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Matrizes e Sistemas Lineares
Andre Rodrigues da Cruz
Centro Federal de Educacao Tecnologica de Minas Gerais
Otimizacao I
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 1 / 64
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MatrizUma matriz A Rmn e um arranjo retangular de numeros com m linhase n colunas. O numero aij R e um elemento da matriz que esta na linhai {1, . . . ,m} e coluna j {1, . . . , n}.
A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
......
......
am1 am2 . . . amn
Quando m = n diz-se que a matriz e quadrada.
Exemplo
A e uma matriz 3 2 e B e uma matriz 2 4.
A =
2 53 01 1
B = [1 2,3 5 10 6 2 3,2
]
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 2 / 64
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VetorUm vetor coluna (linha) v Rn e uma matriz com n linhas (colunas) euma coluna (linha). Geometricamente, e um segmento de reta orientado.
v =
v1v2...vn
Exemplo
v e um vetor coluna de dimensao 3 e w e um vetor linha de dimensao 4.
v =
153
w = [2,9 3 335 log 76]
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 3 / 64
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Igualdade
Duas matrizes A e B quaisquer sao iguais se, e somente se, possuem amesma dimensao e todos os elementos correspondentes forem iguais, ouseja, aij = bij para todo i e j .
Exemplo
[log5 1
4
5 3,2 100]
=
[0 2
2,2 1
]1,0015
7
6=15
7
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 4 / 64
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Multiplicacao por Constante
Seja R um escalar e A Rmn uma matriz qualquer. Tem-se que
A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
......
......
am1 am2 . . . amn
Exemplo
Seja = 2 e A =
[1 2
10 30
], entao
2A =
[2 1 2 2
2 10 2 30]
=
[2 4
20 60
]
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 5 / 64
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Soma de Matrizes
Duas matrizes A Rmn e B Rmn quaisquer de mesma dimensaopodem ser somadas da seguinte maneira
A + B =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
......
......
am1 am2 . . . amn
+b11 b12 . . . b1nb21 b22 . . . b2n
......
......
bm1 bm2 . . . bmn
=
a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1na21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n
......
......
am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 6 / 64
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Soma de Matrizes
De maneira similar e feito a subtracao
A B =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
......
......
am1 am2 . . . amn
b11 b12 . . . b1nb21 b22 . . . b2n
......
......
bm1 bm2 . . . bmn
=
a11 b11 a12 b12 . . . a1n b1na21 b21 a22 b22 . . . a2n b2n
......
......
am1 bm1 am2 bm2 . . . amn bmn
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 7 / 64
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Soma de Matrizes
Exemplo
1 20 14 3
+1 62 5
6 2
= 0 82 4
10 1
[
10 1 02 pi 1,2
][
8 3 53 4pi 0,8
]=
[2 2 51 5pi 2
][
69
]+
[2010
]=
[2619
]
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 8 / 64
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Norma de Vetor
A norma ou comprimento de um vetor v Rn e dado por
||v|| = n
k=1
v2k =
v21 + v22 + . . .+ v
2n
Exemplo
v =
[34
] ||v|| =
32 + 42 =
25 = 5
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 9 / 64
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Vetor UnitarioO vetor unitario e um vetor que possui o valor de norma igual a 1. Umvetor v nao-nulo pode ser normalizado da seguinte forma
u =1
||v||v
Assim, u e um vetor unitario que possui a mesma direcao e sentido de v.
Exemplo
Seja v =
[34
]. Assim, ||v|| = 32 + 42 = 5, e o vetor unitario na direcao e
sentido de v e
u =1
||v||v
=1
5
[34
]=
[3/54/5
]=
[0,60,8
]
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 10 / 64
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Produto Interno de Vetores
O produto interno ou produto escalar de dois vetores v Rn e w Rn edado por
v w =n
k=1
vkwk = v1w1 + v2w2 + . . .+ vnwn
ouv w = ||v||||w|| cos
em que e o angulo entre v e w.
Consequentemente,
cos =v w||v||||w||
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 11 / 64
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Produto Interno de Vetores
Exemplo
Dados v =
[34
]e w =
[11]
, calcular v w.
v w = 3 1 + 4 (1) = 1
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 12 / 64
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Produto Interno de Vetores
Sejam u e v vetores no espaco. Sabe-se que:
v v = ||v||2, ou seja, ||v|| = (v v)1/2; Se u e v sao vetores nao-nulos entao o angulo entre eles e:
I agudo ( [0, pi/2)) se, e somente se, u v > 0;I obtuso ( (pi/2, pi]) se, e somente se, u v < 0;I reto ( = pi/2) se, e somente se, u v = 0;
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 13 / 64
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Propriedades do Produto Interno de Vetores
Sejam u, v e w vetores no espaco e um escalar, entao:
u v = v u; u (v + w) = u v + u w; (u v) = (u) v = u (v); v v > 0 se v 6= 0 e v v = 0 se v = 0.
