C13 Poligonales(topografia)

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Pontificia Universidad Católica del Perú TOPOGRAFÍA Profesor: José L. Reyes

POLIGONALES

A

D

B

N Az

(1000,1000,100)

C

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POLIGONALES

• Definición • Tipos de Poligonales • Cálculo y Ajuste de Poligonales Cerradas

- 224 -


POLIGONALES

Una poligonal es una serie de líneas consecutivas cuyas longitudes y direcciones se

determinan a partir de mediciones en campo.

Las poligonales se usan para establecer puntos de control y puntos de apoyo para el

levantamiento de detalles, replanteo de proyectos y para el control en la ejecución de

obras.

PUNTO DE

CONTROL

- 225 -


VERTICES DE LA POLIGONAL

Los vértices de las poligonales se materializan en campo mediante hitos de concreto.

- 226 -


VERTICES DE LA POLIGONAL

- 227 -


TIPOS DE POLIGONALES

Las poligonales pueden ser cerradas o abiertas. Sólo las poligonales cerradas permiten obtener un control sobre la precisión obtenida.

Las poligonales abiertas se usan normalmente para propósitos exploratorios.

Poligonal cerrada Poligonal abierta

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POLIGONALES CERRADAS

• Son aquellas que se inician y finalizan en el mismo vértice o en vértices diferentes

pero de coordenadas conocidas.

• Proporcionan comprobaciones de los ángulos y de las distancias medidas.

• Se emplean en levantamientos de control, levantamientos de detalles o replanteos

de obras.

Poligonal cerrada

A

D

B

N Az

(1000,1000,100)

C

Una poligonal cerrada queda definida por:

• Sus lados

• Sus ángulos interiores

• Las coordenadas de un vértice, que pueden ser arbitrarias o verdaderas

• El azimut del lado de partida.

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Caso 1:

• Punto de control (A) con coordenadas arbitrarias.

• Norte magnético obtenido con brújula.

A

D

B

NM

Az

(1000,1000,100)

C

CASOS DE POLIGONALES CERRADAS

Dependiendo de la naturaleza del azimut (magnético o geográfico) y las coordenadas del

vértice de partida (absolutas o relativas) es posible tener los siguientes casos:

• Punto de control (A) con coordenadas arbitrarias.

• Norte arbitrario.

Caso 2:

A

D

B

N

(1000,1000,100)

C

Azimut AB = 0

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Caso 3:

• Conocidos dos puntos de control con coordenadas verdaderas (UTM)

La información de los puntos de control se adquiere en el IGN (Instituto Geográfico

Nacional)

A

D

B

NG Az

(XA,YA,ZA)

C

(XB,YB,ZB)

E

N

XA XB

YA

YB

A

B

Az

AzAB = )yy(

)xx(arctan

AB

AB

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Caso 4:

Con la brújula se ubica el norte magnético. Luego con el valor de la declinación

magnética () se halla el norte geográfico.

• Conocido un punto de control y la declinación magnética

A

D

B

NG

C

NM

(XA,YA,ZA)

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Previo al trabajo de campo y como guía del mismo deben determinarse los

errores de cierre admisibles tanto para control horizontal como vertical.

Una vez determinadas las estaciones de la poligonal (X,Y,Z) se determinarán

los detalles topográficos.

(x,y,z) (x,y,z)

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Solucionar una poligonal consiste en el cálculo de las coordenadas rectangulares de

cada vértice.

CÁLCULO Y AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS

Procedimiento:

1. Cálculo y compensación del error de cierre angular.

2. Cálculo de azimutes de los lados de la poligonal.

3. Cálculo de las proyecciones de los lados.

4. Cálculo del error de cierre lineal.

5. Compensación del error lineal.

6. Cálculo de las coordenadas de los vértices.

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AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS

1. ERROR DE CIERRE ANGULAR:

Una vez establecidos los vértices de la poligonal se procede a medir sus ángulos

internos y las distancias de cada lado.

Debido a errores instrumentales y operacionales no siempre la suma de los ángulos

medidos coincide con la suma geométrica.

El error angular (e) esta dado por la diferencia entre el valor medido en campo y el

valor teórico.

i : ángulo interno poligonal

n : número de vértices o lados de la poligonal

n

1i

iα 2)(n180ºαe

- 235 -


1. ERROR DE CIERRE ANGULAR (continuación):

Se debe verificar que el error angular sea menor que la tolerancia angular:

naTolerancia a: aproximación del equipo

n : número de vértices o lados


La tolerancia se determina a partir de la teoría de propagación de errores:

f= i=1+2+….+n

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Si e es mayor que la tolerancia se procede a medir nuevamente los ángulos de la

poligonal.

