第２３章 電流と電気抵抗

電流

導体に電源をつなぐと、導体内に電界が生じて自由電子が移動する。この電荷の流れを電流という。電流の強さ I は、流れに垂直な断面を単

位時間あたりに通過する電荷の量で表す。

微少な時間 t の間に通過した電荷を Q とすると、電流 Iは、

となる。

電流の単位は[A（アンペア）]であり、定義より、

1[A] = 1[C/s]となる。

逆に、ある時間 t に移動する電荷Q は、電流を積分することで得られる。

特に、時間によって向きや大きさが変わらない電流を定常電流と言う。

0d limd tQ QI tt

Q t

I電子の動く向きと電流の向きは逆

時間 t

電流 I

I(t)

1

0( )

tt

Q I t dt

t0 t1

導体中での自由電子のふるまい

導体内に電界があると、自由電子は導体内の陽イオンにランダムに当たりながらも、電界と逆の方向に移動する。この時の平均速度をドリフト速度と言う。

断面積S[m2]の導線の中を、ドリフト速度v[m/s]の自由電子が移動するとき、体積vS[m3]の中の自由電子が1秒間にSの断面を通過したことにな

る。単位体積あたりの自由電子数をn[個/m3]とすると、移動した総電子数はnvS[個]となり、自由電子1個の電荷をe[C]とすると、1秒間にある断面を通過する電荷はenvS[C]となり、これより電流Iは、次式となる。

I = envS

電界

ドリフト速度

平均化された自由電子

E v

S

自由電子のドリフト速度

導体の両端に電圧 V[V]を加えると、導体の内部に電界 E

が発生する。

導体中の自由電子は、この電界と反対方向の力 F

を受け、

の加速度が生じる。このため、ドリフト速度 v[m/s]は、

となる。陽イオンに衝突して止まるまでの時間を [s]とすると、衝突直前の速度は、

となり、平均であるドリフト速度 v は、

平均化された自由電子

E v

eV

V

S

[V/m]VE

[N]eVF ma

2 [m/s]ev Vm

2[m/s ]eVa m

[m/s]eVv tm

[m/s]eVv m

導体の電気抵抗

導体中の自由電子のドリフト速度v[m/s]は、

となり、これを先の電流の式

に代入すると、導体中を流れる電流I[A]は、

となる。ここで、

とすると、導体中の抵抗 Rは、

から、

となる。 は導体の種類や温度で決

まり、導体の長さおよび断面積あたりの抵抗を表す。これを電気抵抗率という。

平均化された自由電子

E v

eV

V

S

2 [m/s]ev Vm

[A]I envS

2

2 2e e nSI enS V Vm m

22me n

VR I

22V mR I S Se n

2[Ω] [m ][Ωm][m]

R S

各物質の電気抵抗率

物 質 抵抗率[m] 物 質 抵抗率[m]

