．１　電磁誘導とファラデーの法則

電磁誘導：磁石をコイルに近づけたり遠ざけたりすると，コイル

中に電流が誘起される現象（1831年にファラデーが発見）

※　電気容量の単位（F, Farad），「ろうそくの科学」の著者，

電気分解についての「ファラデーの法則」

磁束：教科書の図6.3のような閉曲線Cを縁とする任意の曲面S

に対する磁束密度 Bの表面積分　Φ =∫sB · dS　

（単位　Wb, ウェーバ）

誘導起電力とローレンツ力

教科書の図6.2のような状況下で導線ABが速度vで移動する

と，導線中の荷電粒子にはローレンツ力が働き，荷電粒子は移

動し電流が流れる．この電流を生じさせる起電力を誘導起電力

という．

閉曲線ABEDを貫く磁束が増大するとき，正の電荷はAからB

に移動し，電流は時計周りに流れる．この電流によって生じる磁

場は磁束密度Bとは逆向きであることがわかる．

ファラデーの法則

教科書の図6.2の閉曲線ABEDA（これをCで表す）や図6.3

の閉曲線Cに沿った線積分で誘導起電力V を定義する．

V =∮C

E · ds

ファラデーの法則は誘導起電力と磁束の時間変化を次のように

与える．V = −dΦ

dt　従って，

∮C

E · ds = −dΦ

dt= −

d

dt

∫S

B · dS

交流発電機の原理

教科書の図6.4のようにPQを軸として，長方形回路が角速度ω

で回転するとき，長方形回路を貫く磁束はΦ = SB cosωt

(長方形の面積：S，t = 0で長方形の面は磁束密度と直交)

誘導起電力：V = −dΦ

dt= −

d

dtSB cosωt = SBω sinωt

磁束の性質

閉曲線Cを縁とする曲面Sを貫く磁束は，曲面Sの選び方に依

存せず，閉曲線Cのみに依存する．これは磁場についてのガウ

スの法則を用いて説明できる．（詳細は教科書を見よ．）

６．２　相互誘導と自己誘導

相互誘導：教科書の図6.6のように二つのコイルC1とC2を固

定し，前者に時間的に変化する電流I1が流れるとき，電磁誘導

によりコイルC2に誘導起電力が生じる現象．

C2を貫く磁束をΦ2とすると，Φ2 = M21I1が成り立つ．

M21をC1からC2への相互インダクタンスという．

C2を流れる電流I2によって生じるC1を貫く磁束をΦ1とする

と，Φ1 = M12I2となり，M12 = M21が成り立つ．

これを相反定理という．

自己誘導：コイル内の電流変化によりそれ自身の内部に誘導起電

力が生じる現象

C1を流れる電流I1がC1自身を貫く磁束はL1I1で与えられる．

この比例定数L1を自己インダクタンス，あるいは単に，

インダクタンスという．

インダクタンスの単位：ヘンリー (H)

　※　MKSA単位系でどのように表されるか？

変圧機の原理

教科書の図6.9のように矩形の鉄心に

巻き数N1の一次コイルと巻き数N2の二次コイルを巻きつける．

それぞれのコイルの両端の電圧をV1, V2とする．

一次コイルの両端に交流電圧を加えると

コイルひと巻きを貫く磁束はΦ = Φ0 cosωtのように変化す

る．各コイルを貫く磁束はそれぞれの巻き数倍になるから，

V1 = −N1dΦ

dt= N1Φ0ω sinωt

V2 = −N2dΦ

dt= N2Φ0ω sinωt

これより，V2

V1=

N2

N1となり，電圧の比は巻き数の比に等しい．

これを利用して，電圧の値を変えるのが変圧器の原理である．

線形振動を扱うための数学的準備　

線形微分方程式 　

関数yとその導関数y′ =dy

dx, y′′ =

d2y

dx2についての１次方

程式

y′′ + P (x)y′ + Q(x)y = R(x)

を２階線形微分方程式という．

R(x) = 0: 同次微分方程式

R(x) = 0: 非同次微分方程式　

自由課題 　以下の定理を証明せよ．

1. u1(x)とu2(x)が微分方程式y′′+P (x)y′+Q(x)y = 0

の解ならば，y = c1u1(x) + c2u2(x)もその解である．

(c1, c2は任意定数)．

2. ２階線形同次微分方程式y′′ + P (x)y′ + Q(x)y = 0の

解u1(x)とu2(x)が１次独立ならば，y = c1u1(x) +

c2u2(x)はその一般解である．(c1, c2は任意定数)．

3. ２階線形非同次微分方程式y′′+P (x)y′+Q(x)y = R(x)

