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Mecánica 1: EstáticaIng. Juan Carlos Cárdenas A

Ing. Manuel Enrique Roldán S.

Unidad 3b:Cuerpos Rígidos: Sistemas

Equivalentes de Fuerzas

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Momento de un “par”

• Dos fuerzas F y -F que tienen igual

magnitud, líneas paralelas de acción y

sentidos opuestos, forman lo que se

conoce como un par.

• Momento de un par,

FdrFM

Fr

Frr

FrFrM

BA

BA

sin

• El momento de un par es

independiente de la escogencia del

origen de los ejes de coordenadas, es

decir, es un vector libre que puede

aplicarse en cualquier punto,

produciendo el mismo efecto.

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Dos pares tendrán igual momento si:

• 2211 dFdF

• Los dos pares yacen en planos paralelos, y

• Los dos pares tienen la misma dirección,

o la tendencia a causar la rotación en la

misma dirección.

Momento de un “par”

Pares equivalentes: ambos producen el mismo

momento y están en planos paralelos,

produciendo una rotación en la misma dirección

Pares no-equivalentes: ambos producen el

mismo momento pero no están en planos

paralelos, por lo que la rotación se da en ejes

diferentes.

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Los pares pueden

representarse por vectores

• Un par puede representarse por un vector de magnitud y

dirección igual al momento del par.

• Los vectores par obedecen la ley de la suma de vectores

• Los vectores par son vectores libres, i.e., su punto de

aplicación no es importante.

• Los vectores par se pueden descomponer en sus

componentes vectoriales.

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Descomposición de una Fuerza en

una Fuerza en O y un Par

• El vector fuerza F puede moverse de A a O, pero al hacerlo hay que

considerar la forma en que afecta su acción sobre el cuerpo.

• Fijar vectores fuerza iguales y opuestos en O, no produce un efecto

neto sobre el cuerpo.

• Las 3 fuerzas pueden reemplazarse por un vector fuerza

equivalente y un vector par, es decir, un sistema fuerza-par.

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Descomposición de una Fuerza en

una Fuerza en O y un Par

Note que en general, crear un sistema FUERZA-PAR, partiendo de una

fuerza F, consiste en tomar las fuerzas y momentos existentes y

calcular:

O EXISTM M r F R F

7

Aplicación de la descomp. de una

Fuerza en Sistemas Fuerza-Par

8

• Si moviéramos F de A hasta otro punto O’ , esto requiere

la suma de un vector par distinto MO’

FrMO

'

• Los momentos de F en O y O’ se relacionan así,

FsM

FsFrFsrFrM

O

O

''

• Mover el sistema fuerza-par de O hasta O’ requiere sumar el

momento de la fuerza en O, sobre O’.

Descomposición de una Fuerza en

una Fuerza en O y un Par

9

Ejercicios

7. (3.80) La fuerza P = 500 N se aplica en el punto A del elemento mostrado.

Reemplace P con: (a) un sistema equivalente fuerza–par en C, (b) un

sistema equivalente constituido por una fuerza vertical en B y una segunda

fuerza en D.

10

Ejercicios

8. (3.85) Los trabajadores tratan de

mover la caja de 1.2x1.2x1.2m

aplicando las fuerzas mostradas.

(a) Si P = 250 N, reemplace las 3

fuerzas con un sistema fuerza-par

equivalente en A. (b) Reemplace

el sistema fuerza-par de (a) por

una sola fuerza, indicando el

lugar del lado AB en donde se

debe aplicar. (c) Determine P tal

que las 3 fuerzas puedan

sustituirse por una sola fuerza

aplicada en B.

11

Ejercicios

9. La fuerza de tensión en el cable

AB es de 850 lb. Calcule el

sistema fuerza-par equivalente de

esta fuerza respecto al punto E.

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Sistemas de Fuerzas:

Reducción a Fuerza y Par

• Un sist. de fuerzas puede sustituirse por un grupo de

sistemas fuerza-par actuando en un punto dado O

• Los vectores fuerza y par pueden dar como resultante

un vector fuerza y un vector par, tal que:

FrMFR R

O

• El sist. Fuerza-par en O puede moverse a O’ con la

suma del momento de R sobre O’ ,

RsMM R

O

R

O

'

Nota: 2 sistemas de fuerzas son equivalentes si

pueden reducirse al mismo sistema fuerza-par.

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Reducción adicional de un

Sistema de Fuerzas

• Si la fuerza y el par resultantes en O son perpendiculares entre ellos, pueden

ser sustituidos por una fuerza sencilla actuando a lo largo de una nueva línea

de acción.

• ¿Y cómo saber si un sistema fuerza-par tiene sus componentes perpendiculares

entre ellos? Se cumplen algunas de las siguientes condiciones:

1) las fuerzas son concurrentes,

2) las fuerzas son coplanares, o

3) las fuerzas son paralelas.