酸化物高温超伝導体（YBa2Cu3O7）

0.5～5×10-4炭素 3.50×10-5

ゲルマニウム(Ge) 4.60×101

銀 1.59×108 ケイ素(Si) 6.40×102

銅 1.68×108 水(純水) 2.5×105

アルミニウム 2.82×108 ポリ塩化ビニール 109～1012

ナトリウム(0℃) 4.74×108 天然ゴム 1012～1015

ニッケル 6.99×108 パラフィン 1014～1017

タングステン 5.60×108 ガラス 1010～1014

鉄 1.00×107 ポリエチレン 1015～1017

ニクロム(Ni、Fe、Cr) 1.50×106

表示温度のない物質の温度は20℃

抵抗の温度依存性

金属の温度が上昇すると、原子の振動が激しくなり、衝突するまでの時間 が短くなり、電子の平均速度

が小さくなる。抵抗率でみると、抵抗率は温度 T[℃] の関数となり、

となる。ここで、0 は温度が20[℃]の時の抵抗率、 は抵抗温度係数という。

0 1 20{ ( )}T

物質 抵抗温度係数[/℃]銀 3.8×10-3

銅 3.9×10-3

金 3.4×10-3

アルミニウム 3.9×10-3

タングステン 4.5×10-3

鉄 5.0×10-3

ニクロム 0.4×10-3

炭素 0.5×10-3

ゲルマニウム 4.8×10-2

シリコン 7.5×10-2

サーミスター 4.4×10-2

半導体はもともと電流が流れにくいため、温度上昇により陽イオンの振動が激しくなり、自由電子の数が増えることがある。そのため、逆に抵抗が減少する。

電気的エネルギーと電力

微小時間 dt において電気が行う仕事 dW は電気のエネルギー qEdを用いて、

で表される。一般にdW / dtの代わり

に、単位時間当たりの電気エネルギーの消費量 P[J/s = W]を用い、これを電力という。ここに、

を代入すると、

となる。

電気回路で消費される電力は抵抗などで熱に変換される。この変換された熱をジュール熱という。

d( )dd d

qEdWt t

ddqIt

V Ed

ddd d

qWP Ed IVt t

抵抗の直列・並列接続

合成抵抗 Rは、

合成抵抗 Rは、

V

V1 V2

V

I

R1 R2

R2

R1

II1

I2

1 1 2 2

1 2

1 2 1 2( )