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 14 / 64
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Multiplicacao de Matrizes
Dado as matrizes A e B, a multiplicacao AB esta definida se, e somentese, o numero de colunas de A for igual ao numero de linhas de B.
Se A for uma matriz m n e B uma matriz r s, com n 6= r , entao amultiplicacao AB nao esta definida. Caso n = r , entao AB = C, sendo Cuma matriz m s.
Sendo AB = C, cada elemento cij de C e resultado do somatorio dasmultiplicacoes entre os elementos correspondentes da linha i de A com oselementos da coluna j de B. Em outras palavras, cij e o produto internoda linha i de A com a coluna j de B.
cij =n
k=1
aikbkj = ai1b1j + ai2b2j + . . .+ ainbnj
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 15 / 64
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Multiplicacao de Matrizes
Exemplos
1 24 0
2 3
[3 12 5
]=
1 3 + 2 2 1 1 + 2 54 3 + 0 2 4 1 + 0 52 3 + 3 2 2 1 + 3 5
= 7 1112 4
12 17
[
10 20 302 3 4
]123
= [14020
]
[
3 12 5
]1 24 02 3
nao esta definido!
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 16 / 64
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Multiplicacao de Matrizes
Exemplo
Sistema de equacoes lineares como multiplicacao matricial:5 2 43 1 22 7 1
x1x2x3
=14
0
5x1 + 2x2 + 4x3 = 13x1 + 1x2 + 2x3 = 42x1 + 7x2 + 1x3 = 0
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 17 / 64
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Multiplicacao de Matrizes
O produto interno entre dois vetores colunas v e w pode ser interpretadocomo uma multiplicacao de matrizes, ou seja, v w = vtw.Exemplo
v =
[12
]w =
[23
]
v w = vtw = [1 2] [23
]= 1 2 + 2 3 = 8
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 18 / 64
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Multiplicacao de Matrizes
Seja A uma matriz quadrada, entao
A0 =I
Ap = AA . . .A p Np fatores
Exemplo
A =
[3 12 5
]A3 =
[3 12 5
] [3 12 5
] [3 12 5
]=
[49 51
102 151
]
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 19 / 64
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Matriz Nula
A matriz nula 0 Rmn e tal que todos os elementos sao 0.
0 =
0 0 . . . 00 0 . . . 0...
......
...0 0 . . . 0
Para qualquer matriz A adequada tem-se que:
A + 0 = 0 + A = A; A A = 0; A0 = 0A = 0.
Analogamente, o vetor nulo e matriz nula com uma unica linha (coluna).
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 20 / 64
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Matriz Identidade
A matriz identidade I e uma matriz quadrada que tal que todos oselementos da diagonal principal possui valor 1 e os restantes sao 0.
I =
1 0 . . . 00 1 . . . 0...
......
...0 0 . . . 1
Para qualquer matriz A adequada tem-se que:
AI = IA = A.
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 21 / 64
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TransposicaoA transposta de uma matriz A m n e uma matriz B = At n m obtidatrocando-se as linhas com as colunas, ou seja, bij = aji para i {1, . . . , n}e j {1, . . . ,m}.
At =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
......
......
am1 am2 . . . amn
t
=
a11 a21 . . . am1a12 a22 . . . am2
......
......
a1n a2n . . . amn
Exemplo
At =[
10 2 121 7 6
]t=
10 212 71 6
vt =
[2611
]t=[26 11
]Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 22 / 64
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Propriedades da Transposta
Se os tamanhos das matrizes sao tais que as operacoes indicadas podemser efetuadas, entao
((At)t = A; (A + B)t = At + Bt e (A B)t = At Bt ; (A)t = At , em que e um escalar qualquer; (AB)t = BtAt .
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 23 / 64
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Matriz Simetrica
Uma matriz quadrada A e dito ser simetrica se ela for igual ao transpostoda mesma, ou seja A = At .