の１つの特殊解をY0(x), 対応する同次微分方程式y′′ +

P (x)y′ + Q(x)y = 0の一般解をu(x, c1, c2)とすれば

y = u(x, c1, c2) + Y0(x)

はy′′ + P (x)y′ + Q(x)y = R(x)の一般解である．

4. X0(x)とY0(x)がそれぞれ線形微分方程式

y′′+P (x)y′+Q(x)y = R(x), y′′+P (x)y′+Q(x)y = S(x)

の解であれば，X0(x)+ Y0(x)は以下の線形微分方程式

の解である．

y′′ + P (x)y′ + Q(x)y = R(x) + S(x)

線形微分方程式の解法 　

n階線形非同次微分方程式

y(n)+P1(x)y(n−1)+· · ·+Pn−1(x)y

′+Pn(x)y = R(x)

の一般解の求め方

1. 非同次方程式の１つの特殊解Y0(x)を求める．

2. 同次方程式の一般解u(x, c1, c2, · · · , cn)を求める．

3. y = u(x, c1, c2, · · · , cn)+Y0(x)が求める一般解である．

微分演算子 　　　D ≡d

dxf(t), g(t): 文字tの多項式

f(D), g(D): 微分演算子

自由課題 　微分演算子について以下の定理を示せ．

1. f(D)g(D) = g(D)f(D)

2. f(D)eαx = f(α)eαx

3. f(D)[eαxF (x)] = eαxf(D + α)F (x)

定数係数線形微分方程式 　

y(n) + a1y(n−1) + · · · + an−1y′ + any = R(x)

で左辺の係数a1, · · · , anがすべて定数であるとき

これを定数係数線形微分方程式という．微分演算子

f(D) = Dn + a1Dn−1 + · · · + an−1D + an

を導入すると，上記の微分方程式は

f(D)y = R(x)

と表すことができる．

定数係数線形同次微分方程式の解法 　

(D − α)ny = 0の一般解は

y = (c1 + c2x + · · · + cnxn−1)eαx

(D2 + aD + b)ny = 0 (a2 − 4b < 0)の一般解は

y = (b1 + b2x + · · · + bnxn−1)eλx cosµx

+ (c1 + c2x + · · · + cnxn−1)eλx sinµx

ただし，λ± iµは２次方程式t2+at+ b = 0の２根である．

自由課題　このことを示せ．

ヒント　前出の定理f(D)[eαxF (x)] = eαxf(D+α)F (x)

を用いて，(D − α)ny = eαxDn[e−αxy]と変形せよ．

後半では，オイラーの公式 eiµx = cosµx + i sinµxを用

いよ．　

定数係数線形同次微分方程式の一般解 　

微分演算子f(D) = Dn + a1Dn−1 + · · · + an−1D + an

に対して

代数方程式f(t) = tn + a1tn−1 + · · · + an−1t + anを

特性方程式という．

微分方程式Dl(D−α)m(D2+aD+ b)ny = 0の一般解は

y = a1 + a2x + · · · + alxl−1 + (b1 + b2x + · · · + bmxm−1)eαx

+ (c1 + c2x + · · · + cnxn−1)eλx cosµx

+ (d1 + d2x + · · · + dnxn−1)eλx sinµx

である．ここで，λ± iµは２次方程式t2 + at + b = 0の２

根である．

任意の実数係数の代数方程式は tl∏i,j

(t − αi)m(t2 + ajt +

bj)n の形に因数分解できることに注意せよ．

２階定数係数線形同次微分方程式の一般解 　

微分方程式　y′′ + ay′ + by = 0　の一般解は

特性方程式　t2 + at + b = 0　の根が

1. 実根α, β (α = β)の場合　y = c1eαx + c2eβx

2. 実根α(重根)の場合　y = (c1 + c2x)eαx

3. 虚根λ ± iµの場合　y = eλx(c1 cosµx + c2 sinµx)

定数係数線形非同次微分方程式の特殊解 　f(D)y = R(x)

1. R(x) = keαxの場合　

f(α) = 0ならばy =k

f(α)eαx

f(α) = 0の場合，f(D) = (D −α)pg(α) (g(α) = 0)