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• Entonces, el sist. coplanar de fuerzas se

reduce a un sist. Fuerza-par que

es mutuamente perpendicular.

R

OMR

y

• Este sistema puede reducirse a una

simple fuerza, al mover la línea de

acción de hasta que su momento

sobre O sea R

OMR

• En coordenadas rectangulares,R

Oxy MyRxR

Reducción adicional de un

Sistema de Fuerzas

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Problema resuelto 3.8

Para la viga mostrada, reduzca el

sistema de fuerzas mostrado en: (a) un

sistema equivalente fuerza-par en A,

(b) un sistema equivalente fuerza-par

en B, y (c) una fuerza sencilla, o

resultante.

Nota: Dado que las reacciones de

soporte no se incluyen, el sistema

dado no mantendrá la viga en

equilibrio.

SOLUCIÓN:

a) Calcule la fuerza resultante de las

fuerzas mostrada, y el par

resultante para los momentos de las

fuerzas sobre A.

b) Encontrar un sistema equivalente

fuerza-par en B basado en el

sistema fuerza-par en A.

c) Determinar el punto de aplicación

para la fuerza resultante, tal que

su momento sobre A sea igual al

par resultante en A.

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SOLUCIÓN:

a) Calcular la fuerza y par resultantes en A.

jjjj

FR

N 250N 100N 600N 150

jR

N600

ji

jiji

FrM R

A

2508.4

1008.26006.1

kM R

A

mN 1880

Problema resuelto 3.8

17

b) Encontrar el sistema fuerza-par equivalente

en B basado en el sist. fuerza-par en A. Note

que la fuerza no cambia por el traslado del

sistema fuerza-par de A a B, por lo tanto:

jR

N 600

El par en B es igual al momento en B del

sistema fuerza-par encontrado en A.

kk

jik

RrMM AB

R

A

R

B

mN 2880mN 1880

N 600m 8.4mN 1880

kM R

B

mN 1000

Problema resuelto 3.8

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Tres cables están sujetos a un

soporte. Reemplace las fuerzas con

un sistema fuerza-par equivalente

en A.

SOLUCIÓN:

• Determine los vectores de posición

relativos para los puntos de aplicación

de las fuerzas de los cables con

respecto a A.

• Descomponga las fuerzas en sus

componentes rectangulares.

• Calcule la fuerza equivalente,

FR

• Calcule el par equivalente,

FrM R

A

Problema resuelto 3.10

19

SOLUCIÓN:

• Determine los vectores de posición

relativos con respecto a A.

m 100.0100.0

m 050.0075.0

m 050.0075.0

jir

kir

kir

AD

AC

AB

• Descomponiendo las fuerzas en sus

componentes rectangulares:

N 200600300

289.0857.0429.0

175

5015075

N 700

kjiF

kji

kji

r

r

F

B

BE

BE

B

N 1039600

30cos60cosN 1200

ji

jiFD

N 707707

45cos45cosN 1000

ji

jiFC

Problema resuelto 3.10

20

• Calculando la fuerza equivalente,

k

j

i

FR

707200

1039600

600707300

N 5074391607 kjiR

• Calculando el par equivalente,

k

kji

Fr

j

kji

Fr

ki

kji

Fr

FrM

DAD

cAC

BAB

R

A

9.163

01039600

0100.0100.0

68.17

7070707

050.00075.0

4530

200600300

050.00075.0

kjiM R

A

9.11868.1730

Problema resuelto 3.10

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Ejercicios

10. (3.102) Las masas de dos niños sentados en los extremos A y B de un

balancín son 38 y 29 kg respectivamente. ¿Dónde debe sentarse un 3er niño

para que la resultante de fuerzas de los pesos de los 3 niños pase por C, si la

masa del 3er niño es (a) 27 kg (b) 24 kg

22

Ejercicios

11. (3.104) Al conducir un camión vacío sobre una báscula, se determina que las

cargas sobre los ejes delantero y trasero son de 18 y 12 kN, respectivamente.

Indique el peso y la ubicación de la carga Q más pesada que puede

transportar el camión si la carga para cada eje no debe sobrepasar los 40 kN.

23

Ejercicios

12. (3.108) Se tiene una elemento angular con las fuerzas y par aplicados.

Encuentre: (a) la resultante del este sistema de fuerzas, (b) los puntos donde

la línea de acción de la resultante interseca las líneas AB y BC.

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Mecánica 1: EstáticaIng. Juan Carlos Cárdenas A.

Ing. Manuel Enrique Roldán S.

Unidad 3b:Cuerpos Rígidos: Sistemas

Equivalentes de Fuerzas

Fin