Si e es menor que la tolerancia se procede al ajuste angular; repartiendo el error

entre todos los ángulos, asumiendo que el error es independiente de la magnitud

del ángulo medido.

ne

C αα


C : corrección angular

e : error angular

n: número de vértices

Por ejemplo, si el equipo utilizado en la medición angular tiene una precisión de 20”,

se asume que el error repartido en cada vértice es 20”. Por tanto el error admisible

(tolerancia) se considera igual a:

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2. CÁLCULO DE AZIMUTES:

Los azimutes de los de lados una poligonal se pueden calcular a partir de un azimut

conocido y de los ángulos medidos.

180

180

ABBC

BABBC

BC

luego

siendo

:seráBC de azimut El

B

AB

N

B

C

A

AB

BC

B

Datos:

Azimut AB = AB

Angulo en B =

Azimut BC = BC = ?

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2. CÁLCULO DE AZIMUTES (continuación):

Generalizando el cálculo de azimut, tenemos la siguiente ecuación aplicable a

poligonales etiquetadas en sentido anti-horario.

ϕi = ϕi−1 + i ± 180º

ϕi = azimut del lado

ϕi-1 = acimut anterior

i = ángulo interno en el vértice

Aplicando los siguientes criterios:

Si (ϕi−1 + i ) < 180º se suma 180º

Si (ϕi−1 + i ) ≥ 180º se resta 180º

Si (ϕi−1 + i ) ≥ 540º se resta 540º (los azimuts son menores a 360º)

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3. CÁLCULO DE LAS PROYECCIONES DE LOS LADOS:

Las proyecciones de los lados de la poligonal se calculan en función de los azimuts y

distancias de los lados, aplicando las siguientes ecuaciones:


Cos(Az)DistancProy xN

Sen(Az)DistancProy xE

N

E

A

B

D

C

ProyNAB(+)

ProyNBC(+)

ProyEBC(-) ProyECD

(-)

ProyNCD(-)

ProyNDA(-)

ProyEDA(+)

ProyEAB(+)

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La suma de proyecciones sobre el eje Este-Oeste debe ser igual a cero. De manera

similar la suma de proyecciones sobre el eje Norte-Sur debe ser igual a cero.

Pero esto no se cumple debido

a los errores instrumentales y

operacionales en la medición

de distancias. Por lo tanto se

tendrán errores en las

proyecciones Este y Norte:

n

1i

EsteEste Proye

n

1i

NorteNorte Proye


4. CÁLCULO DEL ERROR DE CIERRE LINEAL:

N

E

A

B

D

C

ProyNAB(+)

ProyNBC(+)

ProyEBC(-) ProyECD

(-)

ProyNCD(-)

ProyNDA(-)

ProyEDA(+)

ProyEAB(+)

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El error de cierre lineal será:

eee2

Norte

2

EsteL

Y la precisión lineal de la poligonal estaría dada por:

LePerímetro

1Precisión


4. CÁLCULO DEL ERROR DE CIERRE LINEAL (continuación):

D

A

A’

eEste

eNorte

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Determinado el error lineal se verifica que éste sea menor a la tolerancia lineal

especificada por las normas, condiciones topográficas y precisión de los equipos.


5. COMPENSACIÓN DEL ERROR DE CIERRE LINEAL:

El método de compensación depende de la precisión lograda por los instrumentos y

procedimientos empleados en la medición.

Algunos de los métodos de compensación utilizados son: el método de la brújula, el

del tránsito, el de Crandall, el de los mínimos cuadrados, etc.

Actualmente los equipos han igualado la precisión obtenida en la medición de

distancias con la precisión obtenida en la medición angular, lo que hace al método

de la brújula el método más adecuado para la compensación del error lineal, no sólo

por asumir esta condición sino por la sencillez de los cálculos involucrados.

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Método de la Brújula:

Método propuesto por Nathaniel Bowditch (1800) y es el más utilizado en los trabajos

normales de topografía. El método asume que :

• Los ángulos y distancias se miden con igual precisión.

• El error ocurre en proporción directa a la distancia

• Las proyecciones se corrigen proporcionalmente a la longitud de los lados.

PerímetroLado)e(C

NorteNorte

PerímetroLado)e(C

EsteEste

5. COMPENSACIÓN DEL ERROR DE CIERRE LINEAL (continuación):


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Las coordenadas de los nuevos vértices se determinan sumando a las coordenadas del vértice

anterior las proyecciones corregidas. Es recomendable trabajar de manera tabulada:

Lado Distanc. med correg Az ProyN ProyE CNorte CEste ProyNcorr ProyEcorr X Y

Corr_Poligonal_

UPC.xls

Perim i eNorte eEste

Cos(Az)xDistancProyN

Sen(Az)xDistancProyE

NorteNcorrNCProyProy

EsteEcorrECProyProy

PerímetroLado)e(C

NorteNorte

PerímetroLado)e(C

EsteEste


6. CÁLCULO DE LAS COORDENADAS DE LOS VÉRTICES:

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AJUSTE DE POLIGONALES CERRADAS Pontificia Universidad Católica del Perú

Curso: Topografía

Ubicación: Fecha: Equipo: Wild T1

Levantado por: Coordenada de A (X,Y) = X=2000 Y=1000

Calculado por: Revisado: Azimut de AB ( º ' " ) = 144º 29' 48''

Proyecc. Corregidas

Vertice Lado Distancia (m) grad min seg grad min seg Azimut( º ' " ) ProyN ProyE CNORTE CESTE ProyNcorr ProyEcorr X Y Vertice

A AB 380.390 90 43 15 90 43 14 144 º 29 ' 48 '' -309.669 220.912 -0.022 -0.024 -309.691 220.887 2220.887 690.309 B

B BC 326.855 112 34 50 112 34 49 77 º 4 ' 37 '' 73.099 318.576 -0.019 -0.021 73.079 318.555 2539.442 763.388 C

C CD 278.120 64 54 58 64 54 57 321 º 59 ' 34 '' 219.140 -171.255 -0.016 -0.018 219.124 -171.273 2368.169 982.512 D

D DE 252.200 205 3 21 205 3 20 347 º 2 ' 54 '' 245.784 -56.525 -0.015 -0.016 245.769 -56.542 2311.628 1228.281 E

E EA 386.262 66 43 41 66 43 40 233 º 46 ' 34 '' -228.258 -311.603 -0.023 -0.025 -228.281 -311.628 2000.000 1000.000 A

0 0 0 53 º 46 ' 34 '' 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 2000.000 1000.000

0 0 0 233 º 46 ' 34 '' 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 2000.000 1000.000

1623.827 540 0 5 540 0 0 0.095 0.104 -0.095 -0.104 0.000 0.000 2220.887 690.309 B

Perimetro e N e E

eLineal = 0.141

Numero de Vertices = 5

Error Angular ( " ) = 5 Exceso 1

Error Admisible ( " ) = +/- 45 11500

Correccion Angular ( " ) = -1 Restar a cada angulo

Restar a cada angulo Area = 14.10 Ha

Precisión =

CORRECCION DE POLIGINAL - ESTACIONES EN SENTIDO ANTI HORARIO

Angulo Interno ( ) corregido Azimut Proyecciones Correciones Coordenadas Vertice

A

E

D

CB

N

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Método de Coordenadas:

AREAS DE POLIGONALES CERRADAS

Conociendo las coordenadas de cada uno de los vértices de la poligonal se puede

calcular su área mediante sumas y restas de figuras conocidas.

N

E

A

B

C

D

E

)xx(2

)yy()xx(

2

)yy()xx(

2

)yy()xx(

2

)yy()xx(

2

)yy(A ED

DEAE

EACD

DCBC

CBAB

BA

n

1i

1i1ii )x(xy2

1A

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Método de Coordenadas:

AREAS DE POLIGONALES CERRADAS

También puede usar la fórmula determinante de Gauss:

N

E

A

B

C

D

E

Norte

A YA

B YB

C YC

D YD

E YE

A YA

Este

XA

XB

XC

XD

XE

XA

2A = - AECBBA

yx......yxyx

AECBBAxy.......xyxy

:

Donde:

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RELLENO DE UNA POLIGONAL

Consiste en obtener las coordenadas de puntos pertenecientes a un terreno o

construcción.

Dependiendo de las características de la zona de trabajo las poligonales pueden ser

interiores, exteriores o coincidentes con los vértices del terreno en estudio.

A (1000,1000,100)

D

B

NM

Az

C

Poligonal exterior

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Nos permite determinar el perímetro y

área del terreno.

Se efectúa un relleno interior para

obtener las curvas de nivel.

A

B

D

NM

(1000,1000,100)

C

RELLENO DE UNA POLIGONAL

Poligonal coincidente con los vértices del terreno.

Poligonal 1.pdf

Poligonal 1.pdf

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