とすれば

y = Axpeαxの形の解がある．

2. R(x)が多項式の場合　

f(D) = Dn + a1Dn−1 + · · · + an−mDmならば

y = xm(A0xl + A1xl−1 + · · · + Al−1x + Al)の形の

解を持つ．

3. R(x) = k sin(ax + b)またはk cos(ax + b)の場合　

f(t) = 0の根がt = iaであれば，

y = A sin(ax + b) + B cos(ax + b)の形の解がある．

f(t) = 0の根がt = ia (m重根)であれば，

y = xm[A sin(ax + b) + B cos(ax + b)]の形の解が

ある．

２階定数係数線形同次微分方程式の一般解 　

微分方程式　y′′ + ay′ + by = 0　の一般解は

特性方程式　t2 + at + b = 0　の根が

1. 実根α, β (α = β)の場合　y = c1eαx + c2eβx

2. 実根α(重根)の場合　y = (c1 + c2x)eαx

3. 虚根λ ± iµの場合　y = eλx(c1 cosµx + c2 sinµx)

時定数（LR直列＋直流電源）

教科書の図6.11の回路において

電池の起電力：V コイルの誘導起電力：−LdI

dt抵抗による電圧降下：RI

V − LdI

dt= RI →

dI

dt+

R

LI =

V

L

同次微分方程式　dI

dt+

R

LI = 0　の解

I(t) = A exp(−t/τ), τ = L/R (時定数)

A: 積分定数（初期条件を与えると定まる）

非同次微分方程式の解を求めるために，恒等式

D[eαtF (t)] = eαt(D + α)F (t)　を利用しよう．（D = ddt）

e−αtD[eαtF (t)] = (D + α)F (t)

(D + α)−1e−αtD[eαtF (t)] = F (t)

G(t) = e−αtD[eαtF (t)]とおくと

F (t) = e−αtD−1[eαtG(t)] = e−αt∫ t

0eαt′G(t′) dt′

(D + α)−1G(t) = e−αt∫ t

0eαt′G(t′) dt′　これを用いて

(D + α)x(t) = G(t) を満たす一つの解（特殊解）は

次のようになる．

x(t) = e−αt∫ t

0eαt′G(t′) dt′

[(D + α)I(t) = V/Lの解] ＝

　[同次方程式(D + α)I(t) = 0の一般解]　＋

　[非同次方程式(D + α)I(t) = V/Lの特殊解]　

　= A exp(−αt) + e−αt∫ t

0eαt′V/L dt′

I(t) = A exp(−αt) +V

Lα= A exp(−

R

Lt) +

V

R

初期条件　I(0) = 0　を満たすためには　A = −V

R

I(t) =V

R

(1 − exp(−

R

Lt)

)

６．３　交流回路 I （LR回路）

先の回路で直流電源を交流電源に置き換えよう．

電流Iの満たす方程式は次のようになる．

V0 cosωt − LdI

dt= RI →

dI

dt+

R

LI =

V0

Lcosωt

I(t) = A exp(−αt) + e−αt∫ t

0eαt′V0

Lcosωt′ dt′

= A exp(−αt) +V0

Le−αtα eα t cos (ω t) + ω eα t sin (ω t) − α

α2 + ω2

= (A −V0

L)

α

α2 + ω2exp(−αt)

+V0

L

α cos (ω t) + ω sin (ω t)

α2 + ω2

ここで，定数Aは初期条件I(0)を与えれば定まるが，

十分時間が経った後の解に着目すると，第1項は無視できる．

交流電源　V (t) = V0 cosωt　に対して

I(t) =V0

L

α cos (ω t) + ω sin (ω t)

α2 + ω2

=V0

L√

α2 + ω2

α√α2 + ω2

cosωt+ω√

α2 + ω2sinωt

=

V0

L√

α2 + ω2

(cosωt cosϕ + sinωt sinϕ

)

=V0

L√

α2 + ω2cos(ωt − ϕ) = I0 cos(ωt − ϕ)

インピーダンス：Z = V0/I0 = L√

α2 + ω2 =√

R2 + (Lω)2

位相の遅れ：ϕ, 力率：cosϕ = R/√

R2 + (Lω)2

複素数表示

定数係数線形微分方程式の非同次項が三角関数の場合は

求める関数をいったん複素関数に拡張した上で特殊解を求め，

最後にその実部をとるという解法がある．

過渡状態に関心がなければ，この解法で十分である．つまり，

この解法では非同次方程式の特殊解のみを求めることになる．

具体例として先ほど扱ったLR回路を取り上げる．

オイラーの公式 (eiθ = cos θ + i sin θ)を用いて

LdI

dt+ RI = V0 cosωt をL

dI

dt+ RI = V0eiωt と書き換え

Iも複素数とみなす．

I = Ieiω tとおいて，時間に依らない複素振幅 Iを導入する．

LdI

dt+ RI = (R + iω L)Ieiω t = V0eiωt

(R + iω L)I = V0

Z = R + iω Lをこの回路の複素インピーダンスという．

交流回路ではコイルも抵抗のように働き，抵抗Rに対応する量

として iω Lを考える．LR直列回路では抵抗の直列接続の合成

則と同様に複素インピーダンスの合成則が成り立つ．コイルと

抵抗を並列に接続する場合も，抵抗の並列接続の合成則と同様

の複素インピーダンスの合成則が成り立つ．

（教科書pp.141-142の例題６と例題７を参照のこと）

Z = R + iω L = Zeiϕ = Z(cosϕ + i sinϕ) とおくと

(Z = |Z|)