V R I V R IV V VR I R I R R I

，

1 2R R R

1 21 2

1 2

1 2 1 2

1 1

V VI IR RI I I

V V VR R R R

，

1 2

1 1 1R R R

キルヒホッフの法則

３つ以上の導線の交点を分岐点、分岐点から隣の分岐点までの間を分岐路という。１つの分岐点に出入りする電流の代数和は0である。

分岐路が集まってできる輪になった回路を網目という。網目の中の各分岐路の抵抗と電流の積（RiIi）の代数和は、網目の中にある起電力の代数和と等しい。

第１法則 回路中の分岐点

第２法則 回路中の網目

I1I2

I3 I4

I5R1

R2

I1I2

I3

R1

R2

R3V1

V2

51 2 3 4 0( ) ( )I I I I I

0iI

1 1 2 2 3 3 1 2( ) ( )R I R I R I V V

i i iR I V

キルヒホッフの法則の必要な例

回路に流れる電流を図のように定義する。未知数が３個なので、３つの連立方程式を立てればよい。

点Bに第１法則を適用すると、

（1）また、ABCD、ABD、BCDの3つの

閉回路があるが、ここではABDとABCDの２つをとりあげる。閉回路ABDに第２法則を適用すると、

（2）閉回路ABCDでは、

（3）これら３本の連立方程式を解くことで電流I1～I3を求めることができる。

式(1)～(3)をまとめると、

よって、電流I1～I3は、

を解けばよい。

AB

C

D

V1 V2

I1 I2

I3R1 R2

R3

1 2 3 0I I I

1 1 3 3 1R I R I V

1 1 2 2 1 2R I R I V V

1

1 3 2 1

3 1 21 2

1 1 1 00

0

IR R I V

I V VR R

11

2 1 3 1

3 1 21 2

1 1 1 00

0

II R R VI V VR R

３×３行列の逆行列

について、

のとき、逆行列が存在し、

11 12 1321 22 2331 32 33

a a aA a a aa a a

11 22 33 21 32 13 31 12 23 11 32 23 31 22 13 21 12 330

detA a a a a a a a a a a a a a a a a a a

22 33 23 32 32 13 33 12 12 23 13 221

23 31 21 33 33 11 31 13 13 21 11 2321 32 22 31 31 12 32 11 11 22 12 21

1det

a a a a a a a a a a a aA a a a a a a a a a a a a

A a a a a a a a a a a a a

11 12 1321 22 2331 32 33

a a aa a aa a a

11 12 1321 22 2331 32 33

a a aa a aa a a

+ + +

11 12 1321 22 2331 32 33

a a aa a aa a a

11 12 1321 22 2331 32 33

a a aa a aa a a

det

11 12 1321 22 2331 32 33

a a aa a aa a a

a23a31 a21a33

11 12 1321 22 2331 32 33

a a aa a aa a a

11 1221 2231 32

a aa aa a

11 12 1321 22 23

a a aa a a

11 1221 22

a aa a

キルヒホッフの法則の必要な例

なので、逆行列が存在し、

よって、

より、

1 3 1 2 2 3 3 1

1 2

1 1 10

0det R R RR R R R RR R

2 1 3 1 21

1 2 2 3 3 1

R V R V VI R R R R R R

1 2 3 1 2

21 2 2 3 3 1

RV R V VI R R R R R R

1 2 2 13

1 2 2 3 3 1

RV R VI R R R R R R

12 3 2 3

1 3 1 3 1 1 31 2 2 3 3 1

1 2 1 2 1 2 1

1 1 110

0

R R R RR R RR R R RRR R R R RR R RR R R R

2 3 2 31

2 1 3 1 1 3 11 2 2 3 3 1

3 1 21 2 1 2 1

01

R R R RII R R R R R VRR R R R RI V VRR R R R

ホイートストンブリッジ回路

(1) 分岐電流による解法

m個の分岐路とn個の分岐点を持

つ回路で全ての分岐電流が未知の場合は、(n 1)個の分岐点とN = m (n 1)個の独立な網目を適当に選び、合計m個の Ii = 0 と RiIi =Vi を作れば、未知電流を求めるこ

とができる。

独立な4 1 = 3個の分岐点として、

独立な6 (4 1) = 3個の網目として、

これら６つの連立方程式を解けば、I1～I5、Iを得ることができる。

A

R1

R2

R4

R3

I1

I2

I4

I3

I5R5B

C

D

V

Ⅰ Ⅱ

ⅢI

51 4

1 2

52 3

000

ABC

I I II I II I I

5 51 1 2 2

5 53 3 4 4

2 2 3 3

00

R I R I R IR I R I R I

R I R I V

ⅠⅡⅢ

ホイートストンブリッジ回路

(2) 網目電流による解法

m個の分岐路とn個の分岐点を持つ回路でN = m (n 1)個の独立な網目電流を考える。Ⅰ、Ⅱ、Ⅲに流れる網目電流をそれぞれ、I1'、I2'、I3'とすると、

これらを使って第２法則を表すと、

これらを網目電流についてまとめると、

A

R1

R2

R4

R3

I1

I2

I4

I3

I5R5B

C

D

V

Ⅱ

ⅢI

1 1 2 1 3

5 1 2

3 2 3 4 2

5 1 2

2 1 3

3 2 3

0

0

' ' '

' '

' ' '

' '

' '

' '

R I R I I

R I I

R I I R I

R I I

R I I

R I I V

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

I1' I2'

I3'

2 1 31 1

3 2 3 4 2

5 31 2

' ''' ' '

'' '

I I II II I I I I

I II I I

Ⅰ

ホイートストンブリッジ回路

これら３つの連立方程式を解けば、I1～I5、Iを得ることができる。

また、

ただし、

より、R1R3 = R2R4 のとき、I5 = 0 となる。

A

R1

R2

R4

R3

I1

I2

I4

I3

I5R5B

C

D

V

ⅢI

I1' I2'

I3'

2 4 1 35R R RRI V

5 51 2 1 2

2 3

5 51 3 4 2

3 3

2 1 3 2

2 3 3

0

0

' '

'

' '

'' '

'

R R R I R I

R I

R I R R R I

R IR I R I

R R I V

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

1 4 2 3 2 3 1 4

5 1 4 2 3

RR R R R R R R

R R R R R

ⅡⅠ

ホイートストンブリッジ回路

15 51 2 2

5 53 4 3 2

2 3 2 3 3

00

'''

IR R R R RR R R R R I

VR R R R I

5 51 2 1 2 2 3

5 51 3 4 2 3 3

2 1 3 2 2 3 3

0

0

' ' '

' ' '

' ' '

R R R I R I R I

R I R R R I R I

R I R I R R I V

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

11 5 51 2 2

5 52 3 4 3

2 3 2 33

00

'''