Exemplo
A =
14 5 185 10 1218 12 4
= At
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 24 / 64
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PropriedadesSejam A, B e C matrizes com tamanhos apropriados, e escalares. Saovalidas as seguintes propriedades para as operacoes matriciais:
a) A + B = B + A;
b) A + (B + C) = (A + B) + C;
c) (A) = ()A;
d) ( + )A = A + A;
e) (A + B) = A + B;
f) A(BC) = (AB)C;
g) A(B + C) = AB + AC e (B + C)A = BA + CA;
h) (AB) = (A)B = A(B);
i) (At)t = A;
j) (A + B)t = At + Bt ;
k) (A)t = At ;
l) (AB)t = BtAt ;
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 25 / 64
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Traco
O traco de uma matriz quadrada A, tr(A), e a soma dos elementos dadiagonal principal, ou seja
tr(A) =n
k=1
akk
Exemplo
A =
1 2 34 5 67 8 9
tr(A) = 1 + 5 + 9 = 15
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 26 / 64
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Matriz Inversa
Dada uma matriz quadrada A, se pudermos encontrar uma matriz B demesmas dimensoes tal que AB = BA = I, entao se diz que A e invertvel eque B e uma inversa de A.
Exemplo
B =
[3 51 2
]e uma inversa de A =
[2 51 3
].
A inversa de A, quando existir, e unica.A inversa de A e designada por A1, portanto, AA1 = A1A = I.
Se nao existir a inversa entao se diz que A e nao invertvel ou singular.
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 27 / 64
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Propriedades da Matriz Inversa
Sendo A e B invertveis, entao
(AB)1 = B1A1; (A1)1 = A; Ap e invertvel e (Ap)1 = (A1)p para p = 0, 1, 2, . . . para qualquer escalar nao-nulo, A e invertvel e (A)1 = 1
A1;
(At)1 = (A1)t .
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 28 / 64
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Equacao Linear
Uma equacao linear com n variaveis possui a seguinte forma
a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b
em que, x1, x2, . . . , xn sao as variaveis, a1, a2, . . . , an e b sao constantesconhecidas.
Uma equacao linear nao envolve produtos, divisoes e potencias entrevariaveis, tao pouco ha tambem funcoes trigonometricas, logartmicas ouexponenciais.
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 29 / 64
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Equacao Linear
Uma solucao de uma equacao linear e um conjunto de n valoress1, s2, . . . , sn tais que a equacao e satisfeita ao substituirx1 = s1, x2 = s2, . . . , x2 = sn de modo que
a1s1 + a2s2 + . . .+ ansn = b
Exemplo
Uma solucao para a equacao 3x1 + x2 = 1 pode ser x1 = 2 e x2 = 5.O conjunto de todas as solucoes de uma equacao e chamado deconjunto-solucao ou solucao geral.
Exemplo
A solucao geral para a equacao 3x1 + x2 = 1 e x1 = t e x2 = 1 3t paraqualquer t R.
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 30 / 64
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Sistemas LinearesUm conjunto finito de m equacoes lineares e n variaveis x1, x2, . . . , xn echamado de sistema de equacoes lineares ou simplesmente sistema linear,e possui a forma
a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2
......
......
am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm
Exemplo
Exemplo de sistema linear
9x1 + 4x2 + 7x3 = 13x1 + 2x2 + 5x3 = 2
10x1 + 3x2 + 4x3 = 3
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 31 / 64
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Sistemas LinearesA forma matricial de um sistema linear possui a forma Ax = b
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
......
...am1 am2 . . . amn
x1x2...xn
=b1b2...bm
em que A e a matriz de coeficientes, b e o vetor de termos independentese x e o vetor de variaveis a serem determinados.
Exemplo
A forma matricial do sistema apresentado no exemplo anterior e 9 4 73 2 510 3 4
x1x2x3
=12
3
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 32 / 64
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Sistemas Lineares
A solucao do sistema e um conjunto de n valoresx1 = s1, x2 = s2, . . . , xn = sn tais que todas as equacoes sao satisfeitas.
Exemplo
A solucao para o sistema linear
9x1 + 4x2 + 7x3 = 13x1 + 2x2 + 5x3 = 2
10x1 + 3x2 + 4x3 = 3
e
x =
x1x2x3
=1,758,5
2,75
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 33 / 64
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Matriz Aumentada
O sistema linear
a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2
......
......
am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm
pode ser abreviado em uma matriz aumentada da seguinte formaa11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2
......
...am1 am2 . . . amn bm
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 34 / 64
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Matriz Aumentada
Exemplo
A matriz aumentada do sistema linear
9x1 + 4x2 + 7x3 = 13x1 + 2x2 + 5x3 = 2
10x1 + 3x2 + 4x3 = 3
possui a seguinte forma 9 4 7 13 2 5 210 3 4 3
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 35 / 64
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Operacoes Elementares sobre Linhas
Sao operacoes que transformam um sistema linear em um outroequivalente (com mesma solucao).
As operacoes sao:
Multiplicar uma linha (equacao) inteira por uma constante nao-nula; Trocar duas linhas (equacoes) entre si; Somar um multiplo de uma linha (equacao) a outra linha (equacao).
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 36 / 64
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Observacoes
Para solucionar um sistema de equacoes lineares devemos transformaro sistema original em um equivalente mais simples atraves dasoperacoes elementares de linha.
O sistema equivalente mais simples desejado e a forma escalonadareduzida por linhas.
Todo sistema linear possui, ou nenhuma solucao, ou exatamente uma,ou entao um numero infinito de solucoes.
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 37 / 64
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Forma Escalonada Reduzida por Linhas
Uma matriz na forma escalonada reduzida por linhas possui as seguintespropriedades:
Se uma linha nao consistir so de zeros, entao o primeiro numeronao-nulo da linha e 1, que e o pivo;
Se existirem linhas constitudas somente de zeros, elas estaoagrupadas juntas nas linhas inferiores da matriz;
Em quaisquer duas linhas sucessivas que nao consistem so de zeros, opivo da linha inferior ocorre mais a direita que o pivo da linha superior;
Cada coluna que contem um pivo tem zeros nas demais entradas.
Toda matriz possui uma unica forma escalonada reduzida por linhas.
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 38 / 64
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Forma Escalonada Reduzida por Linhas
Exemplo
A matriz abaixo esta na forma escalonada por linha:1 0 0 40 1 0 70 0 1 1
x1 = 4
x2 = 7x3 = 1
Solucao unica.
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 39 / 64
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Forma Escalonada Reduzida por Linhas
Exemplo
A matriz abaixo esta na forma escalonada por linha:1 0 0 4 10 1 0 2 60 0 1 3 2
x1 = 1 4x4
x2 = 6 2x4x3 = 2 + 3x4
x1 = 1 4tx2 = 6 2t
x3 = 2 + 3tx4 = t
t RInfinitas solucoes.
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 40 / 64
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Forma Escalonada Reduzida por Linhas
Exemplo
A matriz abaixo esta na forma escalonada por linha:1 6 0 0 4 20 0 1 0 3 10 0 0 1 5 20 0 0 0 0 0
x1 = 2 6x2 4x5
x3 = 1 + 3x5x4 = 2 5x5
x1 = 2 6t 4sx2 = t
x3 = 1 + 3sx4 = 2 5s
x5 = st, s R
Infinitas solucoes.
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 41 / 64
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Forma Escalonada Reduzida por Linhas
Exemplo
A matriz abaixo esta na forma escalonada por linha:1 0 0 00 1 2 00 0 0 1
A terceira equacao do sistema e
0x1 + 0x2 + 0x3 = 1
Como esta equacao nao pode ser resolvida, o sistema nao tem solucao.
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 42 / 64
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Eliminacao de Gauss-Jordan
E um processo usado para transformar qualquer matriz aumentada narespectiva forma escalonada reduzida por linhas, utilizando as operacoeselementares sobre linhas.
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 43 / 64
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Eliminacao de Gauss-Jordan
Exemplo
Vamos resolver o seguinte sistema linear
2x3 + 7x5 = 122x1 + 4x2 10x3 + 6x4 + 12x5 = 282x1 + 4x2 5x3 + 6x4 5x5 = 1
que possui a matriz aumentada0 0 2 0 7 122 4 10 6 12 282 4 5 6 5 1
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 44 / 64
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Eliminacao de Gauss-Jordan
Exemplo
Localize a coluna mais a` esquerda que nao seja constitudainteiramente de zeros.No presente exemplo, e a primeira coluna.
Permute a primeira linha com uma outra linha, se necessario, paraobter uma entrada nao-nula ao topo da coluna encontrada noprimeiro passo.Com isso, a matriz do exemplo se torna:0 0 2 0 7 122 4 10 6 12 28
2 4 5 6 5 1
2 4 10 6 12 280 0 2 0 7 12
2 4 5 6 5 1
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 45 / 64
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Eliminacao de Gauss-Jordan
Exemplo
Se a entrada que agora esta no topo da coluna encontrada noprimeiro passo e a, multiplique a primeira linha por 1/a paraintroduzir um pivo.No presente exemplo, a primeira linha foi multiplicada por 1/2:2 4 10 6 12 280 0 2 0 7 12
2 4 5 6 5 1
1 2 5 3 6 140 0 2 0 7 12
2 4 5 6 5 1
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 46 / 64
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Eliminacao de Gauss-Jordan
Exemplo
Some multiplos convenientes da primeira linha a`s linhas inferiorespara obter zeros em todas as entradas abaixo do pivo.No exemplo, a primeira linha foi multiplicada por 2 e depois somadaa terceira linha:1 2 5 3 6 140 0 2 0 7 12
2 4 5 6 5 1
1 2 5 3 6 140 0 2 0 7 12
0 0 5 0 17 29
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 47 / 64
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Eliminacao de Gauss-Jordan
Exemplo
Repita os passos anteriores e some multiplos convenientes, da linhacom o pivo, a`s linhas superiores para obter zeros em todas asentradas acima do pivo. O pivo deve ser o unico elemento nao nuloda coluna. Continue desta maneira, ate que toda a matriz esteja naforma escalonada reduzida por linhas.
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 48 / 64
-
Eliminacao de Gauss-Jordan
Exemplo
No exemplo, a segunda linha deve ser multiplicada por 1/2.Soma-se essa nova linha multiplicada por 5 com a primeira. Depois,soma-se a nova linha multiplicada por 5 com a terceira:1 2 5 3 6 140 0 2 0 7 12
0 0 5 0 17 29
1 2 5 3 6 140 0 1 0 3,5 6
0 0 5 0 17 29
1 2 0 3 11,5 160 0 1 0 3,5 6
0 0 5 0 17 29
1 2 0 3 11,5 160 0 1 0 3,5 6
0 0 0 0 0,5 1
Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 49 / 64
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Eliminacao de Gauss-JordanExemplo
Seguindo no exemplo, a terceira linha deve ser multiplicada por 2.Soma-se essa nova linha multiplicada por 11,5 com a primeira.Depois, soma-se a nova linha multiplicada por 3,5 com a segunda:1 2 0 3 11,5 160 0 1 0 3,5 6
0 0 0 0 0,5 1
1 2 0 3 0 70 0 1 0 3,5 6
0 0 0 0 1 2
1 2 0 3 0 70 0 1 0 0 10 0 0 0 1 2
x1 = 7 2t 3rx2 = tx3 = 1x4 = rx5 = 2
t, r R
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Sistemas com Matriz de Coeficientes Comum
Para resolver uma sequencia de sistemas lineares Ax = b1, Ax = b2, . . .,Ax = bk , no qual possuem a mesma matriz de coeficientes A, pode-seconstruir a matriz aumentada[
A b1 b2 . . . bk]
e depois reduzi-la a forma aumentada por linhas. Dessa maneira, seraresolvido k sistemas de uma so vez por eliminacao de Gauss-Jordan.
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Sistemas com Matriz de Coeficientes ComumExemplo
Vamos resolver os seguintes sistemas lineares
9x1 + 4x2 + 7x3 = 13x2 + 2x2 + 5x3 = 2
10x3 + 3x2 + 4x3 = 3
e9x1 + 4x2 + 7x3 = 23x2 + 2x2 + 5x3 = 3
10x3 + 3x2 + 4x3 = 5
que possui a matriz aumentada 9 4 7 1 23 2 5 2 310 3 4 3 5
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Sistemas com Matriz de Coeficientes ComumExemplo
9 4 7 1 23 2 5 2 310 3 4 3 5
19 linha 1
1 4/9 7/9 1/9 2/93 2 5 2 310 3 4 3 5
3 linha 1 + linha 2; e 10 linha 1 + linha 3 1 4/9 7/9 1/9 2/90 2/3 8/3 5/3 7/3
0 13/9 34/9 17/9 25/9
32 linha 2
1 4/9 7/9 1/9 2/90 1 4 5/2 7/20 13/9 34/9 17/9 25/9
49 linha 2 + linha 1; e 13
9 linha 2 + linha 3
1 0 1 1 4/30 1 4 5/2 7/20 0 2 11/2 47/6
12 linha 3
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Sistemas com Matriz de Coeficientes Comum
Exemplo
1 0 1 1 4/30 1 4 5/2 7/20 0 1 11/4 47/12
1 linha 3 + linha 1; e 4 linha 3 + linha 2 1 0 0 7/4 31/120 1 0 17/2 73/6
0 0 1 11/4 47/12
Portanto, a solucao para o primeiro sistema e
x =
7/417/211/4
e a solucao do segundo e x =31/1273/6
47/12
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Matriz Elementar
Uma matriz n n que pode ser obtida da matriz identidade I de tamanhon n executando-se uma unica operacao elementar sobre linhas, echamada de matriz elementar. Toda matriz elementar e invertvel e ainversa da mesma e tambem uma matriz elementar.
Exemplo
A matriz A e a respectiva inversa A1 sao matrizes elementares:
A =
1 0 00 1 03 0 1
A1 = 1 0 00 1 03 0 1
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Metodo para Encontrar a Matriz Inversa
Para encontrar a matriz inversa de uma matriz invertvel A, com tamanhon n, deve-se encontrar uma sequencia de operacoes elementares sobre aslinhas de A que a reduza a` matriz identidade e depois efetuar esta mesmasequencia de operacoes em I para obter A1.
Deve-se executar uma sequencia de eliminacoes de Gauss-Jordan tais quepartindo-se do sistema [A|I] chega-se em [I|A1].
Em outras palavras, deve-se resolver o sistema linear [A|e1|e2| . . . |en], emque ek e o vetor canonico que possui o valor 1 na posicaok {1, 2, . . . , n} e zeros nas demais.
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Metodo para Encontrar a Matriz Inversa
Exemplo
1 2 3 1 0 02 5 3 0 1 01 0 8 0 0 1
2 linha 1 + linha 2; e 1 linha 1 + linha 3 1 2 3 1 0 00 1 3 2 1 0
0 2 5 1 0 1
2 linha 2 + linha 3 1 2 3 1 0 00 1 3 2 1 0
0 0 1 5 2 1
1 linha 3 1 2 3 1 0 00 1 3 2 1 0
0 0 1 5 2 1
3 linha 3 + linha 2; e 3 linha 3 + linha 1
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Metodo para Encontrar a Matriz Inversa
Exemplo
1 2 0 14 6 30 1 0 13 5 30 0 1 5 2 1
2 linha 2 + linha 1 1 0 0 40 16 90 1 0 13 5 3
0 0 1 5 2 1
Portanto, a matriz inversa de
1 2 32 5 31 0 8
e a matriz 40 16 913 5 3
5 2 1
, e vice-versa.
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Metodo para Encontrar a Matriz Inversa
E possvel determinar se uma matriz quadrada nao possui inversa atravesdo metodo de eliminacao:
Exemplo
1 6 4 1 0 02 4 1 0 1 01 2 5 0 0 1
2 linha 1 + linha 2; e linha 1 + linha 3 1 6 4 1 0 00 8 9 2 1 0
0 8 9 1 0 1
linha 2 + linha 3 1 6 4 1 0 00 8 9 2 1 0
0 0 0 1 1 1
Ocorreu uma linha de zeros no lado esquerdo. Quando ha este tipo de
inconsistencia, a matriz nao possui inversa.
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Sistemas de Equacoes Lineares e Invertibilidade
Se A e uma matriz invertvel n n, entao para cada matriz b de tamanhon 1, o sistema de equacoes Ax = b tem exatamente uma solucao, asaber x = A1b. Pois
Ax = bA1Ax = A1b
Ix = A1bx = A1b
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Sistemas de Equacoes Lineares e Invertibilidade
Exemplo
Seja o sistema de equacoes lineares
x1 + 2x2 + 3x3 = 52x1 + 5x2 + 3x3 = 3x1 + 8x3 = 17
possui o formato matricial
A =
1 2 32 5 31 0 8
, x =x1x2x3
, b = 53
17
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Sistemas de Equacoes Lineares e Invertibilidade
Exemplo
A matriz A =
1 2 32 5 31 0 8
possui inversa A1 =40 16 913 5 3
5 2 1
.Portanto, a solucao do sistema linear e
x =
x1x2x3
= A1b =40 16 913 5 3
5 2 1
5317
= 11
2
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Afirmacoes Equivalentes
Se A e uma matriz n n, entao as seguintes afirmacoes sao equivalentes: A e invertvel; Ax = 0 so tem a solucao trivial; A forma escalonada por linhas de A e I; A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares; Ax = b e consistente para cada matriz b de tamanho n 1; Ax = b tem exatamente uma solucao para cada matriz b de tamanho
n 1; O determinante de A e diferente de zero.
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Fim do Topico
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