Z =√

R2 + (ωL)2(R√

R2 + (ωL)2+ i

ωL√R2 + (ωL)2

) より

インピーダンスがZ =√

R2 + (ωL)2，

cosϕ =R√

R2 + (ωL)2, sinϕ =

ωL√R2 + (ωL)2

,

tanϕ =ωL

Rとなることがわかる．

これが複素インピーダンスの実部と虚部の比になっていること

に注意せよ．これは任意の交流回路で成り立つ．

複素電流振幅は複素インピーダンスを用いて

I =V0

Z=

V0

Ze−iϕ とかける．

複素電流はI = Ieiωt =V0

Ze−iϕeiωt =

V0

Zei(ωt−ϕ) となり，

その実部から，求める電流の時間変化V0

Zcos(ωt − ϕ) を得る．

ϕは電圧から見た電流の位相の遅れを表していることがわかる．

交流回路を流れる電流の時間変動を

複素数表示を用いて求める手順

　回路に応じて複素インピーダンスを合成

　合成インピーダンスの絶対値（インピーダンス）と

　　位相（位相の遅れ）を求める

６．４　交流回路 II (LCR回路)

コイル（自己インダクタンスL）

コンデンサ（電気容量C）

電気抵抗（抵抗値R）

が直列に接続されている交流回路では

力学で現れる減衰振動と同様の振動が現れる．

このような振動現象は２００３年度後期の

質点系と振動の力学で扱う予定なのでここでは割愛する．

コンデンサの複素インピーダンスが1

iωCとなることに注意せよ．

６．５　磁場のエネルギー

教科書p.87の４．５「電場のエネルギー」の節で

平行平板コンデンサーの電場のエネルギー密度が

ue =ϵE2

2=

E · D2

となり，これが一般の場合にも成り立つことを指摘したが，

ソレノイドの磁場のエネルギー密度が

um =B2

2µ=

H · B2

となり，これもまた一般の場合に成り立つ．各自で確かめよ．

６．６　マクスウェル・アンペールの法則

定常電流の場合に成立するアンペールの法則

∮C

H · ds = I

を時間変動する電磁場に拡張すると矛盾が生じる．

教科書p.150の図6.22のようなコンデンサに直流電源を繋ぎ，

充電がなされる過渡現象を考えよう．

同一の閉曲線Cを縁とする二つの曲面S1とS2を考える．

前者は導線を貫き，後者は貫かない．

それぞれにアンペールの法則を適用すると

∮C

H · ds = I,∮C

H · ds = 0

となり， 同一の閉曲線Cを考えているにもかかわらず矛盾する

結果を得る．そこで，コンデンサの極板間の電束密度Dを

電流Iを用いて表すことを考えよう．

極板間の電場は教科書p.57にある通り，E =σ

ϵ=

Q

Sϵとなる．

但し，Qは極板の面積で，ϵは極板間の誘電率である．

従って，D = ϵE =Q

S．

両辺を時間で微分して∂D

∂t=

1

S

∂Q

∂t=

I

S.

これよりS∂D

∂t= I. 左辺は電荷の移動による電流ではないが，

この量が電流と同じ次元を持ち，

導線を流れる電流と同じ値を持つことを意味する．

この量を変位電流という．

この変位電流の表式S∂D

∂t= Iは電束密度の次元を

MKSA単位系で表す際に役立つ．[D] =[I]

[S][t]より

[D] = m−2 · kg0 · s1 · A1 となることがわかる．

マクスウェルはアンペールの法則を時間に依存する電磁場の場

合に拡張するために，アンペールの法則の右辺に現れる電流を

真の電流と変位電流の和に改めた．

これをマクスウェル・アンペールの法則という．

前述の導線を貫く閉曲面S1では，真の電流がIで変位電流は0,

導線を貫かない閉曲面S2では，真の電流が0で変位電流がIと

なり，矛盾が解消する．

マクスウェル・アンペールの法則は電流密度jを用いて∮C

H · ds =∫S(j +

∂D

∂t) · dS と表せる．

ストークスの定理　∮C

H · ds =∫SrotH · dS を用いると

微分形の表式

rotH −∂D

∂t= j

を得る．これで電磁場の基本法則（マクスウェルの方程式）が

すべて出揃ったことになる．