I R R R R RI R R R R R

VR R R RI

これを行列の形で書き直すと、

各網目電流は、逆行列を用いることで求めることができる。

図のような回路の場合、電源V1およびV2のみの回路について解く。

V1のみの回路の場合、R3に流れる電流I3は、

V2のみの回路の場合、R3に流れる電流I3は、

よって、

重ね合わせの原理

電源を複数もつ回路において、任意の点の電流や電圧は、それぞれの電源が単独で存在していたときの和に等しい。これを重ね合わせの原理という。

AB

C

D

V1 V2

I1 I2

I3R1 R2

R3

V1 V2

1 231

2 31 2 3 2 3/( )V RI R RR R R R R

R1 R2R3

R1 R2R3

2 132

3 12 3 1 3 1/( )V RI R RR R R R R

3 31 32

2 1 1 2

1 2 2 3 3 1

I I IR V RV

RR R R R R

Y（デルタスター）変換

接続とY接続のそれぞれで、IA、IB、ICをVA、VB、VCで表し、これらが恒等式となるように係数を求める。

これらを解くと、

1 3

A AC OA BA a

V V V VV VI R R R

1 2

1 2 3b

R RR R R R

2 3

1 2 3c

R RR R R R

R1

R2

R3

Ra

Rb Rc

A

B C

A

B C

IA

IAIB IC

IB IC

VA

VB VC

VA

VB VC

2 1

B BC OA BB

b

V V V VV VI R R R

3 2

A BC C C OC c

V V V V V VI R R R

VO

0A BO O C Oa cb

V V V V V VR R R

3 1

1 2 3a

R RR R R R

1a c c ab b

c

R R R R R RR R

2a c c ab b

a

R R R R R RR R

3a c c ab b

b

R R R R R RR R

yRRR R

opposite

RRR R

ホイートストンブリッジのY変換

ホイートストンブリッジのR1、R2、R5からなる網目をY変換することで、RA、RB、RCからなる等価回路に変

換することができる。この結果、回路は単純な直並列回路にすることができるため、各部の電流が容易に計算することができる。

I = IB = I3 + I4、IA = I4、IC = I3同様にR3、R4、R5に適用することで、I1、I2を求めることができ、これらと第１法則を組み合わせることでもI5を求めることができる。

A

R1

R2

R4

R3

I1

I2

I4

I3

I5R5B

C

D

IV

A

R4

R3

I4

I3

B

C

D

IV

RB

RA

RC

IB

IA

IC

RC回路

図のような回路のスイッチS1を閉じると、コンデンサーCに電荷が蓄えられる。次に、スイッチS1を開けて、スイッチS2を閉じるとコンデンサーに蓄えられた電荷が抵抗Rを通って流れ、失われていく。S2を閉じた時刻をt =0とし、このときコンデンサーCに蓄えられていた電荷をQ0とすると、抵抗Rを流れる電流Iは、コンデンサーの

電荷が失われて電位差が小さくなるに連れて小さくなる。すなわち、

と、

より、

となる、これは微分して同じ関数になることを意味するので、

となる。

S1 S2 S1 S2

C CR R

ddQIt

0QRI C

1ddQ QRCt

0t RCQ Q e

Q

t

Q0

Q0/e

RC

RC回路の時定数

例題

例題１

図の回路の合成抵抗を求めよ。ただし、抵抗は全て同じでRとする。

例題２

図の回路の合成抵抗を求めよ。ただし、抵抗は全て同じでRとする。

2R2R

R/4R/2

R/2 R/4R/2R/2

R/2 R/2(7/4)R

(7/4)Rよって、合成抵抗は、

R/2 + (7/4)R / 2 + R/2 = (15/8)R

I1 I2 I3I3

I4

I

II1I2I3

I3

I4 I1I2 I2I3I4I3 I4I3I2I3 I1I2

Ⅰ Ⅱ Ⅲ

I12I2+I41 4 0I I I

1 1 2 4 3 4 0{ ( ) ( ) }R I I I I I I

2 2 3 1 2 4 1 22 0{ ( ) ( ) ( )}R I I I I I I I I

3 4 3 2 32 0{ ( ) ( )}R I I I I I

1 2 3 437 24 14 3269 69 69 69, , ,I I I I I I I I

37 24 14 32 121269 69 69 69 69